Wiskunde: het mooiste vak!

Wiskunde: het mooiste vak! Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit Nederland Congres van de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleraren Blankenberge, 29 juni 2008

Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing:

Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing: Schoonheid

Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing: Schoonheid Structuur

Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing: Schoonheid Structuur Symmetrie

Absolutely amazing!

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98 123 8 + 3 = 987

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98 123 8 + 3 = 987 1234 8 + 4 = 9876

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98 123 8 + 3 = 987 1234 8 + 4 = 9876 12345 8 + 5 = 98765

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98 123 8 + 3 = 987 1234 8 + 4 = 9876 12345 8 + 5 = 98765 123456 8 + 6 = 987654

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98 123 8 + 3 = 987 1234 8 + 4 = 9876 12345 8 + 5 = 98765 123456 8 + 6 = 987654 1234567 8 + 7 = 9876543

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98 123 8 + 3 = 987 1234 8 + 4 = 9876 12345 8 + 5 = 98765 123456 8 + 6 = 987654 1234567 8 + 7 = 9876543 12345678 8 + 8 = 98765432

Absolutely amazing! 1 8 + 1 = 9 12 8 + 2 = 98 123 8 + 3 = 987 1234 8 + 4 = 9876 12345 8 + 5 = 98765 123456 8 + 6 = 987654 1234567 8 + 7 = 9876543 12345678 8 + 8 = 98765432 123456789 8 + 9 = 987654321

Absolutely amazing!

Absolutely amazing! 1 9 + 2 = 11 12 9 + 3 = 111 123 9 + 4 = 1111 1234 9 + 5 = 11111 12345 9 + 6 = 111111 123456 9 + 7 = 1111111 1234567 9 + 8 = 11111111 12345678 9 + 9 = 111111111 123456789 9 + 10 = 1111111111

Absolutely amazing!

Absolutely amazing! 9 9 + 7 = 88 98 9 + 6 = 888 987 9 + 5 = 8888 9876 9 + 4 = 88888 98765 9 + 3 = 888888 987654 9 + 2 = 8888888 9876543 9 + 1 = 88888888 98765432 9 + 0 = 888888888 987654321 9 1 = 8888888888

Absolutely amazing! 9 9 + 7 = 88 98 9 + 6 = 888 987 9 + 5 = 8888 9876 9 + 4 = 88888 98765 9 + 3 = 888888 987654 9 + 2 = 8888888 9876543 9 + 1 = 88888888 98765432 9 + 0 = 888888888 987654321 9 1 = 8888888888 9876543210 9 2 = 888888888888

Een kindertekening

Een kindertekening Een kromme als omhullende!

Een kindertekening, variant

Een kindertekening, variant Alle lijnstukjes even lang

Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel 1 y b O a 1 x

Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door y 1 b O a 1 x

Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel y Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door bx + ay = ab 1 b O a 1 x

Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel 1 y Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door bx + ay = ab In het eerste geval geldt: a + b constant. Kies a + b = 1 b O a 1 x

Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel 1 y Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door bx + ay = ab In het eerste geval geldt: a + b constant. Kies b O a 1 x a + b = 1 (In het tweede geval geldt: a 2 + b 2 constant. Kies dan a 2 + b 2 = 1 )

Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) bx + ay = ab met a + b = 1

Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) met bx + ay = ab a + b = 1 Merk op: er is symmetrie in x en y (en in a en b)!

Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) met bx + ay = ab a + b = 1 Merk op: er is symmetrie in x en y (en in a en b)! We zoeken een analytische beschrijving van de omhullende kromme.

Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) met bx + ay = ab a + b = 1 Bekijk smal verticaal venster bij x = x 0 1 y Merk op: er is symmetrie in x en y (en in a en b)! 1 - a (x 0, y 0 ) We zoeken een analytische beschrijving van de omhullende kromme. O x 0 a 1 x

Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) y 1 1 - a (x 0, y 0 ) O x 0 a 1 x

Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) Bij vaste x = x 0 is de y-waarde y = (1 a) 1 a a x 0 y 1 1 - a (x 0, y 0 ) O x 0 a 1 x

Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) y 1 Bij vaste x = x 0 is de y-waarde y = (1 a) 1 a a x 0 Die is maximaal als het punt ( (x 0, y 0 ) = x 0, (1 a) 1 a ) x 0 a 1 - a (x 0, y 0 ) op de omhullende kromme ligt! O x 0 a 1 x

Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) y 1 Bij vaste x = x 0 is de y-waarde y = (1 a) 1 a a x 0 Die is maximaal als het punt ( (x 0, y 0 ) = x 0, (1 a) 1 a ) x 0 a 1 - a (x 0, y 0 ) O x 0 a 1 x op de omhullende kromme ligt! Hier is y = y(a) een functie van a, en y 0 = max 0 a 1 y(a)

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van y(a) = (1 a) 1 a a x 0

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft x 0 = a 2 dus a = x 0

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0 = (1 x 0 ) 2

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0 = (1 x 0 ) 2 = (1 a) 2 = b 2 zodat (x 0, y 0 ) = (a 2, b 2 )

Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0 = (1 x 0 ) 2 = (1 a) 2 = b 2 zodat (x 0, y 0 ) = (a 2, b 2 ) = opnieuw symmetrie!

Recapitulatie:

Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1

Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1 Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 2, b 2 ) dus wegens a + b = 1

Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1 Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 2, b 2 ) dus wegens a + b = 1 x + y = 1 (vergelijking van de omhullende kromme).

Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1 Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 2, b 2 ) dus wegens a + b = 1 x + y = 1 (vergelijking van de omhullende kromme). Parametrisatie: x = cos 4 t, y = sin 4 t, 0 t 1 2 π.

Net zo voor de tweede kindertekening:

Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen bx + ay = ab met a 2 + b 2 = 1

Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen met bx + ay = ab a 2 + b 2 = 1 Met dezelfde methode als boven vind je dat een punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 3, b 3 ) dus wegens a 2 + b 2 = 1

Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen met bx + ay = ab a 2 + b 2 = 1 Met dezelfde methode als boven vind je dat een punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 3, b 3 ) 3 x 2 + 3 y 2 = 1 dus wegens a 2 + b 2 = 1 Dit is een asteroïde.

Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen met bx + ay = ab a 2 + b 2 = 1 Met dezelfde methode als boven vind je dat een punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 3, b 3 ) 3 x 2 + 3 y 2 = 1 dus wegens a 2 + b 2 = 1 Dit is een asteroïde. Parametrisatie: x = cos 3 t, y = sin 3 t, 0 t 2π.

Een goede bekende 1 y b O a 1 x

Een goede bekende y 1 b Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 O a 1 x

Een goede bekende y 1 Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 b O a 1 x Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan x = a 2, y = b 2

Een goede bekende y 1 Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 b O a 1 x Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan x = a 2, y = b 2 en dit geeft, wegens 0 a, b 1, de vergelijking x + y = 1

Een goede bekende y 1 Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 b O a 1 x Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan x = a 2, y = b 2 en dit geeft, wegens 0 a, b 1, de vergelijking x + y = 1 Maar waarom zouden we ook geen negatieve a of b toelaten (met, nog steeds, a + b = 1)?

Een goede bekende

Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1

Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y

Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y en dat kunnen we ook schrijven als 2(x + y) = 1 + (x y) 2

Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y en dat kunnen we ook schrijven als 2(x + y) = 1 + (x y) 2 Dit is een parabool!

Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y en dat kunnen we ook schrijven als 2(x + y) = 1 + (x y) 2 Dit is een parabool! (namelijk, met u = x y, v = x + y, de parabool 2v = 1 + u 2 )

De omhullende is een parabool!

Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8

Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8 Januari 2007: E8 volledig in kaart gebracht.

Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8 Januari 2007: E8 volledig in kaart gebracht. E8 is een 248-dimensionale wiskundige structuur.

Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8 Januari 2007: E8 volledig in kaart gebracht. E8 is een 248-dimensionale wiskundige structuur. De figuur hiernaast toont een tweedimensionale projectie van een achtdimensionaal wortelsysteem voor E8

Wie werkten mee aan dit resultaat over E8? Veertien van de achttien leden van het Atlas-team (Palo Alto, 2004).

Wat is E8?

Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, 1842-1899).

Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, 1842-1899). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen.

Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, 1842-1899). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen. E8 beschrijft de symmetrieën van een zekere meetkundige structuur in een 57-dimensionale ruimte.

Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, 1842-1899). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen. E8 beschrijft de symmetrieën van een zekere meetkundige structuur in een 57-dimensionale ruimte. E8 heeft een wortelsysteem dat bestaat uit 240 eenheidsvectoren in een achtdimensionale vectorruimte.

Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, 1842-1899). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen. E8 beschrijft de symmetrieën van een zekere meetkundige structuur in een 57-dimensionale ruimte. E8 heeft een wortelsysteem dat bestaat uit 240 eenheidsvectoren in een achtdimensionale vectorruimte. E8 heeft dimensie 248.

Meer informatie over E8 Meer details: Artikel door Bruno van Wayenburg voor Noorderlicht: http://noorderlicht.vpro.nl/artikelen/33845127/ Artikel door Alex van den Brandhof en Tom Koornwinder op Kennislink: http://www.kennislink.nl/web/show?id=167365

Symmetrieën in het vlak

Symmetrieën in het vlak Jali (India, zestiende eeuw)

Symmetrieën in het vlak Wat voor symmetrieën zien we in deze Indiase jali? Jali (India, zestiende eeuw)

Symmetrieën in het vlak Wat voor symmetrieën zien we in deze Indiase jali? Het centrale gedeelte kan in alle richtingen worden voortgezet. Wat krijgen we dan? Jali (India, zestiende eeuw)

Symmetrieën in het vlak Jali (India, zestiende eeuw)

Symmetrieën in het vlak Zoek de rotatiecentra in dit patroon!

Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra

Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra drievoudige rotatiecentra

Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra drievoudige rotatiecentra tweevoudige rotatiecentra

Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra drievoudige rotatiecentra tweevoudige rotatiecentra Het is hetzelfde patroon als de vlakvulling op de vorige dia. Het patroon heeft dezelfde symmetrieën!

Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie.

Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie. Samen met de identiteit vormen deze symmetrieën de symmetriegroep van zo n patroon.

Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie. Samen met de identiteit vormen deze symmetrieën de symmetriegroep van zo n patroon. Er zijn precies zeventien verschillende behangpatroongroepen!

Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie. Samen met de identiteit vormen deze symmetrieën de symmetriegroep van zo n patroon. Er zijn precies zeventien verschillende behangpatroongroepen! Voorbeelden van patronen met deze symmetriegroepen kunnen gevonden worden in ornamentale kunst uit alle cultuurperiodes, in het bijzonder in de islamitische kunst, maar ook in de Jugendstil en in het werk van M.C. Escher.

Symmetrie in de wiskunde en de kunst Zie voor meer informatie, lezingen, artikelen, etc. mijn homepage http://www.science.uva.nl/ craats

Symmetrie in de wiskunde en de kunst Zie voor meer informatie, lezingen, artikelen, etc. mijn homepage http://www.science.uva.nl/ craats en verder...

CWI-vacantiecursus Bezoek de CWI-vacantiecursus 2008 Wiskunde en profil Het gezicht van de wiskunde bestemd voor wiskundeleraren!

CWI-vacantiecursus Bezoek de CWI-vacantiecursus 2008 Wiskunde en profil Het gezicht van de wiskunde bestemd voor wiskundeleraren! De tweedaagse cursus, die bestaat uit acht lezingen, wordt twee maal gegeven: Eindhoven, vrijdag 22 en zaterdag 23 augustus 2008 Amsterdam, vrijdag 29 en zaterdag 30 augustus 2008

CWI-vacantiecursus Bezoek de CWI-vacantiecursus 2008 Wiskunde en profil Het gezicht van de wiskunde bestemd voor wiskundeleraren! De tweedaagse cursus, die bestaat uit acht lezingen, wordt twee maal gegeven: Eindhoven, vrijdag 22 en zaterdag 23 augustus 2008 Amsterdam, vrijdag 29 en zaterdag 30 augustus 2008 Voor meer details, zie http://www.cwi.nl/events/2008/vc2008/