Statistiek 1 Blok 6, Werkgroepopdrachten

Transcriptie

1 Statistiek 1 Blok 6, Werkgroepopdrachten Opdracht 1 Onderstaande tabel bevat metingen aan de opbrengst van rozen bij verschillende mate van stikstofen fosfortoevoer. rozen/snijvak/dag fosfaatniveau nitraatniveau: nitraatniveau: Neem aan dat de data voldoen aan het standaardmodel van de two-way layout. a. Doe de betreffende analyse in R. Er is hier sprake van een tweefactor (two-way layout) variantieanalyse met replica s, zie Buijs hfst. 12.5, In tegenstelling tot de tweefactor variantieanalyse zonder replica s (Buijs hfst. 12.4) kan er nu ook getoetst worden voor effecten als gevolg van de interactie tussen de twee factoren: de gecombineerde invloeden van de twee factoren (stikstof- en fosfortoevoer) op het aantal rozen kunnen significant afwijken van de invloeden die de twee factoren ieder afzonderlijk hebben op het aantal rozen. Merk op dat de gegeven data in deze Opdracht overeenkomen met die in Tabel 12.8, pg. 347 in Buijs. De analyse in Buijs wordt gevolgd en toegelicht. Het rekenwerk wordt uitgevoerd in R. Het aantal waarnemingen per cel bedraagt h = 4. De waarnemingen worden aangegeven met X ijk : de i-de uitkomst van de variabele X die wordt waargenomen in de cel die behoort bij de combinatie van de j-de keuze voor de nitraatbehandeling (j neemt de waarden 1 en 2 aan), en de k-de keuze voor het fosfaatniveau (k = 1, 2, 3 of 4). Het aantal nitraatbehandelingen wordt aangegeven met b (hier geldt b = 2); het aantal fosfaatniveaus wordt aangegeven met c (hier: c = 4) De nitraatniveaus zijn gerangschikt volgens de rijen van de tabel, de fosfaatniveaus zijn gerangschikt volgens de 4 kolommen. Voor een tweefactormodel wordt de invloed van de twee factoren op de kansvariabele X als volgt weergegeven: 1

2 X jk = µ + α j + β k + (αβ) jk + ǫ, met: X jk : de kansvariabele X bij nitraatniveau j en fosfaatniveau k; µ: de algemene verwachtingswaarde voor de opbrengst; α j : het verwachte aanvullend effect van nitraatniveau j; β k : het verwachte aanvullend effect van fosfaatniveau k; (αβ) jk : het verwachte aanvullend interactie-effect van de combinatie (nitraatniveau j, fosfaatniveau k); ǫ: een normaal verdeelde kansvariabele met verwachtingswaarde 0 en vaste standaarddeviatie σ. De waarnemingen worden beschouwd als trekkingen uit een normale verdeling met verwachtingswaarde µ en standaarddeviatie σ. De nulhypothese is dat er geen effecten zijn: α j, β k en (αβ) jk zijn gelijk aan 0 voor iedere mogelijke combinatie (j,k). Het model laat verder drie mogelijke toetsen toe: - H 0,α : er zijn gemiddeld geen effecten voor de nitraatniveaus. D.w.z., α j = 0 voor j = 1,2 (er is geen rijeffect); - H 0,β : er zijn gemiddeld geen effecten voor de fosfaatniveaus: β k = 0 voor k = 1,2,3,4 (er is geen kolomeffect); - H 0,(α,β) : er zijn gemiddeld geen interactie-effecten: (αβ) jk = 0 voor alle mogelijke combinaties (j,k). Verwerping van deze hypotheses leidt achtereenvolgens tot de alternatieve hypotheses dat er wel een significant rijeffect, kolomeffect of interactie-effect is. (Rij- en kolomeffect worden hoofdeffecten genoemd.) Om de toetsingen uit te voeren dienen diverse gemiddelden berekend te worden: X... : het gemiddelde van alle waarnemingen; X.j. : het gemiddelde van nitraatniveau j; X..k : het gemiddelde van fosfaatniveau k; X.jk : het gemiddelde van de waarnemingen X ijk voor alle mogelijke waarden van i; hier (voor gegeven j en k) het gemiddelde van X 1,jk,X 2,jk,X 3,jk en X 4,jk. Uit de gegeven tabel volgt eenvoudig: 2

3 fosfaatniveau nitraatniveau: 1 X.11 = 46 X.12 = 52 X.13 = 58.5 X.14 = 51.5 X.1. = 52 2 X.21 = 53.5 X.22 = 59.5 X.23 = 59.5 X.24 = 79.5 X.2. = 63 X..1 = X..2 = X..3 = 59 X..4 = 65.5 X... = 57.5 (Voor de indexpunt notatie zie Buijs pg. 332 en de uitwerking van werkgroep 15.) Uit deze tabel kan al een eerste indruk verkregen worden over mogelijke resultaten, zoals interactie-effecten. Het totale gemiddelde voor alle data bedragt Dit is een schatting voor µ. De gemiddelde opbrengst voor nitraatniveau 2 is 63. Dit is 5.5 hoger dan het totale gemiddelde. De gemiddelde opbrengst voor fosfaatniveau 4 is 65.5, wat een positief aanvullend effect van 8 is boven het totale gemiddelde. De additieve positieve effecten van nitraatniveau 2 en fosfaatniveau 4 samen kunnen echter niet de gemeten waarde van 79.5 t.o.v. het totale gemiddelde verklaren: 79.5 > = 71. Dit wijst op een positief interactie-effect van nitraatniveau 2 en fosfaatniveau 4. Om te bepalen of er op grond van de data geconcludeerd mag worden dat de geobserveerde effecten structureel zijn, dient er getoetst te worden. Dit gebeurt evenals in het eenfactor model met behulp van kwadraatsommen. Uit de kwadraatsommen worden vervolgens met de vrijheidsgraden de gemiddelde kwadraatsommen berekend. Deze leveren de voor de analyse benodigde varianties voor de hoofdeffecten, de variantie behorend bij de interactie, en een variantieterm behorend bij de afwijkingen die optreden binnen de verschillende cellen. De volgende tabel geeft een overzicht van de kwadraatsommen en vrijheidsgraden die berekend dienen te worden voor de analyse. (Kwadraatsommen worden hier aangegeven met SS = sum of squares, zoals in Buijs en de sheets bij dit college. In de uitwerkingen van de vorige werkgroep werd hiervoor KS = kwadraatsom gebruikt. De gemiddelde kwadraatsom (variantie), het quotient van kwadraatsom en aantal vrijheidsgraden, wordt hier aangegeven met MS i.p.v. met GK. Hier wordt Buijs pg. 350 gevolgd.) variantiebron vrijheidsgraden kwadraatsom variantie F-waarde (mean square) nitraat b 1 SS nitraat MS nitraat MS nitraat MS error fosfaat c 1 SS fosfaat MS fosfaat MS fosfaat MS error interactie (b 1)(c 1) SS interactie MS interactie MS interactie MS error error bc(h 1) SS error MS error totaal bch 1 SST De variantie-analyse tabel wordt vervolgens verder met R bepaald. Daartoe dient eerst een datafile, 3

4 data.txt, gemaakt te worden die ingelezen kan worden in R. Hiervoor wordt een matrix gemaakt met drie kolommen: de eerste kolom, nitraat, bevat een verwijzing naar het nitraatniveau ( een, twee ), de tweede kolom, fosfaat, een verwijzing naar het fosfaatniveau ( een, twee, drie, vier ), en de derde kolom, opbrengst, geeft de bijbehorende opbrengst. nitraat fosfaat opbrengst 1 een een 44 2 een twee 58 3 een drie 62 4 een een 46 5 een een 56 6 een twee 48 7 een drie 54 8 een vier 52 9 een een een twee een drie een vier een een een twee een drie een vier twee een twee twee twee drie twee vier twee een twee twee twee drie twee vier twee een twee twee twee drie twee vier twee een twee twee twee drie twee vier 82 De file data.txt wordt ingelezen in R, en de namen van de kolommen worden bepaald: > data<-read.table( data.txt, header=true) > attach(data) > names(data) [1] nitraat fosfaat opbrengst De variantie-analyse tabel wordt verkregen door 4

5 > VAtabel<-aov(opbrengst nitraat fosfaat, data=data) > summary(vatabel) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) nitraat *** fosfaat ** nitraat:fosfaat ** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * De output geeft het aantal vrijheidsgraden (Df) voor de hoofdeffecten nitraat en fosfaat, en ook voor de interactie (nitraat:fosfaat) en de residuals (errorfactor). Eveneens worden de kwadraatsommen (SS) en gemiddelde kwadraatsommen (MS) vermeld, en de F-waarden. Voor de gevonden F-waarden worden de overschrijdingskansen gegeven. Uit de overschrijdingskans voor nitraat volgt dat er een significant verschil is in gemiddelde opbrengst t.g.v. de verschillende nitraatniveaus. De overschrijdingskans voor fosfaat duidt er op dat de gemiddelde opbrengst significant verschilt voor de 4 fosfaatniveaus. De kleine overschrijdingskans voor de interactiefactor geeft aan dat interactie een significante invloed heeft op de opbrengst. De effecten van nitraat en fosfaat mogen daarom niet als additief beschouwd worden: de interactie tussen nitraat en fosfaat speelt een rol bij de opbrengst. OPMERKING In de datafile data.txt zijn de nitraat- en fosfaatniveaus aangegeven met characters in plaats van met numerics. In het geval er numerics worden gebruikt geeft R verkeerde output (verkeerde aantallen vrijheidsgraden, SS-, MS-, en F- waarden). b. Toets afzonderlijk de hypothesen fosfaat heeft geen invloed en nitraat heeft geen invloed. Hier zijn twee antwoorden mogelijk. Onderstaande Antwoord 1 toetst of fosfaat en nitraat geen enkele invloed hebben, dus ook niet via interactie. Om deze toetsen uit te kunnen voeren worden twee F-waarden berekend, afgeleid uit de SS voor de hoofdeffecteen en de SS voor de interactie. Antwoord 2 toetst of fosfaat en nitraat als hoofdeffect geen invloed hebben. Dit kan afgeleid worden uit de variantie-analyse tabel uit onderdeel a. (Het is voldoende om deze vraag b. te beantwoorden volgens onderstaand Antwoord 2; voor de volledigheid wordt ook Antwoord 1 gegeven.) Antwoord 1 Hier wordt geen invloed opgevat als: geen enkele invloed (dus ook niet via interactie). Om te toetsen of fosfaat geen invloed heeft, wordt de nulhypothese: H 0,(fosfaat,interactie) : de fosfaatbehandeling heeft geen enkele invloed; de alternatieve hypothese wordt: H 1,(fosfaat,interactie) : de fosfaatbehandeling heeft wel invloed. 5

6 De hypothese wordt getoetst met de toetsingsgrootheid is F(b(c 1),bc(h 1))-verdeeld. SS fosfaat +SS interactie b(c 1) MS error ; deze toetsingsgrootheid (4 1) Er wordt rechtseenzijdig getoetst. De toetsingsgrootheid heeft de waarde = , en is F(6, 24)-verdeeld. De overschrijdingskans is pf(0.5338, 6, 24, lower.tail=false) = De nulhypothese wordt verworpen: de fosfaatbehandeling heeft een significant effect op de opbrengst. Voor de nitraatbehandeling wordt de nulhypothese: H 0,(nitraat,interactie) : de nitraatbehandeling heeft geen enkele invloed; de alternatieve hypothese wordt H 1,(nitraat,interactie) : de nitraatbehandeling heeft wel invloed. De toetsingsgrootheid wordt nu SS nitraat +SS interactie c(b 1) MS error (2 1) ; deze is F(c(b 1),bc(h 1))-verdeeld. De waarde voor de toetsingsgrootheid wordt: = 8.002, en is F(4,24)-verdeeld. De rechteroverschrijdingskans is pf(8.002, 4, 24, lower.tail=false)= De nulhypothese wordt verworpen: de nitraatbehandeling heeft een significant effect op de opbrengst. Antwoord 2 De nulhypothesen en alternatieve hypothesen worden: H 0,fosfaat : de fosfaatbehandeling heeft (als hoofdeffect) gemiddeld geen invloed; H 1,fosfaat : de fosfaatbehnadeling heeft (als hoofdeffect) gemiddeld wel invloed, en H 0,nitraat : de nitraatbehandeling heeft (als hoofdeffect) gemiddeld geen invloed; H 1,nitraat : de nitraatbehnadeling heeft (als hoofdeffect) gemiddeld wel invloed, Biede nulhypothesen zijn al getoetst in onderdeel a.: uit de variantie-analyse tabel volgt dat fosfaat en nitraat een significant hoofdeffect hebben. Deze informatie is echter niet doorslaggevend, omdat uit de tabel blijkt dat ook het interactieeffect tussen fosfaat en nitraat een significant aandeel heeft in de opbrengst. Merk het verschil op tussen Antwoord 1 en Antwoord 2. De nulhypothesen in Antwoord 2: H 0,fosfaat : er zijn gemiddeld geen effecten voor de fosfaatniveaus, en H 0,nitraat : er zijn gemiddeld geen effecten voor de nitraatniveaus, zijn zwakker dan de in Antwoord 1 gebruikte H 0,(fosfaat,interactie) en H 0,(nitraat,interactie), waarbij wordt uitgesloten dat een factor invloed heeft via interactie met de andere factor. M.a.w., de nitraatniveaus hebben geen enkele effect betekent dat in de uitdrukkingen 6

7 X jk = µ+α j +β k +(αβ) jk +ǫ zowel de α j s als de (αβ) jk s gelijk aan 0 zijn. Het verschil tussen de nulhypotheses onder Antwoord 1 en Antwoord 2 komt ook tot uitdrukking in de toetsingsgrootheden behorende bij de verschillende hypotheses. c. Toets de onder b genoemde twee hypothesen simultaan. Als je vindt dat er tenminste iets aan de hand is gebruik dan de Bonferroni methode of TukeyHSD om te kijken of fosfaat en/of nitraat aansprakelijk kunnen worden gesteld. Omdat er twee hypothesen simultaan worden getoetst, wordt de significantie verdeeld over de te toetsen hypothesen, zie Buijs pg. 339: er wordt getoetst met een significantie van 2.5%. De twee toetsingsgrootheden zijn hier als in Antwoord 2 in het vorige onderdeel. De ondergrens voor het kritieke gebied voor de F(1, 24)-verdeling is bij een significantie van 0.025: ; de ondergrens voor het kritieke gebied voor de F(3, 24)-verdeling is dan: Beide berekende waarden voor de toetsingsgrootheden liggen in hun overeenkomstige kritieke gebieden. Er volgt dat zowel de invloed van nitraat als van fosfaat gelijktijdig significant is. Met het R-commando TukeyHSD(VAtabel) kunnen de significanties van de effecten voor verschillende combinaties van factoren bepaald worden. De effecten voor twee elementen in een combinatie verschillen significant van elkaar als het bijbehorende interval 0 niet bevat (of als de gegeven aangepaste overschrijdingskansen kleiner is dan de significantie). >TukeyHSD(VAtabel) Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence level Fit: aov(formula = opbrengst nitraat * fosfaat, data = data) $nitraat diff lwr upr p adj twee-een $fosfaat diff lwr upr p adj een-drie twee-drie vier-drie twee-een vier-een vier-twee $ nitraat:fosfaat 7

8 diff lwr upr p adj twee:drie-een:drie een:een-een:drie twee:een-een:drie een:twee-een:drie twee:twee-een:drie een:vier-een:drie twee:vier-een:drie een:een-twee:drie twee:een-twee:drie een:twee-twee:drie twee:twee-twee:drie een:vier-twee:drie twee:vier-twee:drie twee:een-een:een een:twee-een:een twee:twee-een:een een:vier-een:een twee:vier-een:een een:twee-twee:een twee:twee-twee:een een:vier-twee:een twee:vier-twee:een twee:twee-een:twee een:vier-een:twee twee:vier-een:twee een:vier-twee:twee twee:vier-twee:twee twee:vier-een:vier

9 Opdracht 2 Doe een tweefactor analyse zonder herhaling op de gegevens in onderstaande tabel, op de hand en in R. scrotumvolume chinezen caucasiers bantoes leeftijd: De data hebben betreking op een tweefactor model zonder replica s. De volgende tabel dient bepaald te worden (zie Buijs, pg. 345): Variantiebron Vrijheidsgraden Kwadraatsom Variantie F-waarde df (Sum of squares) (Mean square) SS MS Behandelingen c 1 SSG M SG MSG MSE (kolommen) Blokken b 1 SSB MSB (rijen) Error (c 1)(b 1) SSE MSE Totaal cb 1 SST MSB MSE Hierin is c het aantal kolommen, en b het aantal rijen; b c SST = (X j,k X.. ) 2, met X.. het gemiddelde van alle waarnemingen; j=1 k=1 c SSG = b (X.k X.. ) 2, met X.k het gemiddelde van kolom k; k=1 b SSB = c (X j. X.. ) 2, met X j. het gemiddelde van rij j; j=1 SSE = SST SSG SSB. Met de gegeven data volgt voor de tabel: 9

10 Variantiebron Vrijheidsgraden Kwadraatsom Variantie F-waarde df (Sum of squares) (Mean square) SS MS Behandelingen (kolommen) Blokken (rijen) Error Totaal Er worden twee nulhypotheses getoetst: 1 H 0 : er is geen verschil in scrotumvolume tussen de verschillende leeftijdsgroepen (rijen). De alternatieve hypothese is: H 1 : er is verschil in scrotumvolume tussen minstens twee verschillende leeftijdsgroepen. De toetsingsgrootheid voor deze toets is F(3, 6)-verdeeld en heeft waarde De overschrijdingskans is (pf(15.19, 3, 6, lower.tail=false). Bij een significantie van 0.05 wordt de nulhypothese verworpen. 2 H 0 : er is geen verschil in scrotumvolume tussen de verschillende etnische groepen (kolommen). De alternatieve hypothese is: H 1 : er is verschil in scrotumvolume tussen minstens twee verschillende etnische groepen. De toetsingsgrootheid behorende bij deze toets is F(2, 6)-verdeeld, en heeft de waarde 217. De overschrijdingskans is nu verwaarloosbaar klein. Ook hier wordt de nulhypothese verworpen. Om de analyse in R uit te voeren worden de leeftijdsklassen als volgt aangeduid: a: jaar, b: jaar, c: jaar, d: jaar. Vervolgens wordt er een dataset volume.txt gemaakt met hierin de leeftijdsklassen, afkomst en volume: 10

11 leeftijd afkomst volume a chinees 11.4 a caucasier 13.1 a bantoe 16.1 b chinees 12.2 b caucasier 14.4 b bantoe 17.2 c chinees 11.9 c caucasier 14.9 c bantoe 17.6 d chinees 12.5 d caucasier 15.6 d bantoe 18.4 Met deze tabel wordt de analyse uitgevoerd: > data<-read.table( volume.txt, header=true) >attach(data) >names(data) [1] leeftijd afkomst volume > model<-aov(volume leeftijd+afkomst, data=data) >summary(model) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) leeftijd ** afkomst e-06 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * De R output geeft dezelfde informatie als hiervoor berekend is. Merk op dat in het aov commando het + teken wordt gebruikt (i.p.v. het teken zoals in Opdracht 1a). Er wordt niet gezocht naar effecten van interactie tusen leeftijd en afkomst (wat uitgesloten is in een tweefactor model zonder replica s). Opdracht 3 Bij een landbouwkundige studie wil men de omvang van de oogst voor een aantal tarwesoorten bepalen, waarbij tevens wordt bestudeerd of de gebruikte meststoffen van belang zijn. Van iedere combinatie van een gekozen tarwesoort en een gebruikte meststof werden 4 proefakkertjes gevormd. De opbrengsten zijn weergegeven in de volgende tabel. Meststof Tarweras A B C D

12 a. Voer een 2-factor variantieanalyse uit op deze gegevens. Uit de gegeven tabel wordt een txt.file tarwe.txt gemaakt met daarin character-verwijzingen naar de verschilende meststoffen en tarwerassen. Vervolgens wordt de file in R ingelezen en de analyse uitgevoerd. > opbrengst<-read.table( tarwe.txt, header=t) > attach(opbrengst) > names(opbrengst) [1] Mest Ras Opbrengst > model<-aov(opbrengst Mest Ras, data=opbrengst) > summary(model) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Mest e-15 *** Ras e-16 *** Mest:Ras e-05 *** Residuals Signif. codes: 0 *** ** 0.01 * b. Toets of de gemiddelde opbrengsten voor populaties gevormd door de 4 tarwerassen aan elkaar gelijk kunnen zijn. De indeling naar tarweras levert een F-waarde van , en een verwaarloosbaar kleine overschrijdingskans. De gemiddelde opbrengsten voor de 4 tarwepopulaties mogen niet gelijk gesteld worden. c. Toets of de drie merken meststoffen dezelfde produktieniveaus opleveren. Toetsen of de drie meststoffen dezelfde productieniveaus opleveren geeft een F-waarde van ruim 90, en een zeer kleine overschrijdingskans. De drie merken meststoffen leveren niet dezelfde productieniveaus. De vragen b. en c. in deze Opdracht zijn dus beantwoord op de manier van Antwoord 2 in Opdracht 1, m.a.w. met betrekking tot de beinvloedende factoren als hoofdeffect. 12