Wiskunde en didactiek op de pabo in samenhang

Transcriptie

1 Wiskunde en didactiek op de pabo in samenhang Gerard Boersma Juni 2015 Verslag van het masteronderzoek bij de opleiding Master leraar wiskunde Begeleiders: Huub Braam en Gé Groenewegen

2 2

3 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding Probleemverheldering Theoretisch kader Realistisch reken-wiskundeonderwijs Wiskundekennis voor leerkrachten Kennisbasis Didactiek Opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde Motivatie en relevantie Praktijkverkenning Bestaande materialen Opleiders Situatie op Pabo Nijmegen Ontwerpprincipes en onderzoeksvraag Ontwerpprincipes Onderzoeksvraag Interventie Ontwerpplan Planning interventie Verloop interventie Methode Inleiding Interviews met docenten Interviews studenten Studentenwerk Observaties Steekwoordreflecties studenten Bevindingen onderzoeker

4 8.8 Vergelijking toetsresultaten Overzichtstabel Resultaten Interviews met docenten Interviews studenten Studentenwerk Observaties Steekwoordreflecties studenten Bevindingen onderzoeker Vergelijking toetsresultaten Resumé Conclusie Discussie Beperkingen Verbeteringen aan het ontwerp Aanbevelingen Kennisdeling Bronnen Bijlage 1: Analyse bestaande methodes Bijlage 2: Navraag naar relevantie Bijlage 3: Inventarisatie Pabo Nijmegen Bijlage 4: Interviewleidraad docentinterviews Bijlage 5: Interviewleidraad voor interview met studenten Bijlage 6: Algemene ontwerpcriteria Bijlage 7: Talstelsels Bijlage 8: Bewerkingen in het binair en achttallig talstelsel Bijlage 9: Ontluikende algebra

5 Bijlage 10: Overzicht codes studentuitspraken deelvraag 1 t/m

6 1 Samenvatting Met de intrede van de kennisbasistoets rekenen-wiskunde voor pabostudenten is op veel opleidingen, waaronder Pabo Nijmegen, de samenhang tussen het leren van wiskunde en didactiek verbroken, vooral waar het gaat om het leren van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. In dit onderzoek is nagegaan in hoeverre het mogelijk is om die samenhang in stand te houden. Hiertoe is een drietal lesontwerpen gemaakt en meerdere malen uitgeprobeerd, door verschillende docenten. In de ontwerpen zijn vier ontwerpprincipes verwerkt. Bij deze ontwerpprincipes gaat het om het door het leren van geavanceerde wiskunde verdiepen van wiskunde van de basisschool, het inbedden in beroepsrelevante activiteiten waarbij een beroep wordt gedaan op relevante vaardigheden, het inzicht dat de geavanceerde wiskunde geworteld is in de wiskunde op de basisschool en het bieden van handvatten aan docenten zonder onderwijsbevoegdheid wiskunde. Het blijkt dat de meeste studenten de wiskunde uit de ontwerpen als relevant ervaren en gemotiveerd zijn deze te leren, waarbij ze tevens werken aan didactische doelen. Ook blijkt dat docenten bereid zijn om deze lessen te verzorgen, waarbij docenten zonder wiskundige achtergrond onzeker zijn over de mate waarin zij in staat zijn flexibel op studenten in te spelen en hen adequaat te begeleiden. De conclusie van het onderzoek luidt dan ook dat het mogelijk is om opleidingsonderwijs te ontwerpen waarbij het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek ondersteund wordt. 6

7 2 Inleiding In februari 1992 kreeg ik mijn eerstegraads bevoegdheid wiskunde. In het kader van het streven van de HAN naar een zo groot mogelijk percentage masters onder zijn personeel ben ik in de gelegenheid gesteld deze studie over te doen, maar nu op masterniveau. Hoofdonderdeel hierbij is, vanwege vrijstelling voor alle wiskundige onderdelen behalve schoolwiskunde, het masteronderzoek. Gelijktijdig met de start van het masteronderzoek ben ik begonnen met het begeleiden van afstudeeronderzoek, waarbij de kwaliteit van dat afstudeeronderzoek in het licht van een komende visitatie omhoog moest. Daarmee werd een dimensie toegevoegd: het begeleiden van studenten geeft inzicht in hoe het verrichten van onderzoek geleerd wordt, een proces waar ik zelf ook middenin zat, hoewel mijn beginsituatie niet helemaal vergelijkbaar is. Mijn bachelor tweedegraads wiskunde heb ik al afgesloten met een didactisch onderzoek en daarnaast heb ik jarenlang onderzoek van studenten in pabo 3 begeleid. De besprekingen in de groep onderzoeksbegeleiders op de pabo zijn behulpzaam geweest, alsook de bijeenkomsten van de ELWIeR-onderzoeksgroep. En, last but not least, de begeleiding door Huub Braam en Gé Groenewegen, vanuit de HAN master opleiding. Word je een betere docent door het doen van onderzoek? Het scherpt het analytisch denken, levert inhoudelijke kennis op en bevordert een onderzoekende houding. Dat zijn zeker voorwaarden voor goed docentschap. Aan de meest bepalende factor in onderwijs, de relatie student-docent, levert het geen directe bijdrage. Indirect mogelijk wel omdat meer kennis de docent in staat stelt beter verbanden uit te leggen tussen leerinhouden en voorkennis, beter uitdagende taken voor studenten te bedenken en studenten daar beter bij te begeleiden. Bij deze constatering zijn we aangeland bij de aanleiding voor het onderzoek: het verschijnen van de kennisbasis en de kennisbasistoets voor pabostudenten. Ook hier is het doel het kennisniveau van (aanstaande) leerkrachten omhoog te brengen met het doel betere leerkrachten af te leveren. Juni 2015, Gerard Boersma 7

8 3 Probleemverheldering Twee ontwikkelingen vormen de aanleiding voor dit onderzoek: de maatschappelijke discussie over de kwaliteit van lerarenopleidingen - die van de lerarenopleiding basisonderwijs in het bijzonder - en de maatschappelijke discussie over de kwaliteit van het onderwijs, waaronder reken-wiskundeonderwijs (KNAW, 2009; van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012; van Zanten, 2010). Een opbrengst uit beide discussies voor de pabo is de kennisbasis voor rekenen-wiskunde (Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009). Hierin is het gewenste eindniveau voor pabostudenten beschreven met betrekking tot rekenenwiskunde en de didactiek van rekenen-wiskunde. De rekenwiskundige-inhouden uit de kennisbasis zijn te typeren als een beroepsspecifieke invulling van niveau 3S (van Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009). Vervolgens is er tussen het ministerie en de HBO-raad (vanaf april 2013 Vereniging van Hogescholen ) de afspraak gemaakt dat, met ingang van het cohort , studenten een landelijke toets moeten behalen waarmee de reken-wiskundige kennis en vaardigheden uit de kennisbasis wordt getoetst. Deze kennis en vaardigheden zijn beschreven in het document Toetsgids pabo rekenenwiskunde (Vereniging van Hogescholen, 2013). Hiermee is er naast de al sinds schooljaar verplichte Wiscat -toets die studenten in hun eerste jaar aan de opleiding moeten halen een tweede landelijke reken-wiskundetoets. Een deel van de in de toetsgids beschreven wiskundekennis en vaardigheden vallen niet onder de kerndoelen en zijn dus voor de student niet direct zichtbaar in de basisschool. De student kan zich niet zonder meer in deze inhouden bekwamen door bijvoorbeeld leerlingenwerk te analyseren of lessen voor te bereiden en te geven. De betreffende inhouden, in het vervolg ook aangeduid als meer geavanceerde wiskunde, kunnen min of meer kaal, los van de beroepscontext worden aangeboden. Op Pabo Nijmegen wordt dat op dit moment op deze manier gedaan. De keuze hiervoor is bepaald door tijdsdruk en de mogelijkheid de lessen te laten verzorgen door een wiskundig geschoolde docent. Daarnaast speelde het gegeven dat het reguliere onderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek beperkt is tot kleine - in tijd afgebakende onderwijseenheden een rol. Dit verhoudt zich niet met het leren van rekenen-wiskunde, dat een langlopend proces is. Door de meer geavanceerde wiskunde in een langer lopende lijn aan te bieden werd dit probleem omzeild. Het blijkt dat onderzoekers en een groot deel van de pabodocenten het scheiden van onderwijs in didactiek en onderwijs in wiskunde ongewenst vindt (theoretisch kader). Een mogelijk nadeel kan een te grote nadruk op het halen van de toets zijn in plaats van op het vergaren van wiskundige kennis die nodig is om het vak te onderwijzen (van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012). Mogelijk blijven kansen liggen om vanuit ervaringen van studenten met het bedrijven van wiskunde op eigen niveau de koppeling met de didactiek te leggen. Mogelijk werkt het bevreemdend op een grote groep studenten 8

9 om wiskunde die voor een deel al in de vooropleiding aan de orde is geweest op een beroepsopleiding los van dat beroep nogmaals aangeboden te krijgen. Een tweede manier om de meer geavanceerde wiskunde-inhouden aan de orde te stellen zou zijn deze in te bedden in een didactische context. Deze werkwijze sluit aan bij een visie op opleidingsdidactiek voor rekenen-wiskunde waarbij beoogd wordt rekenen-wiskunde zoveel mogelijk te leren door de beroepscontext te gebruiken en studenten de kennis aan de hand van betekenisvolle opdrachten zelf te laten construeren. Dit heeft mogelijk een positief effect op de motivatie en zou kunnen leiden tot hogere leerresultaten. Het is de vraag of en hoe het mogelijk is om studenten op de tweede manier voor te bereiden op de toets. Belemmeringen kunnen zitten bij reproductiegerichte studenten (Oosterheert, 2011), zwakke rekenaars en bij opleidingsdocenten die onvoldoende thuis zijn of zich onvoldoende thuis voelen in de meer geavanceerde wiskunde en de didactiek ervan (Keijzer & van Zanten, 2010). Een verkenning onder opleiders (p ) leert dat er breed belangstelling bestaat voor het onderwerp, waarbij er verschillend gedacht wordt over de wenselijkheid en mogelijkheid de tweede manier te realiseren. Dit onderzoek beoogt een bijdrage te leveren aan de vraag of en hoe het mogelijk is opleidingsonderwijs te verzorgen waarbij studenten meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek te leren. De opbrengsten worden intern op Pabo Nijmegen gebruikt en staan ter beschikking aan de beroepsgroep door bijdragen aan conferenties en het schrijven van één of meerdere artikelen in een vaktijdschrift. 9

10 4 Theoretisch kader Dit hoofdstuk start met een inleiding over realistisch reken-wiskundeonderwijs, de in Nederland dominante stroming binnen de didactiek. Het doel van het vak rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo is immers dat studenten leren realistisch reken-wiskundeonderwijs aan kinderen op de basisschool te verzorgen. Vervolgens wordt beschreven welke wiskundekennis nodig is om dit onderwijs te verzorgen en de uitwerking hiervan in de Nederlandse situatie in de zogenaamde de kennisbasis. Tot slot komt de opleidingsdidactiek, die beoogt studenten te ondersteunen om de kennis uit de kennisbasis te verwerven, aan bod. 4.1 Realistisch reken-wiskundeonderwijs Realistisch rekenen-wiskunde is een ontwikkeling die in gang is gezet als een reactie op het mechanistisch rekenen en op de zogenaamde New Math in de jaren 70 (Treffers, Moor & Feijs, 1989; Treffers, 2010i en ii). Het gaat uit van een constructivistische visie op leren, die leidt tot vijf onderwijsprincipes (Treffers, Moor, & Feijs, 1989): 1. Het onderwijs sluit aan bij de betekenisvolle realiteit van kinderen. 2. Het onderwijs verschaft de leerlingen hulpmiddelen als modellen en materialen om de afstand tussen het werken op concreet niveau en handelen op abstract niveau te overbruggen. 3. Het onderwijs stelt leerlingen in staat eigen oplosprocedures te ontwikkelen en zelf opgaven te produceren. 4. Het onderwijs is interactief: biedt ruimte voor uitwisseling van ideeën, argumenten, etc. 5. Leergangen uit verschillende leerstofgebieden moeten zoveel mogelijk met elkaar verstrengeld worden. Keijzer en Kool (Keijzer & Kool, 2012) noemen als belangrijkste kenmerk dat leerlingen aan de hand van open problemen hun eigen oplossing zoeken en op hun eigen niveau werken waarmee zij een bij realistisch reken-wiskundeonderwijs passende opvatting van werken op niveau geven. Zij even hier een specificering van het derde onderwijsprincipe van Treffers et al. (1989). Na de inmiddels geluwde discussies over realistisch- versus traditioneel rekenen van enkele jaren geleden (KNAW, 2009) zijn de methodes die op dit moment in de basisschool worden gehanteerd nog steeds van realistische signatuur (Scheltens, Hemker, & Vermeulen, 2011). Een recente, door het onderwijsveld breed gedragen, publicatie over ernstige rekenproblemen en dyscalculie (Groenestijn, Borghouts, & Janssen, 2011) gaat ook uit van deze visie op reken-wiskundeonderwijs. 4.2 Wiskundekennis voor leerkrachten Hill, Rowan en Ball (2005) laten zien dat kennis wiskundekennis van de leerkracht een positief effect heeft op prestaties van leerlingen, waar eerdere studies vooral hun focus hadden op de relatie tussen 10

11 leerkrachtgedrag, leerkrachtkarakteristieken en leereffecten van leerlingen. Om nauwgezetter aan te kunnen geven om welke kennis van wiskunde het daarbij gaat komen Ball, Thames & Phelps (2008), voortbordurend op het werk van Shulman (1986), tot een indeling waarbij zij kennis over wiskunde en vakdidactische kennis onderscheiden. De wiskundekennis wordt door hen in drie categorieën verdeeld: common content knowledge (cck), specialised content knowledge (sck) en horizon content knowledge (hck). Bij common content knowledge gaat het om algemene wiskundige kennis, vergelijkbaar met basale gecijferdheid: het kunnen oplossen van opgaven die de leerlingen maken (Oonk, Zanten, & Keijzer, 2007). Een onderdeel van cck is kennis die niet-leraren ook hebben. Bij specialised content knowledge gaat het om wiskundige kennis en vaardigheden die uniek zijn voor onderwijzen. Het betreft hier diepgaande, flexibele en gespecialiseerde kennis van de basisschoolleerstof (Kool & Keijzer, 2012). Ball et al. (2008) sommen een aantal specifieke taken op waarin om deze kennis wordt gevraagd, zoals het zoeken naar patronen in fouten van leerlingen en het kennen van verschillende interpretaties van bewerkingen, bijvoorbeeld het opdelen en verdelen bij de bewerking delen. Bij horizon content knowledge gaat het over de verbinding van de wiskunde die aan de orde is met doelen en inhouden die verderop in de leerlijn aan bod komen, ook in het vervolgonderwijs (Kool & Keijzer, 2012). Daarnaast gaat het om relaties tussen verschillende onderwerpen (Groot, 2012). Hck is mogelijk geïntegreerd met andere categorieën, dit is nog onduidelijk (Ball et al., 2008). De didactische kennis wordt door Ball et al. ook in drie categorieën uiteengelegd. Deze worden verderop in dit hoofdstuk besproken. Keijzer en de Goeij (2014) voegen in hun model voor opleidingsonderwijs een aspect aan de indeling toe, ingegeven door het bestaan van de kennisbasis. Het gaat bij dit aspect louter om het verwerven van wiskundige kennis die niet direct herkenbaar en toepasbaar is in het basisonderwijs. In het vervolg van dit onderzoek wordt deze kennis getypeerd als meer geavanceerde wiskunde. Ball et al. (2008) hebben het sterke vermoeden dat de wiskunde die nodig is voor leraren anders van aard is en anders zou moeten worden geleerd dan via puur op de wiskunde gerichte cursussen. Eén van de onderzoeksrichtingen voor vervolgonderzoek die zij voorstellen is of en hoe verschillende benaderingen voor het opleiden van leraren effect hebben op specifieke onderdelen van de vakdidactische kennis. 4.3 Kennisbasis De Nederlandse situatie is niet zonder meer vergelijkbaar met die in het buitenland (Kool & Keijzer, 2012). Zo blijkt uit de Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M) (Tatto, et 11

12 al., 2012) dat de kwaliteit van instromende studenten ertoe doet, er grote verschillen tussen landen zijn en het helpt als het beroep van leraar een goede status heeft. Het TEDS-M rapport onderscheidt verschillen in curricula van de basisschool en van de opleidingen, kwaliteit van de reken-wiskundelessen en van opleidingen. Het niveau van de wiskunde in de kennisbasis in Nederland ligt onder dat van de Aziatische landen, hoewel het de vraag is in hoeverre dat invloed heeft op de kwaliteit van het onderwijs omdat daar specifieke kennis van de wiskunde wordt gevraagd, meer dan de geavanceerde kennis (Kool & Keijzer, 2012) die onderwerp is van dit onderzoek. Al voor het verschijnen van de kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo is in Nederland beschreven waar de reken-wiskundige kennis, vaardigheden en inzichten die nodig zijn om het vak te onderwijzen uit zouden moeten bestaan (Oonk, Zanten, & Keijzer, 2007): het verwerven van elementaire rekenvaardigheid, in het bijzonder het oplossen van opgaven uit reken-wiskundemethoden voor de basisschool (cck); het herkennen van wiskunde in de eigen omgeving en die van kinderen (sck); het gericht zijn op oplossingsprocessen bij het (laten) oplossen van reken-wiskundeproblemen (kcs); het inspelen op het wiskundig denken van leerlingen (kcs en kct). Deze elementen van wat Oonk et al. (2007) omschrijven als professionele gecijferdheid hebben betrekking op vier van de zes categorieën die Ball et al. (2008) onderscheiden, waaronder de didactische categorieën kcs en kct. Dit is tussen haken aangegeven. De elementen kcs en kct hebben betrekking op vakdidactiek en worden hierna toegelicht. Het elementen hck ontbreekt. De derde vakdidactische categorie die Ball et al. (2008) onderscheiden, knowlegde of content and curriculum (kcc), ontbreekt eveneens. In de inleiding op de kennisbasis geven van Zanten et al. (2009) aan hoe zij vanuit onder andere de classificatie van Ball et al. (2008), de classificatie uit de beschrijving van de referentieniveaus (Meyerink, 2009) en die van professionele gecijferdheid gekomen zijn tot de volgende indeling van de kennisbasis: Kennis van rekenen-wiskunde. Reken-wiskundige kennis die specifiek is voor leerkrachten basisonderwijs. Maatschappelijke relevantie/verstrengeling. Uit de hoek van Beter Onderwijs Nederland kwam nog een kritisch tegengeluid (Stichting Goed Rekenonderwijs, 2009), leidend tot een alternatieve kennisbasis. Kenmerken van dit alternatief zijn een sterke gerichtheid op formele procedures, het niet inzetten van de rekenmachine en de beperkte aandacht voor handig rekenen. Deze kennisbasis heeft echter geen vervolg gekregen in wetgeving en voor het pabocurriculum. 12

13 Een deel van de in de kennisbasis beschreven wiskundekennis is niet direct zichtbaar in de basisschool. Dit was voor veel opleidingen een nieuw gegeven en heeft niet alleen maar tot positieve reacties geleid (van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012; de Groot, 2012). Docenten vragen zich bijvoorbeeld af of de kennis relevant is voor de beroepspraktijk en of studenten of opleiders overvraagd worden. De wijze waarop studenten de kennis uit de kennisbasis verwerven zou moeten passen binnen de visie op opleidingsdidactiek van de opleidingen. Deze wordt hieronder besproken, waarbij eerst het begrip didactiek wordt uitgediept. 4.4 Didactiek Van Dale (2009) geeft de volgende omschrijving van het begrip didactiek: de kunst van het onderwijzen. Kennis van didactiek en vakkennis gaan hierbij hand in hand waarbij het onderscheid tussen de twee niet scherp is te leggen. Ter illustratie hiervan volgt een citaat van een gedeelte van de beschrijving van een van de vier vakdidactische competenties zoals die in de kennisbasis (Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009) is beschreven: Ook kan de leerkracht beoordelen of oplossingsmethoden perspectief bieden voor langlopende leerprocessen rekenen-wiskunde. Hetzelfde geldt voor strategieën op verschillende abstractieniveaus - contextgebonden, met modellen of materialen en formeelabstract. Hier zijn kennis over wiskunde en over vakdidactiek met elkaar verweven. Ball et al. (2008) onderscheiden drie soorten vakdidactische kennis: knowledge of content and students (kcs), knowledge of content and teaching (kct) en knowledge of content and curriculum (kcc), waarbij niet zeker is of kcc wel een aparte categorie is. In de kennisbasis wordt herhaaldelijk gesproken over kennis over het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde. Bij kennis over leren gaat het om kcs, bij kennis over onderwijzen om kct. Kennis over de leerinhouden staat hiermee constant in wisselwerking. Het lijkt vanzelfsprekend dat kennis van wiskunde voorwaardelijk is om kennis over de didactiek ervan te verwerven. In de opleiding is het werken aan kennis over didactiek echter een belangrijke aanjager voor het werken aan wiskundige kennis, zie bijvoorbeeld Kool & Keijzer (2012). Kennis over leren en onderwijzen impliceert specialised content knowledge (Ball et al., 2008). Hoewel het hier gaat om kennis van de wiskunde en niet van de didactiek betreft het kennis die door studenten op de opleiding moet worden verworven. In samenhang met didactiek kan in dit onderzoek dus ook betekenen dat studenten door het leren van meer geavanceerde wiskunde hun specialised content knowledge over inhouden die wel op de basisschool aan de orde zijn verrijken. Als het gaat om opleidingsonderwijs waarbij het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek plaatsvindt wordt de didactiek van rekenen-wiskunde op de basisschool bedoeld. Het gaat er dus niet om dat studenten de didactiek van de meer gevanceerde wiskunde leren. 13

14 4.5 Opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde Analoog aan de onderliggende visie op rekenwiskundeonderwijs aan kinderen op de basisschool is er in Nederland sprake van een constructivistische kijk op opleidingsonderwijs voor rekenen-wiskunde en didactiek (Goffree & Dolk, 1995). Een iconisch ontwerp dat aansluit op deze aanpak is het Land van Okt (Goffree, 1995) waarin studenten aan de hand van een metafoor van stripfiguren met vier vingers leren rekenen in het achttallig stelsel. Maar vooral aan den lijve ervaren wat cruciale momenten zijn in de leerlijn getallen en bewerkingen. In de Proeve van een nationaal programma rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo (Goffree & Dolk, 1995) wordt de werkvorm Mathematisch-didactisch practicum gedefinieerd als een vorm waarin studenten werken aan opgaven waardoor hun kennis en vaardigheden in rekenen-wiskunde op een hoger niveau gaan functioneren in samenhang met opgaven waardoor hun kennis in onderwijsen leerprocessen wordt uitgebreid. Uit de voorbeelden die zij noemen blijkt dat het hier, wat de wiskunde betreft, vooral gaat om inhouden uit de basisschool. Gestimuleerd door de mogelijkheden die ict biedt is er de laatste jaren een didactiek ontwikkeld waarbij studenten leren van praktijksituaties aan de hand van video s met vragen en verdiepende teksten (Dolk et al., 1996; Oonk et al., 2010i en 2010ii). De wiskunde die hierbij aan de orde is betreft de wiskunde van de basisschool. Een deel van de pabo s heeft wat de meer geavanceerde wiskunde betreft, de koppeling van inhoud en beroepscontext losgelaten. Keijzer en de Goeij (2014) geven hier een aantal redenen voor aan, zoals het feit dat de kennisbasistoets alleen wiskundige kennis en vaardigheden toetst. De ontkoppeling heeft vermoedelijk geleid tot motivatieproblemen bij studenten (Keijzer & Kool, 2012). Een deel van de opleiders spreekt zijn zorg uit over het verlaten van de reconstructiedidactiek en is bevreesd dat studenten reproductiegericht gaan leren en zich teveel gaan richten op de toets (van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012). Het loslaten van de koppeling tussen inhoud en beroepscontext is nooit de bedoeling geweest van het opstellen van de kennisbasis (Keijzer & de Goeij, 2014). Zij schetsen een aantal scenarios voor implementatie van de kennisbasis. Bij deze scenario s gaat het wat de wiskunde betreft vooral om de wiskunde voor de basisschool. De meer geavanceerde wiskunde plaatsen zij buiten het model van Ball et al. (2008), waarbij zij aangeven dat er wel mogelijkheden zijn deze wiskunde te verbinden met het onderwijs, bijvoorbeeld door het creëren van een rijke leeromgeving met betrekking tot het leren rekenen met repeterende breuken die leidt tot een doordenking van het fenomeen rijke leeromgeving. Tijdens het in 2012 gehouden International Congress on Mathematical Education (ICME-12) was één van de studiegroepen gewijd aan wiskundige kennis voor het onderwijzen op de basisschool (Mathematical knowledge for teaching at primary level). Het ging hierbij om de aard van de kennis en om de manieren om deze te onderwijzen. Men pleit voor het koppelen van professionele ontwikkeling 14

15 aan onderwijzen en aan curriculummaterialen (Jakobsen, Thames, Ribeiro, & Delaney, 2012), ook waar het meer geavanceerde wiskunde betreft. Jakobsen et al. geven enkele voorbeelden van de wijze waarop meer geavanceerde wiskundekennis een rol kan spelen in een lessituatie in de basisschool. Ze stellen daarnaast dat het bij horizon content knowledge vaak gaat om wiskundige structuren die al in de wiskunde van de basisschool opgesloten zitten. Het leren ervan start met beide voeten op de grond van de basisschool en strekt zich, vanuit dat perspectief, uit tot de wiskundige horizon. Zij constateren dat het gronden van meer geavanceerde wiskunde in de context van de basisschool weliswaar niet nieuw is, maar nog niet systematisch ontwikkeld. Taveau (2012) geeft als voorbeeld van een ontwerp voor opleidingsonderwijs waarin het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek plaatsvindt een uitwerking waarin onder andere het handenschudprobleem naar voren komt, een vraagstuk dat in de Nederlandse opleidingen al enige decennia een rol vervult (Pabo Nijmegen, 1991). Handen schudden: een groep studenten die elkaar niet kent schudt elkaars handen. Hoeveel handen worden geschud? Thanheiser (2012) voert aan dat het om studenten te motiveren nodig is om hen bewust te maken van het feit dat ze nog veel te leren hebben, bijvoorbeeld bij het analyseren van leerlingenwerk. Marcinek (2012) geeft in het verlengde hiervan een aantal werkvormen om studenten te richten op het wiskundig denken van andere studenten: het beoordelen van werk van andere studenten, in gesprek gaan met de medestudenten over de beoordeling en de beoordeling naderhand bijstellen; het uitschrijven van een oplossing op een vraagstuk waarna de oplossing door een andere student wordt gepresenteerd; een vraagstuk oplossen door studenten onder begeleiding van een andere student; een dialoog schrijven met een student naar aanleiding van een oplossing op een vraagstuk. Zijn voorlopige bevindingen zijn dat studenten zich bewust worden van valkuilen bij het interpreteren van andermans oplossingen. Hij doet geen uitspraken over de mate waarin studenten wiskunde hebben geleerd. 4.6 Motivatie en relevantie Eén van de problemen bij het loslaten van de koppeling tussen het leren van wiskunde en didactiek wordt gevormd door motivatieproblemen bij studenten (Keijzer en de Goeij, 2014). Omdat het begrip motivatie terugkomt in één van de onderzoeksvragen wordt het hier nader gedefinieerd. Motivatie komt van movere wat in beweging zetten betekent (Oosterheert, 2011, p. 105). Van Dale definieert motivatie als drijfkracht. 15

16 In dit onderzoek wordt motivatie gekoppeld aan het door studenten als relevant voor hun beroepsontwikkeling ervaren van leer- en studieactiviteiten. Waar het scheiden van wiskunde en didactiek mogelijk leidt tot een versterkt leren voor de toets in plaats van het leren om een betere beroepsuitoefenaar te worden (Keijzer en de Goeij, 2014) is de veronderstelling dat studenten meer intrinsiek gemotiveerd zijn als zij de relevantie van de meer geavanceerde wiskunde voor hun beroep ervaren. Deze invulling van het begrip motivatie sluit aan bij wat er in de reconstructiedidactiek over wordt gezegd: het bevordert de motivatie als het leren plaatsvindt in een voor de lerende betekenisvolle context. Die betekenisvolle context op de pabo is het vak leerkracht basisonderwijs. Hiermee is de cirkel rond. Eén van de onderwijsprincipes van realistisch rekenen is immers dat het onderwijs aan moet sluiten bij de betekenisvolle realiteit van kinderen (Treffers, Moor, & Feijs, 1989; Treffers, 2010i en 2010ii; Treffers, 2015). 16

17 5 Praktijkverkenning Dit hoofdstuk start met een verkenning van bestaande materialen voor opleidingsonderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek. Daarna volgt een weergave van een vooronderzoek naar de mate waarin pabodocenten het onderwerp samenhang tussen het leren van meer geavanceerde wiskunde en didactiek relevant vinden en zichzelf bekwaam achten dit te verzorgen. Het eindigt met een bespreking van de situatie op Pabo Nijmegen. 5.1 Bestaande materialen Om na te gaan of er al materialen voor studenten beschikbaar zijn waarin de meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek wordt aangeboden zijn onderstaande methodes geanalyseerd: Kerninzichten (Oonk et al., 2011). Rekenen-wiskunde in de praktijk, onderbouw en bovenbouw (Oonk, et al., 2010i) en (Oonk, et al., 2010ii). Serie Reken-wiskunde didactiek van ThiemeMeulenhoff, hele getallen en meten en meetkunde (van Zanten et al.,2010) en (van Zanten et al., 2007). Het gaat hierbij om de in Nederland meest gebruikte publicaties. De vraag hierbij was of en in hoeverre de methodes aandacht besteden aan meer geavanceerde wiskunde-inhouden en in hoeverre dit gebeurt in samenhang met didactiek. De onderwerpen die zijn bekeken zijn talstelsels en (ontluikende) algebra. Deze keuze hangt samen met de inventarisatie die op Pabo Groenewoud is gemaakt en waarover verder in dit hoofdstuk verslag wordt gedaan. Een schematisch overzicht van de bevindingen staat in bijlage 1. De conclusie is dat er niet of sporadisch aandacht is voor de wiskunde die het niveau van de basisschool overstijgt. Als er daarbij al aandacht is voor didactiek dan gebeurt dat door het stellen van een enkele vraag, bijvoorbeeld de vraag welke kerninzichten aan de orde zijn als studenten bezig zijn met het leren van het 2-tallig stelsel. Van echte samenhang waarbij, in een les of in een hoofdstuk, tegelijkertijd wordt gewerkt aan wiskundige en didactische doelen, is geen sprake. 5.2 Opleiders Het hogere niveau aan rekenwiskundige kennis stelt eisen aan de opleiders. Een deel van de opleiders heeft geen wiskundebevoegdheid en voelt zich onvoldoende thuis in de rekenwiskunde-inhouden die het niveau van de basisschool overstijgen en de bijbehorende didactiek (Keijzer & Zanten, 2010). Daarbij komt dat de verhoging van het aantal contacturen rekenen-wiskunde ertoe leidt dat er nieuwe opleiders moeten komen. Omdat er geen opleidingen zijn tot docent rekenen-wiskunde ligt hier een probleem (Keijzer & Zanten, 2010). 17

18 Om na te gaan in hoeverre pabodocenten in Nederland het onderwerp van het onderzoek relevant vinden en zichzelf bekwaam achten de meer geavanceerde wiskunde te onderwijzen vinden is er een stellingenlijst ontworpen (bijlage 2). De conceptlijst is becommentarieerd door leden van de ELWIeRonderzoeksgroep, bijgesteld en landelijk in mei 2013 uitgezet. 47 docenten van 27 verschillende opleidingen hebben gereageerd. Uitgaande van 130 pabodocenten in Nederland (Groot, 2012) komt dit neer op een respons van 36%. De stellingen werden gescoord op een schaal van 1-5 waarbij 1 staat voor helemaal niet en 5 voor zeer zeker. Een overzicht van alle stellingen met respons staat in bijlage 2. De respondenten konden bij elke stelling een toelichting geven. In tabel 1 staan de stellingen die het meest direct ingaan op de vraag in hoeverre pabodocenten het onderwerp relevant vinden en zichzelf bekwaam achten meer geavanceerde wiskunde te onderwijzen, met de respons. Tabel 1: Stellingen en respons bij de navraag naar relevantie en eigen inschatting van bekwaamheid. Stelling Helemaal niet Zeer zeker Totaal Het heeft mijn voorkeur de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool geïntegreerd met didactiek aan te bieden. Ik zou tijdens een conferentie kiezen voor een presentatie van het onderzoek. Ik zou een artikel waarin het onderzoek wordt beschreven in zijn geheel lezen. Ik zou graag één of enkele ontwerpen uit willen proberen. Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen. Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. n % n % n % n % n % n % Uit de grote spreiding van de respons bij de stelling Het heeft mijn voorkeur de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool geïntegreerd met didactiek aan te bieden blijkt dat de respondenten verschillend denken over het aan studenten in samenhang met didactiek aanbieden van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. Hieronder staat een tweetal citaten dat deze tegenstelling illustreert. Docent 16: Het integreren met didactiek kost mijnsinziens teveel tijd en het levert niet een winst op die voor de student direct zichtbaar is. Rekenen is voor de meeste studenten al lastig genoeg. 18

19 Daarbij is het mijn ervaring dat we niet alles uit de kennisbasis in ons curriculum kwijt kunnen, en daarom zou ik prioriteiten elders leggen als er extra tijd komt voor rekenen. Docent 31: Geïntegreerd met didactiek betekent voor mij in ieder geval: laten zien op welke manier opdrachten en projecten voor leerlingen beter en rijker worden wanneer de leerkracht meer van een onderwerp weet, ook al ga je niet alle kennis overdragen. Het is vergelijkbaar met de redenering waarom ook kleuterjuffen iets van breuken moeten weten: die leerlijn begint al bij de kleuters. Zo lopen de leerlijnen na groep 8 ook door: je moet 'natuurlijk' weten voor welke theorie je de voedingsbodem aan het leggen bent. Uit de respons op de stellingen Ik zou tijdens een conferentie kiezen voor een presentatie van het onderzoek en Ik zou een artikel waarin het onderzoek wordt beschreven in zijn geheel lezen blijkt dat de belangstelling voor het onderwerp groot is. Hierbij is een score van 4 of 5 op de 5-puntschaal als positief is gelabeld. Zo geeft 87% van de respondenten aan een artikel over het onderwerp in zijn geheel te zullen lezen, is 73% van de respondenten van plan een presentatie over het onderwerp tijdens een conferentie te bezoeken en zou 69% van de respondenten die daartoe in de gelegenheid is komend schooljaar ( ) een ontwerp in de eigen situatie uit willen proberen. Uit de respons op de stellingen Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen en Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool blijkt dat een deel van de docenten zich onvoldoende (score van 1, 2 of 3 op de 5-puntschaal) in staat voelt om opgaven met meer geavanceerde wiskunde te maken of er studenten in te onderwijzen. Bij de stelling Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen gaat het om 15% van de docenten, bij de stelling Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool om 17%. Om na te gaan of er verschillen zijn tussen docenten met of zonder wiskunde in hun vooropleiding en tussen mannelijke en vrouwelijke docenten in de mate waarin zij zichzelf in staat achten opgaven met meer geavanceerde wiskunde op te lossen en studenten hierin te onderwijzen is er een Mann-Whitney test bij deze twee stellingen uitgevoerd. Wiskunde in de vooropleiding wordt hierbij gedefinieerd als het hebben van een eerste- of tweedegraads wiskundebevoegdheid of een opleiding aan een TU. De door velen genoemde cursus van vier bijeenkomsten op het Freudenthal Instituut wordt niet als wiskundige vooropleiding gezien. De resultaten zijn opgenomen in tabel 2 en 3. 19

20 Tabel 2: Resultaten Mann-Whitney test voor respondenten met en zonder wiskunde in de vooropleiding. Tabel 3: Resultaten Mann-Whitney test voor mannelijke en vrouwelijke respondenten. Stelling Zonder wiskunde Met wiskunde Overig n Mean rank n Mean rank p effectgrootte Ik ben in staat opgaven waarin deze 24 17, ,76 0,000 0,53 wiskunde naar voren komt zelf op te lossen. Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool , ,67 0,000 0,53 Stelling Mannen Vrouwen Overig n Mean rank n Mean rank p effectgrootte Ik ben in staat opgaven waarin deze 24 29, ,43 0,0015 0,44 wiskunde naar voren komt zelf op te lossen. Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool , ,41 0,006 0,37 Uit de test blijkt dat docenten zonder wiskunde in de vooropleiding en vrouwelijke docenten significant lager scoren op beide stellingen dan docenten met wiskunde in de vooropleiding respectievelijk mannelijke docenten. In het eerste geval is er een kans van 0,000 bij beide stellingen dat dit resultaat op basis van toeval is verkregen, in het tweede geval zijn deze kansen 0,0015 en 0,006. In het eerste geval kan gesproken worden van een groot effect, in het tweede geval van een gemiddeld effect (Field, 2009) Omdat er meer vrouwen dan mannen zonder wiskunde in de vooropleiding zijn is er een Kruskal-Wallis test uitgevoerd bij beide stellingen waarbij de respondenten in vier groepen zijn verdeeld. De resultaten staan in tabel 4. Vrouwen zonder wiskunde in de vooropleiding blijken de laagste gemiddelde rang te hebben. Deze blijkt significant lager te zijn dan de score van mannen zonder wiskunde (p = 0,0195 bij de stelling Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen en p = 0,001 bij de stelling Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool ). 20

21 Tabel 4: Resultaten Kruskall-Wallis test bij stelling 2 en 3. Stelling Vooropleiding Geslacht n Gemiddelde rang Ik ben in staat opgaven waarin deze Met wiskunde Man 14 33,64 wiskunde naar voren komt zelf op te Vrouw 9 26,28 lossen. Zonder wiskunde Man 10 23,30 Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. Vrouw 14 13,39 Met wiskunde Man 14 29,61 Vrouw 9 32,33 Zonder wiskunde Man 10 26,70 Vrouw 14 11,11 Een volledig overzicht van de respons op beide stellingen, uitgesplitst naar vooropleiding en geslacht, staat in bijlage 2. Er blijkt geen relatie tussen de respons bij stellingen Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen en Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool en die bij de stelling Het heeft mijn voorkeur de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool geïntegreerd met didactiek aan te bieden, (r s is -0,110 respectievelijk 0,019 met p = 0,462 respectievelijk 0,897). Conclusies: Het onderwerp van het onderzoek wordt door pabodocenten in Nederland als relevant ervaren. Een deel van de pabodocenten acht zich onvoldoende in staat meer geavanceerde wiskunde te onderwijzen, wat aansluit bij de bevindingen van Keijzer & Zanten (2010). De eigen inschatting van het niveau van professionele gecijferdheid ten aanzien van meer geavanceerde wiskunde heeft geen relatie met de wens deze wiskunde al of niet in samenhang met didactiek te onderwijzen. 5.3 Situatie op Pabo Nijmegen Pabo Nijmegen vormt samen met Pabo Arnhem de HAN Pabo. De pabo s hebben op dit moment een verschillend curriculum. Vanaf schooljaar krijgen de twee pabo s een gemeenschappelijk curriculum, te beginnen in pabo 1. In datzelfde schooljaar wordt de kernfase (pabo 2 en 3) ontwikkeld. De situatie op Pabo Nijmegen is uitgangspunt voor het onderzoek geweest omdat de onderzoeker daar werkzaam is als docent. Curriculum Op Pabo Nijmegen werken studenten aan de hand van beroepstaken. De diverse vak- en leergebieden leveren hierbij de inhouden. In de bijdragen van rekenen-wiskunde aan de beroepstaken wordt geïntegreerd gewerkt aan didactische en rekenwiskundige kennis, vaardigheden en attitude. Vanaf 21

22 pabo 2 volgen studenten een jonge kind (groep 1 t/m 4) of een oudere kind (groep 5 t/m 8) specialisatie. Nog voor het verschijnen van de Toetsgids (Vereniging van Hogescholen, 2013) is door de onderzoeker nagegaan welke onderwerpen uit de kennisbasis niet in het curriculum aan bod kwamen (bijlage 3). De betreffende inhouden worden in schooljaar in een aparte lijn aan de tweedejaars aangeboden. In het schooljaar loopt deze door in het derde leerjaar. Deze lijn staat los van het werken aan beroepstaken en los van lijn rekenen-wiskunde en didactiek. Deze werkwijze is ingegeven door tijdsnood en door het gegeven dat door de inhouden apart aan te bieden de uitvoering gedaan kan worden door een wiskundig geschoolde docent. Uit de inventarisatie blijkt dat er een tiental onderwerpen in het reguliere curriculum onvoldoende aandacht krijgt. Twee daarvan springen er qua omvang uit: talstelsels en ontluikende algebra. Daarom wordt ervoor gekozen om deze onderwerpen te betrekken in het ontwerp. Docenten en studenten Op Pabo Nijmegen werken in schooljaar zes docenten rekenen-wiskunde en didactiek, waarvan één met een tweedegraads- en één met een eerstegraadsbevoegdheid wiskunde. Het percentage docenten met een wiskundebevoegdheid ligt hiermee onder dat van de respondenten bij de navraag naar de relevantie van het onderzoek. Dat ligt op 49%. In diverse overleggen is het onderwerp van het onderzoek besproken. Daarnaast is met een drietal collega s een kort interview gehouden. De bevindingen over de studenten komen uit die interviews. Iedere docent vindt het een verbetering als wiskunde-inhouden aan didactiek zouden worden gekoppeld. Nu gebeurt dat incidenteel en ad hoc als de uitvoerende docent studenten ondersteunt en refereert aan elementen van de didactiek op de basisschool. Vragen als: Hoe zou je kinderen hiermee helpen? met als doel dat de student dezelfde middelen inzet om zichzelf te helpen. Van echte samenhang met didactiek is geen sprake. Dit is in de huidige opzet ook niet de bedoeling. De uitvoerende docenten geven aan dat studenten gemotiveerd aan de opgaven werken in de bijeenkomsten. Motivatieproblemen zoals deze in Kool & Keijzer (2012) worden geconstateerd doen zich niet voor. Thuis oefenen doet slechts een deel van de studenten. Studenten ervaren het niet als een probleem dat ze een deel van de inhouden al in het voortgezet onderwijs tegen zijn gekomen (wat overigens niet voor iedere student het geval is). Ze vinden het fijn als deze even worden opgehaald, ook de studenten met vwo als vooropleiding. Wel hebben studenten soms vragen bij de relevantie van bepaalde inhouden, zoals bijvoorbeeld talstelsels. Daarnaast zouden ze er prijs op stellen als ze zouden kunnen werken uit een boek. Dit zou houvast geven bij de vraag of ze voldoende op niveau zijn. Niet iedereen blijkt de toetsgids, die ook als doel heeft dit houvast te geven, te bestuderen. 22

23 De docenten denken verschillend over het belang van de meer geavanceerde wiskunde voor de ontwikkeling van studenten. Waar de ene docent (met een tweedegraads-wiskundebevoegdheid) het analytisch leren denken, gestimuleerd door te werken aan deze inhouden, van belang vindt, zijn de andere twee docenten bezorgd dat door de verhoogde eisen kwaliteit verloren gaat. Men is het erover eens dat het goed zou zijn als tenminste een deel van de docenten in het basisonderwijs wel over kennis van meer geavanceerde wiskunde zou beschikken. Die docenten zouden dan bijvoorbeeld beter op goede leerlingen in de bovenbouw kunnen reageren. De docenten zonder wiskundige achtergrond onderkennen problemen bij zichzelf met het flexibel inspelen op vragen en denkwijzen van studenten. Het gaat hier om dezelfde bekwaamheden als die we van studenten vragen in relatie met leerlingen van de basisschool (Oonk et al., 2007). De docenten geven aan dat zij, om deze vaardigheden te ontwikkelen, tijd nodig hebben. Tevens dat gesprekken met collega s over de leerstof en de bijbehorende opleidingsdidactiek en het gezamenlijk voorbereiden van lessen hen hierbij zouden helpen. 23

24 6 Ontwerpprincipes en onderzoeksvraag Uit het theoretisch kader en de praktijkverkenning blijkt dat veel onderzoekers en een groot deel van de pabodocenten vinden dat het leren van wiskunde die nodig is om het vak te kunnen onderwijzen in de voor studenten betekenisvolle context van het onderwijs zelf plaats zou moeten vinden maar dat er weinig uitgewerkte voorbeelden zijn van de manier waarop dit dan zou moeten als het wiskunde betreft die niet direct zichtbaar is in de basisschool. In de praktijk wordt deze wiskunde veelal als een aparte lijn aangeboden. Er is dus een discrepantie tussen de door velen gewenste en de bestaande situatie, ook op de pabo s van de HAN. Als mogelijk nadelige effecten van de scheiding van onderwijs in wiskunde en didactiek wordt in de literatuur een verminderde motivatie bij studenten en een te grote gerichtheid op de toets genoemd. Daarnaast wordt geconstateerd dat de ontkoppeling van het leren van didactiek en wiskunde niet aansluit bij opleidingsdidactiek zoals die was voor het verschijnen van de kennisbasis, waarbij het leren van wiskunde in de betekenisvolle context van het vak van leerkracht basisonderwijs plaatsvond. Het doel van het onderzoek is om na te gaan of en hoe het mogelijk is om, aan de hand van de vanuit het vooronderzoek ontwikkelde ontwerpprincipes, opleidingsonderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek te ontwerpen waarbij meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek onderwezen wordt. De principes wortelen deels in internationale literatuur. Dit roept de vraag op of ze ook toepasbaar zijn op de Nederlandse situatie. In de literatuur wordt tevens aangegeven dat er nog onvoldoende bekend is over het effect van op de ontwerpprincipes gebaseerde opleidingsonderwijs op studenten. De ontwerpprincipes kunnen gebruikt worden bij het verder ontwikkelen van het curriculum (rekenenwiskunde en didactiek) op Pabo HAN maar ook op andere pabo s in Nederland. Hieronder worden de ontwerpprincipes in grote lijnen beschreven. Dit maakt het mogelijk ze bij andere wiskundige en didactische inhouden in te zetten. Bij de beschrijving van de interventie in hoofdstuk 7 wordt toegelicht hoe de ontwerpprincipes concreet in drie ontwerpen zijn verwerkt en waarom dat op die manier is gebeurd. 6.1 Ontwerpprincipes Verdieping De wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek. Dit principe sluit aan bij de werkvorm Wiskundigdidactisch practicum (Goffree & Dolk, 1995). Het is al goed uitgewerkt voor wiskunde van de basisschool maar minder voor de meer geavanceerde wiskunde (Keijzer & Goeij, 2014). Door het geleerde te betrekken op inhouden die wel op de basisschool worden onderwezen wordt bij dit 24

25 principe tevens gewerkt aan specialised content knowledge (sck) met betrekking tot wiskundeinhouden van de basisschool, aan knowledge of content and students (kcs) en aan knowledge of content and teaching (kct). Beroepsrelevant Zowel Marcinek (2012), Duman en Keijzer (2011) als Keijzer en de Goeij (2014) geven aan dat het combineren van het leren van beroepsrelevante vaardigheden met het leren van wiskunde een mogelijkheid is. Aan de hand van dit principe werken studenten aan hun knowledge of content and teaching (kct). Dit principe is al goed uitgewerkt voor wiskunde van de basisschool maar minder voor de meer geavanceerde wiskunde (praktijkverkenning van bestaande materialen). Daarnaast is nog niet onderzocht in hoeverre de studenten de wiskunde daadwerkelijk leren (Thanheiser, 2012). In dit onderzoek wordt het zelf ervaren van een relevante werkvorm als invulling gekozen. Dit heeft ermee te maken dat door de veelheid aan mogelijk te kiezen werkvormen het ontwerp makkelijker door andere docenten en op andere opleidingen uit te voeren is. De gekozen werkvorm moet ertoe leiden dat studenten gericht worden op het wiskundig denken van andere studenten maar is ook zelf, als beroepsrelevante activiteit, onderwerp van hetgeen in de les wordt geleerd. Doorgaande lijn Het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens povo kan liggen. Het laat zien dat de meer geavanceerde wiskunde geworteld is in de wiskunde op de basisschool. Dit principe gaat dus over horizon content knowledge (hck), niet nieuw, maar nog niet systematisch ontwikkeld (Jakobsen et al., 2012). Het gaat om wiskundige structuren die al in de wiskunde van de basisschool opgesloten zitten. In het verlengde hiervan is knowledge of content and curriculum aan de orde. Achtergrond Het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond. Deze extra handvatten bestaan uit achtergrondinformatie over de wiskunde die aan de orde is en over uitwerkingen bij de practica voor studenten. De eerste drie principes worden afzonderlijk of in samenhang gehanteerd. Elk ervan wordt minimaal in één ontwerp verwerkt. Het vierde principe wordt in elk ontwerp verwerkt. De ontwerpprincipes worden verderop in het verslag verkort aangegeven, soms met een letter: 1. Verdieping (v) 2. Beroepsrelevant (b) 3. Doorgaande lijn (d) 25

26 4. Achtergrond (a) Er is een aantal ontwerpprincipes dat niet specifiek is voor dit onderzoek maar dat wel van belang om een ontwerp te laten slagen. Hierbij worden ontwerpprincipes voor studentmateriaal en voor docentmateriaal onderscheiden. Een voorbeeld van deze ontwerpprincipes is dat het materiaal digitaal beschikbaar is of aanvullend oefenmateriaal bevat. Een volledig lijst staat in bijlage Onderzoeksvraag In hoeverre kan met behulp van de ontwerpprincipes verdieping, beroepsrelevant, doorgaande lijn en achtergrond, opleidingsonderwijs voor pabostudenten ontworpen worden waarbij het in samenhang met didactiek leren van meer geavanceerde wiskunde ondersteund wordt? De vraag beperkt zich tot de wiskundige onderwerpen talstelsels en ontluikende algebra. Deelvragen Maslowski & Visscher (1997) noemen criteria en vragen die bij een formatief evaluatieonderzoek een rol spelen: Het ontwerp is qua aantrekkingskracht, toegankelijkheid, begrijpelijkheid en bruikbaarheid voldoende afgestemd op de kenmerken van de doelgroep (de mate van 'publieksafstemming'). In hoeverre zijn de beoogde effecten van het ontwerp in termen van kennis, attitude, vaardigheid en gedrag optreden? Wat zijn potentiële ongewenste effecten van het ontwerp en hoe kunnen deze voorkomen worden? Toegepast op dit onderzoek leidt dat tot de volgende deelvragen: Leidt het hanteren van de specifieke ontwerpprincipes ertoe dat de student: 1. de relevantie van de meer geavanceerde wiskunde voor zijn ontwikkeling inziet en dat hij gemotiveerd is om eraan te werken?; 2. de wiskundige doelen bereikt?; 3. de didactische doelen bereikt? Leidt het hanteren van ontwerpprincipe 4 ertoe dat de pabodocent rekenen-wiskunde, al of niet met wiskundebevoegdheid: 4. in staat en gemotiveerd is om het ontwerp in zijn onderwijs in te zetten? De criteria van Maslowski & Visscher (1997) komen geintegreerd in deelvraag 1, 2 en 3 voor. Aantrekkingskracht, effecten in termen van attitude en gedrag zitten in deelvraag 1. Gewenste 26

27 effecten in termen van kennis en vaardigheid in deelvraag 2 en 3. De verwachting is dat ongewenste effecten bij het beantwoorden van de deelvragen in beeld komen. In dit verslag worden de deelvragen soms verkort aangegeven: 1. Relevantie en motivatie 2. Wiskundige doelen 3. Didactische doelen 4. Docent 27

28 7 Interventie 7.1 Ontwerpplan Er zijn drie ontwerpen gemaakt. Omdat twee deelvragen gaan over de vraag in hoeverre de wiskundige en didactische doelen zijn bereikt worden per ontwerp de hoofddoelen genoemd. De wiskundige doelen zijn afgeleid uit de Toetsgids (Vereniging van Hogescholen, 2013). Daarna wordt een overzicht van de inhoudsverkenning en de lessuggesties gegeven. Bij de lessuggesties bestaat de mogelijkheid voor de docent aanpassingen te doen om tegemoet te komen aan verschillen in lestijd (in principe 1,5 uur), opleidingsconcept op diverse pabo s en zijn lesstijl. De suggesties zijn dusdanig dat de ontwerpprincipes in stand blijven. Tot slot wordt vermeld hoe de eerste drie ontwerpprincipes, verdieping, beroepsrelevant en doorgaande lijn, verwerkt zijn. Het vierde ontwerpprincipe, achtergrond, is verwerkt door het opnemen van een inhoudsverkenning, lessuggesties en uitwerkingen bij opgaven voor studenten en wordt niet bij elk ontwerp apart besproken. De ontwerpen zijn opgenomen in de bijlage 7, 8 en 9. Tevens zijn ze in de oorspronkelijke lay-out samen met de bijbehorende PowerPointpresentaties te vinden op de website van de onderzoeker (Boersma, 2013). In de ontwerpen wordt door studenten zowel aan meer geavanceerde wiskunde als aan didactiek gewerkt. In de lessen over de kennisbasis die studenten normaal gesproken krijgen wordt alleen aan meer geavanceerde wiskunde gewerkt. In de didactieklessen die studenten normaal gesproken krijgen wordt naast didactiek aan specialised content knowledge gewerkt. De combinatie van het leren van didactiek en meer geavanceerde wiskunde is dus nieuw. De werkvormen die gehanteerd worden in de ontwerpen talstelsels en bewerkingen worden in de normale kennisbasislessen niet gehanteerd. Studenten zijn wel gewend in groepen van 4 à 5 studenten te werken. De vaste opstelling in de lokalen is hierop gericht. Talstelsels Het wiskundig hoofddoel is: de student kan (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen de betreffende getallen omrekenen naar het decimale stelsel, en vice versa. Door aan dit doel te werken verdiepen studenten hun inzicht in de bijbehorende wiskunde van de basisschool. Deze basisschoolwiskunde betreft het inzicht krijgen in de structuur van het 10-tallig stelsel. Hierbij zijn door Oonk et al. (2011) de volgende kerninzichten geformuleerd: Tientallige bundeling: het is efficiënt om aantallen te bundelen in bundels van 10, 100, 1000 enzovoort. Plaatswaarde: de waarde van een cijfer in een getal hangt af van de plaats waar het cijfer staat. 28

29 Deze kerninzichten sluiten aan bij kerndoel 26 (SLO, 2009): de leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. De student doorloopt het begin deze leerlijn in een ander talstelsel en legt de koppeling tussen het geleerde en het 10-tallig stelsel, zowel met betrekking tot de wiskundige- als de didactische inhoud. Didactisch hoofddoel is: de student is zich bewust van conceptuele problemen die hijzelf en/of medestudenten hebben bij het leren van een nieuw talstelsel en kan de transfer maken van deze ervaringen naar het leren van kinderen op de basisschool. In de inhoudsverkenning worden diverse talstelsels die in de geschiedenis van de mensheid gehanteerd zijn en waarvan we nu soms nog de sporen zien, beschreven. Gebruikte bronnen hierbij zijn Boyer (1989), Menninger (1979), Treffers (2010i), Goffree (1995) en diverse internetbronnen (zie ontwerp in bijlage 7). Het verschil tussen een additief en een positioneel talstelsel wordt besproken. De les start met het doornemen van de doelen voor de bijeenkomst. Daarna wordt een overzicht gegeven van diverse talstelsels uit de geschiedenis. Afhankelijk van de tijd die de docent tot zijn beschikking heeft kan hij hier langer of korter bij stilstaan. Doel van deze introductie is om studenten te laten zien dat er verschillende talstelsels bestaan maar nog niet dat ze als deze talstelsels inhoudelijk al doorgronden. De docent wijst groepen van 4 à 5 studenten een talstelsel toe, variërend van 2-tallig tot 20-tallig. Studenten werken aan het reconstrueren van een positioneel talstelsel door een hoeveelheid kaartjes te tellen. Ze ontdekken dat het handig is te bundelen: bij een telfout hoeft niet opnieuw begonnen te worden en achteraf zien ze meteen hoeveel het totaal is. De docent benadrukt in de nabespreking van dit onderdeel deze strategie. Studenten ontwerpen vervolgens een manier om de gebundelde hoeveelheid vast te leggen op papier. Hierbij is van belang dat een positionele notatiewijze wordt gebruikt. De docent kan de mate van sturing en openheid variëren door bijvoorbeeld eerst een niet 10-tallig stelsel klassikaal uit te werken of dit door elke groep te laten doen. Als hij hierbij een stelsel kiest met een grondtal boven de 10 dan zijn studenten meteen bekend met het gegeven dat ze extra symbolen nodig hebben. Elke groep bereidt een korte presentatie aan de klas voor over zijn bevindingen en houdt deze. In de nabespreking van de presentaties wordt de relatie tussen de diverse werkwijzen onderzocht: het idee van bundelen en plaatswaarde komt in alle talstelsels naar voren, de waarde van de cijfers op een bepaalde plaats in een getal verschilt. Tevens worden expliciet de handelingsniveaus (Groenesteijn et al., 2011) die gebruikt zijn benoemd. De start was op niveau 1. Daarna hebben studenten een notatiewijze ontwikkeld die op een of meerdere van de hogere niveaus ligt. De docent bespreekt 29

30 expliciet de notatiewijze volgens het HTE-schema of een variant daarvan en de notatiewijze met subscript om het grondtal aan te geven. Hierna zoeken studenten aan de hand van enkele opgaven uit hoe het omrekenen van getallen uit een niet 10-tallig talstelsel naar het 10-tallig talstelsel en andersom in zijn werk gaat. Studenten passen contexten, materialen en modellen die in groep 3 t/m 6 gehanteerd worden, waarbij vanuit het tellen van hoeveelheden, via bundeling, gekomen wordt tot inzicht in de tientallige schrijfwijze van getallen, aan voor hun talstelsel en beschrijven een leerlijntje in hun talstelsel. Mogelijk bedenken ze nieuwe modellen of materialen. De bevindingen hierbij worden klassikaal uitgewisseld. De les eindigt met het geven van suggesties voor verdere verwerking. Die zijn zowel gericht op de wiskundige als op de didactische doelen. Een voorbeeld van het laatste type is het voorbereiden en houden van een rekengesprek met leerlingen uit de eigen stagegroep met als doel te onderzoeken hoe het begrip van het 10-tallig stelsel van de leerling is. Er wordt niet verwacht dat studenten deze suggesties daadwerkelijk uit gaan voeren omdat de les nog niet is ingebed in een beroepstaak. De wijze waarop het werken aan wiskundige en didactische doelen verweven is heeft betrekking op het ontwerpprincipe verdieping. Het ontwerpprincipe beroepsrelevant is verwerkt door de werkvorm waarbij studenten veel zelf, in groepjes, moeten onderzoeken, moeten presenteren en aan elkaar uitleggen. Het ontwerpprincipe doorgaande lijn is niet expliciet verwerkt in het ontwerp. Het ontwerp talstelsels is opgenomen in bijlage 7. Bewerkingen Het wiskundig hoofddoel is: De student kan eenvoudige berekeningen maken in het 2- en 8-tallig stelsel. De basischoolwiskunde die verdiept wordt door aan dit doel te werken betreft de bewerkingen tot 100 in het tientallig stelsel. Oonk et al. (2011) formuleren hierbij de volgende kerninzichten: Handig rekenen: kinderen verwerven het inzicht dat je berekeningen in bepaalde gevallen efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken van getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen. Standaardprocedures: kinderen verwerven het inzicht dat je getallen kunt bewerken via standaardprocedures, die ontstaan door maximale, schematische verkorting van rekenaanpakken. Deze kerninzichten sluiten aan bij de volgende kerndoelen, waarbij de nadruk ligt op het inzicht, meer dan op het van buiten kennen of de meest verkorte standaardprocedure: 27: De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. 30

31 29: De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Didactisch hoofddoel is dat de student zich bewust is van conceptuele problemen die hijzelf en/of medestudenten hebben bij het leren van bewerkingen in een nieuw talstelsel en de transfer kan maken van deze ervaringen naar het leren van kinderen op de basisschool. In de inhoudsverkenning wordt verwezen naar de verkenning bij het ontwerp talstelsels. Deze wordt aangevuld met een aandachtspunt: het verdient de voorkeur dat studenten bewerkingen in 2- of 8- tallig stelsel maken door binnen dat talstelsel te blijven. Dus niet getallen eerst omrekenen naar het 10-tallig stelsel, dan de bewerking uitvoeren en vervolgens de uitkomst omrekenen naar het 2- of 8- tallig stelsel. Dit dwingt hen de eigenschappen en strategieën opnieuw te overdenken. Ook staan in de verkenning diverse strategieën en eigenschappen genoemd. De les start met het ophalen van de wiskunde uit de les talstelsels. Het doel was daar dat studenten inzicht hebben in de opbouw van het 2- en 8-tallig stelsel en getallen van het 10-tallig stelsel naar het 2- en 8-tallig stelsel kunnen omzetten, en andersom. Vanuit pabo 1 kunnen ze de strategieën bij en de eigenschappen van de vier hoofdbewerkingen herkennen en zelf toepassen (in het 10-tallig stelsel). Vervolgens krijgen studenten in groepen van 4 à 5 de opdracht om binnen het 2- of 8-tallig stelsel te onderzoeken of een bepaalde strategie daar werkt en waarom dat zo is. Zij gebruiken hierbij materialen en modellen die op de basisschool worden gebruikt als leerlingen de strategie leren in het 10-tallig stelsel. De docent verdeelt diverse strategieën over de groepen en kent hen een talstelsel toe. Hij kan er voor kiezen studenten eerst een bewerking te laten onderzoeken zonder daarbij al een strategie voor te schrijven en ze daarbij achteraf de strategie laten benoemen. Omdat de docent kan kiezen uit diverse werkvormen: presenteren, wiskunde conferentie, posterwandeling, bansho, puzzel. Deze worden kort beschreven en er wordt verwezen naar websites met meer informatie. Daarnaast kan hij eigen werkvormen kiezen. Van belang is dat de dubbele bodem intact blijft: studenten leren wiskunde aan de hand van een werkvorm die zij ook in het basisonderwijs kunnen hanteren, de werkvorm vraagt kennis en vaardigheden die van een leerkracht worden gevraagd of een combinatie. Hij zal de opdracht aan studenten en de wijze waarop deze wordt nabesproken daarop moeten toespitsen. In de nabespreking worden conclusies getrokken met betrekking tot de wiskundige inhoud van de les en wordt stilgestaan bij de gekozen werkvorm: wat vond je ervan, wat heb je ervan geleerd, wat zou jij anders doen als je hem bij je leerlingen zou inzetten? Studenten maken de verwerkingsopgaven. Hiervoor kunnen de opgaven uit het ontwerp of door studenten gemaakte opgaven gebruikt worden. 31

32 Ter verwerking lezen de studenten achtergrondliteratuur bij de gekozen werkvorm. Mogelijk passen ze de werkvorm toe in hun stage. Omdat de les nog geen onderdeel uitmaakt van een beroepstaak wordt niet verwacht dat studenten dit ook daadwerkelijk gaan doen. Net als in de les talstelsels zijn studenten bezig met materialen, modellen, strategieën en eigenschappen van bewerkingen die ze, in 10-tallig stelsel, ook tegenkomen in de basisschool. Op deze manier is het ontwerpprincipe verdieping verwerkt. Door de keuze van de werkvorm en de nadruk op kenmerken van de werkvorm die studenten aan den lijve hebben ondervonden is het principe beroepsrelevant verwerkt. Het ontwerpprincipe doorgaande lijn is niet expliciet verwerkt in het ontwerp. Het ontwerp bewerkingen is opgenomen in bijlage 8. Ontluikende algebra De wiskundige doelen komen uit de toetsgids en hebben betrekking op het herkennen van regelmaat in een getallenrij, rekenregels, formules en het koppelen van formules aan grafieken. Er is geen kerninzicht, zoals beschreven in Oonk et al. (2011) dat direct betrekking heeft op dit onderwerp. Indirect spelen kerninzichten in het domein meten een rol. Het gaat dan vooral over het verband tussen grootheden. Ook daar is niet expliciet een kerninzicht voor geformuleerd. De inhouden sluiten aan bij de kerndoelen 23, 25, 27, 32 en 33 (SLO, 2009). Didactische doelen betreffen het kennen van de didactische aandachtspunten bij de overgang van rekenen naar algebra, waarbij het kennen van het verschil tussen rekenen-en algebra van belang is. Daarnaast gaat het om het herkennen van aspecten van het begrip variabele in opgaven en het herkennen van ontluikende algebra bij leerlingen en lesmateriaal van de basisschool. In de inhoudsverkenning wordt ingegaan op wat algebra is en wat de relatie tussen algebra en rekenen is. Zo geeft Flores (2002) aan dat de overgang tussen rekenen en algebra wordt gemarkeerd door de overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt. Amerom (2002, p ) geeft aan dat verschillen tussen rekenen en algebra te maken hebben met: betekenis van letters, concept bij uitdrukkingen (proces en product) en het redeneren met onbekenden. Zij constateert tevens dat een rekenkundige benadering van algebra goed aansluit bij het niveau van leerlingen in groep 8. Vanuit een geschiedkundige benadering onderscheidt zij drie fasen in de ontwikkeling, de retorische, de gesyncopeerde en de symbolische fase. Deze drie fasen vinden we al in de basisschool, waarbij het werken met formules beperkt blijft tot formules voor omtrek en oppervlakte van rechthoeken en inhoud van balken. In sommige methodes wordt in groep 8 aandacht besteed aan formules voor omtrek en oppervlakte van een cirkel. Deze worden veelal vanuit het generaliseren van allerlei bijzondere gevallen opgesteld (Gravemeijer, 2007). In functionele situaties gaat het bij algebra om het verband tussen grootheden. Deze verbanden worden door leerlingen al op jonge leeftijd gelegd, bijvoorbeeld in groep 32

33 4 bij de fase van begripsvorming in de leerlijn tafels. Als 1 auto 4 wielen heeft dan hebben 5 auto s 5 keer 4 wielen. Naast wiskundige symbolen voor bewerkingen gaat het ook om het begrip variabele, dat verschillende aspecten heeft (Drijvers, Streun, & Zwaneveld, 2013). Deze worden besproken en gerelateerd aan inhouden uit de basisschool. Flores (2002) beschrijft hoe geometrische representaties van relaties tussen getallen kunnen helpen bij de overgang van rekenen naar algebra. Tevens maakt hij duidelijk wat hierbij didactische aandachtspunten zijn. Deze aandachtspunten passen uitstekend binnen het realistisch reken-wiskundeonderwijs (Treffers et al., 1989), waar ook eigen oplossingen en redeneringen van de leerlingen centraal staan alsmede het zoeken naar alsmaar efficienter werkwijzen en generaliseren, het zogenaamde verticaal mathematiseren. De les start met het een activiteit waarbij studenten kaartjes met opgaven over het onderwerp moeten ordenen naar de groep waarvoor ze bedoeld zijn, van groep 1/2 van de basisschool tot en met klas 3 voorgezet onderwijs. Eén van de conclusies die naar aanleiding van deze activiteit kunnen worden getrokken is dat (ontluikende) algebra al bij jonge kinderen naar voren komt. De doelen worden met de studenten besproken. De docent kan ervoor kiezen om dit aan het eind van de les te doen zodat de gehanteerde begrippen duidelijker zijn voor de studenten. Vervolgens wordt onderzocht hoeveel handen worden geschud als iedereen uit de klas elkaar een hand geeft en worden allerlei verschillende representaties van het verband dat hier naar voren komt besproken. Er worden verschillende representaties bekeken bij een verband met stippenpatronen. Daarna wordt de didactische theorie van ontluikende algebra besproken (zie inhoudsverkenning) en gerelateerd aan de ervaringen die studenten deze les hebben opgedaan. Vervolgens gaan studenten in groepen van 4 à 5 aan de slag met het practicum waarin ze oefenen met de wiskunde. De laatste vragen uit het practicum gaan over het relateren van de didactische theorie aan de gemaakte opgaven. Als verwerking kunnen studenten bij leerlingen in hun groep nagaan of ze zoeken naar algemene geldigheid van eigenschappen, of ze op zoek zijn naar patronen, welke woorden ze erbij gebruiken en welke schriftelijke representaties ze gebruiken (indien van toepassing). Daarnaast worden suggesties voor het verder oefenen met de wiskunde gegeven. Er wordt niet verwacht dat studenten alle verwerkingssuggesties doen omdat de les nog niet is ingebed in een beroepstaak. De ontwerpprincipes verdieping en beroepsrelevant zijn niet expliciet verwerkt in ontluikende algebra. Toch treedt naar verwachting wel verdieping op van basisschoolwiskunde. Deze betreft het domein verbanden. Het ontwerp richt zich op het principe doorgaande lijn: in de startactiviteit bepaalt de student de volgorde waarin diverse opgaven over rekenregels en formules op de basisschool en het voortgezet onderwijs aan de orde komen. Hij leert verschillende representaties voor eenzelfde verband waardoor het werken met formules, voor het grootste deel een inhoud uit het voortgezet 33

34 onderwijs, meer betekenis en relevantie krijgt. Tot slot maakt hij kennis met de didactiek van algebra en leert dat aspecten daarvan al op de basisschool een rol spelen. De docent heeft naast het practicum de beschikking over suggesties voor aanvullend werkmateriaal, bijvoorbeeld op de site van het Freudenthal Instituut. Het ontwerp ontluikende algebra is opgenomen in bijlage Planning interventie De ontwerpen zijn door verschillende docenten in verschillende groepen en op verschillende pabo s uitgeprobeerd. Groep I heeft in het najaar 2013 zeven lessen ter voorbereiding op de kennisbasistoets gehad. Om ervoor te zorgen dat studenten niet benadeeld zouden worden door mogelijk negatieve effecten van de interventie zijn hier drie lessen aan toegevoegd. Studenten waren op dat moment niet bezig met beroepstaken waarin didactiek van rekenen-wiskunde aan de orde is. Hier zit een mogelijke belemmering waar het gaat om studie-inspanningen buiten de bijeenkomsten om. Temeer omdat de beroepstaken die aan de orde zijn een hoge studielast hebben. Deze situatie is dus anders als wanneer ook in de beroepstaken en de toetsing ervan didactiek en wiskunde in samenhang naar voren komt. In december 2013 hebben de studenten uit deze groep voor het eerst deel aan de toetsing van de kennisbasis deelgenomen. In december 2013 hebben vier andere tweedejaarsgroepen van Pabo Nijmegen (II t/m V) de les talstelsels gehad. De lessen bewerkingen en ontluikende algebra zijn in het voorjaar van 2014 gegeven als onderdeel van vijf lessen ter voorbereiding op de kennisbasistoets in juni. Deze groepen hebben geen extra lessen gekregen omdat de onderzoeker de verwachting had dat mogelijk nadelige effecten van de interventie na de eerste uitvoering in groep I in een aangepast ontwerp niet meer op zouden treden. Daarnaast bleek het een te grote belasting voor deelnemende docenten van Pabo Nijmegen om extra lessen te geven. In het voorjaar van 2014 zijn de ontwerpen talstelsels en bewerkingen tweemaal uitgevoerd op de ipabo (PI) en het ontwerp ontluikende algebra driemaal op Pabo Arnhem (PA). In tabel 5 staat de planning op een tijdlijn. 34

35 Tabel 5: Tijdlijn van de uitvoering van de drie ontwerpen per groep Sep Okt Nov Dec Jan Feb Mrt Apr Mei Jun Talstelsels I II-V PI Bewerkingen I II-IV PI Ontluikende algebra I II-IV PA Toets 1 e kans I II-V PA I t/m V: groepen van Pabo Nijmegen. PI: twee groepen van de ipabo. PA: groepen van Pabo Arnhem. Alle groepen bestaan uit studenten waarvan de vooropleiding varieert van mbo tot vwo. Een deel van de studenten haalt zonder inspanning de landelijke kennisbasistoets (gesprekken met studenten, 2013), van een ander deel is het de vraag of zij in staat zullen zijn die toets, ook na een aantal pogingen, te halen (gesprekken met docenten, 2013). De groepen bestaan uit 20 tot 30 studenten. 7.3 Verloop interventie In paragraaf 7.1 is per ontwerp de opbouw van de lessen beschreven. In deze paragraaf gaat het om keuzes die docenten hebben gemaakt, afwijkingen van het ontwerp en de belangrijkste bevindingen. Bij het beschrijven van het verloop is afgegaan op observaties (tweemaal door de onderzoeker bij het ontwerp talstelsels bij docent A en E), informele gesprekken en interviews met docenten (alle docenten zijn geïnterviewd binnen een maand na uitvoering) en op eigen bevindingen van de onderzoeker als docent. De vraag in hoeverre de doelen, wiskundig en didactisch, bereikt zijn is onderdeel van het onderzoek en wordt bij de bespreking van de resultaten beantwoord. Deze vraag komt dus in de beschrijving van het verloop van de interventie niet nadrukkelijk naar voren. Hetzelfde geldt voor de vraag in hoeverre de studenten betrokken en gemotiveerd zijn geweest. In tabel 6 staat het aantal keer dat een docent een ontwerp heeft uitgeprobeerd. Als het om docenten van Pabo Nijmegen gaat is de tevens groep aangegeven. Tabel 6: Aantal keer dat een docent een ontwerp heeft uitgeprobeerd. Docent Uitgeprobeerd ontwerp Talstelsels Bewerkingen Ontluikende algebra A II, III B 3 keer C II, III II, III D 2 keer 2 keer E V GB I, IV I, IV, V I, IV, V 35

36 Talstelsels Het ontwerp talstelsels is zeven keer uitgeprobeerd door vier verschillende docenten, waaronder de onderzoeker (docent GB). Het blijkt dat studenten geïnteresseerd zijn in het meteen al doorgronden van de talstelsels uit de geschiedenis waardoor docenten A en E hier meer tijd voor uittrekken dan beoogd was. Het ontwerpen van een talstelsel loopt zoals eerder beschreven. Het valt op dat het bij studenten uit de groepen van docent A en E niet altijd gaat om het ontwerpen van een positioneel talstelsel. Het is de bedoeling dat studenten hun bevindingen presenteren aan de hele groep. In alle groepen, ook die van de onderzoeker, is hier onvoldoende tijd voor. Het lukt alle docenten wel om een talstelsel met grondtal kleiner dan 10 en een talstelsel met een grondtal groter dan 10 te laten presenteren. Hierna moeten studenten materialen en modellen uit het 10-tallig stelsel aanpassen aan hun talstelsel. Docent A en E komen hier met hun groep niet aan toe. Als verwerking krijgen studenten een aantal opgaven waarbij ze getallen om moeten rekenen van een niet 10-tallig stelsel naar het 10- tallig stelsel of andersom. Deze opgaven worden in de les voor een deel gemaakt. Om een beeld te schetsen van de interactie tussen studenten volgt een gedeelte van de observatie door één van de aanwezige docenten uit de eerste les die door de onderzoeker is gegeven. De afbeeldingen zijn door studenten gebruikt bij een klassikale uitleg die later in de les plaatsvond. Groep die 4-tallig stelsel ontwerpt 1 = blokje ; 4 = strook ; 16 = kwartet (toch?). Ma tekent een vierkant met 16 blokjes. 2 kwartetten is een stapel. Nee we hebben 4 kwartetten 4 x16 = 64 dus stapel. Ze moeten verder gaan omdat ze een klein getal hebben = 3 stapel, 2 kwartet is 32, 3 strook is 12, 3 lossen. Figuur 1: 4-tallig stelsel. 36

37 Groep die 16-tallig stelsel ontwerpt 10 is hex. 100 is ketel, 1000 is bezem. 1 volle stapel is 1 hex. We hadden 7 hex en 13 over, dus is het 7 hex D (125 groene kaartjes). 11 is dus hex 1, 12 is hex 2. We hebben een hulprijtje opgeschreven. Zo zijn we terug gaan rekenen. We hebben 125 kaartjes. Nu een hexadecimaal getal maken. Het is hetzelfde als blokjes en stroken. Hoe kun je dat getal nu opvullen met hexen (met 10 tallen, uuh groepjes van 16). 7 hexen en dan heb je nog 13 lossen over. Maar je hebt als je voor hex 1 en een 0 opschrijft, dan heb je deze getallen nog nodig om de getallen te overbruggen (A t/m F). Je schrijft dus 7D. Je moet hele stapels maken, je gaat verder tellen, je komt op D uit. Toelichting van de hoeveelheid aan de groep. Aan student R, student Ma reageert ook: Je bedoelt als je 20 stapels hebt.het gaat over de uitspraak.. De discussie wakkert aan. Ma: Ik krijg hoofdpijn. Figuur 2: 16-tallig stelsel. Figuur 3: 16-tallig stelsel. Student B: In dit stelsel is D een cijfer. Het tweede getal is hier een 7 hex. Student Mj: Je gaat positioneren. Schrijft Hex 7 en Los D op het bord. 148: hoe vaak past de 16 daarin, dus 8 ja... F: Nu is het lastig dat het niet op die plek staat. Ma: Is ketel dan niet 160? Daar staat 10. Student B: 16 x 16 is ketel. Student Ma: Ís ketel x ketel niet. Bewerkingen Het ontwerp Bewerkingen is zeven keer uitgeprobeerd door drie verschillende docenten, waaronder de onderzoeker. Het blijkt bij de groepen van docent C en docent O nodig om de kennis uit de les 37

38 talstelsels op te halen omdat die les 2,5 maand geleden gegeven is en de kennis weggezakt. Voor de meeste groepjes blijkt het een brug te ver om een bewerking met een specifieke strategie uit te voeren. Voor hen is het uitdaging genoeg om bij het toegewezen talstelsel te onderzoeken hoe de bewerking uitgevoerd zou kunnen worden met een eigen strategie. De opdracht wordt dus in die zin aangepast. In de les aan groep I heeft de onderzoeker de werkvorm Gallery walk toegepast. Studenten moeten even wennen aan het gegeven dat ze mogen lopen en vragen en feedback op flaps van andere groepen noteren. In de voorbereiding op de lessen met docent C is gekozen voor de werkvorm Puzzel. Die is in de andere uitvoeringen van de les, ook die door docent D, gehanteerd. Hierbij worden studenten expert in een bewerking binnen één van de twee talstelsels. Daarna worden de groepjes gehusseld en moeten studenten in een heterogene groep hun bevindingen uitwisselen. Bij een deel van de studenten treedt hierbij onzekerheid om. Zij vragen zich af of ze de stof wel voldoende begrijpen. Dit wordt in de groepjes opgelost door ter plekke verder te onderzoeken hoe het zit. Tot slot moeten student opgaven met uitwerkingen voor elkaar ontwerpen, uitwisselen die van een ander maken. Een deel van de groepjes kiest ervoor om met de door de onderzoeker gemaakte opgaven aan de slag te gaan. Om een beeld te geven van het werk van studenten volgt hier een deel van de uitwerkingen van student H en student R uit de klas van docent C. Figuur 4: Verschillende strategieën bij aftrekken in het 8- tallig stelsel. Figuur 5: Aftrekken binnen het 2-tallig stelsel. 38

39 Ontluikende algebra Het ontwerp ontluikende algebra is acht keer uitgeprobeerd door drie verschillende docenten waaronder de onderzoeker. De les start met het bespreken van de doelen en een activiteit waarbij studenten kaartjes met opgaven over het onderwerp moeten ordenen naar de groep waarvoor ze bedoeld zijn, van groep 1/2 tot en met klas 3 voorgezet onderwijs. Het aantal kaartjes blijkt hanteerbaar maar aan de hoge kant. Bij de bespreking van de didactische theorie blijkt uit de bevindingen van de onderzoeker als docent en uit de interviews met docent B en C dat het verschil tussen rekenen en algebra en de fasen in de ontwikkeling beter begrepen wordt dan de aspecten van het variabelebegrip. Hierna gaan studenten in groepen aan de slag met het practicum. Bij groep I doen student alle opgaven en blijkt dat dit er teveel zijn. Daarom is in de voorbereiding met docent C ervoor gekozen een selectie van opgaven te maken waarbij elk deelonderwerp is vertegenwoordigd. Docent B heeft dit overgenomen. Het studentwerk van student R uit een klas van de onderzoeker en student S uit een klas van docent C geeft een beeld van de wijze waarop aantekeningen worden gemaakt en maakt duidelijk welke opgaven in het practicum zijn gekozen. Figuur 6: Aantekeningen van student R. Figuur 7: Uitwerkingen bij practicum van student S. 39

40 8 Methode 8.1 Inleiding De volgende dataverzamelingsmethoden zijn gebruikt: Interviews met docenten. Interviews met studenten. Analyse van studentenwerk. Observaties. Steekwoordreflecties van studenten. Bevindingen van de onderzoeker. Vergelijking toetsresultaten. De dataverzamelingsmethoden worden in deze inleiding in samenhang besproken en verantwoord. In het vervolg van dit hoofdstuk wordt elke methode afzonderlijk besproken. Door middel van de interviews met docenten en studenten is vooral de mening van de geïnterviewden achterhaald en is inzicht verkregen in hun attitude, in overeenstemming met wat zowel van der Donk en van Lanen (2009) als Bryman (2012) hierover aangeeft. Dit is geen probleem als het gaat om een mening over of attitude met betrekking tot het al of niet aanbieden van wiskunde in samenhang met didactiek. Als het gaat om na te gaan of de doelen van de lessen zijn bereikt mogelijk wel. Daarvoor is de analyse van studentenwerk meer geschikt, waarbij moet worden aangetekend dat studenten in groepen van 4 à 5 hebben gewerkt en dus het ingeleverde werk niet meteen iets zegt over de mate waarin elke individuele student de doelen heeft bereikt. Hier kunnen de interviews een aanvullende rol spelen, waar studenten een select aantal opgaven hebben gemaakt en de onderzoeker na kon gaan in hoeverre dat is gelukt. Observeren maakt het mogelijk direct gedrag van studenten waar te nemen en zo uitspraken te doen over de mate waarin zij gemotiveerd werken tijdens de bijeenkomsten. Het is echter belastend voor collega-opleidingsdocenten om veel te observeren. Daarom is door hen slechts in één les geobserveerd en door de onderzoeker in twee lessen. Aan de hand van de steekwoordreflecties, waarin studenten meteen na afloop van de les kort een antwoord geven op een aantal vragen is met name hun motivatie voor het onderwerp en de mate waarin ze het als relevant ervaren te achterhalen achterhaald. Dit is een aanvulling op de studentinterviews omdat het hierbij mogelijk is data van grotere aantallen studenten te krijgen. Omdat het simultaan initiëren en begeleiden van leerprocessen bij studenten (lesgeven) en gericht observeren te complex is, heeft de onderzoeker niet geobserveerd in lessen die hij zelf gaf. Omdat er 40

41 voldoende andere dataverzamelingsmethoden gebruikt zijn vervullen de bevindingen van de onderzoeker als docent slechts een aanvullende rol. De vergelijking van de toetsresultaten dient er slechts toe op opvallende resultaten te signaleren. Door de diversiteit aan dataverzamelingsmethoden is gepoogd een zo n betrouwbaar en mogelijk resultaat te krijgen. Omdat het gaat om een voornamelijk kwalitatief onderzoek kunnen de begrippen betrouwbaarheid en validiteit ingekleurd worden zoals Bryman (2012) voorstelt: trustworthiness, te vertrouwen. 8.2 Interviews met docenten Met vijf docenten zijn semigestructureerde interviews gehouden. Het gaat hier om semigestructureerde interviews om het mogelijk te maken de data goed te analyseren maar toch door te kunnen vragen en geen relevante informatie te missen (van der Donk,& van Lanen, 2009) en mogelijk onverwachte invalshoeken op het spoor te komen (Bryman, 2012). In Tabel 7 staat relevante informatie over deze docenten (docent GB is de onderzoeker). Tabel 7: informatie over docenten die één of meerdere ontwerpen hebben uitgeprobeerd. Uitgeprobeerd ontwerp Talstelsels Bewerkingen Ontluikende algebra Wiskundige in vooropleiding Werkzaam op Pabo Datum Docent interview A Apr 14 1 keer Pabo Nijmegen B Mei 14 3 keer 2 de graads Arnhem C Mei 14 2 keer 2 keer 2 de graads Nijmegen D Mei 14 2 keer 2 keer Pabo IPabo E Apr 14 2 keer Pabo Nijmegen GB 3 keer 3 keer 3 keer 1 ste graads Nijmegen Docenten werden bevraagd op keuzes die ze hebben gemaakt, de mate waarin de informatie uit het ontwerp toereikend was, de betrokkenheid van studenten, de mate waarin studenten doelen hebben bereikt en de voorkeur van de docent voor het al of niet in samenhang onderwijzen van meer geavanceerde wiskunde en didactiek. De interviewleidraad is opgenomen in bijlage 4. De vragen aan docenten sluiten aan bij de volgende deelvragen: Deelvraag 1, relevantie en motivatie: 1, 3, 4. Deelvraag 2, wiskundige doelen: 1, 3, 5. Deelvraag 3, didactische doelen: 1, 3, 6. Deelvraag 4, docent: 1, 2, 3, 7, 9. De gesprekken zijn opgenomen met behulp van een ipad en de app Explain everything (MorrisCooke, 2013). Ze zijn uitgetypt waarbij de spreektaal zo is aangepast dat er leesbare tekst ontstond. De 41

42 gesprekken zijn geanalyseerd met behulp van het programma ATLAS.ti (ATLAS.ti Scientific Software Development, 2013). De gesprekken zijn open gecodeerd. Nadat dit voor het laatste gesprek is gedaan zijn alle gesprekken nogmaals bekeken om na te gaan of codes die later zijn gemaakt en toegekend niet ook van toepassing zouden zijn op eerder gecodeerde gesprekken. Codes die slechts enkele malen voorkwamen zijn waar mogelijk samengevoegd met andere codes. Daarna is gekeken welke codes samenhangen en op welke deelvraag ze betrekking hebben. Op basis daarvan zijn hoofdcodes met subcodes gemaakt. Waar een hoofdcode of subcode betrekking heeft op één van de ontwerpprincipes is dit aangegeven. De codes zijn in tabel 12 (p. 50) opgenomen met tussen haakjes het aantal citaten dat op een code betrekking heeft. Per subcode zijn de uitspraken van docenten bestudeerd en beknopt weergegeven, al of niet geïllustreerd met een kenmerkend citaat. Er is voor gekozen niet alle citaten die op een subcode betrekking hebben op te nemen, conform de aanbeveling van Boeije (2005). Bij een opgenomen citaat is nogmaals een taalkundige redactie toegepast, bijvoorbeeld om stopwoorden te verwijderen en correcter Nederlands te krijgen. Om de authenticiteit in stand te houden is niet naar correcte schrijftaal gestreefd. Na het bespreken van de resultaten op de eerste drie deelvragen volgt een overzicht waarbij de citaten worden herleid naar de drie ontwerpprincipes. Als citaten niet direct tot een specifiek ontwerpprincipe te herleiden zijn dan zijn ze gerelateerd aan de principes die in het ontwerp waar de citaten betrekking op hebben zijn verwerkt: Talstelsels: verdieping en beroepsrelevant Bewerkingen: verdieping en beroepsrelevant Ontluikende algebra: beroepsrelevant en doorgaande lijn Er is een onderscheid gemaakt in: 1: Docent schat bijdrage ontwerpprincipe bij beantwoorden deelvraag positief in. 0: Docent is neutraal over bijdrage ontwerpprincipe bij beantwoorden deelvraag. -1: Docent schat bijdrage ontwerpprincipe bij beantwoorden deelvraag negatief in. De resultaten staan in tabel 13 (p. 54). In de beschrijving van de resultaten bij deelvraag 4 is geen onderscheid tussen ontwerpprincipes gemaakt. 8.3 Interviews studenten Met 16 studenten van Pabo Nijmegen zijn semigestructureerde interviews gehouden. Het gaat hier om semigestructureerde interviews om het mogelijk te maken de data goed te analyseren maar toch 42

43 door te kunnen vragen en geen relevante informatie te missen (van der Donk,& van Lanen, 2009) en mogelijk onverwachte invalshoeken op het spoor te komen (Bryman, 2012). Vier studenten komen uit groep I en drie studenten uit elk van de groepen II tot en met V. De aantallen studenten zijn zo gekozen omdat verwacht werd hiermee een balans tussen haalbaarheid voor de onderzoeker en diversiteit van respons te krijgen. Daarnaast was het oorspronkelijke plan om te interviews open te coderen, waarbij verwacht werd dan bij 16 studenten in voldoende mate verzadiging op zou treden. De interviews met studenten uit groep I zijn gehouden in november 2013, die met studenten uit de groepen II t/m V in mei In tabel 8 staat in welke groep studenten zaten en wie hun docent bij de diverse lessen was. Tabel 8: groep en docent van de geïnterviewde studenten. Groep Studenten Docent Talstelsels Bewerkingen Ontluikende algebra I A, B, C, D O O O II E, F, G A C C III H, I, J E C C IV K, L, M O O O V N, O, P E O O Van een aantal student is meer informatie bekend. Deze staat in Tabel 9. Tabel 9: aanvullende informatie over een deel van de studenten uit de onderzoeksgroep. D E F H I J K L M P Vooropleiding Mbo Havo Vwo Havo Mbo Havo Havo Mbo Havo Havo Wiskunde geen A (6) B (7) A (7) geen A A (8) geen A (5) A (6) Wiscat 3x 1x 1x 1x 1x 1x 1x 2x 1x 1x Basale gecijferdheid 3x 3x 2x 2x 4x 1x 1x 2x 2x 3x In tabel 9 is bijvoorbeeld te lezen dat student E zijn havo-examen wiskunde A met een 6 heeft behaald en de wiscattoets in één keer en de toets basale gecijferdheid in 3 keer heeft behaald. De lessen aan groep I hebben in het najaar van 2013 plaatsgevonden. De andere groepen hebben de lessen in schooljaar gehad, één les in december, één in februari en één in april. De interviews met de studenten zijn in mei 2014 geweest. Onderstaande zaken kwamen in de interviews aan de orde (de volledige interviewleidraad staat in bijlage 5): Inzicht in en kennis van de wiskundige inhoud uit de ontwerpen. Inzicht in en kennis van de didactische inhoud van de ontwerpen. 43

44 De waardering van studenten voor de lessen uit de ontwerpen, ook in relatie met de waardering voor de lessen uit de reguliere kennisbasislessen waarin het alleen gaat om de wiskunde. Tevens de voorkeur voor het type les, al of niet inhoud en didactiek in samenhang. Overige aanbevelingen Hiertoe werd aan studenten per ontwerp een opgave voorgelegd en nagegaan hoe zij deze oplossen. Daarnaast werd per ontwerp gevraagd naar het belangrijkste ontwerpprincipe uit de lessen. Een overzicht hiervan staat in tabel 10. Tabel 10: Overzicht inhoud gesprekken met studenten. Ontwerp Opgave Ontwerpprincipe Talstelsels Omrekening van een getal in het 10-tallig Verdieping stelsel naar het 10-tallig stelsel en andersom Bewerkingen Eenvoudige optelopgave als Werkvorm: puzzel (of in het geval van groep I: Galery walk) Ontluikende algebra Een vraagstuk met voorrijkosten en kosten per uur Doorgaande lijn De gesprekken zijn opgenomen met behulp van een ipad en de app Explain everything (MorrisCooke, 2013), waarmee ook het schriftelijk werk is vastgelegd. Ze zijn geanalyseerd met behulp van het programma ATLAS.ti (ATLAS.ti Scientific Software Development, 2013). De gesprekken zijn in eerste instantie open gecodeerd. Het vergde echter teveel tussenstappen op vanuit de open codering tot antwoorden op de onderzoeksvragen te komen, zeker als hierbij een onderscheid tussen de diverse ontwerpprincipes gemaakt wordt. Daarom zijn de interviews in tweede instantie gesloten gecodeerd. Hiertoe is, omdat de eerste drie ontwerpprincipes in de eerste drie deelvragen terugkomen, per deelvraag en ontwerpprincipe een code gemaakt. Bij relevantie/motivatie is een code algemeen gemaakt omdat niet alle uitspraken tot een specifiek ontwerpprincipe te herleiden waren. In tabel 11 staat een en ander in een matrix. Tabel 11: codematrix deelvragen en ontwerpprincipes. Ontwerpprincipe Deelvraag Verdieping Beroepsrelevant Doorgaande lijn Algemeen 1 Relevantie/motivatie 2 Wiskundige doelen 3 Didactische doelen Om hierbij zicht te houden op positieve, neutrale of negatieve waardering van studenten is elk van deze 12 hoofdcodes voorzien van een waardering (deze waardering is ook bij analyses van andere data gebruikt): 1: Positieve waardering; 0: Neutraal; -1: Negatieve waardering. 44

45 Er zijn geen uitspraken gecodeerd met de code wiskunde doelen algemeen en didactische doelen algemeen. Dit resulteert in 30 codes. Het aantal uitspraken per student per code is in een tabel gezet. Per student is per deelvraag het aantal uitspraken en het aantal punten opgeteld om een globaal overzicht te krijgen. Daarnaast is in de rij Tot per hoofdcode het aantal gecodeerde uitspraken en het aantal punten opgenomen. Onderaan de tabel staan 3 rijen: AS: Aantal studenten dat een uitspraak doet. AP: (Aantal Positief) aantal studenten met puntenaantal 1 of hoger. AN: (Aantal Negatief) aantal studenten met puntenaantal -1 of lager De gehele overzichtstabel is opgenomen in bijlage 10. De totalen staan in Tabel 14 (p. 58). Bij elk van de 10 hoofdcodes zijn kenmerkende citaten opgenomen waarbij tussen haken de waardering (-1, 0 of 1) is aangegeven. Hierbij is ernaar gestreefd een doorlopend verhaal te maken. Tevens maken de citaten duidelijk wat overwegingen zijn geweest bij het coderen. Er is voor gekozen niet alle citaten die op een subcode betrekking hebben op te nemen, conform de aanbeveling van Boeije (2005). Bij een opgenomen citaat is nogmaals een taalkundige redactie toegepast, bijvoorbeeld om stopwoorden te verwijderen en correcter Nederlands te krijgen. Om de authenticiteit in stand te houden is niet naar correcte schrijftaal gestreefd. Bij twee codes met erg veel uitspraken is een onderverdeling gemaakt. Dit is het geval bij didactische doelen-verdieping en didactische doelenberoepsrelevant. Om na te gaan of er opvallende verschillen zijn tussen uitspraken over de drie ontwerpprincipes zijn de gegevens uit de overzichtstabel herordend naar ontwerpprincipe. Het resultaat staat in Tabel 15 (p. 66). Naast deze 30 codes zijn drie codes gemaakt voor uitspraken van studenten die expliciet gaan over hun voorkeur om kennisbasislessen al of niet in samenhang met didactiek te krijgen: Voorkeur type les apart maakt niet uit - samenhang Studenten zijn niet expliciet bevraagd op docentcompetenties maar hebben hier soms toch uitspraken over gedaan. Om deze uitspraken te kunnen coderen is een code competentie docent gemaakt. 8.4 Studentenwerk Om na te gaan in hoeverre wiskundige doelen bij de drie ontwerpen zijn bereikt is het studentenwerk geanalyseerd. Hierbij was het niet mogelijk een onderscheid per ontwerpprincipe te maken. Het gaat bij alle ontwerpen om resultaten die door groepswerk tot stand zijn gekomen. Dat betekent dat op basis van de resultaten geen conclusies voor individuele studenten getrokken kunnen worden. De gehanteerde werkwijze wordt hieronder per ontwerp toegelicht. 45

46 Talstelsels Elke groep van ongeveer 4 studenten heeft een flap gemaakt die zij gebruikt hebben bij hun uitleg aan de hele groep. Het werk op de flap is geanalyseerd naar de mate waarin het wiskundige hoofddoel (De student kan (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen de betreffende getallen omrekenen naar het decimale stelsel, en vice versa) is bereikt. Er zijn drie beheersingsniveaus onderscheiden: 1: Bereikt: studenten hebben een positioneel talstelsel ontworpen. 0: Deels bereikt: studenten hebben een half-positioneel talstelsel ontworpen. -1: Niet bereikt: studenten hebben het hoofddoel niet behaald. Aan het doel wordt ook in de les Bewerkingen nog gewerkt. Het kan dus voorkomen dat studenten die dit doel in de les Talstelsels niet bereiken het in de vervolgles Bewerkingen wel doen. De bevindingen zijn opgenomen in Tabel 17 (p. 68). Bewerkingen De doelen die ten opzichte van die van het ontwerp talstelsels nieuw waren zijn gescoord. Het gaat hier bij om: De student kan eenvoudige berekeningen maken in het 2-tallig stelsel. De student kan eenvoudige berekeningen maken in het 8-tallig stelsel. Er is een indeling gemaakt in drie gradaties van beheersing: Bereikt: vrijwel alle opgaven zijn goed gemaakt. Deels bereikt: het merendeel van de opgaven is goed gemaakt. Niet bereikt: het merendeel van de opgaven is fout gemaakt. Studenten hebben in de les gewerkt aan bewerkingen in één of twee talstelsels. Het aantal en percentage studenten dat hierbij een doel al of niet heeft bereikt is opgenomen in Het aantal en percentage studenten dat eenvoudige bewerkingen in het 2- of 8-tallig stelsel uit kan voeren is opgenomen in tabel 18. Tabel 18 (p. 69). Ontluikende algebra Een schriftelijk practicum was een van de onderdelen van de les. Het bijbehorend studentenwerk is gescoord. De gescoorde doelen met bijbehorende kop in het practicum: 46

47 Vuistregels: in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. Rekenregels breuken en variabelen en Rekenvolgorde: formele rekenregels (ook voor breuken) toepassen voor de 4 hoofdbewerkingen, ook wanneer in eenvoudige gevallen gerekend wordt met variabelen. Rekenregels verhoudingstabel: rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen. Formules bij meten: met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. Dezelfde drie gradaties als bij het ontwerp bewerkingen zijn gebruikt. 8.5 Observaties Bij de les talstelsels die door de onderzoeker aan groep I is gegeven is een drietal opleidingsdocenten aanwezig geweest. Ieder heeft een deelgroep geobserveerd. Om zichtbaar te maken hoe het leren van studenten is gegaan is een representatief gedeelte van één van de observaties, gekoppeld aan teksten en tekeningen die student in een uitleg aan de groep hebben gebruikt, opgenomen bij de beschrijving van het verloop van de interventie (p. 36). De observatie is geanalyseerd naar de mate waarin studenten de wiskundige en didactisch doelen bereiken. In verhouding tot de andere onderzoeksmethoden leveren de observaties maar een kleine bijdrage aan het beantwoorden van de onderzoeksvragen. Omdat de andere methodes allemaal de situatie na afloop van de interventies onderzoeken is er toch voor gekozen een observatie op te nemen. Het zou wenselijk geweest zijn om vaker observanten in te schakelen in de lessen van de onderzoeker. Dit bleek te belastend voor de docenten. 8.6 Steekwoordreflecties studenten Na afloop van elke les zijn aan de studenten vragen gesteld waarop zij kort moesten antwoorden. De vragen hadden betrekking op de leerdoelen ten aanzien van rekenen-wiskunde (bijvoorbeeld: Wat heeft je geholpen om de diverse talstelsels beter te begrijpen?) en ten aanzien van de didactiek (bijvoorbeeld: In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Je docent heeft hierbij een specifieke werkvorm gebruikt. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool?). Ook waren er vragen naar voornemens van studenten om het geleerde in de praktijk te brengen (bijvoorbeeld: Wat ga je inzetten in je stagegroep?). Hiermee werd beoogd de ervaren relevantie te achterhalen. Het aan student zelf vragen wat ze geleerd hebben sluit aan bij een methode van evalueren die geschikt is voor complexere leersituaties, het zogenaamde leerlingverslag (De Groot, 1974). Om het evalueren niet teveel tijd in beslag te laten nemen is ervoor gekozen de reflecties in steekwoorden of korte zinnen te laten uitvoeren. 47

48 De antwoorden zijn in een Exceltabel geplaatst en per vraag gecodeerd. Nadat dit voor het laatste antwoord per vraag is gedaan zijn alle antwoorden nogmaals bekeken om na te gaan of codes die later zijn gemaakt niet ook van toepassing zouden zijn op eerder gecodeerde reflecties. Codes die slechts één keer voorkwamen zijn samengevoegd met andere codes. Als dat niet mogelijk was is de code ondergebracht bij de code overig. Als er codes veel in koppels werden gescoord zijn deze codes gecombineerd. De codes die bij de drie verschillende ontwerpen zijn gebruikt zijn vergeleken en zoveel mogelijk in overeenstemming met elkaar gebracht Daarna zijn de codes ondergebracht onder een hoofdcode die betrekking heeft op één van de ontwerpprincipes verdieping, werkvorm of doorgaande lijn. Als dat niet mogelijk was zijn de subcodes ondergebracht onder een hoofdcode Overig. Bij elke code is aangegeven hoe vaak deze code voorkomt. Het tweede getal stelt het aantal studenten voor dat antwoorden heeft gegeven die met het hoofdcode gecodeerd zijn. Zo zijn in Tabel 22 (p. 72) bij vraag 1 onder de hoofdcode Verdieping 27 opmerkingen geplaatst door 22 verschillende studenten. Per code is een kenmerkend citaat opgenomen. 8.7 Bevindingen onderzoeker De onderzoeker heeft elk ontwerp drie keer uitgeprobeerd. Zijn bevindingen zijn per ontwerp beschreven (p. 77). 8.8 Vergelijking toetsresultaten Om zicht te houden op mogelijk onverwachte effecten van de interventies op de resultaten van studenten zijn de prestaties van de tweedejaars aan het eind van schooljaar vergeleken met de prestaties van de tweedejaarsstudenten aan het eind van schooljaar (groep II t/m V). Bij beide toetsmomenten gaat het om studenten die de toets voor de eerste keer afleggen. Er zijn twee vergelijkingen gemaakt. Bij de eerste vergelijking zijn de totaalscores vergeleken. Omdat de toetsen mogelijk in moeilijkheidsgraad verschillen is er een tweede vergelijking gemaakt met betrekking tot de kwalificaties. De kwalificaties worden op basis van de scores van studenten via de Angoff-procedure vastgesteld. Deze procedure zorgt ervoor dat een kwalificatie bij verschillende toetsen dezelfde status heeft. Een nadeel bij de tweede vergelijking is dat de kwalificaties (van 1 tot 10) globalere aanduidingen van het niveau van de prestaties van studenten zijn dan de totaalscores (van 1 t/m 75). De resultaten staan op pagina

49 8.9 Overzichtstabel Omdat diverse onderzoeksactiviteiten een bijdrage hebben geleverd aan het beantwoorden van de deelvragen 1, 2 en 3 zijn de bevindingen in één tabel bij elkaar gezet (p. 79). Dit geeft een globaal zicht op het totaal van de resultaten bij deze deelvragen. Er is een grove indeling gemaakt in: 1: Positieve waardering. 0: Neutraal. -1: Negatieve waardering. Hoewel er met getallen wordt gewerkt wordt niet gepretendeerd dat de tabel de resultaten met wiskundige precisie weergeeft. Wel geeft hij een globaal overzicht met betrekking tot de resultaten. 49

50 9 Resultaten In hoofdstuk 8 is per onderzoeksactiviteit beschreven hoe de gegevens zijn verzameld en geanalyseerd. Het resultaat van de analyse wordt in dezelfde volgorde beschreven: 1. Interviews met docenten. 2. Interviews met studenten. 3. Analyse van studentenwerk. 4. Observaties. 5. Steekwoordreflecties van studenten. 6. Bevindingen van de onderzoeker. 7. Vergelijking toetsresultaten. 9.1 Interviews met docenten Het resultaat van de codering staan in Tabel 12tabel 12 Tabel 12: Overzicht van codes en subcodes bij de gesprekken met docenten. Tussen haken het aantal uitspraken en een verwijzing naar ontwerpprincipes. Code Subcode Deelvraag Relevantie (37) Betrokkenheid studenten (18), wiskunde algemeen (3), wiskunde 1 doorgaande lijn (d) (5), wiskunde relatie basisschool (9), wiskunde talstelsels (v,b) (2) Wiskundige Algemeen (18) 2 doelen (18) Didactische Algemeen (12), begrip didactiek (1), doorgaande lijn (d) (6), modellen en 3 doelen (23) materialen (v) (4) Competentie Algemeen (20), didactisch (11), interventies (4), pedagogisch (2), 4 docent (59) randvoorwaarden (2), wiskundig (20) Handreikingen (47) Algemeen (17), bronnen (3), didactisch (7), keuzes (10), lesbezoek (1), samen voorbereiden (5), uitwerkingen (2), wiskundig (2) 4 Visie docent Algemeen (6), mate van integratie (4), relevantie wiskunde (3), sturing 4 (14) (1) Waardering Algemeen (14), studenten (6), studenten ontluikende algebra (d) (1) 4 (21) Werkvorm (b) Algemeen (7), onderzoek (1), presenteren (1), puzzel (5), samenwerken 4 (17) (2), uitleg (1) Overig (25) Beginsituatie studenten wiskundig (7), relatie wiskunde didactiek (18) 1 t/m 4 50

51 Deelvraag 1, relevantie en motivatie Over betrokkenheid van en waardering door studenten voor de lessen zijn de vijf docenten positief. Docent A: Ik vind het effect vooral zitten in de betrokkenheid van de studenten, want die vond ik groot. En dat had ik niet verwacht. Ik had verwacht dat ze veel meer de brui eraan zouden geven en de hakken in het zand zouden zetten en zeggen van buh. Maar ik vond dat ze in alle groepen, behalve het groepje waar jij dan dichtbij zat, dat zag ik ook gebeuren. Die twee studenten die afhaakten, maar in de andere groepen gebeurde dat niet zo. En dat vond ik wel mooi om te zien. Docent B: Aan drie groepen. En bij alledrie ging het eigenlijk hartstikke leuk. Ook één van de drie klassen waarbij het normaal nog wel eens, ja, die nog wel het meest kritisch zijn. Docent C geeft hier nuance bij de betrokkenheid: Er speelt natuurlijk nog iets anders in die betrokkenheid. Zij moeten die toets halen. Dus die toets komt er hoe dan ook, of jij het ermee eens bent of niet. Die stof moet je kennen. Dus er ontstaat ook zoiets van 'Ik kan wel elke keer overal tegenaan lopen schoppen maar dat heeft geen zin. Die toets die komt er, die is landelijk en schijnbaar moet ik die halen'. Het is heel moeilijk om af te wegen wat heeft te maken met betrokkenheid en wat heeft te maken met externe motivatie. Maar ook zij is positief: Ze werken elke les heel goed. Of je nou de ene vorm doet of de andere vorm. Ze beschouwen het allemaal als relevant en ze vinden het interessant en sommigen hebben het idee dat ze voor het eerst iets horen. Ik vind de betrokkenheid in elke les heel erg groot. Docent B en C doen algemene uitspraken over de relevantie van de wiskunde voor de beroepsontwikkeling van studenten. Zij noemen het oefenen in probleemoplossend en in analytisch denken. Docent A, B en C onderschrijven de relevantie voor studenten van het zicht krijgen op de doorgaande lijn. Docent A: Ik ben er best voorstander van dat studenten ook leren te beseffen dat ze onderdeel zijn van een heel lang lopende leerlijn. Die leerlijn rekenen stopt niet in groep 8, dus dat gaat door in 51

52 het vo. Dus ik vind het goed als er enig bewustzijn is met wiskunde vanuit het vo en rekenenwiskunde en didactiek in de basisschool. Hoewel het in de ontwerpen gaat om meer geavanceerde wiskunde maken docent B en E opmerkingen over de relatie met de basisschoolwiskunde. Deze hebben betrekking op ontluikende algebra of op talstelsels. Docent B: Ik denk omdat die verbinding met de basisschoolpraktijk zo mooi aanwezig was in die opdracht, in die les. En de student begrijpt dan zelf wel dat hij een wat hoger niveau moet hebben dan die hele leerlijn in de basisschool. Nu komt alles weer een beetje terug. Docent A merkt op dat er in het ontwerp over talstelsels een tweede laag is, die zij zo mogelijk nog belangrijker vinden dan het leren van diverse talstelsels zelf. Deelvraag 2: wiskundige doelen Docenten A, D en E geven aan dat de wiskundige doelen uit het ontwerp talstelsels ten dele zijn behaald. Docent A geeft aan dat het tweede handelingsniveau bereikt is. Docent D maakt een onderscheid per leerjaar: Heel wisselend. Bij de derdejaars zag ik echt 'Nou snap ik het, waarom hebben we dit nooit eerder gedaan?' Vooral het concreet maken met blokjes heeft hun heel erg geholpen, en het zelf gaan groeperen. Docent B geeft aan dat de wiskundige doelen bij ontluikende algebra zijn bereikt: Ja, want ze vinden normaal dit allemaal heel moeilijk en je zag gewoon die kwartjes vallen bij de studenten. Ik leg dan ook altijd even uit deze kan natuurlijk ook nog, deze kan je ook nog schrijven als 1 n kwadraat min 1 n. Dus die hebben we er nog even bijgedaan op het bord. 2 2 Docent C vindt ontluikende algebra soms te gemakkelijk: Die algebrales, ik denk dat heel veel dit al wel konden. Ik denk dat het genoeg was geweest dit even op te frissen. Dan vooral, als ik dan iets moet noemen wat ze moeilijk vonden, waar ik een paar vragen over heb gehad, is met die machientjes, hoe die er ook alweer uitzagen. Maar ook weer over de vorm, dat je van een formule een machientje kan maken. Maar zelfs degenen die van het vmbo komen hebben t/m leerjaar 2 dit wel gehad. Dat is even een kwestie van opfrissen. 52

53 Docent D over talstelsels: Dat willen ze heel graag en het zelf op hun eigen manier doen. Maar als je dan zegt doe het nu eens volgend die strategie die ze dan uitgedeeld hebben gekregen, dat is dan lastig. Datzelfde is ook lastig bij het gewone rekenen. Ze kunnen soms wel een opgave gewoon oplossen, maar als je dan zegt 'Nou wordt er gevraagd om die eigenschap te gebruiken' dan zeggen ze 'Dat vind ik helemaal niet handig' of 'Dat zie ik helemaal niet'. Daar zit zo'n zelfde hobbel. Deelvraag 3: didactische doelen Met betrekking tot de ontwerpen over talstelsels en bewerkingen geven docenten aan dat studenten didactische doelen hebben bereikt. Docent A: Dus dan denk ik zeker wel op vakdidactisch gebied, dan denk ik bij sommigen wel de schellen van de ogen gegaan. Ze hebben gezien wat voor moeite het kost om dat talstelsel onder de knie te krijgen, dat dat dus met kinderen in het 10-tallig stelsel ook wel een soms heel lastig kan zijn. Docent D: Doordat je het zo aanbiedt zien ze wel heel erg die lijn ontstaan. Door echt met materiaal aan de slag te gaan, door vervolgens een model op bord te tekenen. Het is niet zozeer een verdieping in de materialen, zeker niet voor de derdejaars omdat ze al de materialen kennen. Ze kennen al de materialen en modellen die je in het 10-tallig stelsel kan gebruiken. Dus dat was niet nieuw voor ze. Voor de tweedejaars zijn we juist wel heel erg bezig met hele getallen, de leerlijn hele getallen. Daar paste het dan ook heel mooi in want we hebben colleges die daar over gaan en het inoefenen van het rekenen in een ander stelsel was een apart college maar dan kan je wel teruggrijpen naar van 'Hé maar kijk maar. Zo zat het ook bij het rekenen tot 100 en zo zit het ook.' Docent C is kritisch met betrekking tot de didactische doelen uit het ontwerp ontluikende algebra. Zij geeft aan dat sommige studenten niet zo goed wisten wat ze met die didactiekvragen moesten. Docent B is hier duidelijk positiever: Ik heb het handenschudden even weer, dat was steeds ons ankerpunt want dat kenden ze goed. Dus dat gebruik ik dan als ankerpunt en heb ik gezegd 'Kijk, dit is de meest mooie concrete manier eigenlijk om het weer te geven'. Of in ieder geval een visuele manier waar heel veel kinderen baat bij hebben. Dus dit is al meetkundige representatie. Die zou je altijd 53

54 zou je daar je focus op moeten hebben omdat het voor heel veel mensen ondersteuning is van wat er nou eigenlijk gebeurt. Overzicht deelvraag 1 t/m 3 In Tabel 13 staat een overzicht van de mate waarin de docenten aangeven dat de bijdrage van een specifiek ontwerpprincipe aan het beantwoorden van een deelvraag positief, neutraal of negatief is. Tabel 13: Overzicht reacties docenten per deelvraag en ontwerpprincipe. Deelvraag Ontwerpprincipe Docent v r d v r d v r d A B C D E Het valt op dat docenten aangeven dat de wiskundige doelen, in tegenstelling tot de didactische doelen, bij de ontwerpen talstelsels en bewerkingen slechts ten dele zijn behaald. Deelvraag 4: docent Docenten B, C en D vinden zich zelf voldoende bekwaam ten aanzien van de wiskunde om de lessen te geven. Docent A is onzeker over haar eigen vaardigheid: Dus als ik zie dat studenten aan het morren zijn moet ik op mijn eigen vaardigheid vertrouwen om de goede didactische interventie te doen en dat vond ik een lastige. Zij geeft aan wat het belang van zo n interventie is: Dan haal ik niet de goede dingen goed genoeg naar boven die van belang zijn bij studenten. Dat ik de goede interventies kan doen om ze ook in hun denken een stap verder kan helpen. Docent B geeft aan dat sommige docenten moeite zullen hebben verbindingen tussen onderdelen uit de algebrales te leggen: Het gaat me nog niet eens zozeer, je hoeft niet wiskunde te hebben gestudeerd of zo, of je er een beetje in zit in die soort van logica of zo. Ik heb geen idee, jouw les zit goed genoeg in elkaar dus ik denk dat ook iemand die hier niet zo in onderlegd is er toch wel heel wat mee kan. Maar ik denk niet dat hij net tussendoor even die leuke verbindingen kan maken. 54

55 Docent A en E maken opmerkingen over kennis die zij onvoldoende bezitten: Docent E: Ik heb wel zelf zoiets dat ik nog meer van die voorbeelden zou willen weten. Dat Babylonische en die Maya. Had ik zelf nog niet genoeg doorgrond. Docent A en E geven aan dat het samen voorbereiden met andere hen zou helpen. Daarnaast geeft docent E geeft aan dat de handleiding en lesbezoek haar helpt: Ik vond het wel even lastig dat ik het additioneel en positioneel niet helemaal goed kon uitleggen maar ik vond jouw didactische handreiking daarbij wel slim om even de extremen tegenover elkaar te zetten. Ik denk dat ik wat meer houvast heb door bij jou een keer die les te zien, door te ervaren hoe studenten dachten en door mee te denken met zo'n groepje. Door een observatie te maken. Doordat ik die ervaring heb met het Land van Okt. Maar ik vind het zelf wel moeilijk om dan uit geschreven dingen de essentiële dingen te pakken. Niet omdat ik niet kan lezen, maar omdat je zelf die oefening even nodig hebt of je wil zelf ook eventjes meer ervaren hoe het zit. Waardering Docent A geeft een nuance bij de waardering voor de les talstelsels: Ik vind het zeker leuk om te doen of zinvol om te doen. Als ik net nog even een stap had gemaakt met studenten omdat het ze net nog wat meer inzicht geeft in de didactiek op de basisschool. Dus ik zie de relatie wel daartussen. Waar docent B enthousiast is over ontluikende algebra is docent C dat wat minder. Docent B: Je hoort nu wel, ik word er ook enthousiast van, dat het een leuke les is geweest. En een mooie afwisseling in, omdat je zoveel, er zitten echt. De practicumopdrachten zijn oké voor de studenten, zijn goed op niveau maar toch wel te doen en wel uitdagend. In combinatie met die starter dat geeft al dat de les lekker actief is en goed is. En dan kan je tussendoor kleine theorie, met een kleine t, zo lekker even kwijt. Docent C: Ik denk dan altijd wel van je moet dan niet iets doen wat je al kan. Ik vond het een grote tijdsinvestering voor de opbrengst. Ik denk dat die les als ik die de volgende keer zou geven dat ik die korter zou willen doen. 55

56 Zij zet kanttekeningen bij bepaalde didactische theorie van uit de algebra les: Ik weet niet zeker of bij de algebra les of je allemaal moet weten over die plaatsvervangers en dergelijke, ook omdat ik merk dat er heel weinig over te vinden is. Of je moet het voor de aardigheid een keer noemen, maar dat zij dat echt zo precies hoeven te weten weet ik niet zeker of dat nou echt heel relevant is. Docent C heeft meer waardering voor de les over bewerkingen: Ik was heel erg gecharmeerd van die talstelselles terwijl die algebrales die zou voor mij niet hoeven. Ook docent D en E waarderen de lessen, waar docent E een kanttekening maakt over de eigen vaardigheid van studenten: Eigenlijk zag ik al wel de meerwaarde ervan, maar, er is wel een grote maar. Ik vind de studenten die nog onvoldoende op de eigen vaardigheid zitten, die vinden dit ook wel weer complex en die houden misschien daarin het proces wel wat op. De andere studenten pikken dat sneller op en gaan er verder mee. Sommigen hebben nog een emotionele barrière voor dat rekenen. Visie op samenhang Docent A hinkt op twee gedachten als het gaat om het in samenhang aanbieden van wiskunde en didactiek: Vooralsnog denk ik nu, voor wat ik uit studenten haal, dan houd het maar lekker apart, dan is die collega die wiskunde heeft daar veel beter in en die moet dat gewoon doen. Ik vind het prima om het samen te voegen, maar of ik het dan nog, of de didactiek dan voldoende, dan zullen het meer lessen moeten worden dan we nu hebben, sowieso, en moet ik er zelf even nog wat scholing in krijgen. Dus dat vind ik ook een randvoorwaarde zeg maar. En ik wil blijven bewaken, ik wil perspectief houden, wat moet die leerkracht in het basisonderwijs nou kennen, kunnen en weten ten aanzien van wiskunde om een goede rekenjuf te zijn. Zij vindt dat er op elke school leerkrachten moeten zijn die het wiskundig niveau wel hebben: Ik vraag me af of de focus van de nieuwe generatie leerkrachten de wiskunde moet zijn of meer het omgaan met verschillen in de klas en of je dan niet meer aan experts kunt denken binnen een basisschool dan. Dus er is ook een expert die veel wiskunde kan, zoals je gymexperts hebt. 56

57 Docent B is zonder voorbehoud voorstander van samenhang, met daarnaast enkele lessen om studenten gericht op de toets voor te bereiden: Voor mij mogen alle lessen wel op deze manier zijn. We hebben dan ook heel veel lessen want we kunnen ze op één hoop gooien. Dus kunnen we ook veel doen. En dan op deze manier. Ik denk wel dat je er niet aan ontkomt, omdat die kennisbasistoets toch wel typisch een beetje toetsvaardigheid eist, dat moet dan maar, want je wil ook dat je studenten erdoor komen. Net zo als dat ze op de basisschool toch wel een beetje citotraining doen, wat ik gevaarlijk vind. Ik denk dat je nog wel vlak voor de toets of zo eens een keer kunt zeggen we doen een klein lijntje van 4 lessen waarin we echt even gaan oefenen voor de toets of zo. Ik ben er zeer enthousiast over. De volgende keer die talstelsels ook maar eens met zo'n les van jou doen. Docent C geeft aan dat samenhang mogelijk is als studenten een bepaald beginniveau hebben: Dan zou je misschien zelfs moeten overwegen om de eerste periode te zorgen dat iedereen die wiscat haalt en die basale en dat je dan pas in periode 3 verder gaat met didactiek geïntegreerd met rekenen-wiskunde op een hoger niveau. Om te zorgen dat iedereen wel een bepaald basaal niveau heeft. Want dat zit ze echt in de weg. Zij merkt op dat in een les waarin aan gecijferdheid van studenten wordt gewerkt ook altijd didactiek een rol speelt: Om een les op eigen niveau te geven gebruik jij zelf didactiek. Dus als ik moet uitleggen waarom 1 3 plus is en iemand snapt dat niet dan ga ik tekenen Docent D geeft aan dat als de relatie met didactiek wordt gelegd er soms te weinig tijd is om te oefenen met de wiskunde. Dat gebeurt op haar pabo vervolgens in een aparte lijn professionele gecijferdheid. De ideale situatie hierbij is volgens haar dat er een relatie is tussen de wiskundige inhoud in de didactieklessen en die in de oefenlessen. Alle vijf docenten zien de relatie tussen wiskunde en didactiek zoals hij door de ontwerper is bedoeld. Overig Docent C geeft aan dat de lessen erg ver uit elkaar liggen en dat dit niet bevorderlijk is voor het leerproces van studenten. Zowel docent C als D geven aan dat het niet wenselijk is om in pabo 1 met de wiskundige inhouden meteen al naar het kennisbasisniveau te gaan. 57

58 Docent D: Dat kan niet altijd want ik vind dat een eerstejaars die net binnenkomt en nog zijn wiscat niet eens beheerst (zou die wel moeten) die kan je niet meteen afrekenen op het niveau dat je wilt aan het eind van de opleiding. Die wil ik wel echt de tijd geven om dat niveau te bereiken. Dus we vragen daar wel aan het eind van het eerste blok meten en meetkunde meer dan wat er in de wiscat gevraagd wordt, maar het is nog niet het volledige niveau wat in de kennisbasis gevraagd wordt. 9.2 Interviews studenten Overzicht deelvraag 1 t/m 3 Tabel 14 geeft een overzicht van het aantal citaten dat is gecodeerd en het aantal punten dat is toegekend. Tabel 14: overzicht codes studentuitspraken deelvraag 1 t/m 3. Deelvraag 1 (relevantie, motivatie) 2 (wiskundige doelen) 3 (didactische doelen) Ontwerpprincipe Verdieping Beroepsrelevant Doorgaande lijn Algemeen Totaal 1 Verdieping Beroepsrelevant Tot 1/ 12 6/ 12 14/ 17 4/ 6 25/ 45 7/ 21 7/ 17 6/ 8 20/ 46 33/ 49 39/ 43 13/ 26 85/ / 211 AS AP AN Tot: Totaal aantal punten/aantal uitspraken AS: Aantal studenten dat een uitspraak doet. AP: (Aantal Positief) aantal studenten met puntenaantal 1 of hoger. AN: (Aantal Negatief) aantal studenten met puntenaantal -1 of lager. Doorgaande lijn Totaal 2 Verdieping Beroepsrelevant Doorgaande lijn Totaal 3 Totaal Er zijn in totaal 211 uitspraken bij de in Tabel 14 opgenomen codes gedaan. Er zijn 14 studenten positief, 1 neutraal en 1 negatief over het geheel. Veruit de meeste uitspraken gaan over didactiek. Per deelvraag en ontwerpprincipe worden gegevens uit Tabel 14 en kenmerkende citaten besproken. Een volledig overzicht waarbij de codes per student te zien zijn staat in bijlage 10. Deelvraag 1: relevantie en motivatie 14 van de 16 studenten geven aan de relevantie van de wiskunde in te zien. Twee studenten zien de relevantie niet. 58

59 Verdieping Van het ontwerpprincipe verdieping wordt het minst de relevantie gezien. Student B verwoordt de relevantie van het leren van andere talstelsels: Omdat het je op een andere manier naar getallen laat kijken. Je ziet getallen niet meer in waarde maar in perspectief en ik denk dat dat heel belangrijk is omdat jij waardes los moet kunnen laten (1). Student A ontleent relevantie aan een succesbeleving in de stage: Aan de ene kant vond ik het wel grappig dat zij, ik weet gewoon dat ze heel sterk zijn en dat ze dan toch hulp nodig hadden. Ik vond het ook wel heel lastig van leg ik het nu wel goed uit en gaat het straks niet helemaal de mist in en uiteindelijk was het juist wel supergaaf om te zien dat het wel gewoon gelukt was. Met hun kennis en dat van mij erbij (1). Student B, C en H zien het nut niet zo. Soms speelt hierbij de stage een rol. Student C: Dat ga ik toch nooit geven in de bovenbouw, ik heb dit zelf ook nooit gehad. Zo'n slechte leerling was ik niet dus ik werd hier ook niet mee uitgedaagd (-1). Hoewel student C de dubbele bodem wel ziet: Ik vind wel dat de didactiek en die dubbele bodem die daar dan eigenlijk onder ligt, vind ik prima om dat dan te leren en dat vind ik ook heel goed. Dat je dan van 2, 4 en 8 tot weet ik veel, tot 20, dat je 7 talstelsels uit je hoofd moet leren dat vind ik dan net een beetje te ver gaan. Bij mij zou het denk ik al duidelijk geweest zijn bij nog een extra talstelsel. Naast het Land van Okt en dan nog eentje (0). Beroepsrelevant 7 van de 8 studenten ervaren de gekozen werkvormen als relevant. Student O: Ja, dat denk ik wel want dan krijg je ook meteen mee hoe je het zelf zou kunnen toepassen. Anders krijg je alleen de sommen mee voor de toets. Nou is dat natuurlijk wel handig. Maar als je ook dat deel krijgt wat je ook zelf kan toepassen op de stage dan heb je het allebei gecombineerd. Dan weet je en hoe je het zelf moet doen en krijg je mee hoe je het kunt uitleggen op stage. Waar je dus wat meer aan hebt (1). Hoewel het ontwerpprincipe beroepsrelevant in de les over ontluikende algebra niet expliciet is verwerkt wordt hij door student A ook in dat kader genoemd: Ja, ik vond vooral het onderzoeken van hoe het precies zit, dat vond ik heel nuttig. En dus ook die leerlijn in volgorde leggen. Dat maakt het gewoon veel overzichtelijker en tastbaarder. Dat je precies kunt zien van 'o, ja dat heeft daarmee te maken, als ik dit doe gebeurt er dat (1). 59

60 Student G vindt de gekozen werkvormen niet prettig: Ik vind dat geen prettige werkvorm. Ik vind de werkvormen die we buiten die drie lessen hebben gehad die vond ik fijner. Fijner om wat uitleg te krijgen dan uit te proberen zelf of ik het begrepen heb. Dan weer terug te koppelen (-1). Doorgaande lijn Het ontwerpprincipe van doorgaande lijn wordt door 9 van de 10 studenten als relevant ervaren. Een deel van de studenten die positieve uitspraken doet refereert hierbij aan groep 8. Student I: Ik vind het wel heel belangrijk dat je goed weet, want stel ik kom in groep 8 en een kind heeft een hoger niveau van rekenen dan groep 8, dan moet ik wel weten wat ik een kind aan kan bieden nog en waar ik dan naartoe moet. Het houdt niet op na groep 8. Je moet ze proberen juist verder te ontwikkelen (1). Tevens wordt het belang van het kennen van leerlijnen genoemd, onder andere door student B: Wat ik er vooral van opgestoken heb is dat dus ook die dingen al terugkomen in groep 1/2 en 3. En dat vond ik wel interessant om te zien en ook hoe dat verder doortrok en hoe je dat kon gebruiken (1). De twijfel van student N heeft te maken met het al of niet in samenhang met didactiek leren van wiskunde: Als de toets eraan komt vind ik bij zo'n les over formules ook prettig als het echt ook alleen over die formules gaat, zodat ik me daar op kan focussen zodat ik niet de helft mis. Maar ik vind didactieklessen zeker niet nutteloos, vind ik ook heel erg leuk. Maar dat is dan, of interessant, leuk is geen goed woord. Je kan het ook niet echt van elkaar los zien want als je over formules praat ga je ook formules oplossen als je over de didactiek praat. Dus ik weet eigenlijk niet zo goed wat het beste, wat ik het fijnst vind (0). Algemeen Als er geen specifiek ontwerpprincipe aan de orde is wordt door vier studenten de relatie met de stage benoemd. 60

61 Student J: Ik vind dat die lessen kennisbasis over het algemeen wel nuttig zijn. Ik vind de manier waarop docent C het altijd uitlegt wel goed. Ook dat ze voorbeelden erbij pakt van rekenboeken en zo. Dat is wel goed denk ik want dan herken je ook weer dingen uit je stage. Ik denk dat je ze daarom wel moet leren (1). Deelvraag 2: wiskundige doelen 9 van de 15 studenten zijn hier positief. De 6 andere studenten geven aan dat zij de wiskundige doelen ten dele hebben bereikt. Een deel van de studenten geeft aan dat het lang geleden is dat de stof aan de orde is geweest. Verdieping Onderstaand fragment is kenmerkend voor de wijze waarop in de interviews nagegaan werd in hoeverre studenten twee 8-tallige getallen kunnen optellen. Studenten I lost de opgave op. De onzekerheid die in onderstaand fragment zichtbaar is komt ook bij andere studenten naar voren. Het fragment is gewaardeerd met een 1. Student Dat is dan 6, 62. Interviewer Hoe reken je dat uit? Student Ik reken meestal 7 erbij 5 uit. Kom ik op 12 uit. Dan doe ik 20 plus 30 is 50. Dan doe ik 50 plus 12. Interviewer Hoe heet die strategie, weet je dat zo? Student Splitsen. Interviewer Goed zo. Probeer die ook eens met splitsen te doen dan. Student Deze bedoel je? Interviewer Ja. Figuur 8: uitwerking student I. Student Dan doe ik 7 erbij 8, maar, erbij 5 bedoel ik, sorry. Dat is 12 maar dat dan niet. Dan heb je 1, 1 okt 4, zeg ik dat goed? Interviewer Student Ja. Dan 2 okt plus 3 okt is 5 okt, dus dan kom ik op 4 okt 2 uit. Uh, 4 okt 4. Ja, zo zeg ik het dan toch goed? Interviewer Je had 1 okt 4, 5 en 7. En 5 okt. Student O, ik maak helemaal fout. Is 6, 6 okt 4. Interviewer Als je daar iets bij zou moeten tekenen, bij die 6 okt 4, hoe ziet dat eruit? Student Ik denk 6 rijtjes van 8 en nog 4 lossen. Toch? Interviewer Zou ik doen want hoe zou je 62 tekenen 10-tallig? 61

62 Student Interviewer Student 6 rijtjes van 10 en 2 losse. Dit is niet wezenlijk anders he? Nee. Beroepsrelevant 7 van de 10 studenten geven aan dat de gehanteerde werkvorm een bijdrage heeft geleverd aan het bereiken van de wiskundige doelen. Student I: Ik merk dat je van een medestudent begrijp je het vaak beter, want die snapt meestal welke stappen jij beter of anders maakt dan van een docent. Een docent die heeft heel veel informatie. Dat is ook wat je als leerkracht zelf goed moet doen. Die kleine stapjes moet je gaan zien, van wat moeten ze maken. Als medestudent zie je denk ik en gebruik je ook andere taal. Je ziet vaak ook wel andere dingen (1). Student K: Ik denk dat ik het wel begreep maar dat het nog heel veel moeite kostte om het om te zetten en daar heel anders over te denken via het 8-tallig stelsel. Dat die poster er wel voor heeft gezorgd dat het wat meer geautomatiseerd werd en dat ik dat nog beter begreep. In het begin kon ik ook wel sommen oplossen maar dan kostte het me meer tijd en meer moeite dan nu, na die poster (1). Student E geeft een probleem bij het werken in groepjes aan: Ik weet nog wel van één meisje begreep ik het daarna wel, maar een ander meisje begreep het zelf niet goed en toen was het voor mij ook niet te volgen. Ik weet niet dat ik er heel veel aan gehad heb (-1). Doorgaande lijn Een deel van de studenten heeft de inhoud in het voortgezet onderwijs gehad. Student O: Het was voor mij voornamelijk weer dat ophalen want dat heb ik inderdaad allemaal op de middelbare school gehad. Het is dat kinderen ook zelf handigheidjes gaan zoeken daarin en dat doen, dat leer je dan later wel (1). 62

63 Enkele studenten maken opmerkingen waaruit blijkt dat het ontwerpprincipe doorgaande lijn in samenhang met verdieping voor kan komen. Student B: Als ze mij hadden verteld dat die lege plek x had geheten dan had ik daar meer visuele, of dan had ik daar voor mezelf meer oefening bij gehad omdat ik er een beter begrip had gehad van wat is x nou precies (1). Deelvraag 3: didactische doelen De meeste uitspraken gaan over deze deelvraag. Op één na hebben alle studenten didactische doelen bereikt. Dit is vooral het geval bij de ontwerpprincipes verdieping en werkvorm. Bij die van doorgaande lijn is twee derde deel van de studenten positief, een derde deel is negatief. Verdieping De leerdoelen met betrekking tot tientallige bundeling en plaatswaarde hebben te maken met het leerdoel over conceptuele problemen die leerlingen kunnen hebben als ze het 10-tallig stelsel leren. 9 studenten doen 20 uitspraken met betrekking tot deze conceptuele problemen. Student P: Ik denk dat je door dit soort dingen te doen beter begrijpt hoe lastig het is om iets opnieuw te leren. Als kinderen in groep 1/2 komen kunnen ze tot 10 tellen, misschien tot 20. Sommigen in groep 2 nog iets verder. Maar stel je voor dat je boven de 100 komt en dan komen er weer cijfers bij, hoe lastig dat is te begrijpen als je daar helemaal geen kennis van hebt. Wij doen nu kennis van het 10-tallig en een beetje van het 8-tallig. Ik denk dat je je beter kan verplaatsen in die kinderen hoe lastig het is. Niet zo van het is zo klaar, maar dat je echt dat begrip beter hebt (1). Student F is teveel bezig geweest met de wiskundige inhoud om aan de didactiek toe te komen: Ik moet zeggen vrij weinig, want we waren meer bezig met al die talstelsels te snappen omdat we met verschillende talstelsels bezig waren. We zijn meer bezig geweest om te snappen hoe het werkt, hoe je met die verschillende talstelsel kan werken dan met de didactiek daarvan (-1). 8 studenten doen 11 uitspraken die betrekking hebben op het handelingsmodel. Student I: Concreter maken. Dat merk ik bij de kinderen bij ons op school ook wel. Dat je er een plaatje bijhaalt of materiaal echt tastbaar materiaal, dat ze het vaak beter begrijpen (1). 63

64 Student M: Als kinderen het niet snappen, eerst had ik zoiets van hoe kan dat nou dat je het niet snapt, maar nu begrijp ik het wel beter en dan zeg ik ook gewoon 'teken het maar' omdat ik dat zelf ook moet doen, ook bij het land van okt in het begin. Als je het dan gaat tekenen heb je wel meer beelden erbij (1). Student P over plaatswaarde en 10-tallige bundeling: Ja, ik denk over de 10 is wel lastig voor leerlingen. ik denk ook de punten van de 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100. En daarna bij 100 loopt het gelijk langzaamaan op met wat je al weet. Maar na de 100 komt ook weer zo'n punt dat je even moet schakelen, van mmm komt er nog iets bij weetjewel. Maar verder is blijven die reeksen redelijk gelijk als je die basis hebt kun je ver doortellen (1). Beroepsrelevant 13 van de 14 studenten doen positieve uitspraken over de werkvorm. 8 studenten noemen aspecten van uitleggen. Student H: Het is goed voor diegenen die uit moeten leggen aan een ander. Want als je het aan iemand uitlegt dan weet je of je het begrijpt of niet begrijpt (1). Student P relateert deze aan haar stage: Ik denk dat je kinderen de tijd moet geven om met elkaar over iets te discussiëren, te stoeien. Over een probleem of over een of andere som, stel een leerling komt met de vraag van ik snap het niet, dan zou je kunnen zeggen van goh, je zit in een groepje, vraag het eens aan de kinderen om je heen. Misschien kan iemand het jou uitleggen. Niet gelijk aan de leraar overlaten. Dat heb ik op de stage ook wel als leerpunt meegekregen. Stel een leerling stelt een vraag aan jou. Vraag gewoon aan de klas of iemand het weet, laat een andere leerling antwoord geven op de vraag van de leerling (1). Vijf studenten waarderen het zelf ervaren. Student F: Het was nuttig want als ik het zelf mag doen dan leer ik er vaak wel iets meer van dan wanneer ik het gewoon uitgelegd krijg (1). Pedagogische aspecten bij onderzoek worden door een student genoemd. 64

65 Student F: Ik heb er wel plezier maar ik zie wel dat het voor mijn klasgenoten liepen er heel erg op vast. De frustratie die dan komt en hoe je daar ook in moet helpen en meer begeleiding moet geven (1). Student P heeft zicht op een belangrijk aspect bij de puzzelwerkvorm: Op zich wel lastig, want als je er niet zo goed in thuis was, bijvoorbeeld sommige mensen snapten dit eerder dan anderen. Dus dan was jij de expert en moest jij het aan 3 anderen vertellen. En dat is wel moeilijk als je het zelf nog niet helemaal begrijpt. Want je moet het eerst zelf begrijpen voordat je het natuurlijk aan iemand anders kan uitleggen. En dat uitleggen is nog best wel lastig (1). Doorgaande lijn De didactische doelen komen hier het minst uit de verf. 8 studenten geven aan dat een deel van de doelen bereikt zijn, 4 studenten lijken geen doel te hebben bereikt. Student B: Het verschil tussen rekenen en algebra is dat algebra gebruikt variabelen en vaak ook letters (1). Over de overgang van rekenen naar algebra zegt student E: Ik denk dat je begint met die woorden en als je doorhebt wat kinderen begrijpen dan zou je pas die symbolen uitschrijven. Student M: Als je bij wiskunde komt dan krijg je meteen formules. Terwijl ze dan beter even zo zouden kunnen beginnen. Wat wij net dan doen. En dan kom je ineens met die formule, daarna. En dan snappen kinderen het wel (1). Ten aanzien van het herkennen van ontluikende algebra bij leerlingen en lesmateriaal benoemt student C de relatie tussen busmodel en pijlenketting: Ja, eigenlijk wel, maar dit is niet het busmodel, nee. Dit duurde zo lang voordat ik in de gaten had wat een pijlenketting was. Ik heb er de complete Wikipedia op nagezocht en toen kwam ik erachter dat het eigenlijk heel logisch was (1). Het doel over aspecten van variabelebegrip is niet bereikt. De uitspraak van student G hierover is kenmerkend: Misschien als ik het hoor maar er begint bij mij nog geen lampje te branden dat ik weet wat het is (-1). 65

66 Ontwerpprincipe Het resultaat van een ordening van de uitspraken van studenten naar ontwerpprincipe staat in tabel 15 Tabel 15: Overzicht codes studentuitspraken deelvraag 1 t/m 3 geordend per ontwerpprincipe. Student A B C D E F G H I J K L M N O P Tot AS AP AN Verdieping p a Beroepsrelevant p a Doorgaande p lijn a p: puntenaantal. a: aantal uitspraken. AS: aantal studenten dat een uitspraak doet. AP: aantal studenten dat positief is. AN aantal studenten dat negatief is. Er zijn 205 ( ) uitspraken gedaan over de 3 ontwerpprincipes waarmee 126 ( ) punten zijn gescoord. De verschillen tussen de ontwerpprincipes zijn niet groot. Het principe beroepsrelevant wordt het meest positief gewaardeerd. 13 van de 15 studenten zijn hier positief over, 1 is negatief en 1 neutraal. Voorkeur type les Studenten zijn expliciet gevraagd naar hun voorkeur voor een bepaald type les. Wiskunde en didactiek apart of in samenhang. De resultaten staan in Tabel 16. Tabel 16: Aantal uitspraken over voorkeur type les. Student A B C D E F G H I J K L M N O P Tot AS Apart Maakt niet uit Samenhang Totaal van de 11 studenten die uitspraken doen over hun voorkeur voor een type les hebben een voorkeur voor een samenhang tussen didactiek en wiskunde. Er worden diverse redenen aangegeven. Student K: Ik denk wel door elkaar. Anders ben je of de hele les sommen aan het maken of de hele les aan het luisteren en dat is ook best wel moeilijk, anderhalf uur luisteren. Kan ik ook niet, dus ik denk dat door elkaar wel het beste is en dan ook afwisselen met de werkvorm. Dat je toch wat doet en weer even moet luisteren en dan toch ook weer bezig bent. 66

67 Student M: Ik denk dat met didactiek erbij ook fijn is omdat je dan weet wat erachter zit. Net als hierbij bijvoorbeeld. Je zegt krijgen ze dit op de basisschool? Dan zeg ik meteen nee. Terwijl als je het nu ziet en je zegt het zeg maar voor in plaats van die formule opschrijven dan zie je wel in dat het toch wel een opstapje is naar die formules. Als je dat beseft. net als die puzzel. Studenten die didactiek en wiskunde apart willen geven aan dat de focus op alleen wiskunde hen beter helpt die wiskunde te doorgronden. Gerichtheid op de toets wordt door 2 studenten genoemd. Student G: Dan zou ik het liever los zien. Dat je duidelijk voor ogen hebt wat er van je verwacht wordt in de toets. Of eigen vaardigheid qua rekenen of didactiek. Deelvraag 4: docent Hoewel studenten niet expliciet bevraagd zijn op de competenties van hun docent doen vier studenten hier uitspraken. Studenten geven hierbij aan wat zij waarderen. Student G en P geven kritiek op aspecten van het functioneren van docent E. Student I: Die zelf eigen kennis ervan heeft. Voldoende, nee, goed. Dat hij jou ook kan verder helpen en als je ergens tegenaan loopt dat hij weet welke stappen je terug moet maken. Goede uitleg kan geven. Ik denk ook heel goed op vragen kan inspelen van ons. Student G: Ik denk doordat ze heel veel voorbeelden geeft. Wanneer zij uitlegt dan pakt ze er ook een som bij. Dat is wel heel prettig. Student P: Ik denk dat het vooral belangrijk is om die leerlijnen goed te weten en dat je daar dan eigen vaardigheid in toe kunt passen. Je kunt niet met de studenten mee rekenen op het bord, je moet ze wel voor zijn denk ik. Niet dat iemand anders, student, het antwoord zegt en dat jij denkt 'o ja, ja', dat vind ik echt niet kunnen. Studenten hadden twijfels over de competenties van docent E. 67

68 Student G: Wanneer we een vraag stelden was dat zo van o, eh ja. Daar kon ze eigenlijk geen antwoord op geven. 9.3 Studentenwerk Talstelsels Van alle groepen behalve groep II zijn flappen beschikbaar. Tabel 17: Overzicht beheersing wiskundedoelen talstelsels. Groep I III IV V De flappen die -1 zijn gescoord laten zien dat student in deze les niet in staat zijn geweest een positioneel talstelsel te ontwerpen. In één geval ontwierpen studenten uit groep III een additief stelsel, zie Figuur 9: Addititief talstelsel. Figuur 9: Addititief talstelsel 68

69 Op de flappen die een 0 scoren hebben student een half positioneel stelsel ontworpen, zie Figuur 10. In Figuur 11 staat een voorbeeld van een correct ontworpen 4-tallig stelsel. Bij de analyse observatie op pagina 36 staan nog enkele voorbeelden van correct ontworpen talstelsels. Figuur 11: 4-tallig stelsel door studenten uit groep IV.. Figuur 10: Half-positioneel stelsel Bewerkingen Het aantal en percentage studenten dat eenvoudige bewerkingen in het 2- of 8-tallig stelsel uit kan voeren is opgenomen in tabel 18. Tabel 18: Aantallen en percentages studenten en wiskundige doelen bewerkingen. 2-tallig 8-tallig Bereikt Deels bereikt Niet bereikt Totaal n % n 2 8 % 6 27 n 2 1 % 6 3 n % Het merendeel van de studenten blijkt in staat een eenvoudige bewerking te maken in het 2-tallig en/of het 8-tallig stelsel. Bij het 2-tallig stelsel ligt het percentage dat het doel heeft bereikt iets hoger dan bij het 8-tallig stelsel. 69

70 Ontluikende algebra Van het studentenwerk uit een van de onderdelen van de les is gescoord of de doelen bereikt, deel bereikt of niet bereikt zijn. De resultaten staan in tabel 19. Tabel 19: Aantallen en percentages studenten en wiskundige doelen Ontluikende algebra Bereikt Deels bereikt Niet bereikt Totaal n % n % n % n % Vuistregels Formules bij meten Fahrenheit-Celsius Rekenregels breuken en variabelen Rekenregels verhoudingstabel Rekenvolgorde De opgave over rekenvolgorde levert voor geen van de studenten een probleem op. Rekenregels met breuken en variabelen wordt slechts door 45% van de studenten beheerst. In een enkel geval is er een student die een bepaald doel niet bereikt. 9.4 Observaties Hieronder volgt de analyse van de op pagina 36 opgenomen observatie naar wiskundige- en didactische doelen. Wiskundige doelen De begrippen bundeling en plaatswaarde zijn impliciet aan de orde. Zowel het groepje dat het 4-tallig stelsel onderzoekt als het groepje dat het 16-tallig stelsel onderzoekt bedenkt namen om getallen met meerdere posities te benoemen. Het groepje dat het 4-tallig stelsel onderzoekt hanteert het idee van plaatswaarde correct. Bij het 16-tallig stelsel hebben een paar studenten het door, terwijl bij student Ma het 10-tallig en 16-tallig stelsel nog interfereert. Student zijn dus herkenbaar bezig met kenmerken van een positioneel talstelsel. Didactische doelen Studenten zijn met kaartjes bezig op het onderste handelingsniveau. Zij beelden kaartjes af, bedenken namen en bevinden zich dan op het tweede handelingsniveau. De koppeling tussen een formele notatie in het 4-tallig stelsel, 3233, en het tweede handelingsniveau wordt gelegd. Zichtbaar is hoe studenten werken aan het tweede didactische doel uit de les: de student ervaart hoe het handelingsmodel uit het protocol erwd (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) hem helpt bij het verwerven van 70

71 kennis, inzicht en vaardigheden in het werken met diverse talstelsels, waardoor hij zijn begrip van dit didactische model verdiept. 9.5 Steekwoordreflecties studenten Talstelsels Deelvraag 1: relevantie en motivatie Tabel 20: Antwoorden bij vraag 3 In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool?. n=39. Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Verdieping Pittige lesstof 3 Dat je niet moet denken dat alles makkelijk is. 23/20 Kennis over talstelsels 2 Nu weet ik ook hoe de andere stelsels werken. Leerkracht moet boven 3 Dat uitleggen pas goed lukt als je het zelf echt snapt. stof staan Leerlingen verschillen 3 Dat iedereen op een andere manier leert en dat iedereen op verschillende manieren denkt en begrijpt. Belang modellen en 8 Dat je het duidelijk moet uitleggen aan de hand van materialen een model. Kennis over 4 Dat het voor kinderen heel lastig kan zijn sommige leerprocessen kinderen dingen te snappen, vooral nieuwe stof (leren lezen etc.). Beroepsrelevant Belang uitleggen en 7 Dat kinderen elkaar kunnen helpen met het uitleggen samenwerken van opdrachten. 22/20 Zelf onderzoeken 2 Kinderen tijd geven om zelf te onderzoeken. Ondersteuning 2 Zo kan ik de kinderen beter helpen. Uitleggen 9 Dat niet iedereen jouw uitleg snapt en je het op verschillende manieren uit moet kunnen leggen. Overig 6/6 Belang voorbeelden 2 Maak gebruik van concrete voorbeelden. Inzetten bij slimme kinderen 3 Ik heb drie hele sterke rekenaars in mijn stageklas dus ik denk dat deze talstelsels wel van pas kunnen komen. Overig 3 Dat het aanleren van een nieuw talstelsel veel vooronderzoek vergt. A: aantal studenten dat een opmerking maakt. Iedere student geeft aan iets geleerd te hebben waarbij de ontwerpprincipes verdieping en beroepsrelevant even vaak een rol spelen. 71

72 Tabel 21: Antwoorden bij vraag 4 Wat ga je inzetten in je stagegroep? n=35 Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Verdieping 17/17 Modellen en materialen 11 Modellen en concrete voorbeelden zodat ze complexe opgaven beter begrijpen. Verschillen 2 Rekening houden met dat dingen die jij begrijpt niet iedereen begrijpt. Strategie en beginsituatie 2 Strategie achterhalen van leerling. Daardoor beter begrijpen wat de leerling doet of niet snapt. Beroepsrelevant 17/16 Overig 6/6 Handelingsmodel 2 Stapje terug in handelingsmodel als het nodig is. Gebruik van voorbeelden 4 Verschillende voorbeelden van talstelsels. Leren uitleggen aan kinderen 6 Alleen wanneer het nodig is. Dan neem ik eerst het eigen voorbeeld en dan de omzetting naar de officiële notatie. Stap voor stap werken 3 Stap voor stap te werk gaan, alles opschrijven. Werkvorm 4 Meer coöperatief leren Goede rekenaars 3 Misschien bij de pluskinderen een ander stelsel aanleren. Lesgeven over talstelsels 3 Les geven over getalstelsels van de Maya's, Egyptenaren of Romeinen. De meeste studenten kunnen een vertaling naar hun stage maken. Deelvraag 2: wiskundige doelen Tabel 22: Antwoorden bij vraag 1 Wat heeft je geholpen om de diverse talstelsels beter te begrijpen?. n=39. Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Verdieping 27/22 Tekenen 4 Door de visualisatie werden de talstelsels duidelijk. Materiaal 5 De kaartjes gaven een duidelijker beeld. Modellen 3 Bij ons de tabel, andere modellen. Specifieke notatiewijze 4 Hexadecimaaltabel. Positieschema 3 HTE-model Vergelijken met 10-3 Het terugrekenen naar het 10-tallig stelsel. tallig stelsel Beroepsrelevant 23/22 Overig 7 Het 10-tallig stelsel proberen te vergeten. Uitleg algemeen 2 De uitleg op het bord. Uitleg student 17 Uitleg van medestudenten. Voorbeelden 4 Voorbeelden. Overig 9/9 Internetbron 9 Wikipedia. Zowel met betrekking tot het ontwerpprincipe verdieping als tot beroepsrelevant geven 22 studenten aan dat ze er baat bij hebben gehad. Zij geven bij het principe beroepsrelevant vooral aan dat ze baat hebben gehad bij uitleg van medestudenten. De materialen en modellen zijn vooral gebruikt in die uitleg. 72

73 Deelvraag 3: didactische doelen Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Wiskunde Talstelsels en bewerkingen 19 Dat er in elk talstelsel een logisch proces zit. 19; 19 Verdieping Modellen en visualiseringen 4 Modellen tekenen versterkt het begrip. 24/18 Oplosstrategieën 4 Logica achterhalen, volgens een strategie. Belang begripsvorming 5 Dat je boven de stof moet staan en moet weten waarom iets zo is en waarom je het zo doet. Stap voor stap werken 7 Stap voor stap te werk gaan. Leren is lastig 4 Dat het leren tellen lastig is en omschakelen nog erger. Beroepsrelevant 5/5 Uitleggen 5 Hoe je het het beste uit kunt leggen aan kinderen. Opvallend is dat 19 studenten uitspraken doen die gaan over rekenen-wiskunde en niet over didactiek. Met betrekking tot de didactische doelen hebben de meeste uitspraken betrekking op het ontwerpprincipe verdieping. Bewerkingen Deelvraag 1: relevantie en motivatie Tabel 23: Antwoorden bij vraag 3 In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Je docent heeft hierbij een specifieke werkvorm gebruikt. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool?. n=45. Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Verdieping 5/5 Belang modellen en materialen 5 Dat het belangrijk is dat je schema's gebruikt en eventueel concreet materiaal. Beroepsrelevant 47/39 Werkvorm puzzel 19 Voor kinderen is het handig om elkaar iets te leren. Dit kan leerlingen helpen het te begrijpen. Ze zitten in een actieve werkvorm. Overig 2/2 Belang uitleggen door leerlingen en samenwerken 25 Door op deze wijze te werken (Jigsaw), leer je van elkaar. Omdat jij anderen iets uit moet leggen (waar jij expert in bent) en anderen jouw iets uit moeten leggen waar zij expert in zijn. Op deze manier kun je je tijd efficiënt benutten omdat je niet van alle drie een beetje gaat leren, maar van één onderdeel (in mijn geval de bewerking plus) heel veel. Het geeft kinderen denk ik ook wel voldoening als zij iets aan de ander uit mogen en kunnen leggen. Zelf onderzoeken 3 Zelf uit laten zoeken werkt effectief en leukere werkvorm voor de klas. Overig 2 Voor ons werkt dit goed. Of dit voor basisschoolleerlingen werkt Zou ik niet zo goed weten. Misschien voor de verdere groepen 6, 7 en 8. Maar niet bij het jonge kind. De werkvorm puzzel blijkt door studenten te worden gewaardeerd, vooral om het aspect van samenwerking en het uitleggen aan elkaar. Studenten zien niet alleen de meerwaarde van zo n werkvorm voor zichzelf maar ook die voor de leerlingen. 73

74 Tabel 24: Antwoorden bij vraag 4 Wat ga je inzetten in je stagegroep? n=45 Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Verdieping 14/14 Modellen en materialen 3 HTE-model meer gebruiken, zo wordt het inzicht beter. Strategieën 5 De strategieën voor het oplossen van de sommen. Inzicht in leerprocessen bij kinderen 4 Ik begrijp nu dat dat moeilijk is voor de leerlingen. Beroepsrelevant 33/30 Overig 13/13 Samen laten werken en uitleggen 18 Meer werken in groepjes. Het is een actieve werkvorm en kinderen kunnen van elkaar leren. Werkvorm puzzel 15 Puzzel werkvorm zou kunnen (elkaar uitleggen). Samenwerking. Uitleg docent 2 Het stapsgewijs uitleggen. Niet van toepassing bij 9 Niets, groep 1/2, eventueel bij andere lessen het kleuters in groepjes werken. Overig 4 Het niveau. Hele fijne manier van werken. Het merendeel van de studenten geeft aan het samenwerken en het elkaar laten uitleggen door leerlingen al dan niet aan de hand van de werkvorm puzzel in te willen gaan zetten in de stage. Deelvraag 2: wiskundige doelen Tabel 25: Antwoorden bij de vraag Wat heeft je geholpen om te begrijpen hoe je bewerkingen maakt binnen het 2- of 8-tallig stelsel? n=51 Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Verdieping 46/35 Positieschema 31 Het werken met een schema (zelfde als een HTEschema). Overige modellen en 6 BOE stelsel en bij binair lampjes gedachte. materiaal Specifieke strategie of werkwijze 6 HTE-model. Werken met blokjes. Omrekenen en splitsend optellen van antwoorden. Beroepsrelevant 34/23 Tekenen 3 Het uittekenen van de verschillende stelsels en het tekenen van een teken bij bijvoorbeeld het achtste getal. Bij het land van okt wordt de 8 als 10 geschreven en dat ik voor mij heel verwarrend. Ik teken het liever als balkje of maak van de 10 een zonnetje, zodat duidelijk is dat het om het achttallig stelsel gaat. Uitleg en 17 In het begin snapte ik niet zo goed waarom deze samenwerken werkvorm werd ingezet. Maar naarmate de les vorderde snapte ik het steeds beter. Doordat studenten het onderling aan elkaar uitleggen snap je het heel goed. Het is ook nog eens zo dat je dan bijna één op één uitleg krijgt, wat voor mij heel erg goed werkt. Vooral doordat het stapje voor stapje aan mij is uitgelegd snapte ik het. Daarna maakte ik dan zelf nog een som en als het dan klopte dan wist ik dat ik het snapte. Oefenen 12 Uitleg van anderen en vooral veel oefenen. 74

75 Voorbeeldopgaven 2 De voorbeeldopgaven en het bespreken met klasgenoten. Zelf onderzoeken 3 Door het zelf uit te zoeken met medestudenten. Overig 4/4 4 De geheugensteuntjes. Het positieschema blijkt een belangrijkhulpmiddel. 35 van de 51 studenten geven aan dat dit hen heeft geholpen. Uitleg en samenwerken wordt door 15 studenten genoemd. Deelvraag 3: didactische doelen Tabel 26: Antwoorden bij de vraag Wat heb je geleerd over de didactiek van rekenen-wiskunde? n=45 Hoofdcode Subcode A Kenmerkende opmerking Rekenenwiskunde Kennis over talstelsels en 28 Inzicht in rijgen en splitsen en hoe dit in 28 bewerkingen andere talstelsels eigenlijk precies hetzelfde Verdieping 19/16 werkt. Positieschema gebruiken 9 Het gebruik van modellen, positieschema's, het belang hiervan. Overige modellen en 8 Dat je modellen kunt gebruiken. materialen gebruiken Inzicht in leren leerlingen 2 Hoe leerlingen beginnen met rekenen met het 10-tallig stelsel. Hoe moeilijk het is als je boven de 10 moet gaan rekenen. Rijgen en splitsen. Beroepsrelevant Leren uitleggen 5 Dat als er even geen begrip is het handig is om 5 terug te gaan naar de basis. Overig Overig 4 Dat je het betekenisvol maakt. Geen relatie met didactiek 2 Geen didactiek. Weer valt op dat ruim de helft van de studenten wiskundige inhouden noemt waar gevraagd wordt naar didactiek. Er worden vooral uitspraken gedaan over het ontwerpprincipe verdieping. Hierbij springt het gebruik van modellen eruit. Ontluikende algebra Tabel 11: Antwoorden bij de vraag Wat heb je geleerd in deze les met betrekking tot eigen rekenvaardigheid en met betrekking tot didactiek? n=38 Wiskundige doelen 29/23 Hoofdcode Ontwerpprincipe Verdieping Beroepsrelevant 9/9 Subcode A Kenmerkende opmerking Concreet maken 1 Van rekenen: heb ik geleerd dat je de sommen het beste eerst concreet kan maken. Niveau 5 Fijne manier van werken, alleen als je het niet weet of begrijpt loop je snel vast. Voor mij is het lang geleden (vmbo 4) dat ik dit heb gehad als ik het überhaupt heb gehad. Oefenen 4 Ik heb geleerd dat je niet te moeilijk moet doen zoals op het vwo. Het was een goede les met fijne uitleg en handig dat we oefenden, dat was handig. 75

76 Didactische doelen 24/18 Hoofdcode Ontwerpprincipe Algemeen 23/19 Verdieping 4/3 Beroepsrelevant 14/11 Doorgaan de lijn 6/5 Subcode A Kenmerkende opmerking Eigen wiskundekennis (ophalen) 13 Vooral kennis opgehaald mbt formules en het rekenen hiermee. Formules 6 Het is een lastig onderwerp, maar het is fijn om het weer even op te halen. Ik heb weer even geleerd hoe het ook alweer zat met de formules. Modellen en 3 Ik heb geleerd om problemen/sommen op materialen verschillende manieren uit te rekenen/uit te leggen, zoals bij het handenschudden. Ook heb ik kennis gemaakt met verschillende voorstellingsvormen. Belang van 1 Didactiek: erg belangrijk is! didactiek Samenwerken en uitleggen Waardering voor werkvorm Variatie opdrachten Variabelebegrip Woordformules Waardering voor theorie in 3 Zelf onderzoeken en elkaar helpen -> goede werkvorm. 6 De manier van werken is duidelijk en helder. De theorie krijgen we van tevoren klassikaal om vervolgens zelfstandig aan de slag te gaan. 5 Veel verschillende opdrachten was prettig, je weet wat je wel en niet weet. Wat je niet weet/snapt, dan kom je er ook niet snel uit. 3 Duidelijkheid welke aspecten variabele in basisonderwijs naar voren komen. We hebben kort de onderdelen van deze deelvaardigheid behandeld. 3 Vooral kennis opgehaald mbt formules en het rekenen hiermee. Dat woordformules in simpele vorm al in groep 3 worden toegepast. 7 Toevoeging van de theorie is fijn. Dat kende ik nog niet. Overig 29/20 Waardering 10 Het was een goede les. Voor mij was het vooral eigen kennis ophalen. Het was fijn om het ook te oefenen, omdat ik het op deze manier beter onthoud. Opgaven op 9 De oefenwerkbladen zijn handig. Alleen mis ik soms werkblad en een omschrijving of voorbeeld. antwoorden Overig 3 Ik heb een groot gedeelte stof wat ik in havo heb gehad bij wis A weer opgehaald. Daarnaast is mij duidelijk geworden wat ik bij de toets kan verwachten. Een klein deel van de studenten noemt aspecten van de doorgaande lijn van po naar vo, bijvoorbeeld bij de waardering voor de theorie, of bij het label woordformules. De gekozen werkvorm wordt door 8 studenten expliciet genoemd, door anderen, bijvoorbeeld bij het label waardering impliciet. Over de wiskunde zelf geeft een groot deel van de student aan dat het gaat om even ophalen. 76

77 9.6 Bevindingen onderzoeker Talstelsels De werkvorm van het in groepjes samenwerken en het via een flap met de klas bespreken van de bevindingen leidde tot inzet en betrokkenheid. Over het algemeen lukt het de studenten om een positioneel talstelsel te ontwerpen. Soms waren studenten dermate gefocussed op de wiskundige inhoud dat zij aan het onderdeel Hoe gaat het op de basisschool niet meer toe zijn gekomen. Bij een aantal groepen moest gewezen worden op de gelijkenis tussen ons 10-tallig stelsel en het te ontwerpen stelsel op een positioneel talstelsel te krijgen en geen additief. Bewerkingen De werkvorm puzzel leidde tot grote betrokkenheid en inzet. Studenten ondersteunden elkaar, ook in de expertgroep als bleek dat de expertise van de expert niet toereikend was om zijn bevindingen goed over het voetlicht te brengen. Het was nodig de wiskundige kennis uit de les talstelsels op te halen. Het nagaan of bepaalde strategieën werken in het 2-tallig of 8-tallig stelsel was voor studenten die moeite hebben met de stof vaak een brug te ver. Voor deze studenten volstond het een strategie naar eigen voorkeur te bedenken. Doorgaande lijn De startactiviteit sloeg erg aan. Het aantal kaartjes kan hierbij wat minder. Studenten vonden het verrassend om te zien dat een verband tussen twee grootheden op verschillende manieren gerepresenteerd kan worden. De theorie over aspecten van het variabelebegrip bleek lastig voor de meeste studenten. Die over de verschillende typen formules en de overgang van rekenen naar wiskunde bleek toegankelijker. Er is betrokken en met inzet gewerkt aan het practicum. Algemeen Het vaker uitvoeren van een ontwerp hielp om beter in te kunnen spelen op wat er in de les gebeurt. 9.7 Vergelijking toetsresultaten Om zicht te houden op mogelijk onverwachte effecten van de interventies op de resultaten van studenten zijn de prestaties van de tweedejaars aan het eind van schooljaar vergeleken 77

78 met de prestaties van de tweedejaarsstudenten aan het eind van schooljaar Bij beide groepen gaat het om studenten die de toets voor de eerste keer afleggen. Er zijn twee vergelijkingen gemaakt. Bij de eerste vergelijking zijn de totaalscores vergeleken. Omdat de toetsen mogelijk in moeilijkheidsgraad verschillen is er een tweede vergelijking gemaakt met betrekking tot de kwalificaties. De kwalificaties worden op basis van de scores van studenten via de Angoff-procedure vastgesteld. Deze procedure zorgt ervoor dat een kwalificatie bij verschillende toetsen dezelfde status heeft. Een nadeel bij de tweede vergelijking is dat de kwalificaties (van 1 tot 10) globalere aanduidingen van het niveau van de prestaties van studenten zijn. Tabel 27: Statistieken van de tweedejaarsstudenten aan het eind van studiejaar en aan het eind van studiejaar Toetsmoment n Totaalscore Kwalificatie Gemiddelde SD SE Gemiddelde SD SE Juli ,41 7,19 0,70 5,76 1,07 0,10 Juli ,06 5,97 0,68 5,94 0,94 0,11 Figuur 12: Independent Samples t-test van totaalscores door tweedejaarsstudenten aan het eind van schooljaar en aan het eind van schooljaar De gemiddelde totaalscores op de toets in juli 2013 (M = 43,41, SE = 0,70) is 0,35 hoger dan die in juli 2014 (M = 43,06, SE = 0,68). Dit verschil is niet significant (t(183) = 0,348, p > 0,05). Figuur 13: Independent Samples t-test van kwalificaties van tweedejaarsstudenten aan het eind van schooljaar en aan het eind van schooljaar De gemiddelde kwalificatie op de toets in juli 2013 (M = 5,76, SE = 0,10) is 0,18 (op een schaal van 0 tot en met 10) lager dan die in juli 2014 (M = 5,94, SE = 0,11). Ook dit verschil is niet significant (t(183) = -1,178, p > 0,05). De conclusie op basis van bovenstaande vergelijkingen is dat de groep tweedejaarsstudenten aan het eind van schooljaar op hetzelfde niveau presteert als de groep tweedejaarsstudenten aan het eind van schooljaar

79 9.8 Resumé In tabel 28 staan de resultaten per onderzoeksactiviteit bij elkaar met betrekking tot de eerste drie deelvragen. Dit is een verschraling en versimpeling van de nuances die hiervoor in de resultaten naar voren kwamen. Het biedt wel een vlot overzicht over de veelheid aan resultaten. In de kolom totaal staat de som van totaal 1 t/m totaal 3 met daarachter het maximum aantal punten dat behaald kan worden. Het valt op dat de docenten het meest kritisch zijn, zij scoren 3 keer neutraal bij de vraag of de wiskundige doelen zijn bereikt. De totaalrij laat zien dat de ontwerpprincipes leiden tot een positief antwoord op de deelvragen. Tabel 28: Globaal overzicht van resultaten bij deelvraag 1, 2 en 3 per onderzoeksactiviteit. Deelvraag 1 (relevantie, motivatie) 2 (wiskundige doelen) 3 (didactische doelen) Ontwerpprincipe Verdieping Beroepsrelevant Doorgaande lijn Algemeen Totaal 1 Dataveramelingsmethode Interviews docenten /3 Interviews studenten /3 Studentenwerk /1 Observaties /2 Steekwoordreflecties /3 Bevindingen onderzoeker /3 Toetsresultaten 0 0/1 Totaal /3 Verdieping Beroepsrelevant Doorgaande lijn Algemeen Totaal 2 Verdieping Beroepsrelevant Doorgaande lijn Totaal 3 Totaal 79

80 10 Conclusie In dit hoofdstuk worden per deelvraag conclusies getrokken. Daarna wordt de hoofdvraag beantwoord. Deelvraag 1: relevantie en motivatie Zowel uit de studentinterviews, de docentinterviews als uit de steekwoordreflecties blijkt dat studenten betrokken en gemotiveerd zijn bij de lessen uit de ontwerpen en dat ze de inhouden over het algemeen als relevant ervaren. Het gegeven dat de wiskunde getoetst wordt in de kennisbasistoets speelt hierbij een rol. Toch lijkt deze constatering van ondergeschikt belang aan de vele opmerkingen die studenten maken in de interviews en reflecties over de relevantie van wat ze hebben geleerd, waaruit blijkt dat ze de opgedane didactische inzichten, de gehanteerde werkvormen en de geleerde wiskunde als relevant ervaren voor hun beroep. De bevindingen van de onderzoeker als docent sluiten hierbij aan. Deelvraag 2: wiskunde doelen Uit de docentinterviews blijkt dat docenten aangeven dat de wiskundige doelen uit de ontwerpen talstelsels en bewerkingen deels zijn bereikt. De studentinterviews laten zien dat de wiskundige doelen voor een groter deel zijn bereikt. Wel bleek hier dat de relatief lange tijd die zat tussen sommige lessen en de interviews in combinatie met het feit dat de doelen niet getoetst werden ervoor heeft gezorgd dat bij veel studenten de kennis was weggezakt. De analyse van studentenwerk en de steekwoordreflecties laten zien dat het merendeel van de studenten de wiskundige doelen meteen na afloop van de lessen heeft bereikt. De bevindingen van de onderzoeker als docent sluiten hierbij aan. Het beeld uit de observatie van de les talstelsels laat zien dat studenten bezig zijn met het bereiken van de wiskundige doelen uit die les. De vergelijking van toetsresultaten laat geen verschil zien tussen prestaties van studenten uit schooljaar en uit schooljaar waarin de experimentele lessen werden uitgevoerd. Deelvraag 3: didactische doelen De docenten geven aan dat de didactische doelen zijn bereikt. De studentinterviews laten zien dat dit vooral zo is voor de ontwerpprincipes verdieping en beroepsrelevant, in mindere mate voor de didactische doelen bij het ontwerpprincipe doorgaande lijn. De observaties ondersteunen het bereiken van de didactische doelen bij het ontwerp talstelsels. De steekwoordreflecties laten zien dat de doelen over het algemeen zijn bereikt. 80

81 Deelvraag 4: docent In de docentinterviews valt op dat er verschil is tussen docenten met en zonder wiskundige achtergrond. Docenten zonder wiskundige achtergrond zien minder de relevantie van de geavanceerde wiskunde en twijfelen over hun wiskundige vaardigheid en over de vraag of zij in staat zijn studenten goed te begeleiden. Docenten met wiskundige achtergrond zien de relevantie van de geavanceerde wiskunde en achten zich in staat studenten goed te begeleiden. De paar citaten uit de studentinterviews over docentcompetenties betreffen een docent zonder wiskundige achtergrond en bevestigen de twijfel die de docent zelf al heeft. Hoofdvraag De hoofdvraag luidt: in hoeverre kan met behulp van de ontwerpprincipes verdieping, beroepsrelevant, doorgaande lijn en achtergrond, opleidingsonderwijs voor pabostudenten ontworpen worden waarbij het in samenhang met didactiek leren van meer geavanceerde wiskunde ondersteund wordt? Uit deelvraag 1 blijkt dat de ontwerpprincipes verdieping, beroepsrelevant en doorgaande lijn zoals ze vormgegeven zijn in de ontwerpen talstelsels, bewerkingen en ontluikende algebra er aan bijdragen dat de meeste studenten gemotiveerd aan de wiskundige inhouden werken en er de relevantie van inzien, in lessen waarbij zowel aan wiskundige als aan didactische doelen wordt gewerkt. Uit deelvraag 2 en 3 blijkt dat de meeste studenten hierbij zowel de wiskundige als de didactische doelen bereiken. Als studenten rechtstreeks bevraagd worden op hun voorkeur voor een type les, al of niet in samenhang, blijkt een kleine meerderheid voor die samenhang te kiezen. Uit deelvraag 4 blijkt dat het voor de twee docenten zonder wiskundige achtergrond van belang is achtergronden bij de wiskundige inhoud in het lesontwerp op te nemen en handreikingen bij de begeleiding van de leerprocessen, met name om bij te sturen als studenten misconcepten ontwikkelen. Aangevuld met gezamenlijk overleggen en elkaars lessen bijwonen. Het blijkt dus mogelijk opleidingsonderwijs te ontwerpen waarbij het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek ondersteund wordt. 81

82 11 Discussie De aanleiding voor het onderzoek was de constatering dat de komst van de kennisbasistoets er op veel opleidingen, waaronder Pabo Nijmegen, voor heeft gezorgd dat de samenhang tussen het leren van wiskunde en didactiek verbroken werd (Keijzer en de Goeij, 2014). Dit onderzoek laat zien dat het wel degelijk mogelijk is om die samenhang ook met betrekking tot het leren van meer geavanceerde wiskunde in stand te houden. Het door het leren van geavanceerde wiskunde verdiepen van wiskunde van de basisschool, het inbedden in beroepsrelevante activiteiten waarbij een beroep wordt gedaan op relevante vaardigheden en het inzicht dat de geavanceerde wiskunde geworteld is in de wiskunde op de basisschool, blijkt er bij de meeste studenten toe te leiden dat zij de wiskunde als relevant ervaren en gemotiveerd zijn deze te leren. Hierbij kan een aantal kanttekeningen worden gemaakt Beperkingen Er is slechts een beperkt aantal ontwerpen gemaakt, waarin telkens een beperkt deel van de meer geavanceerde wiskunde is verwerkt. Elk ontwerpprincipe had met meerdere inhouden getest kunnen worden. Verder onderzoek zou kunnen uitwijzen of de principes generaliseerbaar zijn naar andere meer geavanceerde wiskunde dan die uit de huidige ontwerpen of naar andere beroepsrelevante activiteiten dan de gekozen werkvormen. De directe vraag aan studenten over het type les waar hun voorkeur naar uitgaat geeft mogelijk een vertekend beeld omdat de didactiek uit de ontwerpen niet getoetst wordt. Een deel van de studenten wiens voorkeur uitgaat naar het gescheiden aanbieden van wiskunde en didactiek noemt dit argument. De conclusies over wat docenten zonder wiskundige achtergrond nodig hebben om lessen te geven waarbij meer geavanceerde wiskunde gecombineerd wordt met didactiek zijn gebaseerd op interviews met vijf docenten waarvan twee zonder wiskundige achtergrond, en op de bevindingen van de onderzoeker. Twee van de drie docenten zonder wiskundige achtergrond hebben alleen ervaring opgedaan met het ontwerp talstelsels, één docent ook nog met bewerkingen. Het is dus vraag in hoeverre de conclusies over docenten generaliseerbaar zijn, hoewel de door de onderzoeker landelijk uitgezette enquête daarvoor wel aanwijzingen geeft. Hier werd gerefereerd aan alle meer geavanceerde wiskunde uit de kennisbasis en bleek dat vooral vrouwelijke docenten zonder wiskundige achtergrond zich onzeker voelen over het verzorgen van de lessen over deze inhouden. Mogelijk speelt hier ook gewenning een rol. Verder onderzoek zou uit kunnen wijzen in hoeverre docenten zonder wiskundige achtergrond na enkele jaren ervaring in het geven van lessen waarbij wiskunde en didactiek in samenhang aan de orde is zich nog steeds (deels) onbekwaam voelen. De interviews met docenten en studenten zijn gehouden en geanalyseerd door de onderzoeker die zelf een voorkeur heeft om meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek te brengen. Dat beïnvloedt mogelijk de resultaten. Bij de helft van de studenten was de onderzoeker ook de docent. Het zou kunnen dat ook dit de resultaten van de interviews heeft beïnvloed. Zoals bij elke vernieuwing 82

83 waren ook nu mogelijk docenten meer gemotiveerd om deze tot een goed einde te brengen. Dat zou de resultaten positief hebben kunnen beïnvloeden. Aan de andere kant kan onwennigheid met de inhoud van de ontwerpen voor een negatieve beïnvloeding hebben gezorgd Verbeteringen aan het ontwerp In deze paragraaf worden eerst verbeterpunten besproken die gelden voor alle drie ontwerpen. Daarna volgen per ontwerp enkele aanvullende verbeterpunten die specifiek voor dat ontwerp zijn. Algemeen De lessen zouden dichter bij elkaar en dichter op de toets gegeven moeten worden. Nu is een deel van de kennis weggezakt, wat met name merkbaar was bij de les bewerkingen. De inhouden, zowel didactisch als wiskundig, zouden beide getoetst moeten worden op het moment dat de beroepstaak waar ze onderdeel van uit zouden gaan maken getoetst wordt. Dit zou dus voor het moment van de kennisbasistoets zijn. In de experimentele setting was dit niet mogelijk. Verwacht wordt dat studenten de verwerkingsopdrachten zullen doen op het moment dat deze deel uitmaken van een beroepstaak en de toetsing ervan. Talstelsels Als er meer tijd beschikbaar is zou in de introductie van de les tegemoetgekomen kunnen worden aan de wens van veel studenten om de talstelsels uit de geschiedenis ook echt te doorgronden. Hier zou dan ook verwerkingsmateriaal voor gemaakt worden met daarin een aantal oefeningen om getallen van een oud talstelsel naar het 10-tallig stelsel om te zetten en andersom. Nu de les gegeven is, is duidelijker welke misconcepten studenten kunnen ontwikkelen als ze niet worden bijgestuurd tijdens het werken in groepjes. Het belangrijkste misconcept is het ontwerpen van een additief stelsel. In de achtergrond voor docenten zouden expliciet enkele interventies opgenomen kunnen worden die de docent kan doen als studenten een additief stelsel maken. Een belangrijk deel van de mogelijke interventies komt erop neer dat wordt gerefereerd aan ons 10-tallig stelsel. Bijvoorbeeld als studenten aparte symbolen ontwerpen voor de 10-tallen en 100-tallen zou de docent hen erop kunnen wijzen dat dit in het 10-tallig stelsel niet gebeurt en iets kunnen vragen als: Kun je met dezelfde symbolen als je voor de eenheden gebruikt ook die 10-tallen weergeven? Ga eens na hoe dat in ons 10-tallig stelsel gebeurt. Bewerkingen Als de lessen dichter op elkaar gepland worden is de verwachting dat studenten de kennis uit de les talstelsels nog paraat hebben. In de achtergrond zou aangegeven kunnen worden dat het voor de meeste studenten beter werkt om ze eerst een bewerking in het 2- of 8-tallig stelsel uit te laten zoeken 83

84 en ze pas daarna de gehanteerde strategie te laten noemen en laten onderzoeken of het met een andere strategie ook lukt. Ontluikende algebra Het aantal kaartjes uit de startactiviteit kan omlaag zonder dat het bereiken van het doel van de startactiviteit, het inzicht dat machientjes als variant op de pijlenketting en het begrip variabele al vanaf groep 3 aan de orde zijn, geweld aan wordt gedaan. De mogelijkheid om een selectie van opgaven uit het practicum te maken bevalt goed. Er zouden meer voorbeelden van de didactische theorie in de PowerPoint opgenomen en klassikaal besproken kunnen worden, met name waar het gaat om de verschillende aspecten van het variabelebegrip. Het verwerkingsmateriaal hierbij bestaat nu op het toepassen op de opgaven uit het practicum. Beter is het om daarnaast specifieker verwerkingsmateriaal te ontwerpen. De vraag in hoeverre de didactische theorie, met name de aspecten van het variabelebegrip, relevant is voor leerkrachten basisonderwijs zou in de sectie rekenen-wiskunde en didactiek op de pabo besproken moeten worden. Niet elke docent zit er meteen het nut van in Aanbevelingen Om de wijze waarop geprobeerd wordt de aanbevelingen te verwezenlijken te begrijpen is het van belang te weten dat de twee pabo s van de HAN, Pabo Nijmegen en Pabo Arnhem, een gemeenschappelijk curriculum krijgen. Dit curriculum start in schooljaar in pabo 1. In datzelfde schooljaar wordt de kernfase (pabo 2 en 3) ontwikkeld. De aanbevelingen hebben betrekking op de kernfase. 1. Houd in het opleidingsonderwijs zoveel mogelijk de samenhang tussen het leren van wiskunde, ook de meer geavanceerde wiskunde, en het leren van didactiek in stand. Bij aanbeveling 1 gaat het om de hoofdconclusie uit dit onderzoek. Met de inzet van de onderzochte ontwerpprincipes is het mogelijk deze aanbeveling te realiseren. 2. Bied extra ondersteuning bij het leren van meer geavanceerde wiskunde aan studenten die dat nodig hebben, bijvoorbeeld door extra lessen op basis van inschrijving. Aanbeveling 2 volgt uit de interviews met docenten en met studenten. Hiermee wordt tegemoet gekomen aan die studenten die aangeven een voorkeur te hebben om lessen wiskunde en didactiek te scheiden. Aan aanbeveling 1 en 2 wordt in schooljaar gewerkt doordat de onderzoeker plaatsneemt in het ontwikkelteam van de kernfase van de HAN Pabo. Daarnaast zijn de bevindingen uit het 84

85 onderzoek gedeeld met de sectie rekenen-wiskunde. De collega s hebben te kennen gegeven de implementatie van deze twee aanbevelingen te ondersteunen. Het is verleidelijk om als aanbeveling op te nemen dat pabodocenten rekenen-wiskunde en didactiek moeten beschikken over een tweede- of eerstegraads bevoegdheid wiskunde. Docenten zonder deze bevoegdheid voelen zich onzekerder dan docenten met bevoegdheid en zijn minder goed in staat in te springen op oplossingen van studenten bij vraagstukken die meer geavanceerde wiskunde betreffen. Uit het vooronderzoek blijkt echter dat ongeveer de helft van de pabodocenten niet beschikt over een degelijke bevoegdheid. Daarnaast is de omgekeerde situatie, docenten zonder pabo-achtergrond maar met een wiskundebevoegdheid die didactieklessen verzorgen, niet onderzocht. Mogelijk wordt hetgeen docenten zonder wiskundige achtergrond missen als het gaat om de didactiek van de meer geavanceerde wiskunde gecompenseerd door hun vakdidactische kennis en inzichten (dit zou een onderwerp van nader onderzoek kunnen zijn). Daarom wordt de aanbeveling afgezwakt. 3. Zorg voor voldoende mogelijkheden voor docenten zonder wiskundige achtergrond om zich in te werken in de meer geavanceerde wiskunde en de didactiek ervan. Uit het onderzoek blijkt dat voorbereiden van lessen een goed middel is. In schooljaar betekent dit dat de lessen die ontworpen worden goed met de collega s uit de sectie besproken moeten worden, vooral met de collega s die het schooljaar daarop gaan uitvoeren. Tevens wordt een docent zonder wiskundige achtergrond bij het ontwerpen betrokken (docent A). Gezamenlijk ontwerpen kan als een onderdeel van gezamenlijk voorbereiden gezien worden. In schooljaar zullen docenten bij elkaar lessen bijwonen. Een mogelijkheid van een andere orde is het nagaan of het mogelijk is om landelijke een cursus voor deze docenten te organiseren en in hoeverre zo n cursus in een behoefte voorziet. De onderzoeker zal dit punt inbrengen in de ELWIeR-onderzoeksgroep. 85

86 12 Kennisdeling Communiceren met de beroepsgroep is intern op Pabo Nijmegen gebeurd in vergaderingen en bij de voorbereiding en uitvoering van de interventie in het najaar van 2013 en het voorjaar van Daarnaast zijn de programmaleider onderwijs en onderzoek en de directie betrokken bij de onderzoeksopzet en zullen zij kennis nemen van de resultaten, conclusies en aanbevelingen. Bij de aanbevelingen is te lezen hoe de sectie rekenen-wiskunde de komende schooljaren betrokken wordt bij het verder vormgeven van onderwijs waarbij het leren van wiskunde en didactiek in samenhang gebeurt. Extern is op een aantal manieren kennis met de beroepsgroep gedeeld: De onderzoeker heeft deelgenomen aan de ELWIeR-onderzoeksgroep. Vanuit de theorieverkenning, onderzoeksopzet, ontwerpen en ontwerpprincipes, analyses en resultaten is de afgelopen drie jaar in ongeveer acht bijeenkomsten van de ELWIeR-onderzoeksgroep een inhoudelijke bijdrage geleverd. Door de onderzoeksgroep wordt een LinkedIn-forum gebruikt om te communiceren. Vanuit het onderzoek is daar door de onderzoeker een aantal keren gebruik van gemaakt, bijvoorbeeld om de resultaten van de zoektocht naar manieren om interviews te coderen te delen. Op de ELWIeR-conferentie (najaar 2013) zijn de resultaten van de praktijkverkenning onder opleiders, de resultaten van de theoretische verkenning en het ontwerp Talstelsels in een werkgroep aan de orde geweest. De waardering van de deelnemers aan de werkgroep was gemiddeld 8. Op de Panamaconferentie (januari 2014) is een werkgroep verzorgd waarbij dezelfde onderwerpen aan bod zijn gekomen aangevuld met het bestuderen van de drie ontwerpen. De waardering van de deelnemers voor deze werkgroepen gemiddeld 7,2. Een impressie is te vinden in het verslag van de conferentie (Keijzer & Lit, 2014). Daarnaast heeft kennisdeling plaatsgevonden door twee docenten van twee andere pabo s bij het onderzoek te betrekken. Er is een website gemaakt (Boersma, 2013) waarop alle materialen te vinden zijn. Naar aanleiding van het onderzoek worden artikelen geschreven voor de Panama-Post (ook genaamd: tijdschrift Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk ) en voor het VELONtijdschrift, het tijdschrift van de vereniging van lerarenopleiders in Nederland. 86

87 13 Bronnen Amerom, B. v. (2002). Reinvention of early algebra: developmental research on the transition from arithmetic to algebra. Proefschrift Universiteit Utrecht. Ball, D., Thames, M., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education(59), Boersma, G. (2013, Mei 27). Wiskunde geintegreerd met didactiek of als aparte lijn? Boyer, C. B., & Merzbach, U. C., (1989). A history of mathematics. New York: John Wiley & sons. Bryman, A., (2012). Social research methods (4e druk). Oxford: University Press. Dam-Schuringa, L. v., & Terlouw, B. (2012). Kennisbasis als fundament voor de opleiding. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 31(1), Dekker, T., Wijers, M., Spek, W., & Zwaart, P. v. (2007). Leerlijnen: van rekenen naar algebra, van basisschool naar voortgezet onderwijs. Nieuwe Wiskrant(27-1), Dolk, M.L.A.M., Faes, W., Goffree, F., Hermsen, H. & Oonk, W. (1996). Een Multimediale Interactieve Leeromgeving voor aanstaande leraren basisonderwijs ingevuld voor het vak rekenenwiskunde & didactiek. Utrecht: Freudenthal instituut/nvorwo. Donk, C. v. d., & Lanen, B. v. (2009). Praktijkonderzoek in de school. Bussum: Coutinho. Drijvers, P., Streun, A. v., & Zwaneveld, B. (2013). Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon. Duman, V. & Keijzer, R. (2011). Panama Praktijktip nummer 121: Kommagetallen uitvinden. Panama- Post - Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 30 (2), (pp ) (4 p.). Faarts, J., Goris, T., Konings, T., Monquil, A., & Soto y Koelemeijer, G. (2012). Algebra voor leerlingen van Utrecht: APS. Field, A. (2009). Discovering Statistics Using SPSS (3e druk). London: SAGE Publications ltd. Flores, A. (2002). Geometric Representations in the Transition from Arithmatic to Algebra. Representations and Mathematics Visualisation - Part 1, pp Goffree, F. (1995). Het Land van Okt. Groningen: Noordhoff. Goffree, F., & Dolk, M. (1995). Proeve van een nationaal programma rekenen-wiskunde & didactiek op de pabo. Zutphen: Nauta. 87

88 Gravemeijer, K. (2007). Meten en meetkunde in de bovenbouw: tussendoelen annex leerlijnen bovenbouw basisschool. Groningen: Noordhoff. Groenestijn, M. v., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie BAO SBO SO. Assen: van Gorcum. Groot, A. D. de (1974). Methodologie. Grondslagen van onderzoek en denken in de gedragswetenschappen. Assen: van Gorcum. Groot, T. d. (2012). Toetsing Kennisbasis rekenen-wiskunde in lerarenopleidingen basisonderwijs: percepties en wensen van docenten. Helmond: Universiteit Utrecht/Hogeschool de Kempel Helmond. Hill, H.C., Rowan, B., & Ball, D.L. (2005). Effects of teachers' mathematical knowledge for teaching on student achievement. American educational research journal, 42(2), Jakobsen, A., Thames, M. H., Ribeiro, C. M., & Delaney, S. (2012). Using practice to define and distinguish horizon content knowledge. 12th international congress on mathematical education. Seoul. Keijzer, R., & Goeij, d. E. (2014). Scenario's voor de implementatie van de kennisbasis rekenenwiskunde. Velon tijdschrift, 35(1), Keijzer, R., & Lit, S. (2014). Reken-wiskundeonderwijs XL - verslag panama-conferentie Panama-Post, 33, Keijzer, R., & Zanten, M. v. (2010). Kennisbasis leidt tot tekort aan opleiders rekenen-wiskunde. Panama-Post(3), KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Alkmaar: Bejo druk & print. Kool, M., & Keijzer, R. (2012). Wiskundekennis van de basisschoolleraar. Panama Post, 31(4), Marcinek, T. (2012). Learning to interpret the mathematical thinking of others in pre-service mathematics courses: potential and limitations. 12th international congress on mathematical education, TSG 23. Seoel. Maslowski, R., & Visscher, A. J. (1997). Methoden en technieken voor formatieve evaluatie in sociaalwetenschappelijke ontwerpsituaties.enschede: Universiteit Twente. Menninger, K. (1979). Zahlwort und Ziffer. Gottingen: Vandenhoeck und Ruprecht. Meyerink. (2009). Referentiekader Taal en Rekenen. Enschede. Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Amse, H., Barth, F., & Lek, A. (2010i). Rekenen-wiskunde in de praktijk. Onderbouw. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. 88

89 Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Barth, F., Engelsen, M. den, Markusse, A., & Vet, L. de (2010ii). Rekenenwiskunde in de praktijk. Bovenbouw. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Engelsen, M. d., Lek, A., & Waveren-Hoogervorst, C. v. (2011). Kerninzichten. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Oonk, W., Zanten, M. v., & Keijzer, R. (2007). Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling. Panama Post, jaargang 26-3, Oosterheert, I. (2011). Praktische leerpsychologie voor het basisonderwijs. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Pabo Nijmegen. (1991). Reader 'Handig tellen en combinatoriek'. Nijmegen: eigen uitgave. Scheltens, F., Hemker, B., & Vermeulen, J. (2011). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het eind van de basisschool 5. Arnhem: Cito. Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15(2), SLO. (2009). Tule inhouden & activiteiten kerndoelen. Opgeroepen op September 02, 2013, van Stichting Goed Rekenonderwijs, (2009, December 7). Jan van de Craats. Opgeroepen op Mei 17, 2013, van Jan van de Craats: Tatto, M. T., Schwille, J., Senk, S. L., Ingvarson, L., Rowley, G., Peck, R.,... Reckase, M. (2012). Policy, Practice an Readiness to Teach Primary and Secondary Mathematics in 17 Countries. Amsterdam: International Association for the Evaluation of Educational Achievement. Taveau, C., (2012). Using modelling activities to train future schoolteachers in mathematics. 12th international congress on mathematical education. Seoel. Thanheiser, E. (2012). Preserve elementary school teachers'(psts') conceptions of multidigit whole numbers: the development of those conceptions and the psts' motivation to learn elementairy mathematics. 12th international congress on mathematical education. Seoel. Treffers, A. (2010i). De stille rekenrevolutie. Panama Post(4), Treffers, A. (2010ii). Het rekentheater. Amsterdam/Antwerpen: Atlas. Treffers, A., (2015). Weg van het cijferen. Utrecht: Universiteit Utrecht. Treffers, A., Moor, E. d., & Feijs, E. (1989). Proeve van een nationaal programma voor het rekenwiskundeonderwijs op de basisschool (Vol. 1). Tilburg: Zwijsen. 89

90 Vereniging van Hogescholen, (2013). Toetsgids pabo rekenen-wiskunde. Opgeroepen op Mei 2013 van Zanten, M. v. (2010). De kennisbasis rekenen-wiskunde voor pabo's - ontwikkelingen en overwegingen -. Panama-Post, 29(1), Zanten, M. v., Barth, F., Gool, A. v., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. Zanten, M. v., Berg, J. v., Hutten, O., & Meijer, R. (2010). Reken-wiskunde-didactiek, Meten en meetkunde. Baarn/Utrecht/Zutphen: ThiemeMeulenhoff. Zanten, M. v., Brom-Snijders, P. v., Bergh, J. v., Meijer, R., & Vrolijk, A. (2007). Reken-wiskunde en didactiek, Hele getallen. Utrecht/Zutphen: ThiemeMeulenhoff. 90

91 Bijlage 1: Analyse bestaande methodes Kerninzichten Tabel bijlage 1a: Overzicht inhouden niet 10-tallige talstelsels en (ontluikende) algebra in Kerninzichten. 1 2 Vindplaats Inhoud Didactiek x Andere talstelsels (p. 41) Wordt even aan gerefereerd, verder niet uitgewerkt. x Opdracht (p. 49) optelling van 2 getallen met Romeinse cijfers. Vraag naar wat er anders is als bij het optellen in het decimaal postitioneel stelsel. Uit de 100 opgaven x 2 Gauss, wordt met variabele vraag over uitleg gewerkt. x 3 Driehoeks- en vierkantsgetallen, begrippen visualiseren, wordt niet met variabelen generaliseren en formaliseren gewerkt x 9 Binaire getallen, opbouw Vraag welke 2 kerninzichten hier systeem zichtbaar zijn. x 47 Zoek de spelregel, leeftijd noteren + 60 etc. Wordt variabele gebruikt. x 88 BMI Opdracht voor bovenbouw ontwerpen 1: Inhouden over niet 10-tallige talstelsels of bewerkingen in niet 10-tallige stelsels 2: Inhouden over (ontluikende) algebra Rw in de praktijk, bovenbouw Geen aandacht voor de 2 onderwerpen, ook niet sec inhoudelijk. Begrip als talstelsel komt niet voor in begrippenlijst. Rw in de praktijk, onderbouw Geen aandacht voor de 2 onderwerpen, ook niet sec inhoudelijk. Begrip als talstelsel komt niet voor in begrippenlijst. Thieme Hele getallen In deel A en B niets, deel C: 91

92 Stapelen in de supermarkt Tabel 29: Overzicht inhouden niet 10-tallige talstelsels en (ontluikende) algebra in Thieme Hele Getallen. 1 2 Vindplaats Inhoud Didactiek x Deel C Stapelen in Driehoeksgetallen en andere Kenmerken van een wiskundige de supermarkt stapelpatronen attitude 1: Inhouden over niet 10-tallige talstelsels of bewerkingen in niet 10-tallige stelsels 2: Inhouden over (ontluikende) algebra Thieme Meten en meetkunde Formule voor inhoud: lengte x breedte x hoogte. Wordt niet mee geoefend. Stelling van Pythagoras. Wordt genoemd, niet mee geoefend. De aarde eerlijk verdeeld. Formule voor oppervlakte bol: 4πr 2. Wordt 1 keer ingevuld. Omtrek van een cirkel Oppervlakte van een cirkel via steeds kleinere sectoren. BMI: formule in woorden: gewicht delen door de lengte en daarna nog een keer (beetje vaag). 92

93 Bijlage 2: Navraag naar relevantie Achtergrond Beste collega s Ik doe een onderzoek naar de mogelijkheid om wiskundekennis die studenten niet direct tegenkomen in de basisschool en die geen onderdeel uitmaakt van de kerndoelen in een didactische context in het curriculum van de pabo op te nemen. Omdat ik zicht wil krijgen op de relevantie van dit onderzoek en de ontwerpen die eruit voortkomen zou ik je enkele vragen willen stellen. Het beantwoorden ervan duurt niet langer dan 5 a 10 minuten. Je kunt meteen aangeven of je op de hoogte wilt blijven en mogelijk ook zelf (vanaf voorjaar 2014) aan de slag wilt gaan met één of enkele ontwerpen. Bij voorbaat bedankt, Gerard Boersma Pabo Groenewoud Nijmegen. Achtergrond Een deel van de in de kennisbasis beschreven wiskundekennis valt niet onder de kerndoelen rekenenwiskunde en is niet direct zichtbaar in de basisschool. De student kan zich niet in deze inhouden bekwamen door bijvoorbeeld leerlingenwerk te analyseren, filmpjes van leerkrachten in actie te bekijken, lessen voor te bereiden en te geven, enzovoort, zonder dat hierbij aanvullende interventies vanuit de opleiding worden gedaan. De betreffende inhouden kunnen min of meer kaal, los van de beroepscontext worden aangeboden. Op Pabo Groenewoud wordt dat op dit moment zo gedaan. De keuze hiervoor is ingegeven door tijdsdruk en het gegeven dat het regulier onderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek beperkt is tot kleine - in tijd afgebakende - onderwijseenheden. Dit verhoudt zich niet met het leren van rekenenwiskunde en het onderwijzen van rekenen-wiskunde, dat een langlopend proces is. Het gehanteerde materiaal bestaat in hoofdzaak uit kopieën van wiskundelesmateriaal voor het voortgezet onderwijs. Een tweede manier om deze kennis aan de orde te stellen is om deze in te bedden in een didactische context. Deze werkwijze sluit aan bij een visie op opleidingsdidactiek voor rekenen-wiskunde waarbij beoogd wordt rekenen-wiskunde zoveel mogelijk te leren door de beroepscontext te gebruiken en studenten de kennis aan de hand van betekenisvolle opdrachten zelf te laten construeren. Dit heeft mogelijk een positief effect op de motivatie en zou kunnen leiden tot hogere leerresultaten zowel met betrekking tot wiskundige als didactische kennis en vaardigheden. Een bestaand voorbeeld hiervan is Het land van Okt, waarmee studenten leren rekenen in het achttallig stelsel en meteen aan den lijve cruciale elementen uit de didactiek van het rekenen ervaren. 93

94 Mijn onderzoek gaat over de vraag of het mogelijk is om nader te bepalen inhouden die niet direct zichtbaar zijn in de basisschool in een didactische context aan te bieden. Hiervoor ga ik onder andere enkele ontwerpen maken en uitproberen. Mogelijke inhouden hierbij zijn: Verbanden, rekenregels en formules. Statistiek. De stelling van Pythagoras. Diverse talstelsels. Combinatoriek. Omtrek en oppervlakte van een cirkel, pi. Inhoud van objecten en formules erbij. Kenmerken van getallen. Grote en bijzondere getallen. (Ontluikende) algebra Stellingen 1. Ik weet wat de wiskunde-inhouden uit de kennisbasis zijn die niet direct zichtbaar zijn in de basisschool. 2. Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen. 3. Komend schooljaar onderwijs ik deze wiskunde aan studenten op de pabo. 4. Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. 5. Het heeft mijn voorkeur de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool geïntegreerd met didactiek aan te bieden. 6. Ik zie de relevantie van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool voor de beroepsontwikkeling van de student. 7. Ik zou tijdens een conferentie kiezen voor een presentatie van het onderzoek. 8. Ik zou een artikel waarin het onderzoek wordt beschreven in zijn geheel lezen. 9. Ik zou graag één of enkele ontwerpen uit willen proberen. 10. Zijn er naast de in de achtergrond genoemde onderwerpen andere onderwerpen waarvoor je graag over een didactisch ontwerp zou beschikken? Zo ja welke zijn dat? 94

95 Respons Tabel 2a: Respons bij stelling 1, 2 en 4 t/m 9 Stelling Totaal 1 n % n % n % n % n % n % n % n % n % Tabel 2b: Respons bij stelling 3. Ja Nee Totaal n % Gecorrigeerd voor respondenten die niet in staat zijn een ontwerp uit te proberen. 95

96 Tabel 2c: Respons van mannen en vrouwen met en zonder wiskunde bij stelling 2 en 4 Stelling 2 Stelling 4 Score Tot Tot Met Mannen n wiskunde % Vrouwen n % Totaal n % Zonder Mannen n wiskunde % Vrouwen n % Totaal n % Totaal Mannen n % Vrouwen n % Totaal n %

97 Bijlage 3: Inventarisatie Pabo Nijmegen Onderstaande tabel volgt de ordening van de toetsgids (Vereniging van Hogescholen, 2013). Type kennis De Doel student Getallen Taal weet wat bedoeld wordt met: binair getallensysteem of talstelsel, 4 octaal getallensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallensysteem of talstelsel. Kennis kent systematiek in het benoemen van (grote en kleine) getallen: 9 miljoen, miljard, biljoen, biljard, triljoen, triljard, quadriljoen, quadriljard; miljoenste, miljardste,, quadriljardste. Gehele getallen Taal kent priemgetal, driehoeksgetal, vierkantsgetal of kwadraat, macht, 8 rechthoeksgetal, volmaakt getal. GGD (grootste gemene deler) en KGV (kleinste gemene 8 veelvoud). Kennis kent deelbaarheidskenmerken voor deelbaarheid door 2, 3, 4, 5, 6, 8 8 en 9. kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of 4 talstelsels. Vaardigheden kan regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij 1, 5 berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). deelbaarheid van getallen doorzien en gebruiken in relatie tot 8 verschillende bewerkingen. situaties herkennen als combinatorische situaties en daarmee 5 rekenen. getallen in eenvoudige gevallen ontbinden in priemfactoren. 8 de KGV en GGD van twee of meer getallen bepalen. 8 gebruiken van Romeinse cijfers, tot duizenden. 4 eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige 4 stelsel. (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen getallen in een dergelijke getallenstelsel of talstelsel omrekenen naar het decimale stelsel en vice versa. 4 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen 97

98 Type kennis De Doel student Taal kent de volgende aanduidingen in verband met rationale getallen: teller, noemer, breukstreep, gelijkwaardig, equivalent, gelijknamig en vereenvoudigen, rationaal getal, decimaal getal en decimale breuk, gemengd getal, echte breuk, stambreuk, repetendum, bemiddelende grootheid, ondermaat, repeterende breuk, procenten-asymmetrie, evenredig verband, procent, promille. Vaardigheden kan indien er geen sprake is van een repeterende breuk, een breuk omzetten in een kommagetal en omgekeerd: een kommagetal omzetten in een breuk. in eenvoudige gevallen een repeterende breuk, uitgedrukt als een kommagetal, omzetten in een breuk in de meest vereenvoudigde vorm. in eenvoudige gevallen bij het omrekenen van een breuk naar een kommagetal met een repetendum, aangeven welk deel repeterend is. rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen. rekenen met getallen die zo groot of klein zijn dat ze niet passen in het scherm van de rekenmachine en hierbij de wetenschappelijke notatie gebruiken. Meten Vaardigheid kan in de omtrek bepalen van een tweedimensionaal gesloten object alledaag dat bestaat uit rechte grenslijnen, van een cirkel, en van se objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en de situaties gevonden lengte beschrijven met een passende of gevraagde, zonder maat, eventueel gebruikmakend van de stelling van een Pythagoras. gegeven de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een formule parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van en wanneer objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. voldoen de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een de gegevens cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens opp. grondvlak 1, , 6 6, 10 7, 10 98

99 Type kennis De Doel student bekend zijn hoogte ) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat. kan bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. Meetkunde Geen inhouden die niet in het pabo1 programma ingebouwd kunnen worden. Verbanden Vaardigheid kan grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. 6, 7, 10 1, 10 1, 2, 10 Hieronder zijn de doelen gekoppeld aan de onderwerpen. Onderwerp De student 1. Verbanden kent: de volgende aanduidingen in verband met rationale getallen: teller, noemer, breukstreep, gelijkwaardig, equivalent, gelijknamig en vereenvoudigen, rationaal getal, decimaal getal en decimale breuk, gemengd getal, echte breuk, stambreuk, repetendum, bemiddelende grootheid, ondermaat, repeterende breuk, procenten-asymmetrie, evenredig verband, procent, promille. kan: regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen. 99

100 de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens opp. grondvlak hoogte ) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. 2. Statistiek. kan: grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. 3. De stelling van kan: Pythagoras. de omtrek bepalen van een tweedimensionaal gesloten object dat bestaat uit rechte grenslijnen, van een cirkel, en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en de gevonden lengte beschrijven met een passende of gevraagde maat, eventueel gebruikmakend van de stelling van Pythagoras. 4. Diverse talstelsels. weet: wat bedoeld wordt met: binair getallensysteem of talstelsel, octaal getallensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallensysteem of talstelsel. kent: kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of talstelsels. kan: gebruiken van Romeinse cijfers, tot duizenden. eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel. (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen getallen in een dergelijke getallenstelsel of talstelsel omrekenen naar het decimale stelsel en vice versa. 5. Combinatoriek. kan: 100

101 6. Omtrek en oppervlakte van een cirkel, pi. 7. Inhoud van objecten en formules erbij. 8. Kenmerken van getallen. regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). situaties herkennen als combinatorische situaties en daarmee rekenen. kan: de omtrek bepalen van een tweedimensionaal gesloten object dat bestaat uit rechte grenslijnen, van een cirkel, en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en de gevonden lengte beschrijven met een passende of gevraagde maat, eventueel gebruikmakend van de stelling van Pythagoras. de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. kan: de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens opp. grondvlak hoogte ) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. kent: priemgetal, driehoeksgetal, vierkantsgetal of kwadraat, macht, rechthoeksgetal, volmaakt getal. GGD (grootste gemene deler) en KGV (kleinste gemene veelvoud). deelbaarheidskenmerken voor deelbaarheid door 2, 3, 4, 5, 6, 8 en 9. de volgende aanduidingen in verband met rationale getallen: teller, noemer, breukstreep, gelijkwaardig, equivalent, gelijknamig en vereenvoudigen, rationaal getal, decimaal getal en decimale breuk, gemengd getal, echte breuk, stambreuk, repetendum, bemiddelende grootheid, ondermaat, repeterende breuk, procenten-asymmetrie, evenredig verband, procent, promille. kan: getallen in eenvoudige gevallen ontbinden in priemfactoren. deelbaarheid van getallen doorzien en gebruiken in relatie tot verschillende bewerkingen. de KGV en GGD van twee of meer getallen bepalen. indien er geen sprake is van een repeterende breuk, een breuk omzetten in een kommagetal en omgekeerd: een kommagetal omzetten in een breuk. 101

102 9. Grote en bijzondere getallen. 10. (Ontluikende) algebra, rekenregels en formules in eenvoudige gevallen een repeterende breuk, uitgedrukt als een kommagetal, omzetten in een breuk in de meest vereenvoudigde vorm. in eenvoudige gevallen bij het omrekenen van een breuk naar een kommagetal met een repetendum, aangeven welk deel repeterend is. kent: systematiek in het benoemen van (grote en kleine) getallen: miljoen, miljard, biljoen, biljard, triljoen, triljard, quadriljoen, quadriljard; miljoenste, miljardste,, quadriljardste. kan: rekenen met getallen die zo groot of klein zijn dat ze niet passen in het scherm van de rekenmachine en hierbij de wetenschappelijke notatie gebruiken. kan: regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt). bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen. de oppervlakte bepalen van een rechthoek, een driehoek, een parallellogram, een (segment van een) cirkel en en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze oppervlakte beschrijven met een passende of gevraagde maat. de inhoud bepalen van een parallellepipedum, van een cilinder, (algemeen) van objecten met rechtopstaande wanden (met gegeven oppervlakte grondvlak) (telkens opp. grondvlak hoogte ) en van objecten die zijn samengesteld uit deze vormen, en deze inhoud beschrijven met een passende of gevraagde maat. bij hier niet benoemde figuren situaties, met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten. grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. 102

103 Met betrekking tot het onderwerp statistiek zijn in de kennisbasis inhouden beschreven die niet zozeer tot de basisschoolleerstof voor de leerlingen behoren maar die student wel in de praktijk tegenkomt. Op Pabo Nijmegen worden deze in een drietal bijeenkomsten aan de orde gesteld. Het gaat hierbij om beschrijvende statistiek en het leren interpreteren van grafieken, waaronder die van het Citoleerlingvolgsysteem. 103

104 Bijlage 4: Interviewleidraad docentinterviews Naam docent: Werkzaam op pabo (naam pabo): Vooropleiding: Pabo Tweedegraads wiskunde Eerstegraads wiskunde Onderwijskunde of pedagogiek Anders: namelijk: Aantal jaren ervaring met opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde: Man vrouw 1. Het ontwerp schrijft niet exact voor hoe de les met studenten er uitziet. Het geeft suggesties waar je een keuze uit kunt maken. Mogelijk heb je zelf nog andere keuzes gemaakt. Beschrijf welke keuzes je hebt gemaakt. Motiveer deze keuzes en beschrijf het effect ervan. 2. In hoeverre was de informatie en aanwijzingen uit het ontwerp toereikend om: a De instructie aan de studenten te geven? b De studenten te begeleiden? c Flexibel in te spelen op reacties van studenten? Denk hierbij aan informatie en aanwijzingen met betrekking tot de wiskundige en didactische doelen uit het ontwerp. Heb je, naast de informatie en aanwijzingen uit het ontwerp, andere bronnen gebruikt? Zo ja, welke bronnen waren dat? 3. In hoeverre hebben de studenten betrokken gewerkt tijdens de bijeenkomst? 4. In hoeverre hebben de studenten de wiskundige doelen bereikt? 5. In hoeverre hebben de studenten de vakdidactische doelen bereikt? 6. In hoeverre ben je in staat het ontwerp in je onderwijs in te zetten? 7. In hoeverre ben je gemotiveerd om het ontwerp in je onderwijs in te zetten? 8. Hoe denk je over het al of niet in samenhang met didactiek aanbieden van de meer geavanceerde wiskunde? Ben je hier anders over gaan denken naar aanleiding van het ontwerp? 9. Wat mis je nog in het ontwerp? Overige opmerkingen. 104

105 Bijlage 5: Interviewleidraad voor interview met studenten Onderstaande vragen zijn bedoeld als houvast bij gesprekken met studenten die les hebben gehad aan de hand van één of meer ontwerpen. Studenten weten dat in het gesprek het volgende aan de orde komt: Inzicht in en kennis van de wiskundige inhoud uit de ontwerpen Inzicht in en kennis van de didactische inhoud van de ontwerpen De waardering van studenten voor de lessen uit de ontwerpen, ook in relatie met de waardering voor de lessen uit de reguliere kennisbasislessen waarin het alleen gaat om de wiskunde. Vantevoren heeft de onderzoeker het werk van de studenten inclusief de reflecties bekeken. Zakelijke gegevens Naam student: Groep: Naam docent: Vooropleiding (mbo, havo,vwo): Wiskunde in eindexamen? Ja nee Indien ja, cijfer: Soort wiskunde: A B C D Anders Aantal malen wiscattoets: Hoogst behaalde score wiscattoets (als je deze nog weet): Inzicht in en kennis van de wiskundige inhoud uit de ontwerpen Leg studenten enkel opgaven uit het ontwerp voor en onderzoek hoe zij deze oplossen. Laat hen hardop denken en reflecteer op het proces. Hieronder staat dit per ontwerp gespecificeerd. Verschillende talstelsels Vraag om een omrekening te maken van een niet 10-tallig stelsel naar het 10-tallig stelsel en andersom. Bewerkingen in het binair en achttallig stelsel Geef enkele opgaven. Dit is niet uitputtend te doen voor alle bewerkingen in deze twee talstelsels. Mogelijk geven de uitwerkingen van de student vanuit de lessen aanwijzingen over relevante opgaven. 105

106 Ontluikende algebra Vraag in ieder geval naar begrip van verschillende representaties bij eenzelfde verband, bijvoorbeeld een vraagstuk met voorrijkosten en kosten per uur. Vraag de student te verwoorden hoe hij uitrekent hoeveel je moet betalen bij als de reparateur een bepaald (geen specifiek aantal voorschrijven, kijk of de student het verband in algemen termen kan verwoorden) aantal uren werkt. Vraag vervolgens of hij andere maniern weet (representaties) om het verband weer te geven. Inzicht in en kennis van de didactische inhoud van de ontwerpen Hieronder staan de betreffende didactische reflectievragen uit de practica. Bevraag de student vooral naar zijn reflectie. Diverse talstelsels Het ontwerpprincipe dat aan de orde is, is vooral dat van verheldering en verdieping van wiskundeinhouden die wel zichtbaar zijn op de basisschool. Bij bewerkingen in het 8- en 2-tallig stelsel ging het vooral om het gebruik van werkvormen die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden. De vragen uit het practicum waren: Hoe zou deze er uitzien voor jouw talstelsel? Pas de formuleringen aan en geeft een toelichting. Teken de materialen en modellen die worden genoemd, maar nu voor jouw talstelsel. Misschien is dan niet altijd mogelijk. Zijn er aanvullende materialen en modellen mogelijk? Zo ja, teken deze. De reflectievragen uit het practicum waren: 1. Wat heeft je geholpen om de diverse talstelsels beter te begrijpen? 2. Wat heb je geleerd over de didactiek van rekenen-wiskunde? 3. In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool? 4. Wat ga je inzetten in je stagegroep van hetgeen je bij 2 en 3 hebt opgeschreven? Bij ontluikende algebra Het ontwerpprincipe dat hier aan de orde is is het zichtbaar maken van de wiskunde die aan de horizon ligt. Vraag de student in hoeverre hij zicht heeft gekregen op de doorgaande lijn. Laat hem zijn antwoord onderbouwen. Didactische vragen uit het practicum: 106

107 21. Welk aspect van het variabelebegrip herken je in opgaven met formules over meten? Welke aspecten in de opgaven over rekenregels met breuken en variabelen? Plaatshouder. Veranderlijke. Generalisator. Onbekende. Parameter. 22. Welke fase in de ontwikkeling van algebra herken je bij: a. rekenregels in verhoudingstabel en variabelen; b. rekenvolgorde; c. graden Fahrenheid naar Celsius en andersom? Beschrijvingen in natuurlijke taal. Beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. De moderne algebraïsche symbolentaal. 23. Een aantal verbanden is beschreven met een mengeling van afkortingen en wiskundige symbolen. Sommige zijn met alleen wiskundige symbolen beschreven. Bedenk beschrijvingen in natuurlijke taal en bespreek deze. De waardering van studenten voor de lessen Je hebt lessen gehad waarbij je in één les zowel wiskunde als didactiek hebt geleerd (talstelsels en ontluikende algebra). Je hebt ook lessen gehad waarbij je alleen wiskundige kennis en vaardigheden hebt geleerd. Naar welk type lessen gaat jouw voorkeur uit? Licht toe. Wat heb je gewaardeerd? Heb je aanbevelingen? 107

108 Bijlage 6: Algemene ontwerpcriteria Met betrekking tot het studentenmateriaal voldoet het ontwerp aan de volgende criteria: Het ontwerp: hanteert de onderwijsprincipes van realistisch rekenen-wiskunde; maakt zichtbaar aan welke doelen wordt gewerkt. Dit betreft de wiskundige doelen uit de kennisbasis en de didactische doelen; leidt ertoe dat de student deze doelen bereikt; bevat een activiteit die de relevantie van de wiskundige inhoud voor de studenten verheldert; bevat aanvullend oefenmateriaal; bevat suggesties om het geleerde in de stagepraktijk te verdiepen; bevat uitwerkingen; is digitaal beschikbaar. Met betrekking tot het docentenmateriaal voldoet het ontwerp aan de volgende criteria: Het ontwerp: biedt de mogelijkheid flexibele aanpassingen te doen om tegemoet te komen aan verschillen in lestijd, opleidingsconcept in diverse instellingen en lesstijl van de docent; bevat opdrachten voor studenten die beschikbaar zijn in een PowerPoint presentatie en als werkmateriaal; bevat uitwerkingen; bevat een handleiding; bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond; is digitaal beschikbaar. 108

109 Bijlage 7: Talstelsels De beschrijving van het ontwerp heeft de volgende opbouw: Verantwoording Inhoudsverkenning Doelen uit de toetsgids Doelen (didactisch) Lessuggesties Werkmateriaal Verantwoording In dit ontwerp zijn de volgende ontwerpprincipes gehanteerd: 1. de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm Wiskundig-didactisch practicum); 2. er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012); 3. het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van horizon content knowledge, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen); 4. het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond. Principe 1 De wiskunde van de basisschool die aan de orde is betreft het grip krijgen op het 10-tallig stelsel. De bijbehorende kerninzichten (Oonk, et al., Kerninzichten, 2011) zijn: Tientallige bundeling: het is efficiënt om aantallen te bundelen in bundels van 10, 100, 1000 enzovoort. Plaatswaarde: de waarde van een cijfer in een getal hangt af van de plaats waar het cijfer staat. De inhouden sluiten aan bij kerndoel 26 (SLO, 2009): de leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. 109

110 Groep 1/2: aantallen en hoeveelheden structureren in tweetallen, vijftallen en tientallen en naar analogie van de vingers van twee handen de vijf- en tienstructuur: 0, 5, 10, 15, 20. Groep 3/4: tellen in sprongen van 2, 5 en 10; positioneren van getallen in de telrij (bijvoorbeeld tussen twee tientallen) en op de (lege) getallenlijn; ankergetallen in de telrij verkennen: 5, 10, 15, 20,... 10, 20, 30,... 20, 40, 60, 80, 100,... 25, 50, 75, 100 Deze ankergetallen spelen een belangrijke rol bij het handig uitvoeren van de basisbewerkingen tot 100; hoeveelheden en getallen tot 100 structureren in tientallen, vijftallen en eenheden (Structuur van geld, rekenrek, kralenketting, honderdveld) en andere praktisch belangrijke structureringen zoals zestallen en twaalftallen; aantallen en getallen structureren zoals: getalsplitsingen, verdubbelen/halveren, verschil tussen getallen kunnen bepalen. De student doorloopt (delen van) deze leerlijn in een ander talstelsel en legt de koppeling tussen het geleerde en het 10-tallig stelsel, zowel met betrekking tot de wiskundige- als de didactische inhoud. Principe 2 Omdat verschillende talstelsels slechts incidenteel in de bovenbouw van de basisschool of in het voortgezet onderwijs aan de orde komen speelt dit principe in het ontwerp een ondergeschikte rol. In TULE (SLO, 2009) worden ten aanzien van niet 10-tallige stelsels de volgende doelen genoemd: Groep 5/6: klokgetallen leren gebruiken, die cyclisch zijn: ná 24 (of 12), en ná 60 begin je met een nieuw(e) dag(deel), uur of minuut; romeinse getallen (afgeleid van de vijfstructuur: 5, 10, 50, 100, etc.) verkennen. Groep 7/8: tweetallig talstelsel (computer). 110

111 Principe 3 Studenten bespreken hun bevindingen met elkaar en leggen uit. Daardoor worden ze geconfronteerd met de essentiële momenten in de leerlijn en worden ze aangezet tot het begrijpen van wiskundig denken van andere studenten. Studenten zijn zelf actief onderzoeksmatig aan de slag. Principe 4 Er is een inhoudsverkenning en er zijn lessuggesties. Daarnaast zijn er uitwerkingen bij het practicum. Inhoudsverkenning Inleiding Aristoteles (in Boyer, 1989) heeft al geconstateerd dat het gebruik van het tientallig talstelsel slechts het resultaat is van een anatomische toevalligheid: de meeste mensen worden geboren met 10 vingers, ook in zijn tijd al. Boyer constateert fijntjes dat het vanuit wiskundig oogpunt beter was geweest als de oermens 4 of 6 vingers aan één hand had gehad. Een studie naar indianenstammen in de Amazone toont aan dat ongeveer eenderde van de stammen een tientallig, eenderde deel een vijftallig en ongeveer eentiende deel een twintigtallig talstelsel hanteerde (Menninger, 1979). Hoewel de telwoorden al wel 10-tallig waren heeft het tot de dertiende eeuw geduurd voordat ze in Europa geschreven werden zoals ze werden uitgesproken, met de introductie van de Indisch- Arabische cijfers, die in Indie al vanaf 600 na Christus de basis vormden voor een 10-tallig stelsel. Vergelijk ons getal driehonderdvierentwintig. Wij schrijven 324, waarbij alleen de volgorde van de 2 en de 4 de uitspraak niet volgt. Voor invoering van de Indische cijfers werd dit geschreven als CCCXXIIII of CCCXXIV, maar al wel als driehonderdvierentwintig uitgesproken. In het basisonderwijs is er korte tijd een stroming geweest die poogde de leerlingen te leren rekenen door aan het begin van de leerlijn te starten met allerlei niet 10-tallige talstelsels, de zogenaamde structuralistische stroming. Door de opkomst van het realistische rekenen is deze trend niet doorgezet (Treffers, De stille rekenrevolutie, 2010i). Het rekenen in andere talstelsels wordt soms in het basisonderwijs gebruikt als reflectie op het geleerde. In sommige methodes werd bijvoorbeeld 8-tallig gerekend in groep 8. Uit het opleidingsonderwijs is het Land van Okt (Goffree, Het Land van Okt, 1995) bekend. 111

112 In de opleiding voor leraren basisonderwijs is het onderwerp talstelsels niet nieuw. Getuige bijvoorbeeld dit boek: mode/2up Wel is het zo dat het niveau destijds een stukje hoger lag. Hieronder wordt een aantal talstelsels meer in detail uitgewerkt. Babylonisch talstelsel Het Babylonisch talstelsel is een sexagesimaal (60-tallig) stelsel. Het is een halfpositioneel stelsel, binnen een positie is het namelijk additief. Het heeft symbolen voor 1 en 10. Het kende geen nul, maar wel een symbool om een lege positie in een getal aan te geven (dus niet aan het einde). download mei 2012 De context bepaalde om welke orde van grootte het gaat: <II kan 12 voorstellen, maar ook 12 x 60 en zelfs 12 x Om verwarring te voorkomen kun je afspreken om een lege positie met twee punten(één punt staat voor de scheiding tussen twee opeenvolgende posities) aan te geven: <II..<<IIII : 12 x 60 x of 12 x x 1. Om het niet onnodig gecompliceerd te maken kun je ervoor kiezen de eerste positie 60 die van de eenheden te laten zijn. Overblijfselen van het Babylonisch stelsel vinden we in de tijd- en hoekmeting en bij coördinaten: 1 uur = 60 minuten = 60 x 60 seconden 1 graad = 60 minuten = 60 x 60 seconden 112

113 Nijmegen ligt op 51 graden 50 minuten en 30 seconden Noorderbreedte en 5 graden en 51 minuten en 20 seconden Oosterlengte Om de getallen te noteren op een analoge wijze als bij het 16-tallig stelsel, waar de symbolen worden uitgebreid met A, B, C, D, E en F komen we symbolen tekort. Een alternatief is onze cijfersymbolen te gebruiken, met een gewone punt om de positiescheiding aan te geven als dit nodig is om verwarring te voorkomen: II <<<IIIII wordt 2.35 <II<<IIII wordt <II.II wordt 12.2 (= 12 x = 722) 10 Omdat deze notatiewijze interfereert met die voor de andere talstelsel wordt het 60-tallig stelsel in het practicum niet uitgewerkt. Egyptisch talstelsel Het Egyptisch talstelsel is additief, het maakt niet uit op welke plaats een symbool staat. Zo is IIIΩCC evenveel als ICΩICI Romeins talstelsel Het Romeins talstelsel is additief. Welk maakt het soms uit op welke plaats in het getal een symbool staat, bijvoorbeeld: IV = 4 en VI = 6. In de oudheid waren de conventies met betrekking tot het gebruik van de cijfers vrij los. In schoolboeken worden echter de volgende conventies gehanteerd: Je schrijft hooguit drie keer hetzelfde cijfer achter elkaar, dus niet VIIII maar IX. Hooguit één cijfer mag worden afgetrokken, dus niet IIX maar VIII. 113

114 Je trekt een cijfer af van een cijfer waarvan de waarde vijf of tien keer zo hoog is, dus niet IL maar XLIX. De cijfers V, L en D worden niet gebruikt om afgetrokken te worden, dus niet VC maar XCV. Hoewel er meer symbolen zijn, bijvoorbeeld voor grote getallen, blijft het gebruik in schoolboeken beperkt tot de volgende cijfers: Cijfer I V X L C D M Betekenis Hier vind je meer achtergronden: 12-tallig stelsel In het 12-tallig stelsel worden de vingerkootjes gebruikt te tellen. De volgende cijfersymbolen worden gehanteerd: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B om 2-tallig of binair talstelsel Er zijn 2 cijfersymbolen: 0 en 1. Het binair stelsel wordt gebruikt in de informatica, waarbij 0 en 1 de twee toetstanden van een bit aangeven. Enige binaire getallen met hun decimale equivalent: Binair Decimaal tallig of hexadecimaal talstelsel Het 16-tallig stelsel wordt gebruikt in de informatica om een rij nullen en enen overzichtelijker weer te geven. Als extra cijfersymbolen worden de A, B, C, D, E en F gebruikt wordt in groepjes van 4 bits gegroepeerd: 114

115 Ieder viertal wordt vervolgens hexadecimaal genoteerd: C5625D72. Dit is veel overzichtelijker. Doelen uit de toetsgids Hieronder staat een aantal specifieke doelen uit de toetsgids. Daarnaast werkt de student aan een veelheid van andere doelen uit het domein getallen en hele getallen. Domein getallen De student weet: wat het verschil is tussen een getal en een cijfer; wat bedoeld wordt met: positioneel getallenstelsel, plaatswaarde of positiewaarde, decimaal (positioneel) getallensysteem of talstelsel, binair getallensysteem of talstelsel, octaal getallensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallensysteem of talstelsel. De student kent: de betekenis van: eenheid, tiental, honderdtal, tiende, honderdste; plaatswaarde, positieschema; kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of talstelsels. De student kan: Romeinse cijfers tot duizenden gebruiken; eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel; (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen de betreffende getallen omrekenen naar het decimale stelsel, en vice versa. Doelen (didactisch) De student kent de volgende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011), kan de kernzichten herkennen in een methode, weet globaal langs welke lijnen leerlingen deze inzichten verwerven en welke kerndoelen erbij horen: Tientallige bundeling: het is efficiënt om aantallen te bundelen in bundels van 10, 100, 1000 enzovoort. Plaatswaarde: de waarde van een cijfer in een getal hangt af van de plaats waar het cijfer staat. 115

116 De student is zich bewust van conceptuele problemen die hijzelf en/of medestudenten hebben bij het leren van een nieuw talstelsel en kan de transfer maken van deze ervaringen naar het leren van kinderen op de basisschool. De student ervaart hoe het handelingsmodel uit het protocol erwd (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) helpt bij het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden in het werken met diverse talstelsels, waardoor hij zijn begrip van dit didactische model verdiept. Verfijning Thanheiser (Thanheiser, 2012) onderscheidt 4 hoofdinzichten met betrekking tot begrip van hele getallen, in volgorde van mate van geavanceerdheid: Plaatswaarde. Studenten hebben inzicht in de plaatswaarde ieder cijfer in een getal, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als tallen of tallen of 300 eenheden. Ze kunnen tal zien als tallen. Groepen eenheden. Studenten zien elk cijfer als een groep eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 300 eenheden. Ze relateren eea niet aan plaatswaarde. Aaneengeschakelde cijfers plus. Studenten kennen tenminste 1 cijfer een onjuiste plaatswaarde toe. Aaneengeschakelde cijfers. Studenten zien alle cijfers als eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 3 eenheden. Lessuggesties Vantevoren Een deel van de studenten heeft een laptop of tablet bij zich zodat ze informatie op kunnen zoeken over het talstelsel waar ze zich in gaan verdiepen. Opstelling van tafels in groepjes van 4. Materialen Telbare materialen: aantal groepjes x ruim 100. Voldoende kopieën van werkmateriaal: Verschillende talstelsels. Introductie De doelen voor deze bijeenkomst (en de volgende over bewerkingen) met studenten doornemen. Ontwikkeling van ons 10-tallig talstelsel met aandacht voor talstelsels uit het verleden (Babylonisch, Egyptisch en Romeins). Afhankelijk van de tijd die je hebt kun je hier langer of korter bij stilstaan. Het 116

117 is zeker niet de bedoeling om alle informatie zoals die in de inhoudsverkenning staat met studenten te delen. Doel van deze introductie is om studenten te laten zien dat er verschillende talstelsel bestaan. Bij de dia over het 16-tallig stelsel benadrukken dat hier extra symbolen zijn gebruikt. Dit idee hebben studenten nodig als ze een talstelsel met een grondtal boven de 10 gaan onderzoeken. Bundeling Studenten werken in verschillende groepen. Elke groep wordt expert in een talstelsel. Hoe tel je een grote ongeordende hoeveelheid, bijvoorbeeld 107? Eerst gewoon tientallig. Studenten ontdekken dat het handig is te bundelen. Bij een telfout hoef je niet opnieuw te beginnen en je ziet achteraf, als je de hoeveelheid handig hebt gebundeld, meteen hoeveel het totaal is. Benadruk in de nabespreking van dit onderdeel deze strategie. We hebben een 10-tallig talstelsel. Hoe gaat dit bundelen als we een 2-, 4-, 8-, 12- of 16-tallig stelsel zouden hebben? Per groep studenten een hoeveelheid blokjes, meer dan 100, zodat (behalve in het 16-tallig stelsel) uiteindelijk 3 posities nodig zijn om de hoeveelheid met cijfers weer te geven, zowel tientallig als in het talstelsel dat studenten toegewezen hebben gekregen. Je kunt de mate van sturing en openheid variëren door bijvoorbeeld eerst een niet 10-tallig stelsel klassikaal, of door elke groep, uit te werken. Als je hierbij een stelsel kiest met een grondtal boven de 10 dan zijn studenten meteen bekend met het gegeven dat ze extra symbolen moeten gebruiken. Plaatswaarde Studenten ontwerpen een manier om de gebundelde hoeveelheid vast te leggen op papier. Uitwisseling Elke groep bereidt een korte presentatie aan de klas voor over hun bevindingen en houdt de presentatie, of elk lid van de groep bespreekt de bevindingen in een andere groep. In de nabespreking van deze activiteit wordt de relatie tussen de diverse werkwijzen onderzocht. Het idee van bundelen en plaatswaarde komt in alle talstelsels naar voren, de grootte en de waarde van een cijfers op een bepaalde plaats in een getal van de bundels verschilt. Tevens worden expliciet de handelingsniveaus die gebruikt zijn benoemd. De start was op niveau 1. Daarna hebben studenten een notatiewijze ontwikkeld die op een of meerdere van de hogere niveaus ligt. Gemeenschappelijke kenmerken van de talstelsels worden geïnventariseerd: 117

118 je hebt evenveel symbolen nodig als het grondtal van het talstelsel; als er te weinig symbolen zijn hanteer je letters: A, B etc.; elke volgende positie wordt de waarde van het cijfer de waarde van de vorige positie x het grondtal. Notatie Varianten op het HTE schema. Gebruik van machten van het grondtal daarbij: 10 2 of 10 x of of Introductie van een notatiewijze met subscript om de diverse talstelsels uit elkaar te houden (gekozen getallen stellen dezelfde hoeveelheid voor): of 107 dec of bin of 153 okt 8B 12 6B 16 of 6B hex Omrekenen Studenten ontdekken hoe ze getallen kunnen omrekenen vanuit een niet 10-tallig talstelsel naar het 10-tallig talstelsel en andersom. Hulpmiddel hierbij is mogelijk een tabel, waarbij in de bovenste en onderste rij de getallen 10-tallig zijn genoteerd. Spreek af dat als er geen subscript staat het getal 10- tallig is genoteerd. Bijvoorbeeld : Positiewaarde 10-tallig genoteerd: 4 x 4 x 4 = 64 4 x 4 = tallig genoteerd: tallig genoteerd: 3 x 64 2 x 16 0 x

119 = 3 x x = 225 Van bijvoorbeeld 10-tallig naar 4-tallig haal je telkens de grootst mogelijke macht van 4 van het getal af. Ook hier is een getal 10-tallig genoteerd als er geen subscript bij staat. Bijvoorbeeld: : 4 4 = 256, te groot 4 3 = 64 ; x 64 = = 16 ; 33 2 x 16 = = 4, te groot, gaat 0 keer Dus nog 1 eenheid: = Materialen en modellen in de leerlijn In de leerlijn in groep 3 t/m 6 waarbij vanuit het tellen van hoeveelheden, via bundeling, gekomen wordt tot inzicht in de tientallige schrijfwijze van getallen worden diverse contexten, materialen en modellen gehanteerd(eierdozen, geld, kralenketting, MAB-materiaal, HTE-schema, getallenlijn). Hierbij wordt de vijfstructuur als mogelijke tussenstap gehanteerd. Studenten passen deze contexten materialen en modellen aan voor hun talstelsel en beschrijven een leerlijntje in hun talstelsel. Mogelijk bedenken ze nieuwe model of materiaal. Nabespreking Korte uitwisseling van bevindingen. Als studenten hun reflectie hebben gemaakt zou je zelf hier een dubbele bodem aan toe kunnen voegen. Het gaat in de bijeenkomst onder andere om wiskundekennis die verder gaat dan de basisschoolstof die bedoeld is om kennis over die basisschoolleerstof te verdiepen. Die vraagt van de opleidingsdocent flexibel kunnen inspelen op vragen en reacties van studenten, kunnen bedenken waar moeilijkheden zitten en daar op inspelen. Precies dat wat studenten ook moeten kunnen ten aanzien van leerlingen op de basisschool. Wat vonden studenten van de wijze waarop je dit type kennis en vaardigheden tentoon hebt gespreid? Waar voelden ze zich gesteund, waar zat je er mogelijk naast? Mogelijk draagt dit gesprek bij aan hun inzicht in welke kennis en vaardigheden ook voor hun relevant zijn. Uitbreiding Het Romeins talstelsel bestuderen, een hoofdzakelijk additief stelsel. Hiervoor is voldoende materiaal op internet te vinden. 119

120 Verwerking Maak een keuze uit de volgende suggesties ter verwerking: Getallen omrekenen vanuit een niet 10-tallig talstelsel naar het 10-tallig talstelsel en andersom. Hierbij ook andere talstelsels gebruiken als in de bijeenkomst, bijvoorbeeld 3- en 6-tallig. Op internet zijn omrekenaars te vinden die studenten kunnen gebruiken ter controle, bv.: Oefeningen met het omzetten van Romeinse getallen vind je HIER. Zoeken op internet op de diverse talstelsels levert bruikbare informatie, bijvoorbeeld op Wikipedia. Bestuderen uit Kerninzichten hoofdstuk 2. Rekengesprek voorbereiden en houden met leerlingen uit de eigen stagegroep met als doel te onderzoeken hoe het begrip van het 10-tallig stelsel van de leerling is. Te gebruiken is hier de indeling van Thanheiser (Thanheiser, 2012): Plaatswaarde. Leerlingen hebben inzicht in de plaatswaarde ieder cijfer in een getal, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als tallen of tallen of 300 eenheden. Ze kunnen tal zien als tallen. Groepen eenheden. Leerlingen zien elk cijfer als een groep eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 300 eenheden. Ze relateren eea niet aan plaatswaarde. Aaneengeschakelde cijfers plus. Leerlingen kennen tenminste 1 cijfer een onjuiste plaatswaarde toe. Aaneengeschakelde cijfers. Leerlingen zien alle cijfers als eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 3 eenheden. 120

121 Werkmateriaal Verschillende talstelsels Expert worden in een talstelsel 1. Tel de blokjes. Hoeveel zijn het er? Bedenk een werkwijze waarbij je in 1 oogopslag kunt zien hoeveel blokjes er zijn. Je wordt expert in één van de talstelsels:. -talligstelsel 2. Beschrijf en/of teken hoe de bundeling er in jouw talstelsels uitziet. In het 10-tallig stelsel schrijf je honderdzeven als Bedenk een notatiewijze voor het aantal blokjes dat je geteld hebt in jouw talstelsel. 4. Kies een 10-tallig getal en noteer dit in jouw talstelsel. Laat zien hoe je te werk gaat. 5. Kies een getal in jouw talstelsel en noteer het 10-tallig. Laat zien hoe je te werk gaat. 6. Bereid in je groep een korte presentatie aan de klas voor over je bevindingen. Hoe gaat dit op de basisschool? Hieronder zie een gedeelte van de leerlijn Getallen en bewerkingen. 7. Hoe zou deze er uitzien voor jouw talstelsel? Pas de formuleringen aan en geeft een toelichting. 8. Teken de materialen en modellen die worden genoemd, maar nu voor jouw talstelsel. Misschien is dan niet altijd mogelijk. Zijn er aanvullende materialen en modellen mogelijk? Zo ja, teken deze. 121

122 Leerlijn (TULE): Groep 1/2: aantallen en hoeveelheden structureren in tweetallen, vijftallen en tientallen en naar analogie van de vingers van twee handen de vijf- en tienstructuur: 0, 5, 10, 15, 20. Groep 3/4: tellen in sprongen van 2, 5 en 10; positioneren van getallen in de telrij (bijvoorbeeld tussen twee tientallen) en op de (lege) getallenlijn; ankergetallen in de telrij verkennen: 5, 10, 15, 20,... 10, 20, 30,... 20, 40, 60, 80, 100,... 25, 50, 75, 100 Deze ankergetallen spelen een belangrijke rol bij het handig uitvoeren van de basisbewerkingen tot 100; hoeveelheden en getallen tot 100 structureren in tientallen, vijftallen en eenheden (Structuur van geld, rekenrek, kralenketting, honderdveld) en andere praktisch belangrijke structureringen zoals zestallen en twaalftallen; aantallen en getallen structureren zoals: getalsplitsingen, verdubbelen/halveren, verschil tussen getallen kunnen bepalen. Groep 5/6 tellen in honderdvouden, duizendvouden etc meer ankergetallen leren in de telrij: zoals 10, 100, 1000, , 400, 600, 800, 1000, , 500, 750, 1000 en evenzo in het gebied van de duizendtallen en groter; grote getallen structureren; grote getallen positiegewijs onderling vergelijken. Reflectie 5. Wat heeft je geholpen om de diverse talstelsels beter te begrijpen? 122

123 6. Wat heb je geleerd over de didactiek van rekenen-wiskunde? 7. In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool? 8. Wat ga je inzetten in je stagegroep van hetgeen je bij 2 en 3 hebt opgeschreven? 123

124 Verwerking 1. Noteer de volgende getallen 10-tallig: A7 12 B9 16 * DEAD Noteer in een ander talstel: tallig (binair) 4-tallig 8-tallig (octaal) 12-tallig 16-tallig (hexadecimaal) Kun je het ook in nog een ander talstelsel? 124

125 3. Bestuderen uit Kerninzichten hoofdstuk Rekengesprek voorbereiden en houden met leerlingen uit de eigen stagegroep met als doel te onderzoeken hoe het begrip van het 10-tallig stelsel van de leerling is. Te gebruiken is hier de indeling van Thanheiser: Plaatswaarde. Leerlingen hebben inzicht in de plaatswaarde ieder cijfer in een getal, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als tallen of tallen of 300 eenheden. Ze kunnen tal zien als tallen. Groepen eenheden. Leerlingen zien elk cijfer als een groep eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 300 eenheden. Ze relateren eea niet aan plaatswaarde. Aaneengeschakelde cijfers plus. Leerlingen kennen tenminste 1 cijfer een onjuiste plaatswaarde toe. Aaneengeschakelde cijfers. Leerlingen zien alle cijfers als eenheden, ze zien bijvoorbeeld de 3 in 389 als 3 eenheden. 125

126 Uitwerkingen bij de verwerking 1. Noteer de volgende getallen 10-tallig: : 1 x x x x 2 0 = = : 3 x x x 4 1 = 3 x x = = : 2 x x x 8 0 = 2 x x x 1 = = 149 3A7 12 : 3 x x x 12 0 = 3 x x = = 559 B9 16: 11 x x 16 0 = 11 x = = 185 *DEAD 16 = 13 x x x x 16 0 = 13 x x = = Noteer in een ander talstel: tallig (binair) 2 7 = x 128 = = x 64 = 43 4-tallig 4 3 = x 64 = = x 16 =

127 2 5 = x 32 = x 4 = 3 Dus: = 16, dus een 0 op deze positie 2 3 = x 8 = = 4, dus een 0 op deze positie 3 1 x 2 = 1 1 over : tallig (octaal) 8 2 = x 64 = x 8 = 3 Dus: tallig 12 2 = x 144 = x 12 = 7 Dus: tallig (hexadecimaal) x 16 = = E = B 16 Dus: EB 127

128 Bijlage 8: Bewerkingen in het binair en achttallig talstelsel De beschrijving van het ontwerp heeft de volgende opbouw: Verantwoording Inhoudsverkenning Doelen uit de toetsgids Doelen (didactisch) Lessuggesties Werkmateriaal Verantwoording In dit ontwerp zijn de volgende ontwerpprincipes gehanteerd: 1. de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm Wiskundig-didactisch practicum); 2. het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van horizon content knowledge, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen); 3. er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012); 4. het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond. De nadruk ligt hierbij op principe 3. Principe 1 De wiskunde van de basisschool die aan de orde is betreft bewerkingen tot 100 in het tientallig stelsel. De bijbehorende kerninzichten (Oonk, et al., Kerninzichten, 2011) zijn: Handig rekenen: kinderen verwerven het inzicht dat je berekeningen in bepaalde gevallen efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken van getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen. Standaardprocedures: kinderen verwerven het inzicht dat je getallen kunt bewerken via standaardprocedures, die ontstaan door maximale, schematische verkorting van rekenaanpakken. 128

129 De inhouden sluiten aan bij de volgende kerndoelen (SLO, 2009): 27: De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. 29: De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. De nadruk ligt hierbij op het inzicht, meer dan op het van buiten kennen of de meest verkorte standaardprocedure. Principe 2 Speelt hier geen rol. Principe 3 In de lessuggesties is een aantal werkvormen opgenomen waar de docent uit kan kiezen. Daarnaast kan hij eigen werkvormen kiezen. Van belang is dat de dubbele bodem intact blijft: studenten leren wiskunde aan de hand van een werkvorm die zij ook in het basisonderwijs kunnen hanteren, de werkvorm vraagt kennis en vaardigheden die van een leerkracht worden gevraagd of een combinatie van beiden. Principe 4 Er is een inhoudsverkenning en een handleiding. De vele keuzemogelijkheden bij de te kiezen werkvorm wordt tegemoetgekomen aan verschillende lesstijlen van docenten en aan verschillen in randvoorwaarden zoals de duur van lessen. Inhoudsverkenning Zie ook de inhoudsverkenning bij Verschillende talstelsels. Bewerkingen in het binair- en achttalig stelsel kunnen gedaan worden door de getallen eerst om te rekenen naar het 10-tallig stelsel, de bewerking uit te voeren en de uitkomst terug te rekenen naar het binair- of achttallig stelsel: = = = = = = Om te werken aan de doelen uit deze les is een werkwijze waarbij de student in het binair- of achttallig stelsel blijft noodzakelijk. Dit dwingt hem de eigenschappen en strategieën opnieuw te overdenken. In het achttallig stelsel is de analogie van eigenschappen van en strategieën bij bewerkingen met die in het 10-tallig stelsel sterker dan bij het 2-tallig stelsel. 129

130 De in het practicum gebruikte eigenschappen en strategieën zijn: Commutatieve eigenschap (omkeereigenschap of verwisseleigenschap) Distributieve eigenschap (splitsen) Associatieve eigenschap (schakelen) Rijgmethode bij optellen en aftrekken Splitsmethode optellen en aftrekken Splitsmethode bij vermenigvuldigen (eventueel delen) Varia bij alle bewerkingen Nullenregel bij vermenigvuldigen (eventueel delen) Doelen uit de toetsgids Hieronder staat een aantal specifieke doelen uit de toetsgids. Daarnaast werkt de student aan een veelheid van andere doelen uit het domein getallen en hele getallen. Domein getallen De student kan eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel; Daarnaast verdiept de student zijn inzicht in de doelen uit het ontwerp Verschillende talstelsels. Doelen (didactisch) De student is zich bewust van conceptuele problemen die hijzelf en/of medestudenten hebben bij het leren van bewerkingen in een nieuw talstelsel en kan de transfer maken van deze ervaringen naar het leren van kinderen op de basisschool, waarbij het de volgende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011), betreft: Handig rekenen: kinderen verwerven het inzicht dat je berekeningen in bepaalde gevallen efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken van getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen. Standaardprocedures: kinderen verwerven het inzicht dat je getallen kunt bewerken via standaardprocedures, die ontstaan door maximale, schematische verkorting van rekenaanpakken. De student ervaart hoe het handelingsmodel uit het protocol erwd (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) helpt bij het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden in het werken met diverse talstelsels, waardoor hij zijn begrip van dit didactische model verdiept. Studenten krijgen zicht op kennis en vaardigheden die van een leerkracht bij het hanteren van de gekozen werkvorm worden gevraagd. 130

131 Lessuggesties Uitgangssituatie Studenten hebben inzicht in de opbouw van het binair en het achttallig stelsel. Zij kunnen getallen van het tientallig stelsel naar het binair en achttallig stelsel omzetten, en andersom. Zij kunnen de strategieën bij en de eigenschappen van de vier hoofdbewerkingen herkennen en zelf toepassen (in het 10-tallig stelsel). Studenten werken aan de volgende opdracht: Je hebt een talstelsel (binair of achttallig) toegewezen gekregen en een strategie. Onderzoek of de strategie werkt in jouw talstelsel en waarom dat zo is. Gebruik in je uitleg materialen en modellen ter ondersteuning. Denk hierbij aan materialen en modellen die op de basisschool worden gebruikt als leerlingen de strategie leren in het 10-tallig stelsel. Je kunt ervoor kiezen studenten eerst een bewerking te laten onderzoeken zonder daarbij al een strategie voor te schrijven en ze daarbij achteraf de strategie laten benoemen. Benoem de handelingsniveaus die aan de orde zijn in je uitleg. Klaar? Kies een andere strategie en ga na of die werkt in jouw talstelsel. Afhankelijk van de gekozen werkvorm wordt de opdracht nader gespecificeerd. Mogelijke werkvormen Op kaartjes staan diverse strategieën bij bewerkingen. Op ander kaartjes staat Binair talstelsel of Achttallig stelsel. Studenten werken in groepjes. Elke groep krijgt een talstelsel en een strategiekaart. Afhankelijk van de werkvorm die je kiest geeft je een aanvullende instructie bij de opdracht. Werkwijze: verdeel de bewerkingen onder de groepjes. Eerst in het 10-tallig stelsel: Welke strategieën spelen een rol? Welke contexten en modellen worden bij het leren van die strategieën gebruikt? Dan zowel 2- als 8-tallig: zijn de strategieën hier ook bruikbaar? Hoe kun je dat uitleggen? Welke modellen zijn bruikbaar? Presenteren Dit is voor studenten een bekende werkvorm: 131

132 Groepen bereiden een korte presentatie van hun bevindingen voor. Nabespreking: elke bewerking komt aan bod. De groepjes presenteren hun bevindingen. De volgende drie werkvormen staan beschreven in het Capacity Building Series nummer 13 van het Ontario Ministry of Education (2010). Andere afleveringen van dit tijdschrift zijn interessant ter ondersteuning bij en verdieping van deze werkvormen. Bijbehorend didactisch doel voor de studenten: de student heeft kennis van een werkvorm die bedoeld is om de wiskundige communicatie tussen leerlingen te bevorderen. Mogelijk wordt hij geinspireerd om er in zijn praktijk mee aan de slag te gaan. Wiskunde conferentie Informatie over deze werkvorm vind je hier: Hieronder een invulling van de 5 componenten van een wiskundeconferentie voor de inhoud van deze les. Ontwikkelen van de context: in het geval van een kale opgave zoals in deze les vervalt deze component. Ondersteunen van het onderzoek : studenten werken in groepen van 2 tot 4 aan de opdracht. Voorbereiden congres: studenten bereiden een uitleg aan de groep voor. Je bepaalt welke groepen hun bevindingen kunnen delen en verdedigen in de hele groep. Ondersteunen congres: studenten leggen uit wat ze gevonden hebben en verdedigen hun denkwijzen. Integreren van minilessen, spelletjes en klassenmanagement: als verwerking kunnen studenten hun inzicht verbreden naar beide talstelsels en naar meerdere eigenschappen en bewerkingen. Daarnaast oefenen ze met het geleerde. Posterwandeling Studenten werken de opdracht uit op een flap. Die flap blijft op tafel liggen (of wordt opgehangen). De groepen lopen rond en schrijven vragen en opmerkingen op post-its en plakken die op de flaps. Vervolgens bespreekt de groep die de flap heeft gemaakt de opmerkingen en vragen en rapporteert aan de klas. Bansho De uitwerkingen van studenten worden geordend op mate waarin ze wiskundig rijk zijn. Dit ordenen kunnen studenten zelf doen, waarbij argumenten voor bepaalde keuzes onderdeel van het leren zijn. 132

133 Tot slot een een coöperatieve werkvorm. Puzzel Na het onderzoek naar de strategie en het voorbereiden van de uitleg worden nieuwe groepjes gemaakt, waarin vanuit elke onderzochte strategie 1 expert zit. Iedere expert informeert de leden van de nieuwe groep. Je kunt ervoor kiezen onderzoek te laten doen naar een specifieke bewerking in het 2- en 8-tallig stelsel en achteraf de strategie te laten benoemen en te laten zoeken naar een andere strategie. Nabespreking Voorzover het nog niet is gebeurd worden conclusies getrokken met betrekking tot de wiskundige inhoud van de les. Daarna wordt stilgestaan bij de gekozen werkvorm: wat vond je ervan, wat heb je ervan geleerd, wat zou jij anders doen als je hem bij je leerlingen zou inzetten? Verwerking Studenten maken de verwerkingsopgaven. Hiervoor kun je de opgaven uit het ontwerp of door studenten gemaakte opgaven gebruiken. Afhankelijk van de gekozen werkvorm lezen de studenten achtergrondliteratuur. Mogelijk passen ze de werkvorm toe in hun stage. 133

134 Werkmateriaal Bewerkingen in het binair en achttallig stelsel Opdracht Je hebt een talstelsel (binair of achttallig) toegewezen gekregen en een strategie of eigenschap. Commutatieve eigenschap (omkeereigenschap of verwisseleigenschap) Distributieve eigenschap (splitsen) Associatieve eigenschap (schakelen) Rijgmethode bij optellen en aftrekken Splitsmethode bij optellen en aftrekken Splitsmethode bij vermenigvuldigen (eventueel delen) Varia bij alle bewerkingen Nullenregel bij vermenigvuldigen (eventueel delen) 1. Onderzoek of de strategie werkt in jouw talstelsel en waarom dat zo is. 2. Bereid een uitleg voor waarbij je materialen en modellen ter ondersteuning gebruikt. Denk hierbij aan materialen en modellen die op de basisschool worden gebruikt als leerlingen de strategie leren in het 10-tallig stelsel. 3. Maak een rijtje opgaven waarmee jij en je medestudenten de strategie in jouw talstelsel kunnen oefenen. Maak er uitwerkingen bij. Benoem de handelingsniveaus die aan de orde zijn in je uitleg. Klaar? Kies een andere strategie en ga na of die werkt in jouw talstelsel. 134

135 Reflectie 1. Wat heeft je geholpen om te begrijpen hoe je bewerkingen maakt binnen het 2- of 8-tallig stelsel? 2. Wat heb je geleerd over de didactiek van rekenen-wiskunde? 3. In de les heb je veel zelf onderzocht en aan anderen uitgelegd. Je docent heeft hierbij een specifieke werkvorm gebruikt. Wat heb je daarvan geleerd voor het werken met leerlingen op de basisschool? 4. Wat ga je inzetten in je stagegroep van hetgeen je bij 2 en 3 hebt opgeschreven? 135

136 Verwerking 1. Maak de opgaven die je medestudenten hebben ontworpen. 2. Reken uit en benoem de strategieën en eigenschappen van bewerkingen die je gebruikt: = = x 7 8 = x = = = x 5 8 = x = = = : 4 8 = : 10 2 = = = : 5 8 = : = 2 3. Lees: _Mathematics.pdf 136

137 Uitwerkingen Er wordt telkens 1 strategie gehanteerd. Andere strategieën zijn ook mogelijk. Je kunt de opgaven ook uitrekenen door de getallen eerst 10-tallig te maken, de bewerking uit te voeren en dan de uitkomst weer 8- of 2-tallig te maken. Alle getallen zijn 8-tallig genoteerd = = = 77 ; rijgen = = = = 114 ; splitsen en associatieve eigenschap = = = 113 ; rijgen : = 200 ; = 253 ; = 71 ;verschil bepalen door aanvullen Alle getallen zijn 2-tallig genoteerd = = = ; rijgen = = = = = ; splitsen en associatieve eigenschap = = 1000 ; splitsen = = = = ; rijgen en associatieve eigenschap Alle getallen zijn 8-tallig genoteerd. 6 x 7 = 6 x 10 6 x 1 = 60 6 = 52 ; een keer meer - een keer minder ; distributieve eigenschap 137

138 12 x 5 = 10 x x 5 = = 62 ; splitsen ; distributieve eigenschap 100 : 4 ; 40 : 4 = 10, dus 100 : 4 = 20 ; halveren en verdubbelen 74 : 5 = 50 : : 5 = = 14 ; distributieve eigenschap Alle getallen zijn 2-tallig genoteerd. 10 x 100 = 1000 ; nullenregel 11 x 100 = 100 x 11 = 1100 ; commutatieve eigenschap en nullenregel 100 : 10 = 10 ; nullenregel : 100 = 101 ; nullenregel 138

139 Bronnen Boersma, G. (2013, Mei 27). Wiskunde geintegreerd met didactiek of als aparte lijn? Retrieved from Education, O. M. (2010, September). Communication in the Mathematics Clasroom. Capacity Building Series. Goffree, F. (1995). Het Land van Okt. Groningen: Noordhoff. Groenestijn, M. v., Dijken, G. v., & Janson, D. (2012). Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie MBO. Assen: van Gorcum. Menninger, K. (1979). Zahlwort und Ziffer. Gottingen: Vandenhoeck und Ruprecht. Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Engelsen, M. d., Lek, A., & Waveren-Hoogervorst, C. v. (2011). Kerninzichten. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. SLO. (2009). Tule inhouden & activiteiten kerndoelen. Retrieved September 02, 2013, from Thanheiser, E. (2012). Preserve elementary school teachers'(psts') conceptions of multidigit whole numbers: the development of those conceptions and the psts' motivation to learn elementairy mathematics. 12th international congress on mathematical education. Seoel. Vakcommissie. (2013). Toetsgids pabo rekenen-wiskunde. Zanten, M. v., Barth, F., Gool, A. v., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. 139

140 Bijlage 9: Ontluikende algebra Verantwoording In dit ontwerp zijn de volgende ontwerpprincipes gehanteerd: 1. de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm Wiskundig-didactisch practicum); 2. het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van horizon content knowledge, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen); 3. er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012); 4. het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond. Principe 1 De wiskunde van de basisschool die aan de orde is betreft het domein verbanden. Er is geen kerninzicht, zoals beschreven in Oonk et al. (2011) dat direct betrekking heeft op dit onderwerp. Indirect spelen kerninzichten die betrekking hebben op het domein meten een rol. Het gaat dan met name over het verband tussen grootheden. Ook daar is er geen kerninzicht voor geformuleerd. De inhouden sluiten aan bij de kerndoelen 23, 25, 27, 32 en 33 (SLO, 2009) Kerndoel 23 De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken. Groep 3/4: Modellen en schema's voor het uitdrukken van tellen en bewerkingen (bijv. busmodel). Groep 5/6: Modellen, schema's en grafieken voor het uitdrukken van verbanden/verloop (bijv. tabellen, lijngrafiek). Groep 7/8: Modellen, schema's en grafieken voor het uitdrukken van verbanden van tijd en afstand, groei, en andere tijdgebonden zaken (bijv. lijngrafiek, staafgrafiek: histogram). Kerndoel

141 De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van rekenwiskundeproblemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen. Groep 7/8: onderbouwen en beoordelen van redeneringen op bijvoorbeeld de volgende gebieden: verbanden, zoals verhoudingen en samengestelde maten. Kerndoel 32: De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen. Groep 3/4: ontdekken en voortzetten van patronen Kerndoel 27 De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. In het ontwerp spelen modellen die hierbij gebruikt worden een rol: pijlenkettingen en machientjes. Kerndoel 33 De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur. Hieronder worden allen die elementen van de leerlijn bij dit kerndoel genoemd die direct betrekking hebben op het verband tussen grootheden of op rekenregels en formules Groep 7/8: verkenning en oefening van het werken met de formule 'oppervlakte is lengte x breedte' voor het bepalen van de oppervlakte van rechthoekige objecten zoals een tuin, een muur of een kamer. verkenning van het bepalen van de inhoud van een balk en van de formule die daarbij gebruikt kan worden: 'lengte x breedte x hoogte'. Principe 2 Het ontwerp richt zich met name op dit principe. In de starter bepaalt de student de volgorde waarin diverse opgave over rekenregels en formules op de basisschool en het voortgezet onderwijs aan de orde komen. Hij leert verschillende representaties voor eenzelfde verband waardoor het werken met formules, voor het grootste deel een inhoud uit het voortgezet onderwijs, meer betekenis en relevantie krijgt. Tot slot maakt hij kennis met de didactiek van algebra en leert dat aspecten daarvan al op de basisschool een rol spelen. Principe 3 Dit principe speelt een ondergeschikte rol. 141

142 Principe 4 Er is een inhoudsverkenning en er zijn lessuggesties. Daarnaast zijn er uitwerkingen bij het practicum. Inhoudsverkenning De overgang tussen rekenen en algebra wordt gemarkeerd door de overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt (Flores, 2002). Amerom (2002, p ) geeft aan dat verschillen tussen rekenen en algebra te maken hebben met: betekenis van letters, concept bij uitdrukkingen (proces en product), redeneren met onbekenden. Zij constateert tevens dat een rekenkundige benadering van algebra goed aansluit bij het niveau van leerlingen in groep 8. Vanuit een geschiedkundige benadering onderscheidt zij drie fasen in de ontwikkeling: Retorische fase: beschrijvingen in natuurlijke taal. Gesyncopeerde fase: beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. Symbolische fase: de moderne algebraïsche symbolentaal. Deze drie fasen vinden we al in de basisschool, waarbij het werken met formules beperkt blijft tot formules voor omtrek en oppervlakte van rechthoeken en inhoud van balken. In sommige methodes wordt in groep 8 aandacht besteed aan formules voor omtrek en oppervlakte van een cirkel. Deze worden veelal vanuit het generaliseren van allerlei bijzondere gevallen opgesteld (Gravemeijer et al.,2007). In functionele situaties gaat het bij algebra om het verband tussen grootheden. Deze verbanden worden door leerlingen al op jonge leeftijd gelegd, bijvoorbeeld in groep 4 bij de fase van begripsvorming in de leerlijn tafels. Als 1 auto 4 wielen heeft dan hebben 5 auto s 5 keer 4 wielen. Verbanden waarbij sprake is van een evenredig verband komen we tegen bij vermenigvuldigen, delen en verhoudingen. We zien hier gebruik van natuurlijke taal en wiskundige symbolen. Onder functionele contexten horen ook allerlei vuistregels, bijvoorbeeld de regel die het verband aangeeft tussen de tijd die verstrijkt tussen de bliksem en de donder en de afstand van het onweer, het uitrekenen van de BMI of vuistregels voor het berken van de verwachte lengte van een kind als de lengte van de ouders bekend is. In het referentiekader (Meyerink, 2009) staat dit type contexten met name bij niveau 2F en 3F. Bij niet evenredige verbanden gaat het om bijvoorbeeld het goedkoopste telefoonabonnement waarbij naast een vast bedrag per maand kosten per hoeveelheid belminuten moeten worden betaald. Vergelijkbaar van structuur is een situatie met voorrijkosten en uurloon voor de reparateur van de centrale verwarming. 142

143 Van Amerom (2002) pleit ervoor het symboliseren een resultaat te laten zijn van activiteiten van leerlingen. Naast wiskundige symbolen voor bewerkingen gaat het ook om variabelen. Het begrip variabele heeft de volgende aspecten (Drijvers, Streun, & Zwaneveld, 2013): 1. Plaatshouder: een lege plaats waar een getal voor kan worden ingevuld. 2. Veranderlijke: op het moment dat verschillende waarden in een in-uitvoermachientje worden ingevuld en gekeken wordt wat er gebeurt. 3. Generalisator: eigenschappen die voor alle waarden van de variabele geldig zijn. 4. Onbekende: getalswaarde die een vergelijking waar maakt. 5. Parameter: veranderlijke constante Voorbeelden bij de eerste 4 aspecten uit de leerstof voor de basisschool: 1. Machientjes: er gaat een getal in en er komt een getal uit. 2. Er wordt gekeken wat er met de uitvoer van een x2 machientje gebeurt als de invoer telkens 1 wordt opgehoogd. 3. Formules die verbanden aangeven, bijvoorbeeld: oppervlakte rechthoek = lengte x breedte, oppervlakte cirkel = 2 x pi x straal Stipsommen als: 2 + = 5 ; 8 = Ook opgaven als: Jan is 2 keer zo oud als Piet. Samen zijn ze 99. Hoe oud is Jan? (Flores, 2002) beschrijft hoe geometrische representaties van relaties tussen getallen kunnen helpen bij de overgang van rekenen naar algebra. Tevens maakt hij duidelijk wat hierbij aandachtspunten zijn: De overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt. Het verschuiven van de focus op procedures naar eigenschappen van en relaties tussen getallen en bewerkingen. De focus op de methode en het proces in plaats van op het antwoord. Deze aandachtspunten passen uitstekend binnen het realistisch reken-wiskundeonderwijs (Treffers, Moor, & Feijs, Proeve, 1989), waar ook eigen oplossingen en redeneringen van de leerlingen centraal staan alsmede het zoeken naar alsmaar efficienter werkwijzen en generaliseren, het zogenaamde verticaal mathematiseren. De geometrische representaties die Flores gebruikt zijn vooral rechthoeken en blokkenbouwsels. Beide representaties komen voor in het curriculum van de basisschool (Heuvel-Panhuizen, Buys, & Treffers, 2001; Gravemeijer, et al., 2007), waarbij uitsluitend het rechthoekmodel in de context van ontluikende algebra wordt ingezet. 143

144 Neem het kwadraat van een heel getal, tel daar dat getal zelf en het daaropvolgende getal bij. Het resultaat is het kwadraat van dat volgende getal. Bijvoorbeeld: = 5 2 Afbeelding 2 Meetkundige representatie van eigenschappen van getallen en bewerkingen Het zogenaamde Schieten op 100 (Treffers, Het rekentheater, 2010ii) maakt duidelijk hoe verweven rekenen en ontluikende algebra kunnen zijn in een opleidingscontext waar het gaat om differentiëren aan de hand van verschil in oplossingsniveau en om productief oefenen. Kies 2 getallen onder 20, bijvoorbeeld 4 en 16. Het derde getal is de som van deze 2 getallen: 20 Het vierde getal is de som van het tweede en het derde getal: 36 Zo ontstaat een rij getallen. Zoek begingetallen waarbij je op 100 uitkomt. In dit voorbeeld: mis! Oplossingen van studenten (observatie GB) variëren van lukraak proberen tot een meer systematische aanpak: Wat gebeurt er als ik het eerste getal 1 ophoog? Wat gebeurt er als ik het tweede getal 1 ophoog? Kan ik ook bij 100 beginnen en teruguit werken? 144

145 Studenten hanteren niet uit zichzelf een algebraïsche aanpak waarbij voor het eerste en het tweede getal in de rij een variabele wordt gekozen. Na interventie van de docent in de nabespreking kan het merendeel van de studenten deze werkwijze wel volgen. Ziehier hoe een vraagstuk dat eind groep 4 op de basisschool al aan de orde kan worden gesteld voldoende uitdaging biedt voor volwassenen. Zeker als restricties worden losgelaten: breuken hanteren, negatieve getallen, schieten op 1000 of een andere getal. Doelen uit de toetsgids De student kan: regelmaat herkennen in een getallenrij en die gebruiken bij berekeningen (waarbij eerst zo nodig herordend wordt); bij het omrekenen van niet metrische maten een formule of omrekenregel gebruiken. in alledaagse situaties in eenvoudige gevallen een formule construeren bij een verband tussen maten; grafieken koppelen aan eenvoudige vergelijkingen of rekenregels en omgekeerd. formele rekenregels (ook voor breuken) toepassen voor de 4 hoofdbewerkingen, ook wanneer in eenvoudige gevallen gerekend wordt met variabelen; rekenregels in verhoudingstabel en dubbele getallenlijn toepassen en begrijpen, ook wanneer deze zijn aangeduid in variabelen; met een gegeven formule en wanneer voldoende gegevens bekend zijn, de oppervlakte en inhoud berekenen. Doelen (didactisch) De student: kent het verschil tussen rekenen en algebra; kent didactische aandachtspunten bij de overgang van rekenen naar algebra; herkent aspecten van het begrip variabele in opgaven; kan ontluikende algebra bij leerlingen en lesmateriaal van de basisschool herkennen. Didactische theorie en begrippen die wordt besproken: Aspecten van het begrip variabele. Fasen in de ontwikkeling van algebra. Verschillende voorstellingvormen van een verband (tabel, grafiek, woordformule, pijlenketting, formule) en de vertaalvaardigheden. 145

146 Verschil tussen proces en objectbenadering van verbanden. Rollen van formules: machientje of procedure, beschrijving van een verband, op zichzelf staand verband waarmee je kunt manipuleren. 146

147 Lessuggesties Materialen Voldoende kopieën van het werkmateriaal. PowerPoint dia s. Kaartjes met opgaven uit diverse groepen uit het basisonderwijs en klassen uit het voortgezet onderwijs. Lessuggesties Starter Kaartjes (zie bijlage 1) met erop machientjes, pijlenkettingen, formules, grafieken. De vraag om ze te ordenen naar de groep of klas waar ze uit komen: groep 1/2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, vo klas 1 en vo klas 3. Eén van de conclusies die naar aanleiding van deze activiteit kunnen worden getrokken is dat (ontluikende) algebra al bij jonge kinderen naar voren komt. Doelen Met studenten de doelen bespreken voor deze les, zie hierboven. Je kunt dit ook na afloop doen, studenten hebben dan een duidelijker beeld van wat de doelen voorstellen. Activiteiten Handenschudvraagstuk Hoeveel keer worden handen geschud als ieder elkaar een hand geeft? Inventariseer oplossingen van studenten en leg de relatie tussen de oplossingen. Hieronder staan uitwerkingen voor 25 studenten. Mogelijke oplossingen: Verkleinen en zoeken naar regelmaat: Aantal studenten etc Aantal keren handen schudden

148 Ieder student die erbij komt geeft natuurlijk iedere student die er al was een hand. Dus student n geeft n-1 handen. Stug doortellen naar 25 studenten. Tekenen, bijvoorbeeld bij 5 studenten: Student A begint en geeft 4 handen. B nog maar 3, C 2 en D 1. We zien hier de structuur van de vorige oplossing. Je ziet ook dat iedere student 4 handen geeft. Er zijn 5 studenten dus 20 handen. Alleen is alles dubbel geteld, dus 10. De sprong naar 25 studenten is nu makkelijk gemaakt: 25 studenten geven ieder 24 handen, en dan delen door 2: 300 handen. Laten we het aantal studenten n noemen, hoe kunnen we dan het aantal handen uitrekenen? In woorden: n vermenigvuldigen met n-1 en dan het resultaat delen door 2. In formulevorm: n x (n-1) : 2 of wegwerken geeft 1 x 2 (n2 n) n x (n 1) of x n x (n-1). Hierbij kun je het x-teken weglaten. Haakjes Merk op dat met deze formule ook de som van getallen van 1 t/m n is te bepalen. Let op: hier de som van 1 t/m 4. Je kunt daar even aandacht aan besteden. In een tabel zijn de formules ook te herkennen: 148

149 A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E 1 x n x (n-1) 1 x 2 2 (n2 n) Oefening met stippenpatronen. Studenten zoeken verschillende representaties van het verband. Je kunt dit bv doen aan de hand van de app Stippel-algebra opdrachten : In de PowerPoint is een eenvoudig verband uitgewerkt. Vraag hierbij naar die figuur met 100 stippen. Een manier om dit te beredeneren is om de pijlenketting andersom te gebruiken: -1 en :2. Je ziet dan dat 100 en 100 stippen niet kunnen omdat het aantal oneven is. Merk op dat het werken met formules nog geavanceerder kan met behulp van EXCEL. Je kunt laten dit laten zien aan de hand van het handenschudvraagstuk. Bouw de formules samen met de studenten op. 149

150 In nabespreking theorie aan oplossingen van studenten koppelen, zie PowerPoint, didactische doelen en inhoudsverkenning. Practicum Introductie van het practicum. Studenten werken er in groepen aan. Maak een keuze uit de opgaven als eea teveel tijd kost. In de PowerPoint is hiervoor een suggestie gedaan. Verwerking Leerlijnen: van rekenen naar algebra, van basisschool naar voortgezet onderwijs: Ga bij leerlingen in je groep na of ze zoeken naar algemene geldigheid van eigenschappen, of ze op zoek zijn naar patronen, welke woorden ze erbij gebruiken. Welke schriftelijke representaties gebruiken ze (indien van toepassing)? Schrijf 1 observatie uit en neem deze volgende les mee. Meer oefenen Opgaven uit het werkmateriaal afmaken Som-som puzzel: Rekenmethodes voor vo. 150

151 Werkmateriaal Ontluikende algebra Vuistregels Geef de vuistregels weer met wiskundige symbolen. 1. De afstand van onweer in kilometer bereken je door de tijd in seconden tussen bliksemflits en donder te delen door Als je de lengte van de ouders in cm weet kun je de verwachte lengte van hun kind in cm berekenen: a. Voor een meisje tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en trekt je 3 af van het resultaat. b. Voor een jongen tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en telt je er 9 bij op. 3. De body mass index (BMI) bereken je door je gewicht in kg te delen door het kwadraat van je lengte in m. Formules bij meten Oppervlakte en inhoud Oppervlakte cirkel = πr 2 Inhoud/volume bol = 4 3 πr3 Omtrek cirkel = 2πr Oppervlakte bol = 4πr 2 4. Een fietswiel heeft een straal van 35 cm. Hoe groot is de omtrek van het wiel? 5. Een strandbal heeft een straal van 30 cm. Hoe groot is de oppervlakte en het volume van de bal. 6. Vertaal de formule voor oppervlakte van een cirkel naar een pijlenketting. 7. De oppervlakte van een cirkelvormige trampoline is 15 m 2. Hoe groot is de diameter van de trampoline? Gebruik de pijlenketting in omgekeerde richting. De inhoud van een cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte Bereken de inhoud van een cilinder met een diameter van 10 cm en een hoogte van 20 cm. Graden Fahrenheit naar Celsius en andersom 151

152 Temperatuur in Celsius = 5 x (temperatuur in Fahrenheit 32) 9 8. Hoeveel C is 90 F? 9. Vertaal de formule naar een pijlenketting. 10. Hoe ziet de pijlenketting van Celsius naar Fahrenheit er uit? 11. Hoe ziet de formule van Celsius naar Fahrenheit er uit? Controle bv hier: Niet metrische maten 12. Maak een formule om de ene maat naar de andere maat om te rekenen. Bijvoorbeeld gallons naar liters en andersom. 1 gallon = 3,785 l (Amerika) 1 inch = 2,5 cm 1 foot = 30,5 cm 1 mile = 1,6 km Rekenregels met breuken en variabelen 13. a b + 3 b = a. 3a 2b b. a+3 2b c. a+3 b 2 a+3 d. b 14. a 2 a 3 = b. 2a 5 b. 2a 6 c. a2 5 d. a

153 15. Bedenk zelf zo n opgave met uitwerking inclusief foutieve antwoorden. 16. Wat is meer: 1 of 1? Hoe weet je dat? Wat is meer: 1 of 1? Hoe weet je dat? 7 8 n n+1 Rekenregels in verhoudingstabel met variabelen. 17. Wat staat er op de lege plaats? a 5 25 * a b b + 10 Rekenvolgorde 18. Bedenk zelf zo n opgave en geef de uitwerking. 19. Marijke is lid van de fitnessclub. Ze betaalt 30,- per maand en 2,- per keer dat ze gaat sporten. Met welke formule kan Marijke berekenen hoeveel ze per maand moet betalen? a. Kosten per maand = (30+2) x aantal keren sporten b. Kosten per maand = 30 x aantal keren sporten + 2 c. Kosten per maand = x aantal keren sporten Theorie 20. Welk aspect van het variabelebegrip herken je in opgaven met formules over meten? Welke aspecten in de opgaven over rekenregels met breuken en variabelen? Plaatshouder. Veranderlijke. Generalisator. 153

154 Onbekende. Parameter. 21. Welke fase in de ontwikkeling van algebra herken je bij: d. rekenregels in verhoudingstabel en variabelen; e. rekenvolgorde; f. graden Fahrenheid naar Celsius en andersom? Beschrijvingen in natuurlijke taal. Beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. De moderne algebraïsche symbolentaal. 22. Een aantal verbanden is beschreven met een mengeling van afkortingen en wiskundige symbolen. Sommige zijn met alleen wiskundige symbolen beschreven. Bedenk beschrijvingen in natuurlijke taal en bespreek deze. 154

155 Uitwerkingen Vuistregels Geef de vuistregels weer met wiskundige symbolen. 1. De afstand van onweer in kilometer bereken je door de tijd tussen bliksemflits en donder te delen door 3. Bijvoorbeeld: Afstand (km) = tijd (s) : 3 2. Als je de lengte van de ouders in cm weet kun je de verwachte lengte van hun kind in cm berekenen: a. Voor een meisje tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en trekt je 3 af van het resultaat. Bijvoorbeeld: Lengte meisje (cm) = (lengte vader (cm) + lengte moeder (cm)) : 2-3 b. Voor een jongen tel je de lengte van de ouders op, deel je deze door 2 en telt je er 9 bij op. Bijvoorbeeld: Lengte jongen (cm) = (lengte vader (cm) + lengte moeder (cm)) : De body mass index (BMI) bereken je door je gewicht in kg te delen door het kwadraat van je lengte in m. BMI = gewicht (kg) : (lengte (m)) 2 of BMI = gewicht(kg) lengte (m)) 2 Formules bij meten Oppervlakte en inhoud 155

156 Oppervlakte cirkel = πr 2 Inhoud/volume bol = 4 3 πr3 Omtrek cirkel = 2πr Oppervlakte bol = 4πr 2 4. Een fietswiel heeft een straal van 35 cm. Hoe groot is de omtrek van het wiel? Omtrek = 2 x π x cm 5. Een strandbal heeft een straal van 30 cm. Hoe groot is de oppervlakte en het volume van de bal. Oppervlakte = 4 x π x 30 2 = 3600 x π cm 2 1,13 m 2. Volume = 4 3 x π x 303 = x π cm dm Vertaal de formule voor oppervlakte van een cirkel naar een pijlenketting. straal x straal x π 7. De oppervlakte van een cirkelvormige trampoline is 15 m 2. Hoe groot is de diameter van de trampoline? Gebruik de pijlenketting in omgekeerde richting. De omgekeerde pijlenketting is: : π 156

157 Oppervlakte 15 4,775 2,19 : π Toelichting bij de pijlenketting: 15 : π 4,775 ; 4,775 (reken verder met het getal dat in het venster van je rekenmachine staat) 2,19 ; De straal is dus ongeveer 2,19 m. De diameter is ongeveer 4,37 m. De inhoud van een cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte 8. Bereken de inhoud van een cilinder met een diameter van 10 cm en een hoogte van 20 cm. Inhoud cilinder = oppervlakte grondvlak x hoogte = π x r 2 x hoogte = π x 5 2 x cm 3. Graden Fahrenheit naar Celsius en andersom Temperatuur in Celsius = 5 x (temperatuur in Fahrenheit 32) 9 9. Hoeveel C is 90 F? Temperatuur in C = 5 x (90 32) = 5 x Vertaal de formule naar een pijlenketting. Temperatuur in Fahrenheit -32 x Hoe ziet de pijlenketting van Celsius naar Fahrenheit er uit? Temperatuur in Celsius :

158 12. Hoe ziet de formule van Celsius naar Fahrenheit er uit? Temperatuur in Fahrenheit = (Temperatuur in Celsius : 5 9 ) + 32 Of: Temperatuur in Fahrenheit = (Temperatuur in Celsius x 9 5 ) + 32 Controle bv hier: Niet metrische maten 13. Maak een formule om de ene maat naar de andere maat om te rekenen. Bijvoorbeeld gallons naar liters en andersom. 1 gallon = 3,785 l (Amerika); inhoud (gallon) = inhoud (liter) x 3,785 1 inch = 2,5 cm ; lengte (inch) = lengte (cm) x 2,5 1 foot = 30,5 cm ; lengte (foot) = lengte (cm) x 30,5 1 mile = 1,6 km ; afstand (mile) = afstand (km) x 1,6 Rekenregels met breuken en variabelen 14. a b + 3 b = c. 3a 2b b. a+3 2b c. a+3 b 2 a+3 d. b Noemers zijn gelijk, dus a b + 3 b = a = b b Vul voor a en b eens een getal in, bv a = 5 en b = 9, dan krijg je: 158

159 15. a 2 a 3 = d. 2a 5 b. 2a 6 c. a2 5 d. a2 6 a 2 a a a = = a Bedenk zelf zo n opgave met uitwerking inclusief foutieve antwoorden. Laat iemand anders je uitwerking controleren. 17. Wat is meer: 1 of 1? Hoe weet je dat? Wat is meer: 1 of 1? Hoe weet je dat? 7 8 n n is meer dan 1 8, bijvoorbeeld omdat bij 1 7 een eenheid in 7 gelijke stukken is verdeeld en bij 1 8 in 8 gelijke stukken. 1 n is dus meer dan 1 n+1 omdat bij 1 n+1 de eenheid in 1 stuk meer is verdeeld dan bij 1 n. Rekenregels in verhoudingstabel met variabelen. 18. Wat staat er op de lege plaats? a 5 25 * a b b + 10 De verhouding a : 5 moet gelijk zijn aan de verhouding tussen het antwoord en 25. Op de lege plaats staat dus 5a. 159

160 *Noem de lege plaats n. Dan geldt: a b = n b+10 a (b+10) Dus: n = = ab+10a = a + 10a b b b 19. Bedenk zelf zo n opgave en geef de uitwerking. Laat iemand anders je uitwerking controleren. Rekenvolgorde 20. Marijke is lid van de fitnessclub. Ze betaalt 30,- per maand en 2,- per keer dat ze gaat sporten. Met welke formule kan Marijke berekenen hoeveel ze per maand moet betalen? a. Kosten per maand = (30+2) x aantal keren sporten b. Kosten per maand = 30 x aantal keren sporten + 2 c. Kosten per maand = x aantal keren sporten c is het goede antwoord. Theorie 21. Welk aspect van het variabelebegrip herken je in opgaven met formules over meten? Welke aspecten in de opgaven over rekenregels met breuken en variabelen? Plaatshouder. Veranderlijke. Generalisator. Onbekende. 160

161 Parameter. Bij meten vooral plaatshouder (je kunt een getal in de formule invullen en kijken wat er uit komt) en generalisator (geeft het verband aan tussen de grootheden). Bij rekenregels met breuken en variabelen vooral plaatshouder. Je kunt een getal invullen voor de variabele en dan moet het kloppen 22. Welke fase in de ontwikkeling van algebra herken je bij: a. rekenregels in verhoudingstabel en variabelen (moderne symbolentaal) b. rekenvolgorde (mengvorm); c. graden Fahrenheid naar Celsius en andersom (mengvorm) Beschrijvingen in natuurlijke taal. Beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. De moderne algebraïsche symbolentaal. 23. Een aantal verbanden is beschreven met een mengeling van afkortingen en wiskundige symbolen. Sommige zijn met alleen wiskundige symbolen beschreven. Bedenk beschrijvingen in natuurlijke taal en bespreek deze. Geen uitwerkingen, je bespreekt je eigen uitwerking met een andere student. 161

162 Vraagstukken Hier staat een aantal vraagstukken dat je kunt gebruiken om vanuit specifieke gevallen te zoeken naar algemene geldigheid van een regel. Neem het kwadraat van een positief geheel getal, tel daar het getal zelf en het erop volgende getal bij op. Het resultaat is het kwadraat van dat volgende getal. Bijvoorbeeld: = 5 2 Neem een oneven geheel getal, kwadrateer het en trek 1 af van het resultaat. Het resultaat is deelbaar door 8. Bijvoorbeeld: = 81 1 = 80 N is een even getal. De lengte van de rechthoek is 2 groter dan de breedte en even. Dat betekent dat zowel de lengte als de breedte deelbaar is door 2 en de lengte of de breedte deelbaar door 4. Hun product is dus deelbaar door

163 Vermenigvuldig 4 opeenvolgende hele getallen. Tel 1 bij het resultaat op. Het resultaat is een kwadraat. Bijvoorbeeld: 3 x 4 x 5 x = = 361 = 19 2 Het product van het eerste en laatste getal is altijd 2 minder dan het product van het tweede en derde getal. En (n-1)(n+1) + 1 = n 2 wat ook in te zien is met het rechthoeksmodel. 163

164 Bibliography Drijvers, P., Streun, A. v., & Zwaneveld, B. (2013). Handboek wiskundedidactiek. Utrecht: Epsilon. Faarts, J., Goris, T., Konings, T., Monquil, A., & Soto y Koelemeijer, G. (2012). Algebra voor leerlingen van Utrecht: APS. Flores, A. (2002). Geometric Representations in the Transition from Arithmatic to Algebra. Representations and Mathematics Visualisation - Part 1, pp Meyerink. (2009). Referentiekader Taal en Rekenen. Enschede. Treffers, A. (2010ii). Het rekentheater. Amsterdam/Antwerpen: Atlas. Vakcommissie. (2013). Toetsgids pabo rekenen-wiskunde. Zanten, M. v., Barth, F., Gool, A. v., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. 164

165 Starter De afbeeldingen worden gebruikt in de starter. Per groepje studenten 1 set. Print ze, knip ze op in afzonderlijke opgaven en stop ze door elkaar in 1 envelop per set. De opgaven komen uit De Wereld in Getallen en Moderne Wiskunde. In de PowerPoint staat aangegeven uit welk leerjaar de opgaven komen. In dit verslag zijn verkleinde afbeeldingen opgenomen. Exemplaren op normale grote zijn te downloaden vanaf de website: 165

166 166

167 167