Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari W. Oele Het kansbegrip

Transcriptie

1 27 januari 2014

2 Deze les Kanstheorie volgens Laplace Experimentele kanstheorie Axiomatische kanstheorie Intuïtie

3 Kanstheorie volgens Laplace ( ) De kans op een gebeurtenis wordt verkregen door het aantal winnende mogelijkheden te delen door het totaal aantal mogelijkheden: P(A) = aantal A totaal = n A n totaal

4 Voorbeeld Laplace In één keer de juiste pincode gokken: Aantal winnende gevallen: 1 Totaal aantal mogelijkheden: (n k ) De kans is derhalve:

5 Voorbeeld Laplace Op een lot uit de loterij staat de volgende letter- en cijfercombinatie: AXR Hoe groot is de kans dat dit het winnende lot is?

6 Voorbeeld Laplace AXR XXXYYYYYYY P(winst) =

7 Experimentele kanstheorie Kans op een gebeurtenis baseren op frequenties: P(A) = frequentie van A totale frequentie

8 Experimentele kanstheorie: voorbeeld Roger Federer wint 90 van de 100 tenniswedstrijden P(winst) = 9 10

9 Experimentele kanstheorie: voorbeeld Van het totaal aantal mensen dat rookt en blijft roken sterft de helft vroegtijdig: P(dood) = frequentie dood totale frequentie = = 1 2

10 Experimentele kanstheorie: voorbeeld Het syndroom van Korsakov: geheugenstoornis als gevolg van langdurig gebruik van te veel alcohol symptomen: geheugenverlies confabulatie: overdrijven, liegen, fantasie verhalen vertellen zelfoverschatting

11 Experimentele kanstheorie: voorbeeld Fragment uit een onderzoek: De groep jong-dementerenden is gemiddeld 56 jaar oud (tegen 82 jaar in de ouderenpopulatie) met een grote spreiding (23 tot 72 jaar) en in deze groep bevinden zich veel meer mannen dan in de ouderenpopulatie waar slechts 20% man is. Er is een grotere variatie aan onderliggende diagnosen dan bij de ouderen waarbij er in 15% van de populatie sprake is van Korsakovalcoholdementie als diagnose.

12 Intuïtie Men kan kansen bepalen op basis van intuïtie, gevoel: Er is nu al 8 keer kop gegooid, dus de volgende zal ook wel een kop zijn. Er is nu al 8 keer kop gegooid, dus de volgende is munt. Gisteren is hier iemand overvallen, dus nu is het hier vast veilig. Gisteren is hier een ongeluk gebeurd, dus nu kan ik makkelijk door rood rijden.

13 Intuïtie Het toeval kent geen geheugen

14 Axiomatische kanstheorie Axioma: uitspraak, waarvan we intuïtief aannemen dat deze waar is niet af te leiden uit andere uitspraken niet in tegenspraak met andere axioma s verdere behandeling tijdens de module logica

15 Axiomatische kanstheorie zuiver theoretisch: regels in de axiomatische kansrekening zijn door mensen bedacht en hoeven zich niets van de empirische werkelijkheid aan te trekken

16 Axiomatische kanstheorie zuiver theoretisch: regels in de axiomatische kansrekening zijn door mensen bedacht en hoeven zich niets van de empirische werkelijkheid aan te trekken kansen op gebeurtenissen in de werkelijkheid kan men niet met axiomatische kansrekening berekenen

17 Axiomatische kanstheorie zuiver theoretisch: regels in de axiomatische kansrekening zijn door mensen bedacht en hoeven zich niets van de empirische werkelijkheid aan te trekken kansen op gebeurtenissen in de werkelijkheid kan men niet met axiomatische kansrekening berekenen axiomatische kansrekening wordt pas bruikbaar in de werkelijkheid wanneer men kansen uit de experimentele kanstheorie als input gebruikt en daarop regels uit de axiomatische kanstheorie toepast.

18 Axiomatische kanstheorie De fundamentele eigenschap van wiskunde is dat je er niets uit kunt krijgen dat je er niet eerst ingestopt hebt.

19 Axiomatische kanstheorie De fundamentele eigenschap van wiskunde is dat je er niets uit kunt krijgen dat je er niet eerst ingestopt hebt. Het vak dat kansrekening heet, doet niets anders dan, uitaande van a priori gegeven kansen van elementaire evenementen, de a posteriori kansen uitrekenen van de daaruit samengestelde evenementen. N.G. van Kampen, waanwetenschap 2002

20 De uitkomstenruimte Men neme bij een kansexperiment alle denkbare uitkomsten. De verzameling van alle uitkomsten bij elkaar opgeteld heeft een kans van 1 P(U) = 1

21 De uitkomstenruimte Elke uitkomst of samenstelling van uitkomsten is een deelverzameling van de uitkomstenruimte: A U 0 P(A) 1

22 De uitkomstenruimte A U 0 P(A) 1 Een kans is altijd een getal tussen de 0 en 1.

23 Voorbeeld Hoe groot is de kans dat men 4 gooit met een dobbelsteen? Uitkomstenruimte: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

24 Voorbeeld Hoe groot is de kans dat men 4 gooit met een dobbelsteen? Kans op 4:{4} {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(4) = 1 6

25 Samengestelde gebeurtenissen Indien twee verzamelingen met uitkomsten geen gemeenschappelijke elementen bevatten, kan men de kansen op één van beide bij elkaar optellen: A B = P(A B) = P(A) + P(B)

26 Voorbeeld De kans op een ruitenkaart in een pak kaarten: P(R) = De kans op een hartenkaart in een pak kaarten: P(H) = De kans op een ruiten- of hartenkaart: P(R H) = P(R) + P(H) = = = 1 2

27 Voorbeeld De verzamelingen ruiten- en hartenkaarten zijn disjunct: een ruitenkaart kan geen hartenkaart zijn. 4 rh 3 rb ra hb 5 ha hh rv 6 hv ruiten harten

28 Complementaire kansen De kans op het niet plaatsvinden van een gebeurtenis: P(A) = 1 P(A) Bewijs: P(U) = P(A A) = P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 P(A)

29 Voorbeeld De kans op het niet trekken van een hartenkaart: P(H) = 1 P(H) = = 39 52

30 Samengestelde gebeurtenissen Indien twee verzamelingen gebeurtenissen gemeenschappelijke elementen bevatten, geldt: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)

31 Voorbeeld De kans op een hartenkaart of aas: P(H A) = P(H) + P(A) P(H A) = = 4 13

32 Voorbeeld Bij gemeenschappelijke elementen: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 4 hh 3 hb 2 hv ha ra ka sa harten azen

33 disjuncte en conjuncte verzamelingen Disjunct: 4 rh 3 rb ra hb 5 ha hh rv 6 hv ruiten harten A B = P(A B) = P(A) + P(B) Conjunct: 4 hh 3 hb hv ha ra ka sa harten azen A B P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)