Vrije Ruimte WISKUNDE. Schooljaar Van Hijfte D.

Transcriptie

1 Vrije Ruimte WISKUNDE Schooljaar Van Hijfte D.

2 LINEAIRE ALGEBRA H1 Reële vectorruimten 1.1 Definitie en voorbeelden Stel V is een verzameling waarvan we de elementen vectoren noemen en die we noteren als uur uur v,v R,V,+ is een reële vectorruimte a.s.a. uur uur uur uur 1) de optelling in V is intern: ( v1 V)( v2 V)(v1 + v2 V) uuruuruur uur uur uur uur uur uur 2) de optelling in V is associatief : ( v 1,v 2,v3 V)(v 1 + (v2 + v 3) = (v1 + v 2) + v 3) r r r r r r r 3) V bevat een neutraal element voor de optelling : ( v V)( o V)(v + o = o + v = v) r r r r r r r 4) V bevat voor elk element een tegengesteld element : ( v V)( ( v) V)(v + ( v) = o = ( v) + v) uur uur uur uur uur uur ( v V)( v V)(v + v = v + v ) 5) de optelling in V is commutatief: Er wordt een scalaire vermenigvuldiging op V gedefinieerd die voldoet aan volgende eigenschappen: r r 6) De scalaire vermenigvuldiging is intern ( r R)( v V)(r.v V) 7) De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in V : rur r ur r ur ( r R)( v,w V)(r.(v+ w) = r.v+ r.w) 8) De scalaire vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in R : r r r r ( r, s R)( v V)((r + s).v = r.v + s.v) r r r 9) De scalaire vermenigvuldiging is gemengd associatief: ( r,s R)( v V)(s.(r.v) = (sr).v) r r r 10) ( r R)( v V)(r.v = v) Dit getal wordt voorgesteld als 1 1 Voorbeelden: 1. R² = { (x,y) x R en y R } Definitie som ( a,b,c,d R)((a,b) + (c,d) = (a+ c,b + d)) Definitie scalaire vermenigvuldiging: ( r R)( (a,b) R²)(r.(a,b) = (ra,rb)) Men kan eenvoudig aantonen dat R,R²,+ een reële vectorruimte is. 2. R, π o, + is een reële vectorruimte. 3. R, R 2x2,+ is een reële vectorruimte schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 2

3 4. Stel R[x] de verzameling van alle veeltermen in één veranderlijke x R[x] = {a n x n + a n-1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a n,..., a 0 R en n N } R, R[x],+ is een reële vectorruimte. Oefening : is R,Z,+ een reële vectorruimte? en R,Q,+? en R,R,+? Volgende eigenschappen zijn geldig in om het even welke vectorruimte: r r r r a) Als = 0 of v = o dan is rv = o en omgekeerd r r r b) (rv) = ( r)v = r( v) 1.2 Lineaire combinaties afhankelijk - onafhankelijk vb1: In R² geldt er dat (3,-7) = -2. (1,1) + 5.(1,-1) Men zegt dat (3,7) te schrijven is als lineaire combinatie van (1,1) en (1,-1) of ook (3,7) is lineaire combinatie van de verzameling {(1,1),(1,-1)} In dit geval zegt men ook dat (3,7) lineair afhankelijk is van (1,1) en (1,-1) vb2: Beschouw de verzameling {(1,0),(0,1),(3,5)} Men kan narekenen dat v 3 te schrijven is als lineaire combinatie van v 1 en v 2. In dit geval zegt men dat de verzameling {(1,0),(0,1),(3,5)} lineair afhankelijk is. vb3: In R[x] is de veelterm 2+3x-5x² een lineaire combinatie van {2,1+x,x+x²} Definities: Stel R,V,+ een vectorruimte en v r V r r r v 1, v 2,...,vn is een niet ledige deelverzameling van V. D = { } v r is een lineaire combinatie van D of v r is lineair afhankelijk van D a.s.a. n r r r r ( ( a 1, a 2,..., an) R )(v = a1v1 + a2v anv n) of n r r v = ai vi D is lineair afhankelijk a.s.a minstens één vector van D te schrijven is als lineaire combinatie van de overige vectoren van D. i= 1 D is lineair onafhankelijk a.s.a. geen enkele vector van D te schrijven is als lineaire combinatie van de overige vectoren van D. Men zegt hier ook D is een vrij deel. schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 3

4 Oefeningen. Schrijf z r ur r 1 als lineaire combinatie van xeny in volgende gevallen: a) x(3,5), y(2,1) en z(-2,3) b) x(1,2), y(5,3) en z(3,-2) c) x(1,0,0), y(0,2,3) en z(2,4,3) d) x(2x-5), y(x²+x-3) en z(x²-1) e) x, y en z Schrijf (1,2) als lineaire combinatie van a) {(1,0),(1,1)) b) {(1,1),(1,2),(2,1)} c) {-1,3),(2,-6)} 3. Een deelverzameling D die de nulvector van de vectorruimte bevat is altijd lineair afhankelijk. Waarom? 4. Stel D = {1,1+x,1+x+x²} Schrijf als lineaire combinatie van D: a) x²-x+1 b) x+5 c) 0 5. Welke veeltermen zijn niet te schrijven als combinatie van D (oef 4)? 6. Voor welke waarde van r zal (1,2,r) te schrijven zijn als combinatie van (3,0,-5) en (1,-2,-3)? 7. Bij deze oefening is R,V,+ een reële vectorruimte en D een niet ledige deelverzameling van V. a) Toon aan dat de nulvector steeds een lineaire combinatie is van D. b) De som van twee lineaire combinaties van D is zelf een lineaire combinatie van D. Bewijs c) Elk reëel veelvoud van een lineaire combinatie van D is zelf een lineaire combinatie van D. Bewijs. d) Als v r V op meer dan één manier te schrijven is als lineaire combinatie van D, dan is de nulvector ook op meer dan één manier te schrijven als lineaire combinatie van D. Bewijs. e) Formuleer de contrapositie van d 8. { (a,b), (c,d) } is lineair afhankelijk ad bc = 0 Bewijs Wat is de contrapositie van deze uitspraak? 9. Is Q,Q²,+ een vectorruimte? schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 4

5 1.3 Deelruimte van een vectorruimte. vb: We hebben gezien dat R,R²,+ een vectorruimte is. Beschouw van R² de volgende deelverzameling D = {(x,0) x R} Het is eenvoudig te controleren (zelf doen) dat R,D,+ een vectorruimte is ( de 10 eigenschappen zijn voldaan) Men zegt hier : D is een deelruimte van R². Definitie: R,D,+ is een deelruimte van R,V,+ a.s.a. D V R,D,+ is een vectorruimte Criterium van deelruimten: D is een deelruimte van V a.s.a. D bevat elke lineaire combinati e van 2 willekeurige elementen van D of elke lineaire combinatie van 2 willekeurige elementen van D is terug een element van D In symbolen: r ur r ur D is deelruimte van V ( r,s R)( v,w D)(rv+ sw D) Voorbeelden: D = {(x,2x) x R}is deelruimte van R² D = {(x,y) x+y=0} is deelruimte van R² x 0 D = x,y R is deelruimte van R,R 2x2,+ y x+ y D = { (1,x,2x) x R} is geen deelruimte van R,R³,+ Eigenschap: Als D een niet ledige deelverzameling is van V dan is de verzameling van alle mogelijke lineaire combinaties van D een deelruimte van V. Men noteert deze deelruimte als Vect{D} (vectorruimte voortgebracht door D) Bewijs en voorbeelden : zie klas. uuruur uur otatie : Vect D = Vect{ v 1,v 2,..., vn} uur uur uur N = { a1v1 + a2v anvn} Met behulp van deze nieuwe notatie kun nen we nu schrijven v r is lineair afhankelijk van D a.s.a. v r Vect(D) schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 5

6 Oefeningen. 1. Controleer of volgende deelverzamelingen deelruimten zijn: 2. a) b) {(0,x,2x) x R } { (0,x,x²) x R } c) x y x,y R x+ y x y d) {ax²+b a,b R} e) { ax²+b a,b Z} f) { (x,y,z) x-2y+z=0 } g) { (x,y,z) x-2y+z=2 } r r v V :Rv is een deelruimte van V. Bewijs. 3. Als A en B deelruimten zijn van V dan is de doorsnede van A en B ook deelruimte van V. Bewijs. Zoek een passend voorbeeld. 1.4 Voortbrengend deel en vrij deel van een vectorruimte Voortbrengend deel van een vectorruimte Definitie: A is voortbrengend deel van de vectorruimte V a.s.a. Vect(A) = V a.s.a. elke vector van V is te schrijven als combinatie van A vb: {(1,0),(0,1)} is voortbrengend deel van R² {(1,0),(1,1)} is voortbrengend deel van R² {(1,1),(2,2)} is niet voortbrengend voor R² Eigenschappen Als A een voortbrengend deel is van V en A B dan is B een voortbrengend deel van V Aanzuiveringseigenschap: Als een vector v ur i van een voortbrengend deel A van V een lineaire combin atie is van de overige vectoren van A dan is A \ { v ur i } een voortbrengend deel van V. schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 6

7 Vervangingseigenschap Wordt in een voortbrengend deel A van V een ve v ur ctor i vervangen door v ur voorkomt een lineaire combinatie van A waarin i dan is de nieuwe verzameling A terug een voortbrengend deel van V Vrij deel van een vectorruimte Definitie: A is een vrij deel van een vectorruimte V a.s.a. A is lineair onafhankelijk a.s.a. geen enkele vector van A is lineaire combinatie van de overige vectoren Eigenschappen A is een vrij deel van V a.s.a. o r is op precies één manier te schrijven als lineaire combinatie van A Uitbreidingseigenschap Als A een vrij deel is van V en p r VectA dan is A { p r } een vrij deel van V Stelling van Grassman Een vrij deel van V kan niet meer elementen bevatten dan een voortbrengend deel van V Oefeningen 1. Controleer of volgende deelverzamelingen van R² voortbrengend en (of) vrij deel zijn: a) {(1,0),(1,1)} b) {(1,2),(2,3),(3,4)} 2. Controleer of volgende deelverzamelingen van R³ voortbrengend en (of) vrij deel zijn: a) {(1,2,3),(1,0,0),(0,1,0)} b) {(1,0,1),(-2,1,0),(-3,2,1)} 3. Controleer of volgende deelverzameling van R[x]³ voortbrengend en (of) vrij is: a) {1,1+x,1+x²,1+x+x²+x³} b) {0,1+x,x²,x+x³} c) {1+x,x+x²,x²+x³,1+x³ d) {5,2x,3x²,-x³,1+4x} 4. Als A een vrij deel is van V en B A da n is B een vrij deel van V. Bewijs. 5. Als {v 1, v 2} een vrij deel is van V, dan is ook { v 1 + v2, v 1 v 2 } een vrij deel van V. Bewijs. 6. Onder welke voorwaarde is (a,b,c) een vector van Vect{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)}? schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 7

8 7. Onderzoek of volgende veeltermen lineair onafhankelijk zijn: a) x³-x+1, x²+1, x³+2x²-x+5 b) x²+x, x-1, x³-1 c) x²+3x+4, 1, 2+x², 3x+1, x ²+x+1 8. Als A = {v 1, v 2,, v p } een vrij deel is van V en a = is een vector van V dan is deze lineaire combinatie enig. Bewijs. 9. Als {v 1,v 2,v 3 } een vrij deel is van V dan is ook {v 1 +v 2 +v 3, v 1 -v 2 -v 3, 2v 1 -v 2 +v 3 } een vrij deel van V. Bewijs. 1.5 Basis van een vectorruimte of deelruimte. p i= 1 a i v i Definitie en vb. Definitie basis Stel V een vectorruimte en B een deelverzameling van V B is een basis van V a.s.a. B is vrij en is een voortbrengend deel van V Vervang in de definitie V door D ( deelruimte van V ) en je bekomt de definitie van basis van een deelruimte. Vb: zie klas Eigenschappen. Twee basissen van eenzelfde vectorruimte V bevatten precies evenveel elementen. Bewijs en voorbeelden : klas. Het aantal elementen van een willekeurige basis van een vectorruimte of deelruimte noemen we de dimensie van de vectorruimte of deelruimte. B is een basis van V a.s.a. elke vector van V is op precies één manier te schrijven als lineaire combinatie van B. Bewijs zie klas. Gevolg: als B = {e 1, e 2,..., e n } een basis is van een vectorruimte en v een willekeurige vector van V n dan is v = a e de unieke schrijfwijze van v. Het n-tal (a, a,.., a ) noemen we de coördinaat i= 1 i i 1 2 n van v ten opzichte van de basis B. Merk op dat de coördinaten van eenzelfde vector veranderen als de basis verandert. Stel V is een n-dimensionale vectorruimte Een deelverzameling van V met minder dan n elementen kan nooit voortbrengend zijn. Een deelverzameling van V met meer dan n elementen kan nooit vrij zijn. schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 8

9 Oefeningen 1. Verklaar waarom volgende deelverzamelingen al dan niet een basis zijn voor de betreffende vectorruimte: a) { (1,2), (2,3), (0,1)} b) {(1,2,3),(2,3,4)} c) {1,1+x,1+x+x²} in R[x] ² d) {1,1+x+x²,x+3,x²} in R[x]² 2. Vul aan tot een basis in R³: a) {(1,2,3),(2,3,4)} b) {(1,0,1),(-1,1,2),(1,1,4)} 3. Stel een basis op van volgende deelruimten: a) R[x]³ b) {(x,y,z) x+y+z=0} c) x y x + y = z + u z u d) {(x,y,z) x+y+2z=0 en 2x-3y+z=0} 4. Schrijf de verzameling A van de oplossingen van de vergelijking x-2y+3z=0. De bekomen verzameling is een deelruimte van R³ Geef van de verzameling een basis Bepaal de coördinaten van (8,1,-1) ten opzichte van uw gekozen basis. 5. Als {v 1, v 2 } een basis is van een tweedimensionale vectorruimte dan is {v 1 +v 2,v 1 -v 2 } ook een basis. Bewijs. 6. Toon aan dat alle vectoren (x,y,z,u) van R 4 die voldoen aan de eigenschap u = ax+by+cz met a,b,c R een deelruimte vormen. Stel een basis op van deze deelruimte. 7. We werken in R³. X is een deelruimte met dimensie 2, Y is een deelruimte met dimensie 2. Wat kan je zeggen van dim(x Y)? 8. Stel een basis op voor Vect{(1,0,1,0),(1,2,1,-1),(-2,0,3,2),(0,0,5,2)} schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 9

10 H2 LINEAIRE AFBEELDINGEN 2.1 Definitie,voorbeelden en eigenschappen Vb.1 Beschouw in e π en evenwijdige projectie met drager A o en richting B o. o Bo x y Ao Construeer p(x), p(y), p(x+y), p(x)+p(y), p(2x), 2.p(x) Besluit : het beeld van een lineaire combinatie van vectoren is de lineaire combinatie van de beelden. We zeggen dat de projectie op een rechte volgens een niet evenwijdige richting een lineaire afbeelding is van π op vb. 2 o uur uur Stel ( e,e 1 2) π o is een basis van π o. Beschouw de coördinatenafbeelding γ: is de afbeelding die elke vecto r van afbeeldt op de zijn coördinaten ten opzichte van de gegeven basis. π o Toon aan dat deze afbeelding lineair is. vb.3 Beschouw de homothetie in met centrum o en factor r: Toon aan dat deze afbeelding een lineaire afbeelding is. ur ur ur π o ( x πo)( h(x) r = rx) Definitie lineaire afbeelding Stel R,V,+ en R,W,+ zijn reële vectorruimten ur r ur r ur uur x, y V r, s R f(rx + sy) = r.f( x) + s.f(y) f: V W is lineair ( )( )( ) schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 10

11 Notaties: Als V = W dan is f een lineaire transformatie van V vb. zie vorige bladzijde Als W = R dan is f een lineaire vorm over V vb. f: R² R f(x,y) = x+y De verzameling van de lineaire afbeeldingen van V op W duiden we aan met Lin(V,W) Als f een lineaire bijectie is van V naar W dan noemen we f een ISOMORFISME tussen V en W. Als er tussen 2 vectorruimten V en W een isomorfisme bestaat dan zijn V en W isomorf. EIGENSCHAP Zijn R,V,+ en R,W,+ reële vectorruimten uur uur uur uur uur uur { e 1,e 2,...,en} een basis van V en w 1,w 2,...,wn W Er bestaat precies één lineaire afbeelding f van V o p W zodat ur uur f(e ) = w met 1 i n i i Bewijs : zie klas. Gevolg van deze eigenschap: een lineaire afbeelding van V in W is volkomen bepaald door het beeld van een basis van V Als f een isomorfisme is tussen V en W dan is het beeld van een basis van V een basis van W. Bewijs: zie klas Als f een lineaire afbeelding is van V naar W dan is f( 0 ur ) = 0 ur Waarom? Kern en beeld van een lineaire afbeelding: De kern van een lineaire afbeelding f van V naar W 1 ur fgebeeld op de nulvector van W: kern f = f 0 a ( ) zijn de vectoren van V die onder f worden Het beeld fv van een lineaire afbeelding f van V naar W is de verzameling van alle beelden van de vectoren van V onder f vb: f R³ R³ (x,y,z) (x,y,0) Eigenschappen van kern en beeld : 1. fv is een deelruimte van W 2. kernf is een deelruimte van V 3. dim fv + dim kern f = dim V schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 11

12 2.2 Matrix van een lineaire afbeelding vb1 Beschouw het vlak π waarin we een orhonormale basis ki o uur uur ezen: { e,e 1 2} Neem als lineaire transformatie f de spiegeling rond de X-as. We hebben gezien dat e lke lineaire afbeelding volledig bepaald is door het beeld van de basisvectoren. Wat zijn deze beelden? ur uur uur Stel x = xe1 + ye2 dan is x(x,y) Stel de coördinaten van fx ( ur ) gelijk aan ( x, y ) Welk verband bestaat tussen (x,y ) en (x,y)? x' x Probeer dit verband in matrixnotatie te notere n : = M. y' y Wat is M? uuruur We werken in het vlak met basis { e,e 1 2}. vb2 uur uur uur uur uur uur We constueren een lineaire transformatie van het vlak: fe ( 1) = 2e1 + 3e2 en fe ( 2) = 4e1 + e2 ur ur fx (x,y ) en probeer het in matrixnotatie te schrijven. Stel x(x, y). Bereken ( ) vb3 f: R³ R³ (x,y,z) (x+y,z,x-y) Gevraagd : Schrijf in matrixnotatie. vb4 f : R³ R² (x,y,z) (x,y+z) Gevraagd : Schrijf in matrixnotatie. Definitie matrix van een lineaire afbeelding Stel Ste l f een lineaire afbeelding van R,V,+ naar R,W,+ uuruur uur uur uur uur e,e,...e een basis van V en u,u,...u een basis van W Stel { 1 2 n} { 1 2 m} a11 a a1n a a... a n k= m ur uuur..... fe ( i ) = a ki uk dan is de afbeeldingsmatrix van f k= 1... am1 am2 amn ten opzichte van de gekozen basissen in V en W. Merk op: in de 1 ste kolom staan de coördinaten van het beeld van e uur 1 ten opzichte van de u-basis in W de In de 2 kolom staan de coördinaten van het beeld van e uur 2 tov de u-basis in W.. De matrix van een lineaire transformatie van V naar W is afhankelijk van de keuze van van de basis in W. Verandering van basis levert meestal een andere matrix op. de basis in V en schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 12

13 Oefeningen 1. Bij volgende situaties behoren de gegeven pijlen met zekerheid niet tot een lineaire transformatie. Verklaar. 2. Welke van volgende afbeeldingen zijn linear? Welke zijn lineaire transformaties? Welke zijn lineaire vormen? Geef, als het mogelijk is, een meetkundige interpretatie. a) f(x,y) = (y,x) b) f(x,y) = (x²,0) c) f(x,y) = (x+2,y+3) d) f(x,y,z) = (x,y) e) g) f(x,y,z) = x+y f(x,y) = x+y+3 f) f(x,y) = (x,y,x+y) h) f(x,y) = (x,0,2x) i) f : R[x]² R[x] 1 : a + bx + cx² b + 2cx 3. Een lineaire transformatie van π o zal het midden van een lijnstuk altijd afbeelden op het midden van het lijnstuk gevormd door de beelden. 4. Als het beeld van een vector x ur onder een lineaire transformatie zichzelf is, dan noemen we x ur een dekpunt van de lineaire transformatie. Toon aan dat als een lineaire transformatie een dekpunt ur heeft verschillend van 0, de transformatie nog andere dekpunten heeft. Welke zijn deze? Geef een meetkundig voorbeeld. 5. Gegeven f: R³ R³ (x, y,z) (x+y+z, ax+y+z,x+by+z) is een lineaire transformatie. Bespreek de dimensie van de kern en het beeld. 6. Gegeven f: R² R (x,y) ax+by. Wat is de kern en het beeld? schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 13

14 7. Elke lineaire afbeelding van R³ naar R² heeft een van nul verschillende kern. Verklaar. 8. Stel f is een lineaire transformatie van π waarbij f( en f( y r met x ur en y r o x ur ) = z r ) = z r verschillende vectoren. Toon aan dat er naast de nulvector nog andere vectoren in de kern zitten. 9. Stel de matrix op van volgende lineaire tra nsformaties van π o : a) Projectie op Y-as volgens de X-as b) homothetie met factor 5 c) puntspiegeling ten opzichte van de oorsprong d) rotatie met centrum oorsprong en rotatiehoek α e) spiegeling rond y = x ( orthonormaal assenstelsel!!! ) 10. Stel de matrix op van volgende lineaire transformaties van de ruimte: a) Projectie op het yz-vlak b) Spiegeling rond XZ-vlak c) rotatie rond de Z-as over hoek α 11. Gegeven een lin transformatie van R² waarbij f( 1,0) = (3,5) en f(0,1) = (-1,2) Gevraagd: a) f(-3,7) b) kern f c) f R² d) f -1 (-2,7) 12. Analoge vragen als je weet dat f(1,0 ) = (2,3) en f(0,1) = (4,6) 13. Analoge vragen als je weet dat f(1,2) = (3,-4) en f(5,2) = (1,1) 14. f is een lineaire transformatie van R³ en f(1,0,1)=(0,1,2) f(2,1,3)=(2,0,4) en f(0,0,1)=(1,2,3) Bereken kern f, f(2,6,4) en f -1 (0,1,2) 15. f is een lineaire afbeelding van R³ naar R³ waarbij f(1,2,-3) = (2,5), f(0,1,0 ) = (0,3) en f(0,1, 1)= (-3,4). Bepaal kern f 16. f is een lineaire vorm en f(1,5) = a en f(2,6) = b. Hoeveel is f(3,4)? 17. Stel e en u zijn basissen van π o. Stel de matrix van f ten opzichte van de basis e is Zoek de matrix van f ten opzichte van de basis u als je weet dat: uur r uur uur uur r uur uur uur uur a) u = e2 en u = e u = 2e1 + 3e en u = e 3e b) Stel de transformatiematrix op van een spiegeling in rond de rechte y = mx. (we werken ten opzichte van een orthonormale basis ) Stel f is een lineaire transformatie van πo en f e = 3 2. Bereken f u als je weet dat uur r uur uur uur uur u = 2e + 3e en u = e 3e? π o schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 14

15 2.3 Samenstelling van lineaire afbeeldingen. Stel f en g lineaire transformaties v an πo met respectievelijke matrices a1 c1 a2 c2 f e = b d en ge = 1 1 b2 d 2 Bereken de transformatiematrix van (g f) ten opzichte van dezelfde basis. Besluit : ( g f ) e = g e. f e Toepassing : De transformatiematrix van een asspiegeling rond een rechte die een hoek α insluit met de X-as wordt cos2α sin2α gegeven door sin2α cos2α 2.4 Orthogonale transformaties van het vlak. Een orthogonale transformatie van het vlak is een lineaire isometrie van het vlak. Een isometrie is elke afbeelding die de afstand bewaart. In het vlak zijn de isometrieën: spiegeling rond een rechte, rotatie, translatie. De lineaire isometrieën zijn bijgevolg de asspiegelingen rond een rechte door de oorsprong en de rotaties met als centrum de oorsprong. a) rotatie a De matrix is van de vorm b met a²+b²=1 b a b) asspiegeling De matrix is van de vorm met a²+b²=1 a b b a Opmerking: Bereken in beide gevallen het product van de matrix met de getransponeerde. Besluit? schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 15

16 Oefeningen: 1. Gegeven : f: R² R² (x,y) (x+y,2x) g : R² R² (x,y) (y+2x,x-y) Bereken het voorschrift van g f, f g, f² 2. Gegeven: f: R³ R³ (x,y,z) (x+y,2y,z-xg: R³ R³ (x,y,z) (2x-y,x+z,y) Gevraagd : bereken (g f) -1 (1,0,5) 3. Bepaal het beeld van (3,-2) onder de rotatie met centrum O en rotatiehoek Stel r de rotatie met centrum o en rotatiehoek 30. Bereken r -1 (3,2) 5. Beschouw de projectie op de rechte y=x. Wat is het beeld van (3,-2)? 6. Toon aan dat de transformatiematrix van de projectie op de rechte y = mx gegeven wordt door 1 m 1+ m² m² m 1+ m² 2.5 Coördinatentransformatie. Onder coördinatentransformatie verstaan we het vervangen van een basis e door een nieuwe basis u zodat de coördinaten van de punten wijzigen volgens bestaande formules. v uur uur b: Stel als basis ( e,e 1 2) en het punt P(1,1) uuruur Wat zijn de coördinaten van het punt P(1,1) ten opzichte van de nieuwe basis ( u,u 1 2) uur uur u(2,1) en u ( 1,3) Probeer de formule in matrixvorm te brengen. 1 2 waarbij Besluit: Als (x,y) de coördinaten zijn van P ten opzichte van de basis e en (x,y ) zijn de coördinaten van P ten opzichte van de basis u uur uur u (a,b) u (c,d) Dan is en 1 2 x x' x' 1 P of P x y = = y' y' y a c waarbij P = b d ( matrix v/d coördinatentransformatie ) Toepassing: opstellen van de vergelijking van een kromme ten opzichte van een nieuwe basis. voorbeeld: Ten opzichte van een orthonormale basis is x² + y² = 25 de vergelijking van een cirkel. Wat wordt de vergelijking van deze cirkel ten opzichte van: u 2 a) u 1 (3,0) (0,4) b) u 1 (1,1) u 2 (-2,4) schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 16

17 Oefening en: 1. T.o.v. de natuurlijke basis is v (2,5). Bereken de nieuwe coördinaten tov de basis ( (3,1),(5,2)) 2. T.o.v. de natuurlijke basis is v(2,-1,1). Zoek de nieuwe coördinaten tov ((2,1,3),(1,0,1),(-1,1,1)) 3. Gegeven het punt P(-2,5). We voeren een rotatie door van het assenstelsel over een hoek van 45. Wat worden de nieuwe coördinaten. Deze oefening is op 2 manieren op te lossen. Hoe? 4. Een rechte heeft als vergelijking 2x+3y=5. We roteren het assenstelsel over een hoek van 90? Wat wordt de nieuwe vergelijking van de rechte? Toepassing : matrix van een lineaire transformatie bij verandering van basis. Stel f een lineaire transformatie van het vlak. In de meeste gevallen zal de matrix van de transformatie er anders uitzien naargelang de basis die we nemen in het vlak. vb: Stel de matrix op van een rotatie over 90 ten opzichte van 2 verschillende basissen e en u uur uur met u(1,0) 1 en u(0,2) 2 Opste llen van de formule: Stel f een lineaire transformatie van het vlak met matrix A tov e en matrix A tov u u is een nieuwe basis met matrix van de coördinatentransformatie P tov basis e : punt a met coördinaten (x,y) beeld van a met coördinaten x A. y Door de coördinatentransformatie krijgen we tov basis u: punt a met coördinaten P 1 x. y beeld van a met coördinaten P.A. y 1 x Hieruit volgt dus dat 1 x 1 x A'. P = P.A. y ar lgt dat A = P y wa uit vo P-1. A. P Formule: Als A de matrix van de lineaire transformatie tov de basis e is, P de matrix van de coördinatentransformatie is naar een nieuwe basis u Dan A = P -1. A. P waarbij A de matrix is van de lineaire transformatie tov de nieuwe basis u schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 17

18 voorbeeld : Gegeven de lineaire transformatie R² R² (x,y) (2x+y, 3x-2y) Bepaal de matrix van de transformatie horend bij a) de canonieke basis b) de nieuwe basis ( (1,1), (-2,0) ) Opmerking: Bereken det(a ). Wat stel je vast? Oefeningen: 1. Tov de natuurlijke basis in R² is de matrix van een lineaire tf A = Bereken de transformatiematrix tov volgende nieuwe basissen: a) ( (1,2), (1,-2) ) b) ( (2,0), (1,1) ) Gegeven de lineaire tf R³ R³ (x,y,z) (2x-y,x+y+z,y-z) Bepaal de matrix van deze transform atie ten opzichte van de nieuwe basis ((1,2,1),(-1,1,2),(1,2,3)) Toon aan dat de determinant onveranderd blijft. 3. f is een lineaire tf van R³ naar R³ zodat f(x,y,z) = (x+y+3z,2x-y+z,x+2y) Wat wordt dit voorschrift ten opzichte van de basis ( (1,1,1), (1,0,1), (-1,1,0) )? 2.6 Eigenwaarden en eigenvectoren. Bij een lineaire transformatie met matrix A kan het voorkomen dat sommige beelden een scalair veelvoud zijn van het origineel. We krijgen dus f( x ur ) = λ x ur. Hierbij is λ R en x ur 0 ur. Als f( x ur ) = λ x ur dan noemen we λ een eigenwaarde van de lineaire transformatie en x ur een bijhorende eigenvector. Eigenschap: Als x ur een eigenvector is horende bij eigenwaarde λ Dan is rx ur ook eigenvector horende bij dezelfde eigenwaarde. Gevolg: bij één eigenwaarde horen dus oneindig veel eigenvectoren: we spreken van de eigenruimte horende bij deze eigenwaarde. vb: Beschouw in een orthonormaal assenstelsel de projectie op de Y-as. Wat zijn de eigenwaarden en hun bijhorende eigenvectoren? schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 18

19 Bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren: algemene methode ( uitgewerkt bij R³ ) a b c Stel f een lineaire transformatie met matrix A = d e f g h i Noem x ur een eigenvector horende bij eigenwaarde λ dan moet f( x ur ) = λ x ur Hieruit volgt dat x x A. y = λ y z z waaruit volgt dat x 0 (A - λi ) y = 0 ( * ) z 0 Dit is de matrixnotatie van een homogeen stelsel met 3 vergelijkingen en 3 onbekenden. Dit heeft altijd de nuloplossing maar er moet een oplossing zijn verschillend van de nuloplossing dus moet det (A - λ I ) = 0 Deze vergelijking noemen we de eigenwaardevergelijking of de karakteristieke vergelijking. De oplossingen van deze vergelijking zijn de eigenwaarden. Als we deze oplossingen substitueren in (*) kunnen we het stelsel oplossen: de oplossingen zijn dan de coördinaten van de eigenvectoren die horen bij die eigenwaarde. Oefeningen Bereken de eigenwaarden en eigenvectoren als de matrix van de transformatie gegeven wordt door: schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 19

20 Eigenschappen ivm eigenwaarden en eigenvectoren. 1. Heeft een nxn-matrix A n verschillende eigenwaarden dan zijn n bijbehorende eigenvectoren n lineair onafhankelijk en vormen dus een basis van R 4 2 Illustreer bovenstaande eigenschap als A = Als v r een eigenvector is van A met bijhorende eigenwaarde λ dan is A k v r = λ k Bewijs: zie klas. Illustreer deze eigenschap. 3. Berekening van A k v r als v r een willekeurige vector is: (uitgewerkt vb op R²) Er bestaat een relatief eenvoudige manier om A k v r te berekenen op voorwaarde dat de eigenvectoren van A een basis vormen. Noem deze eigenvectoren v uur 1 en 2 ( eigenwaarden λ 1 en λ 2 ) Deze vormen een basis dus is v r v uur = a v uur uur 1 +b v 2 Hieruit volgt dat A v r = A.( a v uur 1 +b v uur ) = a A v uur 2 1 +ba v uur 2 = a. λ 1. v uur 1 + b. λ vuur 2. 2 r uur Analoog vinden we dat A² v = a. λ1² + b. λ ² vuur v1 2 2 v r Besluit: A k v r = a uur λ k 1 v 1 + b λ v uur k Diagonaliseren van een matrix Wanneer de matrix van een lineaire transformatie een diagonaalmatrix is dan is het beeld van een willekeurige vector altijd eenvoudig te bepalen: we moeten de elementen gewoon vermenigvuldigen met de elementen op de hoofddiagonaal. We kunnen derhalve onze basis zodanig veranderen dat de transformatiematrix een diagonaalmatrix wordt. Nu weten we dat bij de keuze van een nieuwe basis met coördinatentransformatiematrix P de matrix van de transformatie wordt: A = P -1 A P Dit moet een diagonaalmatrix D zijn. Dus D = P -1 A P Onbekenden hierin zijn D en P Hieruit volgt PD = AP. We bekijken van beide producten de kolommen. Stel K 1 de eerste kolom van P dan is A.K 1 de eerste kolom van het product AP Stel a het eerste diagonaalelement van D dan is ak 1 de 1 ste kolom van het product PD Dus hieruit volgt dat A.K 1 = a. K 1. Bijgevolg is K 1 een eigenvector die hoort bij eigenwaarde a. Analoog zal K 2 een eigenvector zijn die hoort bij eigenwaarde b. We kunnen zo verder redeneren voor de overige kolommen. Besluit: In de diagonaalmatrix D staan de eigenwaarden van matrix A op de hoofddiagonaal en is P de matrix waarvan de kolommen bijbehorende eigenvectoren bevatten. Het diagonaliseren van een matrix is enkel mogelijk als er zoveel verschillende eigenwaarden zijn als de rang van A groot is. 4 2 Vb: A = 3 1 Eigenwaarden zijn 1 en 2. Bij eigenwaarde 1 hoort eigenvector (-2,3) ; bij eigenwaarde 2 hoort eigenvector (1,-1) schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 20

21 Besluit : P = We kunnen eenvoudig nagaan dat P A P = Besluit: als we als nieuwe basis ((-2,3), (1,-1) ) nemen wordt de transformatiematrix een diagonaalmatrix met als diagonaalelementen de eigenwaarden. 5. Product en som van de eigenwaarden. Is A een nxn-matrix met eigenwaarden λ 1, λ 2,,λ n dan is det A = Πλ i Bewijs (voor 3x3) De eigenwaarden worden berekend met de karakteristieke vgl: det (A - λi)=0 a11 λ a12 a13 dit is det a21 a22 λ a23 = 0 a31 a32 a33 λ Het linkerlid is na uitwerking een veelterm van de 3 de graad in λ van de vorm -λ³+aλ²+bλ+c. Stellen we λ = 0 dan bekomen we : deta = c. Nu is de ontbinding in factoren van het linkerlid: -(λ-λ 1 )( λ-λ 2 )(λ-λ 3 ). De constante term hiervan is dus det A. Deze constante term is niets anders dan λ 1 λ 2 λ 3 waarmee de eigenschap bewezen is. Men kan tevens aantonen dat het spoor van de matrix A ( de som van de elementen van de hoofddiagonaal) gelijk is aan de som van de eigenwaarden. Oefeningen:. Toon aan dat v uur 1 (1,1) en vuur 2 (1,-1) eigenvectoren zijn van A = Bepaal A 250 v uur 1 en A m vuur 2 2. Toon aan dat v uur (2,1) en (1,-2) eigenvectoren zijn van vuur Bereken A k v r als v r (5,5) Als A = en 6 11 v r (7,-5) bereken dan A k v r 4. diagonaliseer volgende matrices: a) b) We hebben gezien dat een matrix A kan worden gediagonaliseerd zodat D = P -1 AP Toon aan dat h ieruit volgt dat A k gelijk is aan P. D k. P -1 Gebruik deze eigenschap om k te berekenen. schooljaar vrije ruimte wiskunde blz 21