Hoofstuk De afgeleie lazije 9 V-a, 8, 8 8 kg lengte in m gewiht in kg,8,, 7, 8 9,,8 gewiht 8 8 lengte m weegt 8 kg us m weegt 8 : 8, kg. e, 8,, m 8,,8 is het startgetal en,8 is het hellingsgetal. V-a (,);(,); (,);(, );(, ) 9 9 8 7 Kies ijvooreel (, ) en (, ). Dan vershillen e -oörinaten. Kies ijvooreel (, ) en (, ). Dan vershillen e -oörinaten. e Aan,; het hellingsgetal. 7 Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel 8 7 7 8 9 7 8 9 Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v
V-a V-a 9 9 8 7 (, ) +, +, 8 7 7 8 9 7 8 9 + Dus is het snijpunt (, ). Het hellingsgetal moet,, zijn en het startgetal van l is Dus gelt voor lijn l e formule:, + Voor lijn m gelt:, + (, ) invullen geeft:, + 88, +, 8 Dus is,8 het startgetal van lijn m lazije 9 8 8 A 7 8 9 B Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 7
V-a 7 Hoofstuk - De afgeleie 8 9 + Hellingsgetal 8 De formule is us van e vorm + en gaat oor het punt (, 8). Dus + 8. Lineaire formule + Hellingsgetal 9 7 De formule is us van e vorm 7 + en gaat oor het punt (, ). Dus 7 + 9. Lineaire formule 7+ Hellingsgetal 78 ( ) ( ) (, ) invullen in + geeft + Lineaire formule V-a (, 7) invullen in + geeft 7 + 7 Lineaire formule 7 De lijn is evenwijig aan + 8, us is van e vorm + (, ) invullen in + geeft + Dus is een formule + en is e lineaire formule Hellingsgetal 9 (, ) invullen in + geeft 9 Lineaire formule + 9 V-7a Per uur rant m op. Nieuw was e kaars 8 m. t+ 8 met t 7 V-8a m 9 8 7 9 Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel 8 7 7 8 9 7 8 9 l n Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v
m: n: + V-9a 8 8 Dus heeft lijn l rihtingsoëffiiënt + Dus heeft lijn m rihtingsoëffiiënt 8 us (, ) 8 9 us (9, ) us (, ) us (, ) ( ) 8 + 8 8 8 8 8. Snijpunt (, ) V-a Vul e eerste vergelijking in e tweee vergelijking in, je krijgt: + ( + ) 9 9 + Snijpunt (, ) Vul e eerste vergelijking,, in e tweee vergelijking in, je krijgt: ( ) 8 Snijpunt (, ) Vul e eerste vergelijking,, in e tweee vergelijking in, je krijgt: ( ) + ( ) + 7 Snijpunt (, 7) De eerste vergelijking 8 8. Vul eze in e tweee vergelijking in, je krijgt ( ) + 8 + 8 8 8 8 Snijpunt (, ) V-a ( ) ( ) of ( ) of f( ) ( ) en f( ) ( ) 8 Snijpunten (, ) en (, 8) f( ) ( ) ( ) ( ) + 8+ ( ) Dus zijn er twee samenvallene oplossingen en raakt e lijn e paraool. Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 7
7 a a, Hoofstuk - De afgeleie lazije 9 Het e uur. Afname van e temperatuur met C geurene het e uur. Een afname van e temperatuur over het voorgaane uur. Om 7 uur is e temperatuur C. De toename is C en us is om 8. uur e temperatuur C. De toename over het 9 e uur is C. De temperatuur om 9. uur is us C. a lazije 97 toename lengte in m 7 8 9 + + + m. toename R toename K P Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel t leeftij in jaren Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v
a toename h toename T in C 9 8 7 7 A 7 8 9 h in km, e aling van e temperatuur over e eerste km. + C per km, us + 8 C Waar het toenameiagram over gaat van positieve waaren naar negatieve waaren. a + + +9 + 8 m. Je weet haar geoortelengte niet. De toenamen woren kleiner. 7 m. Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 7
7 e toename van e lengte in m 8 8 lazije 98 7 8 9 leeftij in jaren a De grafiek stijgt meer over het tijsinterval [, ] an over het tijsinterval [, ] Een stijgene rehte lijn. f( ), 987 9,. Na minuten heeft e wielrenner ijna km afgeleg. f( ) f( ) is e afgelege afstan geurene het tijsinterval [, ] e f( ) f( ), 8, 987 7, km/min. f, 787, km/uur. g f( ) f( ), 8 9, 87, 9 km/min (,7 km/uur). lazije 99 7a f( ) ( ), f( ) ( ) f() f(),, 8a f() f(), 7, f( ) f( ) 8, 87, 8, 87, 9 Het ere kwartier is het tijsinterval [, ] 9a Hoofstuk - De afgeleie f( ) f() 9 78,, 878, km/min. 9 p() p(), p() p() ( ), p() 9 p() ( ), 9 Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v
a p p 7 7 7 8 t 7 8 t H() H() 8 7 H() H() 7 H() H() De grafiek is toenemen stijgen en us wort e lijn oor het egin- en einpunt stees steiler. H(,) H( ),,,, H(, ) H( ),,,, De helling van e lijn oor het egin- en einpunt veranert stees miner als e punten op e grafiek ihter ij elkaar komen te liggen. H(, ) H( ),, H(, ) H( ),, De uitkomsten naeren e waare, e helling in het punt (, ). Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 77
a a a a 78 Hoofstuk - De afgeleie afstan tij Na 9 minuten. f(, ) f( ), 8 km/min., lazije km in uur, us gemiel km/uur. A rijt onstant km/uur. B gaat eerst sneller van start, e snelhei neemt toe. Na uur laat B het wat afweten en gaat het miner snel. Uiteinelijk komt hij tegelijk met A aan. Ron t is e voorsprong maimaal. A() A() A() A() A( ) A() A(,) A( ),,, B() B() B() B() B( ) B() 9 B(,) B( ), 8 7,,, A rijt met onstante snelhei us is over elk interval het ifferentiequotiënt gelijk aan. Het laatste interval. B(, ) B( ), 797 7, 97,, s(, ) s( ), 9998 9, 99 8 m/s.,, s(, ) s( ), 998,, 998 m/s.,, Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v
a s(, ) s( ) 9, 999998, m/s.,, De auto zal na seonen stilstaan. s( ) en is er nog m over. a lazije De eie grafieken gaan stees meer op elkaar lijken. f(, ) f( ), 999, 999,, Waarshijnlijk f(, ) f( ), 7, 7,, Dus zal e helling van f in (, ) waarshijnlijk zijn. f(, ) f( ), 77 7,, 7,, Dus zal e helling van f in (;,7) waarshijnlijk, zijn. 7a f( ) 9 ( ) 9 8a 9a f(, ) f( ),,,, Dit komt overeen met het hellingsgetal van e lijn. f(, ) f( ),,,, (, 9 ) invullen in + geeft 9 + en us De gezohte vergelijking is lazije f(, ) f( ),,,, f(, ) f( ),,,, Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v 79
8 Hoofstuk - De afgeleie g(, ) g( ),, 997, 987,, Vermoeelijk, a a g(, ) g( ), 99987,, f(, ) f( ),,, f(, ) f( ),,, g(, ) g( ) ( 7, 8) ( ) 7,, g(, ) g( ) ( 7, 8) ( ) 7,, De helling van een rehte lijn is overal ezelfe. Stees want e helling van e ijehorene rehte lijn is overal. Voor t is N want N(, ) N( ),,, t,, Voor t is P want t P(, ) P( ) (, + ) ( + ),,,, Voor t is N 8 want N(, ) N( ), 8, t,, Voor t is P 8 want P(, ) P( ) (, + ) ( + ) 8, t,, 7,,, 7, Als een grafiek omhoog of omlaag wort geshoven veranert e helling niet. lazije a (, ) en (, 9 ) ; e ifferentiaalquotiënten zijn en want e raaklijn aar is horizontaal. Spiegelen in e -as geeft (, ) a - De helling in het punt (, ) is en e helling in (, 7; 79, ) is, 7, Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v
a De helling in het punt (, ) is: B(, ) B( ), 99 ( ) 99,,, a Uit e tael volgtat e punten met helling 7 zijn (, 8 ) en (, ). Uit e tael volgt at e punten met helling zijn (, ) en (, ). De punten met helling zijn e punten met een horizontale raaklijn, us e toppen van e grafiek. Uit e grafiek van B lijkt ineraa at (, ) en (, ) toppen zijn. s() s() 8 ; e gemiele snelhei over het tijsinterval [,] s(, ) s( ),,,, De snelhei op tijstip t is m/s. Zeer waarshijnlijk wel maar % zekerhei he je niet. lazije 7a Y De helling in het punt met is. De helling is 7 in het punt met -oörinaat, us (, ). 8a f () f'( ) f ( ) f () 7 7 f, 9, 8 Dan moet gelen f'( ) 9 9. Dus in het punt (, ) 9a Het hellingsgetal is. In elk punt is e helling, us f'( ) en f'(). f (). a - Wanneer je e tael van e hellingen vergelijkt met ie van lijken e hellingen stees keer zo groot. f () f ( ) e Dus moet gelen f () 7 7 of Dus in (, f ()) (, ) en (, f( )) (, ) lazije a - g () g () 9 Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 8
8 Hoofstuk - De afgeleie a f () f (). De helling in het punt (, ) is an f '( ) 8 De helling in het punt (, ) is 8, e raaklijn is an van e vorm 8+ Het raakpunt (, ) ligt natuurlijk op eze lijn us gelt 8 + 8 De raaklijn is: 8 8 a v () t t v () en w () t t w (). w'( ) > v'() e grafiek van w is steiler an ie van v in (, ). De grafieken zijn even steil als e hellingen gelijk zijn, us v'( t) w'() t t t Beie grafieken plotten en het snijpunt epalen geeft t 79,. a Voor t > is zijn snelhei a m/s ( ) () ( ) m/s t voor < t < () t avoor t > e f Dus is () ; ( ) ; () en ( ) 7 7 m/s a 7 (e snelhei) Ook moet ( ) 7 + en us is a - lazije 7 De helling van f is keer e helling van g. f () a 7 omhoog. De hellingen zijn hetzelfe. g () 7a f () f () f () 9 g () t, e h ( p) p Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel t Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v
8a s t s t t s t 8 s t 7 t s t s t t 9a Overal f () g () 9 g () lazije 7 a Plot e grafieken van f en g. Aflezen geeft, en, Uit f () g () volgt, 7 en Omat f( ), en us is P( ;, ) a L () t 7, t L ( ) B () t, < Omat B'( ) < L'() krimpt het hout sneller in e reete an in e lengte. Lt () Bt (), t +, t, t, t t of t, 7 7 Dus na,7 maanen is e plaat weer vierkant. L () t B () t, 7t,, t 9,, 7 a De grafieken zijn even steil us f () g () of f () maar e afgeleie van e funtie h moet je enaeren met a +, h ( +, ) h ( ) h (),, Voer eze enaering van h () en f () in e rekenmahine in en epaal e -oörinaat van het snijpunt. Je vint at voor, 8 eie ongeveer gelijk zijn. lazije 8 Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 8
a 8 Hoofstuk - De afgeleie f () f () of f ( ) Invullen van het punt (, f ( )) (, ) in + geeft + + De vergelijking van e raaklijn is + 9 8 7 9 8 7 7 8 9 7 8 9 f () g () oplossen met e rekenmahine geeft, 9 of 8,, of 9, 8, 7, De snijpunten zijn (,;, ) en ( 8, ; 7, ) Met ehulp van e grafiek en e oplossing van opraht a vint je < of, < < 8, f () f () en g() Dus moet, of, e De grafiek van f aalt sneller an ie van g voor, < < of < <, a V( ) m V t t Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v
e f g h a v 8 De grafiek is overal alen. Inhou tank De gemiele uitstroomsnelhei Benoige tij m /s. De tank stroomt het snelst leeg als v'( t) maimaal is. v'( t) t. Deze is maimaal voor t. 8 Op t stroomt e tank het snelst leeg. De regel is: e afgeleie van e som van een aantal funties is e som van e afgeleien van elk van ie funties. Dit geeft V () t + t 8 De gemiele uitstroomsnelhei is m /s. Dus moet gelen: V () t + t t t lazije 9 8 8 Toiletgeruik, koffie of thee zetten,. - Waarshijnlijk is e normale ruk atm., want at is e ruk op t - De ruk is atmosfeer na minuten en na 8, minuten. Dus, minuut. - De ruk neemt in e zese minuut af van atmosfeer tot,7 atmosfeer. Dus is e snelhei waarmee e ruk afneemt, atmosfeer per minuut. - D( ) 9, atm. - Dt () t t+ t t+ 8 ( t )( t 8) t t + t of t 8. De ruk is us minuten lager an atm. volgens het moel. - De snelhei waarmee e ruk e zese minuut afneemt is D() D(),,. Dus met, atm/min. Als t t+ minimaal is an is maimaal en t t+ t t+ minimaal. e Het minimum van t t+ vin je als e afgeleie is, us als t t 7 De minimale ruk volgens het moel is an D( 7) atm. net als in e grafiek. f De ruk mag op t 7 niet oner atm. komen, us voor t 7 en t t+ p aaruit volgt weer at t t+ p voor t 7 7 7+ p p t Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 8
8 Hoofstuk - De afgeleie lazije I-a Een roe stip is een afname; een groene stip is een toename. De temperatuur stijgt met C als e hoogte veranert van 9 naar km. e De groene staafjes zijn allemaal even lang. f + 8 C g De staafjes tussen twee meetwaaren zijn stees even lang, us is er sprake van een lineaire formule en liggen e meetwaaren op een rehte lijn. I-a I-a I-a lazije Filip was het langst ij e geoorte en Naomi was het langst na jaar. De grafiek van Naomi is an steiler. In e tael komt e lengte van Naomi stees ihter ij e lengte van Filip. De toenamen ij Naomi zijn groter an ij Filip. Lampje : uur en lampje : uur. Lampje : Afnamen ie stees groter woren toename hoogte 7 8 9 7 8 9 Lampje : Constante afnamen toename hoogte t in uren 7 8 9 7 8 9 Constante stijging Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel t in uren Noorhoff Uitgevers v
I- Stijging gaat stees sneller afnemene stijging, an stijging en vervolgens toenemene aling. 7 8 9 7 8 9 7 7 Hoofstuk - De afgeleie 7 8 9 7 Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 87
I-a 88 lazije A heeft km in uur gelopen. Hij ging snel van start maar gaat an langzamer lopen tot hij helemaal stilstaat en gaat an weer stees sneller lopen. De afstan en e totale tij zijn hetzelfe, maar nu via een rehte lijn. e gemiele snelhei is km/uur. Tijsinterval - - - - Toename tij Toename afstan 7 7 Gemiele snelhei 7 7 Tijsinterval e I-7a Toename tij Toename afstan,,,9,,,9,, Gemiele snelhei 9,,8,8,,,8,8 9, Hij liep sneller an zijn gemiele van het egin tot t,8 en aarna van t, tot het ein. Op twee momenten liep hij met e gemiele snelhei. Na seonen m/s m/s ; m/s ; m/s. van t tot t is e gemiele snelhei omhoog gelijk aan e gemiele snelhei omlaag van t tot t. Daarom is e gemiele snelhei van t tot t gelijk aan. m/s lazije I-8a f() 8; f( 9) 8 8 8, 9 I-9a, naam a interval - - -9 9- I-a Hoofstuk - De afgeleie iff. quotiënt 7 f() f() ( 8 ) ( 8 ) 8, 7 f(,) f( ) ( 8,, ) ( 8 ) 8, 8, 97,, Hoe kleiner het interval, hoe miner lijn en grafiek op at interval van elkaar vershillen. H() H() 8 7 H() H() 7 H() H() Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v
I-a - De grafiek van H is toenemen stijgen H(,) H( ),,,, H(, ) H( ),,,, Omat e grafiek toenemen stijgen is is het ifferentiequotiënt op [ ;, ] kleiner an op [ ;, ]. H(, ) H( ),, H(, ) H( ),, De uitkomsten naeren e waare, e helling van e grafiek in (, ). f(, ) f( ) (, ) ( ),,, f(, ) f( ) (, ) ( ),,, Naert ineraa e waare, e helling van lijn Je moet ook nog ontroleren of e lijn met vergelijking oor het punt (, f ()) (, 9) gaat. Geruik VU-grafiek. Met e shuifparameter vin je at voor het raakpunt, is ij 8, 8. De raaklijn wort an 9 88,. Ter ontrole neem je het ifferentiequotiënt op het interval [, ;, ]. f(, ) f(, ), 997 (, ), 9 9,.,,, lazije I-a, ; Helling, Vul e waare in. Je krijgt (, ) ; Helling 8 helling Helling is gelijk aan (, ;, ) I-a De formule voor e hellingsgrafiek is De formule voor e hellingsgrafiek is + lazije I-a De helling in het punt met is Raakpunt (, ) en e raaklijn heeft helling en is van e vorm + en gaat oor (, ), us. De raaklijn is Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 89
9 Het hellingsgetal is, us f'( ) Voor is f() 9Dus is het raakpunt (, 9 ). I-a f '( ) en f '( 7) f () I-a - f () f () f () 9 8 I-7a f () ; g () f () en g () De helling is, us e grafieken lopen horizontaal. f () en g () Dus is e grafiek van g het steilst in Q. De grafieken lopen even steil us f'( ) g'() ( ) of of 8, I-8a Voor t > is zijn snelhei a m/s ( ) () ( ) m/s t voor < t < () t avoor t > e f Hoofstuk - De afgeleie Dus is () ; ( ) ; () en ( ) 7 7 m/s a 7 (e snelhei) Ook moet ( ) 7 + en us is 7 Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel t Noorhoff Uitgevers v Noorhoff Uitgevers v
T- lazije 8 aantal ezoekers....... t in uren T-a R( ) R( ) 98 uizen euro. R( ) R( ) 88 uizen euro. De gemiele omzetstijging is R( ) R( ) euro/mahine respetievelijk R( ) R( ) euro / mahine R( 7) R( ) 88 7 uizen / etra mahine 7 R( 8) R( ) 88 uizen / etra mahine 8 R( 9) R( ) 97 88 uizen / etra mahine 9 Omat R( 9) < R( 8) oet e negentiene mahine e weekoprengst alen. T- De helling van f in (, ) is f f(, ) f( ),, De helling van g in (, ) is g g(, ) g( ),, Dus in het punt (, ) is e grafiek van g steiler an e grafiek van f in het punt (, ). T-a De gemiele snelhei is r r() r(), 8, 7 m/s t r r(, ) r( ) 7, m/s t, A π (()) r π 9 m A π r r ((, )) π ( ()) m /s t, Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 9
9 lazije 9 T-a k () t t k () k () t t k ( ) De helling van e grafiek van k voor t is k'( ) k () t t 8 t 7 Dus is t en is k( ) 8 Dus in punt (, 8) is e helling 8. e Omat e -as smmetrieas is, is e helling in (, ) tegengestel aan e helling in (, ). T-a p () 8 7 f () st () t + s () t t ht () ( t) + t t+ 9t + t + 9t h () t 8t e Nt () 9t N () t 8t f A ( u) g jt () ( t ) + t t t+ 9+ t t + 9 j () t 8t h h () r πr T-7a De val stopt als h 9, t t, Dus na, seone. Uit h () t 98, t volgt: h () ; h () 9, 8 ; h () 9en, h () 9, h (, ) 97, m/s T-8a Hoofstuk - De afgeleie h(, ) h( ), 8,, Dus is e gemiele valsnelhei ongeveer,8 m/s e h'( t), 8 98, t, 8 t, Na, seonen is e valsnelhei preies gelijk aan e gemiele valsnelhei. 8 t Er gaan twee raaklijnen aan e grafiek van f oor (, ). De eerste gelijkhei geeft aan at e grafiek van f en e lijn een punt (het raakpunt) gemeenshappelijk moeten heen. De tweee gelijkhei geeft aan at e hellingen van e grafiek en e lijn gelijk zijn. Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v
f () en f () a. Opgelost moet us woren: + a Invullen van e tweee vergelijking in e eerste geeft f'( ) a a a + a a a 8 a 8, 8 of a 8, 8 T-9a f () + een onstante Omat e afgeleie van een onstante is, zijn ermeerere mogelijkheen. P ligt op eie grafieken, us fa () ga () en eie grafieken heen in P ezelfe helling, us f () a g () a (kijk eventueel nog eens naar opraht T-8) Hoofstuk - De afgeleie Noorhoff Uitgevers v Moerne wiskune 9e eitie uitwerkingen havo B eel Noorhoff Uitgevers v 9