3. Het gebruik van een grafische rekenmachine van een goedgekeurd type is toegestaan.

Transcriptie

1 vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Toets: Kwantitatieve methoden- Statistics II Opleiding: premasterprogramma voor Business Administration Vakcode: Datum: 17 december 2008 Aanvang: uur Tijdsduur: 2 uur Opmerkingen: 1. Opgave1isvanhetkortantwoordtype(met10vragen),deopgaven2t/m4zijn open vragen. Dit tentamen telt in totaal 9 pagina s. Verder krijgt u een aantal tabellen en formulebladen uitgereikt. Na afloop van het tentamen dient u de detabellenenformulesweerinteleveren. Deopgavenmagubehouden. 2. Bij de beantwoording van de open vragen moet er voldoende toelichting of uitwerking worden verstrekt. Alleen een uitkomst is beslist niet voldoende. 3. Het gebruik van een grafische rekenmachine van een goedgekeurd type is toegestaan. 4. Dit tentamen zal behoudens calamiteiten op 18 januari 2008 zijn nagekeken. Op 23 januari 2008 zal gelegenheid tot inzage worden gegeven om uur. De precieze gegevens over deze de inzage zullen middels een mededeling op Blackboard bekend worden gemaakt. 5. De normering van de vraagstukken is als volgt: opgave 1 2 3a 3b 3c 4a 4b 4c 4d 4e 4f cadeau punten

2 The first question is a short answer question. You should answer this question on a separatesheetofpaper(handedoutatthebeginning)bywritingdownattheproper position the correct answer, for instance 1A-3.234, 1B-2.121,..., etc. Any explanations willbeignored. Handinthisseparatesheetfoldedwithintheotherpapersyouhandin. On all papers include your name and student number. You start with a total of 25 credits. For short answer questions you get a penalty of 2 1 creditsforwrong or skippedanswers. Yourminimumpossibletotalscoreonthis 2 question is 0 points. Opgave 1 StambijdevragenA)totenmetC)Bijdezevragendientudemaximalenauwkeurigheid te hanteren die met de relevante tabel mogelijk is. Bijeenofandertoetsingsprobleem(α=0.05)moetdehypotheseH 0 :M D 0worden getoetst tegen H 1 : M D < 0. (De grootheid D geeft hierbij de verschilscore aan bij gepaarde waarnemingen en M staat voor het begrip mediaan.) A) We beschikken over 9(gepaarde) waarnemingen en letten steeds op de verschilscore. We gebruiken de tekentoets (Sign Test) en gebruiken als toetsingsgrootheid X het aantalpositieveverschillen. Geefindevormvaneeninterval(X AofX A)aan wanneer de nulhypothese moet worden verworpen. Er moet derhalve een beslissing worden genomen welk van beide intervallen aan de orde is en tevens welke waarde A heeft. Het interval is: (A heeft een numerieke waarde). B) Bijdezevraagwillenweinplaatsvande tekentoets (zoalsbijvraaga))de rangtekentoets ( Wilcoxon Signed Ranks Test ) gebruiken. De tabelwaarde nodig om dit toetsingsprobleem(gebaseerd op de gebruikelijke toetsingsgrootheid) op te lossen is gelijkaan: (numeriekewaarde). C) We beschikken nu over 36(gepaarde) waarnemingen en willen opnieuw de Signed Ranks Test gebruiken. De tabelwaarde nodig om dit toetsingsprobleem(gebaseerd op de gebruikelijke benaderende toetsingsgrootheid) op te lossen is gelijk aan: (numeriekewaarde). D) We wensen te onderzoeken of voor een of andere onderzoekgrootheid (denk aan bijvoorbeeld inkomens) de mediane waarden van deze onderzoekgrootheid voor zes verschillende EU-landen aan elkaar gelijk zijn tegen het alternatief dat dit niet zo is (α=0.01). Wewensengebruiktemakenvande Kruskal-WallisRankTest. Voor welke waarden van de gebruikelijke toetsingsgrootheid hoeven we de nulhypothese nietteverwerpen? (Geefuwantwoordindevolgendevorm: X >AofX <Aof A < X < B, waarin X de te gebruiken toetsingsgrootheid is en A en/of B door u bepaald moeten worden (numerieke waarde(n), 3 cijfers achter de komma.) De gevraagdeuitkomstis:. 2

3 E) Voor een of andere altijd positieve onderzoekgrootheid wordt onderzocht of de mediane waarden van deze onderzoekgrootheid voor twee verschillende populaties A en Baanelkaargelijkzijntegenhetalternatiefdatditnietzois. Desteekproevenuit dezepopulatiesgevenweaanmet{x 1,x 2,...,x 12 }en{y 1,y 2,...y 15 }. Verwerking met behulp van een computerprogramma leidt tot de volgende output. Ranks Mean Sum of SCORE N Rank Ranks Score A 12 10, B 15 16, Total 27 Test Statistics b Score Mann-Whitney U 48 W ilcoxon W 126 Z -2,0494 Asymp. Sig. (2-tailed) 0,0404 Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] a a. Not corrected for ties. b. Grouping Variable: SCORE Vervolgens blijkt dat men niet geïnteresseerd is in de grootheid zelf maar in het kwadraat. Ditbetekent datde steekproeven haddenmoeten zijn {x 2 1,x 2 2,...,x 2 12} en {y 2 1,y 2 2,...y 2 15}. Deze gekwadrateerde gegevens worden opnieuw verwerkt met het computerprogramma. De p value is gelijk aan: (numerieke waarde, 4 cijfers achter de komma). StamvoordevragenF)t/mJ). Een bedrijf dat educational software verkoopt claimt dat zijn software meer dan andere methoden helpt bij het verbeteren van de leesvaardigheid van basisschool leerlingen. De directeur van een bepaalde basisschool wil eerst onderzoeken of de claim wel gerechtvaardigd is en krijgt toestemming een onderzoekje te doen onder zijn eigen leerlingen. Er wordt aselect een Treatment groep en een Controle groep geselecteerd en beide groepen krijgen volgens het gewone rooster 8 weken les, maar de Treatment groep krijgt les met behulp van de nieuwe software terwijl de Controle groep op de traditionele manier les krijgt. Aan het einde van de 8 weken worden alle leerlingen onderworpen aan een leestest en wordt hun score (op schaal ) genoteerd (hoger is beter). Neem waar nodig aan, tenzij anders is aangegeven, dat beide populaties ongeveer normaal verdeeld zijn. Verwerking van de gegevens met behulp van een computer programma leidt o.a. tot de volgende output. Std. Deviation Std.Error Mean Group N Mean Score Treatment 10 62,2000 7,8000 2,4666 Controle 13 52, ,2000 3,9384 Score Levene's Test for Equality of Variances t-test for Equality of Means Sig. (2-tailed) Mean Difference Std. Error Difference F Sig. t df Equal Variances assumed 3,314 0,0802 2, , ,2000 4,9999 Equal Variances not assumed 2, ,30 0, ,2000 4,6470 3

4 Ranks Mean Sum of SOFTWARE N Rank Ranks Score Treatment 10 15, Controle 13 9, Total 23 Test Statistics b Score Mann-Whitney U 95 W ilcoxon W 150 Z 1,8605 Asymp. Sig. (2-tailed) 0,0628 Exact Sig. [2*(1-tailed Sig.)] a a. Not corrected for ties. b. Grouping Variable: SOFTW ARE F) Neemwelaan zonderderedelijkheidvandieaannameopgrondvanbovenstaande outputnategaan datdevariantiesinbeidepopulatiesgelijkzijn. Indien men op grond van de gegevens wil toetsen H 0 : µ Tr = µ Contr tegen het alternatiefh 1 :µ Tr µ Contr,danisdep valuegelijkaan: (geefeenzo preciesmogelijknumeriekeintervalzoalsbijvoorbeeldp<0.005of0.01<p<0.025 of0.02<p<0.05ofp>0.50,etc. afhankelijkvandeverstrektetabellen). G) Neem niet aan zonder de redelijkheid van die aanname op grond van bovenstaandeoutputnategaan datdevariantiesinbeidepopulatiesgelijkzijn. IndienmendenulhypotheseH 0 :µ Tr µ Contr 5wiltoetsentegenhetalternatief H 1 : µ Tr µ Contr > 5, dan is de berekende waarde van de t statistic gelijk aan: (numerieke waarde, 3 cijfers achter de komma). H) Neem niet aan zonder de redelijkheid van die aanname op grond van bovenstaandeoutputnategaan datdevariantiesinbeidepopulatiesgelijkzijn. Indien men een 95% betrouwbaarheidsinterval wil maken voor de grootheid µ Contr µ Tr,danisdebovengrensvanditintervalgelijkaan: (numerieke waarde, 4 significante cijfers). I) Indien de directeur op grond van bovenstaande output bij een onbetrouwbaarheid van5%wiltoetsenh 0 :σ 2 Tr=σ 2 Cont tegenhetalternatiefh 1 :σ 2 Tr σ 2 Cont,danis op grond van deze computeroutput een statistic te berekenen met een verdeling die in de aan u uitgereikte tabellen staat. De kritieke waarde van het verwerpingsgebied of de grootste van de kritieke waarden indien het verwerpingsgebied uit meerdere stukken bestaat is gelijk aan: (numerieke waarde, 2 cijfers achter de komma). J) Veronderstel dat de directeur niet de aanname wil maken dat de scores normaal verdeeld zijn, maar andere aanname s(indien nodig) maakt. AlshijopbasisvanbovenstaandeoutputwiltoetsenH 0 :µ Treat µ Contr tegenhet alternatiefh 1 :µ Treat >µ Contr,danisdep valuegelijkaan (numerieke waarde, 4 significante cijfers). 4

5 Important Note. For each open question you must make clear how you come to your conclusion. For hypothesis testing problems the safest approach is to follow the 5-steps procedure. In any case you must at least state the hypotheses involved, the test statistic, its distribution underh 0,theassumptionsyoumake,whentoreject(largeand/orsmallvalues),andthe valuescomputedfromthesampleorreadfromthecomputeroutputyouusetodrawyour conclusions. If you introduce non-standard notation, you must define its meaning. Opgave 2 Een(bijles)docent wil weten of regelmatige Transcraniële Magnetische Stimulatie(TMS) (zegmaar: meteenmagneetrondjehoofdzwaaienomdeelektrischestroompjesinde hersenen te beïnvoeden) invloed heeft op het leren van statistiek. (Ook een mobieltje waarmee een gesprek gevoerd wordt zendt trouwens(hoogfrequente electro-)magnetische velden uit.) Het zou daarbij kunnen zijn dat sommige mensen s ochtends minder wakker zijndanlateropdedag. OokdatzouheteffectvanTMSkunnenbeïnvloeden(aaneen half slapend brein valt meer of misschien juist wel minder te beïnvloeden dan aan een alert brein). De docent gaat ervan uit dat zijn studenten opgevat mogen worden als een aselecte steekproef uit de grote populatie van personen die statistiek zouden willen leren. Hij formeert daarom enkele aselect gekozen groepen en laat ze tijdens het leren voor het vak op verschillende manieren studeren. De hele groep doet tenslotte tentamen en belt de docent enige tijd later op om te vertellen of ze wel of niet geslaagd (gezakt) zijn. De docent verwerkt keurig alle gegevens en komt tot de samenvatting hieronder. GeenTMS TMS sochtends TMS smiddags TMS savonds Geslaagd Gezakt ToetsdebeweringdatergeenenkelerelatieistussenhetaldannietondergaanvanTMS, in welke vorm dan ook, en de slaagkans tegen het alternatief dat er wel een relatie is. Gebruikα=5%. 5

6 Opgave 3 Een bijlesdocent wil weten of regelmatige Transcraniële Magnetische Stimulatie(TMS) (zegmaar: meteenmagneetrondjehoofdzwaaienomdeelektrischestroompjesinde hersenen te beïnvoeden) een positieve invloed heeft op het leren van statistiek. Hij gaat ervan uit dat zijn studenten opgevat mogen worden als een aselecte steekproef uit de grote populatie van personen die statistiek zouden willen leren. Hij formeert daarom enkele aselect gekozen groepen en laat ze tijdens het leren voor het vak op verschillende manieren studeren. Groep I is de controle groep en studeert zoals ze altijd doen(zonder magneten naar de docent aanneemt). Groep II laat hij tijdens het studeren bij bewegende magnetenzittenengroepiiikrijgteenmagneetindehanddiezetijdenshetstuderenaf en toe langs hun hoofd moeten bewegen. Aangezien het vooral een experimentele situatie betreft waarin mogelijke effecten onderzocht worden, worden de groepen verder opgesplitst naar het tijdstip(time) waarop ze studeren in een ochtendgroep(a), een middaggroep (B) en een avondgroep(c). De hele groep doet tenslotte tentamen en de docent verwerkt zelf de uitslagen(op schaal 10 tot 100) met behulp van een computerprogramma. Enige ouput is hieronder weergegeven. Vooralletoetsenindezevraagdientuα=5%tehanteren. Table 1: Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: Score Source Corrected Model Intercept TMS Error Total Corrected Total Type III Sum Mean of Squares df Square F Sig. 646,047 a 2 323,023 3,145, , , ,03, , ,023 3,145, , , , , a. R Squared =,208 (Adjusted R Squared =,142) Dependent Variable: Score Source Corrected Model Intercept TMS Time TMS * Time Error Total Corrected Total Table 2: Tests of Betw een-subjects Effects Type III Sum Mean of Squares df Square F Sig. 1705,800 a 8 213,225 2,731, , , ,84, , ,023 4,137, , ,563 5,220, , ,157,783, , , , , a. R Squared =,548 (Adjusted R Squared =,348) 6

7 Multiple Comparisons Dependent Variable: Score Tukey HSD (I) TMS None Automatic By Hand (J) TMS Automatic By Hand None By Hand None Automatic Mean Difference Std. (I-J) Error Sig. 5,0333 4,165,464 11,9333* 4,165,027-5,0333 4,165,464 6,9000 4,165,249-11,9333* 4,165,027-6,9000 4,165,249 Based on observed means. *. The mean difference is significant at the,05 level. Tukey HSD a,b TMS By Hand Automatic None Sig. Score Subset N , , , ,2778,249,464 Means for groups in homogeneous subsets are displayed. Based on Type III Sum of Squares The error term is Mean Square(Error) = 78,079. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 9,000. b. Alpha =,05. Between-Subjects Factors TMS Time 1,00 2,00 3,00 1,00 2,00 3,00 Value Label N None 9 Automatic 9 By Hand 9 Morning 9 Afternoon 9 Evening 9 a) Beschrijf de modellen die voor de gegevens van toepassing zijn en die corresponderen metdecomputeroutput Table1 en Table2. Geefdebetekenisvanengebruikde door u gehanteerde symbolen voor zover van toepassing in alle volgende deelvragen. b) In de grafiek Estimated Marginal Means lijkt duidelijk sprake te zijn van interactie. Geef de praktische betekenis van de term interactie aan, en geef kort aan waarom de grafische observatie wel of niet overeenstemt met de overige computerouput of datdaarverdernietsovertezeggenis. Opmerking: als u hier een statistische toets uitvoert, dan is een beschouwing over de relevante p value voldoende en is een 5-stappenplan niet nodig.. c) Toetsof toepassingvantmsinvloedheeftopde scores. Formuleerzelfdebijbehorende hypothesen in termen van de symbolen die u eerder bij de modelbeschrijving hebt gehanteerd. Geef indien relevant ten slotte ook een post hoc analyse en doe een aanbeveling aan auteurs van boeken over didactische hulpmiddelen. 7

8 Opgave 4 Het bedrijf Educative Technologies heeft een nieuwe modieuze helm ontwikkeld waarin magneten zitten die zelf in de helm kunnen bewegen. Deze helm is ontwikkeld om de invloed van Transcraniële Magnetische Stimulatie(TMS) (het beïnvloeden van de hersenen door middel van wisselende magnetische velden) te onderzoeken. Omdat TMS nog niet geheel onomstreden is, is het ook van belang te onderzoeken of stimulatie werkt die op andere wijze teweeggebracht wordt. Een free-lance medewerker van het bedrijf is ook bijlesdocent statistiek en heeft voldoende studenten tot zijn beschikking die opgevat mogen worden als een aselecte steekproef uit de grote populatie van personen die statistiek zouden willen leren. Neem aan dat de (al dan niet vermeende) invloed op het leren van statistiek hetzelfde is als voor andere (cognitieve) vakken. Behalve de invloed van magnetische stimulatie door middel van de nieuwe helm lijkt het ookvoordehandteliggenomhetaantalurenmeetetellendatdooreenpersoonopdeze wijze doorgebracht wordt met het leren voor het vak. Samenvattend zijn de volgende variabelen van belang: Y tentamencijfer in(op schaal ) X 1 aantalurendatvoorhetvakgestudeerdwordt(inuren) X 2 =1(0)alswel(geen)TMSheeftplaatsgevondenm.b.v. dehelm X 3 =1(0)alswel(geen)TMSheeftplaatsgevondenopanderewijze De docent formeert enkele aselect gekozen groepen en laat ze tijdens het leren voor het vak op de aangegeven verschillende manieren leren. Hij houdt precies bij hoeveel tijd iedere persoon voor het vak studeert en na afloop van het tentamen noteert hij de behaalde score. Verwerking met behulp van een computerprogramma leidt tot ouput waarvan het volgende hieronder is weergegeven. ANOVA df SS MS F Significance F Regression , , ,3688 2,10596E-09 Residual , ,65862 Total ,95 Coefficients Std. Error t Stat P-value Intercept 20,0076 3,9361 5,0831 0,0001 X1 0,9288 0, ,9713 0,0000 Dependent Variable: Score ANOVA df SS MS F Significance F Regression , ,418 45, ,73728E-08 Residual , ,23098 Total ,95 Coefficients Std. Error t Stat P-value Intercept 14,8250 4,6329 3,1999 0,0056 X1 0,9445 0, ,6239 0,0000 X2 8,2540 4,3090 1,9155 0,0735 X X3Variable 4 #N/A 5,5172 #N/A 4,4595 #N/A 1,2372 #N/A 0,2339 Dependent Variable: Score 8

9 Gebruik bij alle toetsen en betrouwbaarheidsintervallen een onbetrouwbaarheid van 5% tenzij anders vermeld. Vermeld ook in alle gevallen het model waarin u toetst. a) De output correspondeert met twee verschillende modellen. Omschrijf beide modellen en geef aan welk model met welke tabel(len) correspondeert. Geef tevens aan welke veronderstellingen per model gemaakt zijn. Geef zo mogelijk ook de geschatte modellen weer. Wegevenvanbeidemodellenhetmeestalgemenemodelmet ModelA aan(ditis het model met de meeste verklarende variabelen!). b) Bepaal de waarde van R 2 in Model A en geef een interpretatie van deze waarde, inclusief een beoordeling of dit een goede waarde is of niet. c) Geef indien mogelijk een puntschatting van het tentamencijfer van een student die 70 uur onder toepassing van TMS via de helm gestudeerd heeft. d) Eénvandestudentenheeft50uurvoorhettentamengestudeerdenvraagtzichop grondvanmodelabezorgdafofhijhetwelgaathalen. Hijgaathetvermoedelijk halen als de werkelijke coëfficiënt van X 1 groter is dan Toets de hypothese datdecoëfficiëntvanx 1 maximaalgelijkisaan0.80tegenhetalternatiefdatdeze coëfficiëntgroterisdan0.80. e) Het is natuurlijk interessant om te weten of TMS al dan niet invloed heeft op de scores. Toets de (simultane!) hypothese dat de coëfficiënten van X 2 en X 3 beide gelijk zijn aan nul tegen de alternatieve hypothese dat minstens één van de coëfficiënten ongelijk nul is. f) Neemongeachtdeuitslagbijonderdeele)aandatTMSwerkt. Deleidingvanhet bedrijfisgeïnteresseerdtewetenoftmsviadehelmeenandereinvloedheeftdan TMSzonderhelm. Geefaanhoeditgetoetstzoukunnenworden,engeefzonodig ook aan welk model (bij dezelfde gegevens) geschat zou moeten worden om deze toets te kunnen uitvoeren. Opmerking: als u datatransformaties nodig hebt, dan mag dat beschouwd worden als een model voor dezelfde gegevens. 9

10 Premaster Statistics II 17 December 2008 (subject to change without notice) Question 1 1A-X 1 P(X 1)=0.0195butP(X 2)=0.0898>α 1B- 8 or 37 depending on counting the positive or negative ranks 1C- ±1.645 normal approximation, ±1.64 or ±1.65 is also OK 1D-0 H<15.086orH< useχ 2 5 distribution 1E F-0.05<p val <0.10 uset 21 distribution ( 5) 1G- ±1.119 or H = =(x Contr x Tr isnegative) = isalsoOK 1I or 3.87 depending on Test Statistic F 1J

11 Question 2 Premaster Statistics II 17 December 2008 Observed frequencies: GeenTMS TMS sochtends TMS smiddags TMS savonds Geslaagd Gezakt Expected frequencies: GeenTMS TMS sochtends TMS smiddags TMS savonds Geslaagd Gezakt Cell contributions: GeenTMS TMS sochtends TMS smiddags TMS savonds Geslaagd Gezakt χ 2 calc = (13 13) (9 13) (13 13) (17 13) (7 7)2 + (11 7)2 + (7 7)2 + (3 7) = = χ 2 calc =7.0330,p val=0.0709(excel) (i) H 0 :norelationbetweentmsandpassrate(independence) H 1 :relationbetweentmsandpassrate(dependence) (alsook:h 0 :π 1 =π 2 =π 3 =π 4 (π 1 :proportionof success incategoryincolumn 1,etc.) H 1 :notallproportionsareequal α=0.05 (ii) χ 2 statistic= (f o f e) 2 f e (iii) ApproximatelyunderH 0 :X 2 χ 2 (2 1)(3 1) distributediffe i 5(OK,minimum is7) (iv) χ 2 calc = χ2 crit=7.815 Table values: 6.251(10%) 7.815(5%) 9.348(2.5%) (1%) (0.5%) p value between 10% and 5%. Excel: p val =P(χ )= (v) Donotrejectbecausep val >α=5%,orbecauseχ 2 calc <χ2 crit:thereisnotsufficient evidencethath 0 isfalse,theremightbenorelationorperhapsaveryweakrelation. 11

12 Question 3- Premaster Statistics II 17 December 2008 a) Table 1: Model for the observations: X ijk µ+β j +ε ijk whereε ijk N(0;σ 2 ).whereβ j : seebelow Table2: Relationforthemeans µ ij =µ+α i +β j +(αβ) ij where α i represents effect of the variable Time and β j the effect of the variable TMS and(αβ) ij theinteractioneffectofthetwo. Model for the observations: X ijk µ+α i +β j +(αβ) ij +ε ijk whereε ijk N(0;σ 2 ). (Note: ifquestionisnotmorespecific,boththemodelfortheobservationsandthe model for the means is acceptable.) b) This corresponds to the interaction term. There is interaction if the effects of Time and TMS are not additive. For instance, if morning and TMS both give low scores you would expect exceptionally low values for the cell morning and TMS, but if that particular cell gives high scores, there is interaction (the influence of TMSisnotthesameforalllevelsofTimeorviceversaifthereisinteraction). There seems to be interaction as the lines in the graph are not proportional (especially the automatic condition for the morning is low). However, from table 2 we find p val = for the interaction effect, so that is not significant at any reasonable level of significance. c) Testtheeffectof TMS Relationforthemeans: µ ij =µ+α i +β j +(αβ) ij (Table1) (i) H 0 :β 1 =β 2 =β 3 =0 H 1 :not (β 1 =β 2 =β 3 =0) significance level 5% (ii) F statistic(f = MS TMS MSE ) (iii) Under H 0 : F F 2;18 distributed if disturbances are normally distributed with equal variances(as indicated in a)). (iv) F calc = ( =) 4.137,p val = (F crit =F 2;18;0.05 =3.55isnotreallyneeded) (v) DorejectH 0 at5%levelasp val <α=5%. Thereisevidenceofaneffectdueto TMS. ByhandandAutomaticdonotdiffersignificantlyfromoneanotherandalsoAutomaticandNonedonotdiffersignificantlyfromoneanother. ByHandandNone differ significantly at the 5% significance level, None giving the best(highest) results. ToreallyfindthebestbetweenAutomaticandHandweneedmoredata. 12

13 Question 4 Premaster Statistics II 17 December 2008 a) table 3/4: Y =β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +β 3 X 3 +εwhereε N(0;σ 2 ) Y is exam scores, X 1 is number of hours for study, X 2 and X 3 are dummies to indicate applying TMS with Helmet and applying TMS by other means respectively. estimatedmodel: Ŷ = X X X 3 table 1/2: Y =β 0 +β 1 X 1 +εwhereε N(0;σ 2 ) estimatedmodel: Ŷ = X 1 b) R 2 = =0.8949( = = ) (SSfromcomputeroutput). Coefficientof determination orr 2 is the quotientof explained sumof squares over totalsumofsquares,ameasureofhowwellthedatafittheregressionequation. Closeto1isgood,closeto0isnotgood,thevalue0.89isquitegood,themodelis explaining the Y quite well. c) estimated model: Ŷ = X X X 3 = =89.19 d) model: Y =β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +β 3 X 3 +ε (i) H 0 :β ; H 1 :β 1 >0.80,α=5% (ii) B 1 statistic(i.e. β 1 statistic) (iii) UnderH 0 standardizedb 1 hast n 3 1 distribution(t 16 distribution)iferrors are normally distributed(as stated under a)). (iv) β 1 =b 1 =0.9445;t calc = = = ( is very wrong!) t crit =t 16; p val =P(B )=P(t )<P(t )=5% Excel: p val = (v) RejectH 0,p val <α=5%(t calc >t crit =1.746),concludethatβ 1 issignificantly largerthan

14 4e) model: Y =β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +β 3 X 3 +ε.usepartialf test (i) H 0 :β 2 =β 3 =0; H 1 :atleastoneoftheseβ snon-zero,α=5% (ii) F statistic( partialf statistic: F = (SSR general SSR restricted)/m MSE general ) (iii) UnderH 0 thisf statistichasf 2,16 distributioniferrorsarenormallydistributed. (iv) Computations F calc = ( ) F crit =F 2,16;0.05 =3.63. =1.90 (v) DonotrejectH 0,p valuelargerthanα=5%(f calc <3.63=F crit ),conclude that X 2 and X 3 together do not substantially contribute to the explaining powerofthemodel,applyingtmsdoesnotseemtomatter. f) model: Y =β 0 +β 1 X 1 +β 2 X 2 +β 3 X 3 +ε. H 0 :β 2 =β 3 neededisamodelinwhichβ 2 =β 3 Y =β 0 +β 1 X 1 +β 1 X 2 +β 3 X 3 +ε=β 0 +β 1 (X 1 +X 2 )+β 3 X 3 +ε=β 0 +β 1 X 12 + β 3 X 3 +ε SorunaregressionofY onthevariablesx 12 andx 3 wherex 12 isthesumofx 1 andx 2. 14