HOOFDSTUK 1. α : (V,+) (S(X), )

Transcriptie

1 HOOFDSTUK 1 Affiene meetkunde 1.1 Affiene ruimten Definitie 1. Een affiene ruimte X over een vectorruimte V is een verzameling X (waarvan men de elementen punten noemt) met daarop een groep-actie α : (V,+) (S(X), ) die bovendien getrouw en transitief is (en dus ook strikt transitief wegens stelling 0.2.1). De dimensie van X, dimx, is de dimensie van V. (Sommige auteurs spreken over affiene ruimte X over een veld K als er een K-vectorruimte V bestaat met bovenvermelde eigenschappen.) Als men, zoals in 0.1, de linkse actie λ : V X X : (v,x) α v (x) beschouwt, geassocieerd met α, dan heeft deze de eigenschappen: v, w V, x X :λ(v+w,x) = λ(v,λ(w,x)) x X :λ(o,x) = x x, y X :!v V : λ(v,x) = y (AR1) (AR2) (AR3) (AR1), (AR2) zijn de linkse actie-eigenschappen van λ. (AR3) is de strikt transitiviteit van λ, die volgt uit de strikte transitiviteit van α. Omgekeerd, gegeven een linkse actie λ : V X X van de additieve groep (V,+) van een vectorruimte V op X met de bijkomende eigenschap (AR3), kan men de oorspronkelijke definitie 1 terugvinden door α : (V,+) (S(X), ) : v (α v : X X : x λ(v,x)) 7

2 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 8 (verifieer als oefening) Een equivalente (meer klassieke) definitie is dus: Definitie 1. Een affiene ruimte X over een vectorruimte V is een verzameling X voorzien van een afbeelding λ : V X X met volgende eigenschappen: v, w V, x X :λ(v+w,x) = λ(v,λ(w,x)) x X :λ(o,x) = x x, y X :!v V :λ(v,x) = y (AR1) (AR2) (AR3) Opmerking 1. (verifieer als oefening) Is X een affiene ruimte over V, en stelt men ρ : X V X : (x,v) λ(v,x), dan is ρ een rechtse actie van (V,+) op X (omdat (V,+) commutatief is!) met de eigenschap: x, y X :!v V : ρ(x,v) = y Er bestaat dus ook een rechtse versie van definitie 1! Voorbeeld 1. (verifieer als oefening) Elke vectorruimte V is op volgende natuurlijke wijze een affiene ruimte over zichzelf! Neem α : (V,+) (S(V), ) : v ( v : V V : u u+v) (Dit is een belangrijk voorbeeld waar we meermaals naar zullen refereren met de zinsnede Zij V een vectorruimte, beschouwd als affiene ruimte over V, bovendien zal later blijken (zie gevolg ) dat elke affiene ruimte affien isomorf is met een dergelijke structuur.) Voorbeeld 2. (verifieer als oefening) Is X een affiene ruimte over V d.m.v. α : (V,+) (S(X), ) en is F : V W een isomorfisme, dan is X ook een affiene ruimte over W d.m.v. β : (W,+) (S(X), ) : w α F 1 (w) Voorbeeld 3. (toepassing van voorbeeld 2) (verifieer als oefening) Neem voorbeeld 1 en F : V W = T (V) = { v v V } : v v

3 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 9 dan is ook V een affiene ruimte over T (V) door (T (V),+) (S(V), ) : v v Met voorbeelden 1 en 3 in het achterhoofd voert men volgende definitie en notaties in. Definitie 2. Zij X een affiene ruimte over V d.m.v. α : V S(X). Voor v V noteert men x+v i.p.v. α v (x) en noemt men α v : X X : x x+v de translatie bepaald door v (en men noteert soms v i.p.v. α v ). Voor een gegeven x, y X noteert men dan de unieke v V zodanig dat x+v = α v (x) = y door y x en de overeenkomstige α v wordt dan ook wel xy genoteerd. Men heeft zo een afbeelding θ : X X V : (x,y) y x. Houdt men x X vast, dan is θ x : X V : y y x een bijectie met inverse afbeelding ρ x : V X : v x+v. Door structuurtransport kan men op X de unieke K vectorruimte structuur plaatsen zodanig dat θ x (en dus ook ρ x ) een isomorfisme wordt. Men noteert X voorzien van deze vectorruimtestructuur door X x en spreekt van de vectorialisatie van X in x (Merk op dat x de nulvector is in deze vectorruimte X x ). Opmerking 2. Noteert men + de optelling en de scalaire vermenigvuldiging in X x, dan geldt x x (verifieer als oefening): y, z X : y+ z = y+(z x) x y X, β K : β y = x+β(y x) x (met + en zoals in definitie 2) De in definitie 2 ingevoerde: + : X V X : (x,v) x+v : X X V : (x,y) y x (in feite + = ρ van opmerking 1, = θ zie hoger) voldoen aan volgende rekenregels: Stelling x X, v,w V : (x+v)+w = x+(v+w) = (x+w)+v 2. x, y, z X : x+(y z) = y+(x z) i.h.b. x+(y x) = y 3. x, y X : y x = o V x = y 4. x, y, z X : (z y)+(y x) = z x ( Driehoeksregel ) 5. x, y X : (y x) = x y 6. x, y, z, t X : y x = t z z x = t y ( Parallellogramregel ) Bewijs. 1. (oefening) 2. x+(y z) = x+ z y = y+ z x = y+(x z) i.h.b. x+(y x) = y+(x x) = y+o = y

4 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE (oefening) 4. θ y ρ y = 1 V en dus ρ y ((z y)+(y x)) = y+((z y)+(y x)) (1),(2) = z+(y x) (2) = ρ y (z x) (z y)+(y x) = z x 5. (oef) 6. y x = t z z x (4) = (z y)+(y x) = (z y)+(t z) (4) = t y Net zoals we in een vectorruimte vectoren lineair, kunnen combineren, gaan we nu in een affiene ruimte punten affien combineren. De volgende stelling toont aan dat dit op een zinvolle manier kan gebeuren. Stelling 2. Zij y 1,...,y n een eindig aantal punten in een affiene ruimte X over een K vectorruimte V. Zij β 1,...,β n K met n β i = 1. Dan is het punt x+ n β i(y i x) onafhankelijk van de keuze van x in X. Bewijs. Zij x, x X, dan geldt wegens stelling 1 (verklaar alle stappen): x+ n β i (y i x) = x+ = x+ = x+ n ( n β i ( (yi x )+(x x) ) β i (y i x )+ n β i (x x) ( n β i (y i x )+(x x) = ( x+(x x) ) + = x + n β i (y i x ) n β i (y i x ) ) ) Opmerking 3. Met notaties van hiervoor geldt: in de vectorruimte X x. n n x+ i (y i x) = ρ x( β i θ x (y i ) β ) = n β i x y i Definitie 3. Het in stelling 2 gedefinieerde punt x+ n β i(y i x) van X noteert men n β iy i en noemt men een affiene combinatie van de punten y 1,...,y n met coëfficiënten β 1,...,β n (met n β i = 1). (Men spreekt ook van barycentrum (of zwaartepunt) van de familie van punten y 1,...,y n met respectievelijke massa s (β 1,...,β n ).)

5 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 11 Voorbeeld 4. (verifieer als oefening) x X : 1x = x Voorbeeld 5. (verifieer als oefening) x, y, z X : x+y+( 1)z = x+(y z) Voorbeeld 6. (verifieer als oefening) x, y 1,...,y n X, β 1,...,β n K met (wat natuurlijk de bedoeling was) Voorbeeld 7. (verifieer als oefening) n ( ) n β i = 1 : θ x β i y i = n β i θ x (y i ) In een K vectorruimte V, beschouwd als affiene ruimte over zichzelf (zie voorbeeld 1 ), valt n β i y i samen met de gewone lineaire combinatie n β i y i in V (met n β i = 1), die we in [KI] affiene combinatie in V genoemd hebben. Voorbeeld 8. (verifieer als oefening) a, b X, λ K : (1 λ)a+λb = a+λ(b a) Opmerking 4. Laat men voor λ 1,...,λ n K de eis n λ i = 1 in stelling 2 vallen, dan geldt voor x, y 1,...,y n X : x+ n λ i (y i x) = x+ n λ i (y i x)+(1 n λ i )(x x) st 2 = n λ i y i +(1 n λ i )x, hetgeen dus een affiene combinatie is van y 1,...,y n en x die duidelijk afhangt van x, zodra n λ i 1. Definitie 4. Zij X een affiene ruimte over een K-vectorruimte V en zij Y X. Y heet affiene deelruimte van X, notatie Y a X, indien Y stabiel is voor het nemen van affiene combinaties, d.w.z. n N 0, y 1,...,y n Y, β 1,...,β n K met Voorbeeld 9. (verifieer als oefening) a X Voorbeeld 10. (verifieer als oefening) Y i a X, i I i I Y i a X Voorbeeld 11. (verifieer als oefening) n β i = 1 geldt: n β i y i Y De affiene deelruimten van een K-vectorruimte V, beschouwd als affiene ruimte over zichzelf, zijn precies de affiene variëteiten van V (en zijn dus de lege verzameling of een nevenklasse van een deelruimte van V ). Voorbeeld 11 suggereert een aantal van de volgende equivalente karakterisaties van affiene deelruimte.

6 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 12 Stelling 3. Zij X een affiene ruimte over V en zij Y X, dan zijn volgende voorwaarden equivalent: 1. Y a X 2. y Y : θ y (Y) V 3. y Y : θ y (Y) V 4. W V, y Y : Y = y+w 5. W V : ( y Y : Y = y+w) 6. W V zodanig dat Y een affiene ruimte is over W d.m.v. de linkse actie λ W Y : W Y Y (waar λ : V X X zoals in definitie 1 ) (N.B.: θ y : X V : x x y ; λ : V X X : (v,x) x+v en y+w = {y+w w W }) Bewijs : Zij y Y (willekeurig), dan is θ y (Y) = {z y z Y } T.B. θ y (Y) is een deelruimte van V. (D0): (D1): (D2): : triviaal o = y y θ y (Y) z 1 y, z 2 y θ y (Y) y+((z 1 y)+(z 2 y)) = y+[(z 1 y)+(z 2 y) (y y)] st 2/def 3 = aff comb z 1 + z 2 +( 1)y Y daar Y a X (z 1 y)+(z 2 y) θ y (Y) z y θ y (Y), λ K λ(z y) θ y (Y) (oef) : Zij y Y met θ y (Y) V. Stel W = θ y (Y). Dan geldt: {z y z Y } = W Y = y+w : Zij Y = y+w voor een zekere y Y, W V. Zij z Y willekeurig, dan geldt: w W : z = y+w z+w = (y+w)+w = y+(w+w) = y+w : w W, y Y λ(w, y) = y+w y+w = Y λ(w Y) Y λ W Y : W Y Y is een linkse actie van W op Y. Bovendien strikt transitief want y, z Y( X) :!w V : λ(w, y) = y+w = z, wegens de strikt transitiviteit van λ, maar deze w W daar z Y = y+w w = z y W : Zij y 1,...,y n Y, β 1,...,β n K met n β i = 1, dan geldt wegens stelling 2 (toegepast op de affiene ruimte Y over W): y Y :

7 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 13 n β i y i = y+ n β i (y i y) y+w = λ(w {y}) λ(w Y) Y Y is dus stabiel voor het nemen van affiene combinaties en bijgevolg een affiene deelruimte van X. Opmerking 5. (verifieer als oefening) nu: 1. Bij stelling 3 valt op te merken dat in (2) en (3): θ y (Y) = θ z (Y) z Y in (4), (5) en (6): zelfs!w (W is uniek!) 2. We weten reeds, zie voorbeeld 10, dat voor {Y i i I}, een familie affiene deelruimten van X, geldt: Bovendien geldt: Als i I Y i : Y i a X i I Zij y Y i en Y i = y+w i (st 3(5)), dan is i = y+ i I i IY ( ) W i i I Naar analogie met het begrip voortgebrachte deelruimte van een vectorruimte definiëren we Definitie 5. Zij X een affiene ruimte over V en zij A X. De affiene omhullende affa van A in X (of de door A voortgebrachte affiene deelruimte van X) is de kleinste affiene deelruimte van X die A omvat, m.a.w. affa = {Y A Y a X}. [KI]) Het volgende resultaat is dan te verwachten (naar analogie met gelijkaardige resultaten in Stelling 4. Zij X een affiene ruimte over V en zij A X. 1. Is A =, dan is affa = 2. Is A, dan is voor elke a A : affa = a+vectθ a (A) in beide gevallen geldt: aff A = { affiene combinaties van elementen van A}. Bewijs. 1. A = aff = is evident daar a X Bovendien is dan ook {affiene combinaties van elementen van A} = 2. A

8 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 14 Zij a A (willekeurig). Dan geldt: affa = {Y A Y a X} definitie 5 = {a+w A a+w, W V } stelling 3(5) = {a+w θ a (A) W V } = a+ {W θ a (A) W V } = a+vectθ a (A) Stel Y = {affiene combinaties van elementen van A}. Dan geldt: i en omgekeerd, α i a i Y α i a i = a+α i (a i a) a+vectθ a (A) = affa i y affa = a+vectθ a (A) a 1,...,a n A, λ 1,...,λ n K : i y = a+λ i (a i a) i y = a+λ i (a i a)+ i ( y = λ i a i + i ( 1 λ i )a Y i 1 λ i )(a a) i Voorbeeld 12. (verifieer als oefening) aff{x} = x+vectθ x {x} = x+vect{o} = x+{o} = {x} (of: aff{x} = { affiene combinaties van elementen van {x}} = {1x} = {x}) Voorbeeld 13. (verifieer als oefening) a b aff{a, b} = {(1 µ)a+ µb µ K} (verklaar) Door met een Y a X een W V te associëren, zoals in stelling 3, kan men eenvoudig het begrip dimensie van een affiene deelruimte invoeren. { Definitie 6. Zij X een affiene ruimte over V en zij Y a X, dan is de dimensie van Y, dimy = 1 als Y = dimw als Y en Y = y+w W heet de richting(sruimte) van Y en Y 1, Y 2 a X heten parallel indien ze dezelfde richting hebben. We noteren dit Y 1 Y 2. Een affiene deelruimte met dimensie 1 heet een rechte van X. 2 vlak k k-vlak (als dimx < ) (dimx) 1 hypervlak Voorbeeld 14. Zij Y a X en dimy = 1 a Y, W V met dimw = 1 : Y = a+w

9 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 15 a Y, w V \ {o} : Y = a+vect{w} Y = a+vect{o, w} = a+vect{a a, b a} (b = a+w) = a+vectθ a {a, b} = aff{a, b} Dus de rechte Y is van de vorm aff{a, b} = {(1 µ)a + µb µ K} voor een keuze van a, b Y, a b. Naar analogie met [KI] zullen we deze rechte a, b noteren. Door rechten te gebruiken kunnen we het criterium van affiene deelruimte uit definitie 4 als volgt vereenvoudigen: Stelling 5. Zij X een affiene ruimte over een K-vectorruimte V en zij Y X. Dan geldt: (AD1) a,b Y : a b : a, b Y Y a X (AD2) a,b,c Y, d X : ab = cd d Y Indien in K, is voorwaarde (AD2) overbodig! Bewijs. Voor Y = is er niets te bewijzen. Stel dus Y. : Zij Y a X Dan (AD1) daar a, b = {(1 µ)a+ µb µ K} (AD2): Zij a, b, c Y, d X dan geldt: ab = cd b a = d c d = c+(b a) d = a+(c a)+(b a) }{{} θ a (Y) a+θ a (Y) = Y : Zij Y X met (AD1), (AD2). Kies a Y. Het volstaat te bewijzen dat θ a (Y) V (D0): o = a a θ a (Y) (D1): u, v θ a (Y) b, c Y : u = b a, v = c a a+(u+v) = a+(b a)+(c a) = c+(b a) (AD2) Y u+v θ a (Y) (D2): u θ a (Y), λ K b Y : u = b a als b = a als b a λu = λo = o (D0) θ a (Y) a+λu = a+λ(b a) a, b (AD1) Y λu θ a (Y)

10 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 16 Tenslotte als in K, dan bestaat 2 1 (genoteerd 1 2 ) en zullen we tonen dat (AD2) volgt uit (AD1). Zij a, b, c Y, d X en ab = cd a m b d c Figuur 1.1: het midden van [b, c] bestaat b, c Y m = 1 2 b+ 1 2 c ( = 1 1 ) b+ 1 c b, c 2 2 Maar m is ook het midden van [a,d], want (AD1) m Y m = 1 2 b+ 1 2 c = a+ 1 2 (b a)+ 1 (c a) 2 = a+ 1 ((d c)+(c a)) 2 = a+ 1 (d a) 2 = a+ 1 2 (a a)+ 1 (d a) 2 = 1 2 a+ 1 2 d d = a+(d a) = a+2(m a) a+vect{m a} = a,m (AD1) Y Eens het begrip dimensie van een affiene deelruimte is ingevoerd, kunnen we ons de vraag stellen of er ook een dimensiestelling bestaat, analoog met de dimensiestelling van Grassmann voor eindigdimensionale deelruimten S, T van een vectorruimte V, die zegt dat dims+dimt = dim(s T)+dim(S+T) De som van de affiene deelruimten is echter niet gedefinieerd, maar rekening houdend met S+T = vect(s T) is het duidelijk dat we, voor A, B a X, aff(a B) zullen kunnen gebruiken. Een ander verschil met de vectoriële situatie is dat, daar waar steeds S T voor S, T V, we in de affiene situatie onderscheid moeten maken tussen de situaties A B =, resp. A B.

11 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 17 Stelling 6. ( Dimensiestelling voor affiene deelruimten ) Zij A, B niet-lege eindigdimensionale affiene deelruimten van een affiene ruimte X over V, dan geldt 1. Als A B : dima+dimb = dim(a B)+dimaff(A B) 2. Als A B = : dima+dimb = dim(s T)+dimaff(A B) 1 Bewijs. waar S de richting is van A, en T de richting van B. 1. Zij x A B, S = θ x (A) en T = θ x (B) Dan is θ x (A B) = S T (verklaar) en θ x (aff(a B)) = vectθ x (A B) = vect(θ x (A) θ x (B)) = vect(s T) = S+T dima+dimb = dims+dimt Grassmann = dim(s T)+dim(S+T) = dim(a B)+dimaff(A B) 2. Zij A B =, A = a+s en B = b+t. We bewijzen eerst dat b a S+T ( ) Inderdaad, moest b a S+T, zou er een s S en een t T bestaan met b a = s+t. Stel dan x = a + s a + S = A. Ook geldt x = b + (x b) = b + (x a) + (a b) = b+s (s+t) = b t b+t = B. Dus is x A B, tegenspraak. We bewijzen nu dat aff(a B) = a+(s+t)+vect{b a} A = a+s a+(s+t)+vect{b a} B = b+t = a+(b a)+t a+(s+t)+vect{b a} A B a+(s+t)+vect{b a} }{{} a X Bovendien is dit ook de kleinste affiene deelruimte die A B omvat want zij A B a+u voor een U V, dan A = a+s a+u S U b = b+o b+t = B a+u b a U T (a b)+u U } S+T U +U U a+(s+t)+vect{b a} a+u b a U vect{b a} U

12 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 18 Er geldt dus dimaff(a B) = dim((s+t)+vect{b a}) G = dim(s+t)+ dimvect{b a} dim((s+t) vect{b a} ) 1 {o} daar b a o wegens ( ) (anders b = a A B) = dim(s+t)+1 G = dims+dimt dim(s T)+1 = dima+dimb dim(s T)+1 De stappen met een G aangeduid volgen door toepassing van de stelling van Grassmann. Kunnen we, in het eindigdimensionale geval de dimensie van een affiene (deel)ruimte ook karakteriseren als het aantal elementen van een affiene basis? Om affiene basissen in te voeren hebben we nog het begrip affien onafhankelijk nodig. (Het begrip voortgebrachte affiene deelruimte hebben we reeds ingevoerd, zie definitie 5). De volgende stelling toont aan dat dit op een aantal equivalente manieren kan gebeuren. Stelling 7. Zij X een affiene ruimte over een K-vectorruimte V en zij x 0,x 1,...,x n X. De volgende voorwaarden zijn equivalent: 1. j {0, 1,..., n} : x j / aff{x 0,x 1,..., x j,...,x n } 2. x 1 x 0, x 2 x 0,..., x n x 0 zijn lineair onafhankelijk in V 3. dimaff{x 0,x 1,...,x n } = n 4. Elk punt y aff{x 0,x 1,...,x n } kan op juist 1 manier geschreven worden als affiene combinatie n i=0 α ix i (met α 0,α 1,...,α n K met n i=0 α i = 1) Bewijs. (oefening) Definitie 7. De punten x 0,x 1,...,x n die voldoen aan één der voorwaarden van stelling 7 heten affien onafhankelijk in X. In dat geval vormen ze een affiene basis van de affiene deelruimte Y = aff{x 0,x 1,...,x n } van X. (Sommige auteurs spreken van een simplex in Y ). De α 0,α 1,...,α n K met n i=0 α i = 1 en zodanig dat y = n i=0 α i x i heten dan de affiene (of barycentrische) coördinaten van y t.o.v. de affiene basis (x 0,x 1,...,x n ) van Y. (We noteren (x 0,x 1,...,x n ) i.p.v. {x 0,x 1,...,x n } als we de basis willen ordenen.) Gevolg 1. (bewijs als oefening) dimx = n N er bestaan n+1 punten x 0,x 1,...,x n X die een affiene basis van X vormen. In dat geval hebben alle affiene basissen van X precies n + 1 elementen.

13 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 19 Voorbeeld 15. X = R 2 (als affiene ruimte over R 2 ). Elk drietal niet collineaire punten p, q, r van R 2 levert een affiene basis van R 2. I.h.b. is ((0,0),(1,0),(0,1)) de gewone affiene basis van R 2. (x,y) = (1 x y)(0,0)+x(1,0)+y(0,1) is de unieke schrijfwijze van stelling 7(4). 1.2 Affiniteiten en collineaties In [KI] 4.8 definieerden we affiene afbeeldingen tussen K-vectorruimten. We breiden deze definitie uit als volgt: Definitie 1. Zij X een affiene ruimte over een K-vectorruimte V en Y een affiene ruimte over een K-vectorruimte W. Een afbeelding f : X Y heet affien indien n N 0, x 0,x 1,...,x n X, α 0,α 1,...,α n K met n i=0 α i = 1 geldt: ( n i=0α i x i ) f = n i=0 α i f(x i ) (m.a.w. het beeld van een affiene combinatie van punten is dezelfde affiene combinatie van de beelden van deze punten.) Notatie. A (X;Y) = { f : X Y f affien} Een bijectieve affiene afbeelding heet affien isomorfisme. Een affiene permutatie van X heet een affiniteit van X. Notatie. GA(X) = { f : X X f affiniteit} Voorbeeld 1. (verifieer als oefening) v V : v : X X : x x+v is een affiniteit van X Voorbeeld 2. (verifieer als oefening) Zij A, B a X met A B = {x} en aff(a B) = X Zij A = x+s en B = x+t met S V en T V. Dan geldt: (verklaar) V = S T Zij pr T : V T : v = s+t t. Dan is pr B : X B : y x+ pr T (y x) een affiene afbeelding, die men de projectie van X op B, evenwijdig met A noemt. Net zoals men met een affiene (deel)ruimte een (deel)vectorruimte associeert, zullen we nu met een affiene afbeelding f : X Y (X, Y affiene ruimten over V, resp. W ) een lineaire afbeelding L f : V W associëren. Om dergelijke lineaire afbeelding te vinden is het alvast nuttig op te merken dat voor elk punt a van X een afbeelding f : X Y eveneens kan gezien worden als een afbeelding tussen de vectorruimten X a (vectorialisatie van X in a) en Y f(a). (Immers X a = X en Y f(a) = Y als verzameling!). Toch zullen we duidelijkheidshalve de afbeelding X a Y f(a) : x f(x) liever door f a noteren (om te beklemtonen dat we X en Y nu als vectorruimte met oorsprong a, resp. f(a) beschouwen). Dan geldt:

14 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 20 Stelling 1. Zij X een (niet-lege) affiene ruimte over een K-vectorruimte V en Y een (niet-lege) affiene ruimte over een K-vectorruimte W. Voor de afbeelding f : X Y zijn de volgende voorwaarden equivalent: 1. f A (X;Y) 2. a X : f a L (X a ;Y f(a) ) 3. a X : f a L (X a ;Y f(a) ) 4. F L (V ;W) : ( x 1,x 2 X : F(x 2 x 1 ) = f(x 2 ) f(x 1 )) 5.!F L (V ;W) : ( x 1,x 2 X : F(x 2 x 1 ) = f(x 2 ) f(x 1 )) Bewijs Zij f A (X;Y), dan is f a : X a Y f(a) lineair, want (verklaar elke stap) x 1, x 2 X, λ 1, λ 2 K geldt: opm f a (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = f(a+λ 1 (x 1 a)+λ 2 (x 2 a)) a a a opm = f(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 +(1 λ 1 λ 2 )a) affiene combinatie = λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )+(1 λ 1 λ 2 ) f(a) = f(a)+λ 1 ( f(x 1 ) f(a))+λ 2 ( f(x 2 ) f(a)) = λ 1 f(x 1) + λ 2 f(x 2) f(a) f(a) f(a) = λ 1 f a(x 1 ) + λ 2 f a(x 2 ) f(a) f(a) f(a) triviaal Zij f a L (X a,y f(a) ) voor een zekere a X. X a f a Yf(a) ρ a θ a θ f(a) V F W Stel F = θ f(a) f a ρ a (met ρ a = θ 1 a ). Dan is F lineair als samenstelling van lineaire afbeeldingen. Expliciet geldt: F : V W : v f(a+v) f(a) en dus ook f(a+v) = f(a)+f(v) voor elke v V. Voor elke x 1, x 2 X kunnen we dan schrijven: f(x 1 ) = f(a+(x 1 a)) = f(a)+f(x 1 a) en analoog f(x 2 ) = f(a+(x 2 a)) = f(a)+f(x 2 a) Dan volgt: (verklaar elke stap) f(x 2 ) f(x 1 ) = F(x 2 a) F(x 1 a) = F((x 2 a) (x 1 a)) = F(x 2 x 1 )

15 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE Zij F L (V ;W) zoals in (4) en zij G L (V ;W) een tweede lineaire afbeelding met G(x 2 x 1 ) = f(x 2 ) f(x 1 ) voor elke x 1 x 2 X Dan geldt voor elke v V : G(v) = G((a+v) a) = f(a+v) f(a) = F(v) en dus G = F Zij F L (V ;W) de lineaire afbeelding uit (5). Kies a X. Dan geldt voor elke x X: f(x) = f(a)+(f(x) f(a)) = f(a)+f(x a) Voor elke affiene combinatie n α ix i in X geldt dan: (verklaar elke stap) Bijgevolg is f affien. f ( n α i x i ) = f(a)+f = f(a)+f = f(a)+ = f(a)+ = n n n α i f(x i ) (( n α i x i ) a ( n α i (x i a) α i F(x i a) ) α i ( f(x i ) f(a)) ) Definitie 2. De unieke afbeelding F uit stelling 1 (1 5) heet de lineaire afbeelding geassocieerd met de affiene afbeelding f, en noteert men voortaan L f. In de volgende stelling groeperen we enkele nuttige eigenschappen van affiene afbeeldingen en hun geassocieerde lineaire afbeeldingen. Stelling De afbeelding L ( ) : A (X;Y) L (V ;W) is surjectief. (meer precies: gegeven F L (V ;W), dan is elke f A (X;Y) met L f = F van de vorm f : X Y : x b+f(x a) voor een zekere a X, b Y ) 2. f A (X;Y), g A (Y ;Z) g f A (X;Z) en L g f = L g L f 3. f A (X;Y) f is bijectief als en slechts als L f bijectief is en in dat geval geldt: f 1 A (Y ;X) en L f 1 = (L f ) 1

16 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 22 Bewijs. 1. Zij F L (V ;W). Kies a X en b Y. Stel f : X Y : x b+f(x a) ( b = f(a)) Dan geldt f A (X;Y) (vgl. bewijs van stelling 1 (5 1) ) en L f = θ f(a) f a ρ a = θ f(a) ρ f(a) F θ a ρ a = F Dus L () is surjectief. Bovendien f A (X;Y) en L f = F θ f(a) f a ρ a = F f a = ρ f(a) F θ a d.w.z. f : X Y : x f(a)+f(x a) 2. Zij f A (X;Y), g A (Y ;Z) (Z een affiene ruimte over U.) X a f a Yf(a) g f(a) Z g( f(a)) Kies a X. Wegens stelling 1 (1 2) geldt dan: ρ a ρ f(a) θ f(a) θ g( f(a)) V L f W Lg U f a L (X a,y f(a) ) en g f(a) L (Y f(a),z g( f(a)) ) en dus (g f) a = g f(a) f a L (X a,z g( f(a)) ) Wegens stelling 1 (3 1) geldt dan: Bovendien geldt dan: g f A (X;Z) L g f = θ (g f)(a) (g f) a ρ a = θ (g( f(a)) g f(a) f a ρ a = ( θ (g( f(a)) g f(a) ρ f(a) ) ( θ f(a) f a ρ a ) = L g L f 3. (oefening) Gevolg 1. Zij (X,V) en (Y,W) zoals hoger, dan geldt: 1. a X, b Y, F L (V ;W) :! f A (X;Y) : L f = F en f(a) = b; 2. GA(X)={ f : X X f affiniteit van X} is een permutatiegroep op X en Φ : (GA(X), ) (GL(V), ) : f L f is een groepsepimorfisme met KerΦ = T (X) = { v v V } Bewijs. (oefening)

17 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 23 Gevolg 2. Zij X een affiene ruimte over V. Beschouw V als affiene ruimte over zichzelf. Dan geldt: a X :! affien isomorfisme f A (X;V) : L f = 1 V en f(a) = o Bewijs. (oefening; toepassing van vorig gevolg) Net zoals men een F L (V ;W) uniek kan vastleggen door, na keuze van een basis van V, de beelden van de basisvectoren vast te leggen, geldt: Gevolg 3. Zij X een n-dimensionale affiene ruimte over V met affiene basis (x 0,x 1,...,x n ). Zij Y een affiene ruimte over W en (y 0,y 1,...,y n ); n+1 punten van Y. Dan! f A (X;Y) met f(x i ) = y i Bewijs. (oefening) f : X Y : i {0, 1,..., n} namelijk n i=0 α i x i n i=0 α i y i met n i=0 α i = 1 (gebruik dat f(x i ) = y i voor f A (X;Y) voor alle i {0, 1,..., n} betekent dat L f (x i x 0 ) = y i y 0 voor alle i {0, 1,..., n}) Gevolg 4. GA(X) werkt strikt transitief op de (geordende) affiene basissen van X. Bewijs. (oefening) Stelling 3. Zij f A (X;Y). Dan geldt: 1. A = aff(d) a X f(a) = aff( f(d)) a Y Is f bovendien injectief, en dima = n N { 1}, dan is dim f(a) = n 2. B a Y f 1 (B) a X Bewijs. 1. Evident is A = f(a) = a Y. Kies nu A = aff(d) ( D ). Kies a D, dan is A = aff(d) = a+u met U = vectθ a (D) f(a) = f(a+u) = { f(a+u) u U} = { f(a)+l f (u) u U} = f(a)+l f (U) a Y L f (U) W Bovendien geldt: L f (U) = L f (vectθ a (D)) = vectl f (θ a (D))

18 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 24 en geldt: L f (θ a (D)) = {L f (θ a (d)) d D} = {L f (d a) d D} = { f(d) f(a) d D} = θ f(a) ({ f(d) d D}) = θ f(a) f(d) Besluit: f(a) = f(a)+vect ( θ f(a) f(d) ) = aff( f(d)) Als bovendien A = a+u dimensie n heeft (n N) en f A (X;Y) injectief is, dan is ook L f injectief (verklaar), zodat f(a) = f(a)+l f (U) als dimensie heeft: dim f(a) = diml f (U) = dimu dim(u KerL f ) = dimu = n 2. (oefening) Uit stelling 3 (1) volgt i.h.b. dat een affiniteit van X rechten (= 1-dimensionale affiene deelruimten) op rechten stuurt. Zulke permutaties van X spelen een belangrijke rol. Daarom volgende definitie. Definitie 3. Zij X een affiene ruimte met dimx 2. Een permutatie f van X met de eigenschap: a, b X, a b : p a,b f(p) f(a), f(b), heet een collineatie van X. Notatie: f Col(X). Stelling 4. Col(X) is een permutatiegroep op X en GA(X) Col(X) Bewijs. (oefening) Men kan zich de vraag stellen of GA(X) = Col(X). Tegenvoorbeeld 1. Neem de Z 2 -vectorruimte Z 3 2, beschouwd als affiene ruimte over zichzelf. a, b Z 3 2, a b geldt: a,b = {(1 λ)a+λb λ Z 2 } = {a, b} Hieruit volgt dat Col(Z 3 2) = S(Z 3 2) Het volstaat nu een permutatie van Z 3 2 te vinden die een vlak van Z3 2 niet op een vlak van Z3 2 stuurt, die dus geen affiniteit van Z 3 2 is (wegens stelling 3(1)). Vind er één als oefening. Tegenvoorbeeld 2. Neem f : C 2 C 2 : (z 1,z 2 ) (z 1,z 2 ) en beschouw de C-vectorruimte C 2 als affiene ruimte over zichzelf. Toon aan dat f Col(C 2 ) \ GA(C 2 ).

19 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 25 De essentiële boosdoeners in deze tegenvoorbeelden zijn: in (1): het feit dat 1+1 = 0 in Z 2 (Z 2 heeft karakteristiek 2) in (2): het feit dat C C : z z een automorfisme is van het veld C, verschillend van de identiteit. We zullen niet de meest algemene hypothese formuleren waaronder Col(X) = GA(X) (zie bijvoorbeeld [BER] of [KL]), maar ons beperken tot het geval K = R dat beide vorige mankementen niet vertoont. Stelling 5. ( Fundamentele stelling van de reële affiene meetkunde ) Zij X een eindigdimensionale affiene ruimte over een reële vectorruimte V en zij dimx 2. Dan geldt: Col(X) = GA(X). Bewijs. Wegens stelling 4 volstaat het te bewijzen dat Col(X) GA(X). Zij f Col(X). De eerste stap van het (lange) bewijs dat f GA(X) bestaat erin aan te tonen dat f de volgende eigenschap bezit (die elke affiniteit van X bezit, zie stelling 3) Stap 1 Zij (a 0,a 1,...,a n ) een affiene basis van X (dus dimx = n 2) Stel A k = aff{a 0,a 1,...,a k }, dan geldt: 1. Stel A k = aff{ f(a 0),..., f(a k )}. f(a k ) = aff{ f(a 0 ),..., f(a k )} en dim f(a k ) = k We bewijzen dat f(a k ) A k voor alle k {0,..., n}. k = 0: triviaal k = 1: f(a 1 ) = f (aff{a 0, a 1 }) = f ( a 0,a 1 ) f Col(X) f(a 0 ), f(a 1 ) = A 1 Zij nu 2 k n en onderstel de eigenschap bewezen voor j < k. Stel p A k λ 0,λ 1,...,λ k R met k i=0 λ i = 1 : p = k λ i a i i=0 (a) Onderstel λ k 1 k 1 p = i=0 = (1 λ k ) λ i a i + λ k a k ( k 1 i=0 λ i 1 λ k a i ) + λ k a k k 1 λ i b,a k met b = a i A k 1 1 λ k i=0 f(b) f(a k 1 ) A k 1 A k en dus f(p) f Col(X) f(b), f(a k ) A k ((AD1) van stelling ) A k (b) Onderstel λ k = 1 A k k 1 p = i=0 λ i a i + a k met k 1 i=0 λ i = 0 Stel q = a 0 +(p a k ) = a 0 + k 1 λ i a i = (1+λ 0 )a 0 + k 1 λ i a i q A k 1 i=0

20 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 26 f(q) f(a k 1 ) A k 1 A k Stel m = 1 2 a p = 1 2 a k q, want p a k = q a 0 m a k,q f Col(X) f(m) f(a k ), f(q) A k A k A k Dan volgt: p a 0,m f(p) f(a 0 ), f(m) A k A 0 A k A k p a k m q a 0 Figuur 1.2: definitie van m Dus (1) bewezen 2. We bewijzen nu dat A k f(a k) voor alle k {0,..., n} Uit het ongerijmde: onderstel k {0,..., n} : A k f(a k) (noodzakelijk is dan k < n, want A n X = f(x) = f(a n )) Zij dan p A k \ f(a k) Daar p X = f(x)!x X : p = f(x) p A k \ f(a k) x X \ A k a 0,a 1,...,a n, x zijn affien onafhankelijk Vul aan tot een affiene basis (a 0,a 1,...,a k,x k+1 = x, x k+2,..., x n ) van X X = f(x) = f (aff{a 0,a 1,...,a k,x, x k+2,..., x n }) aff{ f(a 0),..., f(a k ), f(x) = p, f(x k+2 ),..., f(x n )} X (1) X = aff{ f(a 0 ),..., f(a k ), p, f(x k+2 ),..., f(x n )} f(a 0 ),..., f(a k ), p, f(x k+2 ),..., f(x n ) zijn affien onafhankelijk p / aff{ f(a 0 ),..., f(a k ), f(x k+2 ),..., f(x n )} p / aff{ f(a 0 ),..., f(a k )} = A k, wat strijdig is. 3. dima k = k voor alle k {0,..., n} Het volstaat te bewijzen dat f(a 0 ),..., f(a k ) affien onafhankelijk zijn. Uit het ongerijmde: onderstel f(a 0 ),..., f(a k ) affien afhankelijk voor een zekere k {0,..., n}. Dan zijn f(a 0 ),..., f(a k ), f(a k+1 ),..., f(a n ) affien afhankelijk.

21 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 27 Stap 2 dima n < n, maar A n = f(a n ) = f(x) = X (verklaar) dimx < n wat strijdig is. 1. T.B. R rechte van X f(r) rechte van X R = p,q = aff{p, q} met p, q affien onafhankelijk (d.w.z. p q) Stap 1 f(r) = aff{ f(p), f(q)} = f(p), f(q) met dim f(r) = 1 2. T.B. R, S rechten van X en R S f(r) f(s) Stap 3 Zij R = S dan is dit evident (want dan is f(r) = f(s)) Onderstel R S, met R S. Zij A = aff(r S) dima = 2 (verklaar) Stap 1 f(a) eveneens een vlak. R, S A f(r), f(s) f(a) Het volstaat nu te bewijzen dat f(r) f(s) = Uit het ongerijmde: onderstel p f(r) f(s) f bijectief! p R S : p = f(p) R S, wat strijdig is met R S en R S. Kies een oorsprong o X. Zij o = f(o). dan geldt: 1. f o (x+ o y) = f o (x)+ o f o (y) x, y X f o L (X o ;X o ) (vgl met st 1) (a) x, y lineair onafhankelijk in X o (door toepassing van stap 2) x+ o y f = f o f(y) f(x+ y) = f(x)+ f(y) o o y f(x) x o o Figuur 1.3: f o toepassen (b) x, y lineair afhankelijk in X o λ R : y = λ o x (als x = o is (1) triviaal) Daar dimx o = dimx 2 bestaat een z X o lineair onafhankelijk van x en y en dus ook van x+ o y. We noteren nu gewoon + i.p.v. + o of + o f((x+y)+z) f(x+(y+z)) (a) = f(x+y)+ f(z) (a) = f(x)+ f(y)+ f(z) (a) = f(x)+ f(y+z) f(x+y) = f(x)+ f(y)

22 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 28 (Verifieer dat x en y+z lineair onafhankelijk zijn.) 2. f o (λ x) = λ f o (x) x X, λ R o o Zij x = o (2) is voldaan. Zij λ = 0 (2) is voldaan. Onderstel nu x o en λ 0, dan geldt: o, x en λ x collineair o f Col(X) o = f o (o), f o (x) en f o (λ x) collineair o ϕ(λ,x) R : f o (λ x) = ϕ(λ,x) f o (x) o o We vereenvoudigen weer de notatie, dus f(λx) = ϕ(λ,x) f(x). Neem x, y lineair onafhankelijk in X o f(x), f(y) ook lineair onafhankelijk in X o (verklaar) Dan geldt: (verklaar) f(λ(x+y)) = ϕ(λ,x+y) f(x+y) = ϕ(λ,x+y) f(x)+ f(y) = ϕ(λ,x+y) f(x)+ϕ(λ,x+y) f(y) f(λx+λy) = f(λx)+ f(λy) = ϕ(λ,x) f(x)+ϕ(λ,y) f(y) ϕ(λ,x+y)=ϕ(λ,x)=ϕ(λ,y) Hieruit volgt dat ϕ(λ,x) in feite alleen van λ afhangt (hoe behandel je x en y lineair afhankelijk in X o?) We hebben dus een afbeelding: ϕ : R R : λ ϕ(λ) gedefinieerd door f(λx) = ϕ(λ) f(x) (voor om het even welke x o) We moeten dus nu bewijzen dat ϕ = 1 R om (2) te bewijzen. Wegens een belangrijke eigenschap van het veld R die zegt dat het enige automorfisme van het veld R de identieke afbeelding is (zie [K-K] blz 299, [KL] blz 139), volstaat het te bewijzen dat ϕ Aut (R) d.w.z. λ,µ R : ϕ(λ + µ) = ϕ(λ)+ϕ(µ), ϕ(λ µ) = ϕ(λ)ϕ(µ) en ϕ bijectie Zij x o f(x) o en f(λx+ µx) = f(λx)+ f(µx) = ϕ(λ) f(x)+ϕ(µ) f(x) = (ϕ(λ)+ϕ(µ)) f(x) f((λ + µ)x) = ϕ(λ + µ) f(x) ϕ(λ + µ) = ϕ(λ)+ϕ(µ)

23 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 29 ϕ is injectief, want ϕ is surjectief, want f(λ(µx)) = ϕ(λ) f(µx) = (ϕ(λ)ϕ(µ)) f(x) f((λ µ)x) = ϕ(λ µ) f(x) ϕ(λ µ) = ϕ(λ)ϕ(µ) ϕ(λ) = 0 x o : o = ϕ(λ) f(x) = f(λx) λx = o λ = 0 λ R : x o : λ f(x) o, f(x) = f(o), f(x) = f ( o,(x ) λ R : λ f(x) = f(λx) = ϕ(λ) f(x) λ = ϕ(λ) Besluit: f o L (X o ;X o ) f A (X;X). Bovendien is f bijectief f GA(X) 1.3 Stellingen van Thales, Pappus en Desargues De stelling van Thales handelt over het begrip deelverhouding van een drietal collineaire punten dat we even herhalen. Definitie 1. Zij X een affiene ruimte over een K-vectorruimte V. Zij a, b X, a b. Zij x a,b. De deelverhouding van het drietal (a,b,x) (let op de volgorde) is gedefinieerd door: DV(a,b,x) = λ K x = (1 λ)a+λb We noteren de deelverhouding van het drietal (a, b, x) als DV(a, b, x). (vergelijk met de definitie in [KI] in het kader van een vectorruimte) Hebben we 4 collineaire punten, dan is volgende eigenschap nuttig (zie o.a. het bewijs van stelling van Pappus) Lemma 1. Zij R een rechte in een affiene ruimte X. Zij a, b, x R, b a x. Dan geldt: y R : DV(a,b,y) = DV(a,b,x) DV(a,x,y) Bewijs. Stel DV(a,b,x) = λ x = (1 λ)a+λb en

24 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 30 stel DV(a,x,y) = µ y = (1 µ)a+ µx y = (1 µ)a+ µ ((1 λ)a+λb) = a+(1 µ)(a a)+ µ (1 λ)a+λb a }{{} =a+λ(b a) = a+(µλ)(b a) = a+(λ µ)(b a) = (1 λ µ)a+(λ µ)b DV(a,b,y) = λ µ = DV(a,b,x) DV(a,x,y) Stelling 1. (Thales) Zij R,R rechten in een affiene ruimte X. Zij R R = {a}, b,c R \{a} en b,c R \{a}. Dan geldt: b,b c,c DV(a,b,c) = DV(a,b,c ) b c R a b Figuur 1.4: Thales c R Bewijs. Vectorialiseer X in a en beschouw de optredende punten nu als vectoren in X a (dus i.h.b. a = o) : b,b c,c c c = λ(b b) voor een zekere λ K (alle optredende vectoriële bewerkingen zijn nu in X a ) DV(a,b,c) = µ c = µb (in X a is a = o!) DV(a,b,c ) = µ c = µ b c = c+λ(b b) b en b lineair onafhankelijk in X a µ λ = 0 en λ = µ DV(a,b,c) = µ = µ = DV(a,b,c ) c = µb+λ(b b) µ b = (µ λ)b+λb

25 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 31 : DV(a,b,c) = DV(a,b,c ) = µ c = µb, c = µb in X a c c = µ(b b) b,b c,c Stelling 2. (Pappus) Zij R,R verschillende rechten in een affien vlak X. Zij a,b,c R en a,b,c R (alle 6 punten verschillend en verschillend van x als R R = {x}). Dan geldt: a,b a,b en b,c b,c a,c a,c a b c R c b a R Figuur 1.5: Pappus Bewijs. 1. Zij R R = {x} Thales DV(x,a,b) = DV(x,b,a ) en DV(x,b,c) = DV(x,c,b ) Lemma 1 DV(x,a,c) = DV(x,a,b)DV(x,b,c) = DV(x,b,a )DV(x,c,b ) = DV(x,c,b )DV(x,b,a ) Lemma 1 = DV(x,c,a ) Thales a,c a,c 2. Zij R R a,b a,b b,c b,c R R b a = a b b a = a b R R c b = b c c a = a c a,c a,c Stelling 3. (Desargues) Zij R, S, T drie verschillende rechten in een affiene ruimte X. Zij (i) R S T = {x} of (ii) R S T. Zij a, a R; b, b S, c, c T (alle 6 punten verschillend en verschillend van x in geval (i)). Dan geldt: a,b a,b en b,c b,c a,c a,c

26 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 32 x c b c b T S a a R Figuur 1.6: Desargues Bewijs. (i) a,b a,b b,c b,c DV(x,a,a ) = DV(x,c,c ) Thales DV(x,a,a ) = DV(x,b,b ) Thales DV(x,b,b ) = DV(x,c,c ) Thales a,c a,c (ii) (oefening) 1.4 Elementen van synthetische vlakke affiene meetkunde Net zoals de ontwikkeling van de analytische meetkunde via de lineaire algebra in eerste kandidatuur, hebben we hier ook de affiene meetkunde ontwikkeld steunend op de lineaire algebra. Deze werkwijze wordt de analytische affiene meetkunde genoemd. Men kan echter ook de synthetische methode volgen waarbij men een affiene ruimte bepaalt door zijn punten en rechten (en de bijhorende verzamelingtheoretische incidentie - eigenschappen) en een aantal goed gekozen basisaxioma s. We zullen in deze paragraaf een gedeelte van de synthetische affiene meetkunde van het vlak ontwikkelen en de bekomen structuur vergelijken met deze van een affien vlak over een vectorruimte. Daarbij zullen we de belangrijke rol van Pappus- en Desargueseigenschappen ontdekken. Definitie 1. Een (axiomatisch) affien vlak (A, R) bestaat uit een verzameling A waarvan men de elementen punten noemt en een verzameling R van deelverzamelingen van punten, die men rechten noemt zodanig dat volgende axioma s gelden: (A1) p, q A, p q!r R : {p,q} R (We noteren die rechte p,q ) (A2) p A, R R, p / R!R R : p R en R R = (A3) p, q, r A : p, q en r niet-collineair (d.w.z. R R : p,q,r R) Bovendien zegt men dat twee rechten R,S R parallel zijn, indien R = S of R S =. We noteren dit R S. (Men kan dus in (A2) evengoed schrijven R R i.p.v. R R =. (A2) wordt trouwens ook het parallellenpostulaat of axioma van Playfair genoemd.) Aan voorbeelden geen gebrek Stelling 1. Elk affien vlak over een vectorruimte (met rechten zoals definitie ) is een axiomatisch affien vlak.

27 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 33 Bewijs. (oefening) Het omgekeerde is echter niet waar! Voorbeeld 1. ( affien vlak van Moulton ) Neem A = R 2 (als verzameling punten) en R = { dalende rechten van R 2 (d.w.z met vgl. y = ax+b en a 0)} { verticale rechten van R 2 (d.w.z met vgl. x = c)} { gebroken strikt stijgende { rechten van R 2 } (d.w.z{(x,y) R 2 a(x x 0 ) als x x 0 y = a 2 (x x en a > 0}) 0) als x x 0 Toon als oefening aan dat axioma s (A1), (A2) en (A3) vervuld zijn. We kunnen aantonen dat (A, R) geen affien vlak is over een vectorruimte door vast te stellen dat bijvoorbeeld de kleine Desargues-eigenschap (dit is stelling 1.3.3, geval (ii)) niet geldt: R S T a b c a b c Figuur 1.7: Vlak van Moulton Opmerking 1. Vanaf nu noteren we een axiomatisch affien vlak (A,R) kort door A. We definiëren en onderzoeken nu zekere permutaties van een axiomatisch affien vlak die we ook tegenkwamen in de analytische affiene meetkunde. Definitie 2. Zij A een (axiomatisch) affien vlak. Een (affiene) collineatie van A is een permutatie van A die rechten op rechten stuurt. Een dilatatie in A is een collineatie δ : A A met de eigenschap: a, b A, a b : a,b δ(a),δ(b) (m.a.w. een permutatie van A die elke rechte in A op een evenwijdige rechte stuurt.) Stelling Col(A) = { f : A A f collineatie } en Dil(A) = {δ : A A δ dilatatie } zijn permutatiegroepen op A. 2. Een dilatatie in A met 2 fixpunten is de identiteit op A 3. Een dilatatie in A is volledig bepaald door de beelden van twee verschillende punten van A.

28 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 34 Bewijs. 1. (oefening) 2. Zij δ Dil(A) met fixpunten a, b A(a b) Neem { c A \ a, b (bestaat wegens axioma (A3)) a,δ(c) = δ(a),δ(c) a,c δ(c) a,c b,δ(c) = δ(b),δ(c) b,c δ(c) b,c δ(c) = c δ is de identiteit op (A \ a,b ) {a, b} Neem { nu d a,b \ {a, b}. a,δ(d) = δ(a),δ(d) a,d δ(d) a,d c,δ(d) = δ(c),δ(d) c,d δ(d) c,d δ(d) = d δ is de identiteit op a, b Besluit: δ = 1 A 3. Zij a, b A, a b en δ 1, δ 2 Dil(A) met δ 1 (a) = δ 2 (a) en δ 1 (b) = δ 2 (b) Wegens (1) is δ2 1 δ 1 Dil(A) en deze voldoet aan: (δ2 1 δ 1 )(a) = δ2 1 (δ 1 (a)) = a en (δ2 1 δ 1 )(b) = δ2 1 (δ 1 (b)) = b Wegens (2) is δ2 1 δ 1 = 1 A δ 1 = δ 2 Translaties in A worden als volgt ingevoerd: Definitie 3. Een translatie in A is een dilatatie in A zonder fixpunten of de identiteit 1 A. Noteer T (A) = {τ : A A τ translatie} Stelling τ T \ {1 A }; a, b A a,τ(a) b,τ(b) 2. T (A) is een permutatiegroep op A, bovendien geldt: T (A) Dil(A) Bewijs. 1. Als a = b, dan is τ(a) = τ(b) a,τ(a) = b,τ(b) Als a b en τ(a) a,b, dan ook τ(b) a,b (omdat τ Dil(A) a,b τ(a),τ(b) ) en dus a,τ(a) = a,b = b,τ(b) Als a b en τ(a) / a,b, dan hebben we de volgende situatie met a,b τ(a),τ(b). a τ(a) x b τ(b) Figuur 1.8: bestaat x? We moeten aantonen dat a, τ(a) b, τ(b) = (zie definitie parallellisme).

29 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 35 Uit het ongerijmde: onderstel x a, τ(a) b, τ(b) τ(x) = x x a,τ(a) a,x = a,τ(a) τ Dil(A) a,x τ(a),τ(x) x b,τ(b) b,x = b,τ(b) τ Dil(A) b,x τ(b),τ(x) τ heeft een fixpunt, wat strijdig is met τ T (A) \ {1 A } 2. (oefening) } } τ(x) a,τ(a) verklaar τ(x) b,τ(b) verklaar Het affiene vlak van Moulton leert ons dat de Desargues-stelling niet volgt uit de axioma s (A1), (A2) en (A3). (Hetzelfde geldt voor de Pappus-eigenschap, daar Pappus Desargues: zie verder). Deze eigenschappen zijn dus bijkomende eigenschappen die een axiomatisch affien vlak eventueel kan hebben en die we als volgt zullen noteren en nummeren: (A4) Kleine Desargues eigenschap (geval (ii) van stelling ) (A5) Grote Desargues eigenschap (geval (i)van stelling ) (A6) Pappus-eigenschap Het verband tussen deze eigenschappen en het bestaan van dilataties en translaties wordt geleverd door de volgende stellingen. Stelling 4. Zij A een (axiomatisch) affien vlak. Dan geldt: (A5) is geldig in A x, a, a A, x, a, a collineair en a x a,!δ Dil(A) : δ(x) = x, δ(a) = a Bewijs. : Is a = a, dan is δ = 1 A (zie stelling 2) Stel nu a a. Kies b A \ x,a. Zij L de rechte door a en L a,b ((A2)). Definieer nu b = δ(b) door {b } = L x,b. (Waarom snijden L en x,b?) Dit definieert δ op A \ x,a. Zij nu y x,a. Zij M de rechte door b en M b,y. Definieer nu y = δ(y) door {y } = M x,a. Merk op y = x y = x en y = a y = a. De afbeelding δ is dus overal gedefinieerd en y a y a x M L b b = δ(b) Figuur 1.9: definitie δ voldoet aan de eisen δ(x) = x en δ(a) = a. We moeten echter nog 3 dingen verifiëren.

30 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE δ is goed gedefinieerd (hangt de constructie van y niet af van de initiële keuze van b?) Zij c A \ x,a, c b en y x,a c = δ(c) is gedefinieerd door {c } = N x,c, waar a N en N a,c. Om na te x y a y M N L a c b b = δ(b) c Figuur 1.10: definitie δ onafhankelijk van keuze van b gaan dat we y = δ(y) eveneens bekomen als we van c vertrekken i.p.v. b volstaat het te tonen dat c,y c,y 2. δ Dil(A) a,c N = a,c a,b L = a,b b,c b,c b,y M = b,y } (A5) b,c b,c } (A5) c,y c,y δ is een permutatie van A: de constructie van δ is immers omkeerbaar (construeer analoog b = δ 1 (b ), y = δ 1 (y )) δ is een collineatie Zij b, c, d A met b, c en d collineair. Zij b = δ(b), c = δ(c), d = δ(d) (gecon- a x a d c c d b b Figuur 1.11: δ is een collineatie

31 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 37 strueerd zoals hoger). a,b a,b a,c a,c a,c a,c a,d a,d } (A5) b,c b,c } (A5) c,d c,d b, c en d ook collineair (Pas het bewijs aan als één of alle drie der punten b, c, d op x,a ligt) 3. δ is uniek met deze eigenschap. Zij δ 1, δ 2 Dil(A) met δ 1 (x) = x = δ 2 (x) en δ 1 (a) = a = δ 2 (a) Wegens stelling 2 geldt: δ 1 = δ 2 : (oefening) Stelling 5. Zij A een (axiomatisch) affien vlak. Dan geldt: (A4) is geldig in A a, a A,!τ T (A) : τ(a) = a Bovendien commuteren dan elke twee translaties. Bewijs. : Zij a = a, dan is wegens definitie 3 τ = 1 A en hoeven we verder niets te bewijzen. Zij a a, dan construeren we τ eerst op A \ a,a en daarna op a,a (zie figuur 1.12). Vervolledig het bewijs zoals in stelling 4. a y a L y = τ(y) M b b = τ(b) Figuur 1.12: τ definiëren : (oefening) Rest nog te bewijzen dat dan τ 1, τ 2 T (A) geldt: τ 1 τ 2 = τ 2 τ 1 1. als τ 1 = 1 A of τ 2 = 1 A dan volgt onmiddellijk dat τ 1 τ 2 = τ 2 τ 1 2. Onderstel τ 1, τ 2 T (A) \ 1 A. Zij a A, a = τ 1 (a), a = τ 2 (a).

32 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 38 eerste geval: a, a, a niet-collineair. Dan is noodzakelijk τ 1 (a ) = τ 2 (a ) (verklaar) (τ 1 τ 2 )(a) = τ 1 (τ 2 (a)) = τ 1 (a ) = τ 2 (a ) = τ 2 (τ 1 (a)) = (τ 2 τ 1 )(a) en dus τ 1 τ 2 = τ 2 τ 1 (waarom?) a a τ 1 (a ) = τ 2 (a ) a Figuur 1.13: eerste geval tweede geval: a, a en a collineair Neem een punt a A dat niet op de rechte door a, a en a ligt. Zij σ T (A) met σ(a) = a (σ bestaat en is uniek wegens de onderstelling). Daar a, a, a en a, a, τ 2 (a ) niet-collineair zijn geldt wegens het eerste geval: τ 1 σ = σ τ 1 en resp. τ 1 (τ 2 σ) = (τ 2 σ) τ 1 en volgt dat: τ 1 τ 2 = τ 1 (τ 2 σ) σ 1 = (τ 2 σ) τ }{{} 1 σ 1 = τ 2 τ 1 σ σ 1 = τ 2 τ 1 =τ 1 σ Stelling 6. (Hessenberg) Zij A een (axiomatisch) affien vlak. Dan geldt: (A6) is geldig in A (A5) is geldig in A Bewijs. Zij gegeven (zie figuur 1.14, zonder de stippellijnen) de configuratie van de Grote Desargues stelling (zie stelling (i)) met R, S, T drie verschillende rechten en R S T = {x}. Zij a, a R; b, b S, c, c T (alle 6 punten verschillend en verschillend van x) met a,b a,b en b,c b,c. We moeten aantonen d.m.v. de stelling van Pappus dat a,c a,c Zij {p} = a,b L, waar L de rechte is door x en evenwijdig met b,c. (Het geval dat p niet bestaat, nl. L a,b, leidt tot b,c = a,b = a,c en dan volgt dadelijk dat a,c a,c, verklaar)

33 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 39 c T r c x b b S L a p a R q Figuur 1.14: Stelling van Hessenberg Zij {q} = b,c p,a, S bevat de punten x, b en b p,q bevat de punten p, a en q en b, p = a,b a,b p,x b,c b,c = b,q Pappus x,a q,b q,b snijdt dus T (waarom?). Stel {r} = q,b T T bevat de punten x, r en c a,b bevat de punten p, a en b en p,x = L c,b x,a = x,a q,b = b,r T bevat de punten x, r en c p,q bevat de punten p, a en q en r,q = b,q a,x x, p b,c b,c = q,c Pappus Tenslotte ( ), ( ) a,c a,c (Wat als q niet bestaat?) Stelling 7. Zij A een (axiomatisch) affien vlak. Dan geldt: a,c r, p Pappus p,r c,a (A5) is geldig in A (A4) is geldig in A Bewijs. Zij gegeven (zie figuur 1.15, zonder de stippellijnen) de configuratie van de Kleine Desargues stelling (zie stelling (ii)) met R S T, met a,b a,b en b,c b,c. We moeten aantonen dat a,c a,c. 1. Zijn a, b en c collineair, dan zijn a, b en c het ook (waarom?) en dus

34 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 40 c c c T x a a a b b S R Figuur 1.15: Grote Desargues impliceert Kleine Desargues a,c = a,b a,b = a,c. 2. Onderstel a, b en c niet-collineair. Zij L de rechte door a en L a,c. L snijdt b,c in een punt c (want indien niet, dan zou L b,c b,c a,c b,c a, b en c collineair) Uit het ongerijmde: onderstel c c c,c snijdt S = b,b in een punt x (verklaar) x,a snijdt dan L in een punt a (verklaar) Pas de Grote Desargues -stelling toe op de rechten x,a, S = x,b en x,c. Uit b,c b,c = b,c en a,c L = a,c, volgt dan dat a,b a,b, hetgeen strijdig is met a,b a,b (verklaar) Dus geldt: c = c a,c L = a,c = a,c. Stelling 8. Zij A een (axiomatisch) affien vlak waarin (A6) geldt. Dan bestaat er een veld K zodanig dat A isomorf is met K 2 als affien vlak in de zin dat er een bijectie ϕ : A K 2 bestaat die rechten op rechten stuurt. Bewijs. 1. Bepaling van (K, +, ) Kies een rechte R in A en daarop twee verschillende punten die we 0 en 1 noemen. Zij a R: (A6) (A4) st 5! translatie τ a T (A) : τ a (0) = a Indien a R \ {0}: (A6) (A5) st 4! dilatatie δ a Dil(A) : δ a (0) = 0, δ a (1) = a Neem nu K = R, en definieer: Stelling 3 en 5 + : K K K : (a,b) a+b = (τ a τ b )(0) = τ a (b) T (A) is een commutatieve groep (K,+) is een commutatieve groep met neutraal element 0 verifieer (N.B. a = τa 1 (0)) Definieer: a = 0 0 als of b = 0 : K K K : (a,b) a b = of a = b = 0 (δ a δ b )(1) = δ a (b) als a 0 b

35 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 41 Stelling 2 Dil(A) is een groep (K \ {0}, ) is een groep met neutraal element 1 verifieer (N.B. a 1 = δa 1 (1)) Blijft nog T.B.: a b = b a a, b K (2) 2. a b = b a a, b K (a+b) c = a c+b c a, b, c K (3) a (b+c) = a b+a c a, b, c K volgt uit (2) en (3) Voor a = 0 of b = 0 of a = b = 0 geldt dat a b = 0 = b a (definitie van a b) Ook voor a b = 1 geldt: a b = b a immers a b = 1 a 1 a 1 a b = a 1 b = a 1 b a = 1 Onderstel dus nu a 0 b en a b 1 Kies R in A door 0, met R R. Kies p R \ {0}. Kies r R \ {0} Zij q = δ a (p) R r q p R o p q r R Figuur 1.16: a b = b a? en q = δ b (r ) R Vervolgens zij r = δ b (q) R en p = δ a (q ) R δ a dilatatie δ a p,q = q, p p,q δ b dilatatie δ b q,r = r,q q,r (A6)(Pappus-eigenschap) p,r r, p Om te bewijzen dat a b = b a volstaat het aan te tonen dat de dilataties δ a δ b en δ b δ a gelijk zijn. Daar reeds (δ a δ b )(0) = 0 = (δ b δ a )(0) volstaat het wegens stelling 4 nog aan te tonen dat (δ a δ b )(p) = (δ b δ a )(p) We hebben (δ b δ a )(p) = δ b (δ a (p)) = δ b (q) = r en (δ a δ b )(r ) = δ a (δ b (r )) = δ a (q ) = p Daar {p} = p,r R en δ a δ b een dilatatie is geldt: {(δ a δ b )(p)} = (δ a δ b )( p,r ) (δ a δ b )(R) = r, verklaar! p R = {r} (δ a δ b )(p) = r = (δ b δ a )(p) 3. (a+b) c = a c+b c a, b, c K Voor c = 0 geldt: (a+b) 0 = 0 = 0+0 = a 0+b 0 Onderstel dus c 0 ( δ c bestaat) (a+b) c = τ (a+b) c (0) en a c+b c = (τ a c τ b c )(0) Nu geldt: τ a c = δ c τ a δc 1, immers het rechterlid is een translatie daar T (A) Dil(A)

36 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 42 (stelling 3) en ( δc τ a δc 1 ) (0) = (δc τ a )(0) = δ c (a) = a c = τ a c (0) analoog geldt:τ b c = δ c τ b δ 1 c (verifieer alle stappen) (a+b) c = a c+b c τ a c τ b c = ( δ c τ a δ 1 c 4. Bepaling van de bijectie ϕ : A K 2 = δ c (τ a τ b )δ 1 c = δ c τ a+b δ 1 c = τ (a+b) c ) ( δc τ b δ 1 ) (m.a.w. coördinatisering van A d.m.v. K) Kies R zoals hoger en kies 1 R \ {0}. Elk R c q p 1 1 a R Figuur 1.17: coördinatisering van A punt a van R geven wij de coördinaten (a,0) K 2. Dus ϕ R : R K 2 : a (a,0) (i.h.b. ϕ(0) = (0,0)) Voor een punt q R \ {0} bestaat er juist één δ Dil(A) met δ(0) = 0 en δ(1 ) = q. Deze δ is noodzakelijk van de vorm δ b waar b = δ b (1) R = K. Stel dan ϕ(q) = (0,b). Daarmee is ϕ gedefinieerd op R R. Voor een willekeurig punt p van A maken we dan de gebruikelijke parallellogramconstructie punten a op R en q op R. Is ϕ(q) = (0,b), dan stellen we ϕ(p) = (a,b). Daarmee is de bijectie ϕ : A K 2. goed gedefinieerd (verifieer) 5. ϕ : A K 2 stuurt rechten op rechten (m.a.w. opstellen van vergelijkingen van rechten in A) Schets (vul zelf details aan, zie [K-K], [BEN]). Men toont eerst aan dat een τ T (A) die 0 op p=ϕ 1 (a,b) stuurt voldoet aan ϕ(τ(ϕ 1 (x,y))= (x+a,y+b), m.a.w. (x,y) (x+a,y+b) is een vergelijking in K 2 van τ.

37 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE 43 R L L q H L r 1 V a R Figuur 1.18: rechten worden gestuurd op rechten Analoog heeft δ Dil(A), die 0 op 0 stuurt en 1 op a stuurt, als vergelijking in K 2 : (x,y) (ax,ay) Dan volgt met H, V, L zoals in de tekening (met ϕ(q) = (0,b), ϕ(r) = (0,m)) ϕ(h) = { (x,y) K 2 y = b } ϕ(v) = { (x,y) K 2 x = a } ϕ(l ) = { (x,y) K 2 y = mx+b } 1.5 Oefeningen bij hoofdstuk 1 1. Zij X een niet-lege verzameling en V een vectorruimte. Bewijs dat X een affiene ruimte is over V als en slechts als er een afbeelding θ : X X V bestaat die voldoet aan (a) x X is de afbeelding θ x : X V : y θ(x,y) bijectief en (b) x,y,z X : θ(x,y)+θ(y,z) = θ(x,z). 2. Met elke 2-dimensionale vectorruimte kan men een standaard affien vlak construeren, namelijk deze vectorruimte gezien als affiene ruimte over zichzelf (zie voorbeeld ). Construeer het standaard affiene vlak over het lichaam F 3. (a) Hoeveel punten heeft dit vlak? Hoeveel rechten, richtingen van rechten? (b) Kan je het aantal punten en aantal rechten geven voor een affien vlak over een willekeurig eindig lichaam? (c) Hoeveel k-dimensionale deelruimten heeft een n-dimensionale affiene ruimte over F q ( 1 k n)?

38 HOOFDSTUK 1. AFFIENE MEETKUNDE Zij X een affiene ruimte en Y een affiene deelruimte van dimensie 2 in X. Bewijs dat voor elke ééndimensionale affiene deelruimte R van Y geldt dat y Y :! rechte S Y : y S en S R 4. Zoek een voorbeeld waarbij Y a X niet equivalent is met axioma (AD1). 5. (a) Zij H en K twee hypervlakken van een eindigdimensionale affiene ruimte. Bewijs dat H K = = H K (b) Zij A,B a X. Is het mogelijk dat dima = 3, dimb = 2, dim(a B) = 1 en dimaff(a B) = 4? (c) Zij X een eindigdimensionale affiene ruimte over V en zij A,B a X met A B = {x}, aff(a B) = X, A = x+s en B = x+t, dan is V = S T. Geldt omgekeerd ook dat A=x+S a X, B = y+t a X en V = S T impliceert dat A B een singleton is en dat aff(a B) = X? Geldt dezelfde eigenschap ook als X oneindigdimensionaal is? 6. Zij X een niet-lege affiene ruimte over een K-vectorruimte V. Naar analogie met de lineaire algebra noemen we twee affiene deelruimten Y en Z van X supplementair indien x X met Y Z = {x} en aff(y Z) = X. (a) Bewijs dat volgende voorwaarden equivalent zijn voor niet-lege affiene deelruimten Y en Z van X. (i) Y en Z zijn supplementair (ii) x X met Y Z = {x} en a X :!y Y,!z Z : a = y+ z x (iii) x Y Z : θ x (Y) θ x (Z) = V Voor de rest van de oefening veronderstellen we dat X (en dus V ) eindigdimensionaal is. (b) Bewijs dat elke affiene deelruimte een supplement heeft in X. (c) Veronderstel dat Y en Z supplementair zijn in X. Geldt dan steeds dat dimy + dimz = dimx? 7. Zij A = a+s en B = b+t twee affiene deelruimten van een affiene ruimte X over een vectorruimte V. Bewijs dat A B b a S+T 8. Toon aan dat een affiene afbeelding parallelle deelruimten afbeeldt op parallelle deelruimten. 9. Zij X een affiene ruimte over een n-dimensionale K-vectorruimte V. Beschouw twee d-dimensionale affiene deelruimten, S en S, van X, met d < n. Toon dat de volgende eigenschappen equivalent zijn: