[Rekenen-wiskunde in samenhang didactiek of als aparte lijn]

Transcriptie

1 2013 HAN Pabo Groenewoud Nijmegen Gerard Boersma Medewerkersnummer: Opleiding: master eerstegraads docent wiskunde Begeleiders: Huub Braam en Gé Groenewegen Onderdeel activiteiten ELWIeR onderzoeksgroep Datum: augustus, december 2013 [Rekenen-wiskunde in samenhang didactiek of als aparte lijn]

2 1 Inleiding In februari 1992 kreeg ik mijn eerstegraads bevoegdheid wiskunde. In het kader van het streven van de HAN naar een zo groot mogelijk percentage masters onder zijn personeel ben ik in de gelegenheid gesteld deze studie over te doen, maar nu op masterniveau. Hoofdonderdeel hierbij is, vanwege vrijstelling voor alle wiskundige onderdelen behalve schoolwiskunde, het masteronderzoek. Voor u ligt het onderzoeksvoorstel. Het conceptvoorstel is besproken met de onderzoeksgroep van EL- WIeR 1, de begeleiders van het onderzoek (Huub Braam en Gé Groenewegen), het management van Pabo Groenewoud (Karin van Weegen en Ida Oosterheert) en de sectie rekenen-wiskunde van Pabo Groenewoud. De feedback die op deze wijze is verkregen is verwerkt. Mocht u ook een concept ontwerp of het databestand naar aanleiding van een gehouden enquête willen bekijken, laat dit dan weten via de mail. U krijgt dan een link toegestuurd. Augustus 2013, Gerard Boersma Bijstelling: december Expertisecentrum Lerarenopleiding Wiskunde en Rekenonderwijs. 2

3 2 Inhoudsopgave 1 Inleiding Inhoudsopgave Aanleiding Theoretisch kader Inleiding Realistisch rekenwiskundeonderwijs Mathematical knowledge for teaching Kennisbasis Opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde Didactiek Bestaande materialen Opleiders Praktijkverkenning Situatie op Pabo Groenewoud Curriculum Docenten en studenten Probleemdefinitie Doel Onderzoeksvraag, ontwerphypothese, ontwerpprincipes Onderzoeksvraag Hypothese Deelvragen Ontwerpcriteria (generiek) Inhoudsverkenning Talstelsels Ontluikende algebra Methode Dataverzameling Resumé Onderzoeksgroep Najaar Voorjaar Communiceren met beroepsgroep Planning Randvoorwaarden en middelen

4 10 Bronnen Bijlage 1: Inventarisatie Pabo Groenewoud Bijlage 2: Analyse bestaande methodes Bijlage 3: Navraag naar relevantie Achtergrond Stellingen Respons Bijlage 4: protocol voor interview met studenten Zakelijke gegevens Inzicht in en kennis van de wiskundige inhoud uit de ontwerpen Verschillende talstelsels Bewerkingen in het binair en achttallig stelsel Ontluikende algebra Inzicht in en kennis van de didactische inhoud van de ontwerpen Diverse talstelsels Bij ontluikende algebra De waardering van studenten voor de lessen Bijlage 5: vragenlijst docent

5 3 Aanleiding Twee ontwikkelingen vormen de aanleiding voor dit onderzoek: de maatschappelijke discussie over de kwaliteit van lerarenopleidingen en die van de lerarenopleiding basisonderwijs in het bijzonder en de maatschappelijke discussie over de kwaliteit van het onderwijs, waaronder reken-wiskundeonderwijs (KNAW, 2009; van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012). Een opbrengst uit beide discussies voor de pabo is de kennisbasis voor rekenen-wiskunde (Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009). Hierin is het gewenste eindniveau voor pabostudenten beschreven met betrekking tot de kennis over rekenen-wiskunde en over didactiek van rekenen-wiskunde. De inhouden zijn te typeren als een beroepsspecifieke invulling van niveau 3S (van Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009). Vervolgens is er tussen het ministerie en de HBO-raad 2 de afspraak gemaakt dat, met ingang van het cohort , studenten een landelijk toets moeten behalen waarmee een deel van de kennisbasis wordt getoetst. Het betreft kennis van rekenen-wiskunde die nodig is om het leren door basisschoolleerlingen op gang te brengen en is beschreven in het document Toetsgids pabo rekenen-wiskunde (Vakcommissie, 2013). Hiermee verschilt de inhoud van deze toets met die van de sinds schooljaar verplichte Wiscat -toets die studenten in hun eerste jaar aan de opleiding moeten halen. Een deel van de in de toetsgids beschreven wiskundekennis valt niet onder de kerndoelen en is dus voor de student niet direct zichtbaar in de basisschool 3. De student kan zich niet zonder meer in deze inhouden bekwamen door bijvoorbeeld leerlingenwerk te analyseren of lessen voor te bereiden en te geven. De betreffende inhouden, in het vervolg ook aangeduid als meer geavanceerde wiskunde, kunnen min of meer kaal, los van de beroepscontext worden aangeboden. Op Pabo Groenewoud wordt dat op dit moment op deze manier gedaan. De keuze hiervoor is bepaald door tijdsdruk en de mogelijkheid de lessen te laten verzorgen door een wiskundig geschoolde docent. Daarnaast speelde het gegeven dat het reguliere onderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek beperkt is tot kleine - in tijd afgebakende onderwijseenheden een rol. Dit verhoudt zich niet met het leren van rekenen-wiskunde, dat een langlopend proces is. Door de meer geavanceerde wiskunde in een langerlopende lijn aan te bieden werd dit probleem omzeild. Het blijkt dat onderzoekers en een groot deel van de pabodocenten het scheiden van onderwijs in didactiek en onderwijs in wiskunde ongewenst vindt (theoretisch kader). Een mogelijk nadeel kan een te grote nadruk op het halen van de toets zijn (Van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012) in plaats van op het vergaren van wiskundige kennis die nodig is om het vak te onderwijzen. Mogelijk blijven kansen liggen om vanuit ervaringen van studenten met het bedrijven van wiskunde op eigen niveau de koppeling met de didactiek te leggen. Mogelijk werkt het bevreemdend op een grote groep studenten om wiskunde die voor een deel al in de vooropleiding aan de orde is geweest op een beroepsopleiding los van dat beroep nogmaals aangeboden te krijgen. Een tweede manier om de meer geavanceerde wiskunde-inhouden aan de orde te stellen is om deze in te bedden in een didactische context. Deze werkwijze sluit aan bij een visie op opleidingsdidactiek voor rekenenwiskunde waarbij beoogd wordt rekenen-wiskunde zoveel mogelijk te leren door de beroepscontext te gebruiken en studenten de kennis aan de hand van betekenisvolle opdrachten zelf te laten construeren. Dit heeft mogelijk een positief effect op de motivatie en zou kunnen leiden tot hogere leerresultaten. Het is de vraag of en hoe het mogelijk is om studenten op de tweede manier voor te bereiden op de toets. Belemmeringen kunnen zitten bij reproductiegerichte studenten (Oosterheert, 2011), zwakke rekenaars en bij 2 Vanaf april 2013 Vereniging Hogescholen. 3 Onder niet direct zichtbaar wordt verstaan dat de inhouden niet behoren tot de kerndoelen voor reken-wiskunde. Het komt voor dat de betreffende inhoud in materiaal voor goede rekenaars is verwerkt. Ook komt het voor dat goede rekenaars in groep 8 werken uit wiskundeboekjes voor de brugklas. Dit is echter geen reden om aan deze inhouden het predicaat direct zichtbaar toe te kennen. 5

6 opleidingsdocenten die onvoldoende thuis zijn of zich onvoldoende thuis voelen in de meer geavanceerde wiskunde en de didactiek ervan (Keijzer & Zanten, 2010). Dit onderzoek beoogt een bijdrage te leveren aan de vraag of en hoe het mogelijk is opleidingsonderwijs te verzorgen waarbij studenten meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek te leren. 6

7 4 Theoretisch kader 4.1 Inleiding Het gaat er uiteindelijk om dat studenten leren reken-wiskundeonderwijs aan kinderen op de basisschool te verzorgen. Daarom start dit hoofdstuk met een korte inleiding over realistisch reken-wiskundeonderwijs, de in Nederland dominante stroming binnen de didactiek. Vervolgens wordt een indruk gegeven van de wijze waarop internationaal wordt aangekeken tegen de kennis die nodig is dit reken-wiskundeonderwijs te verzorgen, waarna de Nederlandse situatie onder de loep wordt genomen: de kennisbasis, opleidingsdidactiek die beoogt studenten de kennis uit de kennisbasis te laten verwerven, een analyse van bestaande materialen die hierbij behulpzaam moeten zijn en kenmerken van opleiders die het onderwijs moeten vormgeven. Tenslotte wordt de situatie op Pabo Groenewoud beschreven en eindigt dit hoofdstuk met een korte samenvatting: de probleemdefinitie. 4.2 Realistisch rekenwiskundeonderwijs Realistisch rekenen-wiskunde is een ontwikkeling die in gang is gezet als een reactie op het mechanistisch rekenen en op de zogenaamde New Math in de jaren 70 (Treffers, Moor, & Feijs, 1989; Treffers, 2010i en ii). Het gaat uit van een constructivistische visie op leren, die leidt tot vijf onderwijsprincipes (Treffers, Moor, & Feijs, 1989): Het onderwijs sluit aan bij de betekenisvolle realiteit van kinderen. Het onderwijs verschaft de leerlingen hulpmiddelen als modellen en materialen om de afstand tussen het werken op concreet niveau en handelen op abstract niveau te overbruggen. Het onderwijs stelt leerlingen in staat eigen oplosprocedures te ontwikkelen en zelf opgaven te produceren. Het onderwijs is interactief: biedt ruimte voor uitwisseling van ideeën, argumenten, etc. Leergangen uit verschillende leerstofgebieden moeten zoveel mogelijk met elkaar verstrengeld worden. Keijzer en Kool (Keijzer & Kool, 2012) noemen als belangrijkste kenmerk dat leerlingen aan de hand van open problemen hun eigen oplossing zoeken en op hun eigen niveau werken waarmee zij een bij realistisch reken-wiskundeonderwijs passende opvatting van werken op niveau geven. Na de inmiddels geluwde discussies over realistisch- versus traditioneel rekenen van enkele jaren geleden (KNAW, 2009) zijn de methodes die op dit moment in de basisschool worden gehanteerd nog steeds van realistische signatuur (Scheltens, Hemker, & Vermeulen, 2011). Een recente, door het onderwijsveld breed gedragen, publicatie over ernstige rekenproblemen en dyscalculie (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) gaat ook uit van deze visie op reken-wiskundeonderwijs. Om realistisch reken-wiskundeonderwijs te verzorgen is gedegen kennis van leerstof en didactiek vereist. De Volgende paragraaf gaat over de vraag om welke kennis het gaat en hoe deze geleerd kan worden. 4.3 Mathematical knowledge for teaching Hill, Rowan en Ball (2005) laten zien dat kennis van wiskunde van de leerkracht een positief effect heeft op prestaties van leerlingen, waar eerdere studies vooral hun focus hadden op de relatie tussen leerkrachtgedrag en leerkrachtkarakteristieken en leereffecten van leerlingen. Om nauwgezetter aan te kunnen geven om welke kennis van wiskunde het daarbij gaat komen Ball, Thames & Phelps (2008), voortbordurend op het werk van Shulman, tot onderstaande classificatie van kennis van rekenen-wiskunde. 7

8 Afbeelding 1 Schema Mathematical Knowledge for Teaching (Ball, Thames, & Phelps, 2008) De categorieën worden hieronder besproken, aangevuld met inzichten van andere auteurs. CCK: common content knowledge. Algemene wiskundige kennis, vergelijkbaar met basale gecijferdheid: het kunnen oplossen van opgaven die de leerlingen maken (Oonk, Zanten, & Keijzer, Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling, 2007). CCK veronderstelt ook kennis die niet-leraren ook hebben. SCK: specialised content knowledge. Wiskundige kennis en vaardigheden die uniek zijn voor onderwijzen. Het betreft hier diepgaande, flexibele en gespecialiseerde kennis van de basisschoolleerstof (Kool & Keijzer, 2012). Ball et al. (2008) sommen een aantal specifieke taken op waarin om deze kennis wordt gevraagd. HCK: horizon content knowledge. Kennis over de verbinding van de wiskunde die aan de orde is met doelen en inhouden die verderop in de leerlijn aan bod komen, ook in het vervolgonderwijs (Kool & Keijzer, 2012). Daarnaast gaat het om relaties tussen verschillende onderwerpen (Groot, 2012). HCK is mogelijk geïntegreerd me andere categorieën, dit is nog onduidelijk (Ball, Thames, & Phelps, 2008). KCT: knowledge of content and teaching. Kennis over inhoud en onderwijzen. KCS: knowledge of content and students. Begrijpen hoe leerlingen denken en op problemen anticiperen. KCC: knowledge of content and curriculum. Kennis over inhoud en het curriculum. Ball et al. hebben het sterke vermoeden dat de wiskunde die nodig is voor leraren anders van aard is en anders zou moeten worden geleerd dan via puur op de wiskunde gerichte cursussen. Eén van de onderzoeksrichtingen voor vervolgonderzoek die zij voorstellen is of en hoe verschillende benaderingen voor het opleiden van leraren effect hebben op specifieke onderdelen van de pedagogische inhoudskennis. Tijdens het in 2012 gehouden International Congress on Mathematical Education (ICME-12) was één van de studiegroepen gewijd aan wiskundige kennis voor het onderwijzen op de basisschool (Mathematical knowledge for teaching at primary level). Het ging hierbij om de aard van de kennis en om de manieren om deze te onderwijzen. Men pleit voor het koppelen van professionele ontwikkeling aan onderwijzen en aan curriculummaterialen (Jakobsen, Thames, Ribeiro, & Delaney, 2012), ook waar het meer geavanceerde wiskunde betreft. Jakobsen et al. geven enkele voorbeelden van de wijze waarop meer geavanceerde wiskundekennis een rol kan spelen in een lessituatie in de basisschool. Ze stellen daarnaast dat het bij HCK vaak gaat om wiskundige structuren die al in de wiskunde van de basisschool opgesloten zitten. Het leren ervan start met beide voeten op de grond van de basisschool en strekt zich, vanuit dat perspectief, uit tot de wiskundige horizon. Zij constateren 8

9 dat het gronden van meer geavanceerde wiskunde in de context van de basisschool weliswaar niet nieuw is, maar nog niet systematisch ontwikkeld. Taveau (2012) geeft als voorbeeld van een ontwerp voor opleidingsonderwijs waarin het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek plaatsvindt een uitwerking waarin onder andere het handenschudprobleem naar voren komt, een vraagstuk dat in de Nederlandse opleidingen al enige decennia een rol vervult (Groenewoud, 1991). Handen schudden: een groep studenten die elkaar niet kent schudt elkaars handen. Hoeveel handen worden geschud? Thanheiser (2012) voert aan dat het om studenten te motiveren nodig is om hen bewust te maken van het feit dat ze nog veel te leren hebben, bijvoorbeeld bij het analyseren van leerlingenwerk. Marcinek (2012) geeft een aantal werkvormen om studenten te richten op het wiskundig denken van andere studenten: het beoordelen van werk van andere studenten, in gesprek gaan met de medestudenten over de beoordeling en de beoordeling naderhand bijstellen; het uitschrijven van een oplossing op een vraagstuk waarna de oplossing door een andere student wordt gepresenteerd; een vraagstuk oplossen door studenten onder begeleiding van een andere student; een dialoog schrijven met een student naar aanleiding van een oplossing op een vraagstuk. Zijn voorlopige bevindingen zijn dat studenten zich bewust worden van valkuilen bij het interpreteren van andermans oplossingen. Hij doet geen uitspraken over de mate waarin studenten wiskunde hebben geleerd. Nu een indruk is gegeven van de wijze waarop er internationaal wordt aangekeken tegen kennis van de wiskunde die nodig is om te onderwijzen en de wijze waarop deze geleerd kan worden, wordt het tijd de Nederlandse situatie onder de loep te nemen. 4.4 Kennisbasis De Nederlandse situatie is niet zonder meer vergelijkbaar met die in het buitenland (Kool & Keijzer, 2012). Zo blijkt uit de Teacher Education and Development Study in Mathematics (TEDS-M) (Tatto, et al., 2012) dat: de kwaliteit van instromende studenten ertoe doet; er grote verschillen tussen landen zijn; het helpt als het beroep van leraar een goede status heeft. Het TEDS-M rapport onderscheidt verschillen in curricula van de basisschool en van de opleidingen, kwaliteit van de rekenlessen en van opleidingen. Het niveau van de wiskunde in de kennisbasis in Nederland ligt onder dat van de Aziatische landen, hoewel het de vraag is in hoeverre dat invloed heeft op de kwaliteit van het onderwijs omdat daar specifieke kennis van de wiskunde wordt gevraagd, meer dan geavanceerde kennis (Kool & Keijzer, 2012). Al voor het verschijnen van de kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo is in Nederland beschreven waar de reken-wiskundige kennis, vaardigheden en inzichten die nodig zijn om het vak te onderwijzen uit zouden moeten bestaan (Oonk, Zanten, & Keijzer, 2007): het verwerven van elementaire rekenvaardigheid, in het bijzonder het oplossen van opgaven uit reken-wiskundemethoden voor de basisschool; het herkennen van wiskunde in de eigen omgeving en die van kinderen; het gericht zijn op oplossingsprocessen bij het (laten) oplossen van reken-wiskundeproblemen; het inspelen op het wiskundig denken van leerlingen. Deze elementen van professionele gecijferdheid hebben betrekking op dezelfde zes elementen van de kennis die Ball et al. (2008) beschrijven. 9

10 In de inleiding op de kennisbasis geven van Zanten, Barth, Gool, & Keijzer (2009) aan hoe zij vanuit onder andere de classificatie van Ball et al.(2008), de classificatie uit de beschrijving van de referentieniveaus (Meyerink, 2009) en die van professionele gecijferdheid gekomen zijn tot de volgende indeling van de kennisbasis: Kennis van rekenen-wiskunde. Reken-wiskundige kennis die specifiek is voor leerkrachten basisonderwijs. Maatschappelijke relevantie/verstrengeling. Uit de hoek van Beter Onderwijs Nederland kwam nog een kritisch tegengeluid (Stichting Goed Rekenonderwijs, 2009), leidend tot een alternatieve kennisbasis. Kenmerken van dit alternatief zijn een sterke gerichtheid op formele procedures, een ontkenning van het bestaan van de rekenmachine en van handig rekenen. Deze kennisbasis heeft echter geen vervolg gekregen in wetgeving en voor het pabocurriculum. Een deel van de in de kennisbasis beschreven wiskundige kennis is niet direct zichtbaar in de basisschool. Dit was voor veel opleidingen een nieuw gegeven en heeft niet alleen maar tot positieve reacties geleid (van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012; Boersma, 2013; Groot, 2012; Keijzer & Vries, 2013; van Stralen, 2012). Docenten vragen zich bijvoorbeeld af of de kennis relevant is voor de beroepspraktijk en of studenten of opleiders overvraagd worden. De wijze waarop studenten de kennis uit de kennisbasis verwerven zou moeten passen binnen de visie op opleidingsdidactiek van de opleidingen. Deze wordt hieronder besproken, waarbij tevens het begrip didactiek wordt uitgediept. 5 Opleidingsdidactiek rekenen-wiskunde Analoog aan de onderliggende visie op rekenwiskundeonderwijs aan kinderen op de basisschool is er in Nederland sprake van een constructivistische kijk op opleidingsonderwijs voor rekenen-wiskunde en didactiek (Goffree & Dolk, Proeve van een nationaal programma rekenen-wiskunde & didactiek op de pabo, 1995). Een iconisch ontwerp dat aansluit op deze aanpak is het Land van Okt (Goffree, Het Land van Okt, 1995) waarin studenten aan de hand van een metafoor van stripfiguren met vier vingers leren rekenen in het achttallig stelsel. Maar vooral aan den lijve ervaren wat cruciale momenten zijn in de leerlijn getallen en bewerkingen. In (Goffree & Dolk, Proeve, 1995) wordt de werkvorm Mathematisch-didactisch practicum gedefinieerd als een vorm waarin studenten werken aan opgaven waardoor hun kennis en vaardigheden in rekenenwiskunde op een hoger niveau gaan functioneren en werken aan opgaven waardoor hun kennis in onderwijsen leerprocessen wordt uitgebreid. Uit de voorbeelden die zij noemen blijkt dat het hier, wat de wiskunde betreft, vooral gaat om inhouden uit de basisschool. Gestimuleerd door de mogelijkheden die ict biedt is er de laatste jaren een didactiek ontwikkeld waarbij studenten leren van praktijksituaties aan de hand van video s met vragen en verdiepende teksten (Dolk, Faes, Goffree, Hermsen, & Oonk, 1996; Oonk, Keijzer, Lit, Amse, Barth, & Lek, Reken-wiskunde in de praktijk, Onderbouw, 2010i en 2010ii). Een deel van de pabo s heeft wat de meer geavanceerde wiskunde betreft, de koppeling van inhoud en beroepscontext losgelaten. Dit heeft vermoedelijk geleid tot motivatieproblemen bij studenten (Keijzer & Kool, 2012). Een deel van de opleiders spreken zijn zorg uit over het verlaten van de reconstructiedidactiek en zijn bevreesd dat studenten reproductiegericht gaan leren (Van Dam-Schuringa & Terlouw, 2012). 5.1 Didactiek Van Dale (Van Dale, 2009) geeft de volgende omschrijving van het begrip didactiek: de kunst van het onderwijzen. Kennis van didactiek en vakkennis gaan hierbij hand in hand waarbij het onderscheid tussen de twee niet scherp is te leggen. Ter illustratie hiervan volgt een citaat van een gedeelte van de beschrijving van een van 10

11 de vier vakdidactische competenties zoals die in de kennisbasis (Zanten, Barth, Gool, & Keijzer, 2009) is beschreven: Ook kan de leerkracht beoordelen of oplossingsmethoden perspectief bieden voor langlopende leerprocessen rekenen-wiskunde. Hetzelfde geldt voor strategieën op verschillende abstractieniveaus - contextgebonden, met modellen of materialen en formeelabstract. Kennis over didactiek en over wiskunde gaan hier hand in hand. Het begrip onderwijzen verwijst naar handelingen van de leerkracht. Kijkend naar de kennis die daarvoor nodig is kan het begrip didactiek worden verrijkt door er kennis over leren in op te nemen. Zo wordt in de kennisbasis herhaaldelijk gesproken over kennis over het leren en onderwijzen van rekenen-wiskunde. Deze vulling van het begrip didactische kennis wordt in dit onderzoek gehanteerd. Kennis over de leerinhouden staat hiermee constant in wisselwerking. Het lijkt vanzelfsprekend dat kennis van wiskunde voorwaardelijk is om kennis over de didactiek ervan te verwerven. In de opleiding is het werken aan kennis over didactiek echter een belangrijke aanjager voor het werken aan wiskundige kennis, zie bijvoorbeeld Kool & Keijzer (2012). Kennis over leren en onderwijzen impliceert specialised content knowledge. Hoewel het hier gaat om kennis van de wiskunde en niet om kennis van de didactiek gaat het hier om kennis die door studenten op de opleiding moet worden verworven. In samenhang met didactiek kan in dit onderzoek dus ook betekenen dat studenten door te leren van meer geavanceerde wiskunde hun sck over inhouden die wel op de basisschool aan de orde zijn verrijken. Als het gaat om opleidingsonderwijs waarbij het leren van meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek gebeurt wordt de didactiek van rekenen-wiskunde op de basisschool bedoeld. Het gaat er dus niet om dat studenten de didactiek van de meer gevanceerde wiskunde leren. 5.2 Bestaande materialen Om na te gaan of er al materialen voor studenten beschikbaar zijn waarin de meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek wordt aangeboden zijn onderstaande methodes geanalyseerd (zie Bijlage 2: Analyse bestaande methodes): Kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011). Rekenen-wiskunde in de praktijk, onderbouw en bovenbouw (Oonk, et al., 2010i) en (Oonk, et al., 2010ii). Serie Reken-wiskunde didactiek van ThiemeMeulenhoff, hele getallen en meten en meetkunde (Zanten, Berg, Hutten, & Meijer, 2010) en (Zanten, Brom-Snijders, Bergh, Meijer, & Vrolijk, 2007) Het gaat hierbij om de in Nederland meest gebruikte publicaties. De vraag hierbij was of en in hoeverre de methodes aandacht besteden aan meer geavanceerde wiskunde-inhouden en in hoeverre dit gebeurt in samenhang met didactiek. De onderwerpen die zijn bekeken zijn talstelsels en (ontluikende) algebra. Deze keuze hangt samen met de inventarisatie die op Pabo Groenewoud is gemaakt (zie hieronder). De conclusie is dat er niet of sporadisch aandacht is voor de wiskunde die het niveau van de basisschool overstijgt. Als er daarbij al aandacht is voor didactiek dan gebeurt dat door het stellen van een enkele vraag. Van echte samenhang waarbij, in een les of in een hoofdstuk, tegelijkertijd wordt gewerkt aan wiskundige en didactische doelen, is geen sprake. 5.3 Opleiders Het hogere niveau aan rekenwiskundige kennis stelt eisen aan de opleiders. Een deel van de opleiders heeft geen wiskundebevoegdheid en voelt zich onvoldoende thuis in de rekenwiskunde-inhouden die het niveau van de basisschool overstijgen en de bijbehorende didactiek (Keijzer & Zanten, 2010). Daarbij komt dat de verhoging van het aantal contacturen rekenen-wiskunde ertoe leidt dat er nieuwe opleiders moeten komen. Omdat er geen opleidingen zijn tot docent rekenen-wiskunde ligt hier een probleem (Keijzer & Zanten, 2010). 11

12 6 Praktijkverkenning Om na te gaan in hoeverre pabodocenten in Nederland het onderwerp van het onderzoek relevant vinden is er een vragenlijst (Boersma, 2013) ontworpen. De conceptlijst is becommentarieerd door leden van de EL- WIeR-onderzoeksgroep, bijgesteld en landelijk uitgezet. 47 docenten van 27 verschillende opleidingen hebben gereageerd. Uitgaande van 130 pabodocenten in Nederland (Groot, 2012) komt dit neer op een respons van 36%. De volgende stellingen werden voorgelegd: 1. Ik weet wat de wiskunde-inhouden uit de kennisbasis zijn die niet direct zichtbaar zijn in de basisschool. 2. Ik ben in staat opgaven waarin deze wiskunde naar voren komt zelf op te lossen. 3. Komend schooljaar onderwijs ik deze wiskunde aan studenten op de pabo. 4. Ik acht me bekwaam om studenten te onderwijzen in de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool. 5. Het heeft mijn voorkeur de wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool geïntegreerd met didactiek aan te bieden. 6. Ik zie de relevantie van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool voor de beroepsontwikkeling van de student. 7. Ik zou tijdens een conferentie kiezen voor een presentatie van het onderzoek. 8. Ik zou een artikel waarin het onderzoek wordt beschreven in zijn geheel lezen. 9. Ik zou graag één of enkele ontwerpen uit willen proberen. 10. Zijn er naast de in de achtergrond genoemde onderwerpen andere onderwerpen waarvoor je graag over een didactisch ontwerp zou beschikken? Zo ja welke zijn dat? De items werden gescoord op een schaal van 1-5 waarbij 1 staat voor helemaal niet en 5 voor zeer zeker. Een overzicht van de respons staat in bijlage 3. Uit de grote spreiding van de respons bij stelling 5 blijkt dat de respondenten verschillend denken over het in samenhang met didactiek aanbieden van wiskunde die niet direct zichtbaar is in de basisschool aan studenten Totaal Aantal Percentage 8,5 19,1 19,1 21,3 31,9 100,0 Tabel 1: Respons bij stelling 5. Hieronder staat een tweetal citaten dat deze tegenstelling illustreert. Docent 16: Het integreren met didactiek kost mijnsinziens teveel tijd en het levert niet een winst op die voor de student direct zichtbaar is. Rekenen is voor de meeste studenten al lastig genoeg. Daarbij is het mijn ervaring dat we niet alles uit de kennisbasis in ons curriculum kwijt kunnen, en daarom zou ik prioriteiten elders leggen als er extra tijd komt voor rekenen. Docent 31: Geïntegreerd met didactiek betekent voor mij in ieder geval: laten zien op welke manier opdrachten en projecten voor leerlingen beter en rijker worden wanneer de leerkracht meer van een onderwerp weet, ook al ga je niet alle kennis overdragen. Het is vergelijkbaar met de redenering waarom ook kleuterjuffen iets van breuken moeten weten: die leerlijn begint al bij de kleuters. Zo lopen de leerlijnen na groep 8 ook door: je moet 'natuurlijk' weten voor welke theorie je de voedingsbodem aan het leggen bent. De belangstelling voor het onderwerp blijkt groot, waarbij een score van 4 of 5 op de 5-puntschaal als positief is gelabeld. Zo geeft 87% van de respondenten aan een artikel over het onderwerp in zijn geheel te zullen 12

13 lezen, is 72% van de respondenten van plan een presentatie over het onderwerp tijdens een conferentie te bezoeken en zou 79% van de respondenten die daartoe in de gelegenheid is komend schooljaar een ontwerp in de eigen situatie uit willen proberen. Een deel van de docenten voelt zich onvoldoende (score van 1, 2 of 3 op de 5-puntschaal bij item 2 en 4) in staat om opgaven met meer geavanceerde wiskunde te maken of er studenten in te onderwijzen. Bij item 2 gaat het om 15% van de docenten, bij item 4 om 17%. Om na te gaan of er verschillen zijn tussen docenten met of zonder wiskunde in hun vooropleiding en tussen mannelijke en vrouwelijke docenten is er een Mann-Whitney test bij deze twee items uitgevoerd. Wiskunde in de vooropleiding wordt gedefinieerd als het hebben van een eerste- of tweedegraads wiskundebevoegdheid of een opleiding aan een TU. De door velen genoemde cursus van het Freudenthal Instituut wordt niet als wiskundige vooropleiding gezien. Uit de test blijkt dat docenten zonder wiskunde in de vooropleiding en vrouwelijke docenten significant lager scoren op stelling 2 en 4 dan docenten met wiskunde in de vooropleiding respectievelijk mannelijke docenten. In het eerste geval is er een kans van 0,000 bij zowel item 2 als item 4 dat dit resultaat op basis van toeval is verkregen, in het tweede geval zijn deze kansen 0,0015 en 0,006. Stelling Zonder wiskunde Met wiskunde Overig n Mean rank n Mean rank p effectgrootte , ,76 0,000 0, , ,67 0,000 0,53 Tabel 2: Resultaten Mann-Whitney test voor respondenten met en zonder wiskunde in de vooropleiding. Stelling Mannen Vrouwen Overig n Mean rank n Mean rank p effectgrootte , ,43 0,0015 0, , ,41 0,006 0,37 Tabel 3: Resultaten Mann-Whitney test voor mannelijke en vrouwelijke respondenten. Omdat er meer vrouwen dan mannen zonder wiskunde in de vooropleiding zijn is er een Kruskal-Wallis test uitgevoerd bij stelling 2 en 4 waarbij de respondenten in vier groepen zijn verdeeld. Vrouwen zonder wiskunde in de vooropleiding blijken de laagste gemiddelde rang te hebben. Deze blijkt significant lager te zijn dan de score van mannen zonder wiskunde (p = 0,0195 bij stelling 2 en 0,001 bij stelling 4) Stelling Vooropleiding Geslacht N Gemiddelde rang 2 Met wiskunde Man 14 33,64 Vrouw 9 26,28 Zonder wiskunde Man 10 23,30 Vrouw 14 13,39 4 Met wiskunde Man 14 29,61 Vrouw 9 32,33 Zonder wiskunde Man 10 26,70 Vrouw 14 11,11 Tabel 4: Resultaten Kruskall-Wallis test bij stelling 2 en Een overzicht van de respons op stelling 2 en 4, uitgesplitst naar vooropleiding en geslacht, staat in bijlage 13

14 Er blijkt geen relatie tussen de respons bij item 2 en 4 en die bij item 5, waarin gevraagd wordt naar de voorkeur om meer geavanceerde wiskunde al of niet in samenhang met didactiek te onderwijzen (r s is -0,110 respectievelijk 0,019 met p = 0,462 respectievelijk 0,897). Conclusies: Het onderwerp van het onderzoek wordt door pabodocenten in Nederland als relevant ervaren. Een deel van de pabodocenten acht zich onvoldoende in staat meer geavanceerde wiskunde te onderwijzen, hetgeen aansluit bij de bevindingen van Keijzer & Zanten (2010). De eigen inschatting van het niveau van professionele gecijferdheid ten aanzien van meer geavanceerde wiskunde heeft geen relatie met de wens deze wiskunde al of niet in samenhang met didactiek te onderwijzen. 6.1 Situatie op Pabo Groenewoud Curriculum Op Pabo Groenewoud werken studenten aan de hand van beroepstaken. De diverse vak- en leergebieden leveren hierbij de inhouden. In de bijdragen van rekenen-wiskunde aan de beroepstaken wordt geïntegreerd gewerkt aan didactische en rekenwiskundige kennis, vaardigheden en attitude. Vanaf pabo 2 volgen studenten een jonge kind (groep 1 t/m 4) of een oudere kind (groep 5 t/m 8) specialisatie. Nog voor het verschijnen van de toetsgids (Vakcommissie, 2013) is door de onderzoeker nagegaan welke onderwerpen uit de kennisbasis niet in het curriculum aan bod kwamen (Bijlage 1: Inventarisatie Pabo Groenewoud). De betreffende inhouden worden in schooljaar in een aparte lijn aan de tweedejaars aangeboden, in het schooljaar doorlopend in het derde jaar. Deze lijn staat los van het werken aan beroepstaken en los van lijn didactiek rekenen-wiskunde. De werkwijze is ingegeven door tijdnood en door het gegeven dat door de inhouden apart aan te bieden de uitvoering gedaan kan worden door een wiskundig geschoolde docent. Uit de inventarisatie blijkt dat er een tiental onderwerpen in het reguliere curriculum onvoldoende aandacht krijgt. Twee daarvan springen er qua omvang uit: talstelsels en (ontluikende) algebra. Daarom wordt ervoor gekozen om deze onderwerpen te betrekken in het ontwerp Docenten en studenten Op Pabo Groenewoud werken in schooljaar zes docenten rekenen-wiskunde en didactiek, waarvan één met een tweedegraads- en één met een eerstegraadsbevoegdheid wiskunde. Het percentage docenten met een wiskundebevoegdheid ligt hiermee onder dat van de respondenten bij de navraag naar de relevantie van het onderzoek (Boersma, 2013). Dat ligt op 49%. In diverse overleggen is het onderwerp van het onderzoek besproken. Daarnaast is met een drietal collega s een kort interview gehouden. De bevindingen over de studenten komen uit die interviews. Iedere docent vindt het een verbetering als wiskunde inhouden aan didactiek zouden worden gekoppeld. Nu gebeurt dat incidenteel en ad hoc als de uitvoerende docent studenten ondersteunt en refereert aan elementen van de didactiek op de basisschool. Vragen als: Hoe zou je kinderen hiermee helpen?, met als doel dat de student dezelfde middelen inzet om zichzelf te helpen. Van echte samenhang met didactiek is geen sprake. Dit is in de huidige opzet ook niet de bedoeling. De uitvoerende docenten geven aan dat studenten gemotiveerd aan de opgaven werken in de bijeenkomsten. Motivatieproblemen zoals deze in Kool & Keijzer (2012) worden geconstateerd doen zich niet voor. Thuis oefenen doet slechts een deel van de studenten. Studenten ervaren het niet als een probleem dat ze een deel van de inhouden al in het voortgezet onderwijs tegen zijn gekomen (wat overigens niet voor iedere student het geval is). Ze vinden het fijn als deze even worden opgehaald, ook de studenten met vwo als vooropleiding. Wel hebben studenten soms vragen bij de relevantie van bepaalde inhouden, zoals bijvoorbeeld talstelsels. 14

15 Daarnaast zouden ze er prijs op stellen als ze zouden kunnen werken uit een boek. Dit zou houvast geven bij de vraag of ze voldoende op niveau zijn. Niet iedereen blijkt de toetsgids, die ook als doel heeft dit houvast te geven, te bestuderen. De docenten denken verschillend over het belang van de meer geavanceerde wiskunde voor de ontwikkeling van studenten. Waar de ene docent (met een tweedegraads wiskundebevoegdheid) het analytisch leren denken, gestimuleerd door te werken aan deze inhouden, van belang vindt, zijn anderen bezorgd dat door de verhoogde eisen kwaliteit verloren gaat. Men is het erover eens dat het goed zou zijn als tenminste een deel van de docenten in het basisonderwijs wel over deze kennis zou beschikken. Die docenten zouden dan bijvoorbeeld beter op goede leerlingen in de bovenbouw kunnen reageren. De docenten zonder wiskundige achtergrond onderkennen problemen bij zichzelf met het flexibel inspelen op vragen en denkwijzen van studenten. Het gaat hier om dezelfde bekwaamheden als die we van studenten vragen in relatie met leerlingen van de basisschool (Oonk, Zanten, & Keijzer, Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling, 2007). De docenten geven aan dat zij, om deze vaardigheden te ontwikkelen, tijd nodig hebben. Tevens dat gesprekken met collega s over de leerstof en de bijbehorende opleidingsdidactiek en het gezamenlijk voorbereiden van lessen hen hierbij zouden helpen. 6.2 Probleemdefinitie Hoewel veel onderzoekers en een groot deel van de pabodocenten vinden dat het leren van wiskunde die nodig is om het vak te kunnen onderwijzen in de voor studenten betekenisvolle context van het onderwijs zelf plaats zou moeten vinden zijn er weinig uitgewerkte voorbeelden van hoe dit dan zou moeten als dit wiskunde betreft die niet direct zichtbaar is in de basisschool. In de praktijk wordt deze wiskunde veelal als een aparte lijn aangeboden. Er is dus een discrepantie tussen de door velen gewenste en de bestaande situatie, ook op de pabo s van de HAN. 15

16 7 Doel Het doel van het onderzoek is na te gaan of en hoe het mogelijk is om, aan de hand van de vanuit het vooronderzoek gevonden ontwerpprincipes, opleidingsonderwijs in rekenen-wiskunde en didactiek te ontwerpen waarbij meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek onderwezen wordt. De ontwerpprincipes kunnen gebruikt worden bij het verder ontwikkelen van het curriculum (rekenenwiskunde en didactiek) op Pabo HAN maar ook op andere pabo s in Nederland. De ontwerpen zijn een middel, maar ook een doel. Er is immers geconstateerd dat er nog weinig opleidingsonderwijs is dat meer geavanceerde wiskunde in samenhang met didactiek bevat. 16

17 8 Onderzoeksvraag, ontwerphypothese, ontwerpprincipes Uit het theoretisch kader is een aantal ontwerpprincipes af te leiden. Die zullen worden verwerkt. Deze principes komen deels uit de internationale literatuur wat de vraag oproept of ze ook toepasbaar zijn op de Nederlandse situatie. Daarnaast wordt aangegeven dat nog onvoldoende bekend is over het effect van het op de principes gebaseerde opleidingsonderwijs op studenten. Door ontwerpen te maken en uit te proberen hoopt de onderzoeker erachter te komen of de principes leiden tot een bruikbaar ontwerp. Tevens hoopt hij de principes aan te kunnen scherpen en aanvullingen te kunnen formuleren. 8.1 Onderzoeksvraag Hoe kan opleidingsonderwijs aan pabostudenten er uitzien waarmee het in samenhang met didactiek leren van meer geavanceerde wiskunde - over de onderwerpen talstelsels en ontluikende algebra - ondersteund wordt? Hierbij worden onderstaande ontwerpprincipes gebruikt: de wiskunde die aan de orde is verheldert en verdiept inhouden die wel direct zichtbaar zijn in de basisschool en de daarbij behorende didactiek (dit sluit aan bij de werkvorm Wiskundigdidactisch practicum. Tevens wordt hierbij gewerkt aan specialised content knowledge met betrekking tot wiskunde-inhouden van de basisschool); het ontwerp geeft zicht op de wiskunde die aan de horizon ligt, waarbij de horizon over de grens po-vo kan liggen (dit sluit aan op het idee van horizon content knowledge, goed uitgewerkt voor inhouden die zichtbaar zijn in de basisschool, minder uitgewerkt voor inhouden die dat niveau overstijgen); er worden werkvormen gebruikt die een beroep doen op kennis en vaardigheden die van een leerkracht gevraagd worden, vergelijk Marcinek (Marcinek, 2012); het ontwerp bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond. De eerste drie principes worden afzonderlijk of in samenhang gehanteerd. Elk ervan wordt minimaal in één ontwerp verwerkt. Principe vier wordt in elk ontwerp verwerkt. 8.2 Hypothese De hypothese is dat, als het ontwerp voldoet aan de specifieke ontwerpprincipes, het mogelijk is om opleidingsonderwijs te ontwerpen waarbij studenten werken aan kennis van wiskunde en didactiek in samenhang. Mogelijk worden de ontwerpprincipes aangescherpt, verfijnd en aangevuld. 8.3 Deelvragen Maslowski & Visscher (1997) noemen criteria en vragen die bij een formatief evaluatieonderzoek een rol spelen: Het ontwerp is qua aantrekkingskracht, toegankelijkheid, begrijpelijkheid en bruikbaarheid voldoende afgestemd op de kenmerken van de doelgroep (de mate van 'publieksafstemming'). In hoeverre zijn de beoogde effecten van het ontwerp in termen van kennis, attitude, vaardigheid en gedrag optreden? Wat zijn potentiële ongewenste effecten van het ontwerp en hoe kunnen deze voorkomen worden? Toegepast op dit onderzoek leidt dat tot de volgende deelvragen: 17

18 Leidt het hanteren van de specifieke ontwerpprincipes ertoe dat de student: 1. de relevantie van de meer geavanceerde wiskunde voor zijn ontwikkeling inziet en dat hij gemotiveerd is om eraan te werken?; 2. zich de meer geavanceerde wiskunde eigen maakt?; 3. zich de didactische inzichten die in samenhang met die wiskunde aan de orde zijn, eigen maakt? Leidt het hanteren van ontwerpprincipe 4 ertoe dat de pabodocent rekenen-wiskunde, al of niet met wiskundebevoegdheid: 4. in staat en gemotiveerd is om het ontwerp in zijn onderwijs in te zetten? Hierbij wordt onder eigen maken verstaan dat de student de wiskundige kennis beheerst op het niveau van toepassen uit de taxonomie van Krathwohl (2002) en de vakdidactische kennis op het niveau van evalueren. 8.4 Ontwerpcriteria (generiek) Er is een aantal principes dat niet specifiek is voor dit onderzoek maar dat wel van belang is om een ontwerp te laten slagen. Hierbij worden ontwerpprincipes voor studentmateriaal en voor docentmateriaal onderscheiden. Met betrekking tot het studentenmateriaal voldoet het ontwerp aan de volgende criteria: Het ontwerp: hanteert de onderwijsprincipes van realistisch rekenen-wiskunde; maakt zichtbaar aan welke doelen wordt gewerkt. Dit betreft de wiskundige doelen uit de kennisbasis en de didactische doelen; leidt ertoe dat de student deze doelen bereikt; bevat een activiteit die de relevantie van de wiskundige inhoud voor de studenten verheldert; bevat aanvullend oefenmateriaal; bevat suggesties om het geleerde in de stagepraktijk te verdiepen; bevat uitwerkingen; is digitaal beschikbaar. Met betrekking tot het docentenmateriaal voldoet het ontwerp aan de volgende criteria: Het ontwerp: biedt de mogelijkheid flexibele aanpassingen te doen om tegemoet te komen aan verschillen in lestijd, opleidingsconcept in diverse instellingen en lesstijl van de docent; bevat opdrachten voor studenten die beschikbaar zijn in een PowerPoint presentatie en als werkmateriaal; bevat uitwerkingen; bevat een handleiding; bevat extra handvatten voor docenten zonder of met beperkte wiskundige achtergrond; is digitaal beschikbaar. 8.5 Inhoudsverkenning Hieronder volgt een beknopte verkenning van de onderwerpen talstelsels en (ontluikende) algebra. Na de beschrijving volgt bij elk onderwerp een opsomming van relevante doelen uit de toetsgids. De verkenning eindigt met het formuleren van een aantal ontwerpcriteria die specifiek zijn voor het betreffende onderwerp. Omdat ook niet wiskundig geschoolde pabodocenten met de ontwerpen moeten kunnen werken staan in de ontwerpen zelf uitgebreider inhoudsverkenningen. In de ontwerpen zelf staan tevens de didactische doelen die ermee worden nagestreefd. Hiervoor is gekozen omdat de ontwerpen in een meer gevorderd stadium moeten zijn om de didactische doelen adequaat te 18

19 kunnen formuleren. Om alvast een beeld te geven staat bij het onderwerp talstelsels na de doelen uit de toetsgids een aantal didactische doelen Talstelsels Aristoteles (in Boyer, 1989) heeft al geconstateerd dat het gebruik van het tientallig talstelsel slechts het resultaat is van een anatomische toevalligheid: de meeste mensen worden geboren met 10 vingers, ook in zijn tijd al. Boyer constateert fijntjes dat het vanuit wiskundig oogpunt beter was geweest als de oermens 4 of 6 vingers aan één hand had gehad. Een studie naar indianenstammen in de Amazone toont aan dat ongeveer eenderde van de stammen een tientallig, eenderde deel een vijftallig en ongeveer eentiende deel een twintigtallig talstelsel hanteerde (Menninger, 1979). De Babyloniers hanteerden het oudst bekende positiestelsel, met symbolen voor 10 en 1. Binnen een positie was dit stelsel additief. Het positiestelsel zelf was 60-tallig. De overblijfselen ervan bezorgen onze kinderen elk jaar nog hoofdbrekens bij het rekenen met tijd en, in mindere mate, het rekenen met hoeken. De Egyptenaren hanteerden een tientallig additief stelsel, de Romeinen een mengeling van vijf- en tientallig. Vanaf het getal 13 is er in het 10-tallig talstelsel een duidelijke verwijzing naar 10. Menninger (1979) geeft aan dat dit ook bij 11 en 12 het geval is. Elf betekent één-over en 12 twee-over. Hoewel de telwoorden al wel 10-tallig waren heeft het tot de dertiende eeuw geduurd voordat ze in Europa geschreven werden zoals ze werden uitgesproken, met de introductie van de Indische cijfers, die in Indie al vanaf 600 na Christus de basis vormden voor een 10-tallig stelsel. Vergelijk ons getal driehonderdvierentwintig. Wij schrijven 324, waarbij alleen de volgorde van de 2 en de 4 de uitspraak niet volgt. Voor invoering van de Indische cijfers werd dit geschreven als CCCXXIIII of CCCXXIV, maar al wel als driehonderdvierentwintig uitgesproken. In het basisonderwijs is er korte tijd een stroming geweest die poogde de leerlingen te leren rekenen door aan het begin van de leerlijn te starten met allerlei niet 10-tallige talstelsels. Door de opkomst van het realistische rekenen is deze trend niet doorgezet (Treffers, De stille rekenrevolutie, 2010i). Het rekenen in andere talstelsels wordt soms in het basisonderwijs gebruikt als reflectie op het geleerde. In sommige methodes werd bijvoorbeeld 8-tallig gerekend in groep 8. Uit het opleidingsonderwijs is het Land van Okt (Goffree, Het Land van Okt, 1995) bekend. In de informatica wordt het 2-tallig en 16-tallig stelsel gebruikt. Omdat geheugencellen in een computer twee waarden aan kunnen nemen worden getallen in computers voorgesteld als binaire getallen. Het 16-tallig stelsel maakt het mogelijk om snel en overzichtelijk 4 binaire cijfers te noteren. Doelen uit de toetsgids (Vakcommissie, 2013): De student weet: wat het verschil is tussen een getal en een cijfer; wat bedoeld wordt met: positioneel getallenstelsel, plaatswaarde of positiewaarde, decimaal (positioneel) getallensysteem of talstelsel, binair getallensysteem of talstelsel, octaal getallensysteem of talstelsel, hexadecimaal getallensysteem of talstelsel, sexagesimaal getallensysteem of talstelsel. De student kent: de betekenis van: eenheid, tiental, honderdtal, tiende, honderdste; plaatswaarde, positieschema; kenmerken van positionele en additieve getallenstelsels of talstelsels. De student kan: Romeinse cijfers tot duizenden gebruiken; 19

20 eenvoudige berekeningen maken in het binaire en achttallige stelsel; (andere) positionele getallenstelsels of talstelsels herkennen en in eenvoudige gevallen de betreffende getallen omrekenen naar het decimale stelsel, en vice versa. Daarnaast werkt de student aan een veelheid van andere doelen uit het domein getallen en hele getallen. Didactische doelen De student kent de volgende kerninzichten (Oonk, Keijzer, Lit, Engelsen, Lek, & Waveren-Hoogervorst, Kerninzichten, 2011), kan deze herkennen bij leerlingen, weet globaal langs welke lijnen leerlingen deze inzichten verwerven en welke kerndoelen erbij horen: Tientallige bundeling: het is efficiënt om aantallen te bundelen in bundels van 10, 100, 1000 enzovoort. Plaatswaarde: de waarde van een cijfer in een getal hangt af van de plaats waar het cijfer staat. De student ervaart hoe het handelingsmodel uit het protocol erwd (Groenestijn, Dijken, & Janson, 2012) hem helpt bij het verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden in het werken met diverse talstelsels, waardoor hij zijn begrip van dit didactische model verdiept. Specifieke ontwerpcriteria Het ontwerp laat iets zien van de ontwikkeling van ons 10-tallig stelsel Ontluikende algebra De overgang tussen rekenen en algebra wordt gemarkeerd door de overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt (Flores, 2002). Amerom (2002) constateert dat precies hierop de voornaamste leerproblemen van leerlingen betrekking hebben. Te onderscheiden zijn hierbij een proces- of een objectbenadering van algebra. Vanuit het rekenen zijn leerlingen bekend met de procesbenadering, bijvoorbeeld het opvatten van 3x+5 als vermenigvuldig eerst met 3 en tel 5 bij het resultaat op. Zij constateert tevens dat een rekenkundige benadering van algebra goed aansluit bij het niveau van leerlingen in groep 8. Vanuit een geschiedkundige benadering onderscheidt zij drie fasen in de ontwikkeling: Retorische fase: beschrijvingen in natuurlijke taal. Gesyncopeerde fase: beschrijvingen vermengd met afkortingen en wiskundige symbolen. Symbolische fase: de moderne algebraïsche symbolentaal. In functionele situaties gaat het bij algebra om het verband tussen grootheden. Deze verbanden worden door leerlingen al op jonge leeftijd gelegd, bijvoorbeeld in groep 4 bij de fase van begripsvorming in de leerlijn tafels. Als 1 auto 4 wielen heeft dan hebben 5 auto s 5 keer 4 wielen. Verbanden waarbij sprake is van een evenredig verband komen we tegen bij vermenigvuldigen, delen en verhoudingen. We zien hier gebruik van natuurlijke taal en wiskundige symbolen. Bij niet evenredige verbanden gaat het om bijvoorbeeld het goedkoopste telefoonabonnement waarbij naast een vast bedrag per maand kosten per hoeveelheid belminuten moeten worden betaald. Vergelijkbaar van structuur is een situatie met voorrijkosten en uurloon voor de reparateur van de centrale verwarming. Onder functionele contexten horen ook allerlei vuistregels, bijvoorbeeld de regel die het verband aangeeft tussen de tijd die verstrijkt tussen de bliksem en de donder en de afstand van het onweer, het uitrekenen van de BMI of vuistregels voor het berken van de verwachte lengte van een kind als de lengte van de ouders bekend is. In het referentiekader (Meyerink, 2009) staat dit type contexten met name bij niveau 2F en 3F. In de kennisbasis komt in het hoofdstuk verbanden geen algebra naar voren. Het gaat daar om grafieken en schema s. (Flores, 2002) beschrijft hoe geometrische representaties van relaties tussen getallen kunnen helpen bij de overgang van rekenen naar algebra. Tevens maakt hij duidelijk wat hierbij aandachtspunten zijn: De overgang van uitspraken over afzonderlijke gevallen naar overeenkomstige gegeneraliseerde uitspraken waarbij variabelen worden gebruikt. 20