ABSTRACT INHOUD VAN DE SYLLABUS SITUERING IN TELEGRAMSTIJL

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "ABSTRACT INHOUD VAN DE SYLLABUS SITUERING IN TELEGRAMSTIJL"

Transcriptie

1 WIE NIET ZOEKT, NIET VINDT. HEURISTIEKEN OM WISKUNDIGE PROBLEMEN OP TE LOSSEN SYLLABUS DAG VAN DE WISKUNDE 22 NOVEMBER 2014 MICHEL ROELENS (UC LEUVEN-LIMBURG; MARIA-BOODSCHAPLYCEUM; UITWISKELING) ABSTRACT Wie zoekt, die vindt zegt het spreekwoord. In wiskunde is dit niet altijd het geval. Maar zonder te zoeken, vind je niet; anders is de opgave voor jou geen probleem maar een routinetaak. Het Grieks voor vinden is heuriskein. Heuristieken zijn zoekstrategieën zoals omgekeerd werken, een tekening maken, een patroon zoeken... Om een oplossing te vinden voor een wiskundig probleem, heb je naast heuristieken zeker ook wiskundige kennis nodig. Bovendien moet je in staat zijn om je eigen zoekproces te sturen en beschik je best over een beetje zelfvertrouwen. Maar in deze workshop focussen we op de heuristieken. We lossen enkele problemen op en we analyseren de heuristieken die van toepassing zijn. In de syllabus krijg je per heuristiek nog meer gelijkaardige problemen mee. INHOUD VAN DE SYLLABUS Deze syllabus bevat de 10 problemen van de workshop; 12 extra problemen met oplossing en verder twee besprekingen uit Uitwiskeling als bijlagen. De eerste bespreking gaat over een boekje van Terence Tao, winnaar van de Fieldsmedaille, geschreven toen hij 15 jaar was, over hoe hij het aanpakt om problemen aan te pakken. De tweede bespreking gaat over een film van de jaren 1970 waarop de legendarische G. Pólya een probleem voorlegt aan een groep studenten. Deze film staat online. SITUERING IN TELEGRAMSTIJL - Problem solving is een essentieel aspect van wiskunde. - Problem solving staat op de leerplannen. - Een probleem is een vraag waar je niet meteen een oplossingsmethode voor kent. - Ook de gewone leerstof aanbrengen als probleem aanbrengen. - Schoenfeld (1985): liet experts luidop denken bij het oplossen van problemen en concludeerde dat je de volgende vier zaken nodig hebt om problemen op te lossen: - kennis, - heuristieken, - zelfsturing, - beliefs. - We focussen hier op de heuristieken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 1

2 DE PROBLEMEN VAN DE WORKSHOP 1 AANTAL PALINDROOMGETALLEN Hoeveel palindroomgetallen zijn er in {1, 2, 3,, 1000}? 2 DE SNELHEID VAN DE AUTO Een auto rijdt op een autoweg tegen 110 km/h. De chauffeur ziet een tweede auto, exact 1 km achterop. Exact 1 minuut later haalt de tweede auto de eerste in. Hoe snel reed de tweede auto, in de veronderstelling dat zijn snelheid constant is? Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 2

3 3 PIZZA IN STUKKEN Voor je ligt een grote pizza. Die mag je door rechte lijnen (volledige koorden) in stukken snijden. Hoeveel stukken kun je maximaal maken als je langs 10 rechte lijnen mag snijden? 4 SOM VAN DE COËFFICIËNTEN Bereken de som van de coëfficiënten van (x + y) 8. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 3

4 5 VIERKANTEN IN HET SCHAAKBORD Hoeveel vierkanten kan ik maken in een schaakbord? Een schaakbord heeft 8x8 vakjes en je mag geen lijnen bijtekenen. 6 HOEK TUSSEN DE WIJZERS Op deze klok is het ongeveer tien vóór twee. De wijzers staan dan zo dat ze elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de as 12u-6u. Bepaal voor deze situatie de exacte grootte van de hoek tussen de twee wijzers. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 4

5 7 HET 64-SPEL Twee spelers noemen om beurten een getal van 1 tot 8. Alles wordt opgeteld. Wie het laatste getal zegt zodat de som juist 64 wordt, wint. Je mag beginnen. Is er een strategie om altijd te winnen? 8 DE LENGTE VAN DE TUNNEL Je staat 100 m vóór de ingang van een tunnel. Je ziet de diameter van de ingang van de tunnel drie keer zo groot als de diameter van de uitgang. Hoe diep is de tunnel? Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 5

6 9 DE KIKKER Een kikker zit op de bodem van een waterput die 10 meter diep is. Elke dag klimt de kikker 50 cm, maar s nachts valt hij in slaap en zakt hij weer 40 cm. Hoe lang duurt het voor de kikker uit de put geraakt? 10 DE KOMKOMMERS Gegeven: 500 kg komkommers, die voor 99% uit water bestaan. Na een week bevatten ze nog 98% water. Hoeveel wegen ze nog? Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 6

7 EXTRA PROBLEMEN 1 EI KOKEN Hoe kun je een ei exact 15 minuten laten koken als je beschikt over twee timers, één van 7 minuten en één van 11 minuten? Het gaat hier over timers die enkel op het einde een belsignaal geven, maar waarop de tussentijd niet af te lezen is. 15 = , dus als we een manier vinden om 4 minuten af te meten met die twee timers, dan is het probleem opgelost. Nu is 4 = We kunnen beide timers tegelijk aanzetten, en intussen zorgen dat het water al kookt. Nadat de timer van 7 minuten afgaat, doen we het ei in het water. Tegen dat de timer van 11 minuten afgaat, zitten we al aan 4 minuten kooktijd. We zetten dan meteen de timer van 7 minuten weer op en wanneer die rinkelt, halen we het ei uit het water. Heuristiek: omgekeerd werken. 2 EMMERS VULLEN Je hebt twee emmers zonder merkstreepjes (het zijn dus géén maatbekers), één van 9 liter en één van 4 liter. Hoe kun je hiermee precies 6 liter water uit een waterput afmeten? Om 6 liter in de emmer van 9 liter over te houden, willen we die helemaal vullen en er 3 liter uit wegnemen. Dit lukt als we in de kleine emmer 1 liter water hebben staan. Hoe kunnen we 1 liter maken met deze twee emmers? 1 liter = 9 liter 4 liter 4 liter. Heuristiek: omgekeerd werken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 7

8 3 ZWAARTELIJNEN Construeer een driehoek waarvan de lengten van de zwaartelijnstukken gegeven zijn. Met zwaartelijnstuk bedoel ik het stuk van een zwaartelijn dat binnen de driehoek valt, anders gezegd het lijnstuk tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Het probleem is dat we van de zwaartelijnstukken enkel de lengten kennen, niet de hoeken waaronder ze elkaar snijden. We vertrekken van een schets van de oplossing: een driehoek ABC met de drie zwaartelijnen [AM], [BN] en [CP] die elkaar snijden in het zwaartepunt Z. We weten dat AZ = 2 ZM (en onze leerlingen leren dit in het derde jaar). Als we dus [ZM] verlengen tot een lijnstuk [ZQ] dat twee keer zo lang is, dan is AZ = ZQ. Bovendien is BZCQ dan een vierhoek met diagonalen die elkaar middendoor snijden. Een dergelijke vierhoek is altijd een parallellogram (dat weten wij, en onze leerlingen leren dit in het tweede jaar). Nu is de driehoek CZQ te construeren op basis van de gegeven lengten van de zwaartelijnstukken: elke van de drie zijden is immers 2 van een zwaartelijnstuk, en een driehoek met drie gegeven zijden is construeerbaar met 3 passer en liniaal! Als deze driehoek geconstrueerd is, lukt de rest ook! Heuristieken: omgekeerd werken, een tekening maken. Merk op dat deze heuristieken hier gecombineerd zijn met het steunen op meetkundige kennis (positie zwaartepunt; kenmerk parallellogram). Feitenkennis is belangrijk om problemen op te lossen! 4 OVERSTAANDE HOEKEN Hoeveel paar overstaande hoeken worden gevormd door 10 rechten die elkaar in één punt snijden. (Enkel hoeken strikt kleiner dan 180 tellen mee.) Tellen is lastig. Laten we beginnen met minder rechten. (Teken mee.) - 1 rechte: 0 paar overstaande hoeken. - 2 rechten: 2 paren overstaande hoeken. - 3 rechten: 6 paren overstaande hoeken. - 4 rechten: 12 paren overstaande hoeken. - 5 rechten: 20 paren overstaande hoeken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 8

9 Hier is een patroon in te zien: 20 = 5 4; 12 = 4 3; 6 = 3 2. Als dit patroon zich inderdaad verderzet, zijn er bij 10 rechten 10 9 = 90 paren overstaande hoeken. Kunnen we het patroon verklaren? Elke nieuwe rechte die erbij komt, vormt met elke oude rechte twee paar overstaande hoeken die nog niet geteld was. Bv. van vier naar vijf rechten: er waren 12 paren overstaande hoeken; de vijfde rechte zorgt voor 8 nieuwe paren overstaande hoeken; = 20. Met dit idee kan de inductiestap gezet worden in een bewijs door volledige inductie: als n rechten n(n 1) paren overstaande hoeken bepalen, dan zorgt de n + 1-ste rechte voor 2n nieuwe paren overstaande hoeken. Welnu: n(n 1) + 2n = (n + 1)n. Je kunt het ook anders bekijken: elk paar rechten zorgt voor twee paar overstaande hoeken (en die horen enkel bij dat paar). Als er 10 rechten zijn, dan kun je hierin C 2 10 = 45 paar vinden. Dus: 45 2 = 90 paar overstaande hoeken. Heuristieken: Patroon zoeken; ander standpunt innemen. 5 DE LOCKERS Er wordt een nieuwe school gebouwd met 1000 (genummerde) lockers. Het toeval wil dat er juist 1000 leerlingen inschrijven. Alle lockers zijn dicht. Op de eerste schooldag spreken de leerlingen het volgende af. De eerste leerling zal alle lockers openen. De tweede zal alle lockers omswitchen die een veelvoud van 2 zijn (van open naar dicht of omgekeerd). De derde zal alle lockers omswitchen die een veelvoud van 3 zijn. Enz. Als alle leerlingen gepasseerd zijn, hoeveel lockers zullen er dan open zijn? Laten we het eens proberen voor 10 lockers en 10 leerlingen i.p.v We maken een tabel Locker Leerling 1 O O O O O O O O O O Leerling 2 O D 0 D O D O D O D Leerling 3 O D D D O O O D D D Leerling 4 O D D O O O O O D D Leerling 5 0 D D O D O O O D O Leerling 6 0 D D O D D O O D O Leerling 7 0 D D O D D D O D O Leerling 8 0 D D O D D D D D O Leerling 9 0 D D O D D D D O O Leerling 10 0 D D O D D D D O D Lockers 1, 4 en 9 zijn open, de kwadraten. Inderdaad: alle getallen behalve de kwadraten hebben een even aantal delers, want die delers komen in paren voor. Maar de kwadraten hebben een oneven aantal delers. 10: 1 en 10; 2 en 5; 12: 1 en 12; 2 en 6; 3 en 4 9: 1 en 9; 3 16: 1 en 16; 2 en 8; 4. Een oneven aantal keren omswitchen levert als resultaat op: open. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 9

10 Omdat 31 2 = 961 < 1000 < 1024 = 32 2, zijn er 31 kwadraten in {1, 2, }. Er zullen dus 31 lockers open zijn. 6 0PPERVLAKTE TUSSEN DRIEHOEKEN Vind de oppervlakte van het gebied tussen de driehoek ABC en de driehoek GHI, als je weet dat de zijden van de drie driehoeken evenwijdig zijn en op afstand 1 van elkaar liggen. De zijden van de driehoek DEF, de middelste van de drie, zijn 5, 6 en 7 (zie figuur). De voor de hand liggende methode is: bereken de oppervlakten van ΔABC en ΔGHI en trek die van elkaar af. Het is echter veel gemakkelijker om de gevraagde oppervlakte te berekenen als je die bekijkt als de som van de oppervlakten van de trapezia BCIH, CAGI en ABHG, namelijk: = 36. Heuristiek: een ander standpunt innemen. 7 BANKEN IN DE KLAS In een klaslokaal staan 25 banken in een vierkant patroon, vijf rijen van vijf. Alle plaatsen zijn bezet. De leraar geeft aan alle leerlingen de opdracht om zich te verplaatsen, namelijk één bank naar voor, naar achter, naar links of naar rechts. Kan de klas dit bevel opvolgen? Als je het lokaal voorstelt als een schaakbord van vijf op vijf vierkantjes, om beurten wit en zwart gekleurd, dan moeten de leerlingen van een wit naar een zwart vierkantje verhuizen of omgekeerd. Maar: er zijn 13 zwarte en 12 witte vierkantjes. De opdracht is dus onmogelijk. Heuristieken: Een ander standpunt innemen; een tekening maken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 10

11 8 STRAAL VAN DE CIRKEL Gegeven is een gelijkzijdige driehoek ABC met zijde 1. Op het verlengde van de zijde [BC] kiezen we punten A 1 (aan de kant van B) en A 2 (aan de kant van C) zodat A 1B = A 2C = BC = 1.. Analoog kiezen we B 1, B 2, C 1 en C 2. Bereken de straal van de cirkel door A 1, B 2, C 1, A 2, B 1 en C 2. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC is ook het middelpunt van de cirkel door A 1, B 2, C 1, A 2, B 1 en C 2. (Dit volgt duidelijk uit de symmetrie; je hoeft het niet te bewijzen.) Maak een tekening. Noem M middelpunt. Noem D het midden van [BC]. Pythagoras in ABD: AD = 3 2 M is zwaartepunt, dus: MD = 3 6 Pythagoras in A 1MD: straal = MA 1 = 21 3 Heuristiek: een tekening maken. Ook kenniselementen: positie zwaartepunt; stelling van Pythagoras. 9 DOBBELSTEEN Bij een dobbelsteen is de som van de ogen op twee overstaande zijvlakken altijd 7. Hoeveel verschillende waarden heeft de som van de ogen op drie zijvlakken die in één hoekpunt samenkomen? De overstaande zijvlakken hebben dus (1 en 6), (2 en 5) en (3 en 4) ogen. Rond een hoekpunt heb je telkens drie ogenaantallen, één uit elk van deze paren. Dit geeft: = = = = = = = = 15. Er zijn dus acht verschillende sommen, rond elk hoekpunt een andere som. Heuristiek: alle mogelijkheden overlopen. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 11

12 10 SOM VAN KWADRATEN Een regelmatige twaalfhoek is ingeschreven in een cirkel met straal 1. P is een willekeurig punt van die cirkel. Bepaal de som van de kwadraten van de afstanden van P tot de hoekpunten. Het gaat over een som van 12 kwadraten van afstanden. Als je de termen zo groepeert, dat je de kwadraten van de afstanden tot overstaande hoekpunten bij elkaar neemt, dan heb je zes keer de diameter 2 in het kwadraat, dus is de gevraagde som 24. Heuristieken: een tekening maken, een ander standpunt innemen. Ook kenniselementen spelen hier een cruciale rol: omtrekshoek op een halve cirkel; stelling van Pythagoras. 11 KOOPJES Wat is het voordeligst: Eerst 20% korting, dan 15% erbij? Eerst 15% erbij, dan 20% korting? Start met 100 euro Beiden zijn dus even voordelig. De berekening hierboven geeft het antwoord, maar laat nog niet duidelijk zijn waarom het gelijk is. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 12

13 Zo zie je het wel: door de commutativiteit van de vermenigvuldiging... Heuristiek: werken met concrete getallen 12 GEBIEDEN KLEUREN Hoeveel verschillende kleuren heb je nodig om een vierkant in te kleuren dat verdeeld is door n rechten? (Gebieden met een gemeenschappelijk lijnstuk als grens moeten een verschillende kleur hebben.) Bewijs! Begin bij n = 1, dan 2, dan 3... Wanneer er een rechte bij komt, wisselen we de kleuren aan één kant. (volledige inductie...) Besluit: 2 kleuren volstaan. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 13

14 BIJLAGE 1 BESPREKING UIT UITWISKELING 24/3 (ZOMER 2008) Terence Tao, Solving mathematical problems. A personal perspective Oxford University Press, Oxford / New York, 2006, ISBN Terence Tao, winnaar van de Fieldsmedaille in 2006, is hoogleraar wiskunde aan de University of California te Los Angeles. Hij schreef dit boekje in 1990 toen hij 15 jaar oud was. Op dat moment had hij al, op 12-, 13- en 14-jarige leeftijd, achtereenvolgens brons, zilver en goud gewonnen op de internationale wiskundeolympiade! In dit boekje legt hij aan de hand van een aantal olympiadevragen uit wat het denkproces is dat tot een oplossing kan leiden. Ik heb dit boekje graag gelezen, niet zozeer vanwege de opgaven (er bestaan veel boeken met mooie, opgeloste wiskundeproblemen), maar vooral omdat Tao heel eerlijk en gedetailleerd zijn gedachtegang beschrijft. Hij geeft niet zomaar de kortste of de meest elegante oplossing, maar voert de lezer echt mee doorheen zijn denkproces. Hij besteedt aandacht aan het begrijpen van de opgave, aan de psychologie van de vraagsteller ( de kans is groot dat hij het zo bedoelt, anders had hij de vraag anders geformuleerd ), aan de efficiëntie van de tijdsbesteding ( deze berekening zou lastig kunnen zijn, laten we eerst proberen om het te vermijden ), aan het herformuleren van de opgave en aan vele andere heuristieken en oplossingsstrategieën Ook omwegen of doodlopende straatjes komen wel eens aan bod. Je merkt op elke bladzijde hoe leuk deze 15-jarige wiskunde vindt en hoe helder hij denkt. Het boek bevat ook een aantal oefeningen zonder oplossing, analoog aan de uitgewerkte voorbeelden. In de inleiding waarschuwt de auteur voor overdreven verwachtingen: wiskundige problemen oplossen is niet zomaar te herleiden tot het toepassen van een aantal trucjes: Two of the main weapons experience and knowledge are not easy to put into a book. But there are many simpler tricks that make it easier to find a feasible attack plan. There are systematic ways of reducing a problem into successively simpler sub-problems. Om een idee te geven, beschrijf ik in het kort twee van de opgaven die Tao in het boekje oplost. Machten van twee met dezelfde cijfers Probleem 2.2 Bestaat er een macht van 2 waarvan je de cijfers kunt herschikken tot een andere macht van 2? (Getallen die met een nul beginnen, zoals 0302, zijn niet toegelaten.) De opgave lijkt moeilijk, want het herschikken van cijfers kan op heel veel manieren gebeuren en het lijkt niet makkelijk om afzonderlijke cijfers te bepalen van een macht van 2. Kunnen we een oplossing vinden door te raden? Waarschijnlijk niet, anders zou deze vraag niet op een wiskundecompetitie gesteld worden. Misschien bestaat er een oplossing met veel cijfers, die je alleen kunt vinden met een ingewikkelde constructie. Maar het is wellicht moeilijk om zo n constructie te bedenken. We should rather take a sensible look around before plunging into deep water Laten we dus eerst proberen om te bewijzen dat er geen zo n getal bestaat. Als dit lukt, hebben we veel tijd gewonnen en als het niet lukt dan zit er niets anders om toch maar werk te maken van de waarschijnlijk lastige constructie. Laten we eens denken aan bekende eigenschappen van machten van 2 om te zien of we er een vinden die niet compatibel is met het wisselen van cijfers. We schrijven alvast de eerste machten van 2 op: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, We zien niet meteen iets speciaals aan de cijfers. Het laatste cijfer is natuurlijk altijd even (behalve bij 1), maar de andere cijfers kunnen op het eerste gezicht gelijk wat zijn. Neem bv Kunnen we het herschikken tot een andere macht van 2 die we nog niet hebben opgeschreven? Neen, want we hebben maar vier cijfers. Misschien is dit iets bruikbaars: als we de cijfers herschikken blijft het aantal cijfers hetzelfde. (Nogal wiedes, maar ook evidente zaken zijn soms nuttig!) Dit leidt tot een veel makkelijker probleem. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 14

15 Verwant probleem Bestaan er twee machten van 2 met hetzelfde aantal cijfers? Als het antwoord neen is, is het antwoord op het oorspronkelijke probleem ook neen. Helaas is het antwoord op deze vraag ja : 2048 en 4096 hebben bv. hetzelfde aantal cijfers. Dit betekent nog niet dat het antwoord op de oorspronkelijke vraag ook ja is. Het kan zijn dat we het probleem te fel hebben vereenvoudigd; dat we rekening moeten houden met meer eigenschappen dan enkel het aantal cijfers. Laten we nog eens kijken naar 4096 en de andere machten van 2 met evenveel cijfers: 1024, 2048, 4048 en Er zijn er vier. Kunnen er ook meer dan vier getallen met evenveel cijfers in het rijtje voorkomen? Neen: het eerste cijfer van het kleinste getal is minstens 1 en wordt steeds verdubbeld: 1, 2, 4, 8, 16. Dit betekent dat er voor elke macht van 2 hoogstens drie kandidaten zijn voor getallen met dezelfde cijfers. We staan al een stap verder: misschien kunnen we iets vinden om deze drie kandidaten uit te schakelen. Het volstond blijkbaar niet om enkel naar het aantal cijfers te kijken. Laten we zoeken of er nog iets anders is dat behouden blijft bij het verwisselen van de cijfers. Wat hebben getallen met dezelfde cijfers nog met elkaar gemeen? Ze hebben bv. dezelfde som van de cijfers! Dit leidt tot het volgende probleem. Verwant probleem Bestaan er twee machten van 2 met hetzelfde aantal cijfers en met dezelfde som van de cijfers? Als het antwoord neen is, is het antwoord op het oorspronkelijke probleem ook neen. Laten we eens kijken naar de som van de cijfers van de eerste machten van 2: 1, 2, 4, 8, 7, 5, 10, 11, 13, 8, 7, 14, 19, 20, 22, 26, 25, Deze sommen zijn vrij kleine getallen. Dit is misschien pech, want kleine getallen hebben een grotere kans om aan elkaar gelijk te zijn. De rij van de sommen gaat op en neer maar lijkt globaal een stijgende trend te vertonen (wat niet verrassend is). Het beschouwen van het aantal cijfers volstond niet; het lijkt erop dat we ook met de som van de cijfers vast zitten. De som van de cijfers heeft veel te maken met de rest bij deling door 9, anders gezegd met de som van de cijfers modulo 9. We weten dat de som van de cijfers modulo 9 gelijk is aan het getal zelf modulo 9 (m.a.w. de rest bij deling van het getal door 9). Laten we dit eens proberen. Verwant probleem Bestaan er twee machten van 2 met hetzelfde aantal cijfers en met dezelfde rest bij deling door 9? Als het antwoord neen is, is het antwoord op het oorspronkelijke probleem ook neen (want het verwisselen van cijfers verandert niets aan de som van de cijfers modulo 9). Laten we kijken naar de resten bij deling door 9 (die we evengoed kunnen berekenen aan de hand van de reeds berekende sommen van de cijfers): 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, Nu zien we onmiddellijk een patroon: er is een periode van zes resten die steeds terugkomen. Even controleren dat dit patroon inderdaad altijd zal terugkomen: 2 n+6 = 2 n 2 6 = 2 n 64 2 n (mod 9) want 64 1 (mod 9). Er zijn zeker machten van 2 die dezelfde rest hebben bij deling door 9 (bv. 1 en 64 of 2 en 128), maar die liggen in de rij te ver uit elkaar om hetzelfde aantal cijfers te hebben (zie hoger: hoogstens vier opeenvolgende machten van 2 kunnen hetzelfde aantal cijfers hebben). Hiermee is dus het oorspronkelijke probleem opgelost! Even de gevonden redenering samenvatten. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 15

16 Veronderstel dat er een macht van 2 zou bestaan waarvan je de cijfers kunt herschikken tot een andere macht van 2. Dan zouden deze twee machten van 2 hetzelfde aantal cijfers hebben en dezelfde rest bij deling door 9. Maar de resten bij deling door 9 van de opeenvolgende machten van twee vormen een periodieke rij met periode 6, zonder herhaling binnen één periode. De twee getallen zouden dus minstens een onderlinge afstand van 6 hebben binnen de rij, maar dan kunnen ze niet hetzelfde aantal cijfers hebben. Chocolade Probleem 6.3 Twee mensen spelen een spel met een grote chocoladereep die uit 60 vierkante stukken bestaat, in een rechthoek van 6 bij 10. De eerste speler breekt de reep in twee stukken volgens één van de lijnen die de reep in vierkantjes verdelen. Hij eet één van de twee stukken op. De tweede speler breekt op dezelfde manier het overblijvende stuk in tweeën en eet één stuk op. Enzovoort. Wie niet meer kan spelen omdat hij van de andere speler één stukje van 1 bij 1 krijgt, is verloren. Voor welke speler bestaat er een winnende strategie? In de speltheorie kan men aantonen dat elk eindig strategisch spel voor twee spelers die om beurten een zet mogen doen, een niet-verliezende strategie heeft voor één van de spelers. Omdat hier gelijkspel niet mogelijk is, bestaat er dus een winnende strategie. Eerst moet het probleem vertaald worden van chocolade naar wiskunde. Het gaat over een rechthoek van 6 bij 10. Je kunt die bv. verdelen in twee rechthoeken van 6 bij 7 en 6 bij 3 Of in twee rechthoeken van 2 bij 10 en 4 bij 10. Eén van de twee blijft over. Van de twee afmetingen wordt één behouden en wordt de andere een kleiner natuurlijk getal (verschillend van nul). Laten we een notatie invoeren voor de rechthoeken. Ze zijn bepaald door twee getallen. We noteren bv. de oorspronkelijke reep als (6, 10). De mogelijke zetten vanaf (6, 10) zijn (6, 1), (6, 2),, (6, 9); (1, 10), (2, 10),, (5, 10). Als we deze koppels voorstellen in een assenstelsel, dan vertrekken we in het punt (6, 10) en mogen we evenwijdig met één van de assen naar de oorsprong toe bewegen. Het probleem kan dus als volgt worden geherformuleerd. Herformulering Twee spelers bewegen om beurten een punt in een rooster, over een geheel aantal stapjes naar links of naar onder. Het punt start in (6, 10) en kan nooit op of voorbij een as geraken. De winnaar is wie het punt (1, 1) bereikt. Wie heeft een winnende strategie? Je kunt ook zeggen dat het punt start in (5, 9), dat je wel op maar niet voorbij een as mag komen en dat je wint als je in (0, 0) komt. Nog een andere formulering: Herformulering Er zijn twee stapels kaartjes, een stapel van 5 en een stapel van 9. Elke speler moet om beurten één of meer kaartjes wegnemen van één van de twee stapels. Wie de laatste kaart wegneemt is gewonnen. We hebben nu zeker goede wiskundige modellen. Maar de moeilijkheid is dat er zoveel mogelijkheden zijn. Daarom kunnen we eerst het spel met kleinere aantallen spelen. Het verschuiven van (1, 1) naar (0, 0) laten we (voorlopig?) links liggen. Stel dat we starten met reep of punt (2, 3). De eerste speler kan naar (1, 3), (2, 2) of (2, 1). Maar (1, 3) of (2, 1) is niet slim want daarmee kan de tweede speler gemakkelijk naar (1, 1). Dus moet de eerste speler naar (2, 2). De tweede speler is dan verplicht om naar (2, 1) of (1, 2) te gaan en de eerste speler wint. Dus: als men start in (2, 3) is de eerste speler gewonnen. Laten we nu starten in (3,3). Naar (1, 3) of (3, 1) gaan is niet goed. Maar ook naar (2, 3) is geen goed idee want we hebben zojuist gezien dat met (2, 3) mag starten, altijd kan winnen. En (3, 2) is natuurlijk even slecht als (2, 3). Dus zal de eerste speler verliezen als men start in (3, 3). Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 16

17 We losten het op voor (3, 3) steunend op wat we wisten voor (2, 3). Dit suggereert een recursieve werkwijze. Door de symmetrie kunnen we ons beperken tot (a, b) met a b. (1, 1) is verliezend (wie dit krijgt, is verloren). (1, n) met n > 1 is winnend (wie dit krijgt, kan de andere (1, 1) geven). (2, 2) is verliezend (wie dit krijgt, moet de andere (1, 2) geven en dus laten winnen). Dus is (2, n) met n > 2 winnend (wie dit krijgt, kan de andere (2, 2) geven. Enzovoort. We zouden hiermee stap voor stap kunnen verdergaan tot (6, 10). Maar het is leuker om een patroon te zoeken voor de winnende en verliezende punten. Hierboven merkten we de volgende eigenschappen op. Als (a, b) verliezend is, dan is (a, c) met c > b winnend, want wie dit krijgt, kan aan de andere (a, b) geven. (a, b) is verliezend als je van hieruit enkel naar winnende posities (voor de tegenpartij) kunt gaan. Als we alle winnende punten die we al kennen in het vlak aanduiden, en de verliezende punten in een andere kleur, krijgen we de indruk dat de verliezende punten gewoon de punten (x, x) zijn en dat de andere punten allemaal winnend zijn. Anders gezegd: als de reep chocolade vierkant is, zal de eerste speler verliezen en anders kan de eerste speler winnen. Met dit vermoeden proberen we een strategie te formuleren voor de eerste speler bij de (6, 10)-reep. Breek de chocolade zo dat je een vierkant van 6 bij 6 aan de tegenspeler geeft. Wat de tegenspeler daarna ook doet, maak er telkens weer een vierkant van. Deze strategie werkt: de tegenspeler krijgt telkens een vierkant en kan hier dus nooit een vierkant van maken. De eerste speler krijgt dus telkens een rechthoek en kan er wel telkens een vierkant van maken. Vermits de vierkanten die de tegenspeler krijgt, steeds kleiner worden, komt er zeker een moment waarop dit een vierkant van 1 bij 1 is. Achteraf gezien bleek de eerste herformulering nuttig om een patroon te herkennen, maar hebben we de tweede herformulering niet gebruikt. Michel Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 17

18 BIJLAGE 2 BESPREKING UIT UITWISKELING 31/1 (WINTER 2015 AVANT-PREMIÈRE) Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 18

19 Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 19

20 Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 20

21 BIBLIOGRAFIE Jacobs, S., Op de Beeck, R., Willems, J. (2005), Problem solving. Uitwiskeling 22/1 Pólya, G. (1966). Let us teach guessing. MAA Video Classics number 1, The Mathematical Association of America, 1966, besproken in UW 31/1 Pólya, G. (1990). How to solve it. Princeton University Press Posamentier, A.S., Krulik, S. (2008). Problem solving strategies for efficient and elegant solutions. Grades A resource for the mathematics teacher. Corwin Press, Thousand Oaks, California, 2008, 260 pp., ISBN , besproken in UW 29/3 Schoenfeld, A. (1985) Mathematical problem solving. Orlando, Academic Press Tao, T. (2006). Solving mathematical problems. A personal perspective. Oxford University Press, Oxford / New York, 2006, ISBN , besproken in UW 24/3 Van Leemput, G. e.a. (1991), Problemen oplossen in de wiskundeles. Uitwiskeling 8/1 Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 21

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Toelichting op de werkwijzer

Toelichting op de werkwijzer Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99-99 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

Vandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof

Vandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof 2 3 ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN ErasmushogeschoolBrussel Lerarenopleiding LSO anne.schatteman@ehb.be Vandaag 2 Moeilijk onderdeel van de leerstof 3 Bewijzen worden behandeld

Nadere informatie

REKENEN WORDT WISKUNDE

REKENEN WORDT WISKUNDE REKENEN WORDT WISKUNDE Tine Wijnants Actieonderzoek Bachelor Secundair Onderwijs, KHLim Waarom haken sommige leerlingen af tijdens de lessen wiskunde? Wat maakt het Secundair Onderwijs zo anders dan het

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1994-1995 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE 2011 Uitwerkingen 1 C D O A O B Omdat driehoek ACD gelijkbenig is, is CAD = ACD en daarmee zien we dat 2 CAD+ ADC = 180. Maar we weten ook dat 180 = ADC + ADB. Dus ADB = 2 CAD. Driehoek

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3.

3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. 1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking + + 6 = + + +, dan verkrijg je: 3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

Nadere informatie

Leest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je

Leest hij eerst de eerste kolom van boven naar beneden, dan de tweede enzovoorts, dan hoor je Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal vier vierkantjes schrijft iemand letters. In iedere rij en in iedere kolom komt zo één A, één B en één C, zodat

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde 1 Op de figuur stellen de getallen de grootte van de hoeken voor De waarde van x in graden is gelijk aan 2x 90 x 24 (A) 22 (B) 1 (C) (D) 8 (E) 57 2 Welke

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 1997-1998: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit meerkeuzevragen Het quoteringsssteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 988-989: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of 2 bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: Hoofdstuk 21 OPPERVLAKTE HAVO 21.

15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of 2 bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: Hoofdstuk 21 OPPERVLAKTE HAVO 21. Hoofdstuk 1 OPPERVLAKTE HAVO 1.1 INTRO 15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: 1 Oppervlakte snelweg = 0 km 18 m = 0.000 m 18 m = 360.000 m. Zijde

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

afstanden handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek afstanden

afstanden handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek afstanden inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn de zijlijn hoofdlijn Het begrip afstand wordt geïntroduceerd. Tekenen

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7.

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7. Herhalingsoefeningen Rijen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Onderzoek of de

Nadere informatie

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 200-2002: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

handleiding pagina s 687 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram 2 Werkboek 3 Posters

handleiding pagina s 687 tot Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram 2 Werkboek 3 Posters week 22 les 4 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 687 tot 695 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 444: tangram 12 Huistaken huistaak 14: bladzijde 445 (vierhoeken tekenen)

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7 Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993-1994 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

2. Het getal = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, = 11, = 191, = 209.

2. Het getal = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, = 11, = 191, = 209. 1. De smiley is in de cirkel en in het vierkant, maar niet in de driehoek. Kangoeroewedstrijd editie Koala: jaargang 2009, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. 2. Het getal 200 9 = 1800 is even.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Welke ongelijkheid is juist? (A) 3 5 < 2 6 (C) 5 6 < 3 (B) 3 7 < 2 (D) 5 7 < 2 10 (E) 5 < 6 7 2 Hoeveel vierkante meter is 1600 vierkante centimeter?

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE 2012 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Optellen De som van twee getallen van twee cijfers is een getal van drie cijfers (geen van deze

Nadere informatie

3.1 Soorten hoeken [1]

3.1 Soorten hoeken [1] 3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs recept voor glazen bananenmilkshake bananen, l ijs, l melk,1 l limonadesiroop 1 cl ijs 1 liter Schil de bananen. Snijd ze in grote

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 006-007: tweede ronde 1 In een rechthoekige driehoek verdeelt de bissectrice uit een scherpe hoek de overstaande zijde in twee stukken met lengten 4 en 5 (zie figuur) De oppervlakte

Nadere informatie

A. B. C. D. Opgave 3. In een groot vierkant is een kleiner vierkant getekend. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant? A. B. C. D.

A. B. C. D. Opgave 3. In een groot vierkant is een kleiner vierkant getekend. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant? A. B. C. D. FAJALOBI 2015 Opgave 1 Het getal heet een palindroom. Dat is een getal dat als je het van achter naar voren leest het hetzelfde is als van voor naar achter. Een palindroom begint niet met een nul. Wat

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw . Bij een weerspiegeling in het water staat een beeld op zijn kop. ntwoord is dus zeker fout. De stand van de maan ten opzichte van de boom moet dezelfde blijven. Zo moet de holle kant van de maan het

Nadere informatie

11 De hoed van Napoleon

11 De hoed van Napoleon 11 De hoed van Napoleon 11.1 Historiek Napoleon Bonaparte (1769-1821) was van Italiaanse afkomst en begon zijn carrière als onderluitenant in de artillerie en klom op tot Frans generaal. Op zijn dertigste

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 Vier van de volgende figuren zijn het beeld van minstens één andere figuur door een draaiing in het vlak Voor één figuur is dit niet het geval Welke?

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500.

START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500. START WISKUNDE-ESTAFETTE 2008 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500. Estafette-opgave 1 (30 punten, rest 470 punten) Uitgeveegd In de cirkeltjes heeft iemand de

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud 1 Een optische illusie? Welk gebied heeft de grootste oppervlakte: het gele of het donkergroene? Doe eerst een schatting en maak daarna de nodige

Nadere informatie

Hoofdstuk 5 : De driehoek

Hoofdstuk 5 : De driehoek Hoofdstuk 5 : De driehoek - 89 1. Congruente figuren Figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken noemen we congruente figuren. Congruente figuren hebben dezelfde vorm (~ ) en dezelfde grootte (=). Als

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 HAVO en VWO Klas 3, 4 en 5 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

2.5 Regelmatige veelhoeken

2.5 Regelmatige veelhoeken Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam:

rekentrainer jaargroep 6 Vul de maatbekers. Kleur. Zwijsen naam: Zwijsen jaargroep 6 naam: reken-wiskundemethode voor het basisonderwijs recept voor 6 glazen bananenmilkshake 2 bananen 0,25 l ijs 0,40 l melk 0,10 l limonadesiroop 100 cl 0 ijs 1 liter 0 Schil de bananen.

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens Dag van de wiskunde Kortrijk 26 november 2009 Ideeën voor de klaspraktijk Spreker: E. Jennekens 1. De provincie West-Vlaanderen is 3144 km² groot. Kun je de hele wereldbevolking, 6,7 miljard, verwelkomen

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie