Basiskennis van machten WISNET-HBO update juli 007 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 een macht van a (in dit geval de vierde macht van a). Het grondtal is a en de exponent is hier het getal 4. Eerst oefenen we met gehele exponenten om de rekenregels te leren kennen. Als er een spatie tussen de letters staat, dan betekent dat een vermenigvuldiging: a b a b. Voor de invoer van de formule moet je dan een sterretje tikken als je keer bedoelt! Basisrekenregels voor machten Voor a en b ongelijk aan 0 gelden de volgende algemene rekenregels voor het werken met machten. Hierbij kunnen de getallen m en n (de exponenten) zowel negatief als positief, maar ook gebroken zijn. Ga onderstaande rekenregels nog eens na en probeer in gedachten even een voorbeeld erbij te bedenken. Als je geen voorbeelden kunt bedenken, ga je naar de voorbeelden van machten. a m a n a m a n a m n voorbeeld: a 3 a 4 a 3 4 a 7 a m a n am n voorbeeld: a 5 a 3 a5 3 a
a n a n voorbeeld: 0 3 0 3 a 0 iets tot de macht 0 is altijd gelijk aan a m n a m n voorbeeld: a 3 4 a a b n a n b n voorbeeld: 3 a 3 a 9 a a b n an b n an b n voorbeeld: 3 3 3 3 3 8 7 Rijtje om te bekijken a 3 a 4 kan niet verder opgeteld worden a 3 a 4 a 3 a (Een andere manier van opschrijven, kijk ook bij ontbinden in factoren en haakjes wegwerken.) a 3 a 4 a 7 a 3 4 a a 3 a 3 a 3 3 Voorbeelden
Ga zorgvuldig de volgende voorbeelden na. voorbeeld Wat is het verschil tussen de volgende uitdrukkingen? 3 3 3 3 3 Zie ook de basisrekenregels. De betekenis van 3 De betekenis van 3 De betekenis van 3 3 + 3 De betekenis van 3 is 3 De betekenis van 3 is ( 3) ( 3) +9. voorbeeld a Vereenvoudig a 5 a 3 manier In feite staat er
a 5 a 3 a a a a a a a a a Je kunt dus boven en onder de breukstreep wegstrepen. manier Je kunt voor a 3 ook schrijven a 3 en verder weer met de rekenregels werken. a 5 a 3 a 5 3 a voorbeeld b Vereenvoudig a 5 a 3 a 5 a 3 a 5 3 a voorbeeld 3 Vereenvoudig a 3 a 5 a 3 a 5 a 3 5 a a Aanwijzing Bij machten met negatieve exponent is er dus sprake van een deling. voorbeeld 4 Vereenvoudig 3 5
manier Je kunt op beginnen met hetgeen tussen haakjes staat eerst te vereenvoudigen en daarna te kwadrateren. Neem de rekenregels van de machten erbij. 3 5 3 5 4 4 6 manier Maar je kunt ook alles wat tussen haakjes staat eerst kwadrateren en dan komt het op het volgende neer: 3 5 3 5 6 0 6 0 met de computer voorbeeld 5 Vereenvoudig 4 4 6
a b 3 c 0 a b 7 De teller en de noemer van de breuk bevatten gemeenschappelijke factoren die bijelkaar genomen kunnen worden. Let wel op dat er geen +-tekens mogen staan als je de volgende rekenregels toepast. Als er niets tussen de letters staat, betekent het dat er sprake is van vermenigvuldiging. a b 3 c 0 a b 7 aanwijzing Als er niets tussen staat wordt keer bedoeld. Werk alfabetisch alle letters af. Dus a b 3 c 0 a b 7 a a b3 b 7 c0 a b 3 7 c 0 met de computer voorbeeld 6 a b 4 Vereenvoudig de volgende vorm zodat er geen breuken meer in voorkomen. 3 x Begin met alles samen te brengen tot één kwadratische vorm. a b 4 3 x
3 x Vervolgens binnenin eerst haakjes wegwerken, dan krijg je dat hier de breuk wegvalt. 3 x 3 x. Immers. met de computer voorbeeld 7 Bestudeer de volgende regels zorgvuldig en verklaar ze voor jezelf met de rekenregels. Kijk eventueel nog even naar de rekenregels in de eerst paragraaf. met de computer 3 x 0 3 x 0 3 3 0 3 0 voorbeeld 8 Vereenvoudig de volgende vorm zo goed mogelijk. 3 x Zoals je weet is er bij een macht met negatieve exponent sprake van een deling. 3 x 3 x
3 x Vermenigvuldig nu de teller en de noemer van de breuk met : 3 x Breng in de noemer alles bijelkaar tot één kwadraat. 3 x Werk nu de binnenste haakjes in de noemer weg. Je zult zien dat dan de breuk in de noemer weggewerkt is. met de computer 4 Oefeningen om zelf te doen 3 x Neem nu pen en papier ter hand en maak de volgende oefeningen. oefening Wat is het verschil tussen de volgende vier voorbeelden: 5 5 5 5 Er is verschil in volgorde van bewerking zoals de haakjes staan.
Bij de eerste doe je bijvoorbeeld tot de vijfde!!) in zijn geheel tot de macht 5. (Óók het minteken Bij de tweede reken je eerst uit 5 3 en daarna deel je daardoor en je zet er een minteken voor. Bij de derde reken je eerst tot de vijfde uit en zet er een minteken voor. Bij de laatste doe je gedeeld door 3. Toevallig komt dat hier allemaal op hetzelfde neer. De uitkomst is steeds Dus uiteindelijk is er geen verschil. Vraag: Is dat altijd zo dat het niet uitmaakt? Klik het juiste aan: Ja het is altijd zo dat het niet uitmaakt Nee soms maakt het niet uit en andere keren wel 3. oefening Wat is het verschil en de overeenkomst tussen de onderstaande vier vormen? 6 6 6 6 Er is weer verschil tussen de volgorde van bewerking. Kijk goed waar de haakjes voor staan. Bij de eerste moet het minteken ook tot de zesde macht en dat wordt daardoor een plusteken en de uitkomst is 64. Bij de tweede moet nou juist niet het minteken tot de zesde macht maar alleen de
moet tot de zesde macht. De uitkomst is dus 64. Bij de derde en vierde is daardoor ook steeds de uitkomst 64 omdat het minteken niet tot de zesde macht gaat. conclusie Als het een even macht betreft, resulteert een minteken tot een even macht in een plusteken. Vergelijk dit met oefening. oefening 3 Wat is het verschil tussen de volgende vormen? 3 x x 3 x x 3 3 Klik op het juiste. De mintekekens vallen overal weg omdat je steeds x tot de zesde macht krijgt en dat is een even macht. Overal komt hetzelfde uit en met een minteken. Uit de eerste en de derde komt een negatief en uit de tweede en de vierde een positief. Uit de tweede en de vierde komt een negatief en uit de eerste en de derde een positief.
oefening 4 Vereenvoudig x 7 x 3 9. Werk de vorm om tot x x 3 7 9 x 8 8 x De teller en de noemer bevatten gemeenschappelijke factoren die je samen kunt nemen (machten met hetzelfde grondtal, kun je samen nemen). Kijk eventueel nog naar de rekenregels in de eerste paragraaf. Ga op de rode invoerregel staan en druk op Enter. x*^7/(x^3*^9); 8 x oefening 5 Vereenvoudig x 7 x 3 9. hint Vereenvoudig eerst de vorm tussen haakjes (zie daarvoor oefening 4). Ga op de rode invoerregel staan en druk op Enter. (x*^7/(x^3*^9))^; 36 x 4 oefening 6 Vereenvoudig de volgende vorm x 7 x 3 9
hint Vereenvoudig eerst de vorm tussen de haakjes x 7 x 3 9 x x 3 7 9 x 3 7 9 x 4 8 (x*^7/(x^(-3)*^9))^; x 8 36 oefening 7 Vereenvoudig de volgende vorm a p b p a b aanwijzing Schrijf eventueel a p als a a p Als dit niet duidelijk is, ga dan nog eens naar de eerste twee basisrekenregels. aanwijzing Neem machten met hetzelfde grondtal bij elkaar. Bijvoorbeeld a p a a p a p. Als dit niet duidelijk is, ga dan nog eens kijken naar de basisrekenregels. aanwijzing 3
Ga met de basisrekenregels na dat b b. Let eens op hoe je deze ingewikkelde vorm intikt en druk op Enter. a^(+p)*b^p/(a^*b^(-)):%simplif(%); a p b p b a a p b p oefening Vereenvoudig de volgende vorm 4 a b 3 aanwijzing Alles tussen haakjes moet tot de macht. Je kunt dan heel snel ook alles ónder de breukstreep zetten. (4*a*b^3)^(-); 4 a b 3 oefening Vereenvoudig de volgende vorm. 4 a b 3 aanwijzing Alleen b 3 moet tot de macht en even apart berekend: b 3 b 3 b 3
4*a*(b^3)^(-); 4 a b 3 oefening 3 Vereenvoudig de volgende vorm. x 3 x 3 5 aanwijzing Behandel eerst beide breuken apart. Behoefte aan een voorbeeld? Kijk dan onder de volgende knop. voorbeeld De eerste breuk even apart afhandelen. Boven en onder de breukstreep alles dus tot de macht -. x 3 x4 6 x4 6 Nog een voorbeeld zien? voorbeeld De tweede breuk afhandelen: boven en onder de breukstreep alles tot de tweede macht doen. x 3 5 x 6 0 x 6 0 en vermenigvuldig het resultaat van eerste en tweede breuk met elkaar. Let goed op hoe deze ingewikkelde vorm ingetikt wordt. In de uitvoer van de computer wordt er direct vereenvoudigd, dus je kunt de invoer eigenlijk niet goed controleren. Je kunt de invoer wel goed controleren als je op de knop met het Mapleleaf klikt in de context-bar, dan toggel je tussen executable en nonexecutable
uitdrukking. (x^(-)/(^3))^(-)*(x^(-3)/(^5))^; x 4 5 Oneigenlijke machten In bovenstaande oefeningen en voorbeelden hebben we steeds gehele exponenten gezien. Het is ook mogelijk om met gebroken exponenten te rekenen. Dat komt meestal neer op het werken met wortels. De rekenregels zijn dezelfde als in de basisrekenregels. Voor meer informatie over oneigenlijke machten (als de exponent gebroken is of negatief of beide), zie de les met wortelvormen. Of zoek met de zoekfunctie naar "wortel". voorbeeld x x De exponent is nu een gebroken getal. In de exponent kunnen ook negatieve getallen voorkomen. Daarvan hebben we al voorbeelden gezien in voorbeeld van paragraaf 3 en verder. Als de exponent een gebroken getal is, dan werken we in feite met wortelvormen. Zie verder in de les met de wortelvormen.