Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 a 8 Exra oefening ij hoofdsuk In driehoek ADF is de hoek ussen AD en DF een rehe hoek dus geld: an ( AF, AD) FD AD Dus is ( AF, AD) an 8 AP, PF en AF 0 osinusregel: FP AP + AF AP AF os FAP a d a os FAP 0 FAP os In driehoek AF is de hoek ussen A en F een rehe hoek dus geld: an ( AF, A) F Dus ( AF, A) an 7 A HD is evenwijdig is aan G Dus is de hoek ussen PG en HD gelijk aan de hoek ussen PG en G Dus de hoek ussen PG en HD is 90 D is evenwijdig is aan HG Dus is de hoek ussen PG en D gelijk aan de hoek ussen PG en HG Noem he midden van HG pun Q Dan geld PQ en QG Dus is an( PG, GQ), Dus ( PG, GQ) an, Noem he midden van HG weer Q Dan is PG evenwijdig aan EQ en dus de gezohe hoek gelijk is aan de hoek ussen EQ en ED Bereken me Pyhagoras de zijden van driehoek EQD: ED AD + AE + 7, dus is ED 7 EQ EH + HQ +, dus is EQ DQ DH + HQ +, dus is DQ osinusregel: DQ DE + EQ DE EQ os DEQ os DEQ os DEQ 7 DEQ os Sel R is he midden van BF Dan is PR evenwijdig aan H Van driehoek PRG zijn de zijden: PG +, PR en RG osinusregel: RG PG + PR PG PR os GPR + os GPR os GPR 0 Dus is GPR os 0 E H D F G A B He lijnsuk E lig in de diagonaalvlakken: BHE, DEF en AGE Lijn E saa loodreh op he vlak AFH en dus loodreh op alle lijnen in di vlak Lijn AF lig in di vlak dus kruisen AF en E elkaar loodreh Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

2 d e a He lijnsuk E saa loodreh op AH en op HF Van he vlak door BDG is E een loodlijn Sel N is he snijpun van BG en F Dan is N de projeie van G op he vlak EF De hoek die EG me he vlak EF maak is GEN He vlakdeel EBG 0, 8 EG EB en NG BG 8 Dan geld an GEN an 0 d e f g De loodrehe projeie van HB op vlak EF is de lijn door N en he midden van AH Deze laase lijn is evenwijdig aan AB Dus kan de hoek erekend worden als ABH Er geld an ABH AH ABH an 0 AB He vlakdeel BGF In he reherzijvlak geld an MG MG, De loodrehe projeie van BD op he zijvlak BGF is he lijnsuk B Dus is DN de gezohe hoek Omda DN 90 geld an DN N DN 7 D, a Voor de asis geld: AB 0 os x en voor de hooge geld: B 0 sin x Dus geld: Ox ( ) AB B 0 sinx os x waarij 0 < x < Produregel: O ( x) 0 osx os x+ 0 sinx sin x Dus: O ( x) 0 os x 0 sin x Als de oppervlake maximaal is dan geld O ( x) 0 0 os x 0 sin x 0 sin x os x an x an x ± x π+ k π of x π+ k π me k een geheel geal Alleen x π voldoe en O( π) 0 sin π os π 0 Exra oefening ij hoofdsuk Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel 9

3 a a a 0 Exra oefening ij hoofdsuk Bereken deze afsand h in de rehhoekige driehoek ABG Daar geld: AB, BG + 9 en AG Er geld AG h AB BG (via oppervlake) dus 9 h h 8, 9 De afsand x van o AG ereken je in de rehhoekige driehoek AG Daar geld A, G 7 en AG 9 Dus geld AG x A G (via oppervlake) en daarui volg x 7 0, 9 De afsand y van F o AG ereken je in de rehhoekige driehoek AFG Daar geld AF, AG 9 en FG Dus geld AG y AF FG (via oppervlake) en dus is y 8, 9 De gezohe afsand d is de afsand van D o de lijn AP Deze ereken je in de rehhoekige driehoek ADP De zijden zijn: AD, DP en AP + 9 Dan geld AP d AD DP (via oppervlake) en daarui volg d 8 8, De loodlijn ui F o vlak APQE op de lijn EQ kom is de afsand gelijk aan de afsand van F o de lijn EQ Deze ereken je in he ovenvlak, rehhoek EFGH me pun Q De loodlijn ui F op EQ snijd deze in F Dan geld: Opp EFQ EF EH 8 Deze oppervlake is ook gelijk aan EQ FF FF Dus geld FF FF 8 7, Noem he midden van EH he pun T, dan is de afsand van M o he vlak APQE gelijk aan de afsand van T o de lijn EQ Projeeer T loodreh op EQ en noem di pun T Dan geld Opp EQT + Opp HQT Opp HEQ Dus geld: E TT + En dus geld: TT + 9 TT 9, H D F A B DB + 8, BG + 89 en DG + 89 Dan is DBG driehoek gelijkenig Dus is he lijnsuk van G naar he midden van BD de loodlijn ui G op BD Noem he midden van BD nu G Dan geld DG 89 en DG en dus is 89 + GG GG 7 Dan is Opp BDG 7, Vlak AGE Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel G M

4 d e a d E A G Dan is G en G ( ) + 7 Er moe nu gelden: GG d G G als d de gezohe afsand is Invullen geef 7 d d 0 7, 7 G Die is de helf van de afsand die ij opdrah d is erekend (gelijkvormigheid) Dus 0 87, 7 De lijn PQ is evenwijdig aan lijn F en val nie samen me F A A D D B B F F F E E He vlak FF saa loodreh op he vlak door ED Eers ereken je in driehoek AB Daar geld B 0 En ook geld AB A B (via oppervlake) Invullen van de ekende zijden geef W F Weer via oppervlake vind je da F W F en di geef F Exra oefening ij hoofdsuk Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

5 Exra oefening ij hoofdsuk + W W 0, 7 70 a Lijn BF is evenwijdig aan lijn HD en lijn BF lig in he vlak BTF He vlak ABD saa loodreh op he vlak BTF AU AD en de loodlijnen ui A en D op BT zijn evenwijdig Me gelijkvormigheid volg dan da de afsand van A o de lijn BT de helf van de afsand van D o de lijn BT He vlak ABD saa loodreh op he vlak TAE Dus de afsand van DH o TAE is gelijk aan de afsand van pun D o de lijn TA Aangezien AD DT kom de loodlijn ui D in he midden van AT, noem di P Ook is AT en er geld AT PD AD DT Dus PD PD 8, U U B B A A Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel D T D T

6 Oefenoes ij hoofdsuk en a In de driehoek ABG geld: AB en BG + Dan geld an AGB AB en dus is BG AGB 0 Noem he midden van AE pun Q Dan geld in driehoek EQP: QP + en EQ Driehoek AEP is gelijkenig dus is EPQ 90 an EPQ EQ EPQ, en is APE, QP De hoek die lijn BH me he grondvlak maak is HBD Ook is HD en DB + d e Verder geld an HBD HBD De lijnen kruisen, maak he pun T halverwege BF De lijn TG is evenwijdig me BP en de hoek van TG me EG word gevraagd TG + ; ET + 0 ; EG + osinusregel: ET GT + EG GT EG os EGT 0 + os EGT os EGT 8 Zoda EGT 8 Bereken eers de zijden van driehoek EBG BG + ; EB + en EG + De loodlijn ui EV op BG is een hoogelijn van de driehoek Noem de lenge van BV x dan geld: GV x In driehoek BVE geld: EV x In driehoek VGE geld EV ( x) Di geef x ( x) x Dan is EV ( ) 9 De oppervlake van driehoek EBG is 9, f Neem als grondvlak driehoek EBF en als de hooge FG Dan is opp EBF EF FB en is inhoud piramide EBF G g Kies hier grondvlak EBG en als hooge de afsand van F o di grondvlak, dan geld: inhoud EBG F opp EBG hooge, hooge a Dus is de afsand van F o he vlak EBG 8,, De hoeken BD en TD zijn rehe hoeken, dus saa D loodreh op he vlak BT, BP lig in di vlak Dus saa BP loodreh op D B is evenwijdig me AD, dus de hoek ussen B en BP is gelijk aan de hoek ussen BP en AD an PB P PB 7 B B V G Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel E

7 d a Oefenoes ij hoofdsuk en A Bereken de inhoud van he viervlak ABDP op wee manieren: Oppervlake ABD 8 en hooge P Dus geld inhoud viervlak ABDP 8 Ook kun je als grondvlak nemen driehoek BDP Driehoek BDP is gelijkenig Sel Z is he midden van BD Dan geld: BD + BZ T 8 en is PZ 0 8 De oppervlake van driehoek PDB is DB PZ De afsand h van pun A o he vlak BPD kan nu worden erekend als de hooge van de piramide A h h, P B D Q Omda driehoek AB gelijkzijdig is moe he vlak door he midden van B gaan Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

8 d A P D B De gezohe lijn is de lijn door P en he midden van B A P D Q B Teken he vlak door Q evenwijdig aan he ij opdrah a gevonden vlak A P D Q Q B Teken vanui A de lijn door he midden van B Teken vanui de lijn door he midden van AB Teken vanui P en Q de loodrehe projeies op de eerder geekende lijnen De gezohe lijn is de lijn door de eide projeies Oefenoes ij hoofdsuk en Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

9 a d e f a Oefenoes ij hoofdsuk en Omda B evenwijdig is me MN He vlak BHNF Een regelmaige zeshoek kun je me ehulp van de diagonalen verdelen in zes gelijkzijdige driehoeken In di geval elk me zijde De lenge van de hoogelijnen in een gelijkzijdige driehoek me zijde is Dus is BF HN Sel h is de afsand van H o he vlak MN Dan geld: BN h BH HN (via oppervlake van rehhoekige driehoek BHN) Invullen wa ekend is geef ( ) + h h, 7 Omda G evenwijdig is me DN en DN in he vlak FDL lig De lijn is evenwijdig me he vlak dus de afsand ussen de lijn en he vlak is gelijk aan de afsand van he pun o he vlak FDL Omda DF 90 is de afsand van o DF is de afsand D De vlakken zijn evenwijdig omda FA evenwijdig is me EB en FH evenwijdig is me EL Teken he vlakdeel AKG Sel P is he midden van A en Q is he midden van GK Dan is de gezohe afsand de afsand d ussen de evenwijdige lijnen AQ en PK Geruik da de oppervlake van he parallellogram APKQ gelijk is aan de lenge van PK keer de afsand d ussen de lijnen PK en AQ Geruik verder da PK 7 Er geld: Opp AQG + Opp parm APKQ + Opp PK Opp rehhoek AKG Di geef: + 7 d d + d 7 d, 7 D A E F B Bereken eers in de gelijkenige driehoek BF de lenge van de hoogelijn FM: FM 9 Projeeer F loodreh op vlak ABD dan onsaa de driehoek MFF me FM Dan geld os FMF FM 0, FMF 0 FM Dus de hoek ussen de vlakken BF en ABD 0 De afsand van F o AB is en de afsand van F o AB is Dus geld os ( ABD, ABFE) Dus is ( ABD, ABFE ) 9, De hoek die de vlakken ABFE en DFE maken is dan 80 9, 9, 8, 8 d Vershuif ijvooreeld BF wee naar links zoda F samenval me E Sel B is he eeldpun van B Dan is DB + en BE DE Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

10 Dan geld in de gelijkenige driehoek DB E da sin sin DEB DEB, en dus is de hoek ussen BF en DE de (sherpe!) hoek ongeveer e FF, f Projeeer pun E op AB, noem he pun Q Bij opdrah is gevonden da de afsand van F o AB is, dus is ook de afsand EQ Pyhagoras in de rehhoekige driehoek EQB geef EB + 7, 08 a d e f E A B F De rui esaa ui wee gelijkzijdige driehoeken He zijvlak ABFE esaa ui wee gelijkzijdige driehoeken me zijde De hooge is dan Dus is ook de afsand van A o EF gelijk aan Omda alle rien dezelfde lenge heen (ook BD ) is elk zijvlak een gelijkzijdige driehoek me zijde Omda vierhoek ABDE een regelmaig viervlak H is lig pun E oven he snijpun van de hoogelijnen van driehoek ABD D De lenge van A in he ovenaanzih is van de lenge van de hoogelijn in een gelijkzijdige driehoek me zijde, dus vermeerderd me de lenge van de lange diagonaal in de rui E Die lange diagonaal is keer de lenge van een hoogelijn, dus In he ovenaanzih is de afsand van A o de A B projeie van G dus 8 Omda AG 8 en A is E G en is GG Dan geld an AG AG an 9, 8 Die afsand is gelijk aan de afsand van de evenwijdige lijnen A en EG Bij e is al aangeoond da deze afsand 90, is Oefenoes ij hoofdsuk en A E G Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel F G G 7

11 8 Exra oefening ij hoofdsuk a 700 0!! 0! He aanal ominaies vind je door he aanal permuaies door! e delen a a 0 De volgorde is nu nie van elang Dus 0 90!! 8! 0 0 0!!! Je kun di zien als 8 sappen in een rooser me naar rehs en omhoog 8 8 Daarvoor zijn er mogelijkheden Van 0 0 naar zijn er soreverlopen mogelijk Van naar zijn er soreverlopen mogelijk Toaal zijn er mogelijke soreverlopen a mogelijke posodes mogelijke posodes posodes voor adressen a Per vakje kun je wel of nie een gaaje prikken Dus zijn er in eerse insanie 09 vershillende paronen He paroon zonder een gaaje el nie mee Dus zijn er 09 paronen me één of meer gaajes mogelijk Je kies ui vakjes er De volgorde is nie van elang Dus zijn er nu 9 paronen mogelijk In de 9 vakjes moeen dan nog, of 7 gaajes worden geprik Di geef vershillende odes Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

12 Exra oefening ij hoofdsuk a In de derde week gaan er 0 dood Dus is de kans 0 0, 000 Elke week gaan er inseen dood Zo gaan er in de eerse week al 00 inseen dood Als enadering kun je zeggen da deze 00 een halve week heen geleefd Op dezelfde manier heen 0 inseen week geleefd, heen 0 inseen week geleefd, 0 inseen heen week geleefd En heen de laase 80 zo n week geleefd na weken kans 0,0 0,0 0, 0, 0,08 Levensverwahing: 00, + 00, + 0, + 0, + 008,, weken d Van de 80 inseen van wee weken oud zijn gaan er in de week daarna 0 dood Gemiddeld leven die nog een halve week Zo leven er 0 nog anderhalve week en de laase 80 leven gemiddeld nog wee en een halve week De kansen hierop zijn ahereenvolgens: 0 0, ; 0 0, en na + weken kans 0, 0, 0, , 80 De oale levensverwahing van deze 80 inseen is dan + 0, + 0, + 0, 09 9, weken Ze heef vier ess nodig ij de volgorden: LLVV, LVLV en VLLV 8 7 Pesen ( ) 0, a Er zijn vier mogelijke volgorden Pdrie ( ruin) ( 0, 7) 0, 0, 9 P( ) + P() + P( ) ( P( 0) + P( )) ( 0, + 0, 0, 7) 0, 99 P( ) 0, 0, 7 0, 09 a De kans op een goede uis is 0, P( 8 goede) 097, 0, 0 0, P( 9 goede) 097, 0, 0 0, 8 9 en P ( 0 goede ) 097, 0 0, 77 P( 8of meer goede) 0, , 8 + 0, , d P( < 8 goede) P( 8 goede) 0, 997 0, a PABB ( ) PBAB ( ) P( BBA) 0, PABB ( ) PBAB ( ) P( BBA) 0, PABB ( ) 0, 889 ; PBAB ( ) 0, 07 ; P( BBA) 0, dus nie gelijk Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel 9

13 a 0 Exra oefening ij hoofdsuk Maak een ael me daarin he vershil vershil Er zijn paren me vershil 0, 0 me vershil, 8 me vershil, me vershil, me vershil en paren me vershil Dus krijg je de kansverdeling: vershil 0 kans P( Vershilgroer dan ) minimum De kansverdeling is: minimum kans d P( Minimum minsens ) + + Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

14 a Exra oefening hoofdsuk geen effe 0 0 effe Op manieren Er zijn seeds wee uikomsen mogelijk: wel of geen effe d n ; p 0, 7 e P( X ),,, a a X < X 8 X P( < X 8) P( X 8) P( X ) 0, 998 0, 88 0, X X P( X ) P( X ) P( X ) 0, 7 0, 9 0, X X X P( X ) P( X ) P( X ) 0, 7 0, 9 0, Sel X is he aanal zure sinaasappels in de seekproef X is inomiaal verdeeld me n 0 en p 00, P( nie kopen) P( X > ) P( X ) 0, 778 0, E( aanalzuur) 0 0, a Sel X is aanal defee vullingen in een doosje X is inomiaal verdeeld me n 0 en p 00, P( X ) P( X 0) 0, 8 0, Nu geld n 0 en p 00, P( X ) 0, 8 a X is aanal voorsanders n 0 en p 0,70 P( X 7) P( X 7) 0, 89 0, Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

15 Exra oefening ij hoofdsuk Nu Bin(0, p) en P( X 7) P( X 7) > 09, TI: Y Binomdf(0; X, 7) en lees in de ael af wanneer deze kans groer is dan 0,9 asio: Y BINM Bd(7: 0: X) en lees in de aelfunie af wanneer deze kans groer is dan 0,9 In eide gevallen vind je p 07, Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

16 Oefenoes hoofdsuk, en a Voor de gasen zijn 0 plaasen eshikaar en dus zijn er 0! mogelijkheden Di kan op! manieren Laa de gasvrouw als eerse gaan zien Dan kan zij kiezen ui mogelijkheden Daarna de gasheer, die heef geen keuze! De 0 gasen kunnen daarna vrij kiezen Di alles geef 0! 00 manieren a aanal in us ( ) aanal in us ( ) 8 Voor de groe us moe je 8 kiezen ui 8 ewoners Di kan op 00 8, manieren Om zeven egeleiders ui e kiezen kan op 7 8 In oaal kun je dan op , manieren een verdeling maken d De ewoners kunnen in 8! 0, volgorden insappen a Pgoed ( ), , P( goed) 0, P( goed) 0, d e P( goed) 0, P( 0 goed) 0, aanal goed 0 kans 0, 0, 0,0 0,008 0,0000 E( aanalgoed) 0 0, + 0, + 0, 0 + 0, , , 000 E( uiealing per lo) 0, , , 0000, 9 Dus zal hij minimaal,0 per lo laen ealen a werkelijk es 0,00 0,998 ziek gezond 0,8 0, 0,0 0,99 ziek gezond ziek gezond 0,00 0,8 0,007 0,00 0, 0,000 0,998 0,0 0,000 0,998 0,99 0,988 P( verkeerde uislag) P( ziek en es gezond) + P( gezond en es ziek) 0, , 000 0, 00 Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

17 Oefenoes hoofdsuk, en Pes ( gezond en oh ziek) 0, 00 0,, 8 0 Als er mensen onderzoh worden dan zijn er naar verwahing , zieke mensen die e horen krijgen da ze gezond zijn d 0, 00 0, 8 0, 8 + 0, 998 0, 0 0, 0 0, 00 He onderzoek ij mensen geef dan naar verwahing zo n mensen me einduislag ziek a He vullen van de eerse neen kun je zien als een relaief kleine seekproef ui een groe populaie Dan maak he vrijwel nie ui of je die opva als een seekproef me of zonder erugleggen Tegen he eind is he geen seekproef meer ui een groe populaie Er zijn op den duur minder dan 00 appels over Dus dan maak he wel degelijk ui n en p 08, P( X ),,, d P( < X 0) P( X 0) P( X ) 0, 0, 00 0, 9 e P( X < ) P( X 0) P( X ) 0, 0, , 8 a Er zijn 0900, 0 loen verkoh Peprijs, ( dus wins 9) ; P( e prijs, dus wins 7) ; 0 0 P( e prijs, dus wins ) : P( geen prijs, dus wins ) wins w 9 7 kans EWins ( ) , euro Inkomsen: 0 00 Uigaven: Dus is er dan voor de organisaoren euro wins d Sel X is he aanal prijzen da Ellen win Dan is X inomiaal verdeeld me n 8 en p 0 P( X ) P( X ), e n onekend en p 0 Bedenk verder da als P( X ) > 0, 0 da P( X 0) < 0, 90 en geruik di laase en de rekenmahine TI: YBinomdf (X; ; 0) 0 asio: YBINM Bpd(0; X; ) 0 In eide gevallen vind je me de aelfunie n 8 f Vase kosen en prijzen zijn samen alijd 800 euro Wins 000 dus moe er oaal 800 euro inkomsen zijn Di ereik je door 800: 700 loen e verkopen Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

18 Exra oefening ij hoofdsuk a K () f( x) x + 9 x en dus f ( x) x + 9 x x + x Pq ( ) q + q + q en dus P ( q) q q q d f ( x) ( x + )( x 8x) + ( x + x)( 8x 8) e f a x x + 0x 0x+ 8x 8x + 0x 0x 0x x + 0x 80x,,,,, +, dh d ( 7p+ ) p ( p 7) 7 8 p + 0 p p + 9 p + 0 p+ 9 ( 7p + ) ( 7p + ) ( 7p + ) Als he zuursofgehale op 0 daal, moe d Z d ( 0 ) negaief zijn dz d ( 0) onlusie: volgens di model egon he zuursofgehale op 0 inderdaad e dalen De snelheid waarmee de hoeveel zuursof in de luh afneem is 0 m ³ per lier luh per minuu a f ( x) x x x x f ( x) 0 oplossen geef x x 0 De a-formule geef x ± en dus x, of x 0, f (, ), 09 is een minimum en f ( 0, ) 0, 09 is een maximum d Voor de raaklijn geld de vergelijking y ax+ me a f () Di geef y x+ en samen me he pun (, ) geef di + en dus De vergelijking van de raaklijn is y x e Als de helling minimaal is geld f ( x) 0 f ( x) x en x 0 als x a V V l h h h, dus h V d,,,,,,,,, H (), ( ) + ( + )(, ),, +, +, dz ( + 0) ( ) ( + 0) d ( + 0) ( ) ( + 0) h dh d m/s 0 000( + 0) ( ) Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

19 Exra oefening ij hoofdsuk 7 He grondal is 0 a 0 0, 0, 0 0,, 0 78, en d 0 7, 78 a f () e g e () e + + h () 0 ln, 79 d j + () ( ) + ( + ) ln e K ( w) w + w + w ln 0, w ln 0, f R () s ( s+ 9) ln ( s+ 9) ln p p p p g T ( p) ln log p + ln log p + p ln p ln (log a) h V ( a) (log a) a ln0 a ln0 a He funievoorshrif is van de vorm f() g 00 De lijn l gaa door de punen (, 00) en (, 00) Di geef g uur 00 en dus g uur, Op 0 is de hoeveelheid 00, 0 Samen geef di he funievoorshrif fl () 0, He funievoorshrif is van de vorm f() g 00 De lijn m gaa door de punen (, 0) en (0, 00) Di geef g uur 0 en dus g uur, Op 0 is de hoeveelheid 00 Samen geef di he funievoorshrif fm () 00, He funievoorshrif is van de vorm f() g 0 De lijn n gaa door de punen (0, 0) en (, 000) Di geef g uur 000 0, en dus g uur 0, 0, 7 Op 0 is de hoeveelheid 0 Samen geef di he funievoorshrif fn() 0 07 d Zonder e ekenen kun je geen funievoorshrif geven Di kom door de logarimishe shaalverdeling op de y-as a dn 0 000, ln, 9, 0, d dn d ( ) 9, 0, 88, 7 9, 0, 000, 000, 97 9, 0, log, 97, 09 onlusie: in de e week groei de evolking me 000 inwoners per week 0, a N( 0) 00 e, 9 % 0, 087 N e 0, () 00 0, 087 8, 7e 087 0, 087, voor volg N () 8, 7e 8, 0 % per dag 0, , N ( 0) 87, e, % per dag en N ( 00) 87, e 0, 00 % per dag Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

20 Oefenoes ij hoofdsuk en 7 a Voor de raaklijn geld de vergelijking y ax+ me a f ( 0 ) f ( x) x x x x en dus f ( 0) 0 Di geef y 0 x+ en samen me he pun (0, ) geef di De vergelijking van de raaklijn is dus y f ( x) 0 oplossen x x 0 geef xx ( ) 0 en dus x 0 of x He pun (0, ) is een maximum en he pun (, ) minimum f ( x) 0 oplossen me f ( x) x x 0 als x f ( ), dus he uigpun is (, ) a f( x) a( x) + He pun (0, 0) invullen geef de vergelijking 0 a( 0) + en dus 8 a Me he pun (, ) volg dan a( ) + en dus a+ a 8a 9a waarui volg a 9 en di geef 9 f( x) a( x) + He pun (, ) invullen geef de vergelijking a( ) + a+ en dus + a De lijn y x+ 0 is de raaklijn aan de grafiek in he pun (, ), dus er geld f ( ) f ( x) a( x) a( x) Di geef de vergelijking a( ), waarui volg a en dus a en di geef + f ( x) 0 oplossen f ( x) ( x) ( x) f ( x) ( x) 0( x) 0( x ) 0 als x Di geef he uigpun (, ) a d ( + ) 0, 0, ( + ) ( d (( + )) 0, + 0, + 0, 0, 0, 0, + 0, ( + ) ( + ) + + ) 0, 0, ( + ) ( + ) De eenheid van de afgeleide is milligram per lier per uur d 0 oplossen d 0, + 0, 0 als 0, + 0, 0 Di geef 0, 0, en dus 0,, ( + ) en dus of In deze siuaie gaa he om de oplossing onlusie: de maximale onenraie word na wee uur ereik De onenraie is dan 0, 00, milligram per lier De onenraie daal als < 0, en daal maximaal als een minimum heef, dus 0 oplossen ( + ) 0, ( 0, + 0, ) ( + ) 8 ( + ) 0, 0, + 0,, 0, 0,, ( + ) ( + ) 0 ( + ) 0, ( 0, + 0, ) ( + ) 0 als 0, 0,, 0 Delen door 0, geef 8 0, hierui volg ( )( + ) 0 en dus of In deze siuaie gaa he om onlusie: de daling van de onenraie is na uur maximaal Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel 7

21 8 Oefenoes hoofdsuk en 7 a N logn,0,97,,,99 log N,8,,,,8,, De grafiek is een rehe lijn en één van de assen heef een logarimishe shaalverdeling, dus he verand ussen N en is exponenieel d De funie is van de vorm N g De grafiek gaa door de punen (0, 00) en 00 (0, 00 ) Di geef g 0 dagen 00, 8 en dus g, 0 dag 8, Op 0 is de hoeveelheid 00 Samen geef di he funievoorshrif N 00, e f dn 00, ln, d dn d ( 0 ) 00, 0 ln, 90 aeriën per dag a A () 0, ln, 0 v v + N v v ( ) 0 ( ln ) () 9 ln v v ( + ) ( + ) h () ln y x O 0 0 Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

22 7 8a d 0 0, 0, 0,0 y aanal f Er is sprake van exponeniële groei als de grafiek op enkellogarimish papier een rehe lijn is Over de periode van 97 ( ) o en me 978 ( 0) was er ij enadering sprake van exponeniële groei De lijn gaa door de punen (97, 0) en (978, 9) Di geef 9 g jaar 0, en dus g jaar,, 8 Op 0 (he jaar 97) is de hoeveelheid 0 Samen me de groeifaor van opdrah geef di de formule N 0 8, In 00 is 8, in da jaar zou 8 Lelysad N( 8) 0 8, inwoners gehad heen 980 h g 98 Oefenoes ij hoofdsuk en 7 Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel 9

23 0 Exra oefening ij hoofdsuk 8 a De grafiek heef ampliude, periode π en evenwihssand y R () + sin ( p ) + sin ( x, 8) a f ( x) sin( 0, x) 0, sin 0, x g ( x) os ( x) os ( x) h ( x) ( + os x) sin( x) 8sin x ( + os x) d k ( x) osx 0 sin x 8sin x (os x) (os x) sx ( ) asin ( x ), sin π ( x, ) sx ( ) asin ( x ), sin ( x, ) me a s max, π en he eersan s p a f : p π en g : p π 7, dus de periode van de zweving is π π f : p π π π 7 π π en g : p π π f : p π en g : p π 9 π π a f y x π π/ O π/ π π/ π 9 π, dus de periode van de zweving is p π 9, dus de periode van de zweving is 8 π 9 f( x) oplossen me inerse geef x 7, en x 7, f( x) 0 oplossen me al zero geef x 7, Dus is f( x) 0 op π; 7, [ ] a He osinusdeel van he funievoorshrif is minimaal, dus de maximale hooge van he reuzenrad is meer h () 0 sin( 0, ) 0, sin 0, en dus h ( ) sin 0,, meer per seonde Di eeken da he reuzenrad na seonden een (opwaarse) snelheid heef van, m/s De maximale snelheid epalen door h () 0 op e lossen h () os( 0, ) 0, 0, os 0, h () 0 als 0, ± π, ± π, ± π, en dus ± π, ± 7 π, ± π, Deze maximale snelheid is h ( π ) meer per seonde Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

24 Oefenoes ij hoofdsuk en 8 a Voor de raaklijn geld de vergelijking y ax+ me a f ( 0 ) f ( x) x x x x en dus f ( 0) 0 Di geef y 0 x+ en samen me he pun (0, ) geef di De vergelijking van de raaklijn is dus y f ( x) 0 oplossen x x 0 geef xx ( ) 0 en dus x 0 of x He pun (0, ) is een maximum en he pun (, ) minimum f ( x) 0 oplossen me f ( x) x x 0 als x f ( ), dus de oördinaen van he uigpun zijn (, ) a f( x) a( x) + He pun (0, 0) geef de vergelijking 0 a( 0) + en dus 8 a Me he pun (, ) volg dan a( ) + en dus a+ a 8a 9a waarui volg a 9 en di geef 9 f( x) a( x) + He pun (, ) geef de vergelijking a( ) + a+ en dus + a De lijn y x+ 0 is de raaklijn aan de grafiek in he pun (, ), dus er geld f ( ) f ( x) a( x) a( x) Di geef de vergelijking a( ), waarui volg a en dus a en di geef + f ( x) 0 oplossen f ( x) ( x) ( x) f ( x) ( x) 0( x) 0( x ) 0 als x Di geef he uigpun (, ) a d ( + ) 0, 0, ( + ) ( d (( + )) 0, + 0, + 0, 0, 0, 0, + 0, ( + ) ( + ) + + ) 0, 0, ( + ) ( + ) De eenheid van de afgeleide is milligram per lier per uur d 0 oplossen d 0, + 0, 0 als 0, + 0, 0 Di geef 0, 0, en dus 0,, ( + ) en dus of In deze siuaie gaa he om de oplossing onlusie: de maximale onenraie word na wee uur ereik De onenraie is dan 0, 00, milligram per lier De onenraie daal als < 0, de onenraie daal maximaal als een minimum heef, dus 0 oplossen ( + ) 0, ( 0, + 0, ) ( + ) 8 ( + ) 0, 0, + 0,, 0, 0,, ( + ) ( + ) 0 ( + ) 0, ( 0, + 0, ) ( + ) 0 als 0, 0,, 0 Vermenigvuldigen me, geef de vergelijking 8 0, hierui volg ( )( + ) 0 en dus of In deze siuaie gaa he om onlusie: de daling van de onenraie is na uur maximaal Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

25 Oefenoes ij hoofdsuk en 8 a W ( p) os( p) os p+ sin( p) sin p osp osp sin psin p sin( x) 0 os( x) A ( q) os x (sin x) (sin x) G ( x) os x+ x os x sinx os x xsinx os x a f( x) 0 oplossen: sin x 0 als x 0, ±, ±, f ( x) 0 oplossen: f ( x) os x, f ( x) sin x en sin x 0 als x 0, ±, ±, onlusie: de nulpunen en uigpunen van de funie f( x) sin x vallen samen gx ( ) 0 oplossen: sin x 0 of os x 0 als x 0, ±, ±, ±, ±, g ( x) 0 oplossen: g ( x) osx os x+ sinx sin x os x sin x, g ( x) osx sin x sinx os x sinxos x en g ( x) 0 als sin x 0 of os x 0, dus als x 0, ± π, ± π, ± π, ± π, onlusie: de nulpunen en uigpunen van de funie gx ( ) sinx os x vallen samen h ( x) 0 oplossen h ( x) sinxos x en h ( x) osx os x+ sinx sin x os x sin x h ( x) 0 als os x sin x dus als osx ± sin x Di geef de oplossingen x π, x π, x π en x 7 π De oördinaen van de uigpunen van de grafiek van h zijn dus ( π, ), ( π, ), ( π, ) en ( 7 π, ) a f( x) osx os x f is een produ van wee sinusoïden me dezelfde periode en evenwihssand y 0 en is zelf ook weer een sinusoïde f( x) d+ aosx + os x + os x d sin x+ os x sin x+ sin x+ os x sin x+ (sin x+ os x) sin x+ + sin x 7a f '( x) os x en f '( 0) os 0 y ax me a, dus de lijn y x raak de grafiek van f in (0, 0) Als de grafiek van f één snijpun heef me de lijn y ax is da snijpun he pun (0, 0) De helling van de lijn y ax kan dan posiief of negaief zijn Als de helling posiief is, moe gelden a > Als de helling negaief is mag de lijn y ax nie door he pun (,; 0,98) gaan (zie de grafiek hieronder) De helling moe dus kleiner zijn dan y 0 0, 98 x 0, 0, y x O onlusie: de grafiek van f heef één snijpun me de lijn y ax voor a > en a < 0, Vanwege de symmerie is er alijd een oneven aanal snijpunen, dus er es geen waarde van a waarvoor er wee snijpunen zijn Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel

26 8a Bij een sinusoïde hoor een funievoorshrif van de vorm f( x) d + asin x ( ) De evenwihssand d van de zuiger is de lijn y 8 De ampliude a van de zuiger is 8 (de helf van he vershil ussen de hoogse en laagse sand van de zuiger) 00 omwenelingen per minuu eeken da omweneling 0 0, seonde 00 duur, dus p 0, De vershuiving naar rehs is e vinden door de funie f( x) 8+ 8sin π x e 0, ploen en he snijpun me de lijn y e epalen Di lever 00, Samen geef di de formule voor de hooge van de zuiger h 8+ 8sin π ( 00, ) 0, dh 8 os π ( 00, ) π os π ( 00, ) en d 0, 0, 0, 0, dh d () os π (, ) 0, , De snelheid van de zuiger voor is 0 m/s, da wil zeggen de zuiger evind zih op he hoogse of laagse pun van zijn eweging (In di geval he hoogse pun) d h () 0 oplossen h () π sin π ( 00, ) π π sin π ( 00, ) 0, 0, 0, 0, 0, h 0 als sin π ( 00, ) 0 Di geef π ( 00, ) 0, ±, ±,, dus 0, 0, 00, 0; ± 0, ; ± 0, ; en dus ; 00, ; 0, ; 0, ; Invullen van 00, in d h geef de maximale snelheid 8,78 m/s omhoog d Oefenoes ij hoofdsuk en 8 Moderne wiskunde 9e ediie uiwerkingen havo D deel