werkcollege 4 ch6 Peck & Devore - probability

Transcriptie

1 cursus 2 mei 2012 werkcollege 4 ch6 Peck & Devore - probability huiswerk bespreken P&D opgaven Ch.3: 16, 30 opgaven Ch.4: 12, 14, 15, 24, 31, 38, 39, 60, 61, 62 1

2 intuïties over kans er is 15% kans dat mijn trein vertraagd is zaterdag is de kans op neerslag 50% bellen tijdens het autorijden, ook handsfree, verdubbelt de kans op een ongeluk per maand wordt 1 winnaar miljonair in de Staatsloterij (kans 1: ); per jaar worden 5 mensen in Nederland door de bliksem getroffen (kans 1: ) kans een Nederlands scrabble-spel heeft N=102 letters, waarvan N A =6 met de letter A erop. wat is de kans om een A te trekken? kans op A = Probabiliteit (A) = P(A) = N A / N = 6/102 = kans is proportie teller altijd kleiner dan noemer; dus kans P altijd tussen 0 en 1: proportie complementaire kansen: P(niet-A) = 1 P(A) (N N A ) / N = 96/102 =.941 =

3 enkele trekking een Nederlands scrabble-spel heeft N=102 letters, waarvan 38 klinkers (Vocalen) (A,E,I,O,U,Y) 62 medeklinkers (Consonanten) 2 blanco P(Voc) = 38/102 =.373 P(Cons) = 62/102 =.608 twee letters twee letters trekken, met teruglegging 4 mogelijke uitkomsten: {V en V, V en C, C en V, C en C} of { V V, V C, C V, C C } bij en worden kansen vermenigvuldigd kansen vermenigvuldigen (en) P(Voc) = 38/102 =.373 P(Cons) = 62/102 =.608 uitkomst V V V C C V C C P(uitkomst).373 x.373 = x.608 = x.373 = x.608 =.370 3

4 kansen vermenigvuldigen (en) de kans op één gecombineerde uitkomst van twee of meer onafhankelijke gebeurtenissen, is het product van de kansen van die gebeurtenissen. kansen optellen (of) wat is de kans op één van de uitkomsten uit de deelverzameling {VV,CC}, dwz VV of CC? uitkomsten VV en CC sluiten elkaar uit P(VV,CC) = P(VV) + P(CC) = = =.509 kansen optellen (of) de kans op één uitkomst uit een deelverzameling van mogelijke uitkomsten die elkaar wederzijds uitsluiten, is de optelsom van de kansen van de mogelijke uitkomsten in die deelverzameling. Compleet: {VV,VC,CV,CC} P(VV,VC,CV,CC) = 1 = kans op VV of VC of CV of CC 4

5 kansen optellen (of) voor één trekking van een enkele letter sluiten de verschillende uitkomsten (A,B,C,...,X,Y,Z,blanco) elkaar wederzijds uit. P(Voc) = P(A,E,I,O,U,Y) = = P(A)+P(E)+P(I)+P(O)+P(U)+P(Y) = 6/ / / / / /102 = 38/102 =.373 QED terzijde in een gewoon spelletje scrabble zijn de twee opeenvolgende trekkingen niet onafhankelijk, omdat de getrokken letter niet wordt teruggestopt in de zak. wat is dan de kans op één gecombineerde uitkomst V 1 en V 2? P(V 1 &V 2 ) = P(V 1 ) x P(V 2 ) = = (38/102) x (37/101) =.136 5

6 scrabble zonder blanco blanco letter verwijderen uit spel P(Voc) = 38/100 =.38 = p P(Cons)= 62/100 =.62 = q kansen zijn nu complementair: P(Voc) + P(Cons) = p+q = 1 stel dat we nu drie letters trekken, met teruglegging... scrabble zonder blanco uitkomst VVV VVC VCV CVV CCV CVC VCC CCC kans ppp = p 3 ppq = p 2 q pqp = p 2 q qpp = p 2 q qqp = pq 2 qpq = pq 2 pqq = pq 2 qqq = q 3 dit is de binomiaalverdeling de interne ordening van V en C in een uitkomst maakt niet uit voor de kans van die uitkomst; de aantallen van V en C maken wel uit 3 trekkingen mogelijke uitkomsten 1x: 3x: 3x: 1x: 3 klinkers, 0 medeklinkers 2 klinkers, 1 medeklinker 1 klinker, 2 medeklinkers 0 klinkers, 3 medeklinkers 6

7 binomiaalverdeling algemene vorm (geen tabel maar formule): Drie trekkingen betekent (p of q) en (p of q) en (p of q) = (p+q)(p+q)(p+q) = (p+q) 3 (p+q) 3 = 1p p 2 q + 3 pq 2 + 1q 3 kansen hebben geen geheugen zie Gambler s Fallacy vb 1: P(blanco) = 2/102 = 1/51 maar dit betekent niet dat er na 51 trekkingen met teruglegging altijd een blanco getrokken is! de letterzak heeft geen geheugen. vb 2: stel P(fout)=1/20, P(goed)=19/20 maar dit betekent niet dat 19x een goede beslissing wordt genomen en 1x een foute; iedere beslissing heeft kans om fout te zijn, net zoals je bij iedere loterij de jackpot kunt winnen. onafhankelijke kansen? Voorbeeld kerncentrale: Stel dat een ongeluk alleen optreedt bij een combinatie van storing en blunder. p(ongeluk) = p(storing) * p(blunder) verwacht: 1/1000 * 1/100 = 1/ In werkelijkheid zien we echter p(ongeluk)=1/10000, hoe kan dat? 7

8 conditionele kansen De kans op een blunder is blijkbaar veel groter wanneer er een storing is. Onder die conditie is de kans op een blunder al 1/10: p(ongeluk) = p(storing) * p(blunder storing) = 1/1000 * 1/10 = 1/10000 [De kans op een blunder wanneer er geen storing optreedt is, is minder dan 1/1000] [Lees: P(blunder storing) als: de kans op een blunder, gegeven een storing] nog eens zijn gebeurtenissen wel echt onafhankelijk? Overstroming ontstaat bij combinatie van Storm en Blunder P(Storm)=1/1000, P(Blunder)=1/100 P(Overstroming)=1/1000 x 1/100=1/100000, 1x per jaar maar niet onafhankelijk: P(Blunder Storm)=1/10 P(Overstroming)=1/1000 x 1/10=1/10000, 1x per 27.4 jaar 8

9 huiswerk lezen: P&D, Ch.7+8 maken: P&D, opgaven Chapter 6: 9, 19, 25, 33 maken: P&D, opgaven App A: A.1, A.9 maak je uitwerkingen op papier. 9