Wiskunde voor relativiteitstheorie

Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist

Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2 1. Matrixen 2. Differentiaal rekening 3. College 3 1. Integraal rekening 2. Lineaire vormen Analyse 2

Programma 1.1.1 Goniometrie Matrixen Integraal rekening 1. Goniometrische functies 2. Som formules 3. Cosinus regel 1. Matrix vermenigvuldiging 2. Coördinaten transformatie 1. Bepaalde integraal 2. Primitiveren 3. Rekenregels Vectoren 1. Pijlen 2. Vector algebra 3. Vector ruimtes 4. Vector producten Differentiaal rekening 1. Definitie afgeleide functie 2. Standaard functies 3. Rekenregels 4. Partiële afgeleiden Lineaire vormen 1. Vectorvelden 2. 1-vormen 3. 2-vormen

Stelling van Pythagoras b b b 2 a c c 2 a 2 a Pythagoras 572-500 v.chr. b c 2 = a 2 + b 2 Voorbeeld: 5 2 = 3 2 + 4 2 b 4

Definities goniometrische functies schuine zijde overstaande zijde Definities: Niet afhankelijk van de keuze van de driehoek: Pythagoras: := is per definitie gelijk aan aanliggende zijde 1 1 1 2 1 Hoek sin cos tan grad rad 1 1 Hoek in radialen =lengte boog 5

Goniometrische functies We breiden het domein van sin en cos uit: 1 2 Symmetrieën 3 4 Cirkel met straal 1 1 2 3 4 6

Een limiet formule Straal = 1 Als x heel klein is dan: (Radialen zijn hierbij essentieel!) 7

Som formule voor de cosinus Stel OC=1, dan BC=sin y en OB=cos y Dit kan natuurlijk Maar blijkt niet zo handig Beter is C sin y Trek loodlijn uit C op OA Te berekenen: cos(x+y)=op Overstaande hoeken bij Q, dus BC=sin y, dus QB=sin y tan x BCQ=x OQ=OB-QB = cos y - sin y tan x Q B OP:OA=OQ:OB, dus: O P A OP=OQ OA OB = cos y sin y tan x cos x = cos y cos x sin y sin x cos(x+y) = cos x cos y sin x sin y 9

Som (en verschil-) formules We hadden: (1) (a)&(b) (c) (2) (c) Samenvatting: 10

Toepassing: kwadraat van cosinus Lijkt ook wel een periodieke sinus-achtige functie. Golft 2 keer zo snel. Klopt ook wel want: 11

Oefening: sin tot de derde Opgave 1.1 Hierachter staat het antwoord. Maar eerst de opgave maken! Fourier analyse 12

Cosinus regel Pythagoras Pythagoras c is kleiner geworden, klopt 14

Cosinus regel stompe hoek; opgave Opgave 1.2: Verifieer de juistheid van de Cosinusregel in de volgende driehoeken: 1 1 Stompe hoek Dus nu c groter dan in rechte hoek geval 15

Vectoren Definitie: een vector is een gericht lijnstuk: een pijl met een beginpunt (aangrijpingspunt) en een eindpunt. Q P (of: lengte) Voorbeelden: https://nl.wikipedia.org/wiki/vector_(wiskunde) Snelheid Versnelling Kracht Elektrisch veld Magnetiesch veld Vectorvelden 17

Plaatsvectoren Kies één vast punt in het vlak (of in de 3-dimensionale ruimte). Noem dit O (de oorsprong). P B A O C 18

Intermezzo 1: axioma s van Euclides 1. Elk tweetal punten kan worden verbonden door een rechte lijn. 2. Elk recht lijnstuk kan oneindig worden verlengd tot een rechte lijn. 3. Gegeven een recht lijnstuk, kan men een cirkel tekenen met dit lijnstuk als straal en een eindpunt van dit lijnstuk als het middelpunt van de cirkel. 4. Alle rechte hoeken zijn gelijk (in de zin van congruent). 5. Parallellenpostulaat. Als twee lijnen een derde lijn op zodanige wijze snijden dat de som van de binnenste hoeken aan een kant kleiner is dan twee rechte hoeken, dan moeten deze twee lijnen elkaar onvermijdelijk aan die kant kruisen onder voorwaarde dat deze lijnen oneindig worden verlengd. Bron: https://nl.wikipedia.org/wiki/euclidische_meetkunde Herformulering 1: Gevolg: Herformulering 5: Door twee punten gaat precies Twee lijnen hebben Door een punt buiten een lijn l één rechte lijn. hoogstens één punt gaat precies één lijn m die niets gemeen. gemeen heeft met l. 2 t/m 4: Hebben te maken met meten: afstanden, tussen, hoeken, e.d. 19

Intermezzo 2: Stelling/axioma van Desarques B B C C A A Parallelle versie: Als twee diehoeken in perspectief liggen, dan liggen de snijpunten van de overeenkomstige zijden op één lijn. Als AA //BB //CC, dan AB//A B en BC//B C AC//A C 20

Optellen vectoren Uit de definitie volgt: Ook kop-staart leggen : commutatief Wat als O, A en B op één lijn liggen? O A B P A+B B A O Dit hangt niet af van de keuze van P. Kan mbv Desarques bewezen worden. kop-staart leggen : werkt ook als O, A en B op één lijn liggen: O B A 22

Optellen vectoren associatief Conclusie: Optellen vectoren is associatief O Bij bewijs is Desarques gebruikt. 23

0-vector en omgekeerde vector; verschil Wat is de plaatsvector van de oorsprong O? Een vector met lengte 0 en geen richting. Verschil van twee vectoren: Belangrijk: 24

Vermenigvuldigen met een getal 25

Vectorruimte Samenvattend: De verzameling V van alle vectoren met een vast aangrijpingspunt voldoen aan: V met + vormt een Groep V met + vormt een Abelse Groep Wiskundigen zeggen: Definitie: een verzameling V, met + en een vermenigvulding met de eigenschappen (1) t/m (8) is een (abstracte) lineaire vectorruimte over. (zijn voorbeelden van een lichaam (field) ) 27

Dimensie 2 of 3 n Voorbeelden 1. Plaatsvectoren van vlak of 3-dimensionale ruimte 2. : De verzameling van alle n-tupeltjes van getallen (f+g)(x) g(x) 3. De verzameling van alle functies op een interval [a, b] f(x) [a, b]=[-1,3] 4. De verzameling van alle oplossingen van een lineaire differentiaal vergelijking (hier komen we nog op terug) 28

Lineaire combinaties, Basis Definities: Opspannend: O In het platte vlak: In de ruimte: 3-dim wel opspannend niet onafhankelijk niet opspannend wel onafhankelijk Onafhankelijk: Een Basis: Als V een basis heeft van n vectoren, dan heet V n-dimensionaal 29

Coördinaten Afkorting O Stelling: Een vectorruimte over van eindige dimensie n is isomorf met. 30

Orthogonale-, orthonormale basis Orthogonaal: Orthonormaal: Pythagoras: Algemeen: Nog algemener: Geldt dus alleen als basis orthonormaal is! 31

Inproduct Alternatieve notaties: Voorbeeld: arbeid per seconde door een kracht op een voorwerp met snelheid is dan de component van de kracht in de richting van (Quantummechanica: ) Opmerking: De dimensie van de ruimte doet er dus niet toe. O Cosinusregel: In een orthonormaal stelsel: Algemeen: 33

Uitproduct Neem nu aan: de ruimte is 3-dimensionaal. Opgave 2.5 Intuitief is duidelijk dat er één lijn door O gaat die loodrecht staat op Er zijn dus een heleboel vectoren, zodat Maar die liggen allemaal op de rode stippellijn. O D.w.z. als je er één hebt, bijvoorbeeld dan heb je ze allemaal: Het uitproduct is een voorbeeld van zo n vector (in orthonormale coördinaten): 34

Programma 1.2.klaar Goniometrie Matrixen Integraal rekening 1. Goniometrische functies 2. Som formules 3. Cosinus regel 1. Matrix vermenigvuldiging 2. Coördinaten transformatie 1. Bepaalde integraal 2. Primitiveren 3. Rekenregels Vectoren 1. Pijlen 2. Vector algebra 3. Vector ruimtes 4. Vector producten Differentiaal rekening 1. Definitie afgeleide functie 2. Standaard functies 3. Rekenregels 4. Partiële afgeleiden Lineaire vormen 1. Vectorvelden 2. 1-vormen 3. 2-vormen