STATISTIEK 2 VERSIE A MAT Tentamen Statistiek 2 (MAT-15403) Donderdag 13 maart 2014, uur

Transcriptie

1 STTISTIEK 2 VERSIE MT WGENINGEN UNIVERSITEIT LEERSTOELGROEP MT Tentamen Statistiek 2 (MT-15403) onderdag 13 maart 2014, uur EZE PGIN NIET vóór 8.30 uur OMSLN! STRT MET INVULLEN VN NM, REGISTRTIENUMMER, ET. OP HET NTWOORFORMULIER. ONTROLEER OF JE E JUISTE VERSIE VN HET NTWOORFORMULIER, US VERSIE HET. anwijzingen: - Het tentamen bestaat uit 25 meerkeuzevragen. - ij alle meerkeuzevragen is één van de vier gegeven antwoorden correct. Vul de antwoorden in met potlood. Elke vraag met géén of meer dan één zwart rondje wordt geheel fout gerekend. - Op je tafel mag je uitsluitend de volgende zaken hebben liggen: oek, studiewijzer, rekenmachine, zelfgemaakte handgeschreven samenvatting (één 4tje) en collegekaart. Mobiele telefoon is niet toegestaan! - Overhandig na afloop van het tentamen het antwoordformulier aan de surveillant. - Elke vraag weegt even zwaar mee voor het cijfer. e score wordt gecorrigeerd voor de gokkans. Het aantal goed beantwoorde vragen voor een voldoende wordt na het tentamen door de examinatoren vastgesteld. - e eventueel behaalde 0.5-punt voor de eindopdracht van het practicum wordt bij het cijfer van het tentamen opgeteld (maximaal een 10). - e antwoorden van dit tentamen staan binnenkort op lackboard ( bij MT15403) - Inzage Zodra de uitslag van het tentamen bekend is gemaakt, wordt op lackboard aangegeven wanneer en waar het tentamen kan worden ingezien.

2 STTISTIEK 2 VERSIE MT

3 STTISTIEK 2 VERSIE MT Opgave 1 (ron: ommissie Toekomst Wiskunde Onderwijs) e TU elft heeft antropometrisch onderzoek gedaan bij oudere mensen. Hierbij is onder andere de vuisthoogte (y) gemeten (dat is de afstand vanaf de grond tot aan de vuist van een persoon, wanneer de arm langs het lichaam naar beneden hangt). e vuisthoogte is bijvoorbeeld van belang voor de fabricage van koffers en tassen op wieltjes. Van mannen van 20 tot 60 jaar is bekend dat de vuisthoogte normaal verdeeld is met verwachting 817 mm en populatiestandaardafwijking 47 mm. ereken de kans dat de gemiddelde vuisthoogte van 10 aselect gekozen mannen tussen de 20 en 60 jaar groter of gelijk is aan 800 mm Opgave 2 (ron: ommissie Toekomst Wiskunde Onderwijs) Een onderzoek richt zich op het effect van sporten op de melkzuurconcentratie in het bloed. cht aselect gekozen mannen en zeven aselect gekozen vrouwen doen mee aan het onderzoek. e melkzuurconcentratie wordt gemeten voor èn na het spelen van drie squash wedstrijden. Welke toets is het meest geschikt om een verwacht verschil in effect van sporten op de melkzuurconcentratie tussen mannen en vrouwen aan te tonen? Neem aan dat aan de nodige modelveronderstellingen voor een t- toets is voldaan. t toets voor één steekproef en één variabele t toets voor twee onafhankelijke steekproeven gepaarde t toets t toets voor lineaire regressie Opgave 3 Een statistiekdocent doet onderzoek naar de tentamencijfers van twee statistiekvakken (S1 en S2). Hij verzamelt van een groot aantal studenten die beide vakken gevolgd hebben de cijfers. Hij weet dat het slagingspercentage en het gemiddelde cijfer van S2 lager is dan van S1. Welke toets is het meest geschikt om aan te tonen dat er een positief verband is tussen het cijfer behaald door een student voor S1 en het cijfer voor S2? Neem aan dat aan de nodige modelveronderstellingen voor een t-toets is voldaan. gepaarde t toets, met H 0 : µ d = 0 en H a : µ d > 0 (d = cijfer S1 cijfer S2) gepaarde t toets, met H 0 : µ d = 0 en H a : µ d < 0 (d = cijfer S1 cijfer S2) t toets voor lineaire regressie, met H 0 : 1 = 0 en H a : 1 > 0 t toets voor lineaire regressie, met H 0 : 1 = 0 en H a : 1 < 0 Opgave 4 Een andere statistiekdocent heeft de hypothese dat studenten voor een hertentamen S1 minder tijd nodig hebben dan voor het eerste tentamen. Hij neemt een aselecte steekproef van 200 studenten die voor het eerst tentamen doen en noteert de benodigde tijd. Van deze studenten blijken er 60 gezakt te zijn. eze studenten doen in een volgende periode hertentamen en opnieuw wordt de benodigde tijd genoteerd. Welke toets is het meest geschikt om de hypothese van de statistiekdocent aan te tonen? Neem aan dat aan de nodige modelveronderstellingen voor een t-toets is voldaan. t toets voor twee onafhankelijke steekproeven gepaarde t toets t toets voor het intercept bij lineaire regressie t toets de richtingscoëfficiënt bij lineaire regressie

4 STTISTIEK 2 VERSIE MT Opgave 5 e variabelen x en y hebben ieder een t-verdeling met een onbekend aantal vrijheidsgraden. Gegeven is dat P(x 3) = 0.03, P(y 2.5) = Welke bewering over het aantal vrijheidsgraden is correct? Het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van x is groter dan het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van y. Het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van x is kleiner dan het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van y. Het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van x is groter dan het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van y, mits de verwachte waarde van x groter is dan van y. Het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van x is kleiner dan het aantal vrijheidsgraden van de t-verdeling van y, mits de verwachte waarde van x groter is dan van y. Opgave 6 In de bovenstaande figuur moet op de. worden ingevuld: P(fout 1 e soort) 1 P(fout 1 e soort) P(fout 2 e soort) 1 P(fout 2 e soort) Informatie bij opgaven 7 t/m 11 (ron: Levende Statistiek, ctwo) Pilgebruiksters krijgen broze botten. Om deze uitspraak te toetsen is onderzoek gedaan naar de one Mineral ensity (M in gram per cc) bij vrouwen die nooit orale contraceptiva hebben gebruikt (populatie 1 nooit ) en bij vrouwen die dit gedurende tenminste 3 maanden wel hebben gedaan (populatie 2 ooit ). Uit beide populaties worden aselect 10 vrouwen gekozen. Voor elke vrouw wordt de M bepaald (hoe lager de M is, hoe brozer de botten). Je mag aannemen dat aan de nodige veronderstellingen voor een t-toets is voldaan. Hieronder staat de SPSS uitvoer voor dit onderzoek:

5 STTISTIEK 2 VERSIE MT Opgave 7 Hieronder zie je een deel van het atavenster van SPSS waar de gegevens op twee manieren zijn ingevoerd: Om de SPSS uitvoer van de t-toets te produceren moet in het onderstaande scherm bij Test Variable(s) en Grouping Variable worden ingevuld: Test Variabele(s): M, Grouping Variable: groep Test Variabele(s): nooit en ooit, Grouping Variable: groep Test Variabele(s): nooit en ooit, Grouping Variable: kan in dit geval leeg blijven Test Variabele(s): groep, Grouping Variable: M Opgave 8 Het betrouwbaarheidsinterval in de SPSS uitvoer ( equal variances assumed ) is berekend met de volgende tabelwaarde (uit tabel 2 van Ott en Longnecker): Opgave 9 e betekenis van het betrouwbaarheidsinterval in de SPSS uitvoer ( equal variances assumed ) kan als volgt in woorden worden weergegeven: Een interval waar 95% van de mogelijke verschillen in M tussen een aselect getrokken vrouw uit de populatie nooit en een aselect getrokken vrouw uit de populatie ooit in liggen.

6 STTISTIEK 2 VERSIE MT Een interval waar 95% van alle mogelijke verschillen tussen gemiddeldes in M van steekproeven van vrouwen uit de populaties nooit en ooit in liggen. Een interval voor het verwachte verschil in M tussen vrouwen uit de populaties nooit en ooit, dat geconstrueerd is met een procedure waarbij 95% van de geconstrueerde intervallen het werkelijke verschil zal bevatten. Geen van de opties, of. Opgave 10 e correcte P-waarde die hoort bij de gestelde hypothese wordt berekend met een t-verdeling met 18 vrijheidsgraden. eze P-waarde kan geschreven worden als: P(t 1.135) 2* P(t 1.135) 2* P(t 1.135) P(t 1.135) / 2 Opgave 11 We willen nagaan of de modelaanname(s) voor deze t-toets wat betreft normaliteit in orde is (zijn). Welke van de volgende Q-Q plot(s) is (zijn) daarvoor het meest relevant? Eén Q-Q plot van de 20 waarnemingen (beide groepen nooit en ooit samen). Eén Q-Q-plot van de 10 waarnemingen van de groep nooit en één Q-Q-plot van de 10 waarnemingen van de groep ooit. Eén Q-Q-plot van 10 berekende verschillen M tussen nooit en ooit. Geen van de opties, of. Opgave 12 Landbouwonderzoekers beplanten 25 percelen met een nieuwe maïsvariëteit. e opbrengst (in hectoliter per hectare) van een perceel mag normaal verdeeld verondersteld worden met onbekende verwachting en bekende standaardafwijking = 8.75 hectoliter per hectare. Met de gemiddelde opbrengst van de 25 percelen zal de verwachting geschat worden met een betrouwbaarheid van 90% en een foutmarge van ±... hectoliter per hectare. Op de stippeltjes moet worden ingevuld: Opgave 13 Hieronder zie je een toets uitgewerkt in 8 stappen. Er is één foutje geslopen in de uitwerking. ij welke stap is dat foutje gemaakt? Stap 2 Stap 4 Stap 7 Stap 8 1. H 0 : β 1 = 0, H a : β 1 < Toetsingsgrootheid: t = / SE( ) 3. t heeft onder H 0 een t verdeling met 6 vrijheidsgraden 4. onder H a heeft t de neiging kleiner uit te vallen. 5. e P-waarde is linkszijdig. 6. Uitkomst toetsingsgrootheid is t = ; dit ligt in de linkerstaart van de H 0 verdeling van t P(t ) = < α = 0.05, dus H 0 aangetoond. H a is verworpen.

7 STTISTIEK 2 VERSIE MT Informatie bij opgaven 14 t/m 17 Men veronderstelt dat de gewichtsgroei van baby s groter is naarmate de moedermelk vetter is. e crematocritwaarde van de moedermelk is een goede indicatie van het vetgehalte van de melk. Hoe hoger de crematocritwaarde hoe vetter de melk. Van 11 moeders, beschouwd als een aselecte steekproef uit een populatie van moeders, wordt de crematocritwaarde gemeten van de moedermelk (x) en de gewichtsgroei van hun baby s in grammen per week (y). We veronderstellen een lineair regressiemodel voor het verband tussen y en x: y = x +. angenomen mag worden dat de waarnemingen onafhankelijk zijn en normaal verdeeld met gelijke standaardafwijking σ. Voor het beantwoorden van de volgende vragen kan de SPSS-uitvoer gebruikt worden. Opgave 14 ereken het residu bij een gewichtsgroei van 178 gram en een crematocritwaarde van Opgave 15 ereken een 0.95-betrouwbaarheidsinterval voor β 1. (249.8, 358.7) (126.4, 482.1) (158.0, 450.5) (123.7, 484.8) Opgave 16 Welk van de volgende uitspraken over de modelveronderstellingen is correct? e 11 paren waarnemingen (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x 11, y 11 ) voor het lineair regressiemodel zijn.. onafhankelijk, omdat de crematocritwaarde aan de moedermelk wordt gemeten en de gewichtsgroei aan baby s. onafhankelijk, omdat de steekproef uit de populatie op een goede manier is uitgevoerd. afhankelijk, omdat er aanzienlijke correlatie is tussen crematocritwaarde van de moedermelk en gewichtsgroei van de baby s. afhankelijk, omdat x aan de moeder wordt gemeten en y aan de baby van dezelfde moeder.

8 STTISTIEK 2 VERSIE MT Opgave 17 e P-waarde van de toets H 0 : 1 = 0 tegen H a : 1 > 0 is gelijk aan Wanneer de hypothesen worden vervangen door H 0 : 1 = 100 tegen H a : 1 > 100 zal de P-waarde van de toets groter worden dan kleiner worden dan gelijk blijven aan kan je met deze gegevens niet berekenen Informatie bij opgaven 18 t/m 20 Lange afstandslopers beweren dat gematigde blootstelling aan ozon de longcapaciteit verhoogt. In een onderzoek naar het effect van ozon op de longcapaciteit worden 12 ratten blootgesteld aan ozon (concentratie: 2 ppm) gedurende 30 dagen. e longcapaciteit van de ratten wordt aan het begin van het onderzoek vastgesteld en opnieuw na 30 dagen blootstelling aan ozon. e longcapaciteiten (in ml) staan in de volgende tabel: rat voor blootstelling ozon na blootstelling ozon Je mag aannemen dat aan de nodige veronderstellingen voor een t-toets is voldaan. Hieronder staat de SPSS uitvoer voor dit onderzoek: Paired Samples Statistics Pair 1 voor blootstelling ozon na blootstelling ozon Std. Error Mean N Std. eviation Mean Paired Samples Test Pair 1 voor blootstelling ozon - na blootstelling ozon Mean Paired ifferences 95% onfidence Interval of the Std. Error ifference Std. eviation Mean Lower Upper Opgave 18 e toetsingsgrootheid die hoort bij de t-toets kan in het algemeen geschreven worden als: schatter van de parameter- waardevan de parameter onder H0 standaardfout van de schatter van de parameter Welke waarde moet voor deze situatie worden ingevuld voor schatter van de parameter? Opgave 19 Welke (statistische) conclusie kunnen we trekken (α = 0.01)? t df Sig. (2-tailed) Er is aangetoond dat de verwachte longcapaciteit van ratten na blootstelling aan ozon hoger is dan ervoor. Er is niet aangetoond dat de verwachte longcapaciteit van ratten na blootstelling aan ozon hoger is dan ervoor. Er is aangetoond dat de verwachte longcapaciteit van ratten na blootstelling aan ozon gelijk is aan ervoor. Er is niet aangetoond dat de verwachte longcapaciteit van ratten na blootstelling aan ozon gelijk is aan ervoor.

9 STTISTIEK 2 VERSIE MT Opgave 20 Een 0.99-betrouwbaarheidsinterval voor het verwacht verschil in longcapaciteit voor en na de blootstelling aan ozon is gelijk aan: (-2.42, 0.00) (-2.17, -0.24) (-1.49, -0.93) (-2.09, -0.32) Informatie bij opgaven 21 t/m 25 Een advertentiecampagne voor een nieuw product wordt uitgevoerd in 10 aselect gekozen steden. e intensiteit van de advertentiecampagne (x), gemeten als het aantal uitzendingen per avond op primetime televisie, wordt gevarieerd over de steden. Het percentage mensen dat na de advertentiecampagne bekend is met het product is het bekendheidspercentage (y). We veronderstellen een lineair regressiemodel voor het verband tussen y en x: y = x +. angenomen mag worden dat de waarnemingen onafhankelijk zijn en normaal verdeeld met gelijke standaardafwijking σ. Voor het beantwoorden van de volgende vragen kan de SPSS-uitvoer gebruikt worden. Model Summary b Model R R Square djusted R Square Std. Error of the Estimate a a. Predictors: (onstant), intensiteit van campagne b. ependent Variable: bekenheidspercentage NOV b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression a Residual Total a. Predictors: (onstant), intensiteit van campagne b. ependent Variable: bekenheidspercentage oefficients a Unstandardized oefficients Standardized oefficients Model Std. Error eta t Sig. 1 (onstant) intensiteit van campagne a. ependent Variable: bekenheidspercentage ata en SEP_1 van dit experiment: x y SEP_1 (standard error of predicted value)

10 STTISTIEK 2 VERSIE MT Opgave 21 Een schatting voor σ is gelijk aan: Opgave 22 e onderzoekers willen H 0 : 1 = 12 toetsen tegen H a : 1 > 12. e betekenis van H 0 in termen van de advertentiecampagne is: Wanneer het aantal uitzendingen per avond met 1 toeneemt, neemt het verwachte bekendheidspercentage met 12 toe. Wanneer het aantal uitzendingen per avond gelijk is aan 1, is het geschatte bekendheidspercentage gelijk aan 12. Wanneer het aantal uitzendingen per avond gelijk is aan 4 (minimaal aantal uitzendingen per avond in de proefopzet), is het verwachte bekendheidspercentage gelijk aan 12. Wanneer het aantal uitzendingen per avond gelijk is aan 12, is het verwachte bekendheidspercentage gelijk aan 100. Opgave 23 Het kritieke gebied van de in opgave 22 genoemde toets, uitgevoerd bij een significantieniveau van α = 0.05, is gelijk aan alle uitkomsten van de toetsingsgrootheid: kleiner dan en groter dan 1.86 groter dan en kleiner dan 1.86 groter dan 1.86 kleiner dan Opgave 24 ereken een 0.95-betrouwbaarheidsinterval voor : (36.01, 46.73) (36.24, 46.50) (38.79, 49.23) (35.01, 47.73) Opgave 25 e veronderstelling dat σ constant is bij een lineair regressiemodel, kan als volgt worden verwoord: lle waarden op de lijn µ y = x kunnen even goed worden voorspeld. e verwachte waarden op de lijn µ y = x zijn constant. e spreiding van de waarnemingen y rond de lijn µ y = x is constant. e standaardfout van de voorspellingen op de lijn is constant.