Bruno Ernst Symposium

Transcriptie

1 Bruno Ernst Symposium Betegelingen en behanggroepen symmetrie in wiskundige termen Jeanine Daems Universiteit Leiden

2 Voorbeelden van symmetrische figuren:

3

4

5

6 wat is symmetrie in de wiskunde? symmetrie als afbeelding wat is een symmetriegroep? strookpatronen en behanggroepen

7 een symmetrie van een figuur: een afbeelding die een figuur precies op zichzelf afbeeldt zó dat alle afstanden bewaard blijven

8 Voorbeeld: de symmetrieën van een vlinder 2 symmetrieën: de identiteit: de afbeelding die elk punt op zichzelf afbeeldt ( niets doen ) spiegeling in verticale as

9 Voorbeeld: de symmetrieën van een regelmatige driehoek identiteit ( niets doen ) 3 spiegelingen 2 rotaties

10 We noemen de verzameling van alle symmetrieën van een figuur de symmetriegroep van de figuur. De vlinder heeft dus een symmetriegroep bestaande uit 2 elementen: de identiteit en een spiegeling. De regelmatige driehoek heeft een symmetriegroep van 6 elementen: de identiteit, 3 spiegelingen en 2 rotaties.

11 Een symmetriegroep kan ook oneindig veel elementen bevatten: [oneindig voortgezet naar links en naar rechts] De symmetriegroep bevat oneindig veel translaties: je kunt alles 1 voetje naar rechts verschuiven, of 1 voetje naar links, of willekeurig veel voetjes naar rechts of naar links. Merk op: een begrensde figuur kan geen translatiesymmetrieën hebben.

12 [oneindig voortgezet naar links en naar rechts] Ook bevat de symmetriegroep glijspiegelingen, bijvoorbeeld de glijspiegeling die ontstaat door spiegelen in de horizontale as gevolgd door een half voetje naar rechts transleren.

13 Samenstellen van symmetrieën Na toepassen van een symmetrie ziet de figuur er hetzelfde uit. Je kunt dan weer een symmetrie toepassen. Het na elkaar toepassen van symmetrieën heet samenstellen van symmetrieën. Het resultaat is een nieuwe symmetrie. Notatie: als we eerst symmetrie S toepassen en daarna symmetrie T, dan schrijven we T S.

14 een spiegeling met zichzelf samenstellen geeft de identiteit een symmetrie met de identiteit samenstellen geeft die symmetrie waarmee je begon een rotatie over 120 samenstellen met een rotatie over 120 geeft een rotatie over 240 een translatie met zichzelf samenstellen geeft een translatie in dezelfde richting over de dubbele afstand

15 Inverse symmetrieën Bij elke symmetrie S is er een symmetrie T te vinden zodat S samenstellen met T de identiteit oplevert. (Notatie: T S = id) We noemen T de inverse van S.

16 Bekijk de symmetrieën van de regelmatige driehoek. de inverse van de identiteit is de identiteit de inverse van een spiegeling is die spiegeling zelf de inverse van de rotatie om 120 is de rotatie om 240 de inverse van de rotatie om 240 is de rotatie om 120

17 de inverse van de translatie met 1 voetje naar links is de translatie met 1 voetje naar rechts de inverse van de translatie met 35 voetjes naar rechts is de translatie met 35 voetjes naar links de inverse van de glijspiegeling die bestaat uit spiegelen in de horizontale as gevolgd door een half voetje naar rechts transleren, is de glijspiegeling die bestaat uit spiegelen in dezelfde as en dan een half voetje naar links transleren

18 Voorbeeld: symmetriegroep van een regelmatige vijfhoek

19 Voorbeeld: symmetriegroep van een regelmatige vijfhoek identiteit id 5 spiegelingen 4 rotaties (5-voudige rotaties) Wat zijn de inversen van deze elementen?

20 strookgroep: symmetriegroep van een patroon op een strook dat een translatiesymmetrie heeft, zodanig dat er een kleinste translatie-afstand is Dus: symmetriegroep van een lijn is geen strookgroep! Er zijn 7 strookgroepen.

21 plaatje van

22 zijn er 2-voudige rotatiecentra? ja; horizontale spiegeling? ja, dan groep 7 nee; verticale spiegeling? als ja, dan groep 6, als nee, dan groep 5 nee; horizontale spiegeling? ja, dan groep 3 nee; glijspiegeling? ja, dan groep 2 nee; verticale spiegeling? als ja, dan groep 4, als nee, dan groep 1

23 determinatietabel: 2-voudige rotatiecentra? nee horizontale spiegelingen? nee glijspiegelingen? nee verticale spiegelingen? nee allebei dezelfde strookgroep: identiteit, translaties, geen andere symmetrieën

24 determinatietabel: 2-voudige rotatiecentra? nee horizontale spiegelingen? nee glijspiegelingen? ja allebei dezelfde strookgroep: identiteit, translaties, glijspiegelingen en geen echte spiegelingen

25 vlak in plaats van strook behanggroep: symmetriegroep van een vlak figuur met translaties in twee onafhankelijke richtingen zodat er een kleinste translatie-afstand is Er zijn 17 behanggroepen.

26 rooster

27

28

29

30 We noemden de verzameling van symmetrieën van een figuur de symmetriegroep van de figuur. Hier betekent groep niet alleen een verzameling dingen (zoals in een groep mensen ). In wiskunde is groep een veel algemener concept.

31 Er is een analogon voor behanggroepen in elke dimensie: kristallografische groepen. ca. 1890: Fedorov en Schoenflies tellen het aantal kristallografische groepen in dimensie 3: , Parijs, International Congress of Mathematicians: Hilbert probleem 18: Is er in elke dimensie slechts een eindig aantal kristallografische groepen? Antwoord: ja [Ludwig Bieberbach, 1910 & 1912]

32 1948: Hans Zassenhaus ( ) publiceerde Über einen Algorithmus zur Bestimmung der Raumgruppen Algoritme voor classificatie van kristallografische groepen

33 Brown, Bülow, Neubüser, Wondratschek, Zassenhaus : Brown implementeerde Zassenhaus algoritme 1973: lijst van kristallografische groepen in dimensie 4 opgesteld 4783 kristallografische groepen, 4895 echte kristallografische groepen

34 n = 1 : 2 n = 2 : n = 3 : n = 4 : n = 5 : n = 6 : 17 kristallografische groepen Fedorov (1890) kristallografische groepen Schoenflies (1889), Fedorov (1890/2) kristallografische groepen Brown, Bülow, Neubüser, Wondratschek, Zassenhaus (1978) kristallografische groepen Plesken and Schulz (2000) kristallografische groepen Plesken and Schulz (2000)

35