TU-Delft - Faculteit werktuigbouwkunde - Afdeling P&E Tentamen Stromingsleer (wb0) 8 maart 006,.00-7.00 uur Opgave : 0 punten Een brandweerwagen heeft een bluswaterpomp (Ziegler FP6/8-HH), die water uit een sloot aanzuigt door een lange zuigbuis en dit vervolgens door een brandweerslang perst naar een zeer kort spuitstuk van (binnen)diameter D = 5 mm. Voor de zuigbuis geldt lengte L = 0 m, diameter D = 05 mm, wandruwheid e = 0.0 mm. Voor de brandweerslang geldt L = 0 m, D = 70 mm, e = 0.0 mm. Om te voorkomen dat er al te grote vaste delen uit de sloot meekomen zit er voor de inlaat in de sloot nog een zogenaamde zuigkorf, hier te modelleren als een verliesloze buisinlaat gevolgd door een Rooster met een K-waarde van K R =.. Het slootwaterniveau bevindt zich meter onder het grondniveau, de bluswaterpomp en het spuitstuk op meter boven de grond. De dichtheid en dynamische viscositeit van het water zijn 000 kg/m, en 0.00 Kg/m.s; neem voor de zwaartekracht 0 m/s. a) Als de waterstraal onder 5 graden met de horizontaal omhooggespoten wordt, en daarbij een maximale hoogte boven de grond van.5 meter bereikt: - Laat dan zien dat de uitstroomsnelheid 0 m/s bedraagt. - Bepaal het waterdebiet. Let op, de initiële positie van het Spuitstuk is al meter boven de grond! ) De VWO-methode: een vrije val baan: Initiële snelheid * V0 = V*sin(5) = V* snelheid is 0 op " v= v0 g* t" t =. V / g Afgelegde weg = ( ) ( ) " z = z + V. t gt. " = m+. V / g *. V g.( V / g) 0 0 z = + V / g. V / g = V / g V = ( z ). g Invullen: V = 0 m/s v= 0 v= 0 ) Met behulp van de wet van Bernouilli: Initieel bevat het water twee evengrote snelheidscomponenten V H en V V. (Horizontaal en Vertikaal). Op de maximale hoogte is de kinetische energie minimaal; maar de horizontale component is onveranderd. De druk is overal atmosferisch; dus: ρ( VH + VV ) + ρghspuitstuk = ρvh + ρghmaximaal VV = g( hmaximaal hspuitstuk ) = 50 Daarmee volgt V = V H + V V = 900, QED Het waterdebiet Q bedraagt Q=pi/*D_^*V = 0.0886 m^/s = 8.9 liter per seconde. b) Bepaal m.b.v. de energiebalans de benodigde pompdruk. Balans: ( p+ ρv + ρgz) ( p + ρv + ρgz) = ρvi ( fi. Li / di + Ki) PPomp De twee handige punten zijn: ) Vóór de inlaat; Snelheid = 0 m/s, druk is atmosferisch, z = - meter ) Na de uitstroom; Snelheid = 0 m/s, druk is weer atmosferisch, z = + meter
Daarmee vinden we: PPomp ρg. ρ.0 ρg. = ρv ( f. L/ d+ KKorf ) + ρv ( f. L / d) Met de massabalans bepalen we 05.V = 5.V => V =. m/s Met de massabalans bepalen we 70.V = 5.V => V = 7.5 m/s ( e/ D). 6.9 Frictiefactoren uit Reynoldsgetal en Haaland : =.8log + 0.5 f. Re D L /D = 90.5; Re = r.u.d.m =.5*0 5 ; e /D = 0.000 => f = 0.07 L /D = 57.; Re = r.u.d.m = 5.*0 5 ; e /D = 0.000 => f = 0.06 Het derde buisstuk, het spuitstuk is kort ; ofwel, we hoeven de wrijving hierin niet mee te nemen; echter, in de totale energie balans is het het belangrijkste onderdeel! Invullen van het hele zaakje is nu rechtstreeks oplossinggevend: PPomp / ρ = 0 + 50 +. (0.07*90.5 +.) + 7.5 (0.06*57) PPomp / ρ = 0 + 50 + 5.7 + 57 = 75 Daarmee vinden dp = 7.5 bar. We zien dat de drukval voor het overgrote deel na de pomp ontstaat; tot aan de pomp (hydrostatisch en inlaat), hebben we het slechts over 6 kpa. Veel meer mag ook niet, omdat anders cavitatie aan de zuigkant van de pomp op kan treden... c) Bepaal de kracht (in de richting van de straal) die de brandweermensen nodig hebben om deze spuit vast te houden. Een impulsbalans over het uitstroommondstuk geeft de kracht die er op het spuitstuk werkt. Omdat de slang in principe slap is betekent dat deze kracht volledig geleverd wordt door de brandweermannen (en niet bijvoorbeeld nog te n dele door door een vaste buiswand. Dan kracht F = v*mdot = v*q*rho = 867 N. Je begrijpt waarom een enkele brandweerman dit iha niet alleen aan kan... d) 8 (lastig) Door bij de pomp tevens een lage concentratie aan polymeren toe te voegen aan het water blijkt dat de wrijvingsweerstand exact gehalveerd kan worden. Als het afgegeven pompvermogen gelijk blijft aan dat in a), bepaal dan het nieuwe waterdebiet, en de spuithoogte die nu bereikt wordt. Het pompvermogen bedraagt Power = Q.dP =.76 kwatt. Om het niet al te ingewikkeld te maken: voor met merendeeel is dit ten gevolge van versnelling in het spuitstuk, en frictie in de slang (we hebben net gezien dat de hydrostatische term en de zuigbuis er weinig toe doen). Ik kijk dus voor het gemak alleen naar de Power geleverd ten gunste van deze twee termen, Power : Power = Q.dP = 0. kwatt (de zuigbuis en korf zijn eenvoudig toe te voegen, de hydrostatische term geeft een vervelender bijdrage, maar deze is erg klein...). Let op, Q, en dus de uitstroomsnelheid V zijn nu onbekend; maar we kunnen de Power wel uitdrukken in V: ( ) Power / ρ = V * *0.05 + V / *(9.)* *0.07 = V *(.8*0 +.75*0 ) π π Nu, halveren van de frictie in de slang halveert de voorfactor van de tweede term: het resultaat is een nieuwe V : V P / ρ = /(.8*0 +.75*0 ) : V =. m/s. Het bijbehorend debiet en spuithoogte zijn 0.9 l/s en.8+ =.8 m, respectievelijk.
Opgave : 5 punten p L p R De hier geschetste doos heeft halverwege bodem en deksel een dunne, vaste horizontale scheidingsplaat, waardoor er zowel onder als boven de plaat een spleet van hoogte h = mm ontstaat. De plaatlengte bedraagt l = 0.8 m. De doos is gevuld met een olie met dynamische viscositeit µ = 0.00 Pa.s, en dichtheid ρ = 900 kg/m. Het bovendeksel beweegt met constante snelheid U = 0. m/s naar rechts; hierdoor circuleert de olie in de doos; boven de plaat naar rechts, eronder naar links. We verwaarlozen in- en uitstroom effecten bij de uiteinden, en beschrijven de stroming bij de doorsnede A-A met behulp van de lokale bewegingsvergelijking: p u 0 = + µ x y a) 8 - Los deze op, zowel boven de plaat (spleet ), als onder de plaat (spleet ); laat daarbij de drukgradiënt p / x als onbekende staan. Laat duidelijk zien hoe je randvoorwaarden toepast. Kies voor beide spleten y=0 aan de onderkant. - Bepaal het volumedebiet (per meter kanaalbreedte) in formulevorm in beide gebieden. In beide lagen een gecombineerde Couette-Poiseuille stroming: p is geen functie van y, dus twee maal integreren: u p u p p µ = =. y+ C u( y) =. y + C. y+ C y x y µ x Vervolgens moeten we randvoorwaarden toepassen: Laag : y = 0 => u = 0 => C = 0 p p y = h => u = 0 => C = h => u( y) =. ( y hy) Laag : y = 0 => u = 0 => C = 0 p p y y = h => u = 0 => C = h+ U / h => u( y) =. ( y hy) + U h Integreren over de kanaalhoogte om het debiet te vinden: Inderdaad; een naar rechts oplopende druk levert een stroming naar links op! p h p Q = u( y) =. ( h h. h ) + U =. h + hu ; en analoog: h p p Q = u( y) =. ( h h. h ) =. h
b) Doordat de doos aan beide uiteinden dicht is moeten de twee debieten (op het teken na!) aan elkaar gelijk zijn. Als we aannemen dat het omkeren van de stroming aan de uiteinden geen drukverlies oplevert, laat dan zien dat hieruit volgt dat: pr pl = µ. U. l/ h, en bepaal de drukval in Pa, en het debiet Q in m /s Omdat moet gelden Q = -Q, vinden we: p p p p. h + hu =. h. h = hu = µ U / h ; QED; de µ x x bijbehorende Q : Q = µ U / h. h = U. h, dus de drukafhankelijkheid valt er µ juist uit! Invullen voor deltap: 8 Pa. Invullen voor Q: 0.6*0 - m /s. c) Bepaal nu de twee snelheidsprofielen over de doorsnede A-A tussen bodem en deksel, en schets deze. Invullen van drukgradiënt: µ U / h y y y y y y u( y) =. ( y hy) + U = U U + = U U µ h h h h h h u ( y µ U / h y y ). ( y hy ) U = = h µ h Hiermee is een aantal karakteristieken naast de randvoorwaarden snel af te schatten: bijv. spleet: maximale snelheid is /U*/ = /8U. bijv. spleet: snelheid is nul op y/h = ½/ / = /. We kunnen nu schetsen: d) Bereken de horizontale kracht F X (inclusief richting) op de plaat. - Waarom levert de druk géén bijdrage aan F X? De kracht ontstaat door afschuifkrachten op de plaat; in dit geval: du y boven: F = l. µ. = l. µ. U U U = l. µ. U / h dy h h y= 0 du y onder is lastiger: F = l. µ. = l. µ. U l.. = µ U / h dy h h y= h y= h Optellen levert F = F+ F =. lµ. U / h; numerieke waarde invullen: 6 mn. x De druk levert géén bijdrage in de x-richting, want drukkrachten werken loodrecht op een oppervlak. Als de plaat een dikte zou hebben gehad, dan had de druk op de zijvlakjes wél een bijdrage aan Fx geleverd. e) Schat de inlooplengte in spleet, en (lastiger) in spleet. Hint: hoeveel tijd heeft een grenslaag nodig om naar het midden toe te groeien? We schatten eerst het Reynoldsgetal van de stroming: Het handigst gaat dat voor spleet : Re = rho.u.h/mu = rho.q/mu = 8. Dat is veel groter dan ; de inlooplengte wordt dus bepaald door de groei van grenslagen aan de wand. Omdat de stroming ongetwijeld nog wel laminair is, halen we van het y= 0
formuleblad voor een vergelijkbaar probleem de inlooplengte van een buisstroming: L E /h = 0.06*Re D. Hier invullen levert L E /h = 5.86, ofwel L E = 58 mm. Bij spleet ligt dat een heel stuk lastiger: De gemiddelde stromingsrichting is van links naar rechts, echter langs de onderkant is de stroming van rechts naar links! Er ontwikkelt zich in deze spleet dus zowel linksboven als rechtsonder een grenslaag; een zeer lastig stromingsprobleem (zie schets)! Om een poging te wagen: de grenslaag linksboven dringt diep door in de spleet, omdat deze meegevoerd wordt met snelheid U = 0. m/s. Over die 58 mm in spleet heeft de stroming een tijd 0.058/(Q/h) =.9 seconde gedaan; in die tijd is de vloeistof met een kanaalgemiddelde snelheid van U = 6 cm/s door de bovenwand verplaatst. De nu afgelegde weg is dus.7 cm; daarmee schatten we L E = 58 + 7 = 75 mm. Maar het blijft een ruwe schatting... Opgave : 5 punten a) 0 In pijpleidingen wordt soms een Venturibuis ingebouwd? Beschrijf waarvoor deze dient, en geef wat relevante informatie. Zie boek. Wat ik in ieder geval wilde horen: - met een Venturibuis meet je het debiet door de buis. - het is een convergerend-divergerend kanaal. - je meet het drukverschil tussen twee punten, hetgeen kwadratisch oploopt met het debiet. - hij heeft levert weinig energieverlies op (in vergelijking met een meetflens of een meettuit). b) 5 Beschouw een parallelstroming van snelheid U langs een vlakke plaat van lengte L. Op beide zijden ontwikkelt zich een grenslaag, die op x=l een dikte δ heeft. Laat met behulp van de integrale impulsbalans zien dat de wrijvingsweerstand F W die de plaat aan één zijde ondervindt luidt: δ uly (, ) uly (, ) Fw = ρu θ( L); met θ( L) = dy U U 0 Hint: schets een relevant controlevolume, waarop je óók de integrale massabalans toepast. Zie boek. Logische stappen zijn: Kies een rechthoekig controlevolume, van begin tot eind plaat. Massabalans: flux uit door bovenwand = L δ δ δ v( δ, x) dx = u(0, y) dy u( L, y) dy = U u( L, y) dy 0 0 0 0 Impulsbalans: - drukkrachten zijn nul, want de ongestoorde stroming is uniform. - op bovenwand is schuifkracht nul (want snelheidsgradient is nul). - kracht plaat op stroming is -kracht stroming op plaat. daarmee: δ δ L δ δ L 0 ρ ρ (, ) ρ (, δ). (, δ) w ρ ρ (, ) ρ (, δ). 0 0 0 0 0 0 = U dy u L y dy v x u x dy + F = U dy u L y dy v x Udy + F Invullen van massabalans voor de laatste term: δ δ δ uly (, ) uly (, ) Fw = ρu ( L, y) dy+ ρ u( L, y). Udy = ρu.. dy U U QED 0 0 0 w
Opgave : 0 punten (facultatief, zie tekst op eerste blad!) Een ronde ballon van nog onbekende diameter D wordt gevuld met helium. De ballon wordt in de atmosfeer (bij een luchtddruk van 0 mbar en een omgevingstemperatuur van o C opgelaten. De massa van het rubber van de ballon mag verwaarloosd worden. De dichtheid en viscositeit van de lucht zijn. kg/m, respectievelijk 8.0-6 Pa.s; de dichtheid van het helium bedraagt 0. kg/m, de zwaartekracht bedraagt 0 m/s. Al snel bereikt de ballon een constante stijgsnelheid U. a) 5 Laat zien dat voor de stijgsnelheid U geldt: U = ( ) L He gd/ CW ρ ρ ρ met C W de weerstandscoëfficiënt van de ballon. Bij een constante snelheid is er een krachtenevenwicht tussen buoyancy (opdrijvende kracht) F B, en de luchtweerstand, F W. Daarmee: π π F = d g ρ ρ ; F = d ρ U C invullen: 6 ( ) 8 = ( ρ ρ ) ( ρ ) = of U gd( ρ ρ ) ( ρ C ) B L He W L W F F gd C U B W / 6 L He L W = QED L He / L W Tot een Reynoldsgetal van Re D =.8*0 5 bedraagt de C W -waarde van de ballon 0.5; daarboven wordt deze juist drie maal zo klein. b) Beschrijf in woorden en evt. met schetsen waardoor de C W -waarde plotseling zo sterk verandert bij dit Reynodsgetal Zie boek. Bij dit Reynoldsgetal wordt de grenslaag die zich om de bol ontwikkelt van nature turbulent al vóór het breedste punt (tevens drukminimum) van de bol bereikt is. De turbulente grenslaag is veel beter dan de laminaire grenslaag in staat om in het deel na het drukminimum weer geleidelijk te vertragen en de contour van de bol te volgen. Resultaat is een smaller zog, dus een lagere weerstand. c) 5 Bepaal de maximale diameter D 0, en de bijbehorende stijgsnelheid U 0, waarbij de C W nog juist 0.5 bedraagt. Re = ρ Ud / µ d = Re. µ / ρ U = Re. µ / ρ gd ρ ρ / ρ 0.5 ( ) ( ( ) ( )) ( g( ) ( )) L C L C L L He L d = Re. µ / ρ ρ ρ / 0.5ρ / C L L He L Invullen levert d 0 = 0.89 m; U gd( ρ ρ ) ( ρ C ) = =.70 m/s. L He / L W d) Als nu t.o.v. b) het ballonvolume 5 procent vergroot wordt, bepaal dan de nieuwe stijgsnelheid die de ballon bereikt. Als de ballon door lekkage langzaam leegloopt, bepaal dan bij welke diameter D de C W -waarde weer terugspringt naar 0.5. Schets in twee diagrammen: de stijgsnelheid versus diameter, en het Reynoldsgetal versus diameter. Laat zien in welk gebied er twee oplossingen zijn. Opmerkelijk? Dit effect wordt hysterese genoemd. π π Vijf procent vergroting: 6 d =.05* 6 d0, d = 0.909 m, nauwelijks groter dus. Echter, de C W waarde is nu drie maal lager... dit levert een stijgsnelheid van (invullen) U = 8. m/s!
Het Reynoldsgetal van de ballon is daardoor plotseling ook veel groter geworden (namelijk 5*0 5 ). Loopt de ballon nu langzaam leeg, blijft de C W waarde 0.5, totdat Re onder de kritische waarde Re C zakt: d ( g( ) ( )) / Re C. µ / ρl ρl ρhe / 0.5ρL = ; d = 0.6 m. Het Reynoldsgetal van de ballon zakt dan plotseling sterk (U zakt naar.9 m/s, dus Re naar.6*0 5 ). In schetsen ziet dat er ongeveer zo uit: