Wiskunde: het mooiste vak!
|
|
|
- Petra de Veen
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Wiskunde: het mooiste vak! Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit Nederland Congres van de Vlaamse Vereniging voor Wiskundeleraren Blankenberge, 29 juni 2008
2 Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing:
3 Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing: Schoonheid
4 Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing: Schoonheid Structuur
5 Wiskunde: het mooiste vak! Trefwoorden van deze lezing: Schoonheid Structuur Symmetrie
6 Absolutely amazing!
7 Absolutely amazing! = 9
8 Absolutely amazing! = = 98
9 Absolutely amazing! = = = 987
10 Absolutely amazing! = = = = 9876
11 Absolutely amazing! = = = = = 98765
12 Absolutely amazing! = = = = = =
13 Absolutely amazing! = = = = = = =
14 Absolutely amazing! = = = = = = = =
15 Absolutely amazing! = = = = = = = = =
16 Absolutely amazing!
17 Absolutely amazing! = 11
18 Absolutely amazing! = = 111
19 Absolutely amazing! = = = 1111
20 Absolutely amazing! = = = = 11111
21 Absolutely amazing! = = = = =
22 Absolutely amazing! = = = = = =
23 Absolutely amazing! = = = = = = =
24 Absolutely amazing! = = = = = = = =
25 Absolutely amazing! = = = = = = = = =
26 Absolutely amazing!
27 Absolutely amazing! = 88
28 Absolutely amazing! = = 888
29 Absolutely amazing! = = = 8888
30 Absolutely amazing! = = = = 88888
31 Absolutely amazing! = = = = =
32 Absolutely amazing! = = = = = =
33 Absolutely amazing! = = = = = = =
34 Absolutely amazing! = = = = = = = =
35 Absolutely amazing! = = = = = = = = =
36 Absolutely amazing! = = = = = = = = = =
37 Een kindertekening
38 Een kindertekening Een kromme als omhullende!
39 Een kindertekening, variant
40 Een kindertekening, variant Alle lijnstukjes even lang
41 Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel 1 y b O a 1 x
42 Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door y 1 b O a 1 x
43 Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel y Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door bx + ay = ab 1 b O a 1 x
44 Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel 1 y Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door bx + ay = ab In het eerste geval geldt: a + b constant. Kies a + b = 1 b O a 1 x
45 Analytische aanpak Kies orthonormaal coördinatenstelsel 1 y Lijn door (a, 0) en (0, b) wordt gegeven door bx + ay = ab In het eerste geval geldt: a + b constant. Kies b O a 1 x a + b = 1 (In het tweede geval geldt: a 2 + b 2 constant. Kies dan a 2 + b 2 = 1 )
46 Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) bx + ay = ab met a + b = 1
47 Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) met bx + ay = ab a + b = 1 Merk op: er is symmetrie in x en y (en in a en b)!
48 Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) met bx + ay = ab a + b = 1 Merk op: er is symmetrie in x en y (en in a en b)! We zoeken een analytische beschrijving van de omhullende kromme.
49 Analytische aanpak, eerste tekening Lijn door (a, 0) en (0, b) met bx + ay = ab a + b = 1 Bekijk smal verticaal venster bij x = x 0 1 y Merk op: er is symmetrie in x en y (en in a en b)! 1 - a (x 0, y 0 ) We zoeken een analytische beschrijving van de omhullende kromme. O x 0 a 1 x
50 Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) y a (x 0, y 0 ) O x 0 a 1 x
51 Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) Bij vaste x = x 0 is de y-waarde y = (1 a) 1 a a x 0 y a (x 0, y 0 ) O x 0 a 1 x
52 Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) y 1 Bij vaste x = x 0 is de y-waarde y = (1 a) 1 a a x 0 Die is maximaal als het punt ( (x 0, y 0 ) = x 0, (1 a) 1 a ) x 0 a 1 - a (x 0, y 0 ) op de omhullende kromme ligt! O x 0 a 1 x
53 Analytische aanpak, eerste tekening Neem b = 1 a Dan wordt de lijn (1 a)x + ay = a(1 a) y 1 Bij vaste x = x 0 is de y-waarde y = (1 a) 1 a a x 0 Die is maximaal als het punt ( (x 0, y 0 ) = x 0, (1 a) 1 a ) x 0 a 1 - a (x 0, y 0 ) O x 0 a 1 x op de omhullende kromme ligt! Hier is y = y(a) een functie van a, en y 0 = max 0 a 1 y(a)
54 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van y(a) = (1 a) 1 a a x 0
55 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2
56 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft x 0 = a 2 dus a = x 0
57 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0
58 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0
59 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0 = (1 x 0 ) 2
60 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0 = (1 x 0 ) 2 = (1 a) 2 = b 2 zodat (x 0, y 0 ) = (a 2, b 2 )
61 Analytische aanpak, eerste tekening Maximum bepalen van dy da y(a) = (1 a) 1 a a x 0 = 1 a (1 a) a 2 x 0 = 1 + x 0 a 2 Afgeleide nul stellen en oplossen geeft Hieruit volgt x 0 = a 2 dus a = x 0 y 0 = y( x 0 ) = 1 x 0 (1 x 0 ) x 0 = 1 2 x 0 + x 0 = (1 x 0 ) 2 = (1 a) 2 = b 2 zodat (x 0, y 0 ) = (a 2, b 2 ) = opnieuw symmetrie!
62 Recapitulatie:
63 Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1
64 Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1 Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 2, b 2 ) dus wegens a + b = 1
65 Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1 Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 2, b 2 ) dus wegens a + b = 1 x + y = 1 (vergelijking van de omhullende kromme).
66 Recapitulatie: Lijnen met bx + ay = ab a + b = 1 Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 2, b 2 ) dus wegens a + b = 1 x + y = 1 (vergelijking van de omhullende kromme). Parametrisatie: x = cos 4 t, y = sin 4 t, 0 t 1 2 π.
67 Net zo voor de tweede kindertekening:
68 Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen bx + ay = ab met a 2 + b 2 = 1
69 Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen met bx + ay = ab a 2 + b 2 = 1 Met dezelfde methode als boven vind je dat een punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 3, b 3 ) dus wegens a 2 + b 2 = 1
70 Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen met bx + ay = ab a 2 + b 2 = 1 Met dezelfde methode als boven vind je dat een punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 3, b 3 ) 3 x y 2 = 1 dus wegens a 2 + b 2 = 1 Dit is een asteroïde.
71 Net zo voor de tweede kindertekening: Lijnen met bx + ay = ab a 2 + b 2 = 1 Met dezelfde methode als boven vind je dat een punt (x, y) op de omhullende voldoet aan (x, y) = (a 3, b 3 ) 3 x y 2 = 1 dus wegens a 2 + b 2 = 1 Dit is een asteroïde. Parametrisatie: x = cos 3 t, y = sin 3 t, 0 t 2π.
72 Een goede bekende 1 y b O a 1 x
73 Een goede bekende y 1 b Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 O a 1 x
74 Een goede bekende y 1 Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 b O a 1 x Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan x = a 2, y = b 2
75 Een goede bekende y 1 Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 b O a 1 x Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan x = a 2, y = b 2 en dit geeft, wegens 0 a, b 1, de vergelijking x + y = 1
76 Een goede bekende y 1 Terug naar de eerste tekening. Lijnen bx + ay = ab met a + b = 1 b O a 1 x Punt (x, y) op de omhullende voldoet aan x = a 2, y = b 2 en dit geeft, wegens 0 a, b 1, de vergelijking x + y = 1 Maar waarom zouden we ook geen negatieve a of b toelaten (met, nog steeds, a + b = 1)?
77 Een goede bekende
78 Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1
79 Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y
80 Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y en dat kunnen we ook schrijven als 2(x + y) = 1 + (x y) 2
81 Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y en dat kunnen we ook schrijven als 2(x + y) = 1 + (x y) 2 Dit is een parabool!
82 Een goede bekende Algemenere vergelijking van de omhullende daarom: ± x ± y = 1 Kwadrateren: x ± 2 xy + y = 1 Herschrijven en nogmaals kwadrateren geeft 4xy = 1 + x 2 + y 2 + 2xy 2x 2y en dat kunnen we ook schrijven als 2(x + y) = 1 + (x y) 2 Dit is een parabool! (namelijk, met u = x y, v = x + y, de parabool 2v = 1 + u 2 )
83 De omhullende is een parabool!
84 De omhullende is een parabool!
85 Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8
86 Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8 Januari 2007: E8 volledig in kaart gebracht.
87 Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8 Januari 2007: E8 volledig in kaart gebracht. E8 is een 248-dimensionale wiskundige structuur.
88 Een spectaculair recent onderzoeksresultaat: E8 Januari 2007: E8 volledig in kaart gebracht. E8 is een 248-dimensionale wiskundige structuur. De figuur hiernaast toont een tweedimensionale projectie van een achtdimensionaal wortelsysteem voor E8
89 Wie werkten mee aan dit resultaat over E8? Veertien van de achttien leden van het Atlas-team (Palo Alto, 2004).
90 Wat is E8?
91 Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, ).
92 Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, ). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen.
93 Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, ). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen. E8 beschrijft de symmetrieën van een zekere meetkundige structuur in een 57-dimensionale ruimte.
94 Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, ). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen. E8 beschrijft de symmetrieën van een zekere meetkundige structuur in een 57-dimensionale ruimte. E8 heeft een wortelsysteem dat bestaat uit 240 eenheidsvectoren in een achtdimensionale vectorruimte.
95 Wat is E8? E8 is een Lie-groep (Sophus Lie, ). E8 is een van de vijf exceptionele elementaire Lie-groepen. E8 beschrijft de symmetrieën van een zekere meetkundige structuur in een 57-dimensionale ruimte. E8 heeft een wortelsysteem dat bestaat uit 240 eenheidsvectoren in een achtdimensionale vectorruimte. E8 heeft dimensie 248.
96 Meer informatie over E8 Meer details: Artikel door Bruno van Wayenburg voor Noorderlicht: Artikel door Alex van den Brandhof en Tom Koornwinder op Kennislink:
97 Symmetrieën in het vlak
98 Symmetrieën in het vlak Jali (India, zestiende eeuw)
99 Symmetrieën in het vlak Wat voor symmetrieën zien we in deze Indiase jali? Jali (India, zestiende eeuw)
100 Symmetrieën in het vlak Wat voor symmetrieën zien we in deze Indiase jali? Het centrale gedeelte kan in alle richtingen worden voortgezet. Wat krijgen we dan? Jali (India, zestiende eeuw)
101 Symmetrieën in het vlak Jali (India, zestiende eeuw)
102 Symmetrieën in het vlak
103 Symmetrieën in het vlak
104 Symmetrieën in het vlak Zoek de rotatiecentra in dit patroon!
105 Symmetrieën in het vlak
106 Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra
107 Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra drievoudige rotatiecentra
108 Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra drievoudige rotatiecentra tweevoudige rotatiecentra
109 Symmetrieën in het vlak Deze vlakvulling heeft zesvoudige rotatiecentra drievoudige rotatiecentra tweevoudige rotatiecentra Het is hetzelfde patroon als de vlakvulling op de vorige dia. Het patroon heeft dezelfde symmetrieën!
110 Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie.
111 Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie. Samen met de identiteit vormen deze symmetrieën de symmetriegroep van zo n patroon.
112 Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie. Samen met de identiteit vormen deze symmetrieën de symmetriegroep van zo n patroon. Er zijn precies zeventien verschillende behangpatroongroepen!
113 Behangpatronen De getoonde patronen zijn voorbeelden van zogenaamde behangpatronen (wallpaper patterns), vlakke patronen met translatiesymmetrie in meerdere richtingen, en mogelijk ook rotatiesymmetrie en/of spiegelsymmetrie. Samen met de identiteit vormen deze symmetrieën de symmetriegroep van zo n patroon. Er zijn precies zeventien verschillende behangpatroongroepen! Voorbeelden van patronen met deze symmetriegroepen kunnen gevonden worden in ornamentale kunst uit alle cultuurperiodes, in het bijzonder in de islamitische kunst, maar ook in de Jugendstil en in het werk van M.C. Escher.
114 Symmetrie in de wiskunde en de kunst Zie voor meer informatie, lezingen, artikelen, etc. mijn homepage craats
115 Symmetrie in de wiskunde en de kunst Zie voor meer informatie, lezingen, artikelen, etc. mijn homepage craats en verder...
116 CWI-vacantiecursus Bezoek de CWI-vacantiecursus 2008 Wiskunde en profil Het gezicht van de wiskunde bestemd voor wiskundeleraren!
117 CWI-vacantiecursus Bezoek de CWI-vacantiecursus 2008 Wiskunde en profil Het gezicht van de wiskunde bestemd voor wiskundeleraren! De tweedaagse cursus, die bestaat uit acht lezingen, wordt twee maal gegeven: Eindhoven, vrijdag 22 en zaterdag 23 augustus 2008 Amsterdam, vrijdag 29 en zaterdag 30 augustus 2008
118 CWI-vacantiecursus Bezoek de CWI-vacantiecursus 2008 Wiskunde en profil Het gezicht van de wiskunde bestemd voor wiskundeleraren! De tweedaagse cursus, die bestaat uit acht lezingen, wordt twee maal gegeven: Eindhoven, vrijdag 22 en zaterdag 23 augustus 2008 Amsterdam, vrijdag 29 en zaterdag 30 augustus 2008 Voor meer details, zie
Eenvoud bij tekenen en rekenen
Eenvoud bij tekenen en rekenen Jan van de Craats In het decembernummer 2005 van Euclides doen Paul Drijvers, Swier Garst, Peter Kop en Jenneke Krüger verslag van een experimenteel project in vwo-5 wiskunde-b
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Symmetrische betegelingen op de bol en in het vlak
Symmetrische betegelingen op de bol en in het vlak Jan van de Craats (UvA) NWD, 4 februari 2012 Symmetrie Symmetrie Inspiratiebron: John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries
Een passie voor SYMMETRIE
Een passie voor SYMMETRIE Jan van de Craats (UvA) NWD, 6 februari 2016 Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Rozetpatronen (2 soorten) Soorten symmetrische
Krommen tekenen met de lat
Krommen tekenen met de lat Nationale WiskundeDagen Nederland 1 februari 2014 Michel Roelens - KHLim Lerarenopleiding secundair onderwijs Diepenbeek - Maria Boodschaplyceum, Brussel - Redactie UITWISKELING,
Een wiskundige kijk op SYMMETRIE
Een wiskundige kijk op SYMMETRIE Jan van de Craats (UvA) Koninklijk Genootschap Physica, Alkmaar, 5 maart 2018 Symmetrie op het boloppervlak Soorten symmetrische patronen en voorwerpen Soorten symmetrische
Symmetrie in islamitische ornamentale kunst
Symmetrie in islamitische ornamentale kunst Jan van de Craats (UvA, OU) Wie in Andalusië de moorse paleizen en moskeeën, zoals het Alhambra in Granada, het Alcazar in Sevilla of de grote Mezquita-moskee
OOG VOOR SYMMETRIE. Een wiskundige passie
OOG VOOR SYMMETRIE Een wiskundige passie Jan van de Craats (UvA) Ars et Mathesis, 16 november 2013 Twee soorten rozetpatronen Twee soorten rozetpatronen Twee soorten rozetpatronen Alleen draaisymmetrie
Bestaat er dan toch een wortel uit 1?
Bestaat er dan toch een wortel uit 1? Complexe getallen en complexe functies Jan van de Craats Universiteit van Amsterdam, Open Universiteit CWI Vacantiecursus 2007 Wat zijn complexe getallen? Wat zijn
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Bruno Ernst Symposium
Bruno Ernst Symposium Betegelingen en behanggroepen symmetrie in wiskundige termen Jeanine Daems Universiteit Leiden Voorbeelden van symmetrische figuren: wat is symmetrie in de wiskunde? symmetrie
IJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van de
Wiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen
Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding
Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Regelmatige vlakvullingen
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Regelmatige vlakvullingen Regelmatige vlakvullingen Een regelmatige vlakvulling is een manier om een vlak te vullen doormiddel van een zich steeds herhalend patroon.
IJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
IJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk
De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Voortbouwen op IMAGINARY
Voortbouwen op IMAGINARY Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel pcara@vub.ac.be IMAGINARY Kick-off event KULeuven, 3 juni 2015 Philippe Cara (VUB) IMAGINARY in de klas 3 juni 2015 1 / 31 Componenten
Imaginary - van bol naar kubus
Imaginary - van bol naar kubus Gommaar Maes en Tania Van Damme SLO Wiskunde - Universiteit Gent en Atheneum Mariakerke Inleiding: coördinaat en vergelijking. Vlak Coördinaat Als we werken binnen een orthonormaal
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel A (2XE6) op maandag 2 mei 25, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
Wiskundige Technieken
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 1ste Bachelor Fysica en Sterrenkunde Academiejaar 014-015 1ste semester 1 oktober 014 Wiskundige Technieken 1. Beschouw een scalaire functie f : R R en een vectorveld
Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #1 Uitwerking.
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen #1 Uitwerking Vraagstuk 1 Bereken de oppervlakte integraal F ˆn d, waarbij Fx, y, z) x î + y ĵ z ˆk en
8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Noordhoff Uitgevers bv
5 bladzijde 9 ab f g h i j functie nr 5 Domein [ 0, 0, Bereik [ 0, [ 0, 0, c D k B k, 0 0, d Spiegelen in de -as geeft het tegengestelde bereik, dus, 0]. e u ( ) en yu ( ) u f D q, 0 0, ; B q 0, a [, b
Antwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Math D2 Gauss (Wiskunde leerlijn TOM) Deelnemende Modules: /FMHT/ / A. Oefententamen #2 Uitwerking
Math D Gauss Wiskunde leerlijn TOM Deelnemende Modules: 14-144/FMHT/14161/14144-1A Oefententamen # Uitwerking Vraagstuk 1. tel de doorsnijding van de oppervlakken x + y + z 4 en z 1. Van bovenaf bekijkt
Uitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future
WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking
KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET GULDEN ZADELVLAK, EN DE REGELMATIGE VIJFHOEK.
KWADRATISCHE VERGELIJKINGEN, HET, EN DE REGELMATIGE. VIÈTE Johan A.C. Kolk Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Met medewerking van Rogier Bos Christelijk Gymnasium Utrecht & Freudenthal Instituut,
UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I
Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte
Ijkingstoets 4 juli 2012
Ijkingtoets 4 juli 2012 -vragenreeks 1 1 Ijkingstoets 4 juli 2012 Oefening 1 In de apotheek bezorgt de apotheker zijn assistent op verschillende tijdstippen van de dag een voorschrift voor een te bereiden
Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie
Symmetriegroepclassificatie met de orbifoldnotatie Jos Klarenbeek Bachelorscriptie Begeleiding: prof.dr. Jan van de Craats en dr. Hessel Posthuma KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts
Voorbereiding toelatingsexamen artstandarts Wiskunde: oppervlakteberekening 307 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http:users.telenet.betoelating) . Inleiding Dit oefeningenoverzicht
Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap
Ontwikkeling van het functiebegrip in: Wiskunde als Wetenschap Tom Koornwinder thk@science.uva.nl Korteweg-de Vries Instituut, UvA Ontwikkeling van het functiebegrip p.1/13 Moderne definitie van een functie
11.1 De parabool [1]
![11.1 De parabool [1]](/thumbs/51/28339750.jpg "11.1 De parabool [1]")
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Technische Universiteit Delft Tentamen Calculus TI1106M - Uitwerkingen. 2. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden.
Technische Universiteit elft Tentamen Calculus TI06M - Uitwerkingen Opmerkingen:. Het gebruik van de rekenmachine is NIET toegestaan.. Geef berekeningen en beargumenteer je antwoorden. 3. Bij iedere vraag
Actief gedeelte - Maken van oefeningen
Actief gedeelte - Maken van oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x 2. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? (A) x 2 (B) x 2 [ ] 4 (C) x, 2 [ ] 2 (D) x, 2 Oefening 2
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode
Examenvragen Meetkunde en lineaire algebra Tweede examenperiode 2008-2009 Een rechte conoïde met als richtrechte de X-as, en als richtoppervlak de sfeer met middelpunt in (0, 16, 0) en straal 9. (1) Stel
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig
Tips en trucs bij Surfer
Tips en trucs bij Surfer Frits Beukers, email: f.beukers@uu.nl 18 maart 2016 Surfer, te downloaden van https://imaginary.org/program/surfer, is een mooi programma, maar je zult merken dat het lukraak invoeren
Analytische Meetkunde. Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw
Analytische Meetkunde Wiskundedialoog Nijmegen, 13 juni 2017 Jeroen Spandaw (j.g.spandaw@tudelft.nl) Samenhangende Wiskunde Synthetische Meetkunde Vectoren Gonio Analyse Algebra Symmetrie Complexe Getallen
opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Vergelijkingen van cirkels en lijnen
Vergelijkingen van cirkels en lijnen Rechthoekig coördinatenstelsel! Cartesisch coördinatenstelsel! René Descartes (1596-1650) Van hem is de uitspraak: Ik denk, dus ik besta! September 12, 2009 1 Vergelijkingen
Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Bewijzen met coördinaten
Bewijzen met coördinaten Jan van de Craats (leadtekst) Zo n tien jaar geleden meenden sommigen dat redeneren en bewijzen meer aandacht moest krijgen in de schoolwiskunde. Als gevolg hiervan werd in het
K.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:
0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Oefenzitting 2: Parametrisaties.
Oefenzitting : Parametrisaties. Modeloplossingen Oefening.5:. Beschouw vooreerst de cirkel C in het xz-vlak met straal r en middelpunt (x, y, z) = (R,, ) (zie Figuur ). De parametrisatie van C wordt dan
Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 2015
IJkingstoets 4 september 05 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 05 Oefening De evolutie van een bepaalde radioactieve stof in de tijd volgt het wiskundig model N (t)
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool. 16 september dr. Brenda Casteleyn
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) 1. Inleiding
Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)
Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen
WI1708TH Analyse 3. College 5 23 februari Challenge the future
WI1708TH Analyse 3 College 5 23 februari 2015 1 Programma Vandaag Richtingsafgeleide (14.6) Gradiënt (14.6) Maximalisatie richtingsafgeleide (14.6) Raakvlak voor niveauoppervlakken (14.6) 2 Richtingsafgeleide
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.
Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect september 8: feedback deel wiskunde Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen 5 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
III.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Verbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode
1 1 vwo wiskunde b Baanversnelling de Wageningse Methode 1 1 2 2 Copyright 2018 Stichting de Wageningse Methode Auteurs Leon van den Broek, Ton Geurtz, Maris van Haandel, Erik van Haren, Dolf van den Hombergh,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5
2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken
Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier
Vectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Vectoranalyse voor TG
college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid
TEKENEN. beeldende vorming. Vlakvullingen. hoofdstuk 13: vlakvulling
Vlakvullingen Tekeningen zoals hierboven heb je vast weleens eerder gezien, bijvoorbeeld op één van de posters in de wiskundelokalen. Het is het werk van Escher.Je kent hem misschien ook wel van de onmogelijke
toelatingsexamen-geneeskunde.be Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld.
Wiskunde juli 2009 Laatste aanpassing: 29 juli 2009. Gebaseerd op nota s tijdens het examen, daarom worden niet altijd antwoordmogelijkheden vermeld. Vraag 1 Wat is de top van deze parabool 2 2. Vraag
Vectoranalyse voor TG
college 2 Ruimte en oppervlakken collegejaar : 18-19 college : 2 build : 5 september 2018 slides : 25 Vandaag Ruimte 1 Vectoren in R 3 recap 2 Oppervlakken 3 Ruimte 4 1 intro VA Voorkennis uit Ruimtewiskunde
Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
x x y y Omdat de som van twee kwadraten niet negatief kan zijn, is er geen enkel punt van het oppervlak dat in het grondvlak ligt.
Hoofdstu 4 Functies van twee of meer variabelen 4.13 Herhalingsopgaven 1a z x y 4x y 6 Doorsnijden met grondvla geeft 0 x y 4x y 6 x 4x y y 6 0 x x y y 4 4 4 11 6 0 x y x y 4 1 1 6 0 1 1 Omdat de som van
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Definitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
OAB. A 0,2q gaat. x q m q mx. l x y b x b y. c x c y. c x y c c. x b y b bx 2. x c y c cx. a y q en b x q m.
Voor een driehoek ABC zijn de punten A en B vast en is C een veranderlijk punt Bepaal de meetkundige plaats van het punt C zodat het produt van de zijden AC en BC gelijk is aan het kwadraat van het zwaartelijnstuk
Basiskennistoets wiskunde
Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide
Lineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Het gebied is een ringvormig gebied met als rand de twee cirkels met vergelijking x + y 9 respectievelijk x + y 5. Laat A lnx + y dxdy.
Je mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNICHE UNIVERITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functies van meer variabelen, deel B (YE6) op vrijdag juli 5, 9..3 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd
15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]
![15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]](/thumbs/53/30970991.jpg "15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]")
15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
De meetkunde van de. derdegraadsvergelijking
Jan van de Craats De meetkunde van de derdegraadsvergelijking 22 februari 2007 Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking met a 1, a 2, a 3 C z 3 3a 1 z 2 + 3a 2 z a 3 = 0 Oplossingen z 1, z 2, z 3 Dan
Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen voor gespleten E 8, een uitzonderlijke berekening voor een exceptionele groep
Kazhdan-Lusztig-Vogan polynomen voor gespleten E 8, een uitzonderlijke berekening voor een exceptionele groep Marc van Leeuwen Laboratoire de Mathématiques et Applications Université de Poitiers 28 november
Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen. Cursus voor de vrije ruimte
Vlakke Meetkunde Meetkundige plaatsen en krommen Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Meetkundige plaatsen 1.1 Herhaling: analytische meetkunde 1.1.1 Affiene
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening
Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback
IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel
In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies.
03 college 5: meer technieken In dit college bekijken we een aantal technieken om integralen te bepalen van trigonometrische functies en van rationale functies. Opmerking over de notatie. Net als in het