Lemaître coördinaten; Algemene relativiteitstheorie Versie 1 HOVO Utrecht; Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Transcriptie

1 Lemaître coördinaten; Algemene relativiteitstheorie Versie 1 HOVO Utrecht; Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Inhoudsopgave 1 Inleiding Te verklaren verschijnselen Schwarzschild lijnelement Transformatie in differentiaalvorm Radiale geodeten Vrijvallende waarnemers Eisen aan de transformatie De t coördinaat Naar andere coördinaten Eerste poging Lemaître coördinaten Gevolgen Een zwart gat Een wit gat Toekomst Inleiding Dit document bevat een natuurlijke manier om de zogenaamde Lemaître coördinaten te vinden ( zelf te ontdekken ). Dit zijn de eerste (1932) coördinaten die aantoonden dat de Schwarzschild singulariteit helemaal geen singulariteit is en dus dat iemand die door de horizon van een zwart gat valt niet veel bijzonders voelt (naast de, eventueel forse, getijdekrachten). In de literatuur is daar betrekkelijk weinig aandacht voor. Dit komt waarschijnlijk omdat bijvoorbeeld de Kruskal coördinaten belangrijker/interessanter zijn als het gaat om het bestuderen van causaliteit en witte gaten. 1

2 Voorts worden deze coördinaten meestal gewoon maar geponeerd (bijvoorbeeld op Wikipedia), terwijl er een intuitieve en natuurlijk manier is om ze af te leiden. In het standaardwerk Gravitation 1 worden ze niet eens genoemd. In paragraaf 31.4 Several well-behaved coördinate systems wordt het volgende gezegd: The well-behaved coördinate system that is easiest to visualize is one in which the radially moving test particles of equations (31.10) remain always at rest. Vervolgens zegt men dat dit tot coördinaten leidt die in 1963 (!) door Novikov zijn geintroduceerd en verderop: Simply though they may be conceptually, the Novikov coordinates are related to the original Schwarzschild coordinates by a very complicated transformation. Inderdaad zijn het lijnelement en de transformaties die vervolgens worden gegeven bijzonder ingewikkeld. Dit heeft mij er lange tijd van weerhouden om de berekening zelf te proberen. Nu blijkt echter dat de zaken een stuk versimpeld worden als je je beperkt tot een zeer bijzondere vorm van de geodeten, namelijk alleen degenen, die steeds met ontsnappingssnelheid gaan. De Lemaître coördinaten zijn dan ook een bijzonder geval van de Nivokov coördinaten. De meest complexe afleiding die dan nodig is staat op pagina 12 en die leidt tot formule (26). 1.1 Te verklaren verschijnselen Er zijn een aantal verschijnselen die in populaire boeken beschreven worden en waar alternatieve coördinaten nodig zijn om een wiskundig gefundeerde verklaring te geven. We noemen een aantal: 1. Een ruimtereiziger kan, naar zijn eigen waarneming, zonder al te veel problemen in een eindige tijd in een zwart gat vallen, maar zal er nooit meer aan kunnen ontsnappen; 3. Niets kan namelijk ontsnappen zelfs licht niet; 4. Een waarnemer op verre afstand ziet de reiziger nooit in het zwarte gat verdwijnen; 5. Deze ziet de reiziger steeds langzamer de horizon naderen. 1 Charles W. Misner, Kip S. Thorne en J.A. Wheeler,

3 Ook de Eddington-Finkelstein coördinaten, wiskundig redelijk eenvoudig, zijn geschikt om deze verschijnselen te duiden. Ze zijn echter, naar mijn mening, minder intuitief. Waar de Lemaître coördinaten gebaseerd zijn op invallende waarnemers, zijn de Eddington-Finkelstein coördinaten geinspireerd door invallende lichtstralen. Tenslotte willen we in deze inleiding vast een vraag bij de lezer neerleggen, ter overdenking. Aan het einde van het document gaan we dan op deze kwestie in. Het gaat om het aspect van onomkeerbaarheid dat in de punten 1 en 2 hierboven lijkt te zitten. Kijken we naar de klassieke zwaartekracht, dan geldt dat voor elke geldige baan er een omgekeerde baan mogelijk is. Een planeetbaan kan net zo goed linksom of rechtsom draaien. En als we in een een vallende baan de tijd omdraaien dan krijgen we een, ook bestaanbare, opstijgende baan. Dit komt doordat de klassieke wetten invariant zijn voor tijdsomkering. Dit geldt echter ook voor de wetten van de algemene relativiteitstheorie. Dat wil zeggen: de Schwarzschild oplossing is invariant onder de omkering van de tijd. Dit betekent dat we de baan van de ruimtereiziger uit punt 1 kunnen omdraaien. Als we dan een mogelijk pad krijgen dan is dat een weg die vanuit het zwarte gat weer in de ruimte verdwijnt, in tegenspraak met punt 3. Wat er fout in deze redenering? 1.2 Schwarzschild lijnelement We vertrekken van het welbekende Schwarzschild lijnelement: ds 2 = (1 R r )c2 dt 2 (1 R r ) 1 dr 2 r 2 (dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (1) Hierin is R = 2GM c 2 de Schwarzschild straal (soms genoteerd als R S, 2m of R g ). Daar (voor r = R) is het lijnelement (1) singulier (niet gedefineerd). We bekijken de ruimte buiten de horizon: r > R (de buitenruimte). De coördinaten ϑ en ϕ gaan we in het vervolg onderdrukken. Bij de transformaties naar alternatieve coördinaten, veranderen zij niet. We bekijken dan ook alleen radiale geodeten. Verder voeren we de volgende afkorting in: a := a(r) := 1 R r 3 (2)

4 Deze opmerkingen leiden ertoe dat we het Schwarzschild lijnelement kunnen schrijven als: ds 2 = adt 2 a 1 dr 2 (3) Waarbij we ook meteen zijn overgegaan op c = Transformatie in differentiaalvorm We maken in deze paragraaf een algemene opmerking over de vorm van een transformatie naar andere coördinaten. Het idee is namelijk dat we overgaan op een coördinaten τ en ρ, waarbij τ de nieuwe tijdachtige en ρ de nieuwe ruimtelijke radiale coördinaat is. De transformatie ziet er dan dus zo uit: τ = τ(t, r) ρ = ρ(t, r) In differentiaalvorm ziet deze transformatie er als volgt uit: dτ = τ τ dt + t r dr dρ = ρ ρ dt + t r dr De omgekeerde transformatie in differentiaalvorm is dan: dt = t τ dr = r τ t dτ + dρ (4) ρ r dτ + dρ (5) ρ Deze laatste zullen we gebruiken om in te vullen in (3). kunnen we het lijnelement in termen van τ en ρ verkrijgen. Op die manier 2 Radiale geodeten In dit hoofdstuk bestuderen we geodeten in het Schwarzschild lijnelement. We beperken ons daartoe tot tijdachtige radiale geodeten. Deze kunnen dus gezien worden als de baan van een voorwerp of waarnemer, die in de richting van het centrale punt valt (of daar juist vanaf). We beperken ons verder 4

5 tot ontsnappingssnelheid geodeten. In paragraaf 2.1 bepalen we eerst de radiale coördinaat r als functie van de eigentijd. Daarbij ontdekken we dat die niets van de singulariteit (horizon) lijkt te merken. Daarna stellen we ons in paragraaf 2.2 voor op wat voor transformatie we, hierdoor geinspireerd, willen gaan aansturen. In paragraaf 2.3 maken we het beeld van de geodeten compleet door ook de coördinaattijd t als functie van de eigentijd te bepalen. 2.1 Vrijvallende waarnemers We gaan nu de radiale geodeten tijdachtige geodeten bepalen in het lijnelement (3). Dit komt overeen met vrijvallende objecten (waarnemers) die van het centrale punt af bewegen (uitgaand) of daarnaar toe (ingaand). Daartoe merken we op dat de Lagrangiaan die bij (3) hoort er als volgt uit ziet: L(t, r, ṫ, ṙ) = aṫ 2 a 1 ṙ 2 (6) Voor het oplossen gebruiken we nu de constantheid van de de lengte van de 4-raakvector: aṫ 2 a 1 ṙ 2 = 1 (7) en de Euler Lagrange vergelijking voor t: d dτ ( L ṫ ) = L t d (2aṫ) = 0 aṫ = D (constant) (8) dτ De Euler Lagrange vergelijking voor r gebruiken we dus niet. Verder zijn ṫ en ṙ de afgeleide naar τ de eigentijd langs de geodeet. We kunnen nu een oplossing zoeken. Daartoe vermenigvuldigen we (7) met a, zodat de eerste term a 2 ṫ 2 = (aṫ) 2 wordt en die kunnen we met behulp van (8) vervangen door D 2 : D 2 ṙ 2 = a = 1 R (9) r We bekijken (9) eens goed. Als we aannemen dat de snelheid oneindig ver weg practisch nul is (ṙ 0 als r ), dan moeten we D 2 = 1 nemen. Dan krijgt (9) een bijzonder eenvoudige vorm: ṙ 2 = R r ṙ = ± R r (10) Het minteken komt overeen met voorwerpen die naar het zwarte gat toe vallen, immers dan neemt r af als τ toeneemt. Dit noemen we neerdalende 5

6 (ruimte-)capsules (of waarnemers). Het plusteken staat voor geodeten die naar r = + opstijgen en daarvoor net genoeg ontsnappingssnelheid hebben (omdat in het oneindige hun snelheid tot 0 is afgenomen). Deze laatste noemen we opstijgende capsules. We gaan nu verder werken met neerdalende waarnemers. Later zal duidelijk worden waarom. We werken dus met het minteken van (10). Aangezien ṙ = dr kunnen we (10) met differentialen dτ schrijven in een vorm die we later nog nodig hebben: R dr = dτ (11) r Om een oplossing van de differentaal vergelijking te vinden is de omgekeerde vorm echter handiger: r dτ = dr (12) R Deze is immers meteen te integreren: r τ = R dr = 1 r dr = R 3 R r 3 2 =: f(r) (13) De lezer zal zich afvragen waarom in de notatie in tilde ( ) boven τ is geplaatst: τ. Dit heeft drie redenen: 1. Bij (13) moet nog een integratieconstante C vermeld worden. Deze is in τ verscholen, want: de auteur weet al dat we later de notatie τ willen reserveren voor τ = τ + C, maar we willen deze constante voor nu even onderdrukken. Deze integratieconstante is (voorlopig) niet interessant. Het is immers alleen maar een verschuiving van de eigentijd langs de geodeet, dus die constante nemen we voor het gemak maar 0. Wel moeten we ons realiseren dat τ niet alle waarden aan kan nemen. We hebben immers r > R, dus dan volgt uit (13) dat τ < 2 R. De functie f 3 in (13) is inverteerbaar, dus we kunnen r ook als functie van τ schrijven: r( τ) = ( 3 2 R( τ)) 2 3 met < τ < 2 3 R (14) 6

7 Nu is er toch echter wel iets merkwaardigs aan de hand. De invallende capsule begint dus te vallen in het begin der tijden ( ) en het houdt plots op als de eigentijd τ (bijna) 2R is. Maar waarom 3 eigenlijk? Als we alleen maar naar de formule van (14) kijken lijkt er daar niets aan de hand te zijn en kunnen we wel tot τ = 0 doorgaan. Zie ook figuur 1 voor het verloop van de functie. Er zal blijken dat dit inderdaad zo is en dat een voorwerp gewoon in een zwart gat zal vallen en daarbij de grens r = R kan passeren. Maar dit is niet zo vanzelfsprekend! De conclusie is juist (blijkt later), maar de hier geschetste redenering is fout en wel om de volgende redenen: 1. Een formele reden: we hadden de grens τ = 2 R en r = R niet 3 voor niets geïntroduceerd: voor r = R was het lijnelement (1) niet gedefineerd en er kan dus geen sprake zijn van een geodeet, althans niet met dat lijnelement; 2. Een geodeet is een geparametriseerde kromme en daarvan hebben we alleen de r-coördinaat bepaald: r( τ) in (14). We zullen, om de beschrijving van de geodeet compleet te maken, ook de tijdcoördinaat t( τ) moeten berekenen (dit doen we in paragraaf 2.3). Hier zullen wel degelijk problemen optreden bij de horizon; 3. Bovenstaande redering kan men ook toepassen op een opstijgende capsule. Dat zou betekenen dat deze van binnen de horizon naar buiten komt. En dan zou alle populair wetenschappelijke literatuur de prullenbak in kunnen, want daarin wordt beweerd dat niets aan een zwart gat kan ontsnappen. Toch prikkelt het! En inderdaad geeft het onschuldige gedrag van de functie r( τ) een eerste hint dat er op de zogenaamde Schwarzschild singulariteit wel iets valt af te dingen. Het blijkt een merkwaardigheid van het Schwarzschild lijnelement (1) zelf te zijn en niet van de vierdimensionale ruimtetijd. 2.2 Eisen aan de transformatie Naast het vermoeden dat r = R een zogenaamde coördinaat singulariteit is, kunnen we uit het beeld van de capsules ook wel een weg ontlenen om tot 7

8 alternatieve coördinaten te komen. Het idee is dat dat coördinaten zijn die worden gehanteerd door een waarnemer in zo n capsule. Dat betekent dat zijn/haar eigentijd τ als tijdcoördinaat kan fungeren. Verder zweeft onze astronout lekker achter zijn buro en vindt dat hij/zij zich niet beweegt. Dat wil zeggen dat hij/zij zich steeds op dezelfde ruimtelijke (en radiale) coördinaat ρ bevindt. De baan van de ruimtevaarder is duidelijk een geodeet. Het is immers een vrije val. Verder volgt uit bovenstaande dat in de coördinaten (τ, ρ, ϑ, ϕ) (waarvan τ en ρ de nieuw te bedenken zijn) de ruimtelijke coördinaten constant zijn: (ρ, ϑ, ϕ) = (ρ 0, ϑ 0, ϕ 0 ). Van (ϑ, ϕ) wisten we dat al. De val was immers radiaal. Van ρ hebben we dat hierboven net geponeerd. De geodeet ziet er dus als volgt uit: τ (τ 0 + τ, ρ 0, ϑ 0, ϕ 0 ) Synchrone coördinaten Meer in het algemeen beschouwen we een coördinatensysteem (x 0, x 1,..., x n ) met de volgende eigenschappen: 1. Er is één coördinaat (we mogen wel aannemen dat dat x 0 is) zodanig dat de coördinaatassen daarvan geodeten zijn; 2. Deze geodeten staan steeds loodrecht op de andere coördinaten. Let wel: x 0 hoeft niet de tijd te zijn. Bovenstaande idee is heel algemeen. Poolcoördinaten leveren een simpel voorbeeld: Figuur 2 ds 2 = dr 2 + r 2 dϕ 2 (15) Hier zijn immers de r-assen radiale rechte lijnen (geodeten; punt 1) in het platte vlak, die van de oorsprong weglopen. En die bovendien (punt 2) loodrecht staan op de ϕ-assen : cirkels om de oorsprong. Maar dit idee vindt ook toepassingen in de relativiteitstheorie en dan is x 0 inderdaad vaak de tijd, zelfs de eigentijd van een waarnemer. Men noemt dat dan meebewegende waarnemers (comoving observers). Met name ziet men dit in de cosmologie. Maar ook in ons onderhavige object van studie: vrijvallende waarnemers in een Schwarzschild metriek. Het is dan ook, denk ik, geen toeval dat juist Lemaître deze coördinaten heeft ontdekt. Hij was immers veel met cosmologische modellen bezig. 8

9 Laten we even kijken wat de twee genoemde voorwaarden voor consequenties hebben voor het lijnelement. Vanuit voorwaarde 2 weten we dus dat: g µ0 = g 0µ = 0 (16) De gevolgen van voorwaarde 2 kunnen we afleiden door te kijken naar de algemene vergelijking van een geodeet: ẍ µ = Γ µ αβẋα ẋ β (17) Het feit dat de coördinaatas van x 0 een geodeet is betekent dat: a 0 + τ τ a 1. a n dus: ẋµ = δ µ 0 en ẍ µ = 0 (18) een geodeet voorstelt. Combineren we (17) en (18) dan kunnen we concluderen dat Γ µ 00 = 0 voor alle µ en dus: Γ µ 00 = 0 g µα [00, α] = 0 alle µ [00, α] = 0 alle α g α0,0 + g 0α,0 g 00,α = 0 alle α g 00,α = 0 alle α Bij de laatste overgang hebben we (16) gebruikt. We zien dus dat g 00 constant is en we mogen wel veronderstellen dat g 00 = 1. De algemene vorm van het lijnelement is dus: ds 2 = (dx 0 ) 2 + g ij (dx i )(dx j ) (19) Hierbij is de sommatie over indexen i en j die 0 zijn. We zien dat het poolcoördinaten voorbeeld (15) inderdaad van deze vorm is. Men noemt dit synchrone coördinaten en we zullen willen dat ons uiteindelijke resultaat ook van deze vorm is. 2.3 De t coördinaat In paragraaf 2.1 hebben we de functie r( τ) bepaald. Nu willen we kijken naar de t-coördinaat van zo n geodeet. We gaan dus op zoek naar t( τ). Het blijkt echter het makkelijkst om eerst het verband tussen r en t te bepalen. 9

10 Als we (8) bekijken met D = 1: aṫ = 1, dan krijgen we een verband tussen dt en dτ: dt = a 1 dτ (20) We hadden in vergelijking (12) al een verband tussen dτ en dr: r dτ = R dr Als we deze twee combineren dan krijgen we: r r 1 dt = R a 1 dr ( = dr ) R 1 R r Dit kan geintegreerd worden: r t = R a 1 dr = h(r) + ρ (21) In (21) is ρ de integratieconstante. Voor de lezer die zich afvraagt waarom we dit met een griekse letter schrijven en niet als C of D: nog even geduld tot paragraaf 3.1. Een expliciete uitdrukking voor de primitieve h(r): h(r) = 2 3 R r 3 r R Rr + R ln( ) (22) r + R Voor een afleiding zie Les 3 Wiskunde deel, slide 10 2 (merk op dat de eerste term de functie f(r) is die in (13) is gedefinieerd). Aan uitdrukking (22) kunnen we nu zien dat onze beperking tot r > R (en dus τ < 2 R) een 3 noodzakelijke is, immers anders is ln( r R) niet gedefineerd 3. Dit bevestigd het bezwaar 2 op pagina 7. In figuur 3 is de vorm van de functie h goed te zien. Voorts kunnen we aan de hand van (22) een ander spectaculair populaire boekjes -verschijnsel verklaren: in de tijd t, die te interpreteren is als de eigentijd van een waarnemer op verre afstand (r R), duurt het een eeuwigheid voor de invallende capsule de horizon bereikt. Sterker nog: hij bereikt m nooit. 2 of integreren 736.htm 3 Er is ook een integraal mogelijk met ln( R r) en 0 < r < R. Samen met (14) geeft dit een geodeet binnen de horizon. We moet ons dan echter wel bedenken dat r de tijdachtige- en t de ruimtelijke coördinaat is. We gaan hier niet verder op in. 10

11 3 Naar andere coördinaten We gaan nu op weg om andere coördinaten te zoeken. 3.1 Eerste poging We keren weer terug naar de uitdrukking h(r)+ρ voor t in (21). We hadden daar de integratie constante heel suggestief ρ genoemd. Waarom? Ten eerste realiseren we ons dat deze integratie constante een essentieel andere rol speelt dan de C in punt 2 op pagina 6. Daar was het immers niet veel meer dan een herparametrizering van éénzelfde geodeet. Hier echter is het een soort parametrisering van verschillende geodeten. Deze ρ zorgt immers voor een verschuiving in de coördinaattijd t. We hebben als het ware invallende capsules (voor elke waarde van ρ één) die op verschillende tijdstippen langs één bepaald punt met coördinaat r = r 0 > R passeren. Een serie ruimtecapsules zogezegd. Maar elke waarnemer in zo n capsule vindt dat hij stilstaat, dus dat zijn plaats niet veranderd. We leven niet meer in een tijd dat iedereen maar kon denken het centrum van het universum te zijn, dus onze astronout neemt er genoegen mee dat zijn ruimtecoördinaat niet 0 zal zijn. Maar hij/zij vindt deze wel constant. En waar hebben we het woord constant eerder gehoord? Juist ja: de integratieconstante ρ. Figuur 3: r-t diagram Zo komen we dus op een natuurlijke wijze tot het idee dat ρ de nieuwe ruimtelijke coördinaat gaat worden. De auteur had daar in de notatie al een voorschotje op genomen. Laten we eens kijken hoe deze ideeën in de wiskunde uitpakken. We kunnen vergelijking (21) nu herschrijven en t opvatten als functie van twee variabelen τ en ρ: t( τ, ρ) = h(r( τ)) + ρ (23) We kunnen hier de differentiaal dt uit bepalen en die samen met dr van (11) invullen in het lijnelement (3). We krijgen dan een lijnelement uitgedrukt in 11

12 d τ en dρ! Dat wordt spannend. Dus: dt = h (r)dr + dρ r R = R a 1 d τ + dρ r = a 1 d τ + dρ dt = a 1 d τ + dρ (24) Dit hadden we misschien wel kunnen weten gezien formule (20). Dit is mooi simpel toch? We herhalen hier (11), wel nu met τ ipv τ: R dr = d τ (25) r Nu vullen we, vol verwachting, (24) en (25) in bij het Schwarzschild lijnelement (3): Dus: ds 2 = adt 2 a 1 dr 2 R = a(a 1 d τ + dρ) 2 a 1 ( r d τ)2 = a(a 2 d τ 2 + 2a 1 d τdρ + dρ 2 ) a 1 R r d τ 2 = a 1 d τ 2 + 2d τdρ + adρ 2 a 1 R r d τ 2 = a 1 (1 R r )d τ 2 + 2d τdρ + adρ 2 = d τ 2 + 2d τdρ + adρ 2 ds 2 = d τ 2 + 2d τdρ + adρ 2 (26) Oeps! Wel mooi eenvoudig, maar de mengterm 2d τ dρ is een beetje een teleurstelling. 3.2 Lemaître coördinaten Nu we even bekomen zijn van de tegenvaller uit de vorige paragraaf kijken we nog eens goed naar de eerste twee termen van het lijnelement (26). Dat 12

13 lijkt het begin van het kwadraat van een som! Dus we krijgen weer moed en proberen dit kwadraat af te splitsten: Dit smeekt om de substitutie: ds 2 = d τ 2 + 2d τdρ + adρ 2 = d τ 2 + 2d τdρ + dρ 2 dρ 2 + adρ 2 = (d τ + dρ) 2 (1 a)dρ 2 (27) τ := τ + ρ (28) Met als gevolg dat dτ = d τ + dρ. Bedenken we voorts dat: 1 a = 1 (1 R r ) = R r dan wordt (27): ds 2 = dτ 2 R r dρ2 (29) Voordat we verder gaan, geniet even van (29), want u heeft zojuist het Lemaître lijnelement ontdekt! Het is een diagonaal lijnelement en ook synchroon, zoals we in paragraaf 2.2 al hadden voorzien. Om nu verder te gaat willen we τ en ρ als nieuwe coördinaten zien. Dan moeten we natuurlijk wel de r in (29) kwijt, althans als zijnde de oude coördinaat. Welnu, we weten vanuit vergelijking (13) en (28) dat Maar hieruit volgt dat τ = τ ρ = 2 3 R r 3 2 (30) r(τ, ρ) = R 1 3 { 3 2 (ρ τ)} 2 3 (31) Verder volgt uit (30) dat we de conditie τ < ρ zullen moeten opleggen, immers we hadden r > 0. Zo komen we tot de formele definitie van de Lemaître coördinaten. Op het gebied U = {(τ, ρ, ϑ, ϕ) τ < ρ en 0 < ϑ < π en 0 < ϕ < 2π} (32) definiëren we het volgende lijnelement: ds 2 = c 2 dτ 2 R r(τ, ρ) dρ2 r 2 (τ, ρ)(dϑ 2 + sin 2 ϑdϕ 2 ) (33) 13

14 Met r(τ, ρ) zoals in (31). Het Lemaître lijnelement in volle glorie! Vanaf hier onderdrukken we ϑ, ϕ en c weer. We kunnen nu een aantal formules uit het voorgaande bij elkaar sprokkelen en zo de transformatie van de (t, r) coördinaten naar (τ, ρ) verkrijgen: ρ = t + h(r) (34) τ = t + h(r) f(r) (35) Fomule (34) volgt uit (21) en de expliciete uitdrukking voor h(r) is in (22) gegeven. Formule (35) volgt uit (13), (28) en (34). De expliciete uitdrukking voor f(r) staat ook in (13). We geven de transformatie ook expliciet: ρ = t R r 3 r R Rr + R ln( ) (36) r + R τ = t + 2 r R Rr + R ln( ) (37) r + R Merk op dat we zo maar een gedeelte van het gebied U uit (32) bereiken. Immers uit (31) volgt, samen met het feit dat r > R, dat τ < ρ 2 3 R. Tenslotte dit: we hebben het een ander gewonnen (ruimte uitgebreid), maar hebben we ook iets verloren wat we wel in het Schwarzschild lijnelement hadden? Jawel: de laatste waren statisch. De componenten van het lijnelement waren niet afhankelijk van de tijd(-coördinaat). Dat zijn we nu kwijt. Ook de horizon is nu dynamisch, hij beweegt. Dat is natuurlijk logisch want de Lemaître coördinaten zijn gebaseerd op een waarnemer die naar het zwarte gat toevalt, dus in die coördinaten komt de horizon naar je toe. 4 Gevolgen 4.1 Een zwart gat Lichtkegels zijn altijd een goede manier om de structuur van een ruimte te bestuderen. De Lemaître ruimte gedefinieerd in (32) verdelen we in twee stukken: U o = {(τ, ρ) τ < ρ 2 R} (38) 3 U i = {(τ, ρ) ρ 2 R τ < ρ} (39) 3 14

15 Het gebied U o is het buitengebied ( outer ). Het zijn die punten die één op één bereikt kunnen worden met behulp van de transformatie (34) en (35). We zullen nu op een kwalitatieve manier beredeneren dat geodeten wel vanuit U o naar U i kunnen gaan, maar dat alle geodeten, die eenmaal binnen U i zijn daar verder altijd zullen blijven. Daartoe bestuderen we hoe de lichtkegels eruit zien in het lijnelement (29). We bekijken steeds weer radiale geodeten. De 0-geodeten (licht) zullen moeten voldoen aan de volgende vergelijking: Figuur 4: Zwart gat 0 = τ 2 R r ρ2 Hieruit kunnen we de richtingscoëfficient afleiden die de paden van deze geodeten in het ρ-τ plaatje hebben: ( dτ dλ )2 = R r ( dρ dλ )2 dτ R dρ = ± (40) r 15

16 Bedenken we ons dat r = r(τ, ρ) zoals in (31), dan zien we dat U o overeenkomt met r > R (dus R < 1) en U r i met r R (dus R 1). De hoek die de r lichtgeodeten met de ρ-as maken zijn dus kleiner dan 45 0 in het gebied U o en groter of gelijk aan 45 0 in het gebied U i. Dit is figuur 4 aangegeven. Nu moeten alle geodeten hun weg vanaf een bepaald punt in de ruimtetijd altijd binnen de lichtkegel vervolgen. We zien dat de kegels binnen U i zo smal zijn dat ze deze geodeten dwingen binnen U i te blijven. Geodeten kunnen heel makkelijk van U o naar U i lopen. Een standaard voorbeeld hiervan is de astronaut aan wie we de nieuwe coördinaten te danken hebben. Deze geodeet is ook ingetekend, als de dikke vertikale pijl. Het is mogelijk, maar wel veel rekenwerk, om ook andere geodeten uit te rekenen. Dit kan bijvoorbeeld door deze eerst in het Schwarzschild lijnelement te bepalen en dan via de transformatie (36) en (37) het pad van zo n geodeet in het Lemaître lijnelement te zien. Wat er dan bij invallende geodeten gebeurt is dat de term die verantwoordelijk is voor het problematische gedrag bij r = R, onschadelijk wordt gemaakt door de term R ln( r R r+ R ) in (36) en (37). Daardoor kan men zien dat deze geodeet in het Lemaître lijnelement een vorm krijgt die makkelijk door de horizon kan worden voortgezet. Dit is het geval bij de reeds genoemde geodeet van de invallende astronaut. We illustreren bovenstaande nog met het, rekentechnisch niet moeilijke, geval van een lichtstraal. Radiale lichtgeodeten zijn in Schwarzschild namelijk eenvoudig te bepalen. We vervangen vergelijking (7), aṫ 2 a 1 ṙ 2 = 1, door aṫ 2 a 1 ṙ 2 = 0 (41) Vermenigvuldigen we dit weer met a aan beide kanten en vullen we aṫ = D (zie (8)) in, dan krijgen we D 2 ṙ 2 = 0 ṙ = ±D ṙ = ±1 De laatste gevolgtrekking komt doordat we de affine parameter van een 0- geodeet (die we voor de duidelijkheid even λ noemen in plaats van τ of τ) met een constante kunnen vermenigvuldigen, dus we kunnen wel veronderstellen dat D = 1 4. We hebben dus dat we de paramameter λ in dit geval dus gelijk mogen nemen aan ±r. Zelfs zal zo blijken dat we wel λ = r kunnen nemen. Verder volgt uit (41) dat ṫ 2 = a 2 ṙ 2 ṫ = ±a 1 ṙ dt = ±a 1 dr (42) 4 we nemen namelijk aan dat ṫ > 0, met andere woorden, dat de coördinaattijd en de parameter λ dezelfde kant oplopen. Zie hiervoor ook paragraaf 4.3! 16

17 Aangezien a = 1 R r we (42) integreren: t = ± a 1 dr = ± = r R r en dus a 1 = r r R = r R+R r R = 1 + R r R, kunnen 1 + R dr = ±(r + R ln(r R)) + K (43) r R Nemen we nu de invallende lichtstraal (het teken) dan krijgen we dus (we nemen K = 0): t = r R ln(r R) (44) Hierin beschouwen we r als de parameter. Deze loopt (terug) van + tot R 5, terwijl dan t van tot + loopt. Voor de duidelijkheid herhalen we hier de transformatie (36) en (37): ρ = t R r 3 r R Rr + R ln( ) r + R τ = t + 2 r R Rr + R ln( ) r + R Vullen (44) hierbij in dan gaan de logaritmische termen elkaar op een subtiele manier onschadelijk maken: r R r R ln( ) ln(r R) = ln( r + R (r R)( r + R) ) 1 = ln( ( r + R) ) (45) 2 1 = ln( R + r + 2 Rr ) = ln(r + r + 2 Rr) (46) De laatste uitdrukking (in feite vanaf (45)) is ineens geldig voor 0 < r <. Met andere woorden: we kunnen r nu laten doorlopen tot r = 0 (in plaats van r = R). En we krijgen uiteindelijk een parametervoorsteling van de invallende lichtstraal: ρ(r) = r R r Rr R ln(r + r + 2 Rr) (47) τ(r) = r + 2 Rr R ln(r + r + 2 Rr) (48) 5 λ = r dus deze loopt op, zoals het hoort 17

18 Deze laatste rekenpartij diende dus alleen maar om te laten zien hoe het (wiskundig) komt dat de geodeten uit te breiden zijn naar het binnengebied U i. Iets dergelijks geldt ook voor tijdachtige geodeten. Als we bijvoorbeeld een raket nemen die vanaf de horizon aan het opstijgen is met een snelheid die kleiner is dan de ontsnappingssnelheid, dan zal deze een bepaald hoogste punt (maximale waarde van r) bereiken en daarna weer terugvallen om uiteindelijk in het centrum van het zwarte gat te pletter te vallen op r = 0. De baan van zo n geodeet is geschetst in figuur 4 met behulp van een stippellijn. Alhoewel, zoals gezegd, deze rekenpartij veel ingewikkelder is, gaan ook hier logarithmische termen weer zodanig samenwerken dat de geodeet gladjes de horizon kan passeren. Maar let wel: aan het begin van zijn reis kwam er niet uit het zwarte gat tevoorschijn. Samenvattend kunnen we concluderen dat alle in paragraaf 1.1 genoemde verschijnselen hebben verklaard. In de Lemaître coördinaten zien we ze in de wiskunde verschijnen. 4.2 Een wit gat Er staan nog twee vragen open. Op pagina 6 hebben we gekozen voor neerdalende waarnemers en beloofd terug te komen op de vraag waarom. Verder hebben we in paragraaf 1.1 nog een vraag bij de lezer neergelegd. Ook hier gaan we nog op in. We beginnen met het eerste. Wat zou er gebeurd zijn als we opstijgende waarnemers hadden gebruikt? We zouden dan van (10) het plusteken hebben gebruikt. Ik had dit zelf bij de eerste versie van dit document ook daadwerkelijk gedaan. Alle wiskunde is dan praktisch hetzelfde, alleen het teken is hier en daar anders. Met name bij (32) zouden we in plaats van de conditie τ < ρ de conditie τ > ρ hebben gekregen. En figuur 4 had er dan uitgezien als figuur 5. De conclusies waren dan ook precies andersom geweest. Een dergelijke situatie noemt men een wit gat. Er is weer sprake van een horizon maar nu kunnen geodeten uit het buiten gebied het interne gebied niet betreden. Geodeten die buiten zijn, blijven buiten. Wel kunnen er geodeten ontsnappen. Zo komen we dan tot de laatste kwestie. Zijn omkeerbare geodeten mogelijk? Het antwoord blijkt te zijn: Ja en Nee! Zo n geodeet die van de buitenruimte in het zwarte gat verdwijnt is in zekere zin wel omkeerbaar maar dan in een andere oplossingsruimte, namelijk het witte gat. Maar het echt goede antwoord is eigenlijk: Nee. Maar daarvoor moeten we wel iets 18

19 Figuur 5: Wit gat toevoegen aan ons begrip wat een oplossingsruimte eigenlijk is. En dat komt neer op het definieren van het begrip toekomst. We hadden dat impliciet eigenlijk al gedaan. Immers bij het tekenen van de lichtkegels hebben we in feite maar één helft van de kegel getekend. 4.3 Toekomst Als we het begrip toekomst willen definieren, komt misschien het idee op om daarvoor de tijdcoördinaat te gebruiken. Oplopende waarden van t zouden dan duiden op de richting naar de toekomst. In wezen is deze gedachte wel goed, maar er kleeft een groot nadeel aan: de tijdcoördinaat is maar een coördinaat. Soms is niet eens duidelijk wat de tijdcoördinaat is. Sterker nog: 19

20 die kan in het geheel ontbreken. Neem bijvoorbeeld de Minkowski metriek: ds 2 = c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 Als we hier de volgende transformatie op uitvoeren: dan krijgen we: u = ct + x v = ct x ds 2 = dudv dy 2 dz 2 Van de coördinaten (u, v, y, z) is geen enkele aan te merken als tijdcoördinaat (hoe we dat ook zouden willen definieren). Laten we kijken hoe men het concept toekomst formeel wiskundig, en coördinaatvrij definieerd. We zeggen dat we een oplossing (model van de 4- dimensionale ruimtetijd voor lege ruimte) bestaat uit een aantal ingredienten: een 4-dimensionale differentieerbare varieteit ( manifold ), zeg maar ruimte, met daarop een metriek van het type (1,3) (dit betekent dat in elk punt de metriek gediagonaliseerd kan worden, zodanig dat op de diagonaal (1, 1, 1, 1) staat). We noemen dit een pseudo Riemann ruimte. We nemen aan dat aan de veldvergelijking van Einstein voldaan is. Verder postuleert men het bestaan van een vectorveld Figuur 6: Lichtkegel (4-vectoren) T 6 zodanig dat g( T, T ) > 0. We kunnen een vector van dit veld interpreteren als naar met toekomstgerichte helft de toekomst wijzend. In de Schwarzschild ruimte is de toekomst bijvoorbeeld gedefinieerd door het idee dat de tijdcoördinaat t steeds toeneemt. Voor T kan hier dan ook genomen worden: (1, 0, 0, 0). Door dit vectorveld kunnen we nu in elk punt van de ruimtetijd ook een keuze maken voor één van beide helften van de lichtkegel en dat de toekomstgerichte noemen. Zie figuur 6. We eisen nu dat geodeten zodanig zijn geparametriseerd dat hun eigentijd (of affiene parameter in het geval van licht) naar de toekomst toeneemt. Formeel kan dit worden geformuleerd door de eis dat er zal moeten gelden 6 Ik vermijd hier even de notatie T µ en g µν T µ T ν > 0 om de coördinaatvrije karakter te benadrukken 20

21 dat g( T, x) > 0 (g µν T µ ẋ ν > 0). Zo zal bijvoorbeeld in de Schwarzschild ruimte moeten gelden dat ẋ 0 = dx0 > 0. Hierdoor kunnen we niet zomaar dτ zeggen dat als we een geodeet hebben we ook een geodeet krijgen door de eigentijd parameter simpelweg om te draaien. Hiermee is het raadsel van de schijnbare omkeerbaarheid opgelost. We zien dus dat de wezenlijke reden waarom paden in de relativistische gravitatie (mogelijk) onomkeerbaar zijn is, dat de tijd een onlosmakelijk onderdeel is van de ruimtetijd. Dit in tegenstelling tot de klassieke theorie van Newton. Tenslotte nog een opmerking over de overgang van figuur 4 naar 5. We hebben al aangegeven dat 5 ontstaat door uit te gaan van opstijgende waarnemers in plaats van neerdalende. Maar er is, met de informatie uit deze paragraaf, ook nog een andere manier om daarnaar te kijken. Het vectorveld T werd gepostuleerd als een onderdeel van de oplossing. Maar vaak krijgen we ook een oplossing door in plaats van T het vectorveld T als toekomstrichting te nemen. Doen we dat bij de Minkowski oplossing dan krijgen we iets dat weer equivalent is. Ook voor de buitenruimte oplossing van het Schwarzschild lijnelement geldt dit! Ook hier zijn geodeten omkeerbaar 7. Voor de uitbreidingen van deze oplossing geldt dat vaak niet meer. Want als we in de zwarte gat Lemaître ruimte van figuur 4 het vectorveld T vervangen door T betekent dat simpelweg, dat we de daar getekende lichtkegels omdraaien. Als we de dan ontstane figuur vervolgens spiegelen om de ρ-as (de horizontale as), dan krijgen we figuur 5. En een wit gat is fysisch echt heel wat anders dan een zwart gat! 7 maar deze geodeten zijn niet compleet 21