Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor

Didactische aanpak en motivatie voor de massa impuls tensor Harm van der Lek Juli 06; Update: januari 08 Inhoudsopgave Inleiding Voorkennis 3 Waarom een rang tensor? 4 4 Waarom een contravariante tensor? 6 5 Stof 7 6 Druk 8 7 Vloeistof/gas 9 8 Appendix A: Lorentz transformatie 9 Appendix B: Een diagonale -tensor 0 Appendix C: De impuls 4-vector 4 Appendix D: Literatuur 5

Inleiding In dit document wil ik laten zien hoe de Massa Impuls tensor voor stof (dust; formule ()) en een ideale vloeistof/gas (ideal fluid; formule ()) op didactisch fraaie wijze kan worden geintroduceerd. We hebben hiervoor de volgende tensor formules: T µν = ρu µ u ν (dust) () T µν = (ρ + c P )uµ u ν P g µν (ideal fluid) () Formule () is een speciaal geval van formule (), namelijk voor P = 0. Hierin zijn ρ en P scalarvelden (de massadichtheid en de druk) en u µ en 4-vectorveld; het stromingsveld of de wind, de snelheid van de materie ter plekke. Preciezer: de gemiddelde gewogen snelheid van de materie. Veel boeken poneren deze formules maar gewoon ([], [] en [3]) en/of geven een moeilijk begrijpbare motivatie ([], [5] en [4]). Verder zullen we nog een aantal andere feiten over deze tensor natuurlijk naar boven laten komen. Bijvoorbeeld, waarom men het beste met de contravariante versie (T µν, in plaats van T µν, zoals dus ook in de genoemde formules () en () ) kan werken bij het bespreken van de eigenschappen en interpretatie van de componenten. Voorkennis Je moet deze tensor op zijn laatst introduceren op het moment dat je de veld vergelijkingen voor een niet lege ruimte wil gaan bespreken. Met andere woorden: we gaan ervan uit dat de vergelijking R µν = 0 (3) voor een lege ruimte (R µν is Ricci tensor) al bekend is. We noemen een metrische tensor g µν Newton-achtig 3 als hij diagonaal is, alleen g 00 van Het engelse term fluid betekent zowel vloeistof als gas zeker in natuurkundig opzicht. In het kader van deze bespreking is gas volgens mij zelfs meer van toepassing. In paragraaf 3 beweer ik dat ρ juist niet een tensorveld is. Zie daar voor verheldering 3 In alle boeken, die ik ken, wordt gewerkt met g µν = η µν + h µν, een kleine variatie op de Lorentz metriek, als het gaat om motivatie formules als (4) en de klassieke limiet

plek tot plek kan verschillen (een beetje), maar niet tijdsafhankelijk is en bovendien g 00 c. Dat wil dus zeggen: [g µν ] = Diag(g 00 (x, y, z),,, ) We kunnen laten zien dat dan ongeveer geldt: g 00 φ + een constante (4) met φ(x, y, z) de Newton potentiaal. Verder geldt in dit geval: R 00 3 i= x i g 00 = g 00 Samen met de klassieke vergelijking van Poisson geeft dit φ = 4πGρ R 00 4πGρ (5) In het kader van de voorkennis vermelden we ook nog dat we niet (zoals veel auters) c = nemen. Zelfs als c is, nemen zij de Lorentz metriek dan wel als: [η µν ] = Diag(,,, ) (met dan x 0 = ct) maar dat vind ik inconsequent. Ik neem dus gewoon: en de inverse is dan dus: [η µν ] = Diag(c,,, ) [η µν ] = Diag(,,, ) (6) c van de Einstein vergelijkingen. Ik ben van mening dat dat veel beter kan (in ieder geval didactisch gezien) door middel van de hier gedefineerde Newtonachtige metriek. 3

3 Waarom een rang tensor? Alhoewel formule (5) een hint geeft hoe de veldvergelijkingen er uit zouden kunnen zien is hij zelf natuurlijk nog niet goed. En wel om de volgende redenen:. Het is nog geen tensorvergelijking (linkerlid is slecht één component van een tensor). het rechterlid, de massadichtheid ρ, is (itt tot de klassieke situatie) geen scalar veld 4 Het mooie is dat beide problemen in één keer kunnen worden opgelost. We beginnen met punt en bestuderen hoe ρ, relativistisch gezien, transformeert. We doen dit door te kijken naar de situatie van een waarnemer waarin de materie stilstaat en ρ constant is. We noemen dit een meebewegende waarnemer ( a comoving frame, dit is niet degene die in figuur is getekend, die komt zo). Eigenlijk zou meestilstaand hier een betere benaming zijn. In een kubus met de afmetingen x, y en z zit dan dus een hoeveelheid massa van m = ρ x y z Stel nu dat een waarnemer met een snelheid v in de x-richting passeert. Dit is de astronaut in figuur. Links in de figuur zien wij, als stilstaande waarnemers, hem langsvliegen. Rechts staat deze ruimtereiziger stil en die ziet de wolk stof (en ons) langskomen. Hij ziet de kubus iets verkort (Lorentz contractie): Figuur : Massadichtheid x = γ x met γ = (> 0) (7) v /c bovendien zijn de materie deeltjes voor hem iets zwaarder, en wel ook met een factor γ. Hij ervaart dus een massadichtheid van ρ = γ ρ (8) 4 In de inleiding noemden we ρ juist wel een scalar veld. ρ wordt een scalarveld door het te definieren als de massadichtheid, zoals gemeten door de meebewegende waarnemer 4

Dit bevestigt dat ρ geen scalarveld is (dus punt ). Het goede nieuws is echter dat hierdoor ρ een onderdeel lijkt de zijn (namelijk T 00 ) van een tensor T van rang. Laten we dit even checken en nemen voor het gemak even aan dat alle andere componenten T µν (µ en ν niet beiden = 0) gelijk zijn aan 0. Met andere woorden: T µν ziet er als volgt uit: ρ 0 0 0 T µν = (9) in een coördinaten systeem waarin de materie niet beweegt. ρ zou van plaats tot plaats kunnen verschillen, maar dat is nu even niet relevant. In feite is formule (9) een wat boute aanname want we hebben nog geen idee wat die andere componenten fysisch zouden betekenen. We gaan nu T 00 bepalen, waarbij er sprake is van een Lorentz transformatie. We hebben dan de inverse Lorentz transformatie (matrix M zie Bijlage ) nodig, waarbij we alleen maar hoeven te weten dat M 0 0 = γ. De algemene vorm van de transformatie is: T αβ = M µ αm ν βt µν Maar we zijn alleen maar geinteresseerd in T 00 : T 00 = M µ 0M ν 0T µν = M 0 0M 0 0T 00 = γ ρ Dit bevestigd ons vermoeden dat formule (8) de transformatie van de 00-de component van een rang tensor betreft. Nu is het helaas zo dat ook een contravariante tensor T µν deze eigenschap heeft. Met andere woorden als T 00 de enige component is die ongelijk nul is en stel T 00 = ρ, dan: T 00 = L 0 µl 0 νt µν = L 0 0L 0 0T 00 = γ ρ Op basis hiervan kunnen we dus geen vookeur voor T µν of T µν 5 uitspreken. Toch kiezen de meeste boeken zonder veel commentaar voor T µν. In de volgende paragraaf bepreken we de motivatie hiervoor. 5 uiteindelijk kunnen we deze twee natuurlijk wel in elkaar overvoeren via het verhogen en verlagen van de indexen 5

4 Waarom een contravariante tensor? Het ligt helemaal niet voor de hand om de contravariante vorm van de tensor T te nemen. Als we immers kijken naar de vergelijkingen voor lege ruimte (vergelijking (3) ) die we hier even herhalen: R µν = 0 (0) dan zouden we verwachten dat we de covariante vorm van T (T µν ) eerder nodig hebben. We zouden namelijk kunnen vermoeden dat vergelijking (5) gegeneraliseerd kan worden tot: R µν = κt µν () een vergelijking die die voor een lege ruimte (T µν = 0 vergelijking (0) teruggeeft. Met vergelijking () heeft Einstein zelf ook flink geworsteld. Deze blijkt uiteindelijk fout te zijn, door dat divergentie van T nul moet zijn (T µν ;ν = 0) vanwege massa en energiebehoud en het is nu eenmaal zo dat in het algemeen R µν ;ν 0, dus vergelijking () kan niet goed zijn. Maar daar gaat het nu niet om. Het enige dat we hiermee willen aangeven is dat het niet vanzelfsprekend is om T te gaan bestuderen, als contravariante tensor. Daarom willen we hier wat extra motivatie geven om met T µν te werken. We gaan daartoe kijken waar we in de speciale relativiteitstheorie massa (en energie) ook alweer tegenkwamen. We hebben de 4-snelheid 6 : u µ = d dτ t x y = dt dτ z d dt t x y = γ u x u y () z u z Om de 4-impuls te verkrijgen vermenigvuldigen we dit met m 0 de rustmassa van het deeltje. p 0 m ( ) p µ = p p = m 0u µ = γm 0 u x u y = p x m p y = p p 3 u z p z De conclusie die we hieruit trekken: 6 Voor, indien nodig, een toelichting op formule () en met name dt dτ 6 = γ zie bijlage C

De relativistische massa van een deeltje (m = γm 0 ) verschijnt als de 0-de component van de contravariante 4-vector p µ, de massa-energy-impuls vector. Dit is de reden dat het verstandig is om T te bestuderen als contravariante tensor. 5 Stof We gaan nu T µν bestuderen en wel als volgt. We keren terug naar onze boute aanname in vergelijking (9). We gaan ervan uit dat dit de situatie beschrijft in een coördinaten stelsel, waarin de materie in rust verkeert en transformeren dit naar de visie van een waarnemer die in de x-richting beweegt. We willen dus T µν transformeren volgens de Lorentz transformatie. In appendix B hebben we dit al uitgezocht en we hoeven dus alleen maar formule () op pagina 3 toe te passen met a 0 = ρ en a = a = a 3 = 0: ρ ρv 0 0 v 0 0 ρv ρv 0 0 v v 0 0 T µν = γ = ργ (3) Kijken we nu naar de eerste kolom van matrix in het rechterlid van de formule (3) en vergelijken we dat met de volgende 4-snelheidsvector: u µ = γ v 0 (4) 0 dan zien we (we bekijken alleen de linksbovenhoek, want daar gebeurt het): ( ) ( ) ( ) v γ γ γ ( γv) u γ v v = = 0 u 0 u 0 u ( γv) γ ( γv) ( γv) u u 0 u u We zien dus dat formule (3) nog verder kan worden ontwikkeld als: T µν = ρu µ u ν (5) Strikt genomen alleen voor u µ als in formule (4), maar dit geldt natuurlijk voor elke u µ, waarmee we bij formule () zijn aangeland. 7

6 Druk Tot nu toe was het zo dat de stofdeeltjes onderling niet bewogen. We gaan nu naar een zo simpel mogelijke situatie kijken waarbij dat niet meer zo is. Stel u voor dat er twee wolken van deeltjes zijn die door elkaar heen bewegen. De deeltjes zijn zeer ijl verdeeld, dus zij botsen niet tegen elkaar. Figuur : Twee stofwolken De ene wolk beweegt zoals in vergelijking (3), maar dan op halve snelheid v. De andere wolk ook op halve snelheid maar dus in tegengstelde richting: v. De massadichtheid zoals gezien binnen de wolk is in elke afzonderlijke wolk ook de helft dus ρ. De totale massa tensor kunnen we nu opstellen door deze twee bij elkaar op te tellen: T µν = v 0 0 ργ v 4 v 0 0 + v 0 0 ργ v 4 v 0 0 = ργ 0 0 0 = 0 4 ργ v 0 0 (6) Bedenk dat hier γ = γ( v), maar dat is verder niet zo belangrijk. Het boeiende van formule (6) is dat het weer een diagonaal matrix is. Met andere woorden dat T 0 = T 0 = 0 is geworden. Dit laatste betekent dat er geen netto impuls dichtheid is en dat klopt natuurlijk ook, want de impulsdichheden van de beide wolken heffen elkaar op. Ook is interessant dat uitdrukking (6) nu weer opgevat kan worden als de massa-impuls tensor voor een meebewegende waarnemer. Immers zo n waarnemer kan en mag niet kiezen voor het meereizen met één van de wolken (uit symmetrie overwegingen). 8

Verder is T 00 = ργ inderdaad de massadichtheid zoals door deze waarnemer gezien wordt. Deze noemen we in.. dus ook gewoon weer ρ. Maar wat moeten we aan met de digonaal component T = 4 ργ v? Onze waarnemer heeft een ballon en houdt deze in de Figuur 3: Er zij druk! twee tegen elkaar inlopende stofwolken. Links en rechts botsen er nu deeltjes op deze ballon. Deze blijft zelf op zijn plaats, want de kracht van links en rechts houden elkaar in evenwicht, maar hij wordt wel platgedrukt! Kortom: onze waarnemer concludeert dat er in de x-richting druk heerst. De hier geschetste situatie is niet erg reeël. Als er druk is zal deze in het algemeen in alle richtingen hetzelfde zijn. Daarom veronderstellen we dat voor een met de flow meebewegende waarnemer de tensor er zo uit zal zien: ρ 0 0 0 T µν = 0 P 0 0 0 0 P 0 (7) 0 0 0 P Dit noemen we de massa energie tensor voor vloeistof/gas gezien vanuit een meebewegende (meestilstaande) waarnemer. We besluiten deze paragraaf met een opmerking over de overgang van het geval dust naar fluid. In [] (mijn eigen leerboek uit 973!) wordt deze overgang ingeluid met de opmerking dat er bij dust nog geen sprake is van onderlinge krachten en dat dit dan bij fluid wel het geval zou zijn. Volgens mij is dit niet juist 7. De beschrijving in deze paragraaf heeft dat ook helemaal niet nodig. Wel zal er in het algemeen (zeker bij een gas) sprake zijn van botsingen tussen de deeltjes onderling en die kunnen te maken hebben met op korte afstand werkende, afstotende, krachten. 7 Vloeistof/gas Aan het eind van de vorige paragraaf hebben we een uitdrukking (7) gevonden voor de massa energie tensor voor vloeistof/gas gezien vanuit een meebewegende waarnemer. Deze is op zich al nuttig, want men gebruikt die bijvoorbeeld voor cosmologische modellen. 7 De andere boeken zwijgen hier wijselijk over 9

In deze paragraaf willen we echter nog een algemenere vorm afleiden, vanuit een willekeurig stelsel bezien. Dit zal dan ook een keurige tensor uitdrukking moeten worden. Wat we gaan doen is volstrekt analoog aan paragraaf 5. We passen dus de Lorentz transformatie toe op T µν zoals in uitdrukking (7). We genieten weer van appendix B, want we hoeven alleen maar formule () op pagina 3 te gebruiken met a 0 = ρ en a = a = a 3 = P. De rechter beneden hoek zal niet veranderen. Die is en blijft: ( ) P 0 (8) 0 P We doen hier de linkerbovenkant: ( ) T µν = γ ρ + P v ρv P v c 4 c ρv P v ρv + P c De beide niet diagonaal compomenten zijn te schrijven als: ρv P v c = (ρ + c P )v (9) Als we stiekum spieken bij formule () dan komt de factor ρ+ P ons wel heel c goed uit. Maar als we uitgaan van de gedachte hoe we het (formule () ) zelf hadden kunnen ontdekken dan doen we er beter aan om de rechtermatrix van formule (9) te vergelijken met de linksbovenkant van de uitdrukking (3): ( ) ρ ρv ρv ρv Eigenlijk zouden we willen dat de matrix van formule (9) er zo uitziet: ( ) (ρ + P ) (ρ + P )v c c (ρ + P )v (ρ + P )v c c Voor de niet diagonaal compomenten klopt dit al zoals we gezien hadden. Maar als we bijvoorbeeld T 00 vergelijken: ρ + P v c 4 versus ρ + c P dan klopt dat niet. Maar wacht even! Laten we eens kijken wat het verschil is: (we hebben) (we willen) = ρ + P v c 4 (ρ + c P ) = (v c ) c P 0

De factor ( v ) die hierbij ontstaat valt weg tegen γ! (op een minteken c na). Iets dergelijks gebeurt bij T : (we hebben) (we willen) = (ρv + P ) (ρ + c P )v = ( v c )P Dus we kunnen (9) als volgt herschrijven: ( ) ( ) (ρ + T µν = γ P ) (ρ + P )v c c P 0 (ρ + P )v (ρ + P )v + c 0 P c c Laten we dit toch maar in volle glorie (volledig 4 bij 4) opschrijven: (ρ + P ) (ρ + P )v 0 0 P 0 0 0 c c γ (ρ + P )v (ρ + P )v c 0 0 c c + 0 P 0 0 0 0 P 0 (0) 0 0 0 P De linker matrix van uitdrukking (0) kunnen we net als de overgang van (3) naar (5) schrijven als (ρ + c P )u µ u ν. De tweede term herkennen we als P η µν. Dus we hebben: T µν = (ρ + c P )uµ u ν P η µν Als we nu dit meteen maar geldig verklaren voor algemene coördinaten en dus η µν vervangen door g µν dan hebben we formule () bewezen. Iets bescheidener gezegd: aannemenlijk gemaakt en/of gemotiveerd. 8 Appendix A: Lorentz transformatie We beschouwen de Lorentz transformatie naar een stelsel dat in de positieve x-richting beweegt met een snelheid v. De klassieke formules luiden daarvoor: x = t = y = y z = z x vt = γ(x vt) v /c t v x c v /c = γ(t v c x)

Waarbij γ als in formule (7). In matrixvorm kan dit als volgt worden opgeschreven: t γ γ v 0 0 t γ(t v x) x c y = c γv γ 0 0 x 0 0 0 y (= γ( vt + x) y ) () z 0 0 0 z z We schrijven de hierboven staande 4 bij 4 matrix van de Lorentz transformatie met L = [L α µ], zodat formule () ook kort kan worden geschreven als: x α = L α µx µ De inverse matrix (die overigens in het geval van de Lorentz transformatie erg simpel is: vervang v gewoon door v) schrijven we als M, dus: L α µm µ β = δα β Tenslotte merken we nog op dat het, in verband met de matrix berekeningen die we in appendix B willen doen het handig is om de matrix L te schrijven als bij matrixen, als volgt: ( ) L O L = O I met L = γ ( ) v c v, I = ( ) 0 0 en O = ( ) 0 0 0 0 9 Appendix B: Een diagonale -tensor In de tekst komt het vaak voor dat we diagonale (dus symmetrische!) tensor S µν moeten transformeren met behulp van de in appendix A beschreven Lorentztransformatie. We nemen dus aan dat S µν geschreven kan worden als: a S = [S µν ] = Diag(a 0, a, a 3, a 3 ) = 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 3

Ook deze schrijven we weer als 4 maal een bij matrix: ( ) A O S = O B met ( ) ( ) a0 0 a 0 A = en B = 0 a 0 a 3 We willen nu de getransformeerde tensormatrix [S αβ ] bereken. In eerste instantie is daarvoor de algemeen geldige transformatie regel voor een contravariante tensor van rang : S αβ = L α µl β νs µν Nu kunnen we dit natuurlijk component voor component uitrekenen, maar om dit iets handiger en overzichtelijker te toen gaan we dit als matrix vermenigvuldiging uitvoeren. We schrijven het daarom als volgt: S αβ = L α µs µν L β ν = L α µs µν (L ) β ν Met de overgang van L β ν naar (L ) ν β hebben we voor elkaar gekregen dat we zo dadelijk inderdaad de berekening via een matrix vermenigvuldiging kunnen doen. Immers de structuur van de indexen is nu: α µ µν β ν Daar gaan we: ( ) ( ) ( ) ( A O L S = LSL O L O AL = L = O B O I O I O ) ( O LAL = B O ) O B De conclusie van deze berekening is dat er eigenlijk alleen maar iets boeiends gebeurt in de linker bij bovenhoek. Iets dat we natuurlijk ook wel zo hadden kunnen voorspellen aangezien de Lorentz transformatie alleen maar iets met de t en x coördinaat doet. Tenslotte berekenen we deze linkerbovenhoek expliciet. Het handige is nu dat we γ buiten de matrixen kunnen houden: ( ) LAL a0 0 = L γ 0 a ( v v c ) ( ) ( ) = γ v c a0 a 0 v v = v a a c ( ) = γ v a0 + a v a c 4 0 v a c v a 0 v a a c 0 v () + a 3

De laatste matrix is symmetrisch (zoals verwacht mocht worden) en dat is een mooie controle op onze berekening. Een ander controle op formule () verkrijgen we door S µν = η µν te nemen, immers η µν dient invariant te zijn onder de Lorentz transformatie. Dan is a 0 = en a c = a = a 3 = volgens de formule (6). Als we dit invullen in het laatste lid van formule () dan krijgen we: γ ( ) v v + v c c 4 c c v + v v c c c Het klopt dus keurig. = v /c ( c ( v c ) 0 0 ( v c ) 0 Appendix C: De impuls 4-vector ) = ( ) 0 c 0 We hadden de wereldlijn van een deeltje. Dat is een kromme die is geparametriseerd met de eigentijd langs die kromme. Dus t x 0 x y = x x z x 3 zijn functies van τ. We kijken nu naar de afgeleide naar τ van deze 4 plaatsvectoren: ẋ µ = dxµ dτ = dxµ dt dt dτ Dat τ de eigentijd is wil per definitie zeggen dat: c dτ = η µν dx µ dx ν = c dt dx dy dz (3) Delen we beide leden van vergelijking (3) door c dt en trekken we de wortel dan krijgen we dτ dt = u x + u y + u z (4) c waarbij u x = dx de x-component van de klassieke snelheid. Hetzelfde geldt dt voor u y en u z. Stellen we tenslotte u := u x + u y + u z 4

en γ = γ(u) = u /c dan levert vergelijking (4) op (beide zijden omkeren): dt dτ = γ = γ(u) Appendix D: Literatuur Referenties [] Bazin Adler and Schiffer. Introduction to General Relativity. A, 965. [] Peter Collier. A Most Incomprehensible Thing: Notes Towards a Very Gentle Introduction to the Mathematics of Relativity. 04. [3] Robert J. A. Lambourne. Relativity, Gravitation and Cosmology. 00. [4] Charles W. Misner and Kip S. Thorne. Gravitation. B, 973. [5] A. Zee. Einstein Gravity in a Nutshell. 03. 5