Omrekenen : Sinus, cosinus en tangens als Goniometrische functies. Overzicht van cyclometrische functies. o Arctangens

Transcriptie

1 1 Formules : update : 06/02/2017 Omrekenen : Figuren: cirkel Wiskunde : Exponentiële groei. Cartesiaanse vergelijking. Formularium goniometrie. Sinus, cosinus en tangens als Goniometrische functies. Overzicht van cyclometrische functies. o Arctangens Mechanica : Kinematica o Een constante snelheid : ERB o Horizontale worp o Worpafstand o De schuine worp o Stel de formules op om de coördinaten van een culminatiepunt te zoeken o Rotatiebeweging o Splitsing van een vlakke beweging in een translatie en een rotatie beweging Sterkteleer o Evenwichtsvoorwaarden o Toelaatbare spanning. Wijze van belasting. Fysica : De soortelijke smeltwarmte. WarmteCapaciteit De soortelijke warmtecapacitiet Thermodynamische processen.

2 2 Elektriciteit : Opgewekte spanning.

3 3 Omrekenen : Om snelheid om te rekenen van km/h naar m/s : 1 m s = 1 m 1 s = km = km 3600 h h Omrekeken van temperatuur : F = C (1,8) + 32 F 32 C =. 1,8 1 K = C + 273,25 Fahrenheit (F). Celsius (C). Kelvin (K).

4 4 Figuren : Balk: A = 2(L. B + L. H + H. B) V = L. H. B Cirkel: Diameter = 2. straal Oppervalkte : π. r² A = π. d² 4

5 5 Wiskunde : Exponentiële groei. N = b g t N b g t Hoeveelheid Beginwaarde Groeifactor per tijdseenheid Cartesiaanse vergelijking : De grafiek van een tweedegraadsfunctie : f(x) = ax 2 + bx + c is een parabool. Sinus, cosinus en tangens als Goniometrische functies. (16/01/2017) Overzicht van cyclometrische functies. Inleiding : Arccosinus : De inverse van de cosinus is de arccosinus. Heeft als bereik [0, ]. cos ( π 2 ) = 2 2 arccos ( 2 2 ) = π 4

6 6 Arcsinus : De inverse van de sinus is alleen maar een functie als je het goede deel van de sinus gaat spiegelen. Let op het beperkte domein [-1,1] en het beperkte bereik en werk met radialen. De arcsinus heeft als bereik [ π 2, π 2 ] sin ( π 6 ) = 1 6 arcsin (1 2 ) = π 6

7 7 Arctangens : De inverse van de tangens is alleen maar een functie als je het goede deel van de tangens gaat spiegelen. De Arctangens heeft geen beperkt domein maar wel weer een beperkt bereik. De arctangens heeft als bereik [ π 2, π 2 ] domein : <, + > tan ( π 4 ) = 1 arctan(1) = π 4 Verbanden. Complemenaire hoeken. arccos x = π arcsin x 2 arccot x = π arctan x 2 arccsc x = π arcsec x 2 Tegengestelde hoeken. arcsin( x) = arcsin x

8 8 arccos( x) = π arccos x arctan( x) = arctan x arccot( x) = π arccot x arcsec( x) = π arcsec x arccsc( x) = arccsc x Afgeleiden : d(arcsin x) d π d(arcsos x) d π = = 1 1 x² 1 1 x² d(arctan x) d π 1 = 1 + x²

9 9 Eigenschappen : Stelling: Voor all x [ 1, 1]geldt acsin(x) + arccos(x) = π 2 arcsin( x) + arccos( x) = arcsin(x) + π arccoc(x) = π π 2 = x 2 Stelling :

10 10 arctan(1) + arctan(2) + arctan(3) = π

11 11 Mechanica. Kinematica: Krachten : Hoofdbeginsel van de mechanica : F = m. a Gravitatiewet : F = G. m 1. m 2 r 2 Gewicht : Snelheid : v gem = x t [v = m s ] De afstand : x. tijdsinterval : t. Versnelling : a = v t Nagatieve uitkomst betekent vertraging. Een constante snelheid : ERB. v = v 0 = c te x = v 0. t + x 0

12 12 Horizontale worp: De snelheid en de verplaatsing in de x-richting zijn : v x = v 0 s x = v 0. t Door de aardversnelling g =9,81 m/s², oondergaat de bal in verticale richting een eenparige veranderlijke beweging. De snelheid en de verplaatsing in de y-richting zijn : v y = v 0y + a y. t v = g. t s y = s 0y + v 0y. t + a y + t 2 2 g. t2 s y = h 0 = 2 Met : a y = g v 0y = 0 s 0y = h 0 Worpafstand: Nij het oplossen van opdrachten pas je altijd de basisvergelijkingen toe in x- en y-richting. v = v 0 + a. t v 0x = v 0y v y = v oy g. t a + t2 s x = v 0x. t g. t2 s = s 0 + v 0. t + s 2 y = h 0 + v oy. t 2

13 13

14 14 De schuine worp : Basisvergelijking: v x = v 0. cosα 0 v y = v 0. sin α 0 g. t s x= v 0. cos α 0. t Worpafstand: s y = 0 m Culminatiepunt: T, t y = 0 s y = h 0 + v 0. sin α 0. t g.t2 2

15 15 Stel de formules op om de coördinaten van een culminatiepunt te zoeken (s xc, s yc ). Bij het hoogste punt : v y = 0. v y = v 0. sin α 0 gt 0 = v 0. sin α 0 gt t c = v 0. sin α 0 g s x = v 0. cos α 0. t Bij culminatiepunt : t c = v 0. sin α 0 g s xc = v 0 2. cos α 0. sin α 0 g s y = v 0. sin α 0. t g. t2 2 s yc = v 0. sin α 0. v 0. sin α 0 g g ( v 0. sin α 0 g ) 2 s yc = v 0 2. sin 2 α 0 g v 0 2. sin 2 α 0 2g s yc = v 0 2. sin ² α 0 2g Rotatiebeweging. ω = V A OA = V B OB OA en OB : poolstralen.

16 16 Splitsing van een vlakke beweging in een translatie en een rotatie beweging. V A + V AB = V B V OA + V AB = V OB Sterkteleer. Evenwichtsvoorwaarden : F = 0 Of F X = 0 F F = 0 M = 0 M A F = 0 Gelijkmatige belasting : F = Q. L Spanning : Spanning = kracht oppervlakte σ t = F N A 0 [ N mm 2 = MPa ]

17 17 Treksterkte : R m = F m N [ A o mm 2 = MPa ] Maximale kracht Fm N Oppervlakte A mm² Treksterkte Rm Mpa, N/mm² Rek : rek na de breuk = verlenging na de breuk oorspronkelijke meetlengte ε = L L 0 = L u L 0 L 0 rek, relatieve verlenging e epsilon Absolute Verlenging DL m lengte - oorsprong L0 m lengte - na uittekking Lu 0 Proportionaliteitsgrens : Wet van Hooke. σ = E. ε

18 18 0,2 % - rekgrens. R p 0,2 = F 0,2 A 0 0,2 % - rekgrens RP0,2 Mpa, N/mm² (Pa) Kracht bij 0,2 % grens F0,2 N Oppervlakte A mm² Spanningsdoorsnde : A s = π 2 4. (d k + d f ) 2 d k = kermdiameter d f = flankendiameter Toelaatbare spanning. Veligheidsfactor. V = 2 10 toelaatbare trekspanning = σ t = R m v treksterkte veiligheidsfactor σ t = R e v e

19 19 Wijze van belasting : Statische belasting lastgeval I. σ = R m v σ = R e v e Golvende belasting lastgeval II. σ = 2 3. R m v σ = 2 3. R e v e Wisselende belasting Lastgeval III. σ = 1 R m 3 v σ = 1 3 R e v e

20 20 Te Onthouden : Trek-drukspanning. kracht Spanning = oppervlakte σ t = F N A 0 [ N mm 2 = MPa ] L = F N. L 0 E. A 0 σ t = R m v of σ t = R e v e Wet van Hooke: σ = E. ε ε = L L 0 Verlenging : L = F N. L 0 E. A 0 σ t = R m v σ t = R e v e of Invloed van eigen gewicht. Verlenging van een lange staaf. F zw = A 0 L 0 ρ g σ t = F + F zw A 0 = F A + L 0. ρ. g L = (F F zw). L 0 E. A 0 Veiligheidsfactor. toelaatbare trekspanning = treksterkte veiligheidsfactor

21 21 σ t = R m v v = 2 10 σ t = R e v e v e = Wijze van belasting Statische belasting lastgeval I. σ = R m v σ = R e v e Golvende belasting lastgeval II. σ = 2 3. R m v σ = 2 3. R e v e Wisselende belasting Lastgeval III. σ = 1 R m 3 v σ = 1 R e 3 v e Grootheid Symbool Eenheid

22 22 Toelaatbare trekspanning σ t MPa Treksterkte R m MPa Elasticiteitsgrens R e MPa Veiligheidsfactor v(nu) = 2 10) Veiligheidsfactor v e (= 1.5 8) Normaalkracht F N N Oppervlakte A 0 m² Eigen gewicht F zw N Absolute Verlenging L M (of mm) Elasticiteitsmodulus E MPa Trekspanning σ t MPa Massadichtheid ρ Kg/m³ Oorspronkelijke lengte L 0 M (ofmm) Kracht F N sterkteberekeningen. o Ontwerpberekeningen : σ = ρ o Controleberekeningen σ < σ De contructie kan de krachten goed opvangen en ze voldoet aan de opgelegde criteria. σ < σ < R m De sonstructie voldoet niet aan de opgelegde criteria; er kan ook blijvende vervorming optreden σ > R e σ > R m Er treedt breuk op. Afschuiving. τ s = F D A Grootheid Symbool Eenheid Schuifspanning τ s Mpa Dwarskracht F D N Oppervlakte A mm² FYSICA

23 23 WarmteCapaciteit C. Eenheid warmtecapaciteit = eenheid warmte eenheid temperatuur J K De soortelijke warmtecapacitiet c. Het is de warmte die nodig is per graad en per massa eenheid. soortelijke warmtecapacitiet = eenheid warmte eenheid massa. eenheid temperatuur J kg C of J kg. K Q = m. c T Soortelijke smeltingswarmte. Q m of Q m = Cte De waarde van de constante is afhankelijk van de aard van de stof. De uitdrukking Q is een kenmerkend voor de warmte die een stof opneemt om van vast naar m vloeibaar toestand over te gaan. Specifieke smeltwarmte van een stof : L s = Q m Ze geeft de warmtehoeveelheid aan, die nodig is om de massaeenheid van die stof te doen smelten. Q = warmtehoeveelheid. De soortelijke smeltwarmte. Q = L s. m [ J kg ] De warmte Q, nodig om de massa m van een stof met soortelijke smeltingswarmte L s te laten smelten. L s = soortelijke smeltwarmte. Q = De latente warmte. m = massa.

24 24 Geheel analoog definïeert men de soortelijke stollingswarmte, die gelijk is aan de soortelijke smeltingswarmte. Q = L s. m Thermodynamische processen. F Kracht A Doorsnede P Druk x Elementaire afstand s Afstand van de verplaatsing van het m systeem ten gevolge van de kracht F V volume m³ Q (toegevoerde) warmte die het systeem ontvangt van zijn J omgeving U De potentiële energie. De totale inwendige energie C V c v de soortelijke warmte van het gas bij gelijkblijvend volume m De massa van het gas k Een constante die afhankelijk is van het quotiënt van de soortelijke warmte bij respectievelijk gelijkblijvende druk en gelijkblijvende volume V d Volume van de damp V V Volume van de vloeistof L v De soortelijke verdampingswarmte J/kg R U Inwendige energie van het systeem J S Entropie: de afname van bruikbare energie W arbeid J Arbeid geleverd door een gas. F = p A W = F x = p A x W = p V W = F s

25 25 Isobaar proces. Tijdens het uitzetten van het gas blijft, de druk constant. W = F (x2 x1) = p A ( x2 x1) W = p (V 2 V 1 ) W = p (V d V v ) De hoeveelheid warmte die nodig is voor de verdamping: Q = L v m En uit de eerste hoofdwet volgt dan Q = U + W U = Q W Q = U 2 U 1 + W L v m = U d U v + p (V d V v )

26 26 Isotherm proces. Is een proces waarbij de temperatuur constant blijft. Bij dezelfde teperatuur zal een volumevergroting samengaan met een drukverlaging. W = p 1 V 1 + p 2 V 2 + p 3 V 3 + Q = U + W Isochoor proces. Bij dit proces blijft de volume constant, er wordt dus geen arbeid geleverd. Geïsoleerd systeem. Q = U 2 U 1 Q = m C v (T 2 T 1 ) W = Q Adiabatische processen Een proces waarbij er geen warmte wordt uitgeleverd met de omgeving noemen we een adiabatisch proces Q = 0 Het systeem kan zelf wel arbeid op zijn omgeving leveren en omgekeerd (ontvangen). U 2 U 1 + W = 0 Bij adiabatische processen zal de geleverde arbeid uitsluitend afkomstig zijn van de vermindering van de inwendige energie. Zet een lichaam uit : W > 0 => U 2 U 1 < 0 De inwendige energie van het lichaam daalt. Wordt het lichaam samen gedrukt : W < 0 => U 2 U 1 > 0

27 27 De inwendige energie stijgt. De eerste hoofdwet van de thermodynamica. Q = U + W Q = U 2 U 1 + W Ideaal gas : U is enkel afhankelijk van de temperatuur. U = f(t) Reëel gas : Volume speelt een rol. U = f(v, T)

28 28 Elektriciteit. Opgewekte spanning. e = E m. sin(ω. t) E m. sin α E Elektromotorische kracht (veldsterkte)