Lineaire Algebra SUPPLEMENT I

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Lineaire Algebra SUPPLEMENT I"

Transcriptie

1 Lineaire Algebra SUPPLEMENT I F.Beukers 22 Departement Wiskunde UU

2

3 Hoofdstuk 2 Vectorruimten 2. Axioma s Tot nu toe hebben we het uitsluitend over R n gehad. In de geschiedenis van de wiskunde blijkt dat veel andere verzamelingen ook gezien kunnen worden als vectorruimten. Met name oplossingsverzamelingen van lineaire differentiaalvergelijkingen. Misschien is dit niet één-twee-drie duidelijk, maar we zullen er later in dit hoofdstuk op terugkomen. Voorbeelden waarvan je je misschien wel kunt voorstellen dat ze R n generaliseren zijn bijvoorbeeld de oneindige rijtjes reële getallen, aan te geven met R. Een andere generalisatie is om de reële getallen los te laten en in andere getalsystemen te rekenen. Bijvoorbeeld, we kunnen naar verzameling vectoren (x,..., x n ) met x i C kijken en deze ruimte C n noemen. Matrixvermenigvuldiging, oplossing van lineaire vergelijkingen, lineaire deelruimten, determinanten, dit alles zou even goed kunnen plaats vinden met complexe getallen. Ook gaan onze stellingen over rang en dimensie onveranderd door. Evenzo kunnen we kijken naar Q n. Om niet alles tegelijk te generaliseren beperken we ons voorlopig tot vectorruimten met scalairen R. De belangrijkste generalisatie bestaat er in dat we vectoren zien als objecten die los staan van hun beschrijving door coördinaten. We concentreren ons op de belangrijkste eigenschappen van vectoren, namelijk dat er een optelling en scalaire vermenigvuldiging bestaan. De rest, zoals coördinaten, komt later. Een vectorruimte over R is een niet-lege verzameling V met daarin een optelling x, y V x + y en een scalaire vermenigvuldiging λ R, x V λx die voldoet aan de volgende eigenschappen.. Voor alle x, y V geldt x + y = y + x. 2. Voor alle x, y, z V geldt (x + y) + z = x + (y + z). 3. Bij elke x, y V is er een uniek bepaalde z V zó dat x + z = y. 4. Voor alle λ, µ R en x V geldt λ(µx) = (λµ)x. 5. Voor alle λ R en alle x, y V geldt λ(x + y) = λx + λy. 6. Voor alle λ, µ R en alle x V geldt (λ + µ)x = λx + µx 3

4 4 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN 7. Voor alle x V geldt x = x. De elementen van V noemen we vectoren. opmerkingen. Allereerst een aantal belangrijke. We noemen de oplossing z in eigenschap (3) het verschil van de vectoren y en x. Notatie: y x. 2. Er is een uniek bepaald element V zó dat x + = x voor alle x V. Om te zien dat zo n element bestaat kiezen we v V (dat kan, V is immers niet leeg) en nemen = v v. Dus v+ = v. Zij nu x willekeurig en tel aan beide zijden x v op. We vinden (x v) + v + = (x v) + v. Per definitie geldt dat (x v) + v = x. Onze gelijkheid gaat dus over in x + = x. Het element heeft dus de gewenste eigenschap. Nu moeten we ons er nog van overtuigen dat er maar één element is met deze eigenschap. Stel dat er nog een element zo dat x + = x voor alle x V. Dan geldt in het bijzonder dat + =. Anderzijds, omdat ook de rol van nulelement speelt, geldt dat + =. We zien dat de som + gelijk is aan zowel als. Dus zijn deze gelijk =. 3. Voor elke x V geldt x =. Dit zien we uit het feit dat x + x = ( + )x = x = x. Aangezien de unieke vector is met de eigenschap dat x + = x concluderen we dat x =. 4. Voor elke x, y V geldt y x = y + ( ) x. Stel z = y + ( ) x. Dan geldt x + z = x + y + ( ) x = y + ( )x = y + x = y. Hieruit zien we dat ook z = y x. Voortaan noteren we x als x. In het bijzonder geldt x = ( ) x. Hier zijn een aantal voorbeelden van vectorruimten. Ga van elk van de voorbeelden na dat ze inderdaad een vectorruimte vormen.. De intuïtieve vectoren uit onze inleiding. 2. De verzamelingen R n (eindige rijen van lengte n van elementen uit R, R (oneindige rijen) en R (oneindige rijen met eindig veel termen ) vormen vectorruimten over R. Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn de gebruikelijke coördinaatsgewijze bewerkingen. 3. De verzameling van m n-matrices met elementen uit R en gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging vormen een vectorruimte over R. 4. De verzameling van polynomen {a k X k + a k X k + + a X + a a i R} met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging. Notatie: R[X]

5 2.. AXIOMA S 5 5. Zij I R een interval. De verzameling van continue functies f : I R vormen een vectorruimte over R als we optelling en scalaire vermenigvuldiging als volgt kiezen: Notatie: C (I). (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λf)(x) = λf(x). 6. In plaats van bovenstaand voorbeeld kunnen we natuurlijk ook de verzameling van continu differentieerbare functies, (C (I)) oneindig vaak differentieerbare functies (C (I)), of willekeurige functies nemen. 7. De complexe getallen vormen een vectorruimte over R als we gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging nemen. Definitie 2.. (Deelruimte) Zij V een vectorruimte over R en W V een deelverzameling. We noemen W een (lineaire) deelruimte van V als de volgende eigenschappen gelden:. W. 2. Als x, y W dan x + y W. 3. Als λ R en x W dan λx W Stelling 2..2 Een lineaire deelruimte W van een vectorruimte V is zelf ook een vectorruimte als we de optelling en scalaire vermenigvuldiging uit V nemen. Bewijs: Zij W een deelruimte van V. Uit de definitie van deelruimte volgt dat we in W een optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren hebben. Omdat deze optelling en vermenigvuldiging aan de axioma s voor de ruimte V voldoen, voldoen ze zeker ook als we ons beperken tot de vectoren in W. Daarmee is W zelf ook een vectorruimte. Voorbeelden van deelruimten.. V = R n en W is oplossingsverzameling van een stelsel homogene lineaire vergelijkingen Ax = in x R n. (Deze kenden we al). 2. Zij I R een interval en V = C (I). Dan zijn C (I) en C (I) voorbeelden van lineaire deelruimten. 3. Zij V = R[X]. Dan zijn de volgende deelverzamelingen ook deelruimten (a) Kies n N. De polynomen met graad n. Notatie: R[X] n. (b) De verzameling p(x) R[X] met p() =. Of algemener, kies a R en neem als W de verzameling polynomen met p(a) =. 4. V = R. Ga na dat de volgende deelverzamelingen lineaire deelruimten zijn:

6 6 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN (a) R : de verzameling van alle (x, x 2,...) R met x n = als n groot genoeg is. (b) l : de verzameling (x, x 2,...) R zó dat lim n x n =. (c) l 2 : (lastig) de verzameling (x, x 2,...) R zó dat lim n x 2 + x x2 n bestaat. Ga tevens na dat we in dit voorbeeld de inclusies R l 2 l R hebben. 5. Gegeven een vectorruimte V over R en een eindige verzameling vectoren v,..., v n. Het opspansel van deze vectoren gegeven door Span(v,..., v n ) = {λ v + + λ n v n λ,..., λ n R} is een lineaire deelruimte van V. 6. Gegeven een vectorruimte V over R en een willekeurige deelverzameling S V. De verzameling van alle (eindige) lineaire combinaties van elementen uit S noemen we het opspansel van S. Notatie: Span(S). Merk op dat Span(S) ook een lineaire deelruimte van V is. Verder geldt voor elke deelruimte W V met de eigenschap S W, dat alle lineaire combinaties van elementen uit S ook in W bevat moeten zijn. Met andere woorden, Span(S) W. Op deze manier kunnen we Span(S) zien als de kleinste deelruimte die een gegeven verzameling S omvat. 2.2 Afhankelijkheid Ook in onze abstracte vectorruimten hanteren we het begrip (on)afhankelijkheid. Stel we hebben een vectorruimte V over het lichaam R en zij v, v 2,..., v r een r-tal vectoren in V. Een lineaire combinatie van v, v 2,..., v r is een vector van de vorm λ v + λ 2 v λ r v r waarin λ,..., λ r R. Onder een (lineaire) relatie tussen v, v 2,..., v r verstaan we een lineaire combinatie die de nulvector oplevert. Definitie 2.2. Zij V een vectorruimte over het lichaam R. Een r-tal vectoren v, v 2,..., v r V noemen we (lineair) onafhankelijk als de enige relatie λ v + λ 2 v λ r v r = met λ, λ 2,..., λ r R de triviale is, dat wil zeggen λ = λ 2 = = λ r =. We noemen de vectoren (lineair) afhankelijk als er een niet-triviale relatie bestaat. We kunnen ook lineaire onafhankelijkheid voor willekeurige verzamelingen definiëren (dus ook oneindige verzamelingen).

7 2.2. AFHANKELIJKHEID 7 Definitie Zij V een vectorruimte over het lichaam R. Een deelverzameling S V heet (lineair) onafhankelijk als elke eindige deelverzameling van S onafhankelijk is. Met dit begrip onafhankelijkheid kunnen we ook het begrip basis van een vectorruimte invoeren. Definitie Zij V een vectorruimte over het lichaam R. Een deelverzameling S van V heet een basis van V als. S onafhankelijk is 2. Elke vector in V lineaire combinatie van een eindig aantal vectoren uit S is. In deze definitie hebben we het woord eindig onderstreept om duidelijk te maken dat we in dit stadium niet kunnen spreken over lineaire combinatie van een oneindig aantal elementen. Om over oneindige sommen te kunnen spreken hebben we ook een convergentiebegrip nodig. In een aantal gevallen zullen we deze later zien. Vooralsnog hebben oneindige sommen geen betekenis. Als een vectorruimte V een eindige basis heeft, bestaande uit n vectoren, dan noemen we n de dimensie van V. Het bewijs dat de dimensie onafhankelijk van de basiskeuze, gaat op dezelfde manier als in Stelling De dimensie van de triviale vectorruimte, dat wil zeggen de vectorruimte die alleen uit de nulvector bestaat, definiëren we als nul. Bij abstracte vectorruimten kan het gebeuren dat er helemaal geen eindige basis bestaat. In dat geval bevat de vectorruimte een oneindige onafhankelijke deelverzamneling en we zeggen dat de dimensie van V oneindig is. In dergelijke gevallen kan het gebeuren dat we een oneindige basis kunnen aanwijzen, maar veel vaker gebeurt het dat er helemaal geen basis aangegeven kan worden. Twee mooie voorbeelden worden gegeven door R bestaande uit de oneindige rijen reële getallen, en R, bestaande uit de oneindige rijen reële getallen die vanaf zeker moment nul zijn. De vectoren (,,,,...) (,,,,...) (,,,,...) vormen een basis van R. Ga zelf na dat dit zo is. Begrijp je ook waarom bovenstaand stelsel geen basis van R is? Definitie Zij V een vectorruimte en S V een deelverzameling. De rang van S wordt gedefinieerd als de dimensie van het opspansel van S. Notatie rang(s).... Hier volgt een aantal voorbeelden van (on)afhankelijke verzamelingen en eventuele bases van vectorruimten.

8 8 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN Voorbeeld Beschouw de vectorruimte over R bestaande uit de reëelwaardige continue functies op ], [. We geven deze aan met C (], [). De rol van de nulvector in deze ruimte wordt gespeeld door de constante functie. Als voorbeeld laten we zien dat /x, /x 2, /( x) onafhankelijk zijn. Stel namelijk a x + b x 2 + c x voor zekere a, b, c R. Met het -teken geven we hier nog een keer extra aan dat het om een gelijkheid van functies gaat. Dat wil zeggen dat de gelijkheid geldt voor alle keuzen van x. Om onafhankelijkheid aan te tonen kunnen we een aantal waarden van x kiezen. Neem bijvoorbeeld achtereenvolgens x = /3, /2, 2/3. We vinden dan, 3a + 9b + 3c/2 = 2a + 4b + 2c = 3a/2 + 9b/4 + 3c = Oplossing van dit stelsel leert dat a = b = c =. Met andere woorden, alleen de triviale relatie geldt, en de functies zijn onafhankelijk. Voorbeeld De ruimte C(R) van continue functies op R. De nulvector in deze ruimte is de triviale functie. Beschouw de functies f, f, f 2,... gegeven door f m (x) = e mx. Wij beweren dat de functies f, f,..., f n onafhankelijk zijn voor elke gehele n. Stel dat er a, a,..., a n R bestaan, zó dat Anders gezegd, a n f n + a n f n + + a f + a f = a n e nx + a n e (n )x + + a e x + a is identiek gelijk nul voor alle keuzen van x. Anders geschreven, P (e x ) = voor alle x, waarin P (X) = a n X n + a n X n + + a X + a. Anders gezegd, het polynoom P (X) heeft oneindig veel verschillende nulpunten, namelijk X = e x met x R willekeurig. Als P (X) een niet-triviaal polynoom zou zijn, dan kunnen er hooguit n nulpunten zijn. We moeten dus concluderen dat P (X) het triviale polynoom is. Met andere woorden, a n = a n = = a = a =. In het bijzonder zien we dat het opspansel van f, f, f 2,... in C(R) een oneindigdimensionale deelruimte van C(R) is. Voorbeeld Oplossingen van een homogene lineaire differentiaalvergelijking d n dx n y + p n (x) dn dx n y + + p (x) d dx y + p (x)y =

9 2.2. AFHANKELIJKHEID 9 waarin de p i (x) voldoende vaak differentieerbare functies in het open interval (, ) zijn (je kunt natuurlijk ook andere open intervallen kiezen). We kunnen de vergelijking iets korter schrijven door y (n) + p n (x)y (n ) + + p (x)y + p (x)y =. Zij V de verzameling oplossingen van deze vergelijking. Ga zelf het volgende na: als y, y 2 twee oplossingen zijn en λ R, dan zijn y + y 2 en λy ook oplossingen. Met andere woorden, V is een vectorruimte ten aanzien van de gewone optelling en scalaire vermenigvuldiging van functies. Uit de theorie van de lineaire differentiaalvergelijkingen volgt dat de dimensie van V gelijk is aan n. Met andere woorden, er bestaan n onafhankelijke oplossingen y,..., y n van onze differentiaalvergelijking zo dat iedere iedere oplossing in de vorm λ y + + λ n y n te schrijven is met λ i R voor alle i. Hier volgen een paar specifieke voorbeelden d n dx n y =. De verzameling oplossingen bestaat uit alle polynomen van graad < n, λ + λ x + λ 2 x λ n x n. d 2 dx 2 y 3 d y + 2y =. dx Laten we een oplossing van de vorm y = e λx voor nog nader te bepalen λ R proberen. Invullen in de vergelijking geeft (λ 2 3λ+2)e λx =, waaruit volgt λ 2 3λ + 2 = en dus λ = of 2. Twee oplossingen zijn dus e x en e 2x en volgens de theorie spannen deze de volledige oplossingsverzameling op. d 2 y xy =. dx2 Deze vergelijking is niet met de ons bekende klassieke functies op te lossen en we moeten oneindige Taylorontwikkelingen in de strijd gooien. Dit zullen we hier niet doen, maar wel opmerken dat desondanks de oplossingsruimte een vectorruimte over R van dimensie 2 is. Voorbeeld De vectorruimte van complexe getallen over R. Elk complex getal kan op unieke manier geschreven worden als a + b. Hieruit volgt dat, een basis van onze vectorruimte is. De dimensie van C over R is dus twee.

10 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN 2.3 Lineaire afbeeldingen Van bijzonder belang zijn afbeeldingen tussen vectorruimten die de vectorruimtestructuur intact laten. Om wat preciezer te zijn, zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R. Een lineaire afbeelding A : V W is een afbeelding met de volgende eigenschappen. Voor elke x, y V geldt A(x + y) = A(x) + A(y). 2. Voor elke λ R, x V geldt A(λx) = λa(x). Om wat houvast te hebben, matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een lineaire afbeelding. Preciezer, zij M een m n-matrix met reële coëfficienten. De afbeelding R n R m die aan x R n de vector Mx R m toekent, is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers dat M(x + y) = Mx + My en M(λx) = λmx. In het volgende hoofdstuk zal blijken dat lineaire afbeeldingen tussen eindigdimensionale vectorruimten allemaal kunnen worden teruggebracht tot matrixvermenigvuldiging met een matrix M waarvan met coëfficienten in R. Alvorens verdere voorbeelden te bespreken, maken we een aantal opmerkingen en voeren wat begrippen in. Lemma 2.3. Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V W een lineaire afbeelding. Dan geldt,. Voor elk tweetal x, y V en λ, µ R geldt A(λx +µy) = λa(x)+µa(y). 2. A() =. Geef zelf een bewijs voor dit Lemma. Een belangrijke ruimte die bij een lineaire afbeelding hoort is de kern. Zij f : V W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van alle x V met f(x) =. Notatie: ker(f). In het voorbeeld van matrixvermenigvuldiging x M x wordt de kern gegeven door de nulruimte van de matrix M. Lemma De kern van een lineaire afbeelding f : V W is een lineaire deelruimte van V. Geef ook van dit Lemma zelf een bewijs. Verder geldt, Stelling Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V W een lineaire afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(a) = {}.

11 2.3. LINEAIRE AFBEELDINGEN Bewijs: Dit is niet lastig in te zien. Stel namelijk dat A injectief is. Dan geldt x ker(a) A(x) = = A() en wegens injectiviteit van A volgt hieruit dat x =. Dus ker(a) = {}. Stel anderzijds dat ker(a) alleen uit de nulvector bestaat. Dan volgt uit Ax = A(y) dat A(x y) = wegens de lineariteit van A. Omdat de kern triviaal is impliceert dit x y = en dus x = y. Met andere woorden, A is injectief. Hier zijn een aantal voorbeelden van lineaire afbeeldingen.. Als vectorruimte V nemen we de intuïtieve vectoren in de ruimte, waarmee we dit college begonnen. Meetkundig realiseren we deze ruimte door de punten in de driedimensionale ruimte met gegeven oorsprong O. Let op: we voeren geen coördinaten in! Beschouw nu de volgende twee speciale voorbeelden. (a) Zij W een vlak door O met normaalvector n. De loodrechte projectie P van V op W is een voorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij namelijk v V. De loodrechte projectie van v op W is dat punt op de lijn x = v+λn met de eigenschap dat x n =. Dus (v+λn) n = waaruit volgt v n + λ n 2. Dus λ = v n/ n 2 en Dat P lineair is volgt uit: P (v) = v v n n. (2.) n 2 P (x + y) = (x + y) n x + y n 2 n = x + y x n n 2 n y n n 2 n = P (x) + P (y) en P (λx) = λx (λx) n n 2 n = λx λ x n n 2 n = λp (x) De kern bestaat uit alle vectoren die naar geprojecteerd worden, in dit geval alle vectoren die loodrecht op het vlak W staan. 2. Zij V = R[X], de ruimte van polynomen. Dan is differentiatie naar X een lineaire afbeelding van V naar V. Immers, en d dx (λf(x)) = λ d dx f(x). d (f(x) + g(x)) = d dx dx f(x) + d dx g(x).

12 2 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN De enige polynomen die na differentiatie nul worden, zijn de constante polynomen. Deze constante polynomen vormen dus de kern. 3. Zij V = C(R) de ruimte van continue functies op R. Integratie van een continue functie over het interval [, ] (of een ander interval) geeft een lineaire afbeelding van V naar R. Immers, (f(x) + g(x))dx = en λf(x)dx = λ f(x)dx + f(x)dx. g(x)dx De kern wordt gegeven door alle functies waarvan de integraal nul is. 4. Zij M 2,2 de ruimte van 2 2-matrices met elementen in R. De afbeelding M 2,2 R 4 gegeven door ( ) a b (a, b, c, d) t c d is lineair. Ga dit na! We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V W bestaat. Er geldt: Stelling Zij A : V W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee vectorruimten V, W. Dan is de inverse afbeelding A : W V ook lineair. Bewijs: Zij x, y W. Kies u, v V zó dat A(u) = x en A(v) = y. Dan geldt, wegens lineariteit van A, dat A(u + v) = A(u) + A(v) = x + y. Gevolg: A (x + y) = u + v = A (x) + A (y). Hiermee is het eerste kenmerk van lineariteit aangetoond. Kies nu x W en λ R. Stel v zó dat x = A(v). Dan geldt dat A(λv) = λa(v) = λx. Dus A (λx) = λv = λa (x). We kunnen isomorfe vectorruimten zien als twee incarnaties van dezelfde vectorruimte structuur. De --duidige correspondentie tussen de twee wordt gegeven door de bijectie A. Hier zijn een paar voorbeelden.. Zij M 2,2 de ruimte van 2 2-matrices met elementen in R. De afbeelding M 2,2 R 4 gegeven door ( ) a b (a, b, c, d) t c d is een bijectieve lineaire afbeelding tussen M 2,2 en R 4. Goed beschouwd maakt het ook niet uit of we de vier componenten van vectoren uit R 4 in een rij, kolom of vierkantsvorm opschrijven.

13 2.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE 3 2. Zij R een oneindig lichaam. De ruimten R[X] van polynomen en R zijn isomorf via de lineaire bijectie a + a X + a 2 X a n X n (a, a, a 2,..., a n,,,,,...). Hier is nog een algemene opmerking. Lemma Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V W een lineaire afbeelding. Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W. Opgave Geef zelf een bewijs van dit Lemma. Tenslotte wijzen we erop dat een eindigdimensionale vectorruimte over R altijd isomorf is met R n. Dit gaat als volgt Zij V een eindigdimensionale vectorruimte over R en B = {b,..., b n } een geordende basis. Elke vector x V kan op unieke manier geschreven worden als x = x b + x 2 b x n b n met x i R. We noemen x, x 2,..., x n de coördinaten van x ten opzichte van B. De kolom bestaande uit deze coördinaten noemen we de coördinatenkolom. We geven deze aan met x B. Opgave Laat zien dat de toekenning x x B een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en R n geeft. We zien hieruit dat alle eindigdimensionale vectorruimten over R isomorf zijn met R n voor zekere n. Men zou dus kunnen zeggen dat, wat betreft eindigdimensionale vectorruimten, alles weer bij het oude is. In de praktijk blijkt het echter vaak onhandig of omslachtig een basis te kiezen. Vaak is zo n keuze helemaal niet voor de hand liggend. In zulke gevallen is het veel eleganter om coördinaatvrij te werken. Dit is de kracht van een axiomatische opzet van vectorruimten. 2.4 Lineaire afbeeldingen in eindige dimensie In deze paragraaf geven we aan wat het verband is tussen lineaire afbeeldingen en matrixvermenigvuldiging. Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam R en A : V W een lineaire afbeelding. We nemen aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m. Zij B = {b, b 2,..., b n } een geordende basis van V en C = {c, c 2,..., c m } een geordende basis van W. We geven de coördinatenkolom van x V ten opzichte van B aan met x B. En evenzo is y C de coördinatenkolom van y W ten opzichte van C. Stelling 2.4. Gegeven V, W, hun geordende bases B, C, en A : V W als daarnet. Stel x V, y W zó dat y = A(x). Zij A B C de m n-matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(b i ) ten opzichte van C te nemen. Dan geldt: y C = A B Cx B.

14 4 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN Bewijs: De volgende stappen spreken hopelijk voor zich. We beginnen met y = A(x). Neem nu de coördinatenkolommen ten opzichte van C, y C = (A(x)) C n = ( x i A(b i )) C = i= n x i A(b i ) C i= = A B Cx B Hier is een viertal voorbeelden van de vorm A : V V, dus W = V. We kiezen in beide copieën van V dezelfde basis B = C. Voorbeeld We nemen de projectie afbeelding (2.) op pagina met n = (,, 2) ten opzichte van de standaard basis e, e 2, e 3 die we aangeven met E. Er geldt P (e ) = e e n n 2 n = = 6 2 5/6 /6 /3. Evenzo volgt /6 /3 P (e 2 ) = 5/6 /3, P (e 3 ) = /3. /3 De matrix van P ten opzichte van E wordt dus gegeven door 5/6 /6 /3 PE E = /6 5/6 /3. /3 /3 /3 Voorbeeld Beschouw het platte vlak met een oorsprong en een coördinatenkeuze zo dat we het kunnen identificeren met R 2. We beschouwen nu de rotatie-afbeelding R van het vlak naar zichzelf met de oorsprong (, ) als rotatiepunt, tegen de richting van de klok in, over een hoek α. Wij beweren dat R een lineaire afbeelding is. Om eigenschap () te zien kiezen we twee vectoren a en b en draaien die beide om de hoek α. Hieronder staan het optelparallellogram van a en b met daarnaast het resultaat na draaiing door R.

15 2.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE 5 a b a+b R(a) R(a+b) R(b) Uit het plaatje rechts is nu direct duidelijk dat de gedraaide somvector R(a+b) precies de diagonaal is van het parallellogram opgespannen door R(a) en R(b). Met andere woorden, R(a + b) = R(a) + R(b). Op analoge manier heeft voor willekeurige λ R de gedraaide vector R(λa) precies dezelfde richting als R(a) en is de lengte λ maal de lengte van R(a). Dus R(λa) = λr(a) als λ R. Voor negatieve λ kunnen we een soortgelijk argument geven. Als basis in R 2 kiezen we de geordende standaard basis e, e 2 die we kort aangeven met E. De matrix die bij R hoort is de matrix waarvan de eerste kolom gelijk is aan R(e ) en de tweede kolom R(e 2 ) (beiden in gewone coordinaten, dus ten opzichte van e, e 2 ). Ga zelf na dat R(e ) = ( cos α sin α ), R(e 2 ) = De matrix behorende bij R wordt dus ( ) RE E cos α sin α =. sin α cos α ( sin α cos α Voorbeeld Zij R[X] 3 de vectorruimte van polynomen van graad 3 en beschouw de lineaire afbeelding D : R[X] 3 R[X] 3 gegeven door D : p(x) p (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen we voor B en C dezelfde basis van de ruimte R[X] 3 nemen. We kiezen B = {, X, X 2, X 3 }. De afbeelding D losgeleten op deze elementen geeft achtereenvolgens,, 2X, 3X 2. Schrijven we deze vectoren uit ten opzichte van C = B, dan vinden we de coördinaten kolommen 2,,, De matrix van D ten opzichte van B wordt dus DB B = )

16 6 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN Voorbeeld Zij C de vectorruimte van complexe getallen over R. Kies a + bi C. De afbeelding µ : C C geven door µ : z (a + bi)z is linear. We kiezen de natuurlijke basis B = {, i} van C. Deze basisvectoren gaan onder µ over in a + bi, b + ai. De coördinaatkolommen van deze vectoren ten opzichte van C = B zijn, ( ) a, b ( ) b. a De matrix van µ ten opzichte van B wordt dus ( ) a b. b a Controle, als we het complexe getal x + iy met a + bi vermenigvuldigen krijgen we ax by + (bx + ay)i. Matrixvermenigvuldiging levert ( ) ( ) ( ) a b x ax by =. b a y bx + ay Vergelijk de resultaten! Merk op ook dat de gevonden matrix precies a 2 + b 2 maal de draaiingsmatrix ( ) ( ) a b cos ϕ sin ϕ = a 2 + b 2 b a sin ϕ cos ϕ waarin ϕ het argument van a + bi is. Stel we hebben een lineaire afbeelding A : V W met dim(v ) = n, dim(w ) = m. We definieren de rang van A als volgt. Kies een geordende basis B van V en een geordende basis C van W. De matrix van A ten opzichte van deze bases geven we aan met A B C. De rang van A definieren we als de rang van de matrix A B C. Notatie rang(a). Opdat rang(a) welgedefinieerd is, moet de rang van A B C onafhankelijk zijn van de keuze van B en C. Hiertoe merken we op dat de nulruimte van A B C precies gegeven wordt door de coördinatenkolommen van de vectoren uit ker(a). Dus dim(ker(a)) = dim(nul(a C B )). We weten uit Stelling ook dat rang(ac B ) = n dim(nul(a C B ). En dus rang(ac B ) = n dim(ker(a)). Hiermee zien we dat rang(a C B ) onafhankelijk is van de keuze van B, C en bovendien zien we de volgende stelling. Stelling Zij A : V W een lineaire afbeelding tussen twee eindig dimensionale vectorruimten V, W en stel n = dim(v ). Dan geldt, dim(ker(a)) = n rang(a). Een speciaal geval van Stelling 2.4. is het geval dat W = V en A de identieke afbeelding I : V V gegeven door I : x x. De stelling toegepast op y = x luidt nu als volgt.

17 2.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE 7 Gevolg Zij B, C een tweetal geordende bases van V en IC B de n n- matrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinaten ten opzichte van C van de vector b i te nemen. Dan geldt x C = I B C x B. Dit gevolg is te interpreteren als de relatie tussen de B-coördinaten en C- coördinaten van x. We noemen dit een coördinatentransformatie. Lemma Met de notaties als boven geldt dat I B C = (IC B ). Bewijs: Als we in Gevolg B en C verwisselen dan zien we dat x B = IB Cx C. Anderzijds volgt door inverteren ook dat x B = (IC B) x C. We concluderen dat IB C = (IB C ). Voorbeeld Gegeven de vector v = (,, ) t in R 3. Beschouw nu de geordende basis F van R 3 bestaande uit f = (, 2, ) t, f 2 = (,, ) t, f 3 = (,, ) t. Gevraagd wordt de coördinaten van v ten opzichte van F te bepalen. Laten we de standaardbasis van R 3 aangeven met E. We zullen het eerst doen zonder de expliciete coördinatentransformaties aan te geven. Er wordt gevraagd naar getallen y, y 2, y 3 zó dat y = y 2 + y 2 + y 3 = 2 y 2. y 3 Hieruit volgt dat y y 2 = 2 y 3 2/3 = /3. /3 De 3 3-matrix van daarnet is precies de matrix IE F. Volgens onze formules geldt IE F = (IE F ) en v F = IE F v E. Voeren we deze berekening uit, v F = IF E v E = (IE F ) = 2/3 /3 /3 Kijk goed naar de parallel tussen de aanpak boven en de formules. Het zal duidelijk zijn dat de matrix van een lineaire afbeelding sterk afhangt van de bases ten opzichte waarvan deze wordt uitgeschreven. Zij V, W en A : V W als aan het begin van deze paragraaf. In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases B, C van V respectievelijk W. Het verband tussen A B C en AB C kan bepaald worden door de coördinatentransformatieformules uit Gevolg Er geldt.

18 8 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN Stelling 2.4. Met de notaties als boven, A B C = IC C AB CI B B. Bewijs: Dit is een kwestie van uitschrijven. Kies een vector x V. We moeten laten zien dat de matrix aan de rechterkant, losgelaten of x B de coördinatenkolom A(x) C geeft. Dit gaat in stapjes. We laten eerst IB B los op x B. Dit geeft x B volgens Gevolg toegepast op B = B en C = B. De matrix A B C losgelaten op x B geeft A(x) C, de coördinatenkolom van A(x) ten opzichte van C. laten we hier tenslotte IC C op los dan eindigen we met A(x) C, zoals we wilden. Stelling 2.4. wordt het meest gebruikt bij lineaire afbeeldingen van een eindigdimensionale vectorruimte V naar zichzelf. We kiezen daarbij C = B en C = B. Gevolg 2.4. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en A : V V een lineaire afbeelding. Zij B, B een tweetal geordende bases van V en gebruik verder de notaties zoals boven. Dan geldt, A B B = IB B AB BI B B. Het bewijs volgt door Stelling 2.4. toe te passen met C = B, C = B. Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en A : V V een lineaire afbeelding. Kies een geordende basis B van V en zij A B B de matrix van A ten opzichte van B. Dan geldt dat det(a B B ) onafhankelijk van de keuze van B is. Om dit te zien maken we gebruik van de regels dat als M een n n-matrix is en S een inverteerbare n n-matrix, dan det(sms ) = det(m). Passen we dit toe met Gevolg 2.4. en S = IB B, M = A B B dan vinden we det(a B B ) = det(ib B AB BI B B ) = det(i B B AB B(I B B ) ) = det(a B B). We noemen det(a B B ) determinant van de lineaire afbeelding A : V V. Later zal blijken dat ook het spoor (=som van de diagonaalelementen) van A B B onafhankelijk is van de keuze van B. We kunnen dus ook spreken van het spoor van de afbeelding A : V V. 2.5 Vectorruimteconstructies (Optioneel) Gegeven een aantal vectorruimten, dan is het vaak mogelijk om daaruit op abstracte wijze nieuwe vectorruimten te creëren. Met deze constructies zullen we als beginners in de lineaire algebra niet veel in aanraking komen. Later zullen ze evenwel van steeds groter belang worden in de algebra, meetkunde en analyse.. Zij V, W een tweetal vectorruimten over R. De directe som van V en W is de vectorruimte bestaande uit alle geordende paren (v, w), v V, w W met als optelling (v, w ) + (v 2, w 2 ) = (v + v 2, w + w 2 ) en scalaire vermenigvuldiging λ(v, w) = (λv, λw). Notatie V W.

19 2.6. SCALAIREN 9 2. Zij V een vectorruimte en W een deelruimte. We zeggen dat twee vectoren v, v 2 V equivalent zijn modulo W als v v 2 W. De verzameling van vectoren die equivalent modulo W zijn met een gegeven vector v noemen we de equivalentieklasse van v. Notatie: v(mod W ). Merk op, als v V en v 2 V niet equivalent zijn modulo W dan zijn de klassen v (mod W ) en v 2 (mod W ) disjunct. Als ze namelijk een element W gemeenschappelijk zouden hebben, dan v w W en v 2 w W. Na verschil nemen, v v 2 W en we hebben een tegenspraak. De ruimte V kan dus opgedeeld worden in een disjuncte vereniging van equivalentieklassen modulo W. Zij v (mod W ) en v 2 (mod W ) een tweetal klassen modulo W en w, w 2 een tweetal elementen in de respectievelijke klassen. Dan geldt w v W en w 2 v 2 W. Na optelling, (w +w 2 ) (v +v 2 ) W. Met andere woorden, kiezen we twee elementen uit v (mod W ) respectievelijk v 2 (mod W ) dan zal hun som altijd in de klasse v + v 2 (mod W ) liggen. Hiermee hebben we een optelling gedefinieerd op de equivalentieklassen modulo W. Op dezelfde manier kunnen we een scalaire vermenigvuldiging invoeren, en daarmee krijgen de klassen modulo W een vectorruimte structuur die we de quotientruimte zullen noemen. Notatie: V/W. 3. Zij V, W een tweetal vectorruimten over R. De verzameling lineaire afbeeldingen A : V W vormen een vectorruimte als we optelling en scalaire vermenigvuldiging als volgt definiëren: (A + B)x = Ax + Bx voor alle x V en (λa)x = λ(ax) voor alle λ R, x V. Notatie Hom(V, W ). 4. Nemen we in het bijzonder in voorgaand voorbeeld W = R, dan krijgen we de vectorruimte Hom(V, R), die we de duale vectorruimte noemen. Notatie: V d. Een lineaire afbeelding V R noemen we ook wel een lineaire vorm op V. De duale vectorruimte is dus de ruimte van lineaire vormen op V. 5. Zij V, W een tweetal vectorruimten over R. Het tensorproduct van V, W bestaat uit alle (eindige) lineaire combinaties van symbolen v w met v V, w W die voldoen aan de volgende relaties (a) λ(v w) = (λv) w = v (λw) voor alle v V, w W, λ R. (b) (v + v 2 ) w = v w + v 2 w voor alle v, v 2 V, w W. (c) v (w + w 2 ) = v w + v w 2 voor alle v V, w, w 2 W. Notatie: V W. In het bijzonder, als V, W eindigdimensionaal zijn en e,..., e n is een basis van V en f,..., f m een basis van W, dan is e i f j met i =, 2,..., n; j =, 2,..., m een basis van V W. 2.6 Scalairen (Optioneel) De verzamelingen R en C zijn voorbeelden van zogenaamde lichamen. Dat zijn verzamelingen waarin we een optelling en vermenigvuldiging met de

20 2 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN gebruikelijke regels hebben en waarbij we door elk element ongelijk aan nul kunnen delen. De gehele getallen Z = {..., 2,,,, 2,...} vormen bijvoorbeeld geen lichaam, want deling van een geheel getal door een ander geheel getal levert niet altijd een geheel getal op. Daarentegen vormen de rationale getallen (breuken) Q wel een lichaam. Een ander voorbeeld van een lichaam is de verzameling van 2 elementen {, } met als optelling en vermenigvuldiging + = + = + = = = =. We geven dit lichaam aan met F 2. We kunnen de vectorruimte axiomas en alle daarop volgende begrippen ook hanteren als we een ander scalairenlichaam in plaats van R nemen. Vrijwel alles uit dit hoofdstuk gaat op precies dezelfde manier door. Hier is een voorbeeld. De reële getallen vormen een vectorruimte met als scalairen Q als we gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging (met elementen uit Q) nemen. Beschouw de reële getallen, 2. Wij beweren dat ze lineair onafhankelijk over Q zijn. Stel namelijk dat er a, b Q, niet beide nul, bestaan zó dat a + b 2 =. Er geldt natuurlijk b, want anders zou uit de relatie volgen dat a ook nul is. Dus 2 = a/b, met andere woorden, 2 is een rationaal getal (een breuk). We weten echter dat dit niet zo is. Dus onststaat er een tegenspraak en we moeten concluderen dat, 2 onafhankelijk over Q zijn. We zien hier een voorbeeld waarin lineaire onafhankelijk van getallen over Q neerkomt op irrationaliteitseigenschappen van getallen. Het is zelfs mogelijk om oneindige verzamelingen reële getallen aan te geven die lineair onafhankelijk over Q zijn. Het bewijs hiervan is echter bijzonder lastig. Voorbeelden zijn, {, e, e 2, e 3,...} {, π, π 2, π 3,...} {, 2, 3, 5, 7,,...} Het laatste voorbeeld bestaat uit de wortels van alle priemgetallen. Hier is iets wat je wellicht wèl kunt aantonen:. Laat zien dat de verzameling { n} met n positief geheel, afhankelijk is over Q. 2. Laat zien dat de verzameling {log 2, log 3, log 5, log 7, log,...} de logaritmen van de priemgetallen, onafhankelijk is over Q.

21 2.7. OPGAVEN Opgaven Een aantal van de opgaven hieronder zijn ontleend aan het boekje Lineaire Algebra van Paul Igodt en Wim Veys. Opgave Controleer of de verzameling R 2 = {(x, y) x, y R} een vectorruimte is met de optelling en scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd als volgt:. (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) en λ(x, y) = (λx, λy). 2. (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) en λ(x, y) = (λx, λy). 3. (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + 2x 2, y + 2y 2 ) en λ(x, y) = (λx, λy). 4. (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) en λ(x, y) = (λx, y/λ) als λ en (x, y) = (, ). Opgave Definieer voor x, y R n twee bewerkingen en als volgt: x y = x y, λ x = λx waarbij de bewerkingen in de rechterleden het gewone verschil en de gewone scalaire vermenigvuldiging zijn. Aan welke vectorruimte axiomas voldoen deze bewerkingen? en welke niet? Opgave Welk van de volgende verzamelingen met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermeningvuldiging vormen een vectorruimte?. De reële continue functies op het gesloten interval [, ]. 2. De reële niet-negatieve functies op [, ]. 3. De verzameling polynomen met coefficienten in R van exacte graad n. 4. De symmetrische n n-matrices met elementen in R. Opgave nulvector aan. Geef in de voorbeelden van pagina 4 van het dictaat de Opgave Laat in de voorbeelden op pagina 5 van het dictaat zien dat de gegeven ruimten inderdaad lineaire deelruimten zijn. Opgave Welk van de volgende verzamelingen zijn deelruimten van de gegeven vectorruimte over R? Leg uit.. W = {(x, y, z) R 3 xyz = } 2. W 2 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 2 = } 3. W 3 = {(x, y, z) R 3 x, y, z Q} 4. W 4 = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 } 5. W 5 = {A M 3,3 (R) 3 i,j= A ij = }

22 22 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN 6. W 6 = {A M 3,3 (R) det(a) } 7. W 7 = {A M 3,3 (R) A t = A} 8. W 8 = {A M 3,3 (R) A t = A} 9. W 9 = {(x, y, z) R 3 x = of y = }. W = {f : R R f() = }. W = {f : R R f( x) = f(x)} 2. W 2 = {f : R R f is integreerbaar en f(x)dx = } 3. W 3 = Q R Opgave Beschouw de functies f : R R gegeven door f(x) = cos 2 x, g(x) = sin 2 x, h(x) =, exp(x) = e x als elementen van de vectorruimte van alle functies R R. Bewijs dat f, g, h, exp lineair onafhankelijk over R zijn. Opgave Welk van de volgende verzamelingen vectoren zijn onafhankelijk?. {(, 2, ), (2,, ), (, 7, )} in R 3 {( ) ( ) ( ) ( )} 2.,,, in M 2,2 (R). 3. {X 3 + 2X 2, X 2 + 3X +, X 3 X 2 + 2X } in R[X]. Opgave Laat zien dat {X +, X 2 +, X 2 +X} een basis is van R[X] 2, de vectorruimte over R van polynomen van graad 2. Bepaal de coördinaten van elk van de vectoren, X, X 2 ten opzichte van deze basis. Opgave Zijn V de vectorruimte van symmetrische 2 2-matrices met coefficienten in R. Bewijs dat de geordende drietallen (( ) ( ) ( )) B =,, en B 2 = (( ), ( ), ( )) 2 elk een basis van V vormen. Bepaal van elk element van B 2 de coördinaten ten opzichte van B. Bepaal van elk element van B de coördinaten ten opzichte van B 2. Opgave Beschouw de verzameling V gegeven door de rijen (x n ) n (termen in R) die voldoen aan de differentievergelijking x n+ = x n + x n voor n 2.

23 2.7. OPGAVEN 23. Schrijf de eerste vijf termen op van de rij beginnend met (,,...). 2. Schrijf de eerste vijf termen op van de rij beginnend met (,,...). 3. Laat zien dat met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging V een vectorruimte is van dimensie Stel η = ( + 5)/2 en η = ( 5)/2. Laat zien dat de rijen (η n ) n en (η n ) n voldoen aan de differentievergelijking. 5. Zij (u n ) n de oplossing van de differentievergelijking met begintermen,. Dit is de rij van Fibonacci. Geef een formule voor u n in termen van η n en η n. Opgave Zijn de volgende uitspraken juist of onjuist? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.. Als S, T onafhankelijke deelverzamelingen zijn van een vectorruimte V, dan is S T ook onafhankelijk. 2. Als U, W deelruimten zijn van een vectorruimte V en B U een basis van U en B W een basis van W, dan is B U B W een basis van U W. 3. Als U een deelruimte is van een vectorruimte V en v, w V zó dat v + w U dan is v U en w U. 4. Zij V een n-dimensionale vectorruimte en U i V voor i =,..., r zó dat U U 2 U r. Als r n + dan is er een index i zó dat U i = U i+. 5. Zij V een vectorruimte met basis {b, b 2, b 3 }. Zij W = Span(b, b 2 ). Dan is er een basis van v, v 2, v 3 van V met v i W voor i =, 2, 3. Opgave Beschouw de verzameling V = R > R > met een optelling en scalaire vermenigvuldiging gedefineerd door (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2, y y 2 ), λ (x, y) = (x λ, y λ ). Is V met deze bewerkingen een vectorruimte over R? Opgave Los de opgave onderaan Voorbeeld?? op. Opgave Welk van de volgende afbeeldingen zijn lineair? Bepaal de kern en het beeld van de lineaire afbeeldingen en controleer de dimensiestelling.. L : R R gegeven door L : x 2x + 2. L 2 : R 2 R gegeven door L 2 : (x, y) x + y 3. L 3 : R 2 R gegeven door L 3 : (x, y) x y 4. L 4 : R 2 R 3 gegeven door L 4 : (x, y) (sin x, 7y, xy)

24 24 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN 5. L 5 : R 3 R 2 gegeven door L 5 : (x, y, z) (3y + z, x y z) 6. L 6 : M 2,2 (R) R gegeven door L 6 : A det(a) 7. L 7 : M 2,2 M 2,2 gegeven door L 7 : A A t 8. L 8 : R R gegeven door L 8 : x x n voor n > 9. L 9 : R[X] R[X] gegeven door L 9 : Q(X) P (X)Q(X) voor vast gegeven P (X) R[X].. L : F(R) R gegeven door L : f f(a) voor vast gegeven a R (hier is F(R) de vectorruimte van reële functies met R als domein.. L : R R gegeven door L : x e x. Opgave Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding T : R[X] 3 R[X] 3 gegeven door T : f f 4f + f ten opzichte van de geordende basis (X, + X, X + X 2, X 3 ). Opgave Beschouw de lineaire afbeelding L : R[X] 4 R 2 gegeven door L : a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4 (a + b, c + d + e) en de geordende basis α = (, + X, ( + X) 2, ( + X) 3, ( + X) 4 ) voor R[X] 4 en de geordende basis β = e + e 2, e e 2 ) van R 2.. Bepaal de coördinatentransformatie matrix van vectoren ten opzichte van de basis α naar de standaardbasis, X, X 2, X 3, X Bepaal de coördinaten van de vector X + X 3 + X 4 ten opzichte van de basis α. 3. Bepaal de matrix van L ten opzichte van de standaardbases, X, X 2, X 3, X 4 en e, e 2 4. Bepaal de matrix van L ten opzichte van de bases α en β. Opgave Beschouw de vectorruimte R[X, Y ] 2 = {ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f a, b, c, d, e, f R} met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging. Definieer L : R[X, Y ] 2 R[X] 2 door. Toon aan dat L lineair is. L : f(x, Y ) f(x, 2). 2. Geef de matrix van L ten opzichte van de geordende bases (X 2, XY, Y 2, X, Y, ) en (X 2, X, ). 3. Bepaal kern, beeld en rang van L.

25 2.7. OPGAVEN 25 Opgave Beschouw de volgende deelverzameling in de ruimte M 2,2 (R) van twee bij twee matrices V = {( ) } a a + b a, b, c R. c Bewijs dat V een deelruimte van M 2,2 (R) is, die isomorf is met R 3. Opgave Bepaal twee onafhankelijke oplossingen van de lineaire differentiaalvergelijking d 2 dx 2 y + 3 d y 4y =. dx (hint: probeer oplossingen e λx met nader te bepalen λ. Opgave Bepaal twee onafhankelijke oplossingen van de lineaire differentiaalvergelijking d 2 dx 2 y + 3 d x dx y 3 x 2 y =. (hint: probeer oplossingen y = x a voor nader te bepalen a). Opgave De lineaire afbeelding A : R 3 R 3 wordt gegeven door 5 A = 4 4, 2 6 A = 2 2, 3 A = Bereken de matrix van A ten opzichte van de standaardbasis van R Zij gegeven de geordende basis 2 2 f = 2 2, f 2 =, f 3 = 4 5 van R 3. Bepaal de matrix van A ten opzichte van f, f 2, f 3. Opgave Zij V en W een tweetal vectorruimten met geordende bases e, e 2, e 3 respectievelijk f, f 2, f 3. De lineaire afbeelding A : V W wordt gedefinieerd door A(e ) = f + f 2, A(e 2 ) = 2f 2 f 3, A(e 3 ) = 4f + 2f 2 f 3. In V is een tweede basis e = 3e +e 3, e 2 = e +2e 2 +e 3, e 3 = e +2e 2 +2e 3 gegeven, en in W een tweede basis f = f 2, f 2 = 3f + 2f 2 + 3f 3, f 3 = 3f + f 2 + 2f 3.. Bereken de matrix van A ten opzichte van de bases e, e 2, e 3 en f, f 2, f Bereken de matrix van A ten opzichte van de bases e, e 2, e 3 en f, f 2, f Bewijs dat A een bijectieve afbeelding is en bereken de matrix van A ten opzichte van e, e 2, e 3 en f, f 2, f 3.

26 26 HOOFDSTUK 2. VECTORRUIMTEN Opgave In R 3 zijn de vectoren 2 e =, e 2 =, e 3 =, f =, f 2 = 2, f 3 = gegeven.. Bewijs dat E = e, e 2, e 3 en F = f, f 2, f 3 een tweetal bases van R 3 is. 2. Bereken de overgangsmatrix I E F. 3. De lineaire afbeelding A : R 3 R 3 heeft ten opzichte van E de matrix Bereken de matrix van A ten opzichte van F. Opgave Zij e, e 2, e 3 de standaard basis van R 3. De afbeelding A : R 3 R 3 wordt gegeven door A(x) = (e + e 2 + e 3 ) x voor elke x R 3.. Bewijs dat A een lineaire afbeelding is. 2. Bereken de matrix van A ten opzichte van de standaard basis. 3. Zij f = e, f 2 = e + e 2, f 3 = e + e 2 + e 3. Bereken de matrix van A ten opzichte van f, f 2, f 3. Opgave Zij W, W 2 een tweetal deelruimten van een vectorruimte V. Laat zien dat W W 2 een deelruimte van V is. Opgave Zij W, W 2 een tweetal deelruimten van de vectorruimte V. Laat zien dat W W 2 een deelruimte is precies dan als W W 2 of W 2 W. Opgave Zij W, W 2 een tweetal eindigdimensionale deelruimten van een vectorruimte V. Laat zien dat W + W 2 eindigdimensionaal is en dat dim(w + W 2 ) = dim(w ) + dim(w 2 ) dim(w W 2 ). (Hint: breidt een basis van W W 2 uit tot een basis van W en van W 2 ). Opgave Als S, S 2 niet-lege deelverzamelingen van een vectorruimte V zijn, dan geven we met S + S 2 de verzameling {x + y x S, y S 2 } aan. Stel dat W, W 2 deelruimten van V zijn. Laat zien dat W + W 2 een deelruimte van V is die W, W 2 omvat. Laat ook zien dat W + W 2 de kleinste deelruimte van V is die W en W 2 omvat (dat wil zeggen, elke deelruimte die W en W 2 bevat moet ook W + W 2 bevatten). Opgave lineaire afbeelding. Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V W een. Bewijs, als dim(v ) < dim(w ), dan is A niet surjectief. 2. Bewijs, als dim(v ) > dim(w ), dan is A niet injectief.

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire Algebra WISB121. F.Beukers 2018 Departement Wiskunde

Lineaire Algebra WISB121. F.Beukers 2018 Departement Wiskunde Lineaire Algebra WISB F.Beukers 8 Departement Wiskunde UU n n n R R 3 A v v A B v AB v C D v = CD AB CD B D A a a a b a b a + b C a b a a+b a+b b b a a b b a a a - b b a b a λ R λ > a λ a a λ λ < a

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen

Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Uitwerking en opmerkingen Tweede huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 en opmerkingen November 10, 2009 Opgave 1 Gegeven een vectorruimte V met deelruimtes U 1 en U 2. Als er geldt dim U 1 = 7, dimu 2 = 9, en dim(u 1 U 2 ) = 4, wat

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3. (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten

Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten Hoofdstuk 3 Vectorruimten en lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten 3.1 Vectorruimte : definitie en voorbeelden R DEFINITIE 3.1 vectorruimte Een vectorruimte of lineaire ruimte over een veld F is een

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.

opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2. opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 2

Tentamen Lineaire Algebra 2 Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y.

wordt de stelling van Pythagoras toegepast, in dit geval twee keer: eerst in de x y-vlakte en vervolgens in de vlakte loodrecht op de vector y. Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 2 Les 5 Inproduct Als we het in de meetkunde (of elders) over afstanden en hoeken hebben, dan hebben we daar intuïtief wel een idee van. Maar wat is eigenlijk de

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie