Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis
Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen..................................... 7. Optellen........................................... 8. Opgaven........................................... 8.4 Aftrekken...........................................5 Opgaven............................................6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken..........................7 Vermenigvuldigen...................................... 4.8 Opgaven........................................... 5.9 Delen............................................ 7.0 Opgaven........................................... 7. Delen op nul........................................ 7. Opgaven........................................... 8. Delen door nul....................................... 8.4 Nul gedeeld door nul.................................... 8.5 Machtsverheffen....................................... 8.6 Opgaven........................................... 8.7 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal................. 9.8 Opgaven........................................... 0.9 Delen van machten met hetzelfde grondtal........................ 0.0 Opgaven........................................... 0. Machten van machten................................... 0. Opgaven........................................... 0. Combinaties van bewerkingen................................4 Opgaven........................................... Breuken. De breuk........................................... Opgaven........................................... 4. Optellen van breuken.................................... 6.4 Opgaven........................................... 6.5 Aftrekken van breuken................................... 9.6 Opgaven........................................... 9.7 Vermenigvuldigen van breuken..............................
4 INHOUDSOPGAVE.8 Opgaven............................................9 Delen van breuken......................................0 Opgaven............................................ Een deel van een deel................................... 5. Opgaven........................................... 5. Decimale schrijfwijze.................................... 6.4 Opgaven........................................... 6.5 Procenten.......................................... 8.6 Opgaven........................................... 8 Korter schrijven 4. Opgaven........................................... 4. Optellen met letters.................................... 4. Opgaven........................................... 4.4 Meer letters......................................... 44.5 Opgaven........................................... 45 4 Rekenen met letters 47 4. Opgaven........................................... 47 4. Aftrekken.......................................... 49 4. Opgaven........................................... 49 4.4 Het tegengestelde van x+y................................. 54 4.5 Opgaven........................................... 54 4.6 Vermenigvuldigen...................................... 56 4.7 Opgaven........................................... 56 4.8 Delen............................................ 58 4.9 Opgaven........................................... 58 4.0 Machten........................................... 60 4. Opgaven........................................... 60 4. Delen van machten..................................... 6 4. Opgaven........................................... 6 4.4 Machten van machten................................... 6 4.5 Opgaven........................................... 6 4.6 Vereenvoudigen van breuken met letters......................... 64 4.7 Opgaven........................................... 64 4.8 Optellen en aftrekken van breuken............................ 65 4.9 Opgaven........................................... 66 4.0 Vermenigvuldigen van breuken.............................. 67 4. Opgaven........................................... 67 4. Haakjes wegwerken I.................................... 69 4. Opgaven........................................... 69 4.4 Haakjes wegwerken II................................... 7 4.5 Opgaven........................................... 7 4.6 (a + b)........................................... 75 4.7 Opgaven........................................... 75 4.8 (a + b)(a b)........................................ 76
INHOUDSOPGAVE 5 4.9 Opgaven........................................... 76 4.0 Haakjesvaria........................................ 79 5 Ontbinden in factoren 8 5. Ontbinden in factoren I.................................. 8 5. Opgaven........................................... 8 5. Ontbinden in factoren II.................................. 8 5.4 Opgaven........................................... 8 5.5 Ontbinden allerlei...................................... 86 6 Breuken 89 6. Vereenvoudigen....................................... 89 6. Optellen en aftrekken van breuken met letters...................... 9 6. Opgaven........................................... 9 6.4 Breuken met letters vermenigvuldigen en delen..................... 9 6.5 Opgaven........................................... 9
6 INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk Rekenen met gehele getallen. De gehele getallen De getallen 0,,,, 4,... heten de natuurlijke getallen. Ze worden aangegeven met het symbool N De natuurlijke getallen kunnen we op een lijn zetten: de getallenlijn. Met natuurlijke getallen kunnen we ieder tweetal getallen bij elkaar optellen. Maar als je alleen natuurlijke getallen gebruikt kun je niet ieder tweetal getallen van elkaar aftrekken. Zo kun je 5 wel uitrekenen als je alleen Natuurlijke getallen gebruikt, maar 5 niet. De rij getallen op de getallenlijn kunnen we naar links uitbreiden: De getallen..., 4,,,, 0,,,, 4,... heten de gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z De getallen,,,.. heten de positieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z + De getallen..., 4,,, heten de negatieve gehele getallen. Ze worden aangegeven met het symbool Z Twee getallen, zoals en - of 4 en -4, die slechts van teken verschillen heten elkaars tegengesteld 7
8 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN. Optellen Om na te gaan hoe je met gehele getallen kunt optellen zo dat het optellen met gehele getallen een voortzetting is van het optellen met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4 + = 7 4 + = 6 4 + = 5 4 + 0 = 4 4 + = 4 + = 4 + = 4 + 4 = 0 4 + 5 = 4 + 6 = 4 + 7 = De getallen en 4 in + 4 = 7 heten de termen. Het getal 7 heet de somvan en 4. We zien dat optellenmet een getal hetzelfde resultaat geeft als aftrekkenmet het tegengesteld De eigenschap dat je bij het optellen van natuurlijke getallen, bijvoorbeeld 4 + 6 de volgorde van de termen mag verwisselen: 4 + 6 = 6 + 4, heet de commutatieve eigenschap van het optellen. Omdat de gehele getallen een uitbreiding zijn van de natuurlijke getallen spreken we voor het optellen van gehele getallen af, dat we ook voor die getallen de volgorde in de optelling mogen verwisselen. Bijvoorbeeld: 4 + 6 = 6 + 4. Opgaven Som Schrijf het tegengestelde op van: 4 5 6 4 Som Schrijf de opgave over en reken zonder rekenmachine uit:
.. OPGAVEN 9 + + 4 + 8 8 + 5 + 6 + + 5 + 5 Som Schrijf de opgave over en bereken: 6 + 4 8 + 5 4 + 5 + 7 + 9 4 + 6 + 8 4 + 7 Som 4 Schrijf de opgave over en bereken: 5 + 8 9 + 7 + 8 9 + 5 4 + 7 4 + 7 4 + 7 4 + 7 Som 5 Schrijf de opgave over en bereken: + 8 6 + 7 5 + 4 9 + 6 6 + 5 + 4 + 5 + 7 Som 6 Schrijf de opgave over en bereken: + 6 4 + 4 + 7 +
0 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN + 7 5 + 5 8 + 9 0 + 0 Som 7 Schrijf de opgave over en bereken: 6 + 5 + 4 + 7 + 4 8 + 0 + 7 4 + 4 + 4 9 + 4 + 7 9 + 7 + 4 7 + 9 + 4 4 + 9 + 7 Som 8 Schrijf de opgave over en bereken: 7 + + 4 + 4 + 5 + + 0 4 + 5 + 6 + + + 4 + 5 + + 5 + 5 + 5 Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 7 + 4 + + 6 + 4 + 9 + 4 + 7 + + + 9 + 7 + 5 + 8 + 7 + 4 + 0 + 6 + 4 9 + 8 + 64 + 5 8 + 75 + + Som 0 Schrijf de opgave over en bereken: 9 + 5 + 6 + 9 + 5 6 + 9 + 5 4 + + 8 5 + + 0 + 5 4 7 + + 6 4 + 9 +
.4. AFTREKKEN.4 Aftrekken Hoe je gehele getallen van elkaar kunt aftrekken zo dat het aftrekken met gehele getallen een voortzetting is van het aftrekken met natuurlijke getallen maken we volgende tabel: 4 = 4 = 4 = 4 0 = 4 4 = 5 4 = 6 4 = 7 4 4 = 8 Dus: aftrekken met een getal levert hetzelfde resultaat als optellen met het tegengesteld.5 Opgaven Som Schrijf de opgave over en bereken: 4 8 8 5 5 5 8 Som Schrijf de opgave over en bereken 7 4 8 9 4 0 6 6 8 7 5 0 45 Som Schrijf de opgave over en bereken: 0 7 5 4 5 8 5 7 8
HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 7 8 4 Som 4 Schrijf de opgaven over en bereken: 4 4 54 67 45 455 867 45 94 857 645 746 Som 5 Schrijf de opgave over en bereken: 8 4 8 7 7 68 4 0 0 4.6 Gemengde opgaven optellen en aftrekken Som 6 Schrijf de som over en bereken 4 + 8 8 9 0 + 5 9 4 + 6 5 9 4 Som 7 Schrijf de som over en bereken 7 7 6 4 9 + 9 4 4 0 + 0 6 0 8
.6. GEMENGDE OPGAVEN OPTELLEN EN AFTREKKEN Som 8 Schrijf de som over en bereken + + + Som 9 Schrijf de som over en bereken 4 + 5 9 6 4 5 + 8 7 5 7 8 4 7 8 5 + 9 0 Som 0 Schrijf de som over en bereken: 4 8 + 7 + 9 4 5 9 + 5 4 6 + 8 0 4 9 + 5 5 Som Schrijf de som over en bereken: 8 45 + 7 5 8 6 4 + 7 5 7 9 5 + 9 8 8 8 7 7 Som Schrijf de som over en bereken
4 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN + 8 4 5 + 6 7 4 5 8 7 + 8 8 + 7 0 45 0 9 8 + 4 4 4 Som Schrijf de som over en bereken 5 + 8 6 8 4 + 7 7 9 + 9 9 7 5 6 + 4 8 7 6 0 + 7 + 9 Som 4 Schrijf de som over en bereken 7 + 4 8 5 + 5 + 5 6 + 8 7 5 0 0 + 5 + 6 5 + 47 8 Som 5 Schrijf de som over en bereken 9 + 5 7 8 5 + 6 4 9 + 7 7 + 0 5 5 5 + 5 7 + 9 + 4 6 8 4 + 4 7 9 5.7 Vermenigvuldigen Gehele getallen kun je net zo vermenigvuldigen als gehele getallen. We maken volgende tabel: 4 = 4 = 8
.8. OPGAVEN 5 4 = 4 4 0 = 0 4 = 4 4 = 8 4 = 4 4 = 6 4 5 = 0 Zoals 4 = 4 spreken we af dat deze eigenschap ook geldt voor vermenigvuldigen met gehele getallen: 4 = 4 Met deze eigenschap kunnen we de volgende tabel maken: 4 = 4 = 8 4 = 4 4 0 = 0 4 = 4 4 = 8 4 = 4 4 = 6 4 5 = 0 We zien dat voor vermenigvuldigen met gehele getallen geldt: positief getal positief getal = positief getal positief getal negatief getal = negatief getal negatief getal positief getal = negatief getal negatief getal negatief getal = positief getal.8 Opgaven Som 6 Schrijf de sommen over en bereken 4 7 4 7 5 8 7 9 6 9 8 6 7 5 Som 7 Schrijf de som over en bereken
6 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN 4 5 9 6 4 8 7 7 5 5 Som 8 Schrijf de som over en bereken 6 8 5 5 9 9 7 4 7 5 0 Som 9 Schrijf de som over en bereken: 6 4 5 6 8 5 7 4 9 4 8 5 4 Som 0 Schrijf de som over en bereken 6 8 7 5 9 0 7 8 4 5 8 7 5 4 4 4 0 Som Schrijf de som over en bereken 7 7 9 5 4 6 6 6 4 5 6
.9. DELEN 7 7 8 6 9 5 8 6 0.9 Delen 4 =, omdat 4 = Daarom is 4 = : Immers 4 = Zo is: 4 = omdat 4 = 4 = omdat 4 =.0 Opgaven Som Schrijf de opgave over en reken uit: 5 5 4 7 4 8 6 6 48 6 64 8 45 5 45 9 Som Schrijf de opgave over en reken uit: 44 6 6 8 6 5 6 5 6450 75 6450 75 508 6 508 6. Delen op nul 0 = 0, want 0 = 0. Net zo is 0 4 = 0 en 0 7 = 0
8 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN. Opgaven Som 4 Schrijf over en bereken 0 6 0 0 000 0 00. Delen door nul 0 =? Welk getal kan er op de plaats van het vraagteken staan? Als je op de plaats van? een getal denkt, dan moet 0? =. Maar je ziet dat er op de plaats geen enkel getal gezet kan worden. Dus: Delen door nul kan niet..4 Nul gedeeld door nul 0 0 =? Wel getal kan er op de plaats van??. Voor zo n getal moet gelden: 0? = 0. Maar dan kan op de plaats van? ieder getal staan. Daarom zeggen we 0 0 kan niet..5 Machtsverheffen 5 4 is de korte schrijfwijze van 5 5 5 5 Een uitdrukking als 5 4 heet een macht. De 5 heet het grondtal De 4 heet de exponent Voorbeelden:. 4 = 4 4 4 = 64. ( ) 4 = = 8. Pas op: 4 =.6 Opgaven Som 5 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht.
.7. VERMENIGVULDIGEN VAN MACHTEN MET HETZELFDE GRONDTAL 9 4 5 6 ( ) ( ) ( ) 4 Som 6 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 4 5 Som 7 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. 4 5 6 ( ) ( ) ( ) 4 Som 8 Schrijf de volgende machten als herhaalde vermenigvuldiging en bereken daarna de macht. ( ) ( ) 4 ( ) 5 ( ) 6 4 5.7 Vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal Omdat 7 4 = 7 7 7 7 en 7 5 = 7 7 7 7 7is 7 4 7 5 = 7 7 7 7 7 7 7 7 7 = 7 } {{ } } {{ } 9 4 factoren 7 5 factoren 7 Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, dan moet je de exponenten van die machten bij elkaar optellen.
0 HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN.8 Opgaven Som 9 Schrijf als één macht 4 6 0 5 0 6 4 4 7 7 7 7 4 8 0 0 4 4 0 5 5 5... 5 9 5 0.9 Delen van machten met hetzelfde grondtal 7 7 4 = 7 8 omdat 7 = 7 8 7 4 Als je dus twee machten met hetzelfde grondtal op elkaar deelt, dan moet je de exponenten van die machten van elkaar aftrekken..0 Opgaven Som 40 Schrijf als één macht: 9 5 5 4 7 4 0 6 0 45 4 5 5 5. Machten van machten 7 54 heet een macht van een macht. Het is de 4-de macht van 7 5 7 54 = 7 5 7 5 7 5 7 5 } {{ } 4 factoren 7 5 = 7 0 Als je een macht van een macht wilt schrijven als één macht, dan moet je de exponenten van de beide machten met elkaar vermenigvuldigen.. Opgaven Som 4 Schrijf de machten als macht van één grondtal:
.. COMBINATIES VAN BEWERKINGEN 7 45 4 ( ) 4 4 ( 4) 5 456 ( ) 456. Combinaties van bewerkingen Gevraagd: Bereken 4 + 5 6. Omdat 5 6 betekent 6 + 6 + 6 + 6 + 6 moet je bij 4 + 5 6 eerst 5 6 uitrekenen en dan pas bij de uitkomst 4 optellen. Dus vermenigvuldigen gaat voor optellen. 4 + 5 6 = 4 + 0 = 4 Zou je toch eerst 4 en 5 willen optellen, dan moet je haakjes gebruiken: (4 + 5) 6 = 9 6 = 54.4 Opgaven Som 4 Bereken: 4 5 + 6 4 + 5 6 4 + 5 6 + 7 4 + 5 + 6 7 4 5 + 6 7 (4 + 5) 6 + 7 4 + 5 (6 + 7) (4 + 5) (6 + 7) Som 4 Bereken: (4 5) (6 + 7) 4 5 6 + 7 4 5 6 4 5 6 (4 5) 6 ( 4 5) 6 4 5 + 6 7 4 5 + 6 7
HOOFDSTUK. REKENEN MET GEHELE GETALLEN Som 44 Bereken 4 + 5 6 7 4 + 5 6 + 7 4 5 6 7 (5 7) (5 9) (5 ) 5 9 5 (5 8) 0 (4 6) + Som 45 Bereken +8 5 48+8 4 4 6 8 4 + + 7 5 8+9 5 + 8 5 (9+8) 5 40 6 4 + +8 5 5 5 6 7 ( )
Hoofdstuk Breuken. De breuk Hieronder zie je hoe je op een getallenlijn de deling 6 je kunt voorstellen. Het deel van de getallenlijn vanaf 0 tot en met 6 is in drie gelijke delen verdeel Ieder deel heeft de lengte en het eerste deel loopt van 0 tot en met, precies het getal = 6. Zoals 6 kun je ook van de deling een voorstelling maken: De uitkomst van de deling noemen we de breuk. Het getal in de breuk heet de teller. Het getal in de breuk heet de noemer. Twee breuken met dezelfde noemer heten gelijknamige breuken. Dat = 6 kun je in het volgende plaatje zien:
4 HOOFDSTUK. BREUKEN Gevolg: Als je de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal(niet nul) deelt dan blijft de waarde van die breuk gelijk. Als je de teller en de noemer van een brei met hetzelfde getal(niet nul) vermenigvuldigt dan blijft de waarde van die breuk gelijk. Een breuk vereenvoudigje door de teller en de noemer door hetzelfde (meestal gehele) getal te delen. Met de uitdrukking 4 bedoelen we + 4 Voor 4 kunnen we ook 5 4 schrijven.. Opgaven Som 46 Laat met een getallenlijn zien: 0 5 = 0 = 5 8 4 = = 4 = 5 4 Som 47 Vereenvoudig de volgende breuken zover mogelijk: 4 0 5 0 5 8 9 8 48 64 40 60 0 45
.. OPGAVEN 5 Som 48 Vereenvoudig 6 4 7 7 40 5 8 4 46 48 6 Som 49 Vereenvoudig 60 6 44 6 44 6 44 44 4 0 0 46 84 5 7 Som 50 Vul het ontbrekende getal in: 4 =... 9 6 =... 66 7 0 =... 70 7 =... 46 7 =... 4 =... 4 5 6 =... 96 7 9 = 6...
6 HOOFDSTUK. BREUKEN. Optellen van breuken Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van + 5 = 7 Om twee breuken, waarvan de noemers gelijk zijn, op te tellen moet je de tellers van die breuken bij elkaar optellen en de noemers blijven gelijk. Voorbeeld Om 4 + 4 uit te rekenen moeten de breuken eerst gelijknamig gemaakt worden: = 8 4 = 9 Dus: 4 + 4 = 8 + 9 = 7 Voorbeeld: Bereken + 5 Uitwerking: = 5 5 = 8 5 Dus: 5 + 8 5 = 5 5 + 54 5 = 79 5 = 5 4 5.4 Opgaven Som 5 Leg uit hoe je 4 5 + 5 8 uitrekent. Som 5 Bereken
.4. OPGAVEN 7 + 5 4 + 4 + 8 + + 8 + 5 8 + 6 + 6 Som 5 Bereken 5 6 + 4 4 + 5 6 9 + 5 6 9 + 4 4 + 7 9 4 + 4 5 5 6 + 7 7 + 8 Som 54 Bereken 6 + 4 8 + 0 4 6 + 0 5 + 00 + 00 5 6 + 7 0 6 7 + 7 6 5 8 + 4 55 Som 55 Bereken 4 + 4 + 8 + 8 + 4 + 8 + 5 8 + 6 + 5 6 Som 56 Bereken 5 + 5 5 + 5 6 5 + 7 0 5 + 5 9
8 HOOFDSTUK. BREUKEN + 7 8 + 5 4 + 7 9 + 4 9 Som 57 Bereken 6 + 4 8 + 0 4 6 + 0 5 + 00 7 5 + 0 + 7 00 60 + 7 0 5 + 7 0
.5. AFTREKKEN VAN BREUKEN 9.5 Aftrekken van breuken Hieronder zie je op een getallenlijn de voorstelling van 7 5 =. Om twee breuken, waarvan de noemer gelijk is, van elkaar af te trekken moet je de tellers van die breuken van elkaar aftrekken en de noemers blijven gelijk..6 Opgaven Som 58 Maak de tekening met een getallenlijn om te laten zien dat 7 = 5. Som 59 Bereken 6 5 6 6 7 7 7 6 7 7 5 5 4 9 5 9 5 9 4 9 7 5 7 7 6 7 Som 60 Bereken 6 6 5 5 5 5 5 5
0 HOOFDSTUK. BREUKEN Som 6 Bereken 7 4 4 7 4 7 4 5 6 7 8 4 4 8 5 8 5 Som 6 Bereken 4 4 8 8 4 8 5 8 6 5 6 Som 6 Bereken 5 5 5 5 6 5 7 0 5 5 9 7 8 5 4 7 9 4 9 Som 64 Bereken 6 4 8 0 4 6 0 5 00 7 5 0 7 00 60 7 0 5 7 0
.7. VERMENIGVULDIGEN VAN BREUKEN.7 Vermenigvuldigen van breuken Voor de vermenigvuldiging van de breuken 5 en 7 maken we de volgende afspraak: 5 7 = 6 5 Twee breuken vermenigvuldig je door: teller teller en noemer noemer. Zo is: 5 = 8 6 5 = 8 5 = 8 8 5 4 Een geheel getal zoals 4 kun je ook al een breuk zien:. Dan is 4 5 = 4 5.8 Opgaven Som 65 Bereken en vereenvoudig het antwoord 5 4 9 7 8 Som 66 Bereken en vereenvoudig het antwoord 6 6 6 5 6 6 6 5 5 6 6 5 Som 67 Bereken en vereenvoudig het antwoord 5 9 9 5 7 5 7 0 4 7 8 9 6 8 6 9
HOOFDSTUK. BREUKEN 5 5 4 7 4 6 6 5 8 6 7 5 9 4
.9. DELEN VAN BREUKEN.9 Delen van breuken Want 8 = 4 Als we de uitdrukking 4 8 = 8 ook als breuk beschouwen, dan weten we dat we de teller en de noemer met hetzelfde getal mogen vermeningvuldigen: = 8 8 8 8 = 8 = 4 = 4 Belangrijk is het stukje: 8 = 8 Daarom zeggen we: Delen door een breuk (hier 8 levert hetzelfde antwoord als vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk ( 8 = 8) Zo is dus: = = 6.0 Opgaven Som 68 Bereken 4 7 7 5 5 5 Som 69 Ontbind in factoren
4 HOOFDSTUK. BREUKEN 6 6 4 7 5 4 6 5 4 6 8 4 8 4 8 4 5
.. EEN DEEL VAN EEN DEEL 5. Een deel van een deel Hieronder is deel van de oppervlakte van een rechthoek gearceerd: Hieronder is van het deel nu het 5 deel gearceerd: Het gearceerde deel is het 5 deel van de oorspronkelijke rechthoek. Dus het deel van het 5 deel is het 5 = 5 deel van het geheel.. Opgaven Som 70 Bereken wel deel van het geheel is: deel van het 4 deel. 5 deel van het deel. 7 deel van de helft. 5 deel van het 5 deel. 5 deel van het 5 deel.
6 HOOFDSTUK. BREUKEN. Decimale schrijfwijze In het getal 5 staat de voor 00 de voor 0 de 5 voor 5 Zo kunnen we 0 schrijven als 0,. 00 als 0,0, 000 als 0,00. En zo verder. Willen we 4 schrijven als decimale breuk, dan moeten we bepalen hoeveel tienden, hondersten, duizenden,..., er in 4 gaan. Om uit te rekenen hoeveel tienden er in 4 gaan, delen we 4 door 0 : Er gaan dus 0 in 4 en je houdt nog: 4 0 = 4 0 = 4 0 = 5 00 0 00 = 5 00 Dus 4 = 0 + 5 00 Een staartdeling is de korte, misschien bekende manier van opschrijven van het proces hierboven:.4 Opgaven Som 7 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze
.4. OPGAVEN 7 8 6 7 6 4 4 7 5 4 Som 7 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze 5 8 6 7 7 4 5 7 5 57 Som 7 Schrijf de volgende getallen als een breuk 0,45 0,54 0,0 0,75 0,7 0,65 0,00 0,875
8 HOOFDSTUK. BREUKEN.5 Procenten De oorsprong van het woord pro-cent is per honderd Als je leest: 4 is per 4, dan is per 4 gelijk aan 5 per 00. Het aantal per 00 is het percentage Dus 4 = 5% Om een breuk, zoals hier 4 in de vorm van procenten te schrijven, kun je als volgt te werk gaan: schrijf de breuk (hier 4 )in decimale vorm: 0,5 dit betekent 5 00 en dus is 4 = 5% Zo is 5% van 8 is dus 5 8 = 0, 5 8 = 9, 05 00.6 Opgaven Som 74 Schrijf de volgende breuken als procenten 8 7 4 5 6 4 0 4 9 Som 75 Schrijf de volgende breuken als procenten 5 5 5 7 7 6 8 0 9 Som 76 Schrijf de volgende percentages als breuk
.6. OPGAVEN 9 0% 5 % 5% 40% 45%,5% 65% 8% Som 77 Bereken 5% van 7 8% van 0 4% van 746 6 % van 847 8% van 89 4% van 748 0 % van 748 0, % van 0,5 Som 78 Hoeveel procent is: van van 0 van 50 0 van 500 78 van 8 8 van 78 0,4 van 8 9, van 8,7 Som 79 De prijs en de korting in procenten van de prijs zijn gegeven.bereken de nieuwe prijs: De prijs is euro. De korting is % De prijs is euro. De korting is 5% De prijs is 4 euro. De korting is 8% De prijs is 5 euro. De korting is 6% De prijs is euro. De korting is,% De prijs is,4 euro. De korting is,4% De prijs is 04 euro. De korting is 6,5% De prijs is 54 euro. De korting is 7,% Som 80 De prijs en de verhoging in procenten van de prijs zijn gegeven, bereken de nieuwe prijs: De prijs is euro. De verhoging is % De prijs is euro. De verhoging is 5% De prijs is 4 euro. De verhoging is 8% De prijs is 5 euro. De verhoging is 6%
40 HOOFDSTUK. BREUKEN De prijs is euro. De verhoging is,% De prijs is,4 euro. De verhoging is,4% De prijs is 04 euro. De verhoging is 6,5% De prijs is 54 euro. De verhoging is 7,% Som 8 De nieuwe prijs en de verhoging in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: De nieuwe prijs is euro. De verhoging was % De nieuwe prijs is euro. De verhoging was 5% De nieuwe prijs is 4 euro. De verhoging was 8% De nieuwe prijs is 5 euro. De verhoging was 6% De nieuwe prijs is euro. De verhoging was,% De nieuwe prijs is,4 euro. De verhoging was,4% De nieuwe prijs is 04 euro. De verhoging was 6,5% De nieuwe prijs is 54 euro. De verhoging was 7,% Som 8 De nieuwe prijs en de korting in procenten van de oude prijs zijn gegeven. Bereken de oude prijs: De nieuwe prijs is euro. De korting was % De nieuwe prijs is euro. De korting was 5% De nieuwe prijs is 4 euro. De korting was 8% De nieuwe prijs is 5 euro. De korting was 6% De nieuwe prijs is euro. De korting was,% De nieuwe prijs is,4 euro. De korting was,4% De nieuwe prijs is 04 euro. De korting was 6,5% De nieuwe prijs is 54 euro. De korting was 7,%
Hoofdstuk Korter schrijven 7 + 7 + 7 + 7 = 4 7 8 + 8 + 8 + 8 = 4 8 9 + 9 + 9 + 9 = 4 9 Zoals de drie regels hierboven kunnen we er nog veel meer opschrijven. Behalve 7 of 8 of 9 kun je ieder getal kiezen. Ook : + + + = 4 Merk op: Er wordt niets uitgerekend, maar alleen wordt 7 + 7 + 7 + 7 korter geschreven. Omdat het er niet toe doet welk getal je kiest kunnen we ook opschrijven: a + a + a + a = 4 a Zo n uitdrukking betekent:welk getal je ok voor a invult, of het 7 of 8 of 9 of is, altijd is a + a + a + a = 4 Notatie: In plaats van het -teken wordt ook wel eens een gebruikt. Maar meestal schrijft men bij een vermenigvuldiging helemaal niets tussen een getal en een letter. Dus: a + a + a + a = 4 a = 4 a = 4a. Opgaven Som 8 Schrijf korter: 6 + 6 6 + 6 + 6 6 + 6 + 6 + 6 + + 5 + 5 + 5 +... + 5 } {{ } keer 4 + + +... + } {{ } 5keer 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 7 + 7 + 7 + 7
4 HOOFDSTUK. KORTER SCHRIJVEN Som 84 Schrijf korter: a + a + a a + a + a + a a + a a + a + a + a + a b + b + b + b p + p + p x + x + x + x + x y + y +.. + y } {{ } 00keer Som 85 Bereken voor a = 4 : a + a + a a + a a + a + a + a a + a +.. + a } {{ } 0keer 4a 5a a 0a Som 86 Bereken: 4a voor a = 5 a voor a = a voor a = 5 5a voor a = 8 6a voor a = 8 8a voor a = 4a voor a = 0a voor a =
.. OPTELLEN MET LETTERS 4. Optellen met letters 4a betekent a + a + a + a 5a betekent a + a + a + a + a Dus 4a + 5a = a + a + a + a+a + a + a + a + a = 9a Net zo is: 0a + 0a = a + a +.. + a } {{ } 0keer + a + a +.. + a } {{ } 0keer = a + a +.. + a = 50a } {{ } 50keer. Opgaven Som 87 Bereken (schrijf korter): 5a + 7a 5a + a 8a + a a + 7a 4x + 8x x + 8x 8x + 57x 4x + 7 Som 88 Bereken: 5p + 0p p + p p + 5p p + p 7q + 5q q + 8q q + 48q 9q + 6q Som 89 Bereken: 7a + 6a + 4a 8a + a + 0a 9x + 9x + 9x 6p + p + 4p 4q + 6q + q 9q + 9q + 8q 5m + 6m + 5m z + z + z Som 90 Bereken:
44 HOOFDSTUK. KORTER SCHRIJVEN 4x + x + 5x + 8x 5b + 4b + b + b 8y + 4y + 0y + 6y p + p + p + 4p a + a + a + 5a 6z + 6z + 6z + 6z 8p + 6p + 4p + p 6m + m + 9m + 5m Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + a + 4a b + 4b + 5b c + c + 0c 4d + 5d + 6d p + p + p q + 4q + 5q x + x + x 5y + 5y + 5y Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 4a + a + a 6b + 4b + 9b + b 4c + 7c + c + c d + 9d + 7d + 5d p + 8p + 7p + 4p q + 0q + 6q + 4q 9x + 8x + 64x + 5x 8y + 75y + y y Som 9 Schrijf de opgave over en bereken: 9a + 5a + a 6b + 9b + 5b 6c + 9c + 5c 4d + d + 8d 5p + p + p 0q + 5q 4q 7x + x + 6x 4y + 9y + y.4 Meer letters De uitdrukking a + b kun je niet korter schrijven. a + b betekent dat je de getallen a en b bij elkaar wilt optellen als je weet hoe groot de getallen a en b zijn. De uitdrukking a + a + a + b + b + a + b kun je wel korter schrijven: a + a + a + b + b + a + b = 4a + Zo is dus 4a + 8a + 6b + 9b = a + 5
.5. OPGAVEN 45.5 Opgaven Som 94 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + b + 4a a + 4a + 5b a + a + 0b 4a + 5b + 6a a + b + b x + 4x + 5y x + y + y 5x + 5y + 5x Som 95 Schrijf de opgave over en bereken: 7a + 4a + b + b 6a + 4b + 9a + b 4a + 7 + a + a + 9b + 7b + 5a a + 8 + 7a + 4b a + 0b + 6a + 4b 9a + 8a + 64a + 5b 8a + 75b + b + b Som 96 Schrijf de opgave over en bereken: 9x + 5y + y 6x + 9x + 5y 6x + 9y + 5y 4x + x + 8y 5y + y + x 0x + 5x 4 7x + + 6x 4y + 9y + Som 97 Bereken (schrijf korter): a + 7a + 5b + 8b x + 8y + y + 4x 7p + 5q + 5p + 7q n + 5 + 8 + n 4p + p + 8q + q 7 + y + 8 + y 4a + 6b + 7b + 8a 7c + 0c + 8d + 7d Som 98 Bereken (schrijf korter):
46 HOOFDSTUK. KORTER SCHRIJVEN 4x + x + 6y + 5x + y 9a + a + 5b + 6a + a 7m + m + 5m + n + 0n 8q + 7 + q + 5q + a + 5 + 6a + 8 + 5a 6p + 4q + 9q + p + 5p p + 0q + p + 0q + p 6x + 5x + x + 8y + 7x Som 99 Bereken: 4a + b als a = en b = a + 5b als a = en b = a + 4b als a = en b = 5a + 8b als a = en b = 0 a + 5 + 6a + 8 + 5a als a = 6p + 4q + 9q + p + 5p als p = en q = p + 0q + p + 0q + p als p = en q = 6x+5x+x+8y +7x als x = en y = 0
Hoofdstuk 4 Rekenen met letters Twee getallen heten elkaars tegengestelde als hun som nul is. De getallen 7 en 7 zijn dus elkaars tegengestelde:7 + ( 7) = 0 Zo zijn de getallen a en a ook elkaars tegengestelde:a + ( a) = 0 Zo zijn ook a en ( a) elkaars tegengestelde want: a = a + a + a en ( a) = a + a + a en a + a + a + a + a + a = 0 Omdat ( a) = a geldt: a + a = 0. Dus het tegengestelde van a is a Voorbeelden: a + 8a = 5a 8a + a = 5a 4. Opgaven Som 00 Bereken: a + 8a 6a + 7a 5p + 4p 9p + 6p 6x + 5x x + 4x x + 5x x + 7x Som 0 Los op: m + 6m x + x 4p + 4p 7a + a 47
48 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS b + 7b 5k + 5k 8k + 9k 0z + 0z Som 0 Bereken: 6a + 5a + 4a a + 7a + 4a 8p + 0p + 7p 9x + 4x + 7x 4q + 4q + 4q 7a + a + 5a 6x + 6x + 6x 4p + 4p + 8p Som 0 Bereken: 7x + 4x + x + x 6b + 4b + 9b + b 4a + 7a + a + a + 9 + 7 + 5 p + 8p + 7p + 4p q + 0q + 6q + 4q 9 + 8 + 64 + 5 8x + 75x + x + x Som 04 Bereken: 7p + 4p + q 8x + x + 5y a + 5b + 5a 4p + p + 5 8x + 5 + 7 9a + 5a + 4b 6p + q + 8p 4p + 7 + 8
4.. AFTREKKEN 49 4. Aftrekken Zoals 7a + a = 0a is 0a 7a = a Omdat 0a + a = 7a zeggen we aftrekken is optellen met het tegengesteld 4. Opgaven Som 05 Bereken: 8a a 6a 7a 5p 4p 9p + 6p 6x 5x x 4x x 5x x 7x Som 06 Bereken: 4q 5q 6p p 4x 8x 6a a 4y + y 9p 9p 5x 5x 7z + 4z Som 07 Bereken: q 5q 5p p 5p p 5p p p 5p p 5p p 5p 5p p Som 08 Bereken:
50 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS q 0q 7c + c 8z 5z 9a + 5a 4b 7b q + 6q p + 5p 4a 5a Som 09 Bereken: 6c c x 6x 8z z a + 4a 5p + 4p q q 6a 5a 7z 7z Som 0 Bereken: a 5a + 6a 4x x x 6p + p 5p q 0q 9q 6d 8d + 5d 0y 7y 4y b + 4b 8b 7a 8a a Som Bereken: 5q 4q + q 6a 8a 0a x + 8x 6x p 8p + 7p 6b b 4b 9y + y y 4x 6x + 7x 6a 9a + 4a Som Bereken: 4a + 8b 6a b p 5q 8p + q x + 5y 4x 7y 8m 6n 4n + 4n
4.. OPGAVEN 5 7c 9d + 6c + 8d 4x 7x 6y + y 8a 4b 9b a 6p 7q 8q 9p Som Bereken: 9c 4d c + d 6a 5 9 6a 7x + 7y 5x 5y p q 7p + 7q 6y 7x x y 4p + 8q q + 4p b 8c 4b + c 4x 9x y y Som 4 Bereken: 4p 8q 6p + 5p q 5 + 5z 7 4 4x 4x + 7y 5y x b 6a a + a 4b q q 5q + q 6m 4m m 7n + n 8y 6z 4y 6z + y a 4b 9a 4b + 8a Som 5 Schrijf de som over en bereken 4a + 8a 8b b c 9c 0d + 5d p 9p 4q + 6q 5x 9x y 4y Som 6 Schrijf de som over en bereken 7a 7a 6b 4b 9c + 9c d d 4p 4p 0q + 0q 6x x 0y 8y
5 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS Som 7 Schrijf de som over en bereken a a b b c c d d p p q + q x + x y + y Som 8 Schrijf de som over en bereken 4a a + 5a 9b 6b b c c 4c 5d + 8d 7d 5p 7p 8p 4q q q 7x 8x 5x y + 9y 0y Som 9 Schrijf de som over en bereken: 4a 8a + a 7b + 9b b 4c c 5c 9d + 5d d p 4p p 6q + 8q 0q 4x 9x x y + 5y 5y Som 0 Schrijf de som over en bereken: 8a 45a + 7a b 5b 8b 6c c c 4d + 7d 5d 7p 9p p 5q q + 9q 8x 8x 8x 7y y 7y Som Bereken:
4.. OPGAVEN 5 a 5a + 6a als a = 4x x x als x = 6p + p 5p als p = q 0q 9q als q = 6d 8d + 5d als d = 0 0y 7y 4y als y = b + 4b 8b als b = 5 7a 8a a als a = Som Bereken: a 5a + 6b 5b als a = en b = 4x y x + y als x = en y = 6q + q 5p + q als p = en q = q 0q 9p p als p = 0 en q = a 5a + 6b 5b als a = en b = 4x y x + y als x = en y = 6q + q 5p + q als p = en q = 4 q 0q 9p p als p = 0 en q =
54 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.4 Het tegengestelde van x+y Het tegengestelde van x + y is (x + y) want (x + y) + (x + y) = 0 Maar: x + y + x + y = 0. Dus (x + y) = x + y of (x + y) = x y. Zo is ook: (x + y) = x y (x y) = x + y ( x y) = x + y 5x + (x 4y) = 5x x + 4y = x + 4y 4.5 Opgaven Som Schrijf zonder haakjes: (a + b) (a b) (a b) (a + b) ( a b) ( a + b) (4a b) ( 4a b) Som 4 Schrijf zonder haakjes: (x + y) (x y) (x y) (x + y) ( 4x 5y) ( x + 4y) (5x y) ( 5x y) Som 5 Schrijf zo kort mogelijk: 4a (a + b) 5b (a b) a + (a b) 6a + (a + b) 8b ( a b) a ( a + b) 4a (4a b) b ( 4a b)
4.5. OPGAVEN 55 Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a (a + b) 4b a (a b) + a a + (a b) 4b 4b + (a + b) a a ( a b) b a + b ( a + b) b (4a b) a a ( 4a b) b Som 7 Schrijf zo kort mogelijk: (4x + y) ( x + y) p + 5q (p + q) 6a 5b (a 4b) 8 (4c + 7) ( 4 c) 7q + p (p 5q) 4q 5x (4y 6x) + 4x y 4a (4b 4a) (5k ) ( + 7k) k Som 8 Schrijf zo kort mogelijk: (5x + 4y) ( x + y) 4p + 6q (p + q) 7a 6b (a 5b) 9 (5c + 8) ( 5 c) 8q + p (4p 6q) 5q 6x (5y 7x) + 5x 4y 5a (5b 5a) (6k ) ( + 8k) 4k
56 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.6 Vermenigvuldigen a = a + a + a 4 a = a + a + a + a + a + a + a + a + a } {{ } } {{ } } {{ } Anders: a = a, dus 4 a = (4 ) a = a = a Daarom is a 4b = a 4 b = 4 a b = ab 4.7 Opgaven Som 9 Schrijf zo kort mogelijk: + a + a + a = a } {{ } 4x.7y 6p.5 84d x.6y p.q 8b 4m.0 Som 0 Schrijf zo kort mogelijk: 4b 8q.p 7.x 5y.7z 5k.7 7p.q y.z 64b Som Schrijf zo kort mogelijk: 5 c p.7q 4x. 6y 8m.8n b 5x.6y p. 0q 9m. 4 Som Schrijf zo kort mogelijk:
4.7. OPGAVEN 57 4.k p. 6q 08b 5x.9y y.x 6k. m 5z. 7 Som Schrijf zo kort mogelijk: 5 6c 0x.5y. 7z 4p.q. r 7m. 8n. 5 7x. 5y. z p.8q. 4 9.4b 7. d
58 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.8 Delen 6a = a want.a = 6a 6a a = want = 6a Zo geldt ook: ab a 6ab b = b = a 6ab ab = a = 4a 4.9 Opgaven Som 4 4a 9b 5c c 4p p x x 8q 6q 0m 4 7a a Som 5 6bc 4b 4pq q mn 4 60ab 0ab 48pq 6q 5cd 5c 8ap 8ap a Som 6 x 5x 4y xy pq q 5a 0ab 7pm 7qm 6ab 4ab 8a 6b 5qr 0q
4.9. OPGAVEN 59 Som 7 pq p 7ad 5d 4m m 4a 7b 40cd 0c 5a 75a p 6q 5x 0x Som 8 6b ab 0x 40x 6pq 4pq 9a b 56 8xy 8p 4qr 7ab 7ac x 4 Som 9 4x.6y y 0q 5q pq 8xy 6c y 6pq 4p p 9ab 5b 6a 0ab 5b 54p 6p q 8mn.n
60 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.0 Machten 4 =... Net zo is a 4 = a a heet het grondtal en 4 heet de exponent. Dus a.a 4 = a } {{ }. } a {{ } = a 7. Je kunt dus twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigen door de exponenten van die machten bij elkaar op te tellen. Dus: x 4 x 5 = x 9 En 5x 6x 4 = 0x 7 4. Opgaven Som 40 Schrijf zo kort mogelijk: 4 x 5.x x 4.x 6 p.p a 7.a q 7.q 5 z 8.z c 4.c 4 b 9 Som 4 Schrijf zo kort mogelijk: m 0.m 8 p.p 4 a.a 7 q 8.q d 5.d 5 y.y 8 a 6 q 0.q 4 Som 4 Schrijf zo kort mogelijk: k.k 6 z 7.z 8 p 5.p 5 x.x 4 n 5.n 8 a 7.a c 0.c 0 y 9.y 6 Som 4 Schrijf zo kort mogelijk:
4.. DELEN VAN MACHTEN 6 a 5.a 6.a 7 p.p.p 6 z 4.z 4.z 4 q.q.q x 0.x 5.x b b 5.b 8 d.d 5.d k 6.k 8.k 0 Som 44 Schrijf zo kort mogelijk: 6a 4.a 5 7p.p 4 8x 5.4x 5 5q.8q 0 9c. 9c 4 5x. 7x 0m 4.5m 6 p. p Som 45 Schrijf zo kort mogelijk: 4c 4. 4c 8 m 5.m 5.m 5 q 7. q 7.5q 7 y.y.y 4k 4.4k 4.6k 6 n. 6n 6. n a.a 0.0a b. b 4. Delen van machten x 6 x = x.x.x.x.x.x 4 x.x.x.x = x Als je twee machten met gelijk grondtal op elkaar deelt, worden de exponenten van elkaar afgetrokken. Zo is: x 9 x = x 6 6x 5 x = x 4. Opgaven Som 46 Schrijf zo kort mogelijk:
6 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS x 6 x q 7 q 6 a 7 a b 5 b p p 5 Som 47 Schrijf zo kort mogelijk: 7a 4 7a 4 5m m 8y 7 y 6 y y c 6 c 4 z 5 z 8x 5 4x 5z 4 5z 5p 5p 4c 6 8c Som 48 Schrijf zo kort mogelijk: 6q 5 4 4a b 5 ab 8m 5 n 4mn 8x 7 y 7 x 4 y 6 4p y 5 8p y 5 0p 4 q 5 0q 0b 4 c 5b 5c 6 d 8 c d 48a 5 b 6 ab 5 4.4 Machten van machten (a ) 4 = a }.a {{.a.a } = a a a a = a 4keer (a b ) 4 = a b a b a b a b = a b 8 Zo is: (x ) = x 9 (x 5 ) 6 = x 0 ( a ) = a a = a 6 (a ) = a 6 4.5 Opgaven Som 49 Schrijf zo kort mogelijk:
4.5. OPGAVEN 6 (a ) 5 (x 4 ) (p 5 ) (b ) 7 ( p 5 ) (x ) 6 ( y ) 5 (b 6 ) Som 50 Schrijf zo kort mogelijk: (a b ) 4 (c 5 d ) ( x y 5 ) (c 5 q ) (c 5 q ) ( a 5 p ) 5 (b x) 4 ( y z ) Som 5 Schrijf zo kort mogelijk: (a 4 b ) (a b 5 ) ( x 5 y ) 4 (x y) ( c d 5 ) ( cd ) (p 5 x ) 4 ( p x 4 ) ( q 5 r 5 ) 5 ( q r ) (a 4 y ) 4 ( a y) 4 (b 4 p 6 ) 4 ( b p) 4 (m 5 n ) 4 ( mn )
64 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.6 Vereenvoudigen van breuken met letters 4.7 Opgaven Som 5 Vereenvoudig 5a 5 6p p 8b 0x 4 6y 8 4q 6q 8z 7z 4m Som 5 Vereenvoudig 8n n 0d d 5c 5c k k 8n 6n 60c 0 0c 60 0c 60c Som 54 Vereenvoudig 5x x x x 8p 6 6q 9q 4a 6a 60ab 0b 4z 0x 0x Som 55 Vereenvoudig 7x 4 x 4k k 8a 4 6a 7c c 5d 5 7d 0pq 4pq
4.8. OPTELLEN EN AFTREKKEN VAN BREUKEN 65 k k Som 56 Vereenvoudig 6a b 8ab 54pq 6p 48x xy 40m 0mn Som 57 Vereenvoudig 5a 0ax 5m 5n a 4ab 8x 54xy 4km 0m 6cd 64cd x x 5 8p q pq 8z 5 7z 0b 8ab a b 5a b 7y z 8yz Som 58 Vereenvoudig 5m 5 n 4 0m n 6 0p 4 y 0p 5p 5 q 4 p q 50b q 4 0b q 5 7ap 5a p 9a b 7a 5 b 4 0k m 7 45k m 5 5y z 5y 4 z xy 4 4xy 4 4.8 Optellen en aftrekken van breuken Zoals 7 + 7 = 5 7 is ook 4p 7 + 5p 7 = 9p 7 Dus: 4 a + 6 a = 0 a En a + a a = } {{ } 6 + a = 5a } {{ 6 6 } nietgelijknamigebreuken gelijknamigmaken
66 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.9 Opgaven Som 59 Schrijf zo kort mogelijk: p + p 5p 4 p 4 p p 6xy 7 + xy 7 p 4 + p 4 4k 5 k 5 5p 4 + p 4 9xy 0 4xy 0 Som 60 Schrijf zo kort mogelijk: 4 x x 4 x + a x a 4 + b 4 a x + b x a 5b c 5b + b 5b + c 5b ap + ap ap + q ap Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a + a a a a a b 4 + c a + 5a a 5a ab 6 + ab 5 a a + a 5a Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a + 5 a p q + p 5x y + x 4k 5 + m 5 b 4 + a b b a + a b b c + c b d 5e + e d
4.0. VERMENIGVULDIGEN VAN BREUKEN 67 4.0 Vermenigvuldigen van breuken Zoals 4 5 = 8 5 a b c d = ac bd en a b c d = ac bd zo is: 4. Opgaven Som 6 Schrijf zo kort mogelijk: a a b 4 5 4 5 a b 4 5 b 4 5 a a 4 b a a b b 4 Som 64 Schrijf zo kort mogelijk: a b c d a b c d a b c d a b c 5d p q 4x y q x y 4tx y 4 5z ab c d pq Som 65 Schrijf zo kort mogelijk: 5 a 5 a 4b b 6ab 0 5 bc 5ab 7cd 00p 0q ce 0ab 9q 5p abc pq 4p bcd pq 6p q pt 6q 4qy 4yt Som 66 Los op:
68 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS a 4 8 a 6x y x x 9y 8p a a 4p x 4 6p p 4x 5 ab p ab 4q p a b q b x 4 6p 9xz z p 4x 4 4p pz
4.. HAAKJES WEGWERKEN I 69 4. Haakjes wegwerken I Zoals a = a + a + a is (a + b) = a + b + a + b + a + b = a + b Dus: (a + b) = 6a + 9b (a b) = 6a 9b (a + b) = 6a 9b (a b) = 6a + 9b a(a + b) = a + ab a(a + 4b) = 6a + 8ab 4. Opgaven Som 67 Werk de haakjes weg: (a + b) (a b) (a + b) (a b) ( a + b) (a b) (a + ) ( a ) Som 68 Werk de haakjes weg: ( a + ) ( a) ( a) (a b) ( a + ) (a b) (a + ) ( a ) Som 69 Werk de haakjes weg: 5( + a) (a b) (a + 4b) ( a + b) 4 (a 4b) 6( a + ) 5(5 a) ( + 5a)
70 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS Som 70 Werk de haakjes weg: 4(a + ) 4(a ) (a 6b ) (a + b) (a b) (a + b 4( a + b) 4(a b) Som 7 Werk de haakjes weg: (a b) (a b) (a 5b) (a 5b) 6(a q) (p q) (b + c) (ab + c) Som 7 Werk de haakjes weg: a(p + q) a(p q) a(p + q) a(p q) a(p + q) a( p + q) a( + c) (c )a Som 7 Werk de haakjes weg: a(a + b) b(a + b) b(a + b) b(a b) b(a + b) b(a b) a(a ) a( a b) Som 74 Werk de haakjes weg:
4.. OPGAVEN 7 a(a ab) a(ab a) a(ab b) a(a + ab) a( a 4ac) a(5 a) a(5a ) 4a(a ac) Som 75 Werk de haakjes weg: a (a + 5) a(a 5) a (a 5) a (a 5a) a (a 5ab) a (ab 5a b) a(a ab) a (a b) Som 76 Werk de haakjes weg: pq(p p q) p (p pq) p (p p q) 4c(c + c) 4ac(ac + 4z) 4ac(a c + 4z) p(p p) p(p p) Som 77 Werk de haakjes weg: pq(p p) pq(p q) q (p q) xy(x x) x (x x) x (x y) xy(xy y ) x (xy x ) Som 78 Werk de haakjes weg ( p p )( p ) (x 4 + x + ) 4x 4 ( a b + ab )( ab ) x (x n + )
7 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS a n (a n a n ) pn (pn+ + 4p ) a n ( a + a n+ a n b(a n+ b n + ab ) 4.4 Haakjes wegwerken II Zoals we zagen geldt: p(a + b) = ap + bp Dus ook geldt: (a + b)p = ap + bp (a + b) (c + d) } {{ } p = a p }{{} (c+d) +b p }{{} (c+d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd Zo is (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (a + b)(c d) = ac ad + bc bd (a b)(c d) = ac ad bc + bd (a + )(a + ) = a + a + a + 6 = a + 5a + 6 (a + b)(4a + 5b) = 8a + 0ab + ab + 5b = 8a + ab + 5b 4.5 Opgaven Som 79 Werk de haakjes weg: (a + b)(c + d) (a + b)(p + q) (c + d)(e + f) (a + b)(c + ) (a + )(b + c) (a + b)( + d) (a + b)(c + d) (a + b)(c + d) Som 80 Werk de haakjes weg: (p + q)(t + v) (p + q)(t + ) (5a + 4)(b + ) ((4x + y)(a + b) (4x + 4)(y + z) ( + 4a)( + b) ( + a)(b + ) (p + q)(4 + t) Som 8 Werk de haakjes weg:
4.5. OPGAVEN 7 (a + b)(c d) (a + b)(p q) (c d)(e + f) (c d)(e f) (a + )(b c) (a + )(b 4) (a )(b 4) (a + )(b 4) Som 8 Werk de haakjes weg: (a b)(c d) (5a + )(b ) (x y)(a + b) ( a + b)(c d) ( a b)(c d) ( a + b)(c 4) (6p )( q) (a 4)( b + 4) Som 8 Werk de haakjes weg: (x + )(x + 4) (x + )(x + 5) (x + 6)(x + ) (p + )(p + ) (p + )(p + ) (y + )(y + 7) (y + 8)(y + ) (k + )(k + 5) Som 84 Werk de haakjes weg: (z + 4)(z + ) (z + )(z + 8) (c + )(c + 7) (c + )(c + 6) (a + )(a + 9) (a + 0)(a + ) (b + )(b + ) (b + 4)(b + 0) Som 85 Werk de haakjes weg: (a )(a ) (a 5)(a 7) (a 4)(a ) (x )(x )
74 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS (x + )(x ) (y + 6)(y ) (t 6)(t ) (x 4)(x ) Som 86 Werk de haakjes weg: (x + )(x 5) (x )(x 5) (x )(x + 5) (x + )(x + 5) (a 5)(a 5) (y )(y ) (x 4)(x 4) (6y + )(y + ) Som 87 Ontbind in factoren (x + )(x + 4) (x + )(x + 5) (a + b)(a b) (a + b)(a b) (p + )(p + ) (p + )(p + 4) 4y y(y + ) (y )(y ) 5a a(a b) (a b)(a + b) (x )(x ) x(x ) a(a + )(a + ) a (a + ) (x a)(b c)+(x b)(c a)+(x c)(a b)
4.6. (A + B) 75 4.6 (a + b) Zoals a = a a, zo is (a + b) = (a + b)(a + b) = a + ab + b Dus:(a + b) = a + ab + b Met woorden erbij: (a + b) = a }{{} deeersteinhetkwadraat Net zo is: (a + ) = a + 6a + 9 (a 4) = a 8a + 6 (a + b) = 4a + ab + 9b + ab }{{} hetdubbeleprodukt + b }{{} delaatsteinhetkwadraat 4.7 Opgaven Som 88 Werk de haakjes weg: (a + b) (a + b) (a + b) (a b) ( a + b) (a + b) (5a b) ( a + b) Som 89 Werk de haakjes weg: (a + ) (a + ) (a + ) (a ) ( a + ) (a + ) (5 b) ( + b) Som 90 Werk de haakjes weg: (a + 0b) (7a + 8b) (5a + b) (a b) ( 5a + 5b) (a + b) (5a b) ( a + b)
76 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS 4.8 (a + b)(a b) Haakjes wegwerken in de uitdrukking (a + b)(a b) levert het volgende resultaat: (a + b)(a b) = a ab + ab b = a b Dus(a + b)(a b) = a b we zeggen:(a + b)(a b) is het verschil van twee kwadraten n.l dat van a en dat van (a + b)(a b) = a b } {{ } hetverschilvantweekwadraten Zo is: (a + b)(a b) = 4a 9b (a b)(a + b) = a b (a )(a + ) = a 9 (a + 5)(a 5) = 4a 5 4.9 Opgaven Som Som 9 Werk de haakjes weg: (a + b)(a b) (a + b)(a b) (a + b)(a b) (a b)(a + b) ( a + b)(a + b) (a + b)(a b) (5a b)(5a + b) (a + 5)(a 5) Som 9 Werk de haakjes weg: (a + )(a ) (a + 7)(a 7) (a + )(a ) (a )(a + ) ( a + b)(a + b) (a + b)(a b) (5a b)(5a + b) (0a + 5)(0a 5) Som 9 Werk de haakjes weg:
4.9. OPGAVEN 77 (x + y)(x y) (a + 7)(a 7) (a )(a + ) ( a + )(a + ) ( b + 5)(b + 5) (t 8)(t + 8) (c d)(c + d) (k + 0)(k 0) Som 94 Werk de haakjes weg: (a )(a + ) (a + 4)(a 4) (a + )(a ) (a + )(a ) (5a + 7)(5a 7) (9 + 5a)(9 5a) (a + b)(a b) (5x y)(5x + y) Som 95 Werk de haakjes weg: (a + b)(a b) ( + b)( b) ( b)( + b) (6a + 5)(6a 5 ( + 7y)( 7y) (6a 5y)(6a + 5y) (ab 4)(ab + 4) (xy 7)(xy + 7) Som 96 Werk de haakjes weg: (x y)(x + y) (4z + t)(4z t) (8x + y)(8x y) (5a b)(5a + b) (x + 4)(x 4) (x )(x + ) (x + y)(x y) (x + y)(x y) Som 97 Werk de haakjes weg: ( xy)( + xy) (t + y )(t y ) (8 + x )(8 x ) ( x + )( x )
78 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS ( x + )(x + ) (ab + cd)(ab cd) (a + cd)(a cd) (x + y)(x y) Som 98 Werk de haakjes weg: (a + b)(a b) (a + 4b)(a 4b) (a + 7b)(a 7b) (a b)(a + b) ( 5a + b)(5a + b) (a + b)(a b) (5a b)(5a + b) (7a + 5)(7a 5) Som 99 Gebruik merkwaardige producten (p + p + )(p + p ) (x x )(x x + ) (a a + )(a a ) (t + t 4)(t t 4) (x x + )(x + x + ) (a 4a + 8)(a + 4a + 8) (m + m + )(m m ) (c + c + )(c c )
4.0. HAAKJESVARIA 79 4.0 Haakjesvaria Som 00 Werk de haakjes weg (xy + ab) (xy 4xz) (xy 4xy) (4x + 4 xy) (x ) (a ab) (x y ) (x 4 + x ) Som 0 Werk de haakjes weg ( a + ab) x(x + x ) (x x ) x (x + x ) x ( x) ( x + y ) ( x x ) ( a b + b a ) Som 0 Werk de haakjes weg (x y)(x + y) ( y )( y ) ( y + )( y ) ( x )( x + ) (x x)(x + x) ( a + )( a ) ( + x )( x ) ( x + x )(x + x ) Som 0 Werk de haakjes weg (x ) (x + ) (x )(x + )(x + ) (x )(x + )(x ) (x 4)(x + 4)(4x + 6) (x )(x + )(9x ) (x 7)(x + 7)(x 7)(x + 7) ( x)( + x)( 9 + x ) (x 4 + )(x + )(x + )(x ) Som 04 Werk de haakjes weg
80 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET LETTERS ( x )( 4 x ) ( x )( x ) ( x + 7)( x ) ( a + a)( a ) ( 5a )( a + 0 ) (x x)( x + ) (ab ad)(a + d) ( x )( x ) Som 05 Werk de haakjes weg ( x + xy)( y + x) ( x)( y) (y + y )(y ) y (p + p )( p + p ) (x 5x)(x + 5x ) ( x)( 4 x) p(p + p + ) p (p + ) ( x )(a + d)
Hoofdstuk 5 Ontbinden in factoren 5. Ontbinden in factoren I We weten: a(b + c) = ab + bc Omgekeerd: ab + bc = a(b + c) We hebben de uitdrukking ab + bc in(twee) factoren ontbonden. Namelijk de factoren a en b + c Zo kunnen de volgende uitdrukkingen als volgt in factoren worden ontbonden: x + 6 = (x + ) x + = (x + 4) a + ab = a(a + b) a + = (a + ) a + a = a(a + ) 5. Opgaven Som 06 Ontbind in factoren x + 9 x + 8 5x + 5 6a + 9b 6a 0b 6a 0 6a 6 4 8a Som 07 Ontbind in factoren 8
8 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN 5x + 7y 5x + 70y 40x + y 40 + y 6 + 6x x 88y 4a + 8b + 6c 0x + 5y + 0z Som 08 Ontbind in factoren 4ab + 6a 8b 6bc 7xy + 7yz 7xy 7pq 8xz 4z 6y + 8yz 4xy + x 00a 0ab Som 09 Ontbind in factoren 5cx 5xy 5cy 5xy 8pq px 00xy 0x 00x 0y 8pq + py xyz 6xy xy 6xyz Som 0 Ontbind in factoren x + x x 6x x 6x x 6x 8xz 4z 6x 4x + x 5x 0x Som Ontbind in factoren 5x + 6x 6x 54x 5x 7 x 6 80x 5 x
5.. ONTBINDEN IN FACTOREN II 8 5x y 6x y + 4xy 6x y + 4x 7x y 8xy 5. Ontbinden in factoren II (x + )(x + ) = x + x + x + 6 = x + 5x + 6 Kijken we,omgekeerd, naar x + }{{} 5 x+ }{{} 6 dan kunnen we die uitdrukking in factoren ontbinden:x + + 5x + 6 = (x + )(x + ) Ontbinden we x +6x+8 dan moeten we zoeken naar twee getallen die 6 zijn als je die twee getallen bij elkaar optelt en 8 als je die twee getallen met elkaar vermenigvuldigt: Met proberen vind je: + 4 = 6 en 4 = 8 Dus x + 6x + 8 = (x + )(x + 4) of x + 6x + 8 = (x + 4)(x + ) Zo is: x + 8x + = (x + )(x + 6) want + 6 = 8 en 6 = x + 8x + 5 = (x + )(x + 5) want + 5 = 8 en 5 = 5 x + 7x + 0 = (x + )(x + 5) x + 9x + 0 = (x + 4)(x + 5) x 5x + 6 = (x )(x ) x + x 0 = (x + 5)(x ) 5.4 Opgaven Som Ontbind in factoren a + 5a + 6 x + 5x + 6 x + 7x + 6 x + 6x + 8 x + 9x + 8 x + 8x + x + 7x + x + x + Som a + 0a + 4 x + 0x + 4 x + 4x + 4 x + x + x + 8x + x + 6x + 48 x + 4x + 48 x + 6x + 48 Som 4 Ontbind in factoren
84 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN x + x + 0 x + 9x + 0 x + x + 6 x + 7x + 6 x + 0x + 6 x + 5x + 6 x + x + x + 70x + 69 Som 5 Ontbind in factoren x + 4x + 80 x + 8x + 80 x + 4x + 44 x + 74x + 44 x + 40x + 44 x + 0x + 44 x + 6x + 8 x + 40x + 76 Som 6 Ontbind in factoren x 5x + 6 x 7x + 6 x 0x + 9 x 6x + 9 a 6a + 5 a 5a + 6 x 7x + 0 x x + 0 Som 7 Ontbind in factoren x 0x + 4 x 4x + 4 x 0x + 6 x x + 6 a a + 0 a 0a + 4 x 4x + 40 x x + 40 Som 8 Ontbind in factoren x 9x + 4 x 5x + 4 x x + a 8a + 5
5.4. OPGAVEN 85 a 6a + 5 a 9a + 8 x x + 8 x 9x + 8 Som 9 Ontbind in factoren x 7x 0 x + 7x 0 x x 0 x x 0 x 9x 0 x + 9x 0 x 6x 6 x + x 5 Som 0 Ontbind in factoren x 4x 0 x + 4x 0 x 6x 0 x x 0 x 58x 0 x + 58x 0 x x 64 x + 4x 60 Som Ontbind in factoren x 4x x 5x 4 x + x 56 x 4x 5 x x 5 x 8x 0 x + x 48 x 6x 7 Som Ontbind in factoren x 8x + 5 x + 0x 5 x 8x + 5 x + x + 5 x + 4x + 49 x x + 54 x + 6x + 60 x x 48
86 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN 5.5 Ontbinden allerlei Som Ontbind in factoren x 6x x p = 7pq + 0q 4a 6b 9x 6x + c 5c 50 7x + 49 4x 6 Som 4 Ontbind in factoren 6x + x + 6 y z y 4y k kt + t ax ay a a 08 a 4a 0 a 4a Som 5 Ontbind in factoren x x x x x x x y + 4xy + 4x y x 4y a + a 5 xy xy t 6t 40 Som 6 Ontbind in factoren a 8 x + 5x + 56 x 4y + 6 6p p + 5p 6 4a ab + 9b t 4 x x 4 Som 7 Ontbind in factoren
5.5. ONTBINDEN ALLERLEI 87 x y 9x y 8 z x + 9x + 6 x + 6x + 9 x + 6x 55 6a 6ab 6a 6ab x 6x + Som 8 Ontbind in factoren k + 5k 6 x + x + 4 6 5y + y x 6p x x + 4 x 8x 4 x 8x 6 x + y Som 9 Ontbind in factoren x + x + 0 x 54x 60 x + 7x 60 x 49x + 60 x 7x + 64 x + x + 900 z 4 + 8z 09 z 50z + 65 Som 0 Ontbind in factoren y + y + x 9 x 70 (x + y) + x(x + y) y(x + y) + x(x + y) (a + c) + b(a + c) a(a + c) + c(a + c) ( + t)4 ( + t)t a(a + b) + b(a + b) Som Ontbind in factoren x y + 6xyz + 64z x xy + y 4 x xz + 4z x 4 0x + 9
88 HOOFDSTUK 5. ONTBINDEN IN FACTOREN a 5 + a x 6x + x a 5 a p (t 4) q (t 4) Som Ontbind in factoren 5a b 5abc 70c x 6x 44x 7 x + 5x + 7 x 4 4x + 4 x 4 8x + 6 x 4 6x + 9 (x 8x 9) (x 9) Som Ontbind in factoren a(x ) b(x ) (x + y) z(x + y) (a + b) + (a + b) (x y) (x y) (a + b) a(a + b) x(x + y) (x + y) x(x y) (x y) (x + y) x(x + y) Som 4 Ontbind in factoren ab + ac + bp + cp ab ac + bp cp a ab + ac bc ab + cd + ac + bd a ab ac + bc x y + x + y + a a + 4a 8 x x x + Som 5 Ontbind in factoren x + xy + y z 4x + 4xy + y 5 9x + 4xy + 6y x 4xy + 4y z 4x 4xy + y 6x + 9x 9y a + b 6ac 9c 4x + x + y 9
Hoofdstuk 6 Breuken 6. Vereenvoudigen Som 6 Vereenvoudig de volgende breuken xy z x y (a+b) (a b) (a b) (a+b) 5x 4 y 5 z 0x y 4 z 4 x y y x 5ax 0arx a (a b) a(b a) (x+y) x(x+y) (a b) (b a) Som 7 Vereenvoudig a b a +ab x x x x xy x +xy a a a 4 a b (a+b) ab a ab b Som 8 Vereenvoudig p n p n x xy+xz xy y +yz 89
90 HOOFDSTUK 6. BREUKEN a 4a+4 a 4 x 4x+ x x+ x xy+y x y x 0x+ x 6x+9 x +5x+4 x +7x+ x 4x 4x x 5x+6 x 4 Som 9 xy xz y +yz xy+xz y yz De volgende breuken zijn te vereenvoudigen. Bereken telkens x a x 5 x x a x a x 4 x a x x x a x 4 x a x 5x+4 x a x x+6 x a x 0x+64
6.. OPTELLEN EN AFTREKKEN VAN BREUKEN MET LETTERS 9 6. Optellen en aftrekken van breuken met letters Zoals we bij het optellen van breuken met getallen gezien hebben: Net zo tel je twee breuken met letters op: 7 + 7 = 5 7 Voorbeelden:. 5 a + 7 a = a 4. x + 8 x = x a. a+b + b a+b = a+b a+b = a 4. x a b x + b x = a (a b)+b x = b x En als de breuken nog niet gelijknamig zijn:. 4 + 5 = 5 0 + 8 0 = 0. a + b = b ab + a ab = b+a ab. x x+ x x+ = x(x+) x(x+) (x+)(x+) = x (x+)(x+) 6. Opgaven Som 40 Herleid tot de eenvoudigste vorm x y x x p + x p a b a a b + + yx x p a ab b b b a x x x x x x y y x y p p q q p q x x x x Som 4 Herleid tot de eenvoudigste vorm p p + p x y y z x + y m n + n m
9 HOOFDSTUK 6. BREUKEN p pq bc + ac x yz y xz a a Som 4 Herleid tot de eenvoudigste vorm a+c c a a + a c a a+b + a a b x y + x+y a a a+b x x x+ a a+b Som 4 Herleid tot de eenvoudigste vorm x x y a a+b + a a b p 4 p 4 x x x m mn n m mn+n a ab + b ab a a b + ab (b a) x x
6.4. BREUKEN MET LETTERS VERMENIGVULDIGEN EN DELEN 9 6.4 Breuken met letters vermenigvuldigen en delen Zoals Zo is: En net zoals: Zo is: Voorbeelden: 4 5 4 5 = 8 5 a b p q = ap bq = 5 4 = 0 = 5 6 a b c d = a b d c = ad bc. a b a c = a b c a = c b. x y x+y = xy x+y x. x+ x x = x x+ (x )(x+) x = (x ) x 6.5 Opgaven Som 44 Herleid tot de eenvoudigste vorm: x y y z z x a bc b ac c ab a b a (x 4) x 4a ( a b a ) 4x ( y x ) (a + b) a b a +ab (x ) x Som 45 Herleid tot de eenvoudigste vorm: (a b) a b x x : x x ( x+ x+ ) : x+ (x+) x x + : (x ) (a b) : a ab a+b (x ) : x x ( a b + b a ) ab ( x+ ) (x + )