Figuur 124: De mayadiagrammen van enkele partities Opgaven hoofdstuk 8: Partities en andere afbeeldingen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven Opgave 8.1 a Het eerste voorbeeld van figuur 47 is het zelfde als figuur 48, dus dit hoort bij de lege partitie. Met behulp van figuur (a) Het tweede Mayadiagram van figuur 47 en zijn partitie (b) Het derde Mayadiagram van figuur 47 en zijn partitie (c) Het vierde Mayadiagram van figuur 47 en zijn partitie Figuur 123: De mayadiagrammen van figuur 47 en hun partities 123(a) is te zien dat het tweede voorbeeld hoort bij de partitie λ = (1). Met behulp van figuur 123(b) is te zien dat het derde voorbeeld hoort bij de partitie λ = (2). En tot slot is met behulp van figuur 123(c) te zien dat het vierde voorbeeld hoort bij de partitie λ = (5, 2, 1). Opgave 8.1 b Om aan te tonen dat de constructie een bijectie geeft is het nodig te laten zien dat ieder verschillend Mayadiagram een unieke 2-d partitie vertegenwoordigt, en omgekeerd dat iedere verschillende 2-d partitie een uniek Mayadiagram oplevert. We geven hier een globale beschrijving van een richting waarlangs je dit zou kunnen aantonen. We beginnen met het eerste. Neem de meest rechter doos die leeg is en (als die groter dan of gelijk is aan 0) maak hiervan het eindpunt van de onderste kolom die rechts uitsteekt (bezien vanuit het perspectief van de partitie die onder een hoek van 135 gedraaid is en bovenop 1 2 geplaatst is). Neem de volgende doos hier links van, die leeg is, en maak hier het eindpunt van, van de volgende kolom. En zo verder tot en met doos 0. Neem de meest linker doos die gevuld is en (als deze kleiner is dan 0), maak hiervan het eindpunt van de onderste rij die links uitsteekt. Neem de volgende doos hier rechts van, die gevuld is en maak hier het eindpunt van de volgende rij van. En zo verder tot doos 0. Deze constructie zal leiden tot een Ferrersdiagram van een geldige 2-d partitie. Door de volgorde van de koppelingen aan kolommen en rijen en het feit dat iedere volgende doos in deze constructie altijd minstens één stap dichter bij 1 2 ligt, betekent dat een rij of kolom nooit langer is dan de rij of kolom waar hij op geplaatst wordt (bezien in het perspectief van 135 gedraaid). Bekijken we het weer in het reguliere Ferrersdiagram perspectief, dan betekent dit dat een rij nooit langer is dan de rij er boven, en een kolom nooit langer dan de kolom er links van. Dan de omgekeerde route. We beginnen met een 2-d partitie gegeven door (λ 0, λ 1,..., λ k ) en een Mayadiagram horend bij de lege partitie, zoals gegeven in figuur 48. Neem hierin de bal in doos 0 en verplaats deze λ 0 posities naar links. Neem vervolgens de bal in doos 1 en verplaats deze λ 1 posities naar links. Ga zo door tot en met de bal in doos k en verplaats deze λ k posities naar links. Omdat voor iedere λ i geldt λ i 1 λ i λ i+1 zal een bal die verplaatst is nooit in dezelfde doos gezelschap krijgen van of ingehaald worden door een bal die door een latere λ i wordt verplaatst vanaf doos i. We beginnen aan dit proces met alle ballen in dozen met een getal groter dan of gelijk aan 0. Voor iedere bal die over deze grens heen naar links gaat geldt dat er een doos achter blijft met een getal groter dan of gelijk aan 0 die leeg is. Dus het aantal gevulde dozen aan de linker kant is gelijk aan het aantal lege dozen aan de rechter kant. Deze route leidt ook inderdaad tot het Mayadiagram dat we bereiken met de op pagina 45 beschreven constructie. De meest linker bal komt in de doos met nummer λ 0 en de meest rechter doos die leeg is heeft nummer k. Het is goed na te gaan dat het ook voor de tussenliggende verschuivingen klopt. 147

2 (a) Het Mayadiagram van λ = (11, 7, 7, 3, 3, 1, 1) = (10, 5, 4 6, 3, 2) (b) Het Mayadiagram van λ = (4, 3, 2, 1) = (3, 1 3, 1) (c) Het Mayadiagram van λ = (8, 5, 4, 2) = (7, 3, 1 3, 2, 0) (d) Het Mayadiagram van λ = (4, 3, 3, 1) = (3, 1, 0 3, 10) Figuur 124: De mayadiagrammen van enkele partities Opgave 8.1 c We nummeren alle zijkanten van de vierkanten aan de buitenkant van de partitie, naar rechts of naar onderen. Trek de lijn over de diagonaal van de partitie. Daar waar deze lijn de partitie uit komt begin je per zijde van een vierkant te nummeren. Vanaf de diagonaal omhoog richting het plafond (zie definitie 4.1) begin je met 1, 2, 3, enzovoorts. Vanaf de diagonaal naar beneden, richting linker zijwand begin je te nummeren met 0, 1, 2, 3, enzovoorts. Ben je aan het einde van de partitie gekomen en aanbeland bij het plafond of de linker zijwand (zie definitie 4.1 voor de terminologie), dan nummer je tot in het oneindige verder langs het plafond of de linker zijwand. Is een genummerd lijnstukje verticaal dan krijgt het een zwarte bal, is het genummerde lijnstuk horizontaal, dan krijgt het een rode bal. Het Mayadiagram dat hier bij hoort heeft ballen in de dozen met een nummer dat op deze wijze een zwarte bal heeft gekregen. Opgave 8.1 d In figuur 124 en 126 zijn de Mayadiagrammen weer gegeven horend bij de opgegeven partities inclusief de constructie hoe ze zijn opgebouwd. Voor de volledigheid zijn van de partities gegeven door de λ-notatie ook de bijbehorende 148

3 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven (a) De partitie van figuur 124(b) met de constructie met rode en zwarte ballen (b) De partitie van figuur 124(c) met de constructie met rode en zwarte ballen Figuur 125: Mayadiagrammen via de constructie van figuur 50 Frobenius notatie gegeven en andersom. In figuur 125 zijn de partities λ = (4, 3, 2, 1) en λ = (8, 5, 4, 2) ook nog gegeven met de constructie uit figuur 50. Opgave 8.2 a De 5 en de 1 voor de verticale streep leiden tot de getallen 6 en 2 voor de dozen met negatieve getallen met een bal, met andere woorden één er bij opgeteld en dan negatief. De 3 en de 1 na de verticale streep leiden tot de getallen 3 en 1 voor dozen met niet negatieve getallen zonder bal, met andere woorden, precies die getallen. In figuur 124(c) is de partitie afgebeeld van λ = (8, 5, 4, 2). In opgave 4.3 a hadden we deze al vertaald naar de Frobenius notatie (7, 3, 1 3, 2, 0). Voor de verticale streep hebben we de getallen 7, 3 en 1. Met de net gegeven vertaling zou dit leiden tot de getallen 8, 4 en 2 voor de dozen met negatieve getallen met een bal. Na de verticale streep hebben we de getallen 3, 2 en 0. Dat zou tot precies die getallen moeten leiden voor dozen met niet negatieve getallen zonder bal. En inderdaad is dit precies wat we in figuur 124(c) zien. In figuur 124(b) is de partitie afgebeeld van λ = (4, 3, 2, 1). In opgave 4.3 a hadden we deze al vertaald naar de frobenius notatie (3, 1 3, 1). Op analoge wijze leidt dit tot de negatieve getallen 4 en 2 met bal en de niet negatieve getallen 3 en 1 zonder bal. Zoals ook zichtbaar in figuur 124(b). In figuur 127 is de partitie van λ = (3, 3, 3) weergegeven. In deze figuur is zowel zichtbaar dar hier de Frobenius notatie (2, 1, 0 2, 1, 0) bij hoort, als dat het leidt tot een Mayadiagram met in de negatieve dozen 3, 2 en 1 een bal en in de niet negatieve dozen 2, 1 en 0 geen bal. Opgave 8.2 b Uit het voorgaande kunnen we afleiden dat de dozen met de negatieve waarden (a 1 + 1), (a 2 + 1),, (a n + 1) gevuld zijn met een bal en de overige dozen met een negatieve waarde niet. De dozen met niet negatieve waarden b 1, b 2,, b n zijn leeg, de overige dozen met niet negatieve waarden zijn gevuld. Opgave 8.2 c Omgekeerd kunnen we vanuit een Mayadiagram tot een Frobenius notatie komen op de volgende wijze: ( d p 1, d p 1 1,, d 2 1, d 1 1 c p, c p 1,, c 2, c 1 ). Opgave 8.3 a Definitie 8.1 vertelt ons dat er evenveel dozen zijn met nummer i en i 0 zodat doos i is leeg als dat er dozen zijn met nummer j en j < 0 en met doos j is gevuld. We moeten dus formule (18) zo inzetten dat we net zoveel verschillende waarden voor i vinden als verschillende waarden voor j. Daarnaast is de formule zo opgezet dat iedere gevonden waarde voor i of j in positieve zin bijdraagt aan de energie. Bij een positief gevonden i moet de waarde van i bij de 149

4 (a) Het Mayadiagram van λ = (6, 4, 0 5, 2, 0) = (7, 6, 3, 2, 1, 1) (b) Het Mayadiagram van λ = (3, 1, 0 5, 4, 2) = (4, 3, 3, 3, 3, 2) (c) Het Mayadiagram van λ = (9, 8, 6, 4 6, 4, 1, 0) = (10, 10, 9, 8, 2, 2, 1) Figuur 126: De mayadiagrammen van enkele partities gegeven in Frobenius notatie energie opgeteld worden. Bij een negatief gevonden j moet de waarde van j van de energie worden afgetrokken, wat ook leidt tot een toename van energie, omdat j negatief is. Voor n = 1 kan dat alleen maar met i = 0 en j = 1. Voor n = 2 kan het met i = 0 en j = 2 of met i = 1 en j = 1. Voor n = 3 kan het met i = 0 en j = 3; met i = 1 en j = 2 of met i = 2 en j = 1. Voor n = 4 kan het met i = 0 en j = 4; met i = 1 en j = 3; met i = 2 en j = 2; met i = 3 en j = 1 en tot slot met i 1 = 0; i 2 = 1; j 1 = 1 en j 2 = 2. Opgave 8.3 b In figuur 124(a) zijn de waarden van j met een gevulde doos: 11, 6 en 5. De waarden voor i met een lege doos zijn 2, 3 en 6. Dus komen we op ( ) ( ) = 11 ( 22) = 33. In figuur 124(b) zijn de waarden van j met een gevulde doos: 4 en 2. De waarden voor i met een lege doos zijn 1 en 3. Dus komen we op (1 + 3) ( 2 4) = 4 ( 6) = 10. In figuur 124(c) zijn de waarden van j met een gevulde doos: 8, 4 en 2. De waarden voor i met een lege doos zijn 0, 2 en 3. Dus komen we op ( ) ( 2 4 8) = 5 ( 14) = 19. In figuur 124(d) zijn de waarden van j met een gevulde doos: 4, 2 en 1. De waarden voor i met een lege doos zijn 0, 1 en 3. Dus komen we op ( ) ( 1 2 4) = 4 ( 7) = 11. In figuur 126(a) zijn de waarden van j met een gevulde doos: 7, 5 en 1. De waarden voor i met een lege doos zijn 0, 2 en 5. Dus komen we op ( ) ( 1 5 7) = 7 ( 13) = 20. In figuur 126(b) zijn de waarden van j met een gevulde doos: 4, 2 en 1. De waarden voor i met een lege doos 150

5 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven Figuur 127: De partitie (3,3,3) zijn 2, 4 en 5. Dus komen we op ( ) ( 1 2 4) = 11 ( 7) = 18. In figuur 126(c) zijn de waarden van j met een gevulde doos: 10, 9, 7 en 5. De waarden voor i met een lege doos zijn 0, 1, 4 en 6. Dus komen we op ( ) ( ) = 11 ( 31) = 42. Opgave 8.3 c Een goed voorbeeld van het leeg of gevuld zijn van de doos met nummer 0 is het vergelijken van de figuren 124(b) en 124(d). Met het bijplaatsen van één doos op de diagonaal komt er zowel een extra waarde bij voor i = 0 als een extra waarde voor j = 1. Er komt echter maar één doos bij dus hierna mag de energie maar met 1 toegenomen zijn. En dat dat goed gaat komt precies door dat één van beide bijdragen een bijdrage heeft van 0. De bijdrage van elke waarde aan de energie brengt tot uitdrukking het aantal vierkanten vanaf het uiteinde tot en met de diagonaal. Maar de diagonaal willen we maar één keer mee tellen, dus telt hij aan de rechterkant mee als 0. Opgave 8.4 b De linker configuratie van niet snijdende paden in figuur 51 kent maar twee punten die niet op de standaard hoogte van het pad liggen, namelijk de punten met x-coördinaat 0 en 1 van het pad met standaard hoogt 0. Dus n (0) 1 = 1 en n(0) 0 = 2. De middelste configuratie heeft twee paden met punten boven de standaard hoogte. Op het pad met standaard hoogte 1 ligt het middelste punt hoger en op het pad met standaard hoogte 0 liggen de punten met x-coördinaat 2 tot en met 3 boven de standaard hoogte. n ( 1) 0 = 0 en n (0) 2 = 1, n(0) 1 = n(0) 0 = n (0) 1 = 2, n (0) 2 = n (0) 3 = 1. De rechter configuratie heeft drie paden met punten boven de standaard hoogte. Op het pad met standaard hoogte 2 liggen de punten met x-coördinaat 0 en 1 hoger, op het pad met standaard hoogte 1 liggen de punten met x- coördinaat 2 tot en met 2 boven de standaard hoogte en op het pad met standaard hoogte 0 liggen de punten met x-coördinaat 3 tot en met 3 boven de standaard hoogte. n ( 2) 0 = n ( 2) 1 = 1, n ( 1) 2 = n ( 1) 1 = 0, n ( 1) 0 = n ( 1) 1 = 1, n ( 1) 2 = 0, n (0) 3 = n(0) 2 = 1, n(0) 1 = 3, n(0) 0 = 4, n (0) 1 = n (0) 2 = 2, n (0) 3 = 1. Opgave 8.5 a Het eerste touw, het dichtst langs de wanden, horend bij , 1 151

6 leidt tot de getallen 1, 1, 3, 4, 3, 2, 1. Dit touw hoort bij het pad met standaard hoogte 0 en het getal dat op de diagonaal staat, in dit geval 4, hoort bij x-coördinaat 0. We tellen de getallen op bij de standaard hoogte, in dit geval 0, en spreiden het rond het midden : ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 3), (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1). Daar buiten hebben alle punten van dit pad de standaard hoogte dus hebben we, ( 6, 0), ( 5, 0), ( 4, 0) en (4, 0), (5, 0), (6, 0),. Het tweede touw, één stap minder dicht langs de wanden, horend bij , 1 leidt tot de getallen 1, 2, 1, 1. Dit touw hoort bij het pad met standaard hoogte 1 en het getal dat op de diagonaal staat, in dit geval 2, hoort bij x-coördinaat 0. We tellen de getallen op bij de standaard hoogte, in dit geval 1, en spreiden het rond het midden : ( 1, 0), (0, 1), (1, 0), (2, 0). Daar buiten hebben alle punten van dit pad de standaard hoogte dus hebben we, ( 4, 1), ( 3, 1), ( 2, 1) en (3, 1), (4, 1), (5, 1),. Het derde touw, nog een stap minder dicht langs de wanden, horend bij , 1 leidt tot het getal 1. Dit touw hoort bij het pad met standaard hoogte 2 en het getal dat op de diagonaal staat, in dit geval 1, hoort bij x-coördinaat 0. We tellen de getallen op bij de standaard hoogte, in dit geval 2, en spreiden het rond het midden : (0, 1). Daar buiten hebben alle punten van dit pad de standaard hoogte dus hebben we, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2) en (1, 2), (2, 2), (3, 2),. De overige touwen hebben geen verhoging, dus verder liggen alle touwen over de volledige breedte op de standaard hoogte. Dus in ieder geval ook, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), en, ( 3, 4), ( 2, 4), ( 1, 4), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4),. Opgave 8.5 b De eerste matrix heeft alleen een verhoging in het eerste pad. Met dezelfde methode als bij opgave 8.5 a komen we dan tot de volgende paden. ( ) 2 1 (1) : 2, ( 4, 0), ( 3, 0), ( 2, 0), ( 1, 2), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (3, 0), (4, 0),, ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2),, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3),, ( 3, 4), ( 2, 4), ( 1, 4), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4),. De tweede matrix heeft verhogingen in de eerste twee paden. (2) : 1, ( 4, 0), ( 3, 0), ( 2, 1), ( 1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 0), (4, 0),, ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 1), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2), 152

7 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3),, ( 3, 4), ( 2, 4), ( 1, 4), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4),. De derde matrix heeft verhogingen in de eerste drie paden (3) : 3 2 1, ( 6, 0), ( 5, 0), ( 4, 0), ( 3, 3), ( 2, 5), ( 1, 6), (0, 7), (1, 5), (2, 2), (3, 1), (4, 0), (5, 0), (6, 0),, ( 4, 1), ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 3), (0, 4), (1, 1), (2, 0), (3, 1), (4, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 1), (0, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 2),, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3),, ( 3, 4), ( 2, 4), ( 1, 4), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4),. De vierde matrix heeft verhogingen in de eerste twee paden (4) : 1 1, ( 6, 0), ( 5, 0), ( 4, 0), ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 4), (0, 6), (1, 5), (2, 1), (3, 1), (4, 0), (5, 0), (6, 0),, ( 4, 1), ( 3, 1), ( 2, 0), ( 1, 0), (0, 3), (1, 0), (2, 0), (3, 1), (4, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2),, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3),, ( 3, 4), ( 2, 4), ( 1, 4), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4),. Opgave 8.5 c Gebruikmakend van dezelfde ( ) methode als bij opgave 8.5 a komen we op het volgende. De eerste 3-d partitie van figuur hoort bij de matrix dus dat leidt tot de volgende paden: 1 1, ( 6, 0), ( 5, 0), ( 4, 0), ( 3, 0), ( 2, 0), ( 1, 1), (0, 3), (1, 1), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0),, ( 4, 1), ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2),, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3),. ( ) 3 2 De tweede 3-d partitie van figuur 55 hoort bij de matrix dus dat leidt tot de volgende paden: 2 1, ( 6, 0), ( 5, 0), ( 4, 0), ( 3, 0), ( 2, 0), ( 1, 2), (0, 3), (1, 2), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0),, ( 4, 1), ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2),, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3),. 153

8 2 1 1 De derde 3-d partitie van figuur 55 hoort bij de matrix dus dat leidt tot de volgende paden: 0 0 0, ( 6, 0), ( 5, 0), ( 4, 0), ( 3, 0), ( 2, 0), ( 1, 2), (0, 2), (1, 1), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0),, ( 4, 1), ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2),, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), De vierde 3-d partitie van figuur 55 hoort bij de matrix dus dat leidt tot de volgende paden: 1 0 0, ( 6, 0), ( 5, 0), ( 4, 0), ( 3, 0), ( 2, 1), ( 1, 2), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (4, 0), (5, 0), (6, 0),, ( 4, 1), ( 3, 1), ( 2, 1), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1),, ( 3, 2), ( 2, 2), ( 1, 2), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2),, ( 3, 3), ( 2, 3), ( 1, 3), (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3),. 154

9 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven Opgave 8.6 a Het bovenste pad heeft de getallen, die in de matrix het dichtst tegen de linkerwand en de bovenrand liggen. De standaardhoogte van het pad moet hier nog bij opgeteld worden, voor het eerste pad is dat 0. We draperen deze getallen over het pad, zodat de waarde op de diagonaal x-coördinaat 0 krijgt. Voor het volgende pad zetten we over de diagonaal een stap naar rechts beneden. We nemen de waarden die hier onder en hier rechts van in de matrix staan en tellen hier de standaard hoogte bij op. En zo verder. Zo krijgen we:, ( N, 0),, ( 3, a 4,1 ), ( 2, a 3,1 ), ( 1, a 2,1 ), (0, a 1,1 ), (1, a 1,2 ), (2, a 1,3 ), (3, a 1,4 ),, (N, 0),, ( N, 1),, ( 2, a 4,2 1), ( 1, a 3,2 1), (0, a 2,2 1), (1, a 2,3 1), (2, a 2,4 1),, (N, 1),, ( N, 2),, ( 2, a 5,3 2), ( 1, a 4,3 2), (0, a 3,3 2), (1, a 3,4 2), (2, a 3,5 2),, (N, 2),., ( 2, (n 1)), ( 1, (n 1)), (0, a n,n (n 1)), (1, (n 1)), (2, (n 1)),, ( 2, n), ( 1, n), (0, n), (1, n), (2, n), Als we dit in een algemene formule willen vatten, dan komen we tot het volgende. Hierbij nemen we r als standaard hoogte van het pad en i als de x-coördinaat. Voor alle gehele getallen r 0 en gehele getallen i geldt: (i, r) als 1 i r > n of 1 + i r > n of 1 r > n anders (i, n (r) i ) = (i, a 1 i r,1 r + r) als i < 0. (i, a 1 r,1 r + r) als i = 0 (i, a 1 r,1+i r + r) als i > 0 Opgave 8.6 b Iedere 3-d partitie is te schrijven als een matrix die voldoet aan definitie 6.2 en dus aan de eigenschap a i,j 0, a i,j a i,j+1 en a i,j a i+1,j voor alle i 0 en j 0. De matrix kan naar rechts en naar beneden in het oneindige uitgebreid worden met nullen zonder de partitie te wijzigen en zonder de vertaalformule van opgave 8.6 a in de weg te zitten. Voor iedere r 0 kunnen we een pad definiëren met deze vertaal formule. We moeten alleen controleren dat hij aan definitie 8.2 voldoet. Voorwaarde 1. Als i 0 moet gelden Dit betekent r n (r) i 1 n(r) i. r a 1 (i 1) r,1 r + r a 1 i r,1 r + r dus 0 a 1 i+1 r,1 r a 1 i r,1 r. Alle a i,j zijn groter dan of gelijk aan 0 dus de eerste ongelijkheid klopt in ieder geval. Voor de tweede herformuleren we met i = 1 i r en j = 1 r. Zo krijgen we a i +1,j a i,j. En dit is precies één van de eigenschappen die definitie 6.2 ons levert. Analoog als i 0 moet gelden n (r) i n (r) i+1 r. 155

10 Dus a 1 r,1+i r + r a 1 r,1+i+1 r + r r dus a 1 r,1+i r a 1 r,1+i+1 r 0. Alle a i,j zijn groter dan of gelijk aan 0 dus de laatste ongelijkheid klopt in ieder geval. Voor de andere herformuleren we met i = 1 r en j = 1 + i r. Zo krijgen we a i,j a i,j +1. En ook dit is precies één van de eigenschappen die definitie 6.2 ons levert. Voorwaarde 2. Voor een zekere N > 0 moet gelden dat als i > N, dat dan geldt n (r) i = n(r) i = r. De matrix van de 3-d partitie is een n bij n matrix. Hanteren we deze n als N, dan geldt dat als i > n, dan ook 1 + i r > n. Dit laatste geldt, omdat voor alle standaardhoogtes r geldt r 0. Dus volgt uit de formule afgeleid in opgave 8.6 a dat als i > n dan n (r) i = r. Blijft nog te onderzoeken wat er uit n (r) i komt als i > n. Laten we met i = i de formule onderzoeken. Er geldt i < n, dus i > n. Dan geldt ook 1 i r > n, dus ook in dit geval geldt de eerste optie van de formule uit opgave 8.6 a. Als i < n dan n (r) i = r. Voorwaarde 3 en 4. Uit de berekening bij de vorige voorwaarde blijkt dat de uitkomst n (r) i = n(r) i = r niet alleen geldt als i > n, maar ook als i = n. Dus voor alle r 0 geldt dat er een pad gaat door (N, r). Op dezelfde manier geldt dat er voor r > 0 op deze manier geen paden door de punten (N, r) te construeren zijn. Voorwaarde 5. Tot slot moet gelden dat als r < s dan ook n (r) i < n (s) i. We nemen de kleinst mogelijke stap. Stel s = r + 1. We gaan hierbij gebruik maken van een combinatie van twee eigenschappen uit definitie 6.2: als a i,j a i,j+1 en a i,j a i+1,j dan geldt zeker ook dat a i,j a i+1,j+1. Als i 0 dan geldt n (r) i = a 1 i r,1 r + r en n (r+1) i = a 1 i (r+1),1 (r+1) + r + 1 = a i r, r + r + 1. Herschrijven we dit met i = i r en j = r dan staat er n (r) i = a i +1,j +1 + r en n (r+1) i = a i,j + r + 1. r n (r+1) i r 1. Links en rechts r 1. En met het rechts weghalen van de 1 kunnen we de omvormen tot een <, dus En combineren we dat met de net afgeleide ongelijkheid dan volgt n (r) i optellen levert n (r) i n (r) i n (r+1) i < n (r+1) i. En daarmee is aan de laatste voorwaarde voldaan als i 0. Als i 0 dan geldt n (r) i = a 1 r,1+i r + r en n (r+1) i = a 1 (r+1),1+i (r+1) + r + 1 = a r,i r + r + 1. Met i = r en j = i r komen we wederom op n (r) i = a i +1,j +1 + r en n (r+1) i we dezelfde route bewandelen als net dus geldt de laatste voorwaarde voor alle i. = a i,j + r + 1. Hiermee kunnen Opgave 8.6 c In opgave 6.1 a hebben we reeds gezien dat we deze 3-d partitie evenwijdig aan de diagonaal kunnen opdelen in de volgende 2-d deelpartities. Figuur 35 is λ 3 = (1), figuur 36 is λ 2 = (1), figuur 37 is λ 1 = (3, 1), figuur 38 is λ 0 = (4, 2, 1), figuur 39 is λ 1 = (3, 1), figuur 40 is λ 2 = (2, 1), figuur 41 is λ 3 = (1). De index van de λ hanteren we als x-coördinaat. Bestaat de 2-d deelpartitie uit één getal dan verhogen we alleen het eerste pad op die positie met dat getal. Dus n (0) 3 = 1. Bestaat de 2-d deelpartitie uit twee getallen dan verhogen we op die positie de eerste twee paden met die twee getallen, het eerste getal voor het eerste pad, het tweede getal voor het tweede pad, en in beide gevallen natuurlijk ten opzichte van de standaard hoogte. Dus n (0) 1 = = 3 en n ( 1) 1 = = 0. Bestaat de 2-d deelpartitie uit drie getallen dan verhogen we op die positie de eerste drie 156

11 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven paden met die drie getallen, het eerste getal voor het eerste pad, het tweede getal voor het tweede pad, het derde getal voor het derde pad, en in alle gevallen natuurlijk ten opzichte van de standaard hoogte. Dus n (0) 0 = = 4, n ( 1) 0 = = 1 en n ( 2) 0 = = 1. En zo verder. Opgave 8.6 d In opgave 6.5 c hebben we laten zien dat de 2-d deelpartitie over de diagonaal gegeven wordt door λ 0 = (a 1,1, a 2,2,, a n,n ) = (a 1 r,1 r ) voor r 0 als we het vast willen relateren aan de standaardhoogte waar we het zo aan willen koppelen. In opgave 6.5 e hebben we berekend dat als k > 0 dan λ k = (a 1,k+1, a 2,k+2,, a n k,n ) = (a 1 r,k+1 r ) voor r 0 en als k < 0 dan λ k = (a 1 k,1, a 2 k,2,, a n,n+k ) = (a 1 r k,1 r ) voor r 0. Gebruiken we deze informatie voor een vertaalslag zoals beschreven in opgave 8.6 c dan komen we op n (r) k = r als 1 k r > n of 1 + k r > n of 1 r > n anders a 1 k r,1 r + r als k < 0 a 1 r,1 r + r als k = 0 a 1 r,1+k r + r als k > 0 En deze formule lijkt sprekend op wat we op andere wijze gevonden hebben bij opgave 8.6 a. Opgave 8.7 a Figuur 128: Eén van de stapelingen uit figuur 7 en figuur 42 Figuur 129: De stapeling van figuur 128 vertaald naar een matrix Figuur 130: De matrix van figuur 129 vertaald naar niet snijdende paden In opgave 6.4 hebben we onder andere een vertaling gemaakt van de stapeling, die ook is opgenomen in figuur 128, naar een matrix, die nogmaals is opgenomen in figuur 129. In opgave 2.1 c hebben we reeds beargumenteerd dat deze stapeling niet voldoet aan definitie 2.1. Net als dat deze stapeling niet voldoet aan definitie 2.1, zo ook voldoet de hieruit afgeleide matrix niet aan definitie 6.2. In figuur 130 hebben we van deze matrix echter wel een geldige configuratie van niet snijdende paden kunnen maken, die voldoet aan definiete 8.2. Hiertoe hebben we de matrix uit figuur 129 precies onderworpen aan de vertaling uit opgave 8.6. Deze configuratie van niet snijdende paden kan dus niet op de manier, zoals beschreven in opgave 8.6, afkomstig zijn van een geldige 3-d partitie. Opgave 8.7 b Uit de stukken, waar de paden horizontaal liggen blijkt, dat een afstand van 1 tussen twee punten boven elkaar niet direct een probleem hoeft te zijn. Maar de afstand 1 tussen ( 2, 1) en ( 2, 0) in figuur 130 blijkt wel een probleem te zijn. Het winnende antwoord blijkt te zijn dat de afstand tussen de paden altijd minstens 1 moet zijn. En in dit geval is de afstand tussen het punt ( 2, 0) en het lijnstuk door de punten ( 2, 1) en ( 1, 1) veel kleiner dan

12 Opgave 8.8 a Bij een stapeling van blokjes zie je alleen bovenkanten en linker en rechter zijkanten. Een bovenkant van een kubus levert een horizontale ruit. Een linkerzijkant levert een ruit die je krijgt uit een horizontale door deze over 60 graden met de klok mee te draaien. Een rechterzijkant levert een ruit op die je krijgt door een horizontale over 120 graden met de klok mee te draaien. De vloer van de hoek waarop je de blokjes stapelt levert horizontale ruiten op. De linker zijwand van de hoek waar we op stapelen levert dezelfde ruit op als de rechterzijkant van de blokjes. En de rechter zijwand van de hoek waar we op stapelen levert dezelfde ruit op als de linkerzijkant van de blokjes. De blokjes die we niet zien, doordat er andere blokjes voor en op liggen, worden ook niet vertaald naar zeshoeken. Maar door de regels van het stapelen weten we dat ze er wel zijn. Een 3-d partitie zou kunnen leiden tot verschillende hexagons door ze steeds groter te maken dan strikt noodzakelijk. Maar de afspraak is dat we het kleinste hexagon nemen waar de 3-d partitie in past, dus een hexagon met een zijde zo groot als de langste stapeling in één van de drie richtingen. Dit legt alles uniek vast. Opgave 8.8 b De 3-d partities uit figuur 55 leiden tot de ruitbetegelingen in figuur 131. Figuur 131: de 3-d partities van figuur 55 vertaald naar ruitbetegelingen Opgave 8.8 c De matrix van formule (20) is een 4 bij 4 matrix, dus het hexagon moet minstens 4 groot zijn. De hoogste waarde van de stapelingen is in de matrix links boven te vinden. Hier staat het getal 5. Dus het hexagon moet minstens 5 groot zijn. In zijn algemeenheid geldt dat als een 3-d partitie gegeven wordt door een n bij m matrix met op de positie links boven het getal π 1,1, dan is er een hexagon nodig ter grootte van de hoogste waarde van n, m, π 1,1. Opgave 8.8 d De matrix van formule (20) is in figuur 132 vertaald naar een ruitbetegeling. Opgave 8.9 a In figuur 57 vinden we de 3-d partitie Opgave 8.9 b Als we figuur 56 draaien over 120, 180, 240 en over 300 graden dan krijgen we de ruitbetegelingen zoals in de figuren 133. Draaien we hierna nog een keer over 60 graden dan hebben we over 360 graden gedraaid en komen we dus weer 158

13 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven Figuur 132: de matrix in formule (20) vertaald naar een ruitbetegeling (a) De rotatie van figuur 56 over 120 graden (b) De rotatie van figuur 56 over 180 graden (c) De rotatie van figuur 56 over 240 graden (d) De rotatie van figuur 56 over 300 graden Figuur 133: De rotaties van figuur 56 over enkele keren 60 graden uit op de oorspronkelijke ruitbetegeling van figuur Bij figuur 133(a) hoort de 3-d partitie Bij figuur 133(b) hoort de 3-d partitie

14 (a) De 3-d partitie van matrix (1) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling (b) De vertaling (c) De vertaling van figuur 134(a) van figuur 134(a) geroteerd over 60 geroteerd over 120 graden graden (d) De vertaling van figuur 134(a) geroteerd over 180 graden (e) De vertaling van figuur 134(a) geroteerd over 240 graden (f) De vertaling van figuur 134(a) geroteerd over 300 graden Figuur 134: De 3-d partitie van matrix (1) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling en geroteerd over enkele keren 60 graden Bij figuur 133(c) hoort de 3-d partitie Bij figuur 133(d) hoort de 3-d partitie Opgave 8.9 c In firguur 134 staat de ruitbetegeling die hoort bij matrix (1) uit opgave 8.5 b en de 5 rotaties over veelvouden van 60 graden. ( ) ( ) Bij figuur 134(b) hoort de 3-d partitie. Bij figuur 134(c) hoort de 3-d partitie. Bij figuur 134(d) hoort ( ) 1 0 ( ) 1 0 ( ) de 3-d partitie. Bij figuur 134(e) hoort de 3-d partitie. Bij figuur 134(f) hoort de 3-d partitie In firguur 135 staat de ruitbetegeling die hoort bij matrix (2) uit opgave 8.5 b en de 5 rotaties over veelvouden van 60 graden Bij figuur 135(b) hoort de 3-d partitie Bij figuur 135(c) hoort de 3-d partitie Bij figuur 135(d) hoort de 3-d partitie Bij figuur 135(e) hoort de 3-d partitie Bij figuur 135(f) hoort de 3-d partitie In firguur 136 staat de ruitbetegeling die hoort bij matrix (3) uit opgave 8.5 b en de 5 rotaties over veelvouden van 60 graden. 160

15 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven (a) De 3-d partitie van matrix (2) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling (b) De vertaling van figuur 135(a) geroteerd over 60 graden (c) De vertaling van figuur 135(a) geroteerd over 120 graden (d) De vertaling van figuur 135(a) geroteerd over 180 graden (e) De vertaling van figuur 135(a) geroteerd over 240 graden (f) De vertaling van figuur 135(a) geroteerd over 300 graden Figuur 135: De 3-d partitie van matrix (2) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling en geroteerd over enkele keren 60 graden Bij figuur 136(b) hoort de 3-d partitie Bij figuur 136(c) hoort de 3-d partitie Bij figuur 136(d) hoort de 3-d partitie

16 (a) De 3-d partitie van matrix (3) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling (b) De vertaling van figuur 136(a) geroteerd over 60 graden (c) De vertaling van figuur 136(a) geroteerd over 120 graden (d) De vertaling van figuur 136(a) geroteerd over 180 graden (e) De vertaling van figuur 136(a) geroteerd over 240 graden (f) De vertaling van figuur 136(a) geroteerd over 300 graden Figuur 136: De 3-d partitie van matrix (3) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling en geroteerd over enkele keren 60 graden Bij figuur 136(e) hoort de 3-d partitie Bij figuur 136(f) hoort de 3-d partitie In firguur 137 staat de ruitbetegeling die hoort bij matrix (4) uit opgave 8.5 b en de 5 rotaties over veelvouden van 60 graden. 162

17 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven Bij figuur 137(b) hoort de 3-d partitie Bij figuur 137(c) hoort de 3-d partitie (a) De 3-d partitie van matrix (4) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling (b) De vertaling van figuur 137(a) geroteerd over 60 graden (c) De vertaling van figuur 137(a) geroteerd over 120 graden (d) De vertaling van figuur 137(a) geroteerd over 180 graden (e) De vertaling van figuur 137(a) geroteerd over 240 graden (f) De vertaling van figuur 137(a) geroteerd over 300 graden Figuur 137: De 3-d partitie van matrix (4) uit opgave 8.5 b vertaald naar een ruitbetegeling en geroteerd over enkele keren 60 graden Bij figuur 137(d) hoort de 3-d partitie

18 Bij figuur 137(e) hoort de 3-d partitie Bij figuur 137(f) hoort de 3-d partitie Opgave 8.10 a Er zijn veel spiegelassen die door het midden van het hexagon gaan, maar we zijn nu op zoek naar de spiegelassen die het hexagon over voeren in een hexagon met op dezelfde locaties hoekpunten. In figuur 138 hebben we de ruitbetegeling van figuur 56 voorzien van de zes spiegelassen die alle hoekpunten weer op een hoekpunt terecht laten komen, en daarmee dus ook iedere lijnstuk van de rand terecht laat komen op een lijnstuk van de rand. K L A B C J D I H G F E Figuur 138: De ruitbetegeling van figuur 56 voorzien van de zes spiegelassen Opgave 8.10 b In figuur 139 staan de zes ruitbetegelingen die ontstaan na spiegeling van figuur 56 in één van de zes spiegelassen Bij figuur 139(a) hoort de 3-d partitie Bij figuur 139(b) hoort de 3-d partitie Bij figuur 139(c) hoort de 3-d partitie Bij figuur 139(d) hoort de 3-d partitie

19 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven (a) De ruitbetegeling van figuur 56 gespiegeld in as AG (b) De ruitbetegeling van figuur 56 gespiegeld in as BH (c) De ruitbetegeling van figuur 56 gespiegeld in as CI (d) De ruitbetegeling van figuur 56 gespiegeld in as DJ (e) De ruitbetegeling van figuur 56 gespiegeld in as EK (f) De ruitbetegeling van figuur 56 gespiegeld in as F L Figuur 139: De ruitbetegeling van figuur 56 gespiegeld in de zes spiegelassen Bij figuur 139(e) hoort de 3-d partitie Bij figuur 139(f) hoort de 3-d partitie Opgave 8.11 a Een afbeelding die een hexagon in een hexagon overvoert moet er in ieder geval voor zorgen dat alle hoekpunten weer op een hoekpunt terecht komen. Bovendien moet ook iedere lijnstuk van de rand terecht komen op een lijnstuk van de rand. Om dat te bereiken moeten de hoekpunten in dezelfde of omgekeerde volgorde terecht komen. In figuur 138 staan bijvoorbeeld de hoekpunten A en C aan weerszijden van het zelfde lijnstuk van de rand. Als een afbeelding deze zeshoek transformeert naar een zeshoek, waarbij deze twee hoekpunten niet meer naast elkaar staan, dan zal het lijnstuk tussen A en C niet meer over de rand gaan, maar midden door de zeshoek. We hebben dus de zes hoekpunten A, C, E, G, I en K. De afbeelding wordt enerzijds bepaald door waar we hoekpunt A neer zetten. Dit kan op zes posities. Vervolgens wordt de afbeelding bepaald door waar we hoekpunt C neer zetten. Dit kan op één van de twee hoekpunten direct naast hoekpunt A. Kiezen we het eerste hoekpunt volgend op hoekpunt A met de klok mee dan krijgen we één van de rotatie afbeeldingen. Kiezen we het eerste hoekpunt volgend op hoekpunt A tegen de klok in 165

20 dan krijgen we één van de spiegel afbeeldingen. Samenvattend, de zes hoekpunten A, C, E, G, I en K komen bij de diverse afbeeldingen als volgt terecht, waarbij we de hoekpunten noemen in de oorspronkelijke volgorde: In figuur 56 blijft het hexagon ongewijzigd: < A, C, E, G, I, K >. In figuur 57 wordt het < K, A, C, E, G, I >. In figuur 133(a) wordt het < I, K, A, C, E, G >. In figuur 133(b) wordt het < G, I, K, A, C, E >. In figuur 133(c) wordt het < E, G, I, K, A, C >. In figuur 133(d) wordt het < C, E, G, I, K, A >. In figuur 139(a) wordt het < A, K, I, G, E, C >. In figuur 139(b) wordt het < C, A, K, I, G, E >. In figuur 139(c) wordt het < E, C, A, K, I, G >. In figuur 139(d) wordt het < G, E, C, A, K, I >. In figuur 139(e) wordt het < I, G, E, C, A, K >. In figuur 139(f) wordt het < K, I, G, E, C, A >. Opgave 8.11 b In opgave 8.11 a hebben we beargumenteerd dat alle mogelijke afbeeldingen bepaald worden door waar we de eerste twee hoekpunt neer zetten. Voor het eerste hoekpunt zijn zes mogelijkheden. Voor het hiernaast liggende hoekpunt zijn vervolgens nog twee mogelijkheden. Totaal komen we dus op 6 2 = 12 mogelijkheden. En dit klopt ook met de eerder gevonden zes rotatie afbeeldingen en zes spiegelafbeeldingen. Opgave 8.11 c In figuur 140(a) staat de ruitbetegeling van de 3-d partitie met één blokje. In figuur 140(b) staat de ruitbetegeling die (a) De ruitbetegeling van de 3-d partitie bestaande uit één blokje (b) De ruitbetegeling van figuur 140(a) geroteerd over 60 graden Figuur 140: De ruitbetegeling van de 3-d partitie bestaande uit één blokje en één keer geroteerd hieruit ontstaat na roteren over 60, 180 of 300 graden, of na spiegeling in de assen BH, DJ of F L. Deze ruitbetegeling hoort bij de lege partitie ( 0 ). Opgave 8.11 d Uit opgave 8.11 c blijkt dat een zeshoek met zijde 1 niet tot het gewenste resultaat leidt. De eerst volgende stap is het onderzoeken van een zeshoek met zijde 2. Hierin zoeken we een zo symmetrisch mogelijke 3-d partitie. De 3-d partitie met het kleinste aantal blokjes waarmee dit lukt is de partitie met vier blokjes die is afgebeeld in figuur 141. Opgave 8.12 a In de naam Totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities treffen we dat het gaat om 3-d partities, dat ze symmetrisch zijn, sterker nog, dat ze totaal symmetrisch zijn en tot slot dat ze zelf complementair zijn. Het onderdeel 3-d partities van de naam ligt erg voor de hand, want we zijn hier bezig met 3-d partities. Uit definitie 8.3 volgt dat ze symmetrisch zijn onder de rotatie en spiegel afbeeldingen. In opgave 8.11 a hebben we beargumenteerd dat dit alle mogelijke afbeeldingen zijn die een hexagon in een hexagon overvoeren. Dus deze 3-d partities zijn symmetrisch onder alle afbeeldingen, vandaar de term totaal symmetrisch. In opgave 8.11 c hebben we gezien dat de helft van de afbeeldingen een hexagon met één blokje afbeeldt in een hexagon met nul blokjes. Hierop voortbordurend zie je dat bijvoorbeeld de figuren 134(a) en 134(d) elkaars complement zijn. Wil een 3-d partitie onder alle afbeeldingen symmetrisch zijn, dan kan dat alleen maar als het zijn eigen complement 166

21 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven (a) De 3-d partitie bestaande uit vier blokjes waarvan de ruitbetegeling niet verandert bij roteren of spiegelen (b) De ruitbetegeling van de 3-d partitie van figuur 141(a) Figuur 141: De 3-d partitie bestaande uit vier blokjes en zijn ruitbetegeling is. En zo komen we op de term zelf complementair. Opgave 8.12 b Als 2n = 4 dan geldt dat n = 2. Dus komen we op p(2) = 2 1 j=0 (3j + 1)! (2 + j)! = ( )! (2 + 0)! ( )! (2 + 1)! = (1)! (2)! (4)! (3)! = (3)! = 4 (3)! 2 = 2. Opgave 8.12 c In figuur 142 staan de twee totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities in een hexagon met zijde 4. (a) De eerste totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partitie in een hexagon met zijde 4 (b) De tweede totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partitie in een hexagon met zijde 4 Figuur 142: De twee totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities in een hexagon met zijde 4 167

22 Opgave 8.12 d Als 2n = 6 dan geldt dat n = 3. Dus komen we op p(3) = 3 1 j=0 (3j + 1)! (3 + j)! = ( )! (3 + 0)! ( )! (3 + 1)! ( )! (3 + 2)! = (1)! (3)! (4)! (4)! (7)! (5)! = (5)! = 7 6 = 7. (5)! 6 (a) De ruitbetegeling van figuur 140(a) vertaald naar een honingraatbetegeling (b) De ruitbetegeling van figuur 140(b) vertaald naar een honingraatbetegeling (c) De ruitbetegeling van figuur 141(b) vertaald naar een honingraatbetegeling Figuur 143: Ruitbetegelingen van de figuren 140 en 141 vertaald naar honingraatbetegelingen Figuur 144: De ruitbetegelingen van figuur 131 van de 3-d partities van figuur 55 vertaald naar honingraatbetegelingen Opgave 8.12 e Een hexagon met zijde k hoort bij een kubus van k bij k bij k. Deze kubus biedt dus ruimte aan k k k = k 3 blokjes. Een totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partitie die in deze kubus past moet zijn eigen complement zijn, dus moet deze kubus voor de helft vullen. Zo n 3-d partitie moet dus bestaan uit k3 2 blokjes. De derde macht van een even getal is even en de derde macht van een oneven getal is oneven. Het aantal blokjes van een 3-d partitie is een geheel getal. Dus moet k3 2 een geheel getal zijn en dus moet k3 een even getal zijn, dus moet k een even getal zijn. Opgave 8.13 a In figuur 61 zien we de nieuwe ruittegel. Hierin zien we dat de dikke, zwarte lijn in het midden van de ruit staat. Deze kan dus nooit over de grens van een ruittegel lopen. Opgave 8.13 b In figuur 61 zien we dat ieder snijpunt van de dikke, zwarte en dunne, rode lijnen altijd bestaat uit exact één dikke, zwarte en twee dunne, rode lijnen. Dus aan het einde van een dik, zwart lijnstuk treffen we twee dunne, rode lijnstukken. En aan het einde van een dun, rood lijnstuk treffen we nog een dun, rood lijnstuk en één dik, zwart lijnstuk. 168

23 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven (a) De ruitbetegeling van figuur 134(a) vertaald naar een honingraatbetegeling (b) De ruitbetegeling van figuur 134(b) vertaald naar een honingraatbetegeling (c) De ruitbetegeling van figuur 134(c) vertaald naar een honingraatbetegeling (d) De ruitbetegeling van figuur 134(d) vertaald naar een honingraatbetegeling (e) De ruitbetegeling van figuur 134(e) vertaald naar een honingraatbetegeling (f) De ruitbetegeling van figuur 134(f) vertaald naar een honingraatbetegeling Figuur 145: De ruitbetegelingen van figuur 134 vertaald naar een honingraatbetegelingen Opgave 8.13 c De zeshoeken die we zo kunnen krijgen kunnen nooit meer dan drie zwarte, dikke lijnen bevatten, want twee dikke, zwarte lijnen kunnen elkaar nooit raken. Dus het maximaal bereikbare aan dikke, zwarte lijnen is om en om dik-wart en dun-rood. Zo komen we dus op de helft van de zes zijden van een zeshoek, dus maximaal drie dikke, zwarte lijnen per zeshoek. In figuur 63 treffen we zo n zeshoek boven in het midden, bij de hoek die we eerder (in opgave 8.10 a) hoek A hebben genoemd. De rode, dunne lijnen kunnen elkaar wel raken, dus we kunnen wel zeshoeken maken met minder dikke, zwarte en meer dunne, rode lijnen. Zo kunnen we zeshoeken maken met twee dikke, zwarte lijnen. Dit kan zowel met de twee dikke, zwarte lijnen recht tegen over elkaar (zie bijvoorbeeld de twee zeshoeken op de hoeken C en K van figuur 63), als schuin ten opzichte van elkaar (zie bijvoorbeeld de zeshoek op de hoek E van figuur 63). Zo kunnen we ook een zeshoek maken met slechts één dik, zwart lijnstuk, zoals bij hoek G in figuur 63. En zelfs een zeshoek met louter dunne, rode lijnstukken behoort tot de mogelijkheden, zoals de zeshoek direct onder de zeshoek met drie dikke, zwarte lijnstukken bij hoek A in figuur 63. Opgave 8.13 d Met behulp van de nieuwe ruittegel van figuur 61 kun je om ieder dik, zwart lijnstuk een ruit tekenen, met de lange diagonaal evenwijdig aan dit dikke, zwarte lijnstuk. Uiteindelijk kom je hiermee weer terug op de oorspronkelijke ruitbetegeling. 169

24 (a) De ruitbetegeling van figuur 135(a) vertaald naar een honingraatbetegeling (b) De ruitbetegeling van figuur 135(b) vertaald naar een honingraatbetegeling (c) De ruitbetegeling van figuur 135(c) vertaald naar een honingraatbetegeling (d) De ruitbetegeling van figuur 135(d) vertaald naar een honingraatbetegeling (e) De ruitbetegeling van figuur 135(e) vertaald naar een honingraatbetegeling (f) De ruitbetegeling van figuur 135(f) vertaald naar een honingraatbetegeling Figuur 146: De ruitbetegelingen van figuur 135 vertaald naar een honingraatbetegelingen Opgave 8.14 a Een hexagon met zijde 1 komt overeen met een doos van 1 bij 1 bij 1. Hierin past één 3-d partitie met 0 blokjes en één 3-d partitie met 1 blokje. Zie ook de ruitbetegelingen van figuur 140. Een hexagon met zijde 2 komt overeen met een doos van 2 bij 2 bij 2. Een hexagon met zijde 3 komt overeen met een doos van 3 bij 3 bij 3. In bijgevoegde tabel is opgenomen met hoeveel blokjes er hoeveel 3-d partities passen in dergelijke dozen. We hebben niet alle honderden verschillende partities hier opgenomen. De ruit-betegelingen van enkele voorbeelden zijn te vinden in de figuren 131, 134, 135 en 141(b). De vertalingen hiervan naar honingraatbetegelingen zijn te vinden in de figuren 143, 145, 144 en 146. Opgave 8.14 b In opgave 8.12 e heb je aangetoond dat een hexagon dat een totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partitie kan bevatten een zijde moet hebben met een even lengte. Dus van alle honderden partities van de vorige opgave, kunnen slechts die die passen in een hexagon van zijde 2 totaal symmetrisch en zelf complementair zijn. 170

25 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven aantal aantal partities aantal aantal partities aantal aantal partities blokjes in doos met zijde 2 blokjes in doos met zijde 3 blokjes in doos met zijde Passen we dit toe op formule (21) uit stelling 8.1 dan mogen we deze formule dus uitrekenen voor n = 1. p(1) = 1 1 j=0 (3j + 1)! (1 + j)! = ( )! (1 + 0)! = 1! 1! = 1. Met andere woorden, er is slechts één totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partitie die past in een hexagon met zijde 1, 2 of 3, namelijk die, die is afgebeeld in figuur

26 Opgave 8.14 c, 8.14 d en 8.14 e In figuur 147(a) staat de totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partitie die past in een hexagon met zijde 2 en staan de 2 totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities die passen in een hexagon met zijde 4, alle drie als ruitbetegeling. In figuur 148 staan de 7 totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities die passen in een hexagon met zijde 6 en ook deze als ruitbetegeling. In figuur 147(b) en 149 zijn ze vervolgens voorzien van de honingraatbetegeling. Vervolgens zijn in figuur 147(c) en 150 de lijnen van de ruitbetegeling er weer uit gehaald. Waarna in figuur 147(d) en 151 van de honingraatbetegelingen alleen het rood is overgebleven. Het is verrassend om te zien welke mooie en regelmatige patronen hier uit komen. Het leek ons een passend voorbeeld van het motto op de binnenkant van de voorpagina. A mathematician, like a painter or a poet, is a maker of patterns. [... ] The mathematician s patterns, like the painter s or the poet s, must be beautiful; the ideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics. Net als een schilder of een dichter is een wiskundige een maker van patronen. [... ] De patronen van de wiskundige moeten net als die van de schilder of de dichter mooi zijn; net als de kleuren of de woorden moeten de ideeën op harmonische wijze bij elkaar passen. Schoonheid is het eerste criterium: er is geen blijvende plaats in de wereld voor lelijke wiskunde. G. H. Hardy, A mathematician s apology (Cambridge, 1940). [6] p. 82, 83 (a) Als ruitbetegeling (b) Als ruit- met honingraat-betegeling (c) Als honingraat-betegeling (d) Met alleen het rood van de honingraat-betegeling Figuur 147: De totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities in een hexagon met zijde 2 en 4 als ruiten als honingraat-betegeling 172

27 Hoofdstuk 16 Antwoorden of oplossingsrichtingen bij geselecteerde opgaven Figuur 148: Totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities met zijde 6 als ruitbetegeling Figuur 149: Totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities met zijde 6 als ruit- met honingraatbetegeling 173

28 Figuur 150: Totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities met zijde 6 als honingraatbetegeling Figuur 151: Totaal symmetrische zelf-complementaire 3-d partities met zijde 6 met allen het rood van de honingraatbetegeling 174