Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Tx D Ax; x.t/ 2 R 2 x D 0 is een evenwichtspunt; beginnen we in x D 0 dan blijven we daar. Hoe kan het gedrag van het systeem er uit zien voor verschillende keuzes voor de matrix A? 2/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stabiele knoop T 1 λ 1 z 2 λ 2 x 2 T 2 z 1 x 1 3/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Zadelpunt T 1 λ 1 λ 2 z 2 x 2 T 2 z 1 x 1 4/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Instabiele knoop T 1 λ 1 λ 2 z 2 x 2 T 2 z 1 x 1 5/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stabiele focus λ 1 z 2 x 2 λ 2 z 1 x 1 6/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Centraal punt λ 1 z 2 x 2 λ 2 z 1 x 1 7/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Instabiele focus λ 1 z 2 x 2 λ 2 z 1 x 1 8/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Systeem met oplossing x.t; x 0 /. Tx D f.x/; x.0/ D x 0 9/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Evenwichtspunt Tx D f.x/; x.0/ D x 0 Een punt x met de eigenschap f.x/ D 0 wordt een evenwichtspunt genoemd. 10/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Stabiliteit Een evenwichtspunt x wordt stabiel genoemd als: Voor elke " > 0 is er een ı > 0 zodanig dat: kx 0 xk < ı ) kx.t; x 0 / xk < " voor alle t > 0 11/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Asymptotische stabiliteit Een evenwichtspunt x wordt asymptotisch stabiel genoemd als: x is stabiel Er is een ı > 0 zodanig dat: kx 0 xk < ı ) x.t; x 0 /! x als t! 1 12/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Geen stabiliteit Een evenwichtspunt x wordt niet stabiel genoemd als het evenwichtspunt niet stabiel is. 13/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Tx D Ax Asymptotisch stabiel als alle eigenwaarden in het open linker halfvlak liggen Niet stabiel als er eigenwaarden in het open rechter halfvlak liggen 14/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Tx D Ax Stabiel als alle eigenwaarden in het gesloten linker halfvlak liggen eigenwaarden op de imaginaire as hebben een gelijke algebraïsche en geometrische multipliciteit. Niet stabiel als er eigenwaarden op de imaginaire as zijn met een algebraïsche multipliciteit die hoger is dan de geometrische multipliciteit 15/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
i 1 0 0 J i D 0 : : : :: : :: : :: : : :: : :: : :: 0 : :: : :: 1 0 0 i 16/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
met J i 2 C dd. e J it D e i t 1 t t 2 2Š t d 1.d 1/Š 0 : : : : :: : :: : : : :: : :: : :: t 2 2Š : : :: : :: t 0 0 1 17/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Routh test Voor asymptotische stabiliteit moeten de eigenwaarden allemaal in het open linkervlak liggen. We kijken naar: 0 D det.i A/ D n C a n 1 n 1 C C a 0 Alle nulpunten moeten in het open linker halfvlak liggen. 18/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Routh tabel 1 a n 2 a n 4 a n 6 a n 1 a n 3 a n 5 a n 7 b 1 b 2 b 3 b 4 c 1 c 2 c 3 c 4 : : k 1 k 2 l 1 m 1 Stabiliteit als de elementen in de eerste kolom allemaal positief zijn. 19/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
b 1 D 1 a n 2 ˇa n 1 a n 3 ˇ b 2 D 1 a n 4 ˇa n 1 a n 5 ˇ c 1 D a n 1 a n 3 ˇ b 1 b 2 ˇ c 2 D a n 1 a n 5 ˇ b 1 b 3 ˇ d 1 D b 1 b 2 ˇc 1 c 2 ˇ d 2 D b 1 b 3 ˇc 1 c 3 ˇ 20/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Alternatieve representatie: P 0.s/ D a n n C a n 1 n 1 C C a 0 P 1.s/ D P 0.s/ ˇ1 a n 1 n 1 C a n 3 n 3 C D b n 1 n 1 C b n 2 n 2 C C b 0 P 2.s/ D P 1.s/ ˇ2 b n 2 n 2 C b n 4 n 4 C D c n 2 n 2 C c n 3 n 3 C C c 0 Stabiliteit als de leidende coëfficiënten van deze n C 1 polynomen gelijk teken hebben. 21/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
4 C 5 3 C 10 2 C 10 C 4 D 0 heeft alle nulpunten in het open linker halfvlak. 5 C 2 4 3 4 2 2 C 4 D 0 heeft niet alle nulpunten in het open linker halfvlak. 22/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt van het stelsel: Tx.t/ D f.x.t/; u.t/; t/ y.t/ D h.x.t/; u.t/; t/ als f.x 0 ; u 0 ; t/ D 0; h.x 0 ; u 0 ; t/ D y 0 voor alle t > 0. 23/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Taylor approximatie We kunnen de functies f en h benaderen via de Taylor approximatie: en f.x; u/ D f.x 0 ; u 0 / C @f.x 0;u 0 / @x.x x 0 / C @f.x 0;u 0 / @u.u u 0 / C o.x x 0 ; u u 0 / h.x; u/ D h.x 0 ; u 0 / C @h.x 0;u 0 / @x.x x 0 / C @h.x 0;u 0 / @u.u u 0 / C o.x x 0 ; u u 0 / 24/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Linearisatie Zij zx, zu en zy een oplossing van: Tzx.t/ D f.zx.t/; zu.t//; zx.0/ D x 0 zy.t/ D h.zx.t/; zu.t// Dan voldoen yx D x zx, yu D u zu en y D y zy bij benadering aan: Tyx.t/ D A.t/yx.t/ C B.t/yu.t/; yx.0/ D x 0 y.t/ D C.t/yx.t/ C D.t/yu.t/ 25/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
met: A.t/ D @f.zx.t/; zu.t//; @x C.t/ D @h.zx.t/; zu.t//; @x @f B.t/ D.zx.t/; zu.t//; @u @h D.t/ D.zx.t/; zu.t//; @u 26/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI
Linearisatie Tx 1 D x 2 ; Tx 2 D ux 1 C x 2 2 x 1 1; y D x 2 1 C u3 Een linearisatie rond: u.t/ D sin t; x 1.t/ D sin t; x 2.t/ D cos t 27/27 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI