ABSTRACT INHOUD VAN DE SYLLABUS SITUERING IN TELEGRAMSTIJL

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "ABSTRACT INHOUD VAN DE SYLLABUS SITUERING IN TELEGRAMSTIJL"

Transcriptie

1 WIE NIET ZOEKT, NIET VINDT. HEURISTIEKEN OM WISKUNDIGE PROBLEMEN OP TE LOSSEN SYLLABUS DAG VAN DE WISKUNDE 22 NOVEMBER 2014 MICHEL ROELENS (UC LEUVEN-LIMBURG; MARIA-BOODSCHAPLYCEUM; UITWISKELING) ABSTRACT Wie zoekt, die vindt zegt het spreekwoord. In wiskunde is dit niet altijd het geval. Maar zonder te zoeken, vind je niet; anders is de opgave voor jou geen probleem maar een routinetaak. Het Grieks voor vinden is heuriskein. Heuristieken zijn zoekstrategieën zoals omgekeerd werken, een tekening maken, een patroon zoeken... Om een oplossing te vinden voor een wiskundig probleem, heb je naast heuristieken zeker ook wiskundige kennis nodig. Bovendien moet je in staat zijn om je eigen zoekproces te sturen en beschik je best over een beetje zelfvertrouwen. Maar in deze workshop focussen we op de heuristieken. We lossen enkele problemen op en we analyseren de heuristieken die van toepassing zijn. In de syllabus krijg je per heuristiek nog meer gelijkaardige problemen mee. INHOUD VAN DE SYLLABUS Deze syllabus bevat de 10 problemen van de workshop; 12 extra problemen met oplossing en verder twee besprekingen uit Uitwiskeling als bijlagen. De eerste bespreking gaat over een boekje van Terence Tao, winnaar van de Fieldsmedaille, geschreven toen hij 15 jaar was, over hoe hij het aanpakt om problemen aan te pakken. De tweede bespreking gaat over een film van de jaren 1970 waarop de legendarische G. Pólya een probleem voorlegt aan een groep studenten. Deze film staat online. SITUERING IN TELEGRAMSTIJL - Problem solving is een essentieel aspect van wiskunde. - Problem solving staat op de leerplannen. - Een probleem is een vraag waar je niet meteen een oplossingsmethode voor kent. - Ook de gewone leerstof aanbrengen als probleem aanbrengen. - Schoenfeld (1985): liet experts luidop denken bij het oplossen van problemen en concludeerde dat je de volgende vier zaken nodig hebt om problemen op te lossen: - kennis, - heuristieken, - zelfsturing, - beliefs. - We focussen hier op de heuristieken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 1

2 DE PROBLEMEN VAN DE WORKSHOP 1 AANTAL PALINDROOMGETALLEN Hoeveel palindroomgetallen zijn er in {1, 2, 3,, 1000}? 2 DE SNELHEID VAN DE AUTO Een auto rijdt op een autoweg tegen 110 km/h. De chauffeur ziet een tweede auto, exact 1 km achterop. Exact 1 minuut later haalt de tweede auto de eerste in. Hoe snel reed de tweede auto, in de veronderstelling dat zijn snelheid constant is? Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 2

3 3 PIZZA IN STUKKEN Voor je ligt een grote pizza. Die mag je door rechte lijnen (volledige koorden) in stukken snijden. Hoeveel stukken kun je maximaal maken als je langs 10 rechte lijnen mag snijden? 4 SOM VAN DE COËFFICIËNTEN Bereken de som van de coëfficiënten van (x + y) 8. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 3

4 5 VIERKANTEN IN HET SCHAAKBORD Hoeveel vierkanten kan ik maken in een schaakbord? Een schaakbord heeft 8x8 vakjes en je mag geen lijnen bijtekenen. 6 HOEK TUSSEN DE WIJZERS Op deze klok is het ongeveer tien vóór twee. De wijzers staan dan zo dat ze elkaars spiegelbeeld zijn ten opzichte van de as 12u-6u. Bepaal voor deze situatie de exacte grootte van de hoek tussen de twee wijzers. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 4

5 7 HET 64-SPEL Twee spelers noemen om beurten een getal van 1 tot 8. Alles wordt opgeteld. Wie het laatste getal zegt zodat de som juist 64 wordt, wint. Je mag beginnen. Is er een strategie om altijd te winnen? 8 DE LENGTE VAN DE TUNNEL Je staat 100 m vóór de ingang van een tunnel. Je ziet de diameter van de ingang van de tunnel drie keer zo groot als de diameter van de uitgang. Hoe diep is de tunnel? Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 5

6 9 DE KIKKER Een kikker zit op de bodem van een waterput die 10 meter diep is. Elke dag klimt de kikker 50 cm, maar s nachts valt hij in slaap en zakt hij weer 40 cm. Hoe lang duurt het voor de kikker uit de put geraakt? 10 DE KOMKOMMERS Gegeven: 500 kg komkommers, die voor 99% uit water bestaan. Na een week bevatten ze nog 98% water. Hoeveel wegen ze nog? Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 6

7 EXTRA PROBLEMEN 1 EI KOKEN Hoe kun je een ei exact 15 minuten laten koken als je beschikt over twee timers, één van 7 minuten en één van 11 minuten? Het gaat hier over timers die enkel op het einde een belsignaal geven, maar waarop de tussentijd niet af te lezen is. 15 = , dus als we een manier vinden om 4 minuten af te meten met die twee timers, dan is het probleem opgelost. Nu is 4 = We kunnen beide timers tegelijk aanzetten, en intussen zorgen dat het water al kookt. Nadat de timer van 7 minuten afgaat, doen we het ei in het water. Tegen dat de timer van 11 minuten afgaat, zitten we al aan 4 minuten kooktijd. We zetten dan meteen de timer van 7 minuten weer op en wanneer die rinkelt, halen we het ei uit het water. Heuristiek: omgekeerd werken. 2 EMMERS VULLEN Je hebt twee emmers zonder merkstreepjes (het zijn dus géén maatbekers), één van 9 liter en één van 4 liter. Hoe kun je hiermee precies 6 liter water uit een waterput afmeten? Om 6 liter in de emmer van 9 liter over te houden, willen we die helemaal vullen en er 3 liter uit wegnemen. Dit lukt als we in de kleine emmer 1 liter water hebben staan. Hoe kunnen we 1 liter maken met deze twee emmers? 1 liter = 9 liter 4 liter 4 liter. Heuristiek: omgekeerd werken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 7

8 3 ZWAARTELIJNEN Construeer een driehoek waarvan de lengten van de zwaartelijnstukken gegeven zijn. Met zwaartelijnstuk bedoel ik het stuk van een zwaartelijn dat binnen de driehoek valt, anders gezegd het lijnstuk tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Het probleem is dat we van de zwaartelijnstukken enkel de lengten kennen, niet de hoeken waaronder ze elkaar snijden. We vertrekken van een schets van de oplossing: een driehoek ABC met de drie zwaartelijnen [AM], [BN] en [CP] die elkaar snijden in het zwaartepunt Z. We weten dat AZ = 2 ZM (en onze leerlingen leren dit in het derde jaar). Als we dus [ZM] verlengen tot een lijnstuk [ZQ] dat twee keer zo lang is, dan is AZ = ZQ. Bovendien is BZCQ dan een vierhoek met diagonalen die elkaar middendoor snijden. Een dergelijke vierhoek is altijd een parallellogram (dat weten wij, en onze leerlingen leren dit in het tweede jaar). Nu is de driehoek CZQ te construeren op basis van de gegeven lengten van de zwaartelijnstukken: elke van de drie zijden is immers 2 van een zwaartelijnstuk, en een driehoek met drie gegeven zijden is construeerbaar met 3 passer en liniaal! Als deze driehoek geconstrueerd is, lukt de rest ook! Heuristieken: omgekeerd werken, een tekening maken. Merk op dat deze heuristieken hier gecombineerd zijn met het steunen op meetkundige kennis (positie zwaartepunt; kenmerk parallellogram). Feitenkennis is belangrijk om problemen op te lossen! 4 OVERSTAANDE HOEKEN Hoeveel paar overstaande hoeken worden gevormd door 10 rechten die elkaar in één punt snijden. (Enkel hoeken strikt kleiner dan 180 tellen mee.) Tellen is lastig. Laten we beginnen met minder rechten. (Teken mee.) - 1 rechte: 0 paar overstaande hoeken. - 2 rechten: 2 paren overstaande hoeken. - 3 rechten: 6 paren overstaande hoeken. - 4 rechten: 12 paren overstaande hoeken. - 5 rechten: 20 paren overstaande hoeken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 8

9 Hier is een patroon in te zien: 20 = 5 4; 12 = 4 3; 6 = 3 2. Als dit patroon zich inderdaad verderzet, zijn er bij 10 rechten 10 9 = 90 paren overstaande hoeken. Kunnen we het patroon verklaren? Elke nieuwe rechte die erbij komt, vormt met elke oude rechte twee paar overstaande hoeken die nog niet geteld was. Bv. van vier naar vijf rechten: er waren 12 paren overstaande hoeken; de vijfde rechte zorgt voor 8 nieuwe paren overstaande hoeken; = 20. Met dit idee kan de inductiestap gezet worden in een bewijs door volledige inductie: als n rechten n(n 1) paren overstaande hoeken bepalen, dan zorgt de n + 1-ste rechte voor 2n nieuwe paren overstaande hoeken. Welnu: n(n 1) + 2n = (n + 1)n. Je kunt het ook anders bekijken: elk paar rechten zorgt voor twee paar overstaande hoeken (en die horen enkel bij dat paar). Als er 10 rechten zijn, dan kun je hierin C 2 10 = 45 paar vinden. Dus: 45 2 = 90 paar overstaande hoeken. Heuristieken: Patroon zoeken; ander standpunt innemen. 5 DE LOCKERS Er wordt een nieuwe school gebouwd met 1000 (genummerde) lockers. Het toeval wil dat er juist 1000 leerlingen inschrijven. Alle lockers zijn dicht. Op de eerste schooldag spreken de leerlingen het volgende af. De eerste leerling zal alle lockers openen. De tweede zal alle lockers omswitchen die een veelvoud van 2 zijn (van open naar dicht of omgekeerd). De derde zal alle lockers omswitchen die een veelvoud van 3 zijn. Enz. Als alle leerlingen gepasseerd zijn, hoeveel lockers zullen er dan open zijn? Laten we het eens proberen voor 10 lockers en 10 leerlingen i.p.v We maken een tabel Locker Leerling 1 O O O O O O O O O O Leerling 2 O D 0 D O D O D O D Leerling 3 O D D D O O O D D D Leerling 4 O D D O O O O O D D Leerling 5 0 D D O D O O O D O Leerling 6 0 D D O D D O O D O Leerling 7 0 D D O D D D O D O Leerling 8 0 D D O D D D D D O Leerling 9 0 D D O D D D D O O Leerling 10 0 D D O D D D D O D Lockers 1, 4 en 9 zijn open, de kwadraten. Inderdaad: alle getallen behalve de kwadraten hebben een even aantal delers, want die delers komen in paren voor. Maar de kwadraten hebben een oneven aantal delers. 10: 1 en 10; 2 en 5; 12: 1 en 12; 2 en 6; 3 en 4 9: 1 en 9; 3 16: 1 en 16; 2 en 8; 4. Een oneven aantal keren omswitchen levert als resultaat op: open. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 9

10 Omdat 31 2 = 961 < 1000 < 1024 = 32 2, zijn er 31 kwadraten in {1, 2, }. Er zullen dus 31 lockers open zijn. 6 0PPERVLAKTE TUSSEN DRIEHOEKEN Vind de oppervlakte van het gebied tussen de driehoek ABC en de driehoek GHI, als je weet dat de zijden van de drie driehoeken evenwijdig zijn en op afstand 1 van elkaar liggen. De zijden van de driehoek DEF, de middelste van de drie, zijn 5, 6 en 7 (zie figuur). De voor de hand liggende methode is: bereken de oppervlakten van ΔABC en ΔGHI en trek die van elkaar af. Het is echter veel gemakkelijker om de gevraagde oppervlakte te berekenen als je die bekijkt als de som van de oppervlakten van de trapezia BCIH, CAGI en ABHG, namelijk: = 36. Heuristiek: een ander standpunt innemen. 7 BANKEN IN DE KLAS In een klaslokaal staan 25 banken in een vierkant patroon, vijf rijen van vijf. Alle plaatsen zijn bezet. De leraar geeft aan alle leerlingen de opdracht om zich te verplaatsen, namelijk één bank naar voor, naar achter, naar links of naar rechts. Kan de klas dit bevel opvolgen? Als je het lokaal voorstelt als een schaakbord van vijf op vijf vierkantjes, om beurten wit en zwart gekleurd, dan moeten de leerlingen van een wit naar een zwart vierkantje verhuizen of omgekeerd. Maar: er zijn 13 zwarte en 12 witte vierkantjes. De opdracht is dus onmogelijk. Heuristieken: Een ander standpunt innemen; een tekening maken. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 10

11 8 STRAAL VAN DE CIRKEL Gegeven is een gelijkzijdige driehoek ABC met zijde 1. Op het verlengde van de zijde [BC] kiezen we punten A 1 (aan de kant van B) en A 2 (aan de kant van C) zodat A 1B = A 2C = BC = 1.. Analoog kiezen we B 1, B 2, C 1 en C 2. Bereken de straal van de cirkel door A 1, B 2, C 1, A 2, B 1 en C 2. Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC is ook het middelpunt van de cirkel door A 1, B 2, C 1, A 2, B 1 en C 2. (Dit volgt duidelijk uit de symmetrie; je hoeft het niet te bewijzen.) Maak een tekening. Noem M middelpunt. Noem D het midden van [BC]. Pythagoras in ABD: AD = 3 2 M is zwaartepunt, dus: MD = 3 6 Pythagoras in A 1MD: straal = MA 1 = 21 3 Heuristiek: een tekening maken. Ook kenniselementen: positie zwaartepunt; stelling van Pythagoras. 9 DOBBELSTEEN Bij een dobbelsteen is de som van de ogen op twee overstaande zijvlakken altijd 7. Hoeveel verschillende waarden heeft de som van de ogen op drie zijvlakken die in één hoekpunt samenkomen? De overstaande zijvlakken hebben dus (1 en 6), (2 en 5) en (3 en 4) ogen. Rond een hoekpunt heb je telkens drie ogenaantallen, één uit elk van deze paren. Dit geeft: = = = = = = = = 15. Er zijn dus acht verschillende sommen, rond elk hoekpunt een andere som. Heuristiek: alle mogelijkheden overlopen. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 11

12 10 SOM VAN KWADRATEN Een regelmatige twaalfhoek is ingeschreven in een cirkel met straal 1. P is een willekeurig punt van die cirkel. Bepaal de som van de kwadraten van de afstanden van P tot de hoekpunten. Het gaat over een som van 12 kwadraten van afstanden. Als je de termen zo groepeert, dat je de kwadraten van de afstanden tot overstaande hoekpunten bij elkaar neemt, dan heb je zes keer de diameter 2 in het kwadraat, dus is de gevraagde som 24. Heuristieken: een tekening maken, een ander standpunt innemen. Ook kenniselementen spelen hier een cruciale rol: omtrekshoek op een halve cirkel; stelling van Pythagoras. 11 KOOPJES Wat is het voordeligst: Eerst 20% korting, dan 15% erbij? Eerst 15% erbij, dan 20% korting? Start met 100 euro Beiden zijn dus even voordelig. De berekening hierboven geeft het antwoord, maar laat nog niet duidelijk zijn waarom het gelijk is. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 12

13 Zo zie je het wel: door de commutativiteit van de vermenigvuldiging... Heuristiek: werken met concrete getallen 12 GEBIEDEN KLEUREN Hoeveel verschillende kleuren heb je nodig om een vierkant in te kleuren dat verdeeld is door n rechten? (Gebieden met een gemeenschappelijk lijnstuk als grens moeten een verschillende kleur hebben.) Bewijs! Begin bij n = 1, dan 2, dan 3... Wanneer er een rechte bij komt, wisselen we de kleuren aan één kant. (volledige inductie...) Besluit: 2 kleuren volstaan. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 13

14 BIJLAGE 1 BESPREKING UIT UITWISKELING 24/3 (ZOMER 2008) Terence Tao, Solving mathematical problems. A personal perspective Oxford University Press, Oxford / New York, 2006, ISBN Terence Tao, winnaar van de Fieldsmedaille in 2006, is hoogleraar wiskunde aan de University of California te Los Angeles. Hij schreef dit boekje in 1990 toen hij 15 jaar oud was. Op dat moment had hij al, op 12-, 13- en 14-jarige leeftijd, achtereenvolgens brons, zilver en goud gewonnen op de internationale wiskundeolympiade! In dit boekje legt hij aan de hand van een aantal olympiadevragen uit wat het denkproces is dat tot een oplossing kan leiden. Ik heb dit boekje graag gelezen, niet zozeer vanwege de opgaven (er bestaan veel boeken met mooie, opgeloste wiskundeproblemen), maar vooral omdat Tao heel eerlijk en gedetailleerd zijn gedachtegang beschrijft. Hij geeft niet zomaar de kortste of de meest elegante oplossing, maar voert de lezer echt mee doorheen zijn denkproces. Hij besteedt aandacht aan het begrijpen van de opgave, aan de psychologie van de vraagsteller ( de kans is groot dat hij het zo bedoelt, anders had hij de vraag anders geformuleerd ), aan de efficiëntie van de tijdsbesteding ( deze berekening zou lastig kunnen zijn, laten we eerst proberen om het te vermijden ), aan het herformuleren van de opgave en aan vele andere heuristieken en oplossingsstrategieën Ook omwegen of doodlopende straatjes komen wel eens aan bod. Je merkt op elke bladzijde hoe leuk deze 15-jarige wiskunde vindt en hoe helder hij denkt. Het boek bevat ook een aantal oefeningen zonder oplossing, analoog aan de uitgewerkte voorbeelden. In de inleiding waarschuwt de auteur voor overdreven verwachtingen: wiskundige problemen oplossen is niet zomaar te herleiden tot het toepassen van een aantal trucjes: Two of the main weapons experience and knowledge are not easy to put into a book. But there are many simpler tricks that make it easier to find a feasible attack plan. There are systematic ways of reducing a problem into successively simpler sub-problems. Om een idee te geven, beschrijf ik in het kort twee van de opgaven die Tao in het boekje oplost. Machten van twee met dezelfde cijfers Probleem 2.2 Bestaat er een macht van 2 waarvan je de cijfers kunt herschikken tot een andere macht van 2? (Getallen die met een nul beginnen, zoals 0302, zijn niet toegelaten.) De opgave lijkt moeilijk, want het herschikken van cijfers kan op heel veel manieren gebeuren en het lijkt niet makkelijk om afzonderlijke cijfers te bepalen van een macht van 2. Kunnen we een oplossing vinden door te raden? Waarschijnlijk niet, anders zou deze vraag niet op een wiskundecompetitie gesteld worden. Misschien bestaat er een oplossing met veel cijfers, die je alleen kunt vinden met een ingewikkelde constructie. Maar het is wellicht moeilijk om zo n constructie te bedenken. We should rather take a sensible look around before plunging into deep water Laten we dus eerst proberen om te bewijzen dat er geen zo n getal bestaat. Als dit lukt, hebben we veel tijd gewonnen en als het niet lukt dan zit er niets anders om toch maar werk te maken van de waarschijnlijk lastige constructie. Laten we eens denken aan bekende eigenschappen van machten van 2 om te zien of we er een vinden die niet compatibel is met het wisselen van cijfers. We schrijven alvast de eerste machten van 2 op: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, We zien niet meteen iets speciaals aan de cijfers. Het laatste cijfer is natuurlijk altijd even (behalve bij 1), maar de andere cijfers kunnen op het eerste gezicht gelijk wat zijn. Neem bv Kunnen we het herschikken tot een andere macht van 2 die we nog niet hebben opgeschreven? Neen, want we hebben maar vier cijfers. Misschien is dit iets bruikbaars: als we de cijfers herschikken blijft het aantal cijfers hetzelfde. (Nogal wiedes, maar ook evidente zaken zijn soms nuttig!) Dit leidt tot een veel makkelijker probleem. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 14

15 Verwant probleem Bestaan er twee machten van 2 met hetzelfde aantal cijfers? Als het antwoord neen is, is het antwoord op het oorspronkelijke probleem ook neen. Helaas is het antwoord op deze vraag ja : 2048 en 4096 hebben bv. hetzelfde aantal cijfers. Dit betekent nog niet dat het antwoord op de oorspronkelijke vraag ook ja is. Het kan zijn dat we het probleem te fel hebben vereenvoudigd; dat we rekening moeten houden met meer eigenschappen dan enkel het aantal cijfers. Laten we nog eens kijken naar 4096 en de andere machten van 2 met evenveel cijfers: 1024, 2048, 4048 en Er zijn er vier. Kunnen er ook meer dan vier getallen met evenveel cijfers in het rijtje voorkomen? Neen: het eerste cijfer van het kleinste getal is minstens 1 en wordt steeds verdubbeld: 1, 2, 4, 8, 16. Dit betekent dat er voor elke macht van 2 hoogstens drie kandidaten zijn voor getallen met dezelfde cijfers. We staan al een stap verder: misschien kunnen we iets vinden om deze drie kandidaten uit te schakelen. Het volstond blijkbaar niet om enkel naar het aantal cijfers te kijken. Laten we zoeken of er nog iets anders is dat behouden blijft bij het verwisselen van de cijfers. Wat hebben getallen met dezelfde cijfers nog met elkaar gemeen? Ze hebben bv. dezelfde som van de cijfers! Dit leidt tot het volgende probleem. Verwant probleem Bestaan er twee machten van 2 met hetzelfde aantal cijfers en met dezelfde som van de cijfers? Als het antwoord neen is, is het antwoord op het oorspronkelijke probleem ook neen. Laten we eens kijken naar de som van de cijfers van de eerste machten van 2: 1, 2, 4, 8, 7, 5, 10, 11, 13, 8, 7, 14, 19, 20, 22, 26, 25, Deze sommen zijn vrij kleine getallen. Dit is misschien pech, want kleine getallen hebben een grotere kans om aan elkaar gelijk te zijn. De rij van de sommen gaat op en neer maar lijkt globaal een stijgende trend te vertonen (wat niet verrassend is). Het beschouwen van het aantal cijfers volstond niet; het lijkt erop dat we ook met de som van de cijfers vast zitten. De som van de cijfers heeft veel te maken met de rest bij deling door 9, anders gezegd met de som van de cijfers modulo 9. We weten dat de som van de cijfers modulo 9 gelijk is aan het getal zelf modulo 9 (m.a.w. de rest bij deling van het getal door 9). Laten we dit eens proberen. Verwant probleem Bestaan er twee machten van 2 met hetzelfde aantal cijfers en met dezelfde rest bij deling door 9? Als het antwoord neen is, is het antwoord op het oorspronkelijke probleem ook neen (want het verwisselen van cijfers verandert niets aan de som van de cijfers modulo 9). Laten we kijken naar de resten bij deling door 9 (die we evengoed kunnen berekenen aan de hand van de reeds berekende sommen van de cijfers): 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 8, 7, Nu zien we onmiddellijk een patroon: er is een periode van zes resten die steeds terugkomen. Even controleren dat dit patroon inderdaad altijd zal terugkomen: 2 n+6 = 2 n 2 6 = 2 n 64 2 n (mod 9) want 64 1 (mod 9). Er zijn zeker machten van 2 die dezelfde rest hebben bij deling door 9 (bv. 1 en 64 of 2 en 128), maar die liggen in de rij te ver uit elkaar om hetzelfde aantal cijfers te hebben (zie hoger: hoogstens vier opeenvolgende machten van 2 kunnen hetzelfde aantal cijfers hebben). Hiermee is dus het oorspronkelijke probleem opgelost! Even de gevonden redenering samenvatten. Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 15

16 Veronderstel dat er een macht van 2 zou bestaan waarvan je de cijfers kunt herschikken tot een andere macht van 2. Dan zouden deze twee machten van 2 hetzelfde aantal cijfers hebben en dezelfde rest bij deling door 9. Maar de resten bij deling door 9 van de opeenvolgende machten van twee vormen een periodieke rij met periode 6, zonder herhaling binnen één periode. De twee getallen zouden dus minstens een onderlinge afstand van 6 hebben binnen de rij, maar dan kunnen ze niet hetzelfde aantal cijfers hebben. Chocolade Probleem 6.3 Twee mensen spelen een spel met een grote chocoladereep die uit 60 vierkante stukken bestaat, in een rechthoek van 6 bij 10. De eerste speler breekt de reep in twee stukken volgens één van de lijnen die de reep in vierkantjes verdelen. Hij eet één van de twee stukken op. De tweede speler breekt op dezelfde manier het overblijvende stuk in tweeën en eet één stuk op. Enzovoort. Wie niet meer kan spelen omdat hij van de andere speler één stukje van 1 bij 1 krijgt, is verloren. Voor welke speler bestaat er een winnende strategie? In de speltheorie kan men aantonen dat elk eindig strategisch spel voor twee spelers die om beurten een zet mogen doen, een niet-verliezende strategie heeft voor één van de spelers. Omdat hier gelijkspel niet mogelijk is, bestaat er dus een winnende strategie. Eerst moet het probleem vertaald worden van chocolade naar wiskunde. Het gaat over een rechthoek van 6 bij 10. Je kunt die bv. verdelen in twee rechthoeken van 6 bij 7 en 6 bij 3 Of in twee rechthoeken van 2 bij 10 en 4 bij 10. Eén van de twee blijft over. Van de twee afmetingen wordt één behouden en wordt de andere een kleiner natuurlijk getal (verschillend van nul). Laten we een notatie invoeren voor de rechthoeken. Ze zijn bepaald door twee getallen. We noteren bv. de oorspronkelijke reep als (6, 10). De mogelijke zetten vanaf (6, 10) zijn (6, 1), (6, 2),, (6, 9); (1, 10), (2, 10),, (5, 10). Als we deze koppels voorstellen in een assenstelsel, dan vertrekken we in het punt (6, 10) en mogen we evenwijdig met één van de assen naar de oorsprong toe bewegen. Het probleem kan dus als volgt worden geherformuleerd. Herformulering Twee spelers bewegen om beurten een punt in een rooster, over een geheel aantal stapjes naar links of naar onder. Het punt start in (6, 10) en kan nooit op of voorbij een as geraken. De winnaar is wie het punt (1, 1) bereikt. Wie heeft een winnende strategie? Je kunt ook zeggen dat het punt start in (5, 9), dat je wel op maar niet voorbij een as mag komen en dat je wint als je in (0, 0) komt. Nog een andere formulering: Herformulering Er zijn twee stapels kaartjes, een stapel van 5 en een stapel van 9. Elke speler moet om beurten één of meer kaartjes wegnemen van één van de twee stapels. Wie de laatste kaart wegneemt is gewonnen. We hebben nu zeker goede wiskundige modellen. Maar de moeilijkheid is dat er zoveel mogelijkheden zijn. Daarom kunnen we eerst het spel met kleinere aantallen spelen. Het verschuiven van (1, 1) naar (0, 0) laten we (voorlopig?) links liggen. Stel dat we starten met reep of punt (2, 3). De eerste speler kan naar (1, 3), (2, 2) of (2, 1). Maar (1, 3) of (2, 1) is niet slim want daarmee kan de tweede speler gemakkelijk naar (1, 1). Dus moet de eerste speler naar (2, 2). De tweede speler is dan verplicht om naar (2, 1) of (1, 2) te gaan en de eerste speler wint. Dus: als men start in (2, 3) is de eerste speler gewonnen. Laten we nu starten in (3,3). Naar (1, 3) of (3, 1) gaan is niet goed. Maar ook naar (2, 3) is geen goed idee want we hebben zojuist gezien dat met (2, 3) mag starten, altijd kan winnen. En (3, 2) is natuurlijk even slecht als (2, 3). Dus zal de eerste speler verliezen als men start in (3, 3). Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 16

17 We losten het op voor (3, 3) steunend op wat we wisten voor (2, 3). Dit suggereert een recursieve werkwijze. Door de symmetrie kunnen we ons beperken tot (a, b) met a b. (1, 1) is verliezend (wie dit krijgt, is verloren). (1, n) met n > 1 is winnend (wie dit krijgt, kan de andere (1, 1) geven). (2, 2) is verliezend (wie dit krijgt, moet de andere (1, 2) geven en dus laten winnen). Dus is (2, n) met n > 2 winnend (wie dit krijgt, kan de andere (2, 2) geven. Enzovoort. We zouden hiermee stap voor stap kunnen verdergaan tot (6, 10). Maar het is leuker om een patroon te zoeken voor de winnende en verliezende punten. Hierboven merkten we de volgende eigenschappen op. Als (a, b) verliezend is, dan is (a, c) met c > b winnend, want wie dit krijgt, kan aan de andere (a, b) geven. (a, b) is verliezend als je van hieruit enkel naar winnende posities (voor de tegenpartij) kunt gaan. Als we alle winnende punten die we al kennen in het vlak aanduiden, en de verliezende punten in een andere kleur, krijgen we de indruk dat de verliezende punten gewoon de punten (x, x) zijn en dat de andere punten allemaal winnend zijn. Anders gezegd: als de reep chocolade vierkant is, zal de eerste speler verliezen en anders kan de eerste speler winnen. Met dit vermoeden proberen we een strategie te formuleren voor de eerste speler bij de (6, 10)-reep. Breek de chocolade zo dat je een vierkant van 6 bij 6 aan de tegenspeler geeft. Wat de tegenspeler daarna ook doet, maak er telkens weer een vierkant van. Deze strategie werkt: de tegenspeler krijgt telkens een vierkant en kan hier dus nooit een vierkant van maken. De eerste speler krijgt dus telkens een rechthoek en kan er wel telkens een vierkant van maken. Vermits de vierkanten die de tegenspeler krijgt, steeds kleiner worden, komt er zeker een moment waarop dit een vierkant van 1 bij 1 is. Achteraf gezien bleek de eerste herformulering nuttig om een patroon te herkennen, maar hebben we de tweede herformulering niet gebruikt. Michel Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 17

18 BIJLAGE 2 BESPREKING UIT UITWISKELING 31/1 (WINTER 2015 AVANT-PREMIÈRE) Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 18

19 Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 19

20 Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 20

21 BIBLIOGRAFIE Jacobs, S., Op de Beeck, R., Willems, J. (2005), Problem solving. Uitwiskeling 22/1 Pólya, G. (1966). Let us teach guessing. MAA Video Classics number 1, The Mathematical Association of America, 1966, besproken in UW 31/1 Pólya, G. (1990). How to solve it. Princeton University Press Posamentier, A.S., Krulik, S. (2008). Problem solving strategies for efficient and elegant solutions. Grades A resource for the mathematics teacher. Corwin Press, Thousand Oaks, California, 2008, 260 pp., ISBN , besproken in UW 29/3 Schoenfeld, A. (1985) Mathematical problem solving. Orlando, Academic Press Tao, T. (2006). Solving mathematical problems. A personal perspective. Oxford University Press, Oxford / New York, 2006, ISBN , besproken in UW 24/3 Van Leemput, G. e.a. (1991), Problemen oplossen in de wiskundeles. Uitwiskeling 8/1 Michel Roelens, Wie niet zoekt, niet vindt. 21

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Vandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof

Vandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof 2 3 ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN ErasmushogeschoolBrussel Lerarenopleiding LSO anne.schatteman@ehb.be Vandaag 2 Moeilijk onderdeel van de leerstof 3 Bewijzen worden behandeld

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie

3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3.

3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. 1. Als je vervangt door 3 in de uitdrukking + + 6 = + + +, dan verkrijg je: 3 + 3 + 6 = 3 + 3 + 3 + 3. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2010, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w.

Nadere informatie

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar

25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE. De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar 25 JAAR VLAAMSE WISKUNDE OLYMPIADE De slechtst beantwoorde vragen in de eerste ronde per jaar Samenstelling en lay-out: Daniël Tant Luc Gheysens Vlaamse Wiskunde Olympiade v.z.w. VWO 1 1986 Vraag 17 Een

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade: tweede ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer punten, een blanco antwoord bezorgt

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde

11 Junior Wiskunde Olympiade 2001-2002: tweede ronde Junior Wiskunde Olympiade 200-2002: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7.

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7. Herhalingsoefeningen Rijen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Onderzoek of de

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)

Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2012, probleem 1. c Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw . Bij een weerspiegeling in het water staat een beeld op zijn kop. ntwoord is dus zeker fout. De stand van de maan ten opzichte van de boom moet dezelfde blijven. Zo moet de holle kant van de maan het

Nadere informatie

11 De hoed van Napoleon

11 De hoed van Napoleon 11 De hoed van Napoleon 11.1 Historiek Napoleon Bonaparte (1769-1821) was van Italiaanse afkomst en begon zijn carrière als onderluitenant in de artillerie en klom op tot Frans generaal. Op zijn dertigste

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Welke ongelijkheid is juist? (A) 3 5 < 2 6 (C) 5 6 < 3 (B) 3 7 < 2 (D) 5 7 < 2 10 (E) 5 < 6 7 2 Hoeveel vierkante meter is 1600 vierkante centimeter?

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP

PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP OEFENINGEN 1 Kleur de figuren die congruent zijn met elkaar in dezelfde kleur. 2 Gegeven: PQS en PRS PS is de bissectrice van ˆP Gevraagd: Zijn de driehoeken congruent? Verklaar. 3 Gegeven: Gevraagd: Is

Nadere informatie

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi

Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

2.5 Regelmatige veelhoeken

2.5 Regelmatige veelhoeken Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 HAVO en VWO Klas 3, 4 en 5 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Kangoeroe. Wallabie thema. de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Kangoeroe. Wallabie thema. de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd. Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Kangoeroe de wereldwijde reken-, denk- en puzzelwedstrijd Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Vlakke situaties onderzoeken 1. Zara tekent de hoekpunten van een regelmatige zeshoek. oor een aantal van deze punten

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)

Nadere informatie

wizbrain 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizbrain 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe rekenmachine is niet toegestaan je hebt 75 minuten de tijd www.smart.be

Nadere informatie

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 -

Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - Voorbereiding : examen meetkunde juni - 1 - De driehoek : Congruentiekenmerken van een driehoek kennen Soorten lijnen in een driehoek kennen Bissectricestelling kennen Stelling van het zwaartelijnstuk

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Onthoudboekje rekenen

Onthoudboekje rekenen Onthoudboekje rekenen Inhoud 1. Hoofdrekenen: natuurlijke getallen tot 100 000 Optellen (p. 4) Aftrekken (p. 4) Vermenigvuldigen (p. 5) Delen (p. 5) Deling met rest (p. 6) 2. Hoofdrekenen: kommagetallen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

44 De stelling van Pythagoras

44 De stelling van Pythagoras 44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt

Nadere informatie

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Doel Het construeren van bijzondere vierhoeken: parallellogram, ruit, vierkant. Constructies 1. Parallellogram (eerste constructie) We herhalen

Nadere informatie

Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk?

Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? 28-6-2014 Universiteit Utrecht Jeroen Nagtegaal (0441872) 2 INHOUDSOPGAVE 0. INLEIDING... 4 HOE MOET JE DIT BOEKJE LEZEN?...

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 HEILIGE DRIEVULDIGHEIDSCOLLEGE Onderzoeksopdracht Stelling van Ptolemaeus Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 Inhoudstafel Historische achtergrond Bewijs van de stelling van Ptolemaeus Toepassingen

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

a. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok

a. De hoogte van een toren bepalen met behulp van een stok Gelijkvormigheid in de 17 de - en 18 de -eeuwse landmeetkunde Heb jij enig idee hoe hoog dat gebouw of die boom is die je uit het raam van je klaslokaal ziet? Misschien kun je de hoogte goed schatten,

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus

CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier!

Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! Noteer hier eventueel je naam: Aan alle Wallabies, en aan hun leerkrachten, veel succes en, nog belangrijker, veel plezier! Wiskunde leuk? Reken maar! wwwwiskundekangoeroebe c Vlaamse Wiskunde Olympiade

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 18 juni uur Eamen VWO 008 tijdvak woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B,2 (nieuwe stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 9 juni 3.30 6.30 uur 20 02 Voor dit eamen zijn maimaal 84 punten te behalen; het eamen bestaat uit 6 vragen.

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-II ppervlakte Gegeven is de functie f ( x) x. De lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt (0, 3). Zie figuur. figuur y k f x 5p Stel met behulp van differentiëren een vergelijking op van k. De grafiek

Nadere informatie

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.) 1.

Nadere informatie

Paracetamol in het bloed

Paracetamol in het bloed Paracetamol in het bloed Paracetamol is een veelgebruikte pijnstiller, die in tabletvorm te koop is. Voor volwassenen zijn er tabletten die 500 mg paracetamol bevatten. Na het innemen van een tablet wordt

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Eigenschappen van driehoeken

Eigenschappen van driehoeken 5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I

Eindexamen wiskunde B vwo 2010 - I Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3

Nadere informatie

Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.

Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft. Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Veronderstel: zijde

Nadere informatie

= 3 1111 101 + 6 3 1111 101 + 2 1111 101 = (3 + 2) 1111 101 = 5 11

= 3 1111 101 + 6 3 1111 101 + 2 1111 101 = (3 + 2) 1111 101 = 5 11 . Bij A en E staan de benen van het poppetje loodrecht op elkaar. Bij C vormen de benen een scherpe hoek. Bij D vormen de benen een gestrekte hoek. Alleen bij B vormen de benen van het poppetje een stompe

Nadere informatie

Drie Gelijkbenige driehoeken De gelijkbenige driehoek hieronder is verdeeld in twee gelijkbenige driehoeken. Hoe groot is de tophoek van de driehoek?

Drie Gelijkbenige driehoeken De gelijkbenige driehoek hieronder is verdeeld in twee gelijkbenige driehoeken. Hoe groot is de tophoek van de driehoek? Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Drie Gelijkbenige driehoeken De gelijkbenige driehoek hieronder is verdeeld in twee gelijkbenige driehoeken.? O O Hoe groot is de tophoek van de driehoek?

Nadere informatie

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000

Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 Opgaven Kangoeroe vrijdag 17 maart 2000 VBO en MAVO Klas 3 en 4 Vragen 1 t/m 10: voor elk goed antwoord +3 punten, voor elk fout antwoord -¾ punt. 1. Hiernaast zie je drie aanzichten (voor, boven, links)

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie