Moderne wiskunde. Docentenhandleiding bij: Klas 2 Deel 2 vwo. inhoudelijke structuur planning beschrijving per hoofdstuk

Transcriptie

1 Moderne wiskunde Docentenhandleiding bij: Klas 2 Deel 2 vwo inhoudelijke structuur planning beschrijving per hoofdstuk Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 1

2 Inhoudelijke structuur Opstap Basisstof Diagnostisch moment Differentiatiedeel Praktische opdracht Technische vaardigheden en Door elkaar ICT Werkboek Werkboek Algebra plus Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 2

3 Opstap In klas 1 begon elk hoofdstuk met een Instap. Hierin werd georiënteerd op het nieuwe hoofdstuk. Vanaf klas 2 is de Instap vervangen door een Opstap. Hierin wordt kennis die voor een nieuw hoofdstuk noodzakelijk is opgehaald. Elk hoofdstuk begint met zo n Opstap. Op de linker bladzijde staan opdrachten die gewoon gemaakt kunnen worden. Op de rechter bladzijde vindt u opdrachten waarin voorkennis opgehaald kan worden met behulp van de computer. Er kan voor gekozen worden om of de linker of de rechter bladzijde te laten maken. Het is ook mogelijk de benodigde voorkennis klassikaal aan de orde te stellen en af te sluiten met een klassengesprek. Bij tijdgebrek kan de Opstap ook overgeslagen worden. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 3

4 Basisstof Na de Opstap komen vijf of zes paragrafen basisstof waarin de leerstof van het hoofdstuk wordt behandeld. Een paragraaf bestaat uit twee bladzijden, die samen gemiddeld één les kosten. De basisstof is geschikt voor zelfstandig werken. Het grootste gedeelte bestaat uit opdrachten. Verder staan er kleurvlakken in de basisparagrafen. In een rood kleurvlak staan zaken, die de leerlingen moeten kennen. In een blauw kleurvlak staan zaken die de leerlingen moeten kunnen. Zo n blauw kleurvlak is een Systematisch Probleem Aanpak (SPA). Een SPA begint altijd met een hoe-vraag. Bij bijna alle SPA s is een animatie gemaakt, die op de WiskDisk is te vinden. Een leerling kan daar thuis veel steun aan hebben. Bij sommige opdrachten staat een verwijzing naar een opdracht in de Extra oefening. Zo n opdracht kan direct na een opdracht uit de basisstof gemaakt worden. Het is ook mogelijk om de Extra oefening te maken nadat de basisstof is doorgewerkt. Een schaartje voor een opdracht verwijst naar het werkboek. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 4

5 Diagnostisch moment Na de basisstof volgen twee pagina s Samenvatting. Hier vinden de leerlingen een overzicht van de zaken die ze moeten kennen en kunnen. De Samenvatting kan als huiswerk worden opgegeven. Het Testbeeld is een toets, die gebruikt kan worden als voorbereiding op de repetitie. Om leerlingen ook thuis een controlemogelijkheid te geven zijn de uitwerkingen van het Testbeeld in het werkboek opgenomen. Op de WiskDisk staat van elk Testbeeld een digitale versie. Nieuw in de delen van klas 2 zijn de bladzijden Technische vaardigheden en Door elkaar. Op de bladzijden Technische vaardigheden worden de vaardigheden onderhouden waarover leerlingen permanent moeten beschikken. Op de bladzijden Door elkaar staan opdrachten waarin de leerstof van voorgaande hoofdstukken wordt gecombineerd. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 5

6 Differentiatiedeel Aan de hand van de resultaten van het Testbeeld kan een keuze gemaakt worden uit het differentiatiedeel, dat bestaat uit de onderdelen: Extra oefening, Gemengde opdrachten en Extra A of Extra B. Is het Testbeeld niet zo goed gemaakt, dan is het misschien beter om te kiezen voor Extra oefening. Dit tweetal bladzijden geeft een herkansing voor belangrijke vaardigheden uit de basisstof. De Gemengde opdrachten zijn bedoeld voor het oefenen in het inzicht. Ze zijn dan ook van een iets hoger niveau dan de Extra oefening. Deze paragraaf bevat geen nieuwe leerstof. Een onderdeel van de Gemengde opdrachten is ICT. De ICT kan gedaan worden onafhankelijk van de andere opdrachten. Extra A en Extra B geven een indruk van het karakter en het niveau van wiskunde A en wiskunde B in de bovenbouw. Deze leerstof wordt in de vervolgdelen niet bekend verondersteld. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 6

7 Praktische opdracht In de praktische opdrachten worden leerlingen uitgedaagd een wiskundig probleem te onderzoeken. De praktische opdrachten De driehoek van Pascal, Rollen en Visserijzone s zijn ook bedoeld als voorbereiding op de praktische opdrachten, die in de bovenbouw een belangrijk onderdeel van het examen zijn. Alle praktische opdrachten worden besloten met een aantal onderzoeksopdrachten. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 7

8 Technische vaardigheden en Door elkaar Na elke vier hoofdstukken volgen twee bladzijden Technische vaardigheden en vier bladzijden Door elkaar. Op de bladzijden Technische vaardigheden worden de vaardigheden onderhouden waarover leerlingen permanent moeten beschikken. Op de bladzijden Door elkaar staan hoofdstukoverstijgende opdrachten die een beroep doen op de kennis en vaardigheden uit de voorgaande hoofdstukken. Deze opdrachten kunnen daardoor iets complexer zijn dan de opdrachten uit het hoofdstuk zelf. De opdrachten uit Door elkaar zijn te gebruiken op het moment dat de leerlingen alle voorgaande hoofdstukken hebben doorlopen. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 8

9 ICT Na de hoofdstukken 4 en 8 staat een computerpracticum. Zo kunnen leerlingen leren werken met de programma s VU-Grafiek en VU-Statistiek. Elk computerpracticum kan in twee lessen gedaan worden. Deze twee computerpractica vormen een goede ondergrond voor het vervolggebruik in de hogere leerjaren. Omdat VU-Grafiek en VU-Statistiek ook op de WiskDisk staan, kunnen de computerpractica ook thuis doorgewerkt worden. Vooral bij gebrek aan computerruimten is dit een goed alternatief. De ICT-bladzijde van de Opstap is een voorbereiding op het hoofdstuk aan de hand van de computer. De applets en de andere programma s zijn allemaal op de WiskDisk te vinden. Daar staan ook alle programma s die nodig zijn om de ICT-bladzijde van de Gemengde opdrachten op de computer te kunnen doen. In de leerstofvervangende ICT-paragrafen gaat het om basisstof die zich goed leent voor een behandeling op de computer. Deze ICT-paragrafen kunnen de basisparagrafen vervangen. Van ieder Testbeeld staat een digitale versie op de WiskDisk. U kunt dus besluiten de stof digitaal te toetsen. U kunt het ook als extra toets gebruiken. Van bijna ieder blauw kleurvlak is een animatie gemaakt. Na elke animatie volgen één of twee digitale toetsopdrachten. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 9

10 Werkboek In het werkboek zijn de werkbladen bij de hoofdstukken te vinden. Daarna staan er bij elk hoofdstuk twee bladzijden met extra oefenopdrachten. Vervolgens staan de uitwerkingen van elk Testbeeld in het werkboek. Ten slotte staan de uitwerkingen van de oefenopdrachten in het werkboek. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 10

11 Werkboek Algebra plus In het werkboek Algebra plus staan bij elk hoofdstuk vier bladzijden met extra oefenopdrachten. De eerste bladzijde met oefenopdrachten is bedoeld als extra oefening bij het hoofdstuk. De tweede bladzijde met complexe opdrachten biedt veel meer uitdaging aan de leerling omdat de tussenstappen ontbreken. Voor het oplossen van allerlei wiskundige problemen moeten leerlingen de beschikking hebben over een behoorlijke hoeveelheid techniek. De derde bladzijde met technische vaardigheden heeft als doel die vaardigheden te onderhouden en verder te ontwikkelen. De vierde bladzijde met door elkaar bevat opdrachten die over meer hoofdstukken tegelijk gaan. De laatste opdracht daarvan is altijd een puzzel. Bij elk hoofdstuk wordt ook een computerprogramma ingezet, meestal als extra oefening van vaardigheden. Het werkboek Algebra plus begint met de werkbladen bij de hoofdstukken. Daarna staan er bij elk hoofdstuk vier bladzijden met extra oefenopdrachten, waarover hierboven meer stond. Vervolgens staan de uitwerkingen van elk Testbeeld in het werkboek Algebra plus. Ten slotte staan de uitwerkingen van de oefenopdrachten in het werkboek Algebra plus. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 11

12 Planning Tempo waarin de boeken doorgewerkt kunnen worden Tempo bij 3 lesuren per week Bezuinigen of inhalen Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 12

13 Tempo waarin de boeken doorgewerkt kunnen worden De leerstof van klas 2 is verdeeld over deel 3A en deel 3B. Deel 2A heeft zes hoofdstukken, een Praktische opdracht, twee bladzijde Technische vaardigheden, vier bladzijden Door elkaar en een computerpracticum. Deel 2B telt zes hoofdstukken, twee Praktische opdrachten, vier bladzijde Technische vaardigheden, acht bladzijden Door elkaar en een computerpracticum. In de gewone paragrafen vormen twee bladzijden naast elkaar een eenheid. Een vuistregel voor het tempo is een gemiddelde van twee bladzijden per les. De manier waarop u de boeken kunt doorwerken wordt onder andere bepaald door het aantal lesuren dat u per week aan wiskunde kunt besteden. In de volgende planning wordt uitgegaan van 36 normale schoolweken, inclusief de toetsing. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 13

14 Tempo bij 3 lesuren per week De Opstap bestaat steeds uit twee onderdelen. Op de linker bladzijde staan opdrachten die gewoon gemaakt kunnen worden. Op de rechter bladzijde vindt u opdrachten waarin voorkennis opgehaald kan worden door middel van de computer. U kunt hieruit een keuze maken. Bovendien zijn de computeropdrachten ook thuis te maken met behulp van de WiskDisk. Daarom wordt uitgegaan van een gemiddelde besteding van een half lesuur voor de Opstap. Elke basisparagraaf zal gemiddeld één lesuur in beslag nemen. Na de basisstof kan er een halve les besteed worden aan de Samenvatting en het Testbeeld. Daarna kunnen de leerlingen één lesuur aan de slag met het differentiatiedeel: Extra oefening, Gemengde opdrachten of Extra A/Extra B. Ten slotte hebt u nog één lesuur nodig voor de afsluitende toets. Schematisch: - Opstap basisstof 5 of 6 lesuren - Samenvatting + Testbeeld differentiatiedeel 1 lesuur - afsluitende toets 1 lesuur totaal per hoofdstuk 8 of 9 lesuren Er wordt uitgegaan van 36 lesweken in een schooljaar (inclusief tijd voor toetsing). Aantal beschikbare lesuren 36 3 = Nodig voor de hoofdstukken = 102 lesuren. De rest van de lesuren kunt u besteden aan Technische vaardigheden, Door elkaar, Praktische opdracht en Computerpracticum. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 14

15 Bezuinigen of inhalen In het geval van tijdgebrek kan het nodig zijn om opdrachten over te slaan. Deze opdrachten kunt u per hoofdstuk vinden onder het kopje Bezuinigen. Het is voorts mogelijk, dat een leerling door ziekte is achter geraakt. Onder het kopje Inhalen staan de kernopdrachten genoemd, die door deze leerling zeker gemaakt moeten worden om de achterstand weg te werken. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 15

16 Beschrijving per hoofdstuk Deel 2A 1 Getallen 2 Lineaire formules 3 Gelijkvormigheid 4 Statistiek Praktische opdracht De driehoek van Pascal 5 De stelling van Pythagoras 6 Haakjes Deel 2B 7 Oppervlakte 8 Procentuele groei Praktische opdracht Rollen 9 Vergelijkingen 10 Construeren en redeneren 11 Allerlei formules 12 Kijk op kans Praktische opdracht Visserijzones Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 16

17 1 Getallen Nieuwe begrippen kwadraat, kwadrateren, wortel, worteltrekken, wortelvormen, vereenvoudigen van wortels, macht, grondtal, exponent, standaardvorm, wetenschappelijke notatie WiskDisk Basis: In ICT Rekenen wordt met De toverdrank 2, Emmertjes met blokjes en Oefentoetsen het rekenen met positieve en negatieve getallen opgehaald. Verder kan worden geoefend met het programma Flippo. Hierin wordt op een speelse manier gewerkt met het plaatsen van haakjes. Gemengde opdrachten: Met het programma Algebrapijlen worden pijlenkettingen gemaakt, waarin haakjes een rol spelen. Tip Het is belangrijk om bij wetenschappelijke notatie extra aandacht aan de rekenmachine te besteden. Verder is het raadzaam aandacht aan het plaatsen van haakjes op de rekenmachine te besteden. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 7 10, 14, 15 21, 22, 23 30, 33 35, 36 44, 45, 40 3, 4, 5, 6, 8 11, 12, 13, 16, 18 20, 21, 25, 26, 27 29, 31, 32, 33 35, 36, 38, 39, 41 46, 47, 48, 49, 51, 52 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 17

18 2 Lineaire formules Nieuwe begrippen lineaire grafiek, lineaire formule, hellingsgetal, startgetal, stijgende rechte lijn, dalende rechte lijn, horizontale lijn, waaier lijnen WiskDisk Basis: In ICT Lijnen met de computer wordt met het programma VU-Grafiek het tekenen van lijnen en het vinden van het snijpunt van lijnen herhaald. Gemengde opdrachten: In ICT Formules zoeken wordt met het programma VU-Grafiek het zoeken van de formule, die bij een lineaire grafiek hoort, geoefend. Ook wordt met behulp van een tabel het hellingsgetal en het startgetal gevonden. Tip Leerlingen hebben vaak moeite met het invullen van negatieve getallen in een formule. Het is raadzaam extra aandacht aan dit onderdeel te besteden. De opdrachten 22, 23 en 24 lenen zich goed voor een nabespreking over het opstellen van een lineaire formule. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , , 3, 4 7, 8, 9, 10 14, 15, 16, 17 19, 20, 21, 23, 24 27, 28, 29, 30 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 18

19 3 Gelijkvormigheid Nieuwe begrippen vergroten, factor, gelijkvormige figuren, overeenkomstige zijden, overeenkomstige hoeken, gelijkvormige driehoeken WiskDisk Basis: In ICT Figuren groter maken wordt georiënteerd of een figuur door vergroten zijn vorm behoudt. Gemengde opdrachten: In ICT Hoogte meten wordt met het programma Toren op de computer geoefend met gelijkvormigheid van figuren. Tip Vaak hebben leerlingen moeite met het begrip vergroten als een figuur kleiner wordt. Het is verstandig hier extra aandacht aan te geven. Het verschil in voorwaarden voor gelijkvormigheid van vierhoeken en rechthoeken kan in een klassengesprek verduidelijkt worden. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , , 22 25, 29 1, 2, 3, 4 6, 7, 8, 9, 10, 12 13, 14, 15, 16 18, 19, 20, 23, 24 26, 27, 28, 30, 31 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 19

20 4 Statistiek Nieuwe begrippen beelddiagram, cirkeldiagram, sector, staafdiagram, lijndiagram, steelbladdiagram, steel, bladeren, gemiddelde, frequentie, frequentietabel, modus, mediaan, klasse, klassenindeling, klassenmidden, modale klasse WiskDisk Basis: In ICT Aantal leerlingen wordt met het bestand Leerlingen en Eigen klas geoefend met cirkeldiagrammen. Gemengde opdrachten: In ICT Statistiek met Excel wordt met het bestand Afstand op de computer geoefend met het maken van een frequentietabel in het Excel. Tip Het zelf tekenen van een cirkeldiagram bij een aantal gegevens blijft moeilijk voor veel leerlingen. Extra aandacht hierbij is dan ook niet overbodig. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , , , 35 2, 3, 4, 5 6, 8, 9, 11 12, 13, 14, 17 18, 19, 21, 23, 25 26, 27, 28, 30 31, 32, 34 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 20

21 Praktische opdracht De driehoek van Pascal In deze praktische opdracht staat de driehoek van Pascal centraal. Een mooie illustratie uit een Chinees boek blijkt een bijzondere symmetrie en regelmaat te bevatten. Via het tellen van verschillende manieren waarop je amuletten kunt lezen, komt de driehoek van Pascal vanzelf naar voren. Vervolgens worden andere contexten aangeboden waar de getallen uit die driehoek ook naar voren komen. Daarna worden drie ideeën voor onderzoeksopdrachten aangereikt. In klas 1 was het maken van een werkstuk nog een enigszins vrijblijvende aangelegenheid. In klas 2 wordt wat meer structuur aangebracht door het aanbieden van een stappenplan. Op de eerste bladzijde van deze praktische opdracht staat een driehoek uit een Chinees boek. Wie die driehoek bestudeert, kan een heleboel Chinese tekens herleiden tot bekende getallen. Daarna worden wat amuletten onderzocht. Tellen van het aantal mogelijke manieren waarop het woord abracadabra daarin te lezen is, levert al vlug de getallen uit de driehoek van Pascal op. Daarna volgen enkele telproblemen met opgooien van munten en tellen van stuivers in meetkundige patronen. Die lijken in eerste instantie niets te maken te hebben met de driehoek van Pascal, maar nader onderzoek leert anders. Bij een onderzoek is het belangrijk na te denken welke stappen je moet zetten om tot een echt onderzoek te kunnen komen. Daarvoor wordt een stappenplan aangereikt dat model staat voor de stappen die je moet zetten als je een werkstuk gaat maken. In het eerste idee voor een onderzoeksopdracht wordt het bord van Galton opgevoerd. Daarbij wordt het stappenplan al uitgewerkt. Het tweede idee laat leerlingen meer vrijheid bij het verder onderzoeken van de driehoek van Pascal. Ook de getallen uit de rij van Fibonacci blijken in deze driehoek terug te vinden zijn. Het derde idee, over het stapelen van tennisballen, is nog opener van karakter. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 21

22 5 De stelling van Pythagoras Nieuwe begrippen rechthoekszijde, langste zijde, stelling van Pythagoras, doorsnede, omgekeerde stelling van Pythagoras WiskDisk Basis: In ICT Ingesloten driehoeken wordt speels georiënteerd op de stelling van Pythagoras. Gemengde opdrachten: In ICT Scherpe en stompe driehoeken wordt met het programma Ingesloten driehoeken II op de computer geoefend met het zoeken naar rechte hoeken als de zijden van een willekeurige driehoek gegeven zijn. Verder wordt met het programma Doorsneden gekeken naar de vorm van een doorsnede. Tip Het is heel belangrijk dat leerlingen beseffen dat in het schema bij de stelling van Pythagoras de langste zijde altijd onderaan staat. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 13 17, , 39 2, 3, 4, 5, 6 7, 9, 10, 11, 12, 15 16, 19, 21 23, 24, 26, 27 28, 29, 30, 31 33, 34, 36, 37, 38 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 22

23 6 Haakjes Nieuwe begrippen termen, veranderlijke, variabele, factor, gelijksoortige termen, factoren met elkaar vermenigvuldigen, vermenigvuldigtabel, ontbinden in factoren, buiten haakjes halen WiskDisk Basis: In ICT Rechthoeken wordt het met het programma Geomalgebra het wegwerken van haakjes visueel zichtbaar gemaakt. Gemengde opdrachten: In ICT Oppervlakte en haakjes wordt met het programma Geomalgebra het vermenigvuldigen van tweetermen gevisualiseerd. Tip Met behulp van de oppervlakte van rechthoeken wordt de vermenigvuldigtabel geïntroduceerd. Op het schoolbord kan door het wegvegen van een paar lijntjes getoond worden dat rechthoek en tabel wel heel erg op elkaar lijken. Ook het computerprogramma Geomalgebra kan hiervoor goed gebruikt worden. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuiningen inhalen , 7 8, 11 19, , 37 40, 45 1, 2, 4, 5, 6 9, 10, 12, 13, 14, 15 17, 18, 20, 21, 22 25, 26, 28, 31 32, 34, 35, 38 39, 41, 42, 43, 44, 46 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 23

24 7 Oppervlakte Nieuwe begrippen basis, hoogte, oppervlakte parallellogram, oppervlakte driehoek, straal, middellijn, diameter, omtrek cirkel, pi, oppervlakte cirkel WiskDisk Opstap: In ICT Oppervlakte kunnen met behulp van het programma Oppervlakte de oppervlakte van allerlei figuren worden berekend. Hierbij kan ook het berekenen door middel van inlijsten worden gebruikt. Gemengde opdrachten: In ICT Oppervlakte en inhoud kunnen de leerlingen zich trainen in het berekenen van oppervlakte (driehoeken en parallellogrammen) en het berekenen van inhoud (balk, cilinder en prisma). Tip Het verdient aanbeveling om bij het berekenen van de oppervlakte van een driehoek en parallellogram aandacht te besteden aan basis en hoogte. Benadruk dat basis en hoogte loodrecht op elkaar staan. Als introductie van de omtrek van de cirkel kunt u opdracht 14 vervangen door/aanvullen met een verzameling cirkels, waarvan de leerlingen met behulp van een touwtje de omtrek moet bepalen. Vervolgens kan dan opdracht 14f worden gemaakt. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 16 19, , 3, 5, 6 8, 10, 11, 12 15, 16, 18 22, 23, 24, 27 28, 29, 30, 33 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 24

25 8 Procentuele groei Nieuwe begrippen factor, groeifactor, exponentieel, exponentiële formules, beginhoeveelheid, vermenigvuldigpunt WiskDisk Opstap: In ICT Procenten met Excel kunnen leerlingen in Excel bij verandering van beginaantal en/of percentage van groei/afname de effecten snel aflezen. Gemengde opdrachten: In ICT Procenten met VU-Grafiek gaan de leerlingen in VU-Grafiek werken met exponentiële formules en de bijbehorende grafieken. Tip Het verdient aanbeveling aandacht te besteden aan de relatie percentage en factor, zowel bij percentages onder 100%, als percentages boven 100%. Door procenten te schrijven als factoren is het handig rekenen met procenten. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , , 33 3, 5, 6, 7, 8 9, 10, 12, 13, 14 18, 19, 20, 21 23, 24, 26, 27, 28 30, 31, 33, 34 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 25

26 Praktische opdracht Rollen In deze praktische opdracht staat het rollen van figuren centraal. Leerlingen tekenen banen die bij het rollen ontstaan en gebruiken die banen om conclusies te trekken. Daarna worden drie ideeën voor onderzoeksopdrachten aangereikt. In klas 1 was het maken van een werkstuk nog een enigszins vrijblijvende aangelegenheid. In klas 2 wordt wat meer structuur aangebracht door het aanbieden van een stappenplan. Op de eerste bladzijde staat een foto van wielrenners. De bewegingen daarin kunnen ook in grafieken vertaald worden. Daarbij ontstaat een sinusachtige grafiek. Bij het kantelen van een rechthoekige figuur ontstaan figuren bestaande uit cirkelbogen en met knikken bij de punten behorende bij kantelpunten. Terugkerend naar het fietswiel wordt een fiets, ontworpen door de Engelsman James Starley, nauwkeurig bekeken. Er blijkt een groot verschil te zijn tussen de grafiek die ontstaat als je de hoogte van het ventiel afzet tegen de afgelegde weg en de grafiek die je krijgt door het experiment uit te voeren met een cirkel die langs een liniaal rolt. De eerste grafiek hoort bij een sinusoïde die mooi rond is, terwijl de tweede hoort bij een cycloïde die onderaan niet rond is. Met een fietswiel waarvan de as niet in het midden zit kan nog wat meer onderzocht worden. Bij het uitvoeren van een onderzoeksopdracht is het belangrijk na te denken welke stappen je moet zetten om tot een echt onderzoek te kunnen komen. Daarvoor wordt een stappenplan aangereikt dat model staat voor de stappen die je moet zetten als je een werkstuk gaat maken. In het eerste idee voor een onderzoeksopdracht wordt de baan van de trappers bij verschillende versnellingen bekeken. Daarbij wordt het stappenplan al uitgewerkt. Het tweede idee laat leerlingen meer vrijheid, maar de te onderzoeken figuren worden al aangereikt. Het derde idee is nog opener van karakter. Leerlingen worden uitgedaagd onderzoek te doen met een spirograaf. Natuurlijk zijn er ook nog andere ideeën te bedenken variërend van een vrij gesloten tot een totaal open onderzoek. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 26

27 9 Vergelijkingen Nieuwe begrippen snijpunt, omslagpunt, ongelijkheid WiskDisk Opstap: In ICT Vergelijkingen wordt het oplossen van vergelijkingen opgehaald met behulp van omgekeerde pijlenkettingen en met bordjes. Gemengde opdrachten: Bij ICT Balans kunnen de leerling oefenen in het oplossen van vergelijkingen. Hierbij moeten de leerlingen zelf aangeven welke bewerking ze links en rechts willen doen. Ze zien direct het resultaat deze bewerking. VU-Grafiek wordt gebruikt bij het grafisch oplossen van ongelijkheden. Tip Het programma Balans is goed te gebruiken bij het verwerken van vergelijkingen uit paragraaf 9.1 en 9.2. Met dit programma is het resultaat van links en rechts hetzelfde doen goed zichtbaar te maken. Bij het oplossen van ongelijkheden is het belangrijk dat leerlingen eerst de bijbehorende vergelijking oplossen. Grafische ondersteuning kan hierbij voor veel leerlingen hulp bieden. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , , 34 2, 3, 6, 7, 8 10, 12, 13, 15, 16 18, 19, 20, 23 24, 25, 26, 29, 30 31, 33, 35, 36, 37 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 27

28 10 Construeren en redeneren Nieuwe begrippen middelloodlijn, scherphoekige driehoek, stomphoekige driehoek, loodlijn, hoogtelijn, hoogtepunt, deellijn, Z-figuur, F-figuur, middenparallel, zwaartelijn, zwaartepunt, omgeschreven cirkel, raaklijn, raakpunt, ingeschreven cirkel WiskDisk Opstap: In ICT Hoeken moeten leerlingen hoeken berekenen. Gemengde opdrachten: In ICT Vierhoeken wordt gewerkt met de middelloodlijnen van vierhoeken en de snijpunten van deze middelloodlijnen. Tip Het bewijzen en redeneren is een belangrijk onderdeel in dit hoofdstuk. Het verdient aanbeveling, na het doorwerken van het hoofdstuk, het één en ander nog eens op een rijtje te zetten. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 3 7, 13 14, , 36 2, 4, 5, 6 8, 9, 10,11, 12 16, 18, 19, 20 22, 23, 24, 25, 26 28, 32, 33 35, 37, 38, 40 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 28

29 11 Allerlei formules Nieuwe begrippen evenredig, omgekeerd evenredig, hyperbool, wortelformule, randpunt, kwadratische formule, parabool, kwadratische vergelijking, parameter WiskDisk Opstap: In ICT Pijlenkettingen wordt gebruik gemaakt van het programma Algebrapijlen. Met dit programma worden formules en pijlenkettingen gecombineerd. Gemengde opdrachten: In ICT Grafieken bij Algebrapijlen gaan leerlingen werken met extra mogelijkheden binnen het programma Algebrapijlen. Hierbij wordt gekeken naar de grafieken bij ingevoerde pijlenkettingen en eventuele snijpunten. Tip Leerlingen willen evenredig en omgekeerd evenredig nog wel eens door elkaar halen. Extra aandacht is hierbij gewenst. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 4 7, 11 13, , 3, 5, 6 8, 9, 10, 12 14, 15, 17, 18, 19 21, 22, 24, 25 27, 28, 29, 31 33, 34, 36, 37 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 29

30 12 Kijk op kans Nieuwe begrippen kans, voorspellen, toeval, boomdiagram, macht, systematisch tellen WiskDisk Opstap: In ICT Dobbelstenen ligt de nadruk op het werpen van een dobbelsteen. Binnen het programma VU-Statistiek wordt het werpen met twee dobbelstenen gesimuleerd. Vervolgens wordt er gekeken naar de som van het aantal ogen. Gemengde opdrachten: In ICT Boomdiagrammen worden met behulp van het programma VU-Statistiek boomdiagrammen gemaakt. Deze diagrammen zijn te gebruiken bij kansproblemen. Tip Het begrip kans kan geïntroduceerd worden met bijvoorbeeld het laten geven van voorbeelden van al of niet eerlijk gooien met dobbelstenen. Leerlingen kunnen genoeg voorbeelden aandragen waarbij sprake is van eerlijk in relatie tot kans. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 4, 6 9, 14 16, 19 22, 25 28, 34 1, 5, 8 10, 11, 12, 13 17, 18, 20, 21 23, 24, 27 29, 30, 31, 33, 34 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 30

31 Praktische opdracht Visserijzones In deze praktische opdracht staan visserijzones centraal. De kabeljauwoorlog (in de jaren zeventig van de vorige eeuw) tussen de IJslandse regering en Engelse vissers vormt aanleiding om de visserijzones nader te bekijken. Daarbij komen verschillende berekeningen aan bod om de oppervlakte te benaderen. Daarna worden er drie ideeën voor onderzoeksopdrachten aangereikt. In klas 1 was het maken van een werkstuk nog een enigszins vrijblijvende aangelegenheid. In klas 2 wordt wat meer structuur aangebracht door het aanbieden van een stappenplan. Op de eerste bladzijde staat een kaart van IJsland. De toegevoegde lijnen blijken een historische ontstaansgeschiedenis te hebben. Om een indruk te krijgen van de oppervlakte van het zeegebied binnen die lijnen kunnen wiskundige modellen een dienst bewijzen. Bij het rekenwerk dat naar voren komt, moet eerst de formule voor de oppervlakte van een cirkel gebruikt worden. In plaats van benaderen met cirkels kan er ook een benadering met een rechthoek gebruikt worden. Door die rechthoek te vergroten ontstaat een figuur die lijkt op een rechthoek, maar deze figuur heeft ronde hoeken. Het vergelijken van de toename van het visserijgebied via de oppervlakte van de cirkels en via de oppervlakte van de uitgebreide rechthoeken maakt leerlingen bewust van het modelkarakter. Bij een onderzoek is het belangrijk na te denken welke stappen je moet zetten om tot een echt onderzoek te kunnen komen. Daarvoor wordt een stappenplan aangereikt dat model staat voor de stappen die je moet zetten als je een werkstuk gaat maken. In het eerste idee voor een onderzoeksopdracht wordt de oppervlakte van het visserijgebied benaderd uitgaande van de oppervlakte van IJsland. Daarbij wordt het stappenplan al uitgewerkt. Het tweede idee laat leerlingen meer vrijheid, maar worden de te onderzoeken figuren al aangereikt. Het derde idee, over de verdeling van de Noordzee, is nog opener van karakter. Natuurlijk zijn er nog andere onderzoeksopdrachten over het verdelen van gebieden te bedenken, variërend van vrij gesloten tot totaal open onderzoek. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 2 vwo 31