introductie kansen pauze meer kansen random variabelen transformaties ten slotte

Transcriptie

1 toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 4: Probability: The Study of Randomness 4.1: Randomness 4.2: Probability Models 4.3: Random Variables 4.4: Means and Variances of Random Variables 4.5: General Probability Rules week 2: de steekproevenverdeling week 3: schatten en toetsen: de z-toets week 4: het toetsen van gemiddelden: de t-toets week 5: het toetsen van varianties: de F-toets week 6: het toetsen van tellingen: de χ 2 -toets week 7: verdelingsvrije toetsen Frank Busing, Universiteit Leiden 1/39 onderzoeksvraag onderzoeksvraag wanneer we eekhoorns een bepaalde tijd uithongeren, gaan deze eekhoorns dan meer voedsel verzamelen? 2/39

2 wat is normaal? stap 1: 1 we nemen een steekproef van 10 eekhoorns 2 we bepalen het gemiddeld aantal gram verzameld voedsel 3 we herhalen stappen 1-2 een flink aantal keer 3/39 dit is normaal aantal steekproefgemiddelden aantal gram voedsel conclusie stap 1: normale eekhoorns verzamelen ongeveer 9 gram voedsel (gemiddelde) normale eekhoorns verzamelen tussen de 7 en 11 gram voedsel (spreiding) 1 dit is een frequentie-verdeling 4/39

3 is dit normaal? aantal steekproefgemiddelden aantal gram voedsel stap 2: 1 we vangen 10 eekhoorns 2 we geven deze eekhoorns enige tijd weinig tot niets te eten 3 we laten de uitgehongerde eekhoorns vrij 4 we bepalen het gemiddeld aantal gram verzameld voedsel 5/39 dit is (niet) normaal aantal steekproefgemiddelden aantal gram voedsel mogelijke conclusies stap 2: stel de uitgehongerde eekhoorns verzamelen 9 gram voedsel stel de uitgehongerde eekhoorns verzamelen 11 gram voedsel stel de uitgehongerde eekhoorns verzamelen 13 gram voedsel toetsende statistiek houdt zich bezig met het weerleggen van toevalsfluctuaties als oorzaak van verschillen 6/39

4 het leren van toetsende statistiek drie belangrijke kenmerken van statistiek: 1 statistiek maakt gebruik van een zeer specifiek idioom 2 statistiek heeft zowel een praktische als een theoretische component 3 statistische kennis heeft een sterk cumulatief karakter conclusie voor de student: 1 leer alle begrippen uit je hoofd (spiekbrief heeft hiervoor geen zin) 2 oefen alle sommen tot het lukt (vlug en goed) 3 en begin nu hoorcolleges + werkgroepen + SPSS practica + extra werkgroepen zie inleiding werkboek toetsende statistiek tentamen: woensdag , , USC 7/39 Bonne bij voortplanting erft een kind voor elk gen één van de twee delen van elk ouder welke van de twee delen het van een ouder krijgt is willekeurig de kans op elk deel is 50%, ofwel regel 1: toegestane waarden 0 P(A) 1 voor elke gebeurtenis A Bonne heeft blauwe ogen, evenals zijn vader en moeder let op: er komen 5 regels voor kansen 8/39

5 hielprik binnen 10 dagen na geboorte krijgen baby s een hielprik (onder- of zijkant) met het bloed van de hielprik wordt er gezocht naar bepaalde ziekten het gaat om ziekten die kunnen worden behandeld als ze vroeg zijn opgespoord MCADD = medium chain acyl co-enzym-a dehydrogenase-deficientie een deficientie waardoor vet niet omgezet kan worden in suiker dus wanneer de suikervoorraad op is, raakt de patient bewusteloos wanneer niet wordt ingegrepen, kan de patient overlijden 3 MCADD was één van de oorzaken van wiegedood 9/39 erfelijkheid de kans op dragerschap (MCADD in een van de gen-delen) is 1/55 (regel 1) de kans dat beide ouders drager zijn is 1/55 1/55 1/3000 regel 5: productregel (voor onafhankelijke gebeurtenissen) P(A en B) = P(A) P(B) 10/39

6 mogelijke uitkomsten mogelijkheden voor Bonne (uitkomstenruimte) 4 Afke Frank P(+) = 0.5 P( ) = 0.5 P(+) = 0.5 P(++) = 0.25 P(+ ) = 0.25 Bonne P( ) = 0.5 P( +) = 0.25 P( ) = 0.25 regel 1: toegestane waarden 0 P(A) 1 voor elke gebeurtenis A bijvoorbeeld: de kans op MCADD = neutraal gendeel; MCADD gendeel 11/39 mogelijke uitkomsten mogelijkheden voor Bonne (uitkomstenruimte) Afke Frank P(+) = 0.5 P( ) = 0.5 P(+) = 0.5 P(++) = 0.25 P(+ ) = 0.25 Bonne P( ) = 0.5 P( +) = 0.25 P( ) = 0.25 regel 2: kansen totaal P(S) = 1 bijvoorbeeld: de kans op twee genen = /39

7 mogelijke uitkomsten mogelijkheden voor Bonne (uitkomstenruimte) Afke Frank P(+) = 0.5 P( ) = 0.5 P(+) = 0.5 P(++) = 0.25 P(+ ) = 0.25 Bonne P( ) = 0.5 P( +) = 0.25 P( ) = 0.25 regel 3: somregel (voor disjuncte gebeurtenissen) P(A of B) = P(A)+P(B) bijvoorbeeld: de kans op alleen dragerschap (+ of +) = = disjunct is wederzijdsuitsluitend 13/39 mogelijke uitkomsten mogelijkheden voor Bonne (uitkomstenruimte) Afke Frank P(+) = 0.5 P( ) = 0.5 P(+) = 0.5 P(++) = 0.25 P(+ ) = 0.25 Bonne P( ) = 0.5 P( +) = 0.25 P( ) = 0.25 regel 4: complement regel P(A) = 1 P(A c ) bijvoorbeeld: de kans op geen MCADD = één min de kans op MCADD = /39

8 mogelijke uitkomsten mogelijkheden voor Bonne (uitkomstenruimte) Afke Frank P(+) = 0.5 P( ) = 0.5 P(+) = 0.5 P(++) = 0.25 P(+ ) = 0.25 Bonne P( ) = 0.5 P( +) = 0.25 P( ) = 0.25 regel 5: productregel (voor onafhankelijke gebeurtenissen) P(A en B) = P(A) P(B) bijvoorbeeld: de kans op een kind met MCADD = 1/55 1/55 1/4 1/ /39 meer kansen de somregel (zojuist besproken) regel 3: somregel (voor disjuncte gebeurtenissen) P(A of B) = P(A)+P(B) geldt alleen voor disjucte gebeurtenissen maar wat als gebeurtenissen niet disjunct zijn en dus overlappen? de productregel (zojuist besproken) regel 5: productregel (voor onafhankelijke gebeurtenissen) P(A en B) = P(A) P(B) geldt alleen voor onafhankelijke gebeurtenissen maar wat als gebeurtenissen afhankelijk zijn van elkaar? 16/39

9 voorbeeld screening van neurotische patienten op flauwvallen CONTROLE NEE NEUROTICI JA patient en vallen zijn niet disjunct, want ze overlappen (groen) dit heeft gevolgen voor de somregel 6 regel 3: somregel (algemeen) P(A of B) = P(A)+P(B) P(A en B) bijvoorbeeld: de kans op neuroticisme OF vallen somregel voor disjucte gebeurtenissen: P(A of B) = P(A) + P(B) 17/39 marginale kansen screening van neurotische patienten op flauwvallen een eenvoudige random steekproef (SRS) levert de volgende kruistabel op flauwvallen neurotici controle totaal nee ja totaal marginale kansen kans op flauwvallen = P(ja) = 120/400 = 0.30 kans op neuroticisme = P(neuroticus) = 40/400 = 0.10 kans bij het beschouwen van een marginaal (totaal) 18/39

10 gezamelijke kansen screening van neurotische patienten op flauwvallen een eenvoudige random steekproef (SRS) levert de volgende kruistabel op flauwvallen neurotici controle totaal nee ja totaal gezamelijke kansen kans op flauwvallen EN neuroticisme = P(ja EN neuroticus) = 30/400 = kans op niet flauwvallen EN neuroticisme = P(nee EN neuroticus) = 10/400 = kans op een combinatie van gebeurtenissen 19/39 voorwaardelijke kansen screening van neurotische patienten op flauwvallen een eenvoudige random steekproef (SRS) levert de volgende kruistabel op flauwvallen neurotici controle totaal nee ja totaal voorwaardelijke kansen kans op flauwvallen onder de voorwaarde dat de patient neurotisch is = P(ja neuroticus) = 30/40 = 0.75 kans op niet flauwvallen onder de voorwaarde dat de patient neurotisch is = P(nee neuroticus) = 10/40 = kans binnen een bepaald domein: we kijken naar mensen die aan een bepaalde voorwaarde voldoen kansen binnen bepaald domein tellen op tot /39

11 onafhankelijkheid screening van neurotische patienten op flauwvallen een eenvoudige random steekproef (SRS) levert de volgende kruistabel op flauwvallen neurotici controle totaal nee ja totaal onafhankelijkheid: vragen is er een relatie tussen neuroticisme en flauwvallen? is de kans op flauwvallen verschillend voor neurotici en controle? is de kans op flauwvallen afhankelijk van de uitkomst op patient? 21/39 onafhankelijkheid screening van neurotische patienten op flauwvallen een eenvoudige random steekproef (SRS) levert de volgende kruistabel op flauwvallen neurotici controle totaal nee ja totaal onafhankelijkheid: antwoorden neuroticisme en flauwvallen zijn onafhankelijk als de kans op flauwvallen gelijk is voor alle uitkomsten van neuroticisme dus P(ja neuroticus) = 30/40 90/360 = P(ja controle)? neuroticisme en flauwvallen zijn onafhankelijk als de conditionele kansen gelijk zijn aan de marginale kansen dus P(ja neuroticus) = 30/40 120/400 = P(ja)? conclusie: neuroticisme en flauwvallen zijn afhankelijk 22/39

12 onafhankelijkheid screening van neurotische patienten op flauwvallen een eenvoudige random steekproef (SRS) levert de volgende kruistabel op flauwvallen neurotici controle totaal nee ja totaal onafhankelijkheid: conclusie afhankelijkheid heeft gevolgen voor de productregel 8 regel 5: productregel (algemeen) P(A en B) = P(A) P(B A) als A en B onafhankelijk zijn, dan P(B A) = P(B) dan zijn de conditionele kansen P(B A) gelijk aan de marginale kansen P(B) productregel voor onafhankelijke gebeurtenissen: P(A en B) = P(A) P(B) 23/39 random variabelen het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal random variabele een random variabele is een variabele met (numerieke) waarden verkregen uit een steekproef of uit een ander random proces er zijn twee soorten random variabelen: 1 discreet: variabelen met een eindig aantal mogelijke waarden 2 continue: variabelen met een oneindig aantal mogelijke waarden in het vervolg gaat het over discrete random variabelen 24/39

13 random variabelen het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal we kunnen (van) discrete random variabelen: de verwachte waarde en de variantie uitrekenen (lineair) transformeren bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken 25/39 proporties het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal proportie proportie kan worden opgevat als waarschijnlijkheid of kans maat voor relatief voorkomen van gebeurtenissen in uitkomstenruimte 9 proportie = aantal / totaal = f(x i )/n = f(7)/n = 40/400 = 0.10 kansen zijn geidealiseerde proporties voortkomend uit theorie of populatiewaarden 26/39

14 kansen het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal proportie de regels voor kansen gelden ook hier: de kans dat we 10 gram verzameld voedsel vinden is 0.25 (regel 1) de kans op 10 gram of minder is = 0.90 (regel 3) de kans op 10 gram of minder is ook = 0.90 (regel 4) we weten welke waarden (grammen) voorkomen en we weten de kans dat deze waarden voorkomen we hebben een verdeling (over grammen) van kansen: de kansverdeling 27/39 kansverdeling het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal proportie een kansverdeling kan zowel numeriek als grafisch worden weergegeven 10 hiervoor gebruiken we: locatie, spreiding en regelmaat histogram zie inleiding methoden en technieken week 4 28/39

15 locatie: verwachte waarde het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal proportie verwachte waarde van een random variabele µ X = x 1 p 1 +x 2 p x n p n = i x ip i de verwachte waarde van een discrete random variabele wordt als volgt bepaald: ( )/400 = 40/ / / = = 9 29/39 wet van de grote getallen het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal proportie de verwachte waarde van een random variabele is het geidealiseerde gemiddelde: op de lange termijn (grote steekproeven) is x gelijk aan µ X 30/39

16 wet van de grote getallen het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal proportie gemiddelde over eerste n observaties x aantal observatie (n) /39 spreiding: variantie het aantal gram verzameld voedsel van 400 eekhoorns (hele grammen) gram aantal proportie variantie van een random variabele σ 2 X = (x 1 µ X ) 2 p 1 +(x 2 µ X ) 2 p (x n µ X ) 2 p n = i (x i µ X ) 2 p i variantie: gewogen som van gekwadrateerde afwijkingen tot het gemiddelde 32/39

17 transformaties de hoeveelheid voedsel wordt hier gemeten in grammen onderzoek in Engeland geeft andere resultaten niet omdat eekhoorns aldaar meer of minder verzamelen maar omdat het in andere eenheden gemeten wordt bijvoorbeeld in pounds, in ounces, of in grains 11 the grain was the legal foundation of traditional English weight systems 33/39 transformaties we besluiten de hoeveelheid voedsel te meten in grains we zetten grammen om in grains: 1 gram = grains maar wat gebeurt er nu met: de verwachte waarde µ Y? de variantie σ 2 Y? 34/39

18 transformaties: vermenigvuldigen met b aantal gram maal transformatie: Y = bx bijvoorbeeld: omzetten van grammen in grains: Y = X nieuwe verwachte waarde: µ Y = bµ X nieuwe variantie: σ 2 Y = b2 σ 2 X 35/39 transformaties: optellen van a aantal gram plus 100 transformatie: Y = a+x bijvoorbeeld: lengte meten terwijl proefpersonen op een bankje staan: Y = 30 + X nieuwe verwachte waarde: µ Y = a+µ X nieuwe variantie: σ 2 Y = σ2 X 36/39

19 algemeen: lineaire transformaties aantal gram maal plus 100 transformatie: Y = a+bx bijvoorbeeld: omzetten van graden celcius in graden fahrenheit: F = C verwachte waarde en variantie bij lineair getransformeerde variabelen nieuwe verwachte waarde: µ Y = a+bµ X nieuwe variantie: σ 2 Y = b2 σ 2 X 37/39 deze week: wat hebben we geleerd? kennis van basisbegrippen: kans, uitkomst, gebeurtenis, complement, random variabele, verwachte waarde, variantie kennis en begrip van de 5 kansregels kennis en begrip van marginale, gezamelijke en conditionele kans kennis en begrip van onafhankelijkheid verwachte waarde en variantie van discrete random variabelen en van een getransformeerde discrete random variabele 38/39

20 deze week: wat moeten we nog leren? het toepassen van de 5 kansregels het bepalen van voorwaardelijke en gezamelijke kansen het bepalen van onafhankelijkheid het bepalen van verwachte waarde en variantie van discrete random variabelen van getransformeerde discrete random variabelen en van de som van onafhankelijke en gecorreleerde discrete random variabelen 39/39