Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 13 September 1 / 47

2 Literatuur iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma, and Stephen G. Jurs. Hoofdstuk 1 t/m 4 van de (legale) online versie van Introduction to Probability, Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell: chance/teaching aids/books articles/ probability book/book.html. Optioneel: software R. 2 / 47

3 Kansrekening en Statistiek? Wat is de kans dat ik de loterij win? Kansspelen Bevordert luieren de fantasie? Psychologie Hoe leert mijn spamfilter wat spam is? Informatica Does God play dice with the universe? Natuurkunde Is Lucia de B. schuldig? Nee. Rechtspraak Werkt paracetamol? Geneeskunde Wat is een kans? Filosofie 3 / 47

4 Inductief redeneren Deductief redeneren (logica): Uit dit volgt dat. Inductief redeneren (kansrekening): Uit dit volgt met deze waarschijnlijkheid dat. Als dit gebeurt is de kans dat dat gebeurt zo en zoveel. 4 / 47

5 Indeling college 1 Kansrekening. 2 Statistiek. Onderweg Toepassingen, geschiedenis, filosofie en kritiek. 5 / 47

6 Kritisch zijn 6 / 47

7 1 Kansrekening 7 / 47

8 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Terminologie Axioma s van de kansrekening Kansen toekennen Discrete stochasten Eigenschappen van kansen. 8 / 47

9 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat twee van ons op dezelfde dag jarig zijn? 9 / 47

10 Vragen: Monty Hall Achter één van drie gesloten deuren staat een auto, achter de andere twee een geit. Jij gaat voor een deur staan. Bijv: geit geit jij auto De quizmaster Monty Hall opent een van de twee deuren waar jij niet voor staat en waarachter een geit staat: geit geit jij auto Jij mag blijven staan of voor de andere gesloten deur gaan staan. Vervolgens win je dat wat achter jouw deur staat. Is het beter altijd van deur te veranderen (indien je geen geit wilt)? 10 / 47

11 Vragen: loterij Wat is de kans dat je bij een loterij met 100 loten en drie prijzen een prijs wint als je 7 loten koopt? Is die kans veel groter dan als je 5 loten koopt? 11 / 47

12 Vragen: cirkels Een computer genereert willekeurige punten in de grote cirkel. Wat is de kans dat het punt in de kleine cirkel valt? In tegenstelling tot de vorige vragen is bij dit experiment het aantal uitkomsten oneindig. 12 / 47

13 Vragen: natuurlijke getallen Wat is de kans dat je uit een zak gevuld met de natuurlijke getallen een 7 trekt? 13 / 47

14 Vragen: het drie gevangenen probleem Er zijn drie gevangen, A, B en C, die weten dat er twee van hen willekeurig gekozen en vervolgens terechtgesteld zullen worden. De overlevingskans voor ieder van hen is dus 1. A vraagt aan Rita, de cipier, om één gevange ongelijk A 3 te noemen die terechtgesteld wordt. Rita zegt: B. Wat is nu de kans dat A overleeft? Er lijken twee antwoorden mogelijk: A krijgt geen nieuwe informatie, hij wist toch al dat B of C terechtgesteld zou worden, dus zijn overlevingskans blijft 1 3. Eerst waren er drie mogelijkheden: A of B of C overleeft. Nu zijn er twee mogelijkheden: A of C overleeft. De kans dat A overleeft is 1 2. Wat is de juiste redenering? 14 / 47

15 Vragen: een rechtszaak De rechtszaak People vs Collins (1968) in Californië: Een portemonnee wordt gestolen en een getuige zegt een blonde vrouw met staart te hebben zien vluchten in een gele auto bestuurd door een zwarte man met baard. Een aantal dagen later wordt er een paar dat aan deze beschrijving voldoet gearresteerd, maar er wordt geen bewijsmateriaal gevonden. Hoe zou je kansrekening kunnen toepassen in deze rechtszaak? 15 / 47

16 Vragen: spam Je laat een spamfilter weten dat een mail onterecht als spam is geclassificeerd. Volgens welke regels past het filter zich aan, d.w.z. hoe leert een spamfilter? 16 / 47

17 Eigen onderzoek In groepjes van maximaal drie mensen verzinnen jullie drie numerieke eigenschappen waarvan jullie vermoeden dat er een verband tussen bestaat. Bijv.: schoenmaat, lengte, gewicht. Vervolgens bepalen jullie van alle deelnemers aan dit college de waardes van die eigenschappen en voeren die in in R. Met de uitkomsten gaan we werken tijdens statistiek. Zo dient deze groep als steekproef uit de populatie van all studenten CKI in Utrecht. 17 / 47

18 Terminologie 18 / 47

19 Terminologie: uitkomstenruimte Def. Een kansexperiment heeft een aantal mogelijke uitkomsten. De uikomstenruimte (sample space) is de verzameling S van alle mogelijke uitkomsten. (Het boek gebruikt Ω in plaats van S.) 19 / 47

20 Terminologie: uitkomstenruimte Vb. Twee dobbelstenen gooien en het aantal ogen tellen: S = {2, 3,..., 12}. Een dobbelsteen en een munt gooien: S = {1K, 1M, 2K, 2M,..., 6K, 6M} = {1,..., 6} {K, M}. Een vis uit een vijver hengelen: S = 20 / 47

21 Terminologie: uitkomstenruimte Vb. Het aantal manieren om drie schilderijen naast elkaar te hangen. S = {ASD,ADS,SAD,SDA,DAS,DSA}. 21 / 47

22 Terminologie: uitkomstenruimte Geordende versus niet geordende uitkomsten: Vb. Twee willekeurige getallen onder de 2 kiezen ongeacht de volgorde: S = {(0, 0), (0, 1), (1, 1)}. Een willekeurig getal onder de 2 kiezen, en dan nogmaals: S = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. Een commissie van drie parlementsleden kiezen: S bestaat uit alle verzamelingen van drie parlementsleden. Een commissie van drie parlementsleden kiezen, bestaande uit een voorzitter, secretaris en penningmeester: S bestaat uit alle rijtjes van drie parlementsleden. 22 / 47

23 Terminologie: gebeurtenis Def. Een gebeurtenis (event) is een deelverzameling A van de uitkomstenruimte S: A S. A S 23 / 47

24 Terminologie: gebeurtenis Vb. Even gooien bij het gooien van een dobbelsteen: A = {2, 4, 6} Positieve uitslag bij het testen op een ziekte: A = {ziek}. Een bruine, grijze en zwarte hoed worden willekeurig aan haakjes 1 t/m 3 gehangen. De gebeurtenis dat de grijze hoed aan haakje 1 of 2 en de zwarte hoed aan 1 of 3 hangt: A = {GBZ,BGZ,ZGB}. 24 / 47

25 Axioma s 25 / 47

26 Axioma s: waarom Vraag: Wat is de kans op een gebeurtenis? Doel: Kansen kunnen berekenen en vergelijken. Inductief redeneren. 26 / 47

27 Axioma s: de drie axioma s van de kansrekening Def. De kans op gebeurtenis A wordt aangeduid met P(A). Def. Het aantal elementen in A wordt aangeduid met #A. Axioma s Voor elke gebeurtenis A geldt P(A) 0. Voor de uitkomstenruimte S geldt P(S) = 1. Als A 1, A 2,... onafhankelijk (onderling disjunct) zijn, dan geldt [ P( A i ) = i=1 X P(A i ). i=1 St. Als S een eindige uitkomstenruimte is waarin alle uitkomsten dezelfde kans hebben, dan geldt voor elke gebeurtenis A: P(A) = #A #S = aantal elementen van A aantal elementen van S. 27 / 47

28 Kansen toekennen 28 / 47

29 Kansen toekennen P(A) = #A #S = / 47

30 Kansen toekennen Vb. S bestaat uit zes schoeisels: Bij het willekeurig pakken van een schoeisel is de kans op een vis 1 3. De kans op een slipper is / 47

31 Kansen toekennen Vb. Een bruine, grijze en zwarte hoed willekeurig aan haakjes 1 t/m 3 hangen: P(BGZ) = P(BZG) = P(GBZ) = P(GZB) = P(ZGB) = P(ZBG) = 1 6. Een dodecaëder gooien: P(1) = P(2) = = P(12) = / 47

32 Kansen toekennen Vb. De kans op een blauwe of grijze bal bij het trekken van 1 bal uit een vaas met 2 blauwe, 3 grijze en 4 paarse ballen: P(B of G) = # blauwe en grijze ballen # ballen = / 47

33 Kansen toekennen: ongeordend Vb. Uit een groep van 3 vrouwen en 2 mannen wordt een commissie van drie mensen (willekeurig) gekozen. De kans op een commissie van 2 vrouwen en 1 man is 6 10 = 3 5 : S = { {~,~,~}, {,~,~}, {,~,~}, {,~,~}, {,~,~}, {,~,~}, {,~,~}, {,,~}, {,,~}, {,,~} }. 33 / 47

34 Kansen toekennen: geordend Vb. Uit een groep van 3 vrouwen en 2 mannen wordt een commissie bestaande uit een voorzitter, secretaris en penningmeester gekozen. De kans op een commissie waarbij de voorzitter en secretaris vrouwen zijn en de penningmeester een man, is = 1 5 : S = { ~~~, ~~~, ~~~, ~~~, ~~~, ~~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~ ~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~, ~ }. 34 / 47

35 Terzijde Graaf Buffon wierp in de 18e eeuw een munt 4040 maal. Het resultaat: kop. De relatieve frequentie van kop: = Karl Pearson wierp rond maal een munt. Het resultaat: 12,012 kop. De relatieve frequentie van kop: Tijdens WO II wierp John Kerrich een munt 10,000, waarvan 5067 kop. De relatieve frequentie van kop: / 47

36 Stochasten 36 / 47

37 Stochasten Def. Een stochast (stochastische variabele, random variable) is een variabele waarvan de waarden de uitkomsten van een kansexperiment zijn, d.w.z. de waarden van de bijbehorende uitkomstenruimte. Stochasten worden aangeduid met X, Y, Z. Als S een aftelbare uitkomstenruimte van een experiment is en X is de bijbehorende stochast, dan heet X discreet en is de kansverdeling (verdeling, distributie, distributiefunctie) van X de functie f (m in boek) die aan elke waarde van X de kans op die waarde toekent. Er geldt: P(X = i) = f (i) f : S [0, 1] X f (i) = 1 i S P(A) = X f (i). i A 37 / 47

38 Stochasten Vb. Een dobbelsteen gooien: de waarden van X zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6. De verdeling f wordt gegeven door f (1) = = f (6) = 1 6. Compacte notatie: P(X = 2) i.p.v. P(2 gooien). De kans op een zekere ziekte is 0.6. Testen op de ziekte: de waarden van X zijn pos en neg. De verdeling f wordt gegeven door f (pos) = 0.6 en f (neg) = 0.4. Ten behoeve van een compacte notatie kan het nuttig zijn om een stochast alleen getalswaarden te laten aannemen. In dit voorbeeld kunnen de waardes 1 (pos) en 0 (neg) worden genomen. Dat geeft P(X = 0) = 0.4 en P(X = 1) = / 47

39 Stochasten Vb. Een bal trekken uit een vaas met 2 blauwe, 3 grijze en 4 paarse ballen: De waarden van X zijn B, G en P. f (B) = P(X = B) = 2 9, f (G) = P(X = G) = 3 9, f (P) = P(X = P) = 4 9. P(X = B of X = G) = / 47

40 Eigenschappen van kansen 40 / 47

41 Eigenschappen van kansen: complement Def. A is het complement van A (Ã in het boek). St. P(A) = 1 P(A). Bew. Omdat A en A disjunct zijn en S = A A, geldt (vorige stelling) P(S) = P(A) + P(A). Omdat P(S) = 1 (axioma) volgt hieruit dat P(A) + P(A) = 1. Dat geeft P(A) = 1 P(A). 41 / 47

42 Eigenschappen van kansen: complement Vb. Uit een klas met 17 meisjes en 10 jongens wordt een commissie gekozen bestaande uit 1 meisje en 2 jongens. Wat is de kans dat de commissie niet uit Tom, Jan en Anna bestaat? S bestaat uit alle verzamelingen van 2 jongens en 1 meisje. Er zijn ongeordende paren jongens. Dus #S = De kans dat Tom, Jan en Anna niet gedrieën gekozen worden is P( TJA) = 1 P(TJA) = 1 2 = = / 47

43 Eigenschappen van kansen: vereniging St. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Bew. A\B, B\A en A B zijn onderling disjunct. Omdat A B = A\B B\A A B geldt P(A B) = P(A\B) + P(B\A) + P(A B). Omdat A = A\B A B geldt P(A) = P(A\B) + P(A B). Dus P(A\B) = P(A) P(A B). Op dezelfde wijze: P(B\A) = P(B) P(A B). Hieruit volgt: P(A B) = P(A) P(A B) + P(B) P(A B) + P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 43 / 47

44 Eigenschappen van kansen: vereniging Vb. Het percentage mensen met dyslexie is 20%, met dyscalculi 4% en 0.9% heeft dyslexie én dyscalculi. De kans dat iemand dyslexie of dyscalculi heeft is P(dyslexie) + P(dyscalculi) P(dyslexie en dyscalculi) = = / 47

45 Geschiedenis Girolamo Cardano ( ) Liber de Ludo Aleae (Boek van het Spel met de Dobbelstenen) 45 / 47

46 Geschiedenis Antoine Gombaud, M. le Chevalier de Méré ( ) Blaise Pascal ( ) en Pierre de Fermat ( ) Pascal in 1654: Ik zie dat waarheid hetzelfde is in Toulouse als in Parijs. 46 / 47

47 Finis 47 / 47