Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde

Transcriptie

1 Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde Ronald Keijzer, Hogeschool ipabo, Amsterdam/Alkmaar Dirk de Vries, Hanze Hogeschool, Groningen Samenvatting De Nederlandse lerarenopleidingen basisonderwijs zijn druk bezig met de implementatie van de kennisbasis rekenen-wiskunde, die de wiskundekennis van aanstaande leraren beschrijft. Dit artikel beschrijft hoe het gezamenlijk analyseren van rekenwerk van studenten door lerarenopleiders rekenen-wiskunde een bruikbaar middel blijkt om het opleidingsonderwijs dat past bij de kennisbasis te doordenken. De lerarenopleiders laten aldus ook zien dat een werkwijze die zij hun studenten voorhouden ook toegepast kan worden in de eigen opleidingspraktijk. Inleiding Studenten aan de lerarenopleiding basisonderwijs bekwamen zich onder meer in het verzorgen van reken-wiskundeonderwijs. Een van de middelen die ze daarvoor leren inzetten is het gedegen analyseren van leerlingenwerk. Juist leerlingenwerk biedt een schat aan informatie over de opbrengst van het rekenonderwijs en geeft daarmee aanwijzingen hoe dit onderwijs verder geoptimaliseerd zou kunnen worden (Oonk, Keijzer, Lit, & Barth, 2013). Dat geldt ook in een opleidingssituatie. Het ligt dan ook voor de hand dat ook opleiders het werk van hun studenten analyseren om zo grip te krijgen op hun ontwikkeling. Dit gebeurt inderdaad bij het beoordelen van verslagen, waarin bijvoorbeeld ervaringen in de stage worden vastgelegd Leerlingenwerk levert een schat en verantwoord. Maar het is ongebruikelijk als het gaat om het aan infomatie voor het optimaliseren analyseren van rekenwerk van studenten. In dit artikel laten we van onderwijs. zien wat de meerwaarde kan zijn van het grondig bestuderen van het rekenwerk van studenten. Het betreft hier een situatie waar opleiders met elkaar het gesprek aangingen over de implementatie van de zgn. kennisbasis voor rekenen-wiskunde in de Nederlandse lerarenopleiding basisonderwijs. Het artikel richt zich overigens niet alleen op het bekijken van rekenwerk van aankomende leraren. Het laat ook zien dat het vakinhoudelijk doordenken van aanpakken en strategieën kan bijdragen aan het beter afstemmen van de lerarenopleiding op de studenten. Context In 2009 verscheen in Nederland de kennisbasis rekenen-wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs (Van Zanten, Barth, Faarts, Van Gool, & Keijzer, 2009). Deze kennisbasis legt vast welke kennis aanstaande leraren tegen het eind van de opleiding moeten kunnen tonen rond het vak rekenen-wiskunde. Maatschappelijke onrust over de opbrengst van het onderwijs, vormde de aanleiding voor het samenstellen van deze kennisbasis (KNAW, 2009). Deze maatschappelijke onrust maakte verder dat de invulling van de kennisbasis niet alleen gestuurd werd door noden van de lerarenopleiding, maar ook door emoties en percepties rond de kwali- Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 35(2)

2 Wat toetst de kennisbasistoets Rekenen-Wiskunde? De kennisbasis rekenen-wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs geeft aan dat aanstaande leraren kennis moeten hebben van de leerstofonderdelen, hele getallen, verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen, meten, meetkunde en verbanden. In de beschrijving van deze domeinen in de kennisbasis zijn deze verder uitgewerkt in de richting van maatschappelijke relevantie, kennis van de wiskunde, kennis voor het onderwijzen en verstrengeling en samenhang. Met deze indeling geven de samenstellers van de kennisbasis aan dat de aanstaande leraar bijvoorbeeld in staat moet zijn om: krantenberichten waarin met procenten gerekend wordt te interpreteren, en door met de gegeven getallen te rekenen uitspraken doen naar aanleiding van wat er in het bericht beweerd wordt ( maatschappelijke relevantie bij het domein verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen ), bij grafieken in een krant in globale zin centrummaten te achterhalen ( maatschappelijke relevantie bij het domein verbanden ) fouten in leerlingenwerk bij het rekenen tot 100 wiskundig te kunnen duiden ( kennis voor het onderwijzen bij het domein hele getallen ), in eenvoudige gevallen deelbaarheidskenmerken te achterhalen ( kennis van de wiskunde bij het domein hele getallen ), niveaus van leerlingen bij het meten te herkennen ( kennis voor het onderwijzen bij het domein meten ). Bovenstaande vaardigheden komen ook terug in de landelijke toetsing, met een uitzondering van het laatste item. Want er is voor gekozen bij de landelijke toetsing alleen wiskundekennis te toetsen. Dat betekent dat het laatste voorbeeld wel gevraagd wordt door de kennisbasis, maar geen onderdeel zal uitmaken van de landelijke toetsing (Vereniging van Hogescholen, 2013). teit van de lerarenopleiding basisonderwijs in de Nederlandse samenleving en politiek (Van Zanten, 2010). In deze context kozen de gezamenlijke lerarenopleidingen er niet alleen voor om een kennisbasis voor het vak rekenen-wiskunde te laten samenstellen, maar daar bovenop een landelijke toetsing te realiseren voor dat deel van de kennisbasis dat gaat over wiskundige kennis van aanstaande leraren. 1 Omdat het bij deze landelijke toetsing (zie ook kader: Wat toetst de kennisbasistoets Rekenen-Wiskunde?) ook gaat om het toetsen van wiskunde op een redelijk hoog niveau, leidde het voornemen van deze toetsing tot kritische reacties van lerarenopleiders rekenen-wiskunde. Zij vroegen zich bijvoorbeeld af of er aanwijzingen zijn dat studenten met onvoldoende wiskundige vaardigheden, die mogelijk door deze landelijke toets de opleiding niet kunnen afronden, in het Zijn studenten algemeen ongeschikt zijn voor het beroep. Omdat de landelijke toetsing van de kennisbasis nog in de kinderschoenen staat, kan deze met onvoldoende wiskundige vaardigheden ongeschikt vraag voor de Nederlandse kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo niet beantwoord worden. Uit onderzoek van Ball en collega s voor het (2008) komt wel naar voren dat de specifieke, op het beroep toegespitste, wiskundekennis bepalend is voor de kwaliteit van het reken- beroep? wiskundeonderwijs van deze leraar. Bij het samenstellen van de kennisbasis en van de toetsing ervan is nadrukkelijk gekeken naar manier waarop Ball 1. Opmerkelijk is dat het projectplan WAK II (HBO-raad, 2009) suggereert dat zowel de vakkennis als de didactische kennis getoetst wordt. In haar algemene vergadering van 15 oktober 2010 heeft de HBO-raad (inmiddels Vereniging van Hogescholen) dit echter herzien tot het toetsen van alleen de vakinhoud. 6 Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde

3 en haar collega s deze specifieke wiskundekennis verwoorden (Van Zanten, 2010; Kool, 2013; Keijzer & Kool, 2012). Opleiders vroegen zich daarnaast af of de landelijke toetsing in de opleiding niet zou leiden tot verminderde aandacht voor de didactiek, omdat studenten daar uiteindelijk niet op worden afgerekend. In dat geval zou de kennisbasis namelijk leiden tot beginnende leraren die feitelijk minder bekwaam zijn dan leraren die voor de introductie van de kennisbasis werden opgeleid (Lit, 2010; Lit, 2011; Kool, 2011; Van Stralen, 2012). In een poging de onrust weg te nemen, zijn in verschillende rondes (in 2010 en 2011), voorbeeldopgaven van de landelijke toetsing besproken met opleiders (Keijzer, 2011; Keijzer, Garssen, & Peijnenburg, 2012). Dit leidde aanvankelijk tot meer onrust, omdat veel opleiders zich afvroegen hoe zij binnen de opleiding het vereiste niveau zouden kunnen realiseren. Enkele opleiders merkten bij het presenteren van de opgaven verder dat zij zelf onvoldoende wiskundig geschoold zijn om met studenten aan de kennisbasis rekenen-wiskunde te werken. Onzekerheid over de validiteit van de vrijgegeven opgaven, maakte daarnaast dat opleiders geen genoegen namen met slechts enkele voorbeelden van toetsvragen. Inmiddels (oktober 2013) is in die behoefte voorzien middels een algemeen beschikbare proeftoets. 2 Eind 2012 was er dus nog geen proeftoets beschikbaar. Daarom werden in november 2012, om de onzekerheid over de toetsing verder weg te nemen, met ongeveer 30 lerarenopleiders rekenen-wiskunde van ongeveer 20 verschillende lerarenopleidingen nogmaals enkele voorbeeldopgaven besproken. Deze opgaven waren eerder gebruikt tijdens een testronde, waarin studenten de opgaven maakten. Omdat dit ook uitwerkingen heeft opgeleverd, kozen we bij de presentatie van de opgaven een andere invalshoek dan in 2010 en Ging de discussie in 2010 en 2011 over de haalbaarheid en de validiteit van de toetsvragen en die van de toets in meer algemene zin, nu boden de uitwerkingen van de studenten ons de kans het denken anders te richten. We vroegen de opleiders om de uitwerkingen te analyseren, en om daaraan conclusies te verbinden rond de kennis van studenten en het opleidingsonderwijs. In de volgende paragrafen worden drie opgaven besproken. Drie opgaven Figuur 1 (p.8) toont een eerste toetsvraag die is gemaakt voor de landelijke kennisbasistoets rekenen-wiskunde en uitgeprobeerd in de testfase van de toets. Deze opgave gaat over de bijdrage van verschillende Europese landen aan de ruimtevaartorganisatie ESA. Studenten moeten een grafiek uit de krant interpreteren en daar gegevens uit afleiden. Het gaat hier om een opgave uit het domein verbanden en studenten laten met het correct beantwoorden van de vraag zien dat ze in staat zijn in maatschappelijk relevante situaties met grafieken om te gaan. Hier gaat het met name om te tonen dat je in staat bent getalsmatige gegevens uit de grafiek te halen. In de grafiek geven de staven de procentuele bijdrage van een land aan de ESA, wat betekent dat deze opgave studenten vraagt om betekenis te geven aan deze procenten en om ermee te rekenen. Uit de grafiek kunnen de verplichte en vrijwillige bijdrage aan de ESA worden afgelezen. De verplichte bijdrage van Nederland aan de ESA is 4% van 0,9 miljard en de vrijwillige bijdrage is 3% van 2,8 miljard. Bij het rekenen is het is handig om miljoen als rekeneenheid te 2. Deze proeftoets is beschikbaar via Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 35(2)

4 Opgave 1 Gegeven: De ESA is de Europese ruimtevaartorganisatie en deze wordt betaald door diverse Europese landen. De verschillende bijdragen worden weergegeven in deze grafiek. Vraag: Hoeveel miljoen euro draagt Nederland in totaal bij de ESA? Antwoord afronden naar hele miljoenen. Figuur 1. Eerste opgave voor studenten en opleiders. gebruiken. 1% van 2,8 miljard is 28 miljoen en 3% is daarom 84 miljoen. Analoog is 1% van 0,9 miljard gelijk aan 9 miljoen en dus is 4% 36 miljoen. De bijdragen zijn resp. 84 miljoen en 36 miljoen en dat is samen 120 miljoen. De tweede opgave (figuur 2) gaat over het gemiddelde. Dit is een van de centrummaten die de studenten moeten kennen en kunnen uitrekenen. Studenten wordt gevraagd het gemiddelde van 3, 4, 7, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 13 en 14 uit te rekenen. Ook hier gaat het om een opgave uit het domein verbanden echter anders dan bij de opgave rond de bijdrage aan ESA gaat het hier niet om de wiskunde in het maatschappelijk gebruik, maar om het toetsen van de kennis van de wiskunde. Studenten die deze opgave maken tonen dat ze een gemiddelde kunnen uitrekenen, of meer algemener dat ze enige kennis hebben van centrummaten. Het hier gevraagde gemiddelde kan overigens worden bepaald door de getallen te sommeren en te delen door 12, 108 : 12 = 9. Ook de derde opgave (figuur 3) werd in een testsetting voorgelegd aan studenten. Hierin wordt hen gevraagd een inschatting te maken van het aantal minuten in 18 jaar. Om dit uit te rekenen moeten verschillende vermenigvuldigingen gemaakt worden. Het gaat hier om een Opgave 3 Opgave 2 Gegeven: Gegeven is een rij getallen: 3, 4, 7, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 13 en 14. Vraag: Bepaal van deze getallen het gemiddelde. Figuur 2. Tweede opgave voor studenten en opleiders. Gegeven: Marion wordt volgende week 18 jaar. Het lijkt haar leuk om op haar verjaardagskaartje te vermelden hoeveel jaar ze heeft geleefd, hoeveel minuten dat is en hoeveel seconden. Vraag: Maak een inschatting van het aantal minuten dat je hebt geleefd op de dag dat je 18 wordt.. Figuur 3. Derde opgave voor studenten en opleiders. 8 Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde

5 opgave in het domein hele getallen. Studenten laten in deze opgave zien dat ze in betekenisvolle situaties met gehele getallen kunnen rekenen. Ze laten vooral zien dat ze grip hebben op een orde van grootte als er met grote getallen gerekend wordt. Het aantal minuten in 18 jaar kan bepaald worden door eerst het aantal minuten in één jaar te berekenen: 365 x 24 x 60. Bij een schatting is echter het precies uitrekenen niet nodig. We kunnen bijvoorbeeld rekenen met 350 x 25 x 60 = 350 x 1500 en dat is plus de helft hiervan, 350 duizend en 175 duizend en dat maakt 525 duizend. Als we dit verder afronden, dan kunnen we stellen dat een jaar ruim een half miljoen minuten telt en daarom gaat het bij 18 jaar om ruim 9 miljoen minuten. Werk van studenten: uitwerking van de drie opgaven Zoals we in de inleiding al aangaven, legden we deze opgaven voor aan opleiders rekenenwiskunde van een aanzienlijk aantal Nederlandse lerarenopleidingen basisonderwijs. We deden dit niet om de opgaven an sich te beoordelen. We vroegen de opleiders om aan de hand van aanpakken van studenten hun opleidingsonderwijs te beschouwen. We benadrukten daarbij overigens dat het materiaal dat we toonden wel representatief was voor wat wij aantroffen op het kladpapier, maar dat daarbij twee kanttekeningen op zijn plaats zijn, namelijk: we namen het rekenwerk van studenten die geen of weinig kladpapier gebruikten niet in beschouwing. Dit zijn, zo vermoeden wij, hele sterke rekenaars, die de opgaven met enig gemak uit het hoofd konden maken en hele zwakke rekenaars, die zo weinig met de opgaven aankonden, dat ze tot niets kwamen, de deelname aan deze toets was voor vrijwel alle deelnemende studenten vrijwillig en vrijblijvend. Dit betekent dat de inzet van studenten wellicht anders was dan bij een reguliere toets. Met deze kanttekeningen in het achterhoofd, keken we onder meer naar de uitwerking van een van de studenten die rekende aan de bijdrage van Nederland aan de ESA. Wat betreft de eerste opgave (figuur 1): de student, van wie de uitwerking is weergegeven in figuur 4, haalt de gegevens uit de grafiek en noteert die boven haar werk. Vervolgens gaat zij rekenen met de getallen en die schrijft ze daarvoor helemaal uit. Dat is een wiskundig correcte werkwijze, maar de student doet dit anders dan de samenstellers van de toets voor ogen hadden. Die bedachten namelijk dat het rekenen met miljoenen (als eenheid) hier Figuur 4. Uitwerking student ESA-opgave. Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 35(2)

6 een aangewezen werkwijze is. Omdat de student in plaats daarvan met veel nullen rekent, heeft zij nogal wat stappen nodig om van 100 procent naar 1 procent te komen. De aanwezige opleiders herkennen de aanpak van deze student. Een van hen vat de opinie over deze aanpak samen: De student maakt het voor zichzelf onnodig ingewikkeld door al die nullen mee te nemen. Nu gaat het goed, maar ik zie dat vaak genoeg mis gaan. De tweede opgave (figuur 2) vroeg de studenten om het gemiddelde te berekenen van een twaalftal getallen onder de 20. Figuur 5 toont twee uitwerkingen van studenten, die representatief waren voor wat wij op het kladwerk van de studenten aantroffen. Figuur 5. Twee uitwerkingen van opgave 2: gemiddelde bepalen. We zien dat deze studenten zich realiseren dat zij in deze situatie de getallen moeten optellen en vervolgens delen door 12. Dat optellen gaat in het algemeen goed. We zien dat een van de studenten (figuur 5, rechts) de getallen waarschijnlijk handig samen neemt. In beide gevallen blijkt dat de studenten de deling 108 : 12 niet geautomatiseerd hebben of uit het hoofd kunnen uitrekenen. Een student (linkerzijde figuur 5) kiest voor een aanpak, waarbij hij of zij herhaald aftrekt. De andere student (rechterzijde figuur 5) kiest er uiteindelijk voor de hele tafel van 12 uit te schrijven, om vervolgens te concluderen dat 108 gedeeld door 12 gelijk is aan 9. De opleiders aan wie we dit werk voorlegden viel het ook op dat de studenten wat inefficiënt te werk gaan en dat dit waarschijnlijk verklaard kan worden uit een gebrek aan basiskennis. Bij een meerderheid van de opleiders overheerst de mening dat studenten de tafel van 12 toch uit het hoofd moeten kennen of anderszins snel beschikbaar moeten hebben. Een van de opleiders refereert aan het onderwijzen in groep 8: Als je dan de tafel van 12 moet uitschrijven om een deling uit te voeren, kun je waarschijnlijk niet adequaat reageren als leerlingen hiermee worstelen. Figuur 6. Uitwerking opgave 3: aantal minuten in 18 jaar. De derde opgave (figuur 3) die we met opleiders bespraken, gaat over het rekenen hoeveel minuten ongeveer in 18 jaar gaan. Figuur 6 toont het werk van een van de studenten. Hij/zij bepaalt hoeveel dagen er in 18 jaar zitten, rondt dit af en vermenigvuldigt dit 10 Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde

7 met Bij het bepalen van het aantal dagen in 18 jaar rekent de student eerst uit hoeveel dagen 10 en 20 jaar hebben, om van dit laatste getal het aantal dagen in twee jaar af te halen. Vervolgens zou dit vermenigvuldigd moeten worden met 24 x 60 = 1440 om het bedoelde antwoord te krijgen. De student vermenigvuldigt echter met Dat is wellicht als afronding bedoeld van 1440, maar met het vermenigvuldigen met 2000 komt de student wel een paar miljoen uit boven het correcte antwoord. In de uitwerking zien we overigens dat de student feitelijk ver onder het bedoelde antwoord uitkomt, omdat ze na het vermenigvuldigen een 0 te weinig noteerde. Wanneer we deze aanpak met de opleiders rekenen-wiskunde bespreken verbazen die zich vooral over het vermenigvuldigen met Een van de opleiders vermoedt dat het hier niet gaat om het gericht naar boven afronden van De student, aldus deze opleider, is door al het rekenwerk aan het aantal dagen in 18 jaar het overzicht verloren. Een ander is het daar niet mee eens. Deze opleider denkt aan wel erg royaal afronden: De student dacht wellicht dat 24 x 60 kan worden afgerond naar 20 x 100; een getal naar beneden afronden en de ander naar boven. Reflectie We presenteerden aan ongeveer 30 opleiders rekenen-wiskunde enkele opgaven die zijn gebruikt bij de testsetting voor de kennisbasistoets rekenen-wiskunde. We toonden de opleiders uitwerkingen van studenten, die typerend waren voor wat we op het kladpapier van de studenten aantroffen. We wilden met de opleiders de discussie aangaan wat we van deze uitwerkingen zouden kunnen leren voor de inrichting van het opleidingsonderwijs rekenen-wiskunde. Echter voor we dit gesprek met de opleiders aangaan, benadrukken we de beperking van deze werkwijze. We kijken namelijk alleen naar studenten die gebruik maakten van kladpapier. Daarvan hebben we een indruk hoe ze te werk gaan. Dat hebben we niet van de studenten die geen kladpapier gebruikten. Die gingen wellicht veel efficiënter aan de slag en noteerden snel een goed antwoord. Echter, gezien de aard van de opgaven is waarschijnlijker dat studenten die geen kladpapier gebruikten in het nadeel waren. Immers deze opgaven vragen om verschillende rekenstappen na elkaar en dan is het zaak dat je overzicht houdt over je rekenwerk. Daarbij komt dat de opleiders rekenen-wiskunde de uitwerkingen herkennen als typerend voor een aanzienlijk deel van de studenten. Een van hen geeft aan dat deze studenten maar met moeite overzicht houden over het rekenwerk. In zijn ogen is de mate van verkorting in een aanpak daarom voorspellend voor de kwaliteit van de aanpak. En omdat inefficiente aanpakken behoorlijk foutgevoelig zijn, ligt het voor de hand dat juist studenten die het overzicht verliezen problemen krijgen bij de kennisbasistoets. Een ander vult aan dat studenten vaak onzeker zijn over hun wiskundevaardigheden. Hij ziet in de aanpakken een manier om terug te grijpen op zekerheden: Daarom kiezen studenten er bijvoorbeeld voor om niet met miljoenen te rekenen, maar om alle nullen telkens weer te noteren. Inefficiënte aanpakken zijn foutgevoelig; studenten verliezen gemakkelijk het overzicht. De aanwezigen zijn het erover eens dat de onzekerheid en het moeilijk verkrijgen van overzicht over rekensituaties aandacht vragen vanaf het begin van de opleiding tot leraar basisonderwijs. Enkele aanwezigen zijn er echter niet gerust op dat dit voor alle studenten leidt tot het beoogde niveau. Zij pleiten ervoor studenten voor wie het ook na een stevige investering niet is weg- Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 35(2)

8 gelegd om dergelijke opgaven efficiënt aan te pakken, al bij een intake te signaleren. De landelijke instaptoets Wiscat, is hiervoor mogelijk een adequaat middel (Keijzer & Hendrikse, 2013). Tot slot Het analyseren van studentenwerk door een groep opleiders zien wij als een krachtig middel om het denken en de ontwikkeling van studenten aan een lerarenopleiding basisonderwijs te doordenken. Dat lieten we hier zien voor het vak rekenen-wiskunde, maar wij vermoeden dat dit ook geldt voor andere vakken, waar studenten hun vakkennis moeten tonen in schriftelijk werk. Denkend aan de voorbeeldfunctie die een opleider naar zijn studenten heeft, ligt het ook voor de hand om op deze wijze te werk te gaan. Leraren basisonderwijs tonen zich, als het goed is, nieuwsgierig naar het leren van hun leerlingen en het analyseren van het werk biedt een beeld hoe het met dit leren staat. Voor het vak rekenen-wiskunde vormt het analyseren van leerlingenwerk al lange tijd onderdeel van het onderwijsprogramma op de lerarenopleiding basisonderwijs. Het leerlingenwerk, zo leren studenten, geeft informatie over hoe leerlingen mogelijk te werk zijn gegaan. Dat geeft aanwijzingen om hierover met de leerlingen in gesprek te gaan en om vervolgens eventueel het onderwijs aan te passen. In dit artikel gaat het om opleiders rekenen-wiskunde die met rekenwerk van studenten aan de slag gingen. Een dergelijke werkwijze is niet gebruikelijk, maar zeker zinvol. De context van de analyse die hier aan de orde is, is de komende introductie van de kennisbasistoets, waarvan verschillende opleiders de indruk hebben dat die voor studenten moeilijk haalbaar is. Het analyseren van studentenwerk geeft hen nieuwe aanwijzingen waarom de kennisbasistoets voor een deel van de studenten moeilijk is. De kennisbasistoets toetst de wiskundekennis die noodzakelijk is voor het toekomstige beroep. Bijvoorbeeld dat studenten snel (wiskundig) overzicht over een probleem krijgen en hiermee vervolgens efficiënt aan de slag gaan. De analyses van het studentenwerk leren dat van efficiënt werken bij een deel van de studenten geen sprake is, en dat zij op sommige gebieden onvoldoende kennis hebben om een handige en passende aanpak te kiezen. Deze bevindingen leidden tot eerste ideeën bij opleiders waar investeringen in het opleidingsonderwijs mogelijk nodig zijn. Echter, het bekijken van uitwerkingen van studenten biedt onvoldoende aanwijzing over wat er precies moet gebeuren. Daarvoor is het - als in de basisschool - nodig om met studenten in gesprek te gaan. Het werken aan uitdagende wiskundige problemen kan hierbij een mooi startpunt zijn, terwijl dat tegelijkertijd een manier is om effectief aan de kennisbasis rekenen-wiskunde te werken (Duman & Keijzer, 2011; Keijzer, Duman, Heeremans, & Smit, 2012). Referenties Ball, D., Thames, M., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59, Duman, V., & Keijzer, R. (2011). Kommagetallen uitvinden. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 30(2), HBO-raad. (2009). Werken aan Kwaliteit - Projectplan Kennisbasis fase 2: Den Haag: HBO-raad. Keijzer, R. (2011). Toetsing kennisbasis. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 30(1), Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde

9 Keijzer, R., & Hendrikse, P. (2013). Wiskundetoetsen voor pabostudenten vergeleken. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 32, Keijzer, R., & Kool, M. (2012). Mathematical Knowledge for Teaching in the Netherlands. Paper presented in TSG23, ICME12. Seoul. Keijzer, R., Duman, V., Heeremans, M., & Smit, A. (2012). Kennisbasis als opleidingsdidactische uitdaging. Tijdschrift voor lerarenopleiders, 33(3), Keijzer, R., Garssen, F., & Peijnenburg, A. (2012). Greep krijgen op de toetsing van de Kennisbasis rekenen-wiskunde. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 31(1), KNAW. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: KNAW. Kool, M. (2011). Borging van de kennisbasis rekenen-wiskunde op de pabo. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 30(1), Kool, M. (2013). Ontwikkeling van beroepspecifieke wiskundekennis op de pabo. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 32, Lit, S. (2010). Kennis en kwaliteit: een kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo. Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 29(1), Lit, S. (2011). Kennisbasis en kwaliteitsverhoging. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 30(1), Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., & Barth, F. (2013). Rekenen-wiskunde in de praktijk. Verschilen in de klas. Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Van Stralen, J. (2012). De Kennistoetsen: terug naar de oude kweekschool? Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 31(4), Van Zanten, M. (2010). De kennisbasis rekenenwiskunde voor pabo s - ontwikkelingen en overwegingen. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 29(1), Van Zanten, M., Barth, F., Faarts, J., Van Gool, A., & Keijzer, R. (2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding basisonderwijs. Den Haag: HBO-raad. Vereniging van Hogescholen (2013). Toetsgids pabo Rekenen-wiskunde. Den Haag: Vereniging van Hogescholen. Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 35(2)

10 14 Leren van de toetsing van de kennisbasis rekenen-wiskunde