UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Bovendien dient U in alle gevallen uw antwoord te beargumenteren! 1. Bereken de volgende afgeleide d dx sin x cos 2 x sin 2 x en vereenvoudig zo veel mogelijk het resulterende antwoord. We krijgen als afgeleide: ( cos x cos 2 x sin 2 x + 4sin 2 x cos x ( 2 cos 2 x sin 2 x of cos 3 x + 3sin 2 x cos x ( 2 cos 2 x sin 2 x Dit kun je eventueel verder vereenvoudigen via: cos 2x = cos 2 x sin 2 x sin 2x = 2cosx sin x en dan krijg je: cos x + sin x sin 2x cos 2 2x Als je de verdubbelingsformules meteen had toegepast was het differentiëren iets eenvoudiger geweest. 2. Ga na of voor de functie f : [, 1] [, ln 2] gedefinieerd door: f(x= ln (1 + sin( 2 x de inverse functie bestaat. Laten we eerst eens een plaatje maken (dat kun je ook met de hand schetsen:
.7.6.5.4.3.2.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 We zien een functie die loopt van tot ln 2 als x van tot 1 loopt. Dat zijn precies de grenzen die gegeven zijn in de definitie van de functie. Als we nu ook nog aantonen dat de functie een afgeleide heeft die niet van teken wisselt dan is aangetoond dat de functie een inverse heeft. We krijgen: f (x = 2 cos( 2 x 1 + sin( 2 x Met x [, 1] weten we dat zowel de cosinus als de sinus positief is en dus is de afgeleide bijna overal positief met alleen in losse punten gelijk aan nul. Maar dat betekent dat de inverse functie bestaat. We kunnen het bestaan van de inverse ook aantonen via de formele definitie. Een inverse functie bestaat als een functie injectief en surjectief is (samen ook wel bijectief genoemd. Injectief eist dat als f(a = f(b dat dan moet gelden dat a = b. In ons geval krijgen we dat: ln (1 + sin( 2 a = ln (1 + sin( 2 b impliceert dat 1 + sin( 2 a = 1 + sin( 2 b als we links en recht de exponentiële functie gebruiken. We vinden: sin( 2 a = sin( 2 b Alswenudearcsinlinksenrechttoepassendankrijgenwe: 2 a = 2 b en dus a = b. Merk op dat dit alleen klopt omdat a en b beide in het interval [, 1] liggen want arcsin(sin x = x geldt alleen als x [ /2,/2]. Surjectief geldt als voor een willekeurige y [, ln 2] er een x [, 1] bestaat zodanig dat f(x= y. We vinden dat moet gelden ln (1 + sin( 2 x = y oftewel: 1 + sin( 2 x = ey
en dit geldt als: 2 x = arcsin(ey 1 Merk op dat e y 1 [, 1] en dus dat de arcsin goed gedefinieerd is. We krijgen: x = 2 arcsin(ey 1 en omdat arcsin(e y 1 [,/2] ligt als y [, ln 2] vinden we dat voor deze x geldt dat x [, 1] en dus is de functie is surjectief omdat we voor onze willekeurig gekozen y we een x [, 1] gevonden hebben met f(x = y. We hebben bovendien meteen de inverse functie gevonden: f 1 (y = 2 arcsin(ey 1 3. Bereken de limiet lim 1 x + ln x (x 1 sin(x Het antwoord alleen is niet voldoende! De teller en noemer gaan beide naar en dus kunnen we l Hôpital toepassen. We krijgen: lim 1 x + ln x (x 1 sin(x = lim 1 + 1 x sin(x + (x 1 cos(x De teller en noemer gaan nog steeds beide naar en dus kunnen we l Hôpital een tweede keer toepassen. We krijgen: lim 1 + 1 x sin(x + (x 1 cos(x = lim 1 x 2 cos(x + cos(x 2 (x 1 sin(x = 1 2 De laatste limiet was eenvoudig omdat nu de teller niet meer naar nul convergeert. 4. Bepaal het (globale maximum van de functie f gedefinieerd door: f(t = 2t 3 + 3t 2 12t + 1 We bepalen eerst alle kandidaatextremen. We hebben natuurlijk t = 3ent = 3als mogelijke extremen (de randpunten. Daarnaast zijn kandidaatextremen de punten waar de functie niet differentieerbaar is maar die zijn er in dit geval niet. Tot slot de punten waar de afgeleide gelijk is aan. We hebben: f (t = 6t 2 + 6t 12 = 6(t 2 + t 2 = 6(t + 2(t 1 en vinden de kandidaatextremen t = 2ent = 1. Nu kijken we naar de functiewaarden in de kandidaatextremen: f( 3 = 1 f( 2 = 21 f(1 = 6 f(3 = 46
De grootste functiewaarde wordt aangenomen voor t = 3 en dat is dus het globale maximum. 5. Bepaal de volgende integralen a x sin x 2 dx. We gaan dit aanpakken met substitutie y = x 2 met dy = 2xdx en we vinden: x sin x 2 dx = 1 2 sin y dy = 1 2 cos y = 1 2 cos x2 Bepaal de volgende integralen b x 3 sin x 2 dx. We gaan aan de slag met partieel integreren: x 2 (x sin x 2 dx = [ x2 = 2 + 1 2 2 cos x2] cos y dy + x cos x 2 dx = 2 + 1 [ ] 2 sin y 2 waarbij we ook weer de substitutie y = x 2 met dy = 2xdx hebben gebruikt. 6. Bereken de volgende integraal 1 1 x 2 dx We hebben te maken met een oneigenlijke integraal omdat voor x = 1denoemergelijk is aan nul. We moeten dus een limiet gebruiken: 1 a dx = lim 1 x 2 a 1 1 x 2 dx We gebruiken hier de substitutie y = en krijgen: a [ y dy = 1 2 y2] a en dus: 1 = 1 2 a2 1 dx = lim 1 x 2 a 1 2 a2 = 2 8
7. Bepaal voor de functie f(x= ln(1 + x 1 + x het Taylorpolynoom van de graad 2 rond x =. We hebben: en dus: f (1 1 ln(1 + x (x = (1 + x 2 (1 + x 2 f (2 3 + 2ln(1 + x (x = (1 + x 3 f( = f (1 ( = 1 f (2 ( = 3 en dus wordt het Taylorpolynoom gegeven door: f( + f (1 ( 1! (x + f (2 ( (x 2 = x 3 2! 2 x2 8. a Bepaal de algemene oplossing van de lineaire differentiaalvergelijking: ẍ 6ẋ + 9x = We proberen een oplossing van de vorm e rt.wevinden: (r 2 6r + 9e rt = De bijbehorende karakteristieke vergelijking is dus: r 2 6r + 9 = We vinden r = 3. We hebben nu één nulpunt en de theorie vertelt ons nu dat twee onafhankelijke oplossingen gegeven worden door e 3t en te 3t en de algemene oplossing wordt dan gegeven door: (α + βte 3t met α en β willekeurige constanten. b Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking: ẍ 6ẋ + 9x = te 2t We proberen een particuliere oplossing van de vorm (at + be 2t
Invullen levert op: We krijgen: [at + (b 2a] e 2t = te 2t a = 1 b 2a = We vinden dus a = 1enb = 2. De particuliere oplossing die we vinden is dus gelijk aan: (t + 2e 2t Gecombineerd met het antwoord van a. vergelijking vinden we: (α + βte 3t + (t + 2e 2t ( de algemene oplossing van de homogene met α en β willekeurige constanten. 9. Bepaal de oplossing van de differentiaalvergelijking: xẋ = (x 2 + 1(sin t + t cos t met x( =, x(t > ent [,]. We hebben x dx dt = (x2 + 1(sin t + t cos t en dus: x 1 + x 2 dx = (sin t + t cos tdt We krijgen: x dx = cos t + t cos t dt 1 + x2 Voor de linkerintegraal gebruiken we de substitutie y = x 2 en voor de rechterintegraal partiële integratie. We krijgen: 1 dy = cos t + t sin t sin t dt 2(1 + y en de oplossing wordt dus bepaald door: 1 2 ln(1 + y = t sin t + C ( met C een willekeurige constante en dus y = e 2t sin t+c 1. en omdat y = x 2 en x(t > krijgen we: x = e 2t sin t+c 1. Uitdelaatstevergelijkingmetx( = vindenwec =. We vinden als oplossing: x(t = e 2t sin t 1.