Hoofdstuk 1. Complexe getallen. 1.1 Complexe getallen : definitie

Hoofdstuk 1 Complexe getallen 1.1 Complexe getallen : definitie De verzameling N van de natuurlijke getallen kan achtereenvolgens worden uitgebreid tot de verzamelingen Z van de gehele getallen, Q van de rationale getallen en R van de reële getallen. Deze opeenvolgende uitbreidingen zijn er o.a. gekomen om steeds ruimere klassen van algebraïsche vergelijkingen te kunnen oplossen. De reële getallen volstaan niet wanneer men oplossingen zoekt van vergelijkingen van de vorm x = c met c een negatief getal. De invoering van de complexe getallen is precies bedoeld om ook dat soort vergelijkingen te kunnen oplossen. Er zijn verschillende definities voor een complex getal mogelijk. We kiezen hier voor een definitie die een complex getal invoert als een koppel reële getallen. R DEFINITIE 1.1 complex getal Een complex getal is een koppel (x, y) van reële getallen. Het eerste element x van het koppel heet het reëel deel en het tweede element y het imaginair deel van het complex getal. De verzameling R R bestaande uit alle koppels reële getallen, is aldus ook de verzameling van de complexe getallen en we noteren deze als C. De verzameling van de koppels met tweede element gelijk aan nul, {(x, 0) x R}, is een deelverzameling van C Identificeren we zulk een koppel (x, 0) met het reëel getal x, dan kunnen we de verzameling R van de reële getallen opvatten als een deelverzameling van C. De verzameling van de koppels met eerste element gelijk aan nul, {(0, y) y R}, is eveneens een deelverzameling van C 1 1

1 Complexe getallen Een koppel (0, y) noemen we een zuiver imaginair getal. In het bijzonder stellen we het zuiver imaginair getal (0, 1) voor met de letter 1 j en we noemen dit de imaginaire eenheid. We kunnen het koppel (x, y) schrijven als som van de koppels (x, 0) en (0, y) en dus (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) zodat met de eerder gemaakte afspraken van identificatie geldt : (x, y) = x + yj Deze notatie voor een complex getal zal voortaan de voorkeur genieten boven de koppelnotatie. Schrijft men z = x + yj dan noemt men het rechterlid ook de algebraïsche gedaante van het complex getal z. Men duidt het reëel deel x en het imaginair deel y van z = x + yj ook aan met de notaties x = Re(z) en y = Im(z). 1. Goniometrische gedaante van een complex getal 1..1 Meetkundige voorstelling van een complex getal Vatten we het reëel en het imaginair deel van een complex getal z = x+yj = (x, y) op als cartesiaanse coördinaten van een punt P in het vlak, dan kan aan ieder complex getal precies één beeldpunt geassocieerd worden en omgekeerd. Dus z = x + yj correspondeert met P (x, y). Men noemt het puntenvlak waarin de punten complexe getallen voorstellen, ook het complexe vlak of vlak van Gauss en de coördinaatassen worden reële en imaginaire as genoemd. Complexe getallen traden voor het eerst op het voorplan in de 16de eeuw toen de Italiaanse wiskundigen Niccolo Tartaglia and Gerolamo Cardano bij het oplossen van derde en vierdegraadsvergelijkingen uitkwamen bij vierkantswortels uit negatieve getallen. Toch duurde het tot 1799 toen de Noor Caspar Wessel (1745 1818) een meetkundige interpretatie gaf aan complexe getallen vooraleer ze algemeen werden aanvaard. Deze meetkundige interpretatie waarbij complexe getallen worden voorgesteld als punten in een vlak, werd ook gevonden door de Franse amateur wiskundige Jean Robert Argand (1768 18) (argand diagram) en is verder verspreid door Gauss. 1 De notatie j voor de imaginaire eenheid is vooral gebruikelijk in de techniek om een onderscheid te maken met de i voor stroomsterkte. In zuiver wiskundige werken gebruikt men meestal de letter i voor de imaginaire eenheid. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 3 Figuur 1.1: Carl Friedrich Gauss (1777 1855) Het beeldpunt P van een complex getal kan ook nog geïnterpreteerd worden als eindpunt van de vector OP (met aangrijpingspunt in de oorsprong). Met ieder complex getal z = x + yj correspondeert bijgevolg ook een vector z die men de wijzer of fasor noemt. Het gebruik van fasoren is o.a. nuttig om sinusoïdale trillingen voor te stellen (zie verder). imaginaire as y = Im(z) z = x + yj z x = Re(z) reële as Figuur 1.: voorstelling van een complex getal in het vlak van Gauss Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 4 Complexe getallen 1.. Toegevoegde van een complex getal R DEFINITIE 1. toegevoegd complex getal Het toegevoegd complex getal van z = x + yj is het complex getal z = x yj. De getallen z en z hebben dus hetzelfde reëel deel, maar tegengesteld imaginair deel. De bijhorende beeldpunten in het complexe vlak liggen daarom symmetrisch t.o.v. de reële as. De enige complexe getallen die zelftoegevoegd zijn, zijn deze waarvan het imaginair deel gelijk is aan nul, m.a.w. de reële getallen. 1..3 Goniometrische gedaante van een complex getal Het beeldpunt P (x, y) geassocieerd aan het complex getal z = x+yj, kan ook bepaald worden door middel van poolcoördinaten r en ϑ. Daarin is de voerstraal r gelijk aan de lengte van de vector z = OP. Men noemt dit getal ook de modulus of absolute waarde van het complex getal z = x + yj en men noteert deze als z. Er geldt dus : r = z = Re(z) + Im(z) = x + y Voor een reëel getal z = x + 0j x is z = x + 0 = x De modulusfunctie is dus een uitbreiding van de reële absolutewaarde functie. Merk op dat z = x yj = x + y = x + yj = z De poolhoek ϑ is de hoek die de vector z = OP maakt met de positieve reële as. Men noemt ϑ ook het argument van het complex getal z, notatie ϑ = arg(z). Dit argument is bepaald op een geheel veelvoud van π na. In de praktijk kiest men meestal 0 ϑ < π (of soms π ϑ π) en men spreekt dan over de hoofdwaarde van het argument of over het hoofdargument, notatie Arg(z). Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 5 Het argument van z = x + yj kan worden bepaald uit tan ϑ = y x = Im(z) Re(z) (rekening houden met het kwadrant) cos ϑ = of uit het stelsel sin ϑ = x x = Re(z) +y z y x +y = Im(z) z Is z = x + yj dan kunnen we ook schrijven : z = r cos ϑ + r sin ϑj = r(cos ϑ + j sin ϑ). noemt men ook de goniometrische ge- Het rechterlid van z = r (cos ϑ + j sin ϑ) daante van het complex getal z. voorbeeld : bepaal de goniometrische gedaante van z = 3 j. De modulus is r = z = ( 3) + ( 1) =. Het argument voldoet aan tan ϑ = 1. Vermits zowel het reëel als het imaginair deel van z negatief zijn, ligt de hoofdwaarde van ϑ in het derde kwadrant, 3 dus ϑ =arctan( 1 ) + π = π 3 6 + π = 7π 6 De goniometrische gedaante van z = 3 j is dus z = (cos 7π + j sin 7π) 6 6 1.3 Exponentiële gedaante van een complex getal In de reële analyse toont men aan dat de natuurlijke exponentiële functie een maclaurinreeksontwikkeling bezit die convergeert over R : e x = 1 + x + x! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + x6 6! +... We passen nu deze reeksontwikkeling formeel toe op de uitdrukking e jx met imaginaire exponent e jx = 1 + jx + (jx)! = 1 + jx x! + (jx)3 3! + (jx)4 4! + (jx)5 5! + j x3 3! + x4 4! + j x5 5! x6 6! +... + (jx)6 6! = (1 x! + x4 4! x6 x3 +...) + j(x 6! 3! + x5 5!...) +... Daarin werd gebruik gemaakt van j = 1 (en de daaruitvolgende hogere machten van j : j 3 = j, j 4 = 1 enz.) wat we verderop nog zullen aantonen. In het reëel deel van deze uitdrukking herkent men de maclaurinreeks voor cos x en in het imaginair deel deze van sin x. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 6 Complexe getallen Zo bekomen we de beroemde formule van Euler : e jx = cos x + j sin x Door gebruik te maken van deze formule kan de goniometrische gedaante van een complex getal nog in een andere vorm worden geschreven. Immers, vertrekkend van z = r(cos ϑ + j sin ϑ) verkrijgen we met bovenstaande formule : z = r e jϑ of nog z = z e j arg z Men noemt dit de exponentiële gedaante of polaire gedaante van het complex getal z. In het bijzonder is j = e j π, 1 = e jπ, 1 = e 0j en j = e j 3π De formule e j π + 1 = 0 wordt soms de mooiste formule uit de wiskunde genoemd omdat ze in haar eenvoud de vijf belangrijkste wiskundige constanten 0, 1, e, j en π bevat. z = x + yj = r e jϑ r = z θ = argz Figuur 1.3: Leonhard Euler (1707 1783) Figuur 1.4: polaire gedaante van z De veelzijdige Zwitserse wiskundige Leonhard Euler (1707 1783) heeft o.a. bijgedragen tot de ontwikkeling van de algebra van de complexe getallen. De notatie i voor de imaginaire eenheid werd door hem voor het eerst ingevoerd. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 7 1.4 Bewerkingen met complexe getallen 1.4.1 Optelling en aftrekking van complexe getallen Definitie en optelling in algebraïsche gedaante Is z 1 = (x 1, y 1 ) en z = (x, y ) dan definieert men de som z 1 + z als (x 1 + x, y 1 + y ). Maken we gebruik van de algebraïsche gedaante z 1 = x 1 + y 1 j resp. z = x + y j dan is dus : z 1 + z = (x 1 + x ) + (y 1 + y )j Het reëel deel (resp. het imaginair deel) van de som is dus gelijk aan de som van de reële (resp. van de imaginaire delen). Beschouwen we i.h.b. twee reële getallen x 1 = (x 1, 0) en x = (x, 0) dan is de som daarvan in C gelijk aan (x 1 + x, 0) = x 1 + x, m.a.w. de optelling in C is een uitbreiding van de optelling in R. Associeert men de vectoren z 1 en z met de complexe getallen z 1 en z, dan bekomt men de vector geassocieerd met de som z 1 + z m.b.v. de parallellogramregel. Optelling van complexe getallen correspondeert dus met de vectoroptelling. z 1 + z z z 1 Figuur 1.5: optelling van complexe getallen Optelling in goniometrische of polaire gedaante Zijn z 1 en z gegeven in goniometrische of exponentiële gedaante, dan kunnen we de modulus en het argument van z 1 + z berekenen in functie van de modulus en het argument van z 1 en z. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 8 Complexe getallen Immers, door toepassing van de cosinusregel in driehoek OP S met P het beeldpunt van z 1 en S het beeldpunt van z 1 + z, vindt men : z 1 + z = z 1 + z z 1 z cos α met α de hoek in P. Gelet op (ϑ ϑ 1 ) + α = π (som van de hoeken van een vierhoek), hebben we dat α = π (ϑ ϑ 1 ) en dus ook cos α = cos(ϑ ϑ 1 ). We besluiten : z 1 + z = z 1 + z + z 1 z cos(ϑ ϑ 1 ) Merk op dat z 1 + z z 1 + z waarbij de gelijkheid over het algemeen niet geldt. Vermits Re(z 1 + z ) = Re(z 1 ) + Re(z ) = z 1 cos ϑ 1 + z cos ϑ en Im(z 1 + z ) = Im(z 1 ) + Im(z ) = z 1 sin ϑ 1 + z sin ϑ kan men z 1 + z ook vinden uit Re (z 1 + z ) + Im (z 1 + z ) wat dezelfde formule oplevert. Het argument ϑ van z 1 +z vindt men uit : tan ϑ = Im(z 1 + z ) Re(z 1 + z ) = z 1 sin ϑ 1 + z sin ϑ z 1 cos ϑ 1 + z cos ϑ Opmerkingen : 1. Tellen we de complexe getallen (x, 0) x en (0, y) yj op, dan bekomen we : (x) + (yj) = (x + 0j) + (0 + yj) = x + yj wat betekent dat het plusteken in de algebraïsche gedaante van een complex getal dat het reëel deel met het imaginair deel verbindt, kan worden opgevat als een echte optelling.. Men toont gemakkelijk volgende eigenschap aan : z 1 + z = z 1 + z (toegevoegde van een som is gelijk aan de som van de toegevoegden) 3. Er geldt z + z = (x + yj) + (x yj) = x = Re(z) R Tegengestelde van een complex getal en aftrekking Voor een complex getal z = x + yj noemt men het complex getal z = ( x) + ( y)j het tegengesteld complex getal. Klaarblijkelijk is z + ( z) = 0 + 0j 0 De aftrekking van twee complexe getallen wordt nu gedefinieerd als de som van het eerste getal met het tegengestelde van het tweede, dus z 1 z = z 1 + ( z ). Is z 1 = x 1 + y 1 j resp. z = x + y j dan is dus : z 1 z = (x 1 x ) + (y 1 y )j Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 9 1.4. Vermenigvuldiging van complexe getallen Definitie en vermenigvuldiging in algebraïsche gedaante Is z 1 = (x 1, y 1 ) en z = (x, y ) dan definieert men het product z 1 z als : (x 1 x y 1 y, x 1 y + y 1 x ). Maken we gebruik van de algebraïsche gedaante z 1 = x 1 + y 1 j resp. z = x + y j dan is dus : z 1 z = (x 1 x y 1 y ) + (x 1 y + y 1 x )j In het bijzonder hebben we : (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) of dus met de eerder gemaakte notatieafspraken : j j = 1. De formule j = 1 (het kwadraat van de imaginaire eenheid is gelijk aan -1) is een essentiële formule bij het rekenen met complexe getallen. Formeel kan men het product van z 1 = x 1 + y 1 j en z = x + y j berekenen als een product van twee tweetermen, rekening houdend met j = 1. Inderdaad : (x 1 + y 1 j) (x + y j) = x 1 x + x 1 y j + y 1 x j + y 1 y j = (x 1 x y 1 y ) + (x 1 y + y 1 x )j Men gaat gemakkelijk na dat het product in C van twee reële getallen x 1 en x (opgevat als complexe getallen (x 1, 0) en (x, 0)) gelijk is aan het complex getal (x 1 x, 0), m.a.w. aan het reëel getal x 1 x. De vermenigvuldiging in C is dus een uitbreiding van de vermenigvuldiging in R. Opmerkingen : 1. In het bijzonder is z z = (x + yj) (x yj) = x + y waaruit we ook hebben : z = z z. Men toont gemakkelijk volgende eigenschap aan : z 1 z = z 1 z (toegevoegde van een product is gelijk aan het product van de toegevoegden) Vermenigvuldiging in goniometrische of polaire gedaante Zijn de complexe getallen z 1 en z gegeven in goniometrische of exponentiële gedaante, dan kan men de modulus en het argument van z 1 z berekenen in functie van modulus en argument van z 1 en z Is immers z 1 = r 1 (cos θ 1 + j sin θ 1 ) en z = r (cos θ + j sin θ ) dan is Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 10 Complexe getallen z 1 z = r 1 r (cos θ 1 cos θ sin θ 1 sin θ + j (cos θ 1 sin θ + sin θ 1 cos θ )) = r 1 r (cos(θ 1 + θ ) + j sin(θ 1 + θ ) waaruit we besluiten dat de modulus van het product gelijk is aan het product van de moduli en het argument van het product gelijk aan de som van de argumenten. Dat is ook duidelijk, wanneer we gebruik maken van de polaire gedaante : z 1 z = r 1 e jϑ1 r e jϑ = r 1 r e j (ϑ 1+ϑ ) We hebben dus : z 1 z = z 1 z e j (arg z 1+arg z ) Meetkundige betekenis van de vermenigvuldiging We hebben reeds gezien dat de optelling van twee complexe getallen meetkundig neerkomt op de optelling van twee vectoren (parallellogramregel). Voor het bepalen van het product z 1 z beschikt men over de volgende meetkundige constructie : de geassocieerde vector van het product bekomt men door de vector z 1 te verlengen met een factor z (naargelang z > 1, z < 1 of z = 1 is dit verlengen, verkorten of lengte behouden) en vervolgens te roteren over een hoek ϑ (rotatie in tegenwijzerzin als ϑ > 0 en in wijzerzin als ϑ < 0) z 1 z r 1 r ϑ 1 + ϑ z z 1 Figuur 1.6: vermenigvuldiging van complexe getallen Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 11 Bijzonder geval In het bijzonder komt de vermenigvuldiging van een complex getal met een complex getal waarvan de modulus 1 is en met argument ϑ > 0, meetkundig neer op een draaiing over ϑ in tegenwijzerzin. Heel in het bijzonder betekent vermenigvuldiging met de imaginaire eenheid j een draaiing over 90 o in tegenwijzerzin. 1.4.3 Machtsverheffing van complexe getallen Is z = x+yj, dan kan z n = (x+yj) n met n een natuurlijk getal groter dan 1, berekend worden m.b.v. de formule voor de n de macht van een tweeterm (binomium van Newton), rekening houdend met j = 1. Het is evenwel gemakkelijker om gebruik te maken van de goniometrische of exponentiële gedaante van z Immers : is z = re j ϑ dan is z n = z z z = re j ϑ re j ϑ re j ϑ = r n e njϑ (gelet op de hierboven gevonden uitdrukking voor vermenigvuldiging van complexe getallen in exponentiële gedaante). De modulus van de n de macht is dus gelijk aan de n de macht van de modulus en het argument van de n de macht is gelijk aan n keer het argument. voorbeeld : bereken (1 + j 3) 6 We herschrijven eerst z = 1 + j 3 in exponentiële gedaante, nl. z = e j π 3 Nu is z 6 = 6 e j 6 π 3 = 64 e j π = 64 De formule van de Moivre Is z een complex getal met modulus 1, dus z = e jϑ = cos ϑ + j sin ϑ, dan vindt men voor de n de macht ervan: z n = e njϑ = cos nϑ + j sin nϑ en anderzijds is z n = (cos ϑ + j sin ϑ) n. Hieruit bekomt men de formule van De Moivre 3 : (cos ϑ + j sin ϑ) n = cos nϑ + j sin nϑ Deze formule legt een verband tussen de theorie van de complexe getallen en de goniometrie. Een aantal goniometrische identiteiten kunnen eenvoudig worden bewezen met deze formule. voorbeeld : 3 De Franse wiskundige Abraham De Moivre was vooral werkzaam in het domein van de kansrekening en de statistiek. De naar hem genoemde formule was wellicht ook reeds door sommige van zijn tijdgenoten gekend. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 1 Complexe getallen Uit (cos ϑ + j sin ϑ) = cos ϑ + j sin ϑ volgt na uitwerking van het linkerlid dat cos ϑ + j cos ϑ sin ϑ sin ϑ = cos ϑ + j sin ϑ Stellen we de reële en imaginaire delen van beide leden aan elkaar gelijk, dan bekomen we hieruit de identiteiten cos ϑ = cos ϑ sin ϑ en sin ϑ = sin ϑ cos ϑ Figuur 1.7: Abraham De Moivre (1667 1754) 1.4.4 Deling van complexe getallen Omgekeerde van een complex getal Is z een van nul verschillend complex getal, dan definieert men het omgekeerde complex getal z 1 = 1 z als het unieke complex getal waarvoor z z 1 = 1. Is z = x + yj dan vindt men uit {(x + yj) (a + bj) = 1 + 0j dat de onbekenden a en b xa yb = 1 moeten voldoen aan het stelsel ya + xb = 0 waaruit : a = x x + y en b = y x + y. Bijgevolg is z 1 = 1 x + yj = Nu is ook z 1 = 1 z = z z z = x x + y y x + y j x yj (x + yj) (x yj) = x yj x + y = x x + y y x + y j zodat de omgekeerde van z ook kan worden gevonden door teller en noemer van de breuk 1 te vermenigvuldigen met het toegevoegde van de noemer. z In het bijzonder is 1 j = j Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 13 Deling in algebraïsche gedaante Zijn z 1 en z complexe getallen met z 0, dan is het quotiënt z 1 z per definitie gelijk aan het product van z 1 met 1 z Zijn z 1 = x 1 + y 1 j en z = x + y j dan is dus z 1 z = z 1 z z z = (x 1 + y 1 j) (x y j) (x + y j) (x y j) = x 1x + y 1 y + j (y 1 x x 1 y ) x + y = x 1x + y 1 y x + y + j y 1x x 1 y x + y voorbeeld : bereken 1 + j 3 + j 1 + j 3 + j (1 + j) (3 j) = (3 + j) (3 j) = 5 + 5j 10 = 1 + 1 j Deling in goniometrische of exponentiële gedaante Is een van nul verschillend complex getal z gegeven in goniometrische of polaire gedaante, z = r e j ϑ, dan is het omgekeerde van z gelijk aan : 1 z = z z z = z z = r e j ϑ r = 1 r e j ϑ Men vindt dus het omgekeerde door de modulus om te keren en het argument van teken te veranderen. Zijn nu twee complexe getallen gegeven in goniometrische of exponentiële gedaante z 1 = r 1 e j ϑ 1 en z = r e j ϑ, dan hebben we : z 1 = r 1 e j ϑ1 1 r z e j ϑ = r 1 e j (ϑ 1 ϑ ) r De modulus van het quotiënt is dus gelijk aan het quotiënt van de moduli en het argument van het quotiënt is gelijk aan het verschil van de argumenten. M.a.w. : z 1 = z 1 z z ej (arg z 1 arg z ) Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 14 Complexe getallen 1.5 Het ongeordend veld van de complexe getallen De verzameling C van de complexe getallen, voorzien van de optelling en de vermenigvuldiging zoals gedefinieerd in bovenstaande paragrafen, vormt een algebraïsche structuur die men een veld noemt. In zo n structuur gelden bvb. de associatieve wetten z 1 + (z + z 3 ) = (z 1 + z ) + z 3 en z 1 (z z 3 ) = (z 1 z ) z 3 en de distributieve wet : z 1 (z + z 3 ) = z 1 z + z 1 z 3 De verzameling R van de reële getallen, voorzien van de optelling en de vermenigvuldiging vormt ook zo n veldstructuur. Doordat de verzameling R kan worden opgevat als een deelverzameling van C en doordat de bewerkingen in C uitbreidingen zijn van de overeenkomstige bewerkingen in R, zegt men dat het veld (R, +, ) een deelveld is van het veld (C, +, ). De verzameling van de reële getallen kan bovendien voorzien worden van een totale orderelatie zó dat (R, +,, ) een totaal geordend veld wordt. Dat betekent dat de orderelatie verenigbaar is met de veldstructuur hetgeen neerkomt op: x y = x + u y + u voor alle x, y, u R x y en u > 0 = x u y u voor alle x, y, u R x y en u < 0 = x u y u voor alle x, y, u R Het is ook mogelijk om de verzameling van de complexe getallen te voorzien van een orderelatie, bvb. de lexicografische ordening. Daarbij is z 1 < z a.s.a. Re(z 1 ) < Re(z ) of Re(z 1 ) = Re(z ) én Im(z 1 ) < Im(z ). Deze orderelatie is verenigbaar met de optelling, maar niet met de vermenigvuldiging. Immers, in die ordening is 0 < j, zodat verenigbaarheid zou betekenen dat ook 0 j j j, dus 0 < 1, een strijdigheid. De verzameling C kan dus wel geordend worden, maar het veld (C, +, ) kan niet gestructureerd worden tot een geordend veld. Om die reden zal men slechts zelden de orderelatie in de verzameling van de complexe getallen beschouwen. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 15 1.6 Worteltrekking uit complexe getallen Een complex getal z i is per definitie een n de machtswortel uit het complex getal z als en slechts als zi n = z Is z = z e jϑ en z i = z i e jϑ i dan geldt dus : z n i = z ( z i e jϑ i ) n = z e jϑ z i n e jnϑ i = z e jϑ z i n = z nϑ i = ϑ + kπ (k Z) z i = n z ϑ i = ϑ + kπ (k Z) n We kunnen aan k oneindig veel waarden toekennen, die echter niet allemaal verschillende n de machtswortels opleveren. Voor k = n is het argument ϑ + π wat n hetzelfde complex getal oplevert als de waarde k = 0. We vinden uiteindelijk n verschillende n de machtswortels voor k = 0, 1,..., n 1. Elk complex getal bezit dus precies n verschillende n de machtswortels. n Het symbool { } n z staat aldus voor de verzameling z e j ϑ+kπ n k = 0, 1,..., n 1 De beeldpunten van deze n de machtswortels vormen de hoekpunten van een regelmatige n hoek. voorbeeld : bepaal de 3-de machtswortels uit 8 De exponentiële gedaante van het complex { getal 8 is 8 e jπ en} dus zijn alle 3 de machtswortels uit 8 gegeven door 3 8 e j π+kπ 3 k = 0, 1, Voor k = 0 bekomt men : e j π 3 = (cos π 3 + j sin π 3 ) = ( 1 + j 3 ) = 1 + 3j Voor k = 1 bekomt men : e j 3π 3 = (cos π + j sin π) = ( 1 + j0) = Voor k = bekomt men : e j 5π 3 = (cos 5π 3 + j sin 5π 3 ) = ( 1 j 3 ) = 1 3j Het getal 8 bezit dus drie 3 de machtswortels (één reële en twee complex toegevoegde). De beeldpunten daarvan vormen de hoekpunten van een regelmatige (= gelijkzijdige) driehoek. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 16 Complexe getallen 1.5 1 0.5 1.5 1 0.5 0 0.5 1 0.5 1 1.5 Figuur 1.8: derdemachtswortels uit 8 1.7 De hoofdstelling van de algebra STELLING 1.1 hoofdstelling van de algebra Elke n de graadsvergelijking a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 = 0 met complexe coëfficiënten a i (i = 0, 1,..., n) bezit minstens één oplossing in C De stelling werd voor het eerst geformuleerd (zonder bewijs) door Girard in 169. d Alembert probeerde de stelling te bewijzen in 1746, maar het was Carl Friedrich Gauss die voor het eerst een volwaardig bewijs gaf in zijn doctoraatsproefschrift in 1799. Vandaag zijn verschillende bewijzen van de hoofdstelling gekend, sommige gebaseerd op technieken uit de complexe analyse, andere op topologische argumenten en nog andere op meer algebraïsche methoden (echter steeds gebaseerd op resultaten uit de analyse). Het feit dat elke veeltermvergelijking over C van de n de graad (n 1) oplossingen bezit in C wordt ook verwoord als : het veld van de complexe getallen is algebraïsch gesloten. Uit de hoofdstelling volgen een aantal belangrijke nevenresultaten : 1. elke n de graadsvergelijking a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0 = 0 met complexe coëfficiënten a i (i = 0, 1,..., n) bezit precies n oplossingen in C indien men rekening houdt met de multipliciteit van deze oplossingen. Daarbij zegt men dat een oplossing (of wortel) z 0 van een veeltermvergelijking p(z) = 0 multipliciteit m bezit als en slechts als p(z) = (z z 0 ) m q(z) met q(z) een veelterm die z 0 niet als nulpunt bezit. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 17 Dit gevolg zegt dus dat een n de graadsvergelijking over C steeds n (niet noodzakelijk verschillende) wortels bezit. Gevolg : elke veelterm van de n de graad met complexe coëfficiënten kan ontbonden worden in complexe lineaire factoren (eventueel met multipliciteit).. Beschouwen we nu in het bijzonder een n de graadsvergelijking met reële coëfficiënten. Dan zal deze in C n (niet noodzakelijk verschillende) oplossingen bezitten. Omdat voor iedere oplossing z 0 ook de complex toegevoegde z 0 een oplossing is van de vergelijking (dit volgt uit p n ( z 0 ) = p n (z 0 ), kunnen we de niet reële oplossingen van de n de graadsvergelijking dus groeperen in paren. Bijgevolg kan p n (x) ontbonden worden in reële lineaire factoren x x 0 met x 0 reëel en in reële kwadratische factoren (x c)(x c) = x (c + c)x + c c (reëel omdat c + c R en c c = c R). Elke veelterm van de n de graad met reële coëfficiënten kan worden ontbonden in reële lineaire en irreduciebele kwadratische factoren (eventueel met multipliciteit) Uit het voorgaande volgt ook i.h.b. dat een n de graadsvergelijking met reële coëfficiënten en met n oneven minstens één reëel nulpunt bezit. 1.8 De sinus en cosinus van een complex getal Wegens de formule van Euler hebben we : e jϑ = cos ϑ + j sin ϑ en ook e jϑ = cos( ϑ) + j sin( ϑ) = cos ϑ j sin ϑ Daaruit volgt : cos ϑ = ejϑ + e jϑ en sin ϑ = ejϑ e jϑ j De cosinus en de sinus van een reëel getal ϑ kunnen dus geschreven worden m.b.v. complexe uitdrukkingen. Vervangen we in deze formules de reële ϑ formeel door een complexe z, dan bekomen we definities voor de cosinus en de sinus van een complex getal. cos z = ejz + e jz en sin z = ejz e jz j Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 18 Complexe getallen M.b.v. deze definities toont men gemakkelijk aan dat cos z + sin z = 1 voor elke z C zodat de grondformule van de goniometrie ook geldig blijft in het complex geval. Maken we gebruik van Euler s formule, dan kunnen we schrijven : cos z = ejz + e jz = ej(x+yj) + e j(x+yj) = ejx e y + e jx e y = (cos x + j sin x)e y + (cos x j sin x)e y = cos x. ey + e y j sin x. ey e y = cos x. cosh y j sin x. sinh y De cosinus van een complex getal is dus zelf een complex getal. In het bijzonder is de cosinus van een zuiver reëel en van een zuiver imaginair getal telkens reëel. We zien o.a. dat cos(0 + yj) = cosh y en stellen dus vast dat de cosinus van het zuiver imaginair getal yj niets anders is dan de cosinus hyperbolicus van het reëel getal y. cosh y = cos(jy) voor elke y R Volledig analoge beschouwingen voor de sinus leiden o.a. tot : sinh y = 1 sin(jy) = j sin(jy) voor elke y R j Zo zien we hoe de reële hyperbolische functies een verband hebben met de gewone sinus en cosinus van een complex argument, wat hun benaming rechtvaardigt (zie analyse). 1.9 De logaritme van een complex getal Voor een van nul verschillend complex getal z definieert men : w = ln z z = exp(w) Stelt men z = x + yj en w = α + βj dan is dus : Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 19 w = ln z e α+βj = x + yj e α e βj = x + yj e α (cos β + j sin β) = x + yj e α cos β = x e α sin β = y Gelet op z = x+yj = z (cos(arg z)+j sin(arg z)) bekomen we dat e α = z en β = arg z of nog α = ln z en β = arg z = Arg z + k π (k Z) We besluiten dus : ln z = ln z + j (Arg z + k π) Een van nul verschillend complex getal bezit dus oneindig veel logaritmen. Deze logaritmen zijn zelf complexe getallen, alle met hetzelfde reëel deel (de reële logaritme van de modulus van het complex getal) en met imaginair deel gelijk aan het argument van dat complex getal (bepaald op een geheel veelvoud van π na). Voor k = 0 bekomt men de zogeheten hoofdlogaritme (genoteerd met hoofdletter) : Ln z = ln z + j Arg z met 0 Arg z π Neemt men i.h.b. z = x + 0j, dan is z = x (absolute waarde van x R) en Arg z = 0 of π naargelang x > 0 of x < 0 Bijgevolg is Ln(x + 0j) = ln x + j0 = ln x voor x > 0 en Ln(x + 0j) = ln x + jπ = ln( x) + jπ voor x < 0 Zo kan men nu de (complexe) logaritme van een negatief reëel getal bepalen. voorbeelden : Ln( 1) = jπ en Ln(1 + j) = ln( ) + j π 4 Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 0 Complexe getallen 1.10 Toepassingen van complexe getallen Het nut van complexe getallen in de wetenschap en de techniek is bijzonder groot. O.a. bij de studie van harmonische trillingen en golven, bij de studie van elektrische wisselstromen en in de systeemtheorie en regeltechniek biedt een aanpak met complexe getallen heel wat voordelen. Daarnaast vormen complexe getallen de basisverzameling voor de complexe analyse waarin complexwaardige functies van een complexe veranderlijke worden bestudeerd. Deze complexe analyse heeft dan zelf weer toepassingen in de reële analyse (berekenen van oneigenlijke integralen), in de stromingsleer (warmtestromen, vloeistofstromen,...), bij de studie van fractalen etc. We geven hieronder een onvolledig overzicht van enkele interessante toepassingen. 1.10.1 Harmonische trillingen en complexe getallen Beschouw een sinusoïdale trilling beschreven door de tijdsafhankelijke functie y = A sin(ωt + φ) met A de amplitude, ω de cirkelfrequentie en φ de beginfase. Deze trilling kan in een wijzerdiagram of fasordiagram voorgesteld worden door een roterende vector (wijzer) met lengte A die met hoeksnelheid ω rond de oorsprong roteert in positieve zin (tegenwijzerzin). De wijzer maakt daarbij op het tijdstip t = 0 een hoek φ (de beginfase) met de horizontale as. Interpreteert men het vlak waarin de wijzer roteert als het vlak van Gauss, dan is het eindpunt van de roterende wijzer het beeldpunt van het complex getal z = A e j (ωt+φ) = A (cos(ωt + φ) + j sin(ωt + φ)). De sinusoïdale trilling y = A sin(ωt + φ) is niets anders dan het imaginair deel van dit complex getal dat we ook als Ȳ noteren, y = Im(Ȳ ). Het complex getal A e j (ωt+φ) kan nog geschreven worden als : Ȳ = A e j φ e j ωt ωt = Ā ej De tijdsonafhankelijke factor Ā = A ej φ noemt men de complexe amplitude en e j ωt heet de tijdfunctie van de complexe voorstelling van de trilling. Merk op dat de amplitude en de beginfase van de trilling precies de modulus en het argument zijn van de complexe amplitude : A = Ā en φ = arg(ā) Opmerking : Een gelijkaardige redenering kan worden gemaakt bij het complex beschrijven van een cosinustrilling y = A cos(ωt + φ). Deze kan worden opgevat als het reëel deel van het roterend complex getal Ȳ = A ej (ωt+φ). Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 1 Bij de studie van trillingsproblemen heeft de complexe rekenwijze verschillende voordelen t.o.v. de reële rekenwijze. Als voorbeeld bekijken we de superpositie van twee trillingen met dezelfde frequentie. Zij y 1 = A 1 sin(ωt + φ 1 ) en y = A sin(ωt + φ ) twee sinusoïdale trillingen. De superpositie van deze twee resulteert in een trilling met dezelfde frequentie y = y 1 + y = A sin(ωt + φ). We willen nu de amplitude A en de fasehoek φ van deze trilling berekenen uit de amplitudes en beginfases van de samengetelde trillingen. Stellen we beide trillingen complex voor : Ȳ 1 = Ā1 e j ωt en Ȳ = Ā e j ωt. De superpositie van beide trillingen in complexe vorm geeft : Ȳ 1 + Ȳ = Ā1 e j ωt + Ā e j ωt = (Ā1 + Ā) e j ωt ωt = Ā ej Bijgevolg is de complexe amplitude van de som van de trillingen gelijk aan de som van de complexe amplituden van de enkelvoudige trillingen. Door de modulus en het argument te nemen van de complexe amplitude van de som, bekomt men de amplitude A en de fasehoek φ van de resulterende trilling. voorbeeld : Bepaal de som van de trillingen y 1 = 100 sin(ωt + π 6 ) en y = 00 sin(ωt + π 4 ). De som in complexe gedaante is gelijk aan Ȳ = Ȳ1 + Ȳ = 100 e j (ωt+ π 6 ) + 00 e j (ωt+ π 4 ). De complexe amplitude van de som is dan 100 e j π 6 + 00 e j π 4 Gaan we over op de algebraïsche gedaante, dan bekomen we : Ā = 100 (cos π + j sin π) + 00 (cos π + j sin π) = 100 ( 3 + j 1) + 00 ( + j ) 6 6 4 4 8 + j 191 Bijgevolg is A = Ā = (8) + (191) 97 en φ = arctan 191 8 De som van beide trillingen is dus y = 97 sin(ωt + 0, 69) 0, 69 Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 Complexe getallen 1.10. Wisselstromen en complexe getallen Complexe getallen kunnen erg nuttig zijn bij het oplossen van elektrische netwerken met wisselstroom. Stelt men de sinusoïdale wisselspanning u = u 0 sin(ωt + φ u ) en de erdoor voortgebrachte wisselstroom i = i 0 sin(ωt + φ i ) voor in complexe gedaante : Ū = Ū0 e j ωt met Ū0 = u 0 e j φ u de complexe spanningsamplitude en Ī = Ī0 e j ωt met Ī 0 = i 0 e j φ i de complexe stroomsterkteamplitude, dan wordt de verhouding Z = Ū Ī de impedantie genoemd. Deze is nog gelijk aan Z = Ū0 Ī 0 = u 0 i 0 e φu φ i. De modulus van de impedantie is dus u 0 faseverschil φ u φ i tussen spanning en stroom. i 0 en het argument van de impedantie is het De complexe impedantie kan ook in algebraïsche gedaante worden geschreven Z = R + j X. Het reëel deel ervan Re( Z) = R noemt men de weerstand en het imaginair deel Im( Z) = X de reactantie. Wanneer nu in een wisselstroomnetwerk verschillende elementen aanwezig zijn zoals ohmse weerstanden, condensatoren en spoelen, dan kan men voor elk van deze elementen de bijhorende complexe impedantie bepalen. Voor een ohmse weerstand R is u = R i (wet van Ohm) en dan ook Ū = R Ī. De complexe impedantie van de ohmse weerstand is bijgevolg reëel en gelijk aan Z R = R + 0 j. Omdat het argument van de impedantie hier nul is, is het faseverschil tussen spanning en stroom nul bij een ohmse weerstand. Bij een condensator met capaciteit C is q = C u waaruit door afleiding naar de tijd volgt i = dq dt = C du dū en dan ook Ī = C dt dt of dus Ī0 e j ωt = C Ū0 j ω e jωt. De complexe impedantie van de condensator is bijgevolg Z C = 1 jωc Dit is nog gelijk aan 1 j, de impedantie van een condensator is zuiver imaginair. ωc Het faseverschil tussen stroomsterkte en spanning is het argument van dit complex getal en bedraagt hier π. Bij een condensator loopt de spanning dus 90o achter op de stroom. Bij een spoel met zelfinductie L tenslotte volgt uit de inductiewet dat u = L di dt en Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 3 dan ook Ū = L dī dt of dus Ū0 e j ωt = L Ī0 j ω e jωt. De complexe impedantie van de spoel is bijgevolg Z L = Lω j. Dit is een zuiver imaginair getal met argument π zodat bij een spoel de spanning 90 o voorijlt op de stroom. Men kan nu, rekening houdend met voorgaande resultaten, schakelingen beschouwen waarin verschillende componenten in serie of in parallel staan. In het geval van een serieschakeling is de totale impedantie de som van de impedanties van de afzonderlijke componenten. Bij een parallelschakeling is het omgekeerde van de impedantie gelijk aan de som van de omgekeerden van de impedanties van de afzonderlijke componenten. Men noemt de omgekeerde van de impedantie ook wel de admittantie Ȳ = 1 Z. In algebraïsche notatie is Ȳ = G + j B waarbij het reëel deel G de conductantie of geleidbaarheid en het imaginair deel B de susceptantie wordt genoemd. voorbeeld : Op een wisselstroomnet i(t) = 0 sin(100π t) zijn in serie aangesloten een ohmse weerstand van 100 Ω, een condensator met capaciteit C = 0 µf en een spoel met coëfficiënt van zelfinductie L = 0, 1 H. Bepaal het faseverschil tussen spanning en stroom. De impedanties van de weerstand, de condensator en de spoel zijn resp. gelijk aan Z R = R = 100, Z C = 1 ωc j = 1 100π 0 10 j en Z 6 L = ωl j = 100π 0, 1 j De totale impedantie is bijgevolg gelijk aan Z = R + j (ωl 1 ωc ) = 100 + j (31, 4 159, 15) = 100 j 17, 73. Het argument van dit complex getal volgt uit tan φ = 17,73 en dus (gelet op 100 het kwadrant) φ = 51, 9 o. Dit argument geeft het faseverschil tussen spanning en stroomsterkte. De spanning zal dus 51,9 o naijlen op de stroom. 1.10.3 Systeemtheorie en complexe getallen Vele tijdsafhankelijke systemen worden wiskundig beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen. Schematisch kan een systeem dan worden voorgesteld door een blok dat tengevolge van een bepaalde input f(t) een bepaalde output y(t) produceert. In de systeemtheorie zal men dikwijls een transformatie uitvoeren waarbij het tijdsdomein wordt omgezet naar het frequentiedomein d.m.v. de laplacetransformatie. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 4 Complexe getallen De schematische voorstelling van het systeem bevat nu een inputfunctie F (s) en een outputfunctie (responsie) Y (s). Zo wordt het tweede orde systeem dat geassocieerd is met de lineaire differentiaalvergelijking ay + by + c = f(t) (met beginvoorwaarden y(0) = y (0) = 0 na transformatie naar het s domein (as + bs + c) Y (s) = F (s) of schematisch voorgesteld door inputfunctie F (s) 1 as + bs + c responsiefunctie Y (s) De verhouding Y (s) F (s) systeem genoemd. wordt genoteerd als H(s) en wordt de transferfunctie van het De ligging van de complexe nulpunten en de polen van de bekomen transferfunctie van een complexe veranderlijke zijn van groot belang om het gedrag van het systeem beter te kennen. Zo geldt bijvoorbeeld dat een systeem stabiel is (d.w.z. dat een begrensde inputfunctie een begrensde responsiefunctie oplevert) wanneer alle polen van de transferfunctie links van de imaginaire as liggen (dus een negatief reëel deel bezitten). Bij de studie van lineaire systemen worden ook een aantal diagrammen gebruikt die de functie H(s) voor s = jω grafisch voorstellen. Zo heeft men o.a. het Bode diagram, het Nyquist diagram en het Nichols Black diagram. Bij het Bode diagram worden de modulus en het argument van H(jω) afzonderlijk voorgesteld als functie van ω. Bij de voorstelling van H(jω) werkt men met een logaritmische schaalverdeling op de ω as en een logaritmische schaalverdeling (geijkt in db) op de ordinaatas volgens M = 0 log[10] H(jω). Bij de voorstelling van arg(h(jω)) (fasediagram) gebruikt men een logaritmische schaalverdeling op de ω as. Er bestaan methodes om snel een manuele schets (asymptotische benadering) te maken van beide Bode plots met behulp van de kennis van de nulpunten en de polen van de transferfunctie. Wanneer men de waarden van de functie H(jω) (dat zijn complexe getallen) uitzet als beeldpunten in het vlak van Gauss, dan bekomt men een kromme die men het polair diagram of Nyquist diagram noemt. De vorm van deze kromme zal ook weer afhangen van de ligging van de nulpunten en de polen van de transferfunctie. Tenslotte is er nog het Nichols Black diagram waarbij de modulus H(jω) met een logaritmische schaalverdeling wordt uitgezet tegenover het argument arg(h(jω)). Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 5 100 1 10 H(jw).1e.1e 1.1 10 100 0 w 1.1e.1e 1.1 10 100 arg(h(jw)) w.1 3 Figuur 1.9: voorbeeld van een Bode diagram (modulus en fase) Een ander belangrijk begrip bij de studie van systemen is de poolbaan of rootlocus. Om de ligging van polen en nulpunten van een systeem met transferfunctie H(s) te kennen, kan men gebruik maken van de transferfunctie H c (s) = K H(s) van het 1 + K H(s) bijhorende gesloten loop systeem met versterkingsfactor K. De kromme die beschreven wordt in het vlak van Gauss door de nulpunten van de noemer van H c (s) (= de polen van H c (s)) wanneer K varieert van 0 tot oneindig noemt men de poolbaan of rootlocus. Meestal bestaat deze uit verschillende takken. Uit de kennis van de rootlocus kan heel wat informatie over het systeem worden afgelezen, zoals de stabiliteit ervan voor verschillende waarden van K. 4 0 3 0.6 0.1 4 Figuur 1.10: voorbeeld van een poolbaan of rootlocus Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 6 Complexe getallen 1.10.4 Fractalen en complexe getallen Fractalen zijn bijzondere meetkundige structuren met als voornaamste kenmerk zelfgelijkvormigheid (self similarity) wat betekent dat bij uitvergroting van een deel van de figuur de oorspronkelijke figuur kan teruggevonden worden. Een belangrijke klasse van fractalen wordt aangetroffen bij de studie van niet lineaire dynamische systemen. Deze fractalen komen tot stand door eigenschappen van punten in het complexe vlak te onderzoeken onder herhaald toepassen van een functie (iteratie). Een belangrijk voorbeeld daarvan zijn de Julia fractalen. Wanneer we het iteratief voorschrift z n+1 = z n +c met c C bekijken in het complexe vlak, dan wordt vertrekkend van een startwaarde z 0 een rij punten z 0, z 1, z, z 3,... gegenereerd. Blijft deze rij begrensd, dan wordt het startpunt z 0 in het vlak van Gauss geplot. De Julia verzameling J c geassocieerd aan de functie f(z) = z + c bestaat uit alle punten z 0 waarvoor de bijhorende rij z 0, z 1, z,... begrensd is. Bijvoorbeeld voor c = 0 bestaat J 0 uit de punten van een cirkelschijf met straal 1. De rand van een Julia verzameling wordt een Julia fractaal genoemd. De vorm van een Julia verzameling J c hangt af van de waarde van c. Een fundamentele stelling, in 1919 onafhankelijk van elkaar bewezen door de Franse wiskundigen Gaston Julia en Pierre Fatou, stelt dat er slechts twee soorten Julia verzamelingen bestaan : samenhangende en niet samenhangende. Een samenhangende Julia verzameling bestaat uit één deel terwijl een niet samenhangende Julia verzameling is opgebouwd uit oneindig veel delen die elk uit slechts één punt bestaan. Zo n onsamenhangende verzameling wordt ook een Cantorverzameling genoemd. Het al dan niet samenhangend zijn van J c wordt bepaald door de baan van de bijzondere startwaarde z 0 = 0 onder het iteratief voorschrift. De verzameling is samenhangend als en slechts als deze baan niet naar oneindig voert. De Pools Franse wiskundige Benoit Mandelbrot die in 1977 het begrip fractaal introduceerde, ontdekte dat de complexe getallen waarvoor J c samenhangend is, alle behoren tot een welbepaalde verzameling die nu de Mandelbrot verzameling wordt genoemd en die wellicht de meest besproken figuur is in de context van fractalen. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 7 Figuur 1.11: De Mandelbrot verzameling en voorbeelden van Julia verzamelingen Fractalen vinden toepassingen in heel wat domeinen, bij groeipatronen van planten en kristallen, bij de structuur van wolken en bergen, bij de vorm van kustlijnen, etc.... Als onderdeel van de chaostheorie die volledig is gebaseerd op de eigenaardige gedragingen van niet lineaire systemen, komen fractalen dikwijls voor bij simulatie of voorspelling van natuurlijke verschijnselen zoals bij weerpatronen en klimatologische veranderingen, bij chemische reacties met chaotische kenmerken, onvoorspelbare turbulenties in gas en vloeistofstromen en bij complexe economische verschijnselen. De kleurrijke voorstellingen van fractalen in het complexe vlak (toevoeging van kleuren gebeurt naargelang de snelheid waarmee bepaalde punten naar een vast punt convergeren in het iteratief proces) maken deze objecten ook aantrekkelijk. Fractalen kunnen zelfs hoorbaar worden gemaakt door het visueel beeld te scannen en iedere kleur te laten corresponderen met een muzikale parameter zoals toonhoogte (fractale muziek). 1.10.5 Complexe analyse In de complexe analyse worden complexwaardige functies van een complexe veranderlijke bestudeerd, dus functies van C naar C Stelt men f(z) = f(x + yj) = u(x, y) + v(x, y)j dan worden de reëelwaardige functies u en v resp. het reëel en het imaginair deel van f genoemd. Een belangrijke klasse van complexe functies wordt gevormd door de holomorfe functies. Voor een R R functie werd de afleidbaarheid in een (inwendig) punt van de definitieverzameling gedefinieerd door te eisen dat lim 0 ) f(x) f(x x x0 x x 0 bestaat en eindig is. Willen we deze definitie uitbreiden naar C C functies, dan moeten we opmerken f(z) f(z dat lim 0 ) z z0 z z 0 niet ondubbelzinnig bepaald is. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 8 Complexe getallen Immers daar waar men op de reële rechte enkel langs links of langs rechts kan naderen naar x 0, kan men in het complexe vlak op oneindig veel manieren naderen naar z 0. f(z) f(z Daarom definieert men : f is complex afleidbaar in z 0 als 0 ) lim onafhankelijk is van de wijze waarop z naar z 0 nadert en als deze limiet eindig z z0 z z 0 is. In het bijzonder kan men in het geval van een complex afleidbare functie in z 0 de f(z) f(z waarde van lim 0 ) z z0 z z 0 berekenen door z naar z 0 te laten naderen evenwijdig met de reële as, resp. evenwijdig met de imaginaire as en men bekomt dan : f(z) f(z lim 0 ) z z z z 0 0 = lim x 0 f(z) f(z resp. lim 0 ) z z0 z z 0 f(x 0 + x+y 0 j) f(x 0 +y 0 j) x = lim y 0 f(x 0 +(y 0 + y)j) f(x 0 +y 0 j) j y Identificeert men de verzameling C met de verzameling R van de koppels reële getallen, door x + yj te vereenzelvigen met (x, y), dan kan men een functie van een complexe veranderlijke ook opvatten als een functie van twee reële veranderlijken f(x + yj) f(x, y). Door deze identificatie kunnen bovenstaande limieten opgevat worden als de partiële afgeleiden van f(x, y) naar x resp. naar y. We besluiten : als f complex afleidbaar is, dan is f (na de identificatie) ook partieel afleidbaar naar x en y en er geldt : Gelet op 1 j betrekking D z f = f x = 1 f j y = j hebben we dan ook dat de partiële afgeleiden voldoen aan de f x + j f y = 0 Men noemt dit de voorwaarde van Cauchy Riemann. Stelt men f(z) = f(x + yj) = u(x, y) + jv(x, y) dan gaat men gemakkelijk na dat deze voorwaarde gelijkwaardig is met de twee voorwaarden samen : u x = v y en u y = v x die men ook de voorwaarden van Cauchy Riemann noemt. Deze voorwaarden zijn dus nodige voorwaarden voor het complex afleidbaar zijn van een functie f. Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 9 Goursat heeft aangetoond dat deze voorwaarden ook voldoende zijn. Een functie f die voldoet aan de voorwaarde van Cauchy Riemann en die bovendien van de klasse C 1 is (d.w.z. het reëel deel en het imaginair deel van f zijn continue functies met continue partiële afgeleiden), wordt een holomorfe functie genoemd. voorbeelden : De functie f : z z is holomorf. Immers : f(x + yj) = (x + yj) = (x y ) + xyj De voorwaarden van Cauchy Riemann zijn vervuld : u x = x = v y en u y = y = v x De complexe afgeleide is gegeven door D z z = f x = u x + j v x = x + yj = (x + yj) = z De functie f : z z is niet holomorf. Immers : f(x + yj) = x yj zodat u x = 1 v y = 1 Holomorfe functies bezitten bijzondere eigenschappen. Eén daarvan heeft betrekking op integratie. Zij f een C C functie die gedefinieerd is over een gebied Ω en onderstel dat f continu is over Ω. Zij verder K een pad in Ω van z 1 = x 1 + y 1 j naar z = x + y j We definiëren de integraal van f over K m.b.t. z als : f(z) dz = K (x,y ) (x 1,y 1 ) (u + jv)(dx + jdy) = (x,y ) (x 1,y 1 ) udx vdy + j waarbij f(x + yj) = u(x, y) + v(x, y)j werd gesteld. (x,y ) (x 1,y 1 ) vdx + udy Met deze definitie wordt de integraal van een functie van een complexe veranderlijke teruggebracht tot de berekening van twee lijnintegralen van reëelwaardige functies van twee reële veranderlijken (zie vectoranalyse). De waarde van de integraal is over het algemeen een complex getal. In bovenstaande definitie werd zowel de kromme K waarlangs men integreert als het begin en eindpunt van deze kromme betrokken. Over het algemeen zal een andere keuze van K met zelfde begin en eindpunt een andere integraalwaarde opleveren. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs

1 30 Complexe getallen We kunnen ons afvragen onder welke voorwaarden de keuze van K geen rol speelt zodat f(z) dz enkel afhangt van de randpunten z 1 = (x 1, y 1 ) en z = (x, y ) en K zodat we in dat geval ondubbelzinnig de notatie z f(z) dz kunnen gebruiken. z 1 Het antwoord op die vraag is een gevolg van de belangrijke stelling van Cauchy : Zij Ω een gesloten gebied in het vlak van Gauss met geöriënteerde randkromme K en zij f holomorf over Ω. Dan is f(z) dz = 0 K Uit deze stelling volgt: is de functie f holomorf in een gesloten gebied Ω en zijn K 1 en K twee paden binnen Ω met randpunten z 1 en z, dan is K 1 f(z) dz = K f(z) dz. Voor een holomorfe functie (in het andere geval niet!) kunnen we dus de notatie z z 1 f(z) dz gebruiken, zonder dat het pad dat z 1 met z verbindt, moet gespecifieerd worden. Een R R functie f die onbeperkt afleidbaar is in een omgeving van een punt x 0 van haar definitieverzameling kan ontwikkeld worden in een machtreeks rond x 0 (taylorreeks). Voor een holomorfe C C functie f beschikt men over een gelijkaardige stelling : f(z) = + a n (z z 0 ) n met a n = (Dn z f)(z 0 ) voor alle z in een omgeving van z 0 n! n=0 De Franse wiskundige Pierre Laurent breidde het resultaat uit door het invoeren van reeksen met zowel positieve als negatieve gehele exponenten. Dit is de stelling van Laurent : Zij f holomorf in Ω \ {z 0 }. Dan geldt voor elke z in een schijfvormig gebied binnen Ω met middelpunt z 0 : f(z) = + a n (z z 0 ) n + + b m n=0 m=1 (z z 0 ) m met a n = 1 f(z) πj (z z 0 ) en b n+1 m = 1 πj f(z)(z z0 ) m 1 dz waarbij de kringintegralen worden berekend langs de rand van het beschouwde schijfvormig gebied. n=0 De laurentreeks is geen machtreeks, maar bevat wel een machtreeksgedeelte (met positieve gehele exponenten) + a n (z z 0 ) n dat men het analytisch deel van de laurentreeks noemt. Het gedeelte met de negatieve gehele machten + men het hoofddeel van de laurentreeks. m=1 b m (z z 0 ) m noemt Algebra voor ingenieurs Hoofdstuk 1

Complexe getallen 1 31 Laurentreeksen werden ingevoerd om een functie te kunnen ontwikkelen in een omgeving van punten waarin ze niet holomorf is. Men noemt deze punten ook singuliere punten of singulariteiten. De (geïsoleerde) singuliere punten van een functie kunnen worden geclassificeerd op basis van de bijhorende laurentreeks. Men onderscheidt : b m = 0 voor alle m = 1,,... De laurentreeks rond z 0 bestaat dus enkel uit een analytisch deel. Men zegt dat z 0 een ophefbaar geïsoleerd singulier punt is. voorbeeld : z 0 = 0 is een ophefbaar singulier punt van de functie f(z) = sin z z. Immers, gelet op de Maclaurinreeks voor sin z = z z3... bekomen we : sin z = 1 z + z4... 3! 5! z Deze laurentreeks bevat enkel een analytisch deel. + z5 3! 5! b m 0 voor slechts een eindig aantal m waarden. Het hoofddeel in de Laurentreeks rond z 0 is dus een afbrekende reeks. Stelt men p = max{m b m 0} dan noemt men het geïsoleerd singulier punt z 0 een pool van de orde p. voorbeeld : z 0 = 0 is een pool van de functie f(z) = Immers : 1 z 4 z 5 = 1 z 4 (1 z) = 1 z 4 1 1 z = 1 z 4 (1 + z + z + z 3 +...) 1 z 4 z 5 = 1 z 4 + 1 z 3 + 1 z + 1 z + 1 + z +... We zien dat het hoofddeel een afbrekende reeks is met slechts vier termen. Bijgevolg is z 0 = 0 een pool van de vierde orde. b m 0 voor een oneindig aantal m waarden. Het hoofddeel in de laurentreeks rond z 0 is dus een reeks met oneindig veel termen. In dit geval noemt men z 0 een wezenlijk geïsoleerd singulier punt. voorbeeld : z 0 = 0 is een wezenlijk geïsoleerd singulier punt van de functie f(z) = z e 1 z Immers : e 1 z = 1 + ( 1 z ) + 1! ( 1 z ) + 1 3! ( 1 z )3 +... zodat z e 1 z = z z + 1! 1 3!z + 1 4!z... Het hoofddeel van deze laurentreeks is een oneindige reeks. Hoofdstuk 1 Algebra voor ingenieurs