de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw"

Transcriptie

1 SAMENSTELLING: H. de Leuw

2 1. VEELHOEKEN. Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken. Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet. Een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en de hoeken even groot, noemen we een regelmatige veelhoek. Opgave 1.1: a. Welke van de onderstaande figuren zijn veelhoeken? b. Welke van de onderstaande figuren zijn bovendien regelmatig? Een bekende stelling in de wiskunde is dat voor iedere driehoek geldt dat de som van de hoeken gelijk is aan 180º. Dus in ABC geldt: A B C 180. Deze stelling kunnen we gebruiken om de hoeken van een regelmatige veelhoek te berekenen. Opgave 1.2: a. Hoe groot is iedere hoek van een gelijkzijdige driehoek? b. Hoe groot is iedere hoek van een regelmatige vierhoek (=vierkant)? Om de hoeken van een regelmatige vijfhoek te berekenen verdelen we de vijfhoek in driehoeken. Omdat in iedere driehoek de som van de hoeken 180º is, kun je nu de som van de hoeken van een vijfhoek berekenen. Opgave 1.3: a. Hoe groot is de som van de hoeken van een vijfhoek? b. Hoe groot is een hoek van een regelmatige vijfhoek? Op dezelfde manier kun je een hoek van een regelmatige zeshoek, regelmatige zevenhoek, etc berekenen

3 Opgave 1.4: Vul de volgende tabel in: regelmatige veelhoek driehoek vierhoek vijfhoek zeshoek zevenhoek achthoek aantal driehoeken som van alle hoeken aantal graden van één hoek Met behulp van bovenstaande tabel kunnen we een formule afleiden waarmee we de grootte van een hoek in een regelmatige n-hoek kunnen berekenen. Hierbij is n een heel getal dat groter of gelijk is aan 3. Opgave 1.5: a. Als je vanuit één hoekpunt de diagonalen van een regelmatige n-hoek tekent, in hoeveel driehoeken wordt de regelmatige n-hoek dan verdeeld? b. Hoe groot is de som van alle hoeken in deze driehoeken samen? c. Hoe groot is één hoek van een regelmatige n-hoek? d. Controleer je formule met behulp van de tabel die je hebt ingevuld. Veelvlakken kunnen we onderverdelen in convexe (bolle) en concave (holle) veelvlakken. Bij een convex (bol) lichaam kan ieder tweetal punten op het oppervlak altijd verbonden worden door een recht lijnstuk dat geheel binnen het lichaam loopt, terwijl dit bij een concaaf (hol) lichaam niet altijd mogelijk is. concaaf convex - 2 -

4 2. PLATONISCHE. Veelvlakken waarvan de zijvlakken allemaal gelijkmatige, regelmatige vlakke veelhoeken zijn en waarbij er in ieder hoekpunt evenveel zijvlakken samenkomen, noemen we regelmatige veelvlakken. Rond 550 v. Chr. kende de Griekse wiskundige Pythagoras al drie regelmatige veelvlakken, te weten de kubus, de tetraëder (=regelmatig 4-vlak) en de dodecaëder (=regelmatig 12- vlak). De Griekse filosoof Plato ( v. Chr.) kende ook de octaëder (=regelmatig 8-vlak) en de icosaëder (=regelmatig 20-vlak). Voor Plato lag in deze vijf regelmatige veelvlakken de essentie van de gehele natuur besloten. In de Timaeus, geschreven rond 350 v. Chr., formuleerde Plato de theorie dat de vier elementen waaruit de wereld zou zijn opgebouwd (vuur, lucht, water en aarde) allemaal bestonden uit kleine lichaampjes. En, redeneerde hij, daar de wereld slechts gemaakt kan zijn uit volmaakte bestanddelen, moeten de elementen de vorm hebben van regelmatige lichamen. Het lichtste en scherpste van de elementen, het vuur, zou de vorm moeten hebben van een tetraëder. Aarde, het meest stabiele element, moest de vorm hebben van een kubus. Een kubus is namelijk stevig als een berg en makkelijk stapelbaar. Water, het meest beweeglijke en vloeibare element, moest de vorm hebben van een icosaëder, het veelvlak dat het gemakkelijkste rolt. Lucht zit tussen water en vuur, daarom is lucht de octaëder, die immers tussen de tetraëder en de icosaëder in zit. De overblijvende dodecaëder stond voor het hemelgewelf. Sindsdien worden deze vijf veelvlakken de Platonische lichamen of Platonische veelvlakken genoemd. Opgave 2.1: In de bijlage vind je van ieder Platonische veelvlak een uitslag. Knip deze uitslagen uit en plak ze in elkaar. Opgave 2.2: Schrijf van ieder Platonisch veelvlak de vorm van de grensvlakken op

5 Opgave 2.3: a. Waarom zit de octaëder tussen de tetraëder en de icosaëder? b. Waarom stond de dodecaëder voor het hemelgewelf? Terwijl er in het platte vlak een eindeloze rij van regelmatige veelhoeken is, zijn er in de ruimte maar precies vijf regelmatige veelvlakken mogelijk. Dat er niet meer zijn, blijkt door de mogelijkheden systematisch af te zoeken. In een hoekpunt van het regelmatige veelvlak moeten minstens drie zijvlakken bij elkaar komen, maar de totale som van het aantal graden moet natuurlijk minder zijn dan 360º. Opgave 2.4: a. Waarom kan de totale som van het aantal graden niet precies 360º zijn? b. Wat gebeurt er met het oppervlak als de totale som van het aantal graden groter is dan 360º? Opgave 2.5: a. Kun je een regelmatig veelvlak maken met zeshoeken als zijvlakken? b. Kun je een regelmatig veelvlak maken met zevenhoeken als zijvlakken? c. Welke regelmatige veelhoeken zijn dus alleen misschien mogelijk als zijvlakken van een regelmatig veelvlak? We hebben nu de regelmatige veelhoeken gevonden die misschien mogelijk zijn als zijvlak van een regelmatig veelvlak. We gaan nu na welke regelmatige veelvlakken je daar mee kunt maken. Opgave 2.6: Vul de volgende tabel in: soort zijvlak aantal hoeken van een zijvlak aantal zijvlakken in een hoekpunt som van de graden in een hoekpunt naam van het veelvlak driehoek º tetraëder kubus octaëder dodecaëder icosaëder - 4 -

6 3. DE FORMULE VAN EULER. Zou je op het idee komen om van veelvlakken de aantallen hoekpunten (H), zijvlakken (Z) en ribben (R) te tellen, dan zou je waarschijnlijk net als Descartes rond 1630 of de Zwitser Euler ( ) in 1752 een verrassend verband ontdekken. Over dat verband, dat tegenwoordig bekend staat als de formule van Euler, gaat dit hoofdstuk. De formule van Euler speelt een belangrijke rol in vele takken van de wiskunde, en is helemaal niet moeilijk te bewijzen. We bekijken de Platonische veelvlakken. Opgave 3.1: Vul de volgende tabel in: Platonisch veelvlak Tetraëder Kubus Octaëder Dodecaëder Icosaëder vorm van zijvlakken aantal zijvlakken in een hoekpunt aantal hoekpunten H aantal ribben R aantal zijvlakken Z Opgave 3.2: a. Wat valt je op in de laatste drie kolommen van de bovenstaande tabel? b. Is er een verband tussen H, R en Z? c. Stel een formule op voor het aantal hoekpunten (H), ribben (R) en zijvlakken (Z) van een Platonisch veelvlak: =.. De formule van Euler heeft betrekking op zogenaamde sferische veelvlakken. Een sferisch veelvlak ziet er, ruwweg, uit als een gedeukte bol. Voor een betere beschrijving stellen we ons voor dat het beschouwde veelvlak gemaakt is van ideaal rekbaar en indrukbaar materiaal. Bij een topologische vervorming van het veelvlak mogen we het veelvlak rekken en indeuken, maar niet scheuren of plakken. We zeggen nu dat een veelvlak sferisch is als we het topologisch kunnen vervormen tot een bol. Een Platonisch veelvlak kunnen we gemakkelijk opblazen tot een bol en is dus sferisch

7 Opgave 3.3: Het hiernaast getekende ringvormige veelvlak is niet sferisch. We zullen zien dat bij dit veelvlak de formule van Euler niet geldt. a. Bepaal de waarden van Z, R en H die bij dit veelvlak horen. b. Welke waarde heeft Z R H? We kunnen een sferisch veelvlak voorstellen als een landkaart (in het platte vlak). Nadat we het sferisch veelvlak hebben vervormd tot een bol, prikken we een gat in de bol en spreiden hem daarna uit tot hij in het vlak ligt. Hieronder zie je dit gedaan voor de dodecaëder. de dodecaëder de tot een bol vervormde dodecaëder in de bol wordt een gat geprikt en de bol wordt uitgespreid zodoende ontstaat een landkaart De laatste figuur noemen we een graaf van de dodecaëder. In de graaf staan de punten voor de hoekpunten van het veelvlak en de lijnen voor de ribben. Het is een vereenvoudigde voorstelling van je veelvlak, waarin je duidelijk kunt zien hoeveel hoekpunten, zijvlakken en ribben je veelvlak heeft, en hoe die met elkaar verbonden zijn. Opgave 3.4: Teken een graaf van de tetraëder, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder. -6-

8 Misschien heb je van een veelvlak twee grafen gekregen die er op het eerste gezicht verschillend uitzien, maar bij nader onderzoek toch dezelfde grafen zijn. Twee grafen zijn gelijk als het aantal punten, lijnen en vlakken hetzelfde is en als de punten op dezelfde manier verbonden zijn. Zo zijn de volgende twee figuren dezelfde graaf van een tetraëder. Het aantal hoekpunten H komt overeen met het aantal punten P van de graaf. Zo komt het aantal ribben R overeen met het aantal lijnen L, en het aantal zijvlakken Z komt overeen met het aantal vlakken V als we het omliggende vlak van de graaf meetellen. De formule van Euler zegt: H R Z 2 Deze formule geldt voor een sferisch veelvlak dan en alleen dan als voor de bijbehorende graaf een soortgelijke formule geldt. Opgave 3.5: Schrijf de formule van Euler die voor de graaf geldt met behulp van P, L en V. De formule die je bij opgave 3.5 gevonden hebt, gaan we bewijzen voor grafen van sferische veelvlakken. We stellen ons de graaf voor als een stuk land dat is afgebakend door dijken en dat is omgeven door zee. De lijnen van de graaf zijn dus de dijken, het omringende vlak is de zee en de vlakken binnen de graaf zijn weilanden. We willen alle weilanden onder water zetten door een zo klein mogelijk aantal dijken door te steken. We gaan de formule eerst bewijzen voor de hiernaast getekende graaf van een kubus. Opgave 3.6: a. Hoeveel weilanden heeft deze graaf? b. Hoeveel weilanden kunnen we maximaal onder water zetten door één dijk door te steken? c. Hoeveel dijken moeten we doorsteken om alle weilanden onder water te zetten (als we geen dijk te veel willen doorsteken)? d. Teken een mogelijke graaf waarbij alle weilanden onder water staan en waarbij we geen dijk te veel hebben doorgestoken. e. Hoeveel dijken zijn er nog intact? f. Controleer met een berekening de volgende formule: totaal aantal dijken = aantal doorgestoken dijken + aantal intacte dijken g. We kijken naar de overgebleven dijken. Is vanuit ieder punt ieder ander punt te bereiken via dijken die nog intact zijn? Hoe weet je dat? h. Op hoeveel manieren kun je nog van het ene punt naar het andere komen? Waarom? Een graaf waarin je op precies één manier van het ene naar het andere punt kunt komen, noemen we een boom. -7-

9 We gaan de formule nu bewijzen voor een graaf van een willekeurig sferisch veelvlak. Deze graaf heeft L lijnen, P punten en V 1 weilanden (want V is het aantal vlakken van de graaf als we het omliggende vlak meetellen). Opgave 3.7: a. Hoeveel weilanden kunnen we maximaal onder water zetten door één dijk door te steken? b. Hoeveel dijken moeten we doorsteken om alle weilanden onder water te zetten (als we geen dijk te veel willen doorsteken)? c. Hoeveel dijken zijn er nog intact? d. De antwoorden van opgave b en c vullen we in bij de formule: totaal aantal dijken = aantal doorgestoken dijken + aantal intacte dijken Dit geeft: L e. Dit kunnen we ook schrijven als: We hebben nu de formule van Euler bewezen voor sferische veelvlakken. De formule van Euler heeft ontzettend veel toepassingen. Hij kan worden gebruikt voor het inventariseren van de regelmatige en halfregelmatige veelvlakken. De formule speelt een belangrijke rol bij de oplossing van het vier-kleuren-probleem. Ook is hij de sleutel bij vele puzzels. -8-

10 4. DUALITEIT. Opgave 4.1: Hiernaast zie je een kubus getekend. a. Bepaal van ieder zijvlak het punt dat precies in het midden ligt en verbind steeds een tweetal punten met elkaar als ze in aangrenzende zijvlakken liggen. b. Welke figuur is er nu ontstaan? c. Tel het aantal zijvlakken van de kubus en tel het aantal hoekpunten van de ontstane figuur. d. Tel het aantal hoekpunten van de kubus en tel het aantal zijvlakken van de ontstane figuur. e. Wat valt er op bij je antwoorden van opgave c en d? In feite heb je van ieder zijvlak een hoekpunt gemaakt en heb je van ieder hoekpunt een zijvlak gemaakt. De figuur die zo ontstaat heet het duale veelvlak van het oorspronkelijke veelvlak. Opgave 4.2: a. Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijvlakken moet het duale veelvlak van een tetraëder hebben? b. Welk veelvlak kan dus het duale veelvlak van een tetraëder zijn? c. Controleer je antwoord van opgave b door in de hiernaast getekende tetraëder het duale veelvlak te tekenen. Opgave 4.3: a. Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijvlakken heeft het duale veelvlak van een dodecaëder. b. Welk veelvlak kan dus het duale veelvlak van een dodecaëder zijn? c. Welk veelvlak is het duale veelvlak van een icosaëder? d. Controleer je antwoorden van opgave b en c door in de graaf van een dodecaëder en in de graaf van een icosaëder met een andere kleur de graaf van het duale veelvlak te tekenen. Opgave 4.4: Wat gebeurt er als je twee keer de duale van een regelmatig veelvlak neemt? -9-

11 Hieronder zie je de vijf Platonische veelvlakken met hun duale veelvlak

12 H5: HALFREGELMATIGE. De Platonische veelvlakken zijn allemaal opgebouwd uit één soort van een regelmatige veelhoek. De halfregelmatige veelvlakken zijn opgebouwd uit meerdere soorten van een regelmatige veelhoek. De gebruikte veelhoeken van dezelfde soort zijn allemaal even groot en de situatie in alle hoekpunten is hetzelfde. Dus bijvoorbeeld heb je in elk hoekpunt twee gelijkzijdige driehoeken en twee vierkanten en zijn deze veelhoeken in elk hoekpunt op dezelfde manier gerangschikt. Zo zie je in de bovenste figuur hiernaast in elk hoekpunt de rangschikking driehoek, vierkant, driehoek, vierkant. Dit veelvlak wordt weergegeven door het viertal getallen (3,4,3,4) dat we de hoeksamenstelling noemen. In de onderste figuur zie je in elk hoekpunt de rangschikking vierkant, zeshoek, zeshoek. De hoeksamenstelling is dus (4,6,6). De halfregelmatige veelvlakken kunnen we onderverdelen in drie klassen. De eerste klasse wordt gevormd door de regelmatige prisma s. Hieronder zie je enkele regelmatige prisma s. Elk prisma bestaat uit twee even grote regelmatige veelhoeken, die het grondvlak en het bovenvlak van het prisma vormen. De opstaande zijvlakken zijn allemaal vierkanten. Dit houdt dus in dat alle ribben van het prisma even groot zijn. De tweede klasse bestaat uit de zogenaamde antiprisma s, deze ontstaan uit de prisma s uit de eerste klasse door het bovenvlak te draaien, zodanig dat elk hoekpunt van de bovenste veelhoek boven het midden van een zijde van de onderste veelhoek komt te liggen. Vervolgens verbinden we de hoekpunten in het bovenvlak met die in het grondvlak. Omdat alle ribben dezelfde lengte hebben, moet de lengte van de ribben in de opstaande zijvlakken worden aangepast, zodat alle opstaande zijvlakken gelijkzijdige driehoeken worden. a b c Opgave 5.1: Bereken van elk van de drie hierboven getekende antiprisma s de kleinste hoek waarover het bovenvlak van het prisma gedraaid is, om het bijbehorende antiprisma te krijgen

13 De derde klasse bestaat uit 13 bijzonder veelvlakken. Volgens bronnen uit de Oudheid zijn deze veelvlakken ontdekt door de Griekse wiskundige Archimedes ( v. Chr.). Deze veelvlakken worden dan ook vaak de Archimedische veelvlakken genoemd. Opgave 5.2: Geef van alle Archimedische veelvlakken de bijbehorende hoeksamenstelling. Alle dertien Archimedische veelvlakken zijn af te leiden van de Platonische veelvlakken door hoekpunten en/of ribben door nieuwe zijvlakjes te vervangen. We zullen zien dat er precies één Archimedisch veelvlak is, opgebouwd uit regelmatige vijfhoeken en regelmatige zeshoeken. Eerder hebben we gezien dat een hoek in een regelmatige vijfhoek 108º is en dat een hoek in een regelmatige zeshoek 120º is. In één hoekpunt van het te maken veelvlak moeten minstens drie veelhoeken samenkomen, maar de totale som van het aantal graden moet natuurlijk minder zijn dan 360º. Immers bij precies 360º ontstaat een plat vlak en bij meer dan 360º ontstaat een deuk in het oppervlak. Opgave 5.3: a. We kunnen een som, minder dan 360º alleen maar op twee verschillende manieren krijgen: en b. Geef de bijbehorende hoeksamenstelling. Het is nu eenvoudig na te gaan dat de hoeksamenstelling (5,5,6) niet mogelijk is. Daartoe kijken we naar de hiernaast getekende figuur en letten op de opvolging van de vijfhoeken en zeshoeken. Het lijkt daarbij wel of de veelhoeken in een plat vlak liggen, maar dat is natuurlijk niet zo, in werkelijkheid staan ze schuin omhoog. Opgave 5.4: Laat zien dat de hoeksamenstelling (5,5,6) niet mogelijk is, maar de hoeksamenstelling (5,6,6) wel

14 Dat we bij de hoeksamenstelling (5,6,6) ook een halfregelmatige veelvlak kunnen maken zullen we nu laten zien. Hieronder zie je het resultaat als we bij ieder hoekpunt van een icosaëder een stukje afzagen (afknotten). Hiertoe verdelen we elke ribbe in drie gelijke delen. In het midden van ieder zijvlak ontstaat dan een regelmatige zeshoek. Verder letten we op de hoekpunten van dit twintigvlak, dat zijn er 12. In elk hoekpunt komen nu vijf gelijkzijdige driehoeken samen, waarvan de lengte van de zijde 13 is van de oorspronkelijke ribbe. Deze vormen in totaal 12 kleinere piramiden, die elk een grondvlak hebben dat een regelmatige vijfhoek is. Als we nu deze twaalf top-piramiden afzagen, dan houden we een veelvlak over dat wordt begrensd door twaalf regelmatige vijfhoeken en de twintig zeshoeken als restanten van de zijvlakken van het twintigvlak

15 H6: VARIA. Opgave 6.1: Hieronder zie je zes veelvlakken met gelijkzijdige driehoeken en vierkanten als zijvlakken: een kubus met piramides erop (1), een driehoekig prisma (2), een vierzijdig antiprisma (3), een kuboctaëder (4), een rhombenkuboctaëder (5) en een gyrobifastigium (6). Elk van de zes veelvlakken heeft een spoor (a t/m f) achtergelaten. Onderzoek welk veelvlak bij welk spoor hoort. Opgave 6.2: We willen de Platonische en de Archimedische veelvlakken kleuren. Voorwaarde daarbij is dat zijvlakken die met een ribbe aan elkaar grenzen een verschillende kleur krijgen. Zijvlakken die alleen een hoekpunt gemeen hebben, mogen dus dezelfde kleur krijgen. Onderzoek voor elk Platonisch en Archimedisch veelvlak wat het kleinste aantal kleuren is dat je nodig hebt. Opgave 6.3: Als je meerdere kubussen hebt, kun je een grotere kubus maken. a. Onderzoek voor ieder Platonisch veelvlak of je met een aantal van die Platonische veelvlakken een Platonisch veelvlak van dezelfde soort kunt maken. Zo ja, geef dan het kleinste aantal Platonische veelvlakken dat je nodig hebt. b. Onderzoek of je een groter Platonisch veelvlak kunt krijgen door meerdere soorten Platonische veelvlakken te gebruiken. Zo ja, geef dan het kleinste aantal van elke soort aan die je nodig hebt. Opgave 6.4: Als je van verschillende kanten naar de tetraëder, de kubus en de octaëder kijkt, kun je steeds iets anders zien. Maak van elk veelvlak drie verschillende aanzichten. Doe dat zo nauwkeurig mogelijk

Veelvlak. Begrippenlijst

Veelvlak. Begrippenlijst Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen

Nadere informatie

Een ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak.

Een ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak. Praktische-opdracht door een scholier 1498 woorden 6 juni 2003 6,5 134 keer beoordeeld Vak Wiskunde Deelvraag 1: Wat is de definitie van een Platonische Lichaam / Platonisch Veelvlak? De definitie: Een

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

V el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt

V el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt door Dion Gijswijt V el v'akk n kl ure Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?

Nadere informatie

Veelvlakken kleuren. Dion Gijswijt

Veelvlakken kleuren. Dion Gijswijt Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig? Veelvlakken kleuren Dion Gijswijt De

Nadere informatie

Bouwen met veelhoeken

Bouwen met veelhoeken Bouwen met veelhoeken Opdrachtbladen Jantine Bloemhof Inhoud De vormen........................ 1 Veelhoeken samenvoegen: van klein naar groot........... 2 Tegelpatronen....................... 6 Platonische

Nadere informatie

Les 2 Hoekpunten, ribben, vlakken

Les 2 Hoekpunten, ribben, vlakken ONTDEKKINGSTOCHT 2 Aanvullend op het artikel van Stephan Berendonk en Leon van den Broek hierbij het bijbehorende lesmateriaal. In dit document vindt u eerst het leelingmateriaal en verderop het materiaal

Nadere informatie

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016 In het juninummer zagen we hoe we met behulp van de piramidemethode en invarianten ruimtelijke figuren binnenstebuiten kunnen keren. Aan de invarianten stelden we voorwaarden, zoals dat alle vlakken zoveel

Nadere informatie

Herhalingsles 2 Meetkunde 1 Weeroefeningen

Herhalingsles 2 Meetkunde 1 Weeroefeningen Herhalingsles Meetkunde Weeroefeningen HB. MK Kruis aan wat juist is. Deze figuur is een vierhoek, maar geen vierkant. een vierkant, maar geen ruit. een ruit, maar geen vierkant. een vierkant en een ruit.

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Stap 1: Ga naar Stap 3: Gebruik de pijltjes om te navigeren tussen de bladzijden.

Stap 1: Ga naar   Stap 3: Gebruik de pijltjes om te navigeren tussen de bladzijden. Stap 1: Ga naar www.wiskundewereld.be/bzl-ruimtemeetkunde.html Stap 2: Klik rechts op de witte knop. Stap 3: Gebruik de pijltjes om te navigeren tussen de bladzijden. Stap 4: Links zie je waar je je in

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN 93 5.0 INTRO 1 Op het werkblad vind je vier bouwplaten. Knip ze uit en zet ze in elkaar. Je krijgt drie piramides en een kubusvormige doos zonder deksel. a De drie piramides passen precies in de doos.

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en

Nadere informatie

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt]

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] [Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] Inleiding 1.1. Waar gaat het over? Vraag je aan iemand om een veelvlak te noemen,

Nadere informatie

ruimte Handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek handleiding

ruimte Handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek handleiding Handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn de zijlijn hoofdlijn Kennismaken met verschillende soorten

Nadere informatie

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET...

HET IS EEN PRISMA, OF TOCH NIET... In dit artikel laten we zien hoe je een kubus, een rombendodecaëder en een afgeknotte octaëder kunt omvormen tot een. Om de constructie zelf uit te voeren, heb je de bouwtekeningen nodig die bij dit artikel

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Antwoordmodel - In de ruimte

Antwoordmodel - In de ruimte Antwoordmodel - In de ruimte Vraag 1 Welke ruimtefiguren (of delen van) herken je op de volgende foto s? a Foto 1. Balk, prisma, cilinder en kubus. b Foto 2. Cilinder, balk, kubus en prisma c Foto 3. Balk,

Nadere informatie

Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark

Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark Deze Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron werd op 5 februari 2011 gebouwd door: Ninouk Akkerman,

Nadere informatie

werkschrift driehoeken

werkschrift driehoeken werkschrift driehoeken 1 hoeken 11 Rangschik de hoeken van klein naar groot. 14 b Teken een lijn l met daarop een punt A. Teken met je geodriehoek een lijn die l loodrecht snijdt in A. c Kies een punt

Nadere informatie

Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron

Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron Deze Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron werd op 3 en 4 februari 2012 gebouwd door: Jeffrey Hubert, Gijs Beernink,

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Extra oefenmateriaal H10 Kegelsneden

Extra oefenmateriaal H10 Kegelsneden Deel 1 Extra oefenmateriaal H10 Kegelsneden 1. Bereken de inhoud van de volgende twee afgeknotte figuren. 2. Hiernaast zie je een afgeknot zeszijdig prisma. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek met

Nadere informatie

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

Willem-Jan van der Zanden

Willem-Jan van der Zanden Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop

Nadere informatie

2. Antwoorden meetkunde

2. Antwoorden meetkunde 2. Antwoorden meetkunde In dit hoofdstuk zijn de antwoorden op de opgaven over Meetkunde opgenomen. Ze zijn kort en bondig per paragraaf gerangschikt. Dat betekent dat de antwoorden geen uitgebreide uitleg

Nadere informatie

De Cantitruncated 600 cel

De Cantitruncated 600 cel De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.

Nadere informatie

Platonische lichamen en andere reguliere polytopen

Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Bernd Souvignier Voorjaar 005 Inhoud De platonische lichamen. Reguliere veelhoeken.......................... Reguliere veelvlakken.........................

Nadere informatie

REKENEN. Les Probleemoplossend Rekenen. Hoofdstuk 13 -

REKENEN. Les Probleemoplossend Rekenen. Hoofdstuk 13 - REKENEN Les 2.3.7 Probleemoplossend Rekenen Hoofdstuk 13 - VANDAAG Studiewijzer Terugblik Probleemoplossend Rekenen Tijd om te oefenen Opgaven Proefexamen STUDIEWIJZER 2.3.2 Lengte en Oppervlakte 2.3.3

Nadere informatie

Kernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel meetkunde

Kernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel meetkunde Kernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel meetkunde Aanzicht Een ruimtelijk figuur kun je van verschillende kanten bekijken, je noemt dat aanzichten. Er zijn 5 aanzichten: Vooraanzicht (van voren).

Nadere informatie

Aanzichten en inhoud. vwo wiskunde C, domein G: Vorm en ruimte

Aanzichten en inhoud. vwo wiskunde C, domein G: Vorm en ruimte Aanzichten en inhoud vwo wiskunde C, domein G: Vorm en ruimte 1 Verantwoording 2015, SLO (nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling), Enschede Dit lesmateriaal is ontwikkeld in het kader van de nieuwe

Nadere informatie

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo

Bij deze PTA-toets hoort een uitwerkbijlage, die behoort bij opdracht 4c. Pagina 1 van 8. Vestiging Westplasmavo Vestiging Westplasmavo vak : Wiskunde leerweg : TL toetsnummer : 4T-WIS-S06 toetsduur: : 100 minuten aantal te behalen punten : 56 punten cesuur : 28 punten toetsvorm : Schriftelijk hulpmiddelen : Geodriehoek,

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R

Nadere informatie

Regelmaat in de ruimte

Regelmaat in de ruimte Regelmaat in de ruimte . Regelmaat in de ruimte A.K. van der Vegt VSSD iv VSSD Eerste druk 1991, tweede druk 2002 Uitgave van: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27 82124,

Nadere informatie

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is.

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is. 1 2 1 Wiskunde, zeker duimstok Timmerman Hoe lang iets is. Blokhaak: Timmerman Of een hoek haaks is. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. Zeven munten: een van 1-eurocent, twee van 2-eurocent,

Nadere informatie

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het

Nadere informatie

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer.

5. C De routes langs A en C zijn even lang, dus is de route langs C ook 215 meter langer. ANTWOORDEN KANGOEROE 2001 BRUGKLAS en KLAS 2 1. E 2. E 18 doosjes voor de rode, 13 voor de blauwe: totaal 31 doosjes 3. C De ringen A, B en D zitten allemaal alleen door ring C. 4. B De twee getallen moeten

Nadere informatie

Halve regelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken)

Halve regelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken) 30 3 Halve regelmaat (Archimedische of uniforme veelvlakken) 3.1. Algemeen In hoofdstuk 1 is de definitie van half-regelmatige of uniforme, ook Archimedische veelvlakken genoemd, al gegeven. Het zijn veelvlakken

Nadere informatie

Schaduwopgaven Verhoudingen

Schaduwopgaven Verhoudingen Schaduwopgaven Verhoudingen bij 5 Een vierkant wordt verknipt in zeven driehoeken, zoals hiernaast. Het grijze driehoekje gooien we weg. Wat is de verhouding van de oppervlakte van de andere zes? na 10

Nadere informatie

wiskunde CSE GL en TL

wiskunde CSE GL en TL Examen VMBO-GL en TL 2010 tijdvak 2 dinsdag 22 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE GL en TL Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten

Nadere informatie

Meetkunde. MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3

Meetkunde. MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3 Meetkunde MBO Wiskunde Niveau 4 - Leerjaar 1, periode 3 LOCATIE: Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal DOMEINEN: Bouwkunde, Werktuigbouw, Research Instrumentmaker LEERWEG: BOL - MBO Niveau 4 DATUM:

Nadere informatie

werkschrift passen en meten

werkschrift passen en meten werkschrift passen en meten 1 vierhoeken 2 De vijf in één - puzzel 7 Een puzzel De serie spiegelsymmetrische figuren is volgens een bepaald systeem opgebouwd. Teken de volgende figuren in de reeks. 8 Een

Nadere informatie

Thema: Ruimtelijke figuren vmbo-b34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie.

Thema: Ruimtelijke figuren vmbo-b34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. Auteur VO-content Laatst gewijzigd 13 April 2016 Licentie CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/74196 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van Kennisnet.

Nadere informatie

Extra opgaven Aanzichten, oppervlakte en inhoud

Extra opgaven Aanzichten, oppervlakte en inhoud Piramide (bewerking van opgave uit CE vmbo-gtl wis 2009-II) Hierboven is een piramide getekend. Het grondvlak ABC is een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6,5 cm. De top T van de piramide ligt recht

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 008-009: tweede ronde ( 7) = (A) 7 (B) 7 (C) 7 of + 7 (D) 7 (E) onbepaald Beschouw de rij opeenvolgende natuurlijke getallen beginnend met en eindigend met Wat is het middelste

Nadere informatie

Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken...

Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken... Diktaat Concrete Meetkunde Veelvlakken en alles wat daarbij komt kijken... Anieke Brombacher 3230589 Auke Mollema 3233626 Patrick van Stiphout 3223604 24 april 2009 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Regelmatige

Nadere informatie

Voetbal(len) in de wiskundeles

Voetbal(len) in de wiskundeles Voetbal(len) in de wiskundeles Item 1 --- Shot op doel Opdracht : a) figuur links boven (keeper op midden van de doellijn) Welke speler (B of D) maakt de grootste kans om te scoren? b) figuur rechtsboven

Nadere informatie

1. C De derde zijde moet meer dan 5-2=3 zijn en minder dan 5+2=7 (anders heb je geen driehoek).

1. C De derde zijde moet meer dan 5-2=3 zijn en minder dan 5+2=7 (anders heb je geen driehoek). Uitwerkingen wizprof 08. C De derde zijde moet meer dan 5-=3 zijn en minder dan 5+=7 (anders heb je geen driehoek).. C De rode ringen zitten in elkaar, de groene liggen onder de rode ringen en zijn er

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Inhoud uitwerkingen

Hoofdstuk 6 Inhoud uitwerkingen Kern Prisma en cilinder a De inhoud is G h=,5 = 4,5cm. b Die inhoud is even groot. a De inhoud is G h= ( 4) 8 = 64 cm b Op iedere hoogte geldt dat de doorsnede van het rechte prisma dezelfde oppervlakte

Nadere informatie

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder B136 De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak Het twaalfvlak of dodecaëder Een dodecaëder ligt besloten tussen 6 paren van evenwijdige vlakken. Als die

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Bob Ansell Contactgegevens Polydron Site E,Lakeside Business Park Broadway Lane South Cerney Cirencester Gloucestershire GL7 5XL Tel: +44 (0)1285 863980 Email: headoffice@polydron.com

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde Junior Wiskunde lympiade 200-20: eerste ronde. Waaraan is xyz + xyz + xyz gelijk? () 3xyz () 27xyz () x 3 y 3 z 3 () 3x 3 y 3 z 3 () 27x 3 y 3 z 3 2. Welke van volgende ongelijkheden is waar? () 2 > 0,5

Nadere informatie

percent = procent per cent betekent per 100.

percent = procent per cent betekent per 100. Taak na blok 4 les TAAK 5 Naam: Klas: Datum: Klasnummer: Tip! Percenten G/B 4 percent = procent per cent betekent per 00 45 % is 45 per 00 45 van de 00 45 op 00 45 00 00 % is geheel 50 % is de helft 5

Nadere informatie

Vl. M. Nadruk verboden 1

Vl. M. Nadruk verboden 1 Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) - 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte

Nadere informatie

1. Ik kan vormen en figuren herkennen en gebruiken met bijbehorende wiskundige vaktaal.

1. Ik kan vormen en figuren herkennen en gebruiken met bijbehorende wiskundige vaktaal. LEERLIJN WISKUNDE VMBO-BKTG (Leerjaar 1-periode 1) VMBO BKTG LJ1 Vmbo BKTG Periode 1 Wat ga ik leren? Wanneer? Welke inhoud heb ik nodig? Wat ga ik doen om dit te leren? Hoe bewijs ik dat ik dit geleerd

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 - Piramides - uitwerkingen

Hoofdstuk 3 - Piramides - uitwerkingen Wiskunde Leerjaar 1 - periode Ruimtemeetkunde Hoofdstuk - iramides - uitwerkingen 1. iramide Hiernaast staat een regelma/ge vierzijdige piramide met (dus) een vierkant grondvlak. e hoogte van deze piramide

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde . (D)

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde . (D) Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: tweede ronde 9 is gelijk aan (A) 3 (B) 3 (C) 9 (D) 3 9 (E) 2 Het kwadraat van 3+ + 3 is gelijk aan (A) 2 (B) 6 (C) 0 (D) 2 2 (E) 4 3 Welk van volgende figuren is het

Nadere informatie

Wiskunde Uitwerkingen Leerjaar 1 - Periode 3 Meetkunde 3D Hoofdstuk 4 t/m 7

Wiskunde Uitwerkingen Leerjaar 1 - Periode 3 Meetkunde 3D Hoofdstuk 4 t/m 7 Wiskunde Uitwerkingen Leerjaar - Periode Meetkunde oofdstuk t/m 7 oofdstuk. a). a). a) opp. = ribbe ribbe = ribbe = 8 cm inh. = ribbe ribbe ribbe = ribbe =.78 cm opp. = 00 0 + 0 + 00 = 7.900 cm inh. =

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 2 dinsdag 22 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 2 dinsdag 22 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2010 tijdvak 2 dinsdag 22 juni 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 26 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.

Nadere informatie

Homogene groepen, de balk

Homogene groepen, de balk Volgende week mag je zelf een les van ongeveer 20 minuten geven aan je medeleerlingen over de balk, cilinder of kegel. Een goede les bevat veel leerlingactiviteit. Zorg er dus voor dat je je leerlingen

Nadere informatie

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4

Wiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin

Nadere informatie

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets:

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets: Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen Instap Een opgave uit de oefentoets: Van welke verpakkingen is de vorm een prisma? A. Pak spaghetti blikje chocomel doosje

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Doorsnede inhoud vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/74250

Doorsnede inhoud vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/74250 Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 24 mei 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/74250 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs

Nadere informatie

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2009 tijdvak 1 dinsdag 19 mei 13.30-16.30 uur oud programma wiskunde B1,2 Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten

Nadere informatie

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1]

8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] 8.1 Inhoud prisma en cilinder [1] Een prisma heeft twee evenwijdige grensvlakken. Een grondvlak en een bovenvlak. De andere grensvlakken zijn rechthoeken. De hoogte van de prisma is de lengte van de opstaande

Nadere informatie

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de eerste graad. R. Van Nieuwenhuyze. Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, lerarenopleiding Brussel

GEOGEBRA 5. Ruimtemeetkunde in de eerste graad. R. Van Nieuwenhuyze. Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, lerarenopleiding Brussel GEOGEBRA 5 Ruimtemeetkunde in de eerste graad R. Van Nieuwenhuyze Oud-hoofdlector wiskunde aan Odisee, lerarenopleiding Brussel Auteur Van Basis tot Limiet en auteur van Nando. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Thema: Ruimtelijke figuren vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/74248

Thema: Ruimtelijke figuren vmbo-kgt34. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/74248 Auteur VO-content Laatst gewijzigd 21 oktober 2016 Licentie CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Webadres https://maken.wikiwijs.nl/74248 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs

Nadere informatie

DE VIJFVOUDIGE OCTAEDER

DE VIJFVOUDIGE OCTAEDER V DE VIJFVOUDIGE OCTAEDER Aan de buitenzijde van de dodecaëder zijn niet alleen de hoekpunten van een vijftal kubussen te zien, doch ook hun ribben. Van de bijbehorende 10 tetraëders echter, zien we nog

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen

Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2003-II

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2003-II Eindeamen wiskunde 1- havo 00-II Lichaam met zeven vlakken In figuur 1 is een balk D.EFGH getekend. Het grondvlak D is een vierkant met een zijde van cm. De ribbe G is cm lang. Door uit de balk de twee

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 dinsdag 15 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VMBO-KB. wiskunde CSE KB. tijdvak 1 dinsdag 15 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VMBO-KB 2018 tijdvak 1 dinsdag 15 mei 13.30-15.30 uur wiskunde CSE KB Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 26 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 74 punten te behalen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Inleiding ruimtefiguren

Hoofdstuk 1 - Inleiding ruimtefiguren Wiskunde Leerjaar 1 - periode 3 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk 1 - Inleiding ruimtefiguren A. Zeven verschillende ruimtefiguren Hieronder zie je zeven verschillende ruimtefiguren. De ruimtefiguren ontstaan

Nadere informatie

Naam:... Nr... SPRONG 5. a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft.

Naam:... Nr... SPRONG 5. a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft. Naam:... Nr.... SPRONG 5 G G 1 Percenten T a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft. Kleur 20 % blauw. 25 % maak je geel. 50 % krijgt een groene kleur. Er blijft

Nadere informatie

Wiskunde. Hoofdstuk 1 en hoofdstuk 5, paragraaf 5.1, 5.2 en 5.3 kennen en kunnen.

Wiskunde. Hoofdstuk 1 en hoofdstuk 5, paragraaf 5.1, 5.2 en 5.3 kennen en kunnen. Toetsstof In de toets weken moet je dit kunnen toepassen Hoofdstuk 1 en hoofdstuk 5, paragraaf 5.1, 5.2 en 5.3 kennen en kunnen. Periodetaak Maak een mooie mandala met passer en kleur hem leuk in. Ga naar

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 95 tot 974 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram pagina 754: puzzel geometrische figuren pagina 837: diverse gezichtspunten

Nadere informatie

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B

5.7. Boekverslag door P woorden 11 januari keer beoordeeld. Wiskunde B Boekverslag door P. 1778 woorden 11 januari 2012 5.7 103 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde B Getal en ruimte Wiskunde Hoofdstuk 1 Formules en Grafieken 1.1 Lineaire verbanden Van de lijn y=ax+b is de

Nadere informatie

44 De stelling van Pythagoras

44 De stelling van Pythagoras 44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt

Nadere informatie

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren

Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren 4 Oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren BALK EN KUBUS hoogte Figuur lengte reedte In figuur is een alk getekend. Bij een alk zijn steeds de twee tegenover elkaar liggende vlakken gelijk. Alle vlakken

Nadere informatie

24/11/2008. heel handig hulpvenster past zich voortdurend aan. Engelstalige handleiding van 63 blz. dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008

24/11/2008. heel handig hulpvenster past zich voortdurend aan. Engelstalige handleiding van 63 blz. dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008 Cabri 3D een voorstelling van de mogelijkheden dag van de wiskunde 2e/3e graad 22 nov 2008 Paul Decuypere, VVKSO cahier de brouillon interactif www.cabri.com 1985: eerste versie van Cabri I 1989: eerste

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN c 1.0 INTRO 1 a Door een kael te spannen en daar langs te rijden. Met een kael van de juiste lengte die je evestigt aan een punt in de grond (het middelpunt) c Met twee latten die

Nadere informatie

2 Lijnen en hoeken. De lijn

2 Lijnen en hoeken. De lijn 1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam

Nadere informatie

3.1 Soorten hoeken [1]

3.1 Soorten hoeken [1] 3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de

Nadere informatie

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek week 13 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 434 tot 443 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina s 374 en 375: vierhoeken pagina 376: eigenschappen van diagonalen in vierhoeken

Nadere informatie