Moderne wiskunde. Docentenhandleiding bij: Klas 3 Deel 3 vwo. inhoudelijke structuur planning beschrijving per hoofdstuk

Transcriptie

1 Moderne wiskunde Docentenhandleiding bij: Klas 3 Deel 3 vwo inhoudelijke structuur planning beschrijving per hoofdstuk Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 1

2 Inhoudelijke structuur Opstap Basisstof Diagnostisch moment Differentiatiedeel Praktische opdracht Technische vaardigheden en Door elkaar ICT Werkboek Werkboek Algebra plus Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 2

3 Opstap Elk hoofdstuk begint met een Opstap. Hierin wordt kennis die voor een nieuw hoofdstuk noodzakelijk is opgehaald. Op de linker bladzijde staan opdrachten die gewoon gemaakt kunnen worden. Op de rechter bladzijde vindt u opdrachten waarin voorkennis opgehaald kan worden met behulp van de computer. Er kan voor gekozen worden om of de linker of de rechter bladzijde te laten maken. Het is ook mogelijk de benodigde voorkennis klassikaal aan de orde te stellen en af te sluiten met een klassengesprek. Bij tijdgebrek kan de Opstap ook overgeslagen worden. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 3

4 Basisstof Na de Opstap komen vijf (soms zes) paragrafen basisstof waarin de leerstof van het hoofdstuk wordt behandeld. Een paragraaf bestaat uit twee bladzijden, die samen gemiddeld één les kosten. De basisstof is geschikt voor zelfstandig werken. Het grootste gedeelte bestaat uit opdrachten. Verder staan er kleurvlakken in de basisparagrafen. In een rood kleurvlak staan zaken, die de leerlingen moeten kennen. In een blauw kleurvlak staan zaken die de leerlingen moeten kunnen. Zo n blauw kleurvlak is een Systematisch Probleem Aanpak (SPA). Een SPA begint altijd met een hoe-vraag. Bij bijna alle SPA s is een animatie gemaakt, die op de WiskDisk is te vinden. Een leerling kan daar thuis veel steun aan hebben. Bij sommige opdrachten staat een verwijzing naar een opdracht in de Extra oefening. Zo n opdracht kan direct na een opdracht uit de basisstof gemaakt worden. Het is ook mogelijk om de Extra oefening te maken nadat de basisstof is doorgewerkt. Een schaartje voor een opdracht verwijst naar het werkboek. Nieuw in de boeken voor klas 3 zijn de leerstofvervangende ICT-paragrafen. In deze paragrafen wordt dezelfde leefstof behandeld als in de corresponderende basisparagrafen, maar met gebruikmaking van de computer. Deze ICT-paragrafen kunnen de basisparagrafen dus vervangen. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 4

5 Diagnostisch moment Na de basisstof volgen twee pagina s Samenvatting. Hier vinden de leerlingen een overzicht van de zaken die ze moeten kennen en kunnen. De Samenvatting kan als huiswerk worden opgegeven. Het Testbeeld is een toets, die gebruikt kan worden als voorbereiding op de repetitie. Om leerlingen ook thuis een controlemogelijkheid te geven zijn de uitwerkingen van het Testbeeld in het werkboek opgenomen. Op de WiskDisk staat van elk Testbeeld een digitale versie. Net als in de delen van klas 2 zijn er bladzijden Technische vaardigheden en Door elkaar. Op de bladzijden Technische vaardigheden worden de vaardigheden onderhouden waarover leerlingen permanent moeten beschikken. Op de bladzijden Door elkaar staan opdrachten waarin de leerstof van voorgaande hoofdstukken wordt gecombineerd. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 5

6 Differentiatiedeel Aan de hand van de resultaten van het Testbeeld kan een keuze gemaakt worden uit het differentiatiedeel, dat bestaat uit de onderdelen: Extra oefening, Gemengde opdrachten en Extra A/Extra B. Is het Testbeeld niet zo goed gemaakt, dan is het misschien beter om te kiezen voor Extra oefening. Dit tweetal bladzijden geeft een herkansing voor belangrijke vaardigheden uit de basisstof. De Gemengde opdrachten zijn bedoeld voor het oefenen in het inzicht. Ze zijn dan ook van een iets hoger niveau dan de Extra oefening. Deze paragraaf bevat geen nieuwe leerstof. Extra A en Extra B geven een indruk van het karakter en het niveau van wiskunde A en wiskunde B in de bovenbouw. Deze leerstof wordt in de vervolgdelen niet bekend verondersteld. Na hoofdstuk 9 is er gelegenheid toekomstige wiskunde A leerlingen en wiskunde B leerlingen een volledig gedifferentieerd programma aan te bieden. De hoofdstukken 10 en 11 bevatten dan ook geen Extra A en Extra B meer. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 6

7 Praktische opdracht In de praktische opdrachten worden leerlingen uitgedaagd een wiskundig probleem te onderzoeken. De praktische opdrachten De formule van Pick, Fibonacci en de gulden snede en Hoe doe je onderzoek? zijn ook bedoeld als voorbereiding op de praktische opdrachten, die in de bovenbouw een belangrijk onderdeel van het examen zijn. Alle praktische opdrachten worden besloten met een aantal onderzoeksopdrachten. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 7

8 Technische vaardigheden en Door elkaar Na elke vier hoofdstukken volgen twee bladzijden Technische vaardigheden en vier bladzijden Door elkaar. Op de bladzijden Technische vaardigheden worden de vaardigheden onderhouden waarover leerlingen permanent moeten beschikken. Op de bladzijden Door elkaar staan hoofdstukoverstijgende opdrachten die een beroep doen op de kennis en vaardigheden uit de voorgaande hoofdstukken. Deze opdrachten kunnen daardoor iets complexer zijn dan de opdrachten uit het hoofdstuk zelf. De opdrachten uit Door elkaar zijn te gebruiken op het moment dat de leerlingen alle voorgaande hoofdstukken hebben doorlopen. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 8

9 ICT Na de hoofdstukken 4, 8 en 11 B staat een practicum De grafische rekenmachine. Zo kunnen leerlingen leren werken met de grafische rekenmachine, een hulpmiddel dat in de bovenbouw niet meer valt weg te denken. Door het gebruik maken van de grafische rekenmachine kan verdiepende leerstof bij de voorafgaande hoofdstukken aan de orde komen. Een knoppencursus bij de TI-84 en bij de Casio CFX-9850 staat in het werkboek. De ICT-bladzijde van de Opstap is een voorbereiding op het hoofdstuk aan de hand van de computer. De applets en de andere programma s zijn allemaal op de WiskDisk te vinden. In de leerstofvervangende ICT-paragrafen gaat het om basisstof die zich goed leent voor een behandeling op de computer. Deze ICT-paragrafen kunnen de basisparagrafen vervangen. Van ieder Testbeeld staat een digitale versie op de WiskDisk. U kunt dus besluiten de stof digitaal te toetsen. U kunt het ook als extra toets gebruiken. Van bijna ieder blauw kleurvlak is een animatie gemaakt. Na elke animatie volgen één of twee digitale toetsopdrachten. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 9

10 Werkboek In het werkboek zijn de werkbladen bij de hoofdstukken te vinden. Dan volgen knoppencursussen bij de TI-84 en bij de Casio CFX Daarna staan er bij elk hoofdstuk twee bladzijden met extra oefenopdrachten. Vervolgens staan de uitwerkingen van elk Testbeeld in het werkboek. Ten slotte staan de uitwerkingen van de oefenopdrachten in het werkboek. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 10

11 Werkboek Algebra plus In het werkboek Algebra plus staan bij elk hoofdstuk vier bladzijden met extra oefenopdrachten. De eerste bladzijde met oefenopdrachten is bedoeld als extra oefening bij het hoofdstuk. De tweede bladzijde met complexe opdrachten biedt veel meer uitdaging aan de leerling omdat de tussenstappen ontbreken. Voor het oplossen van allerlei wiskundige problemen moeten leerlingen de beschikking hebben over een behoorlijke hoeveelheid techniek. De derde bladzijde met technische vaardigheden heeft als doel die vaardigheden te onderhouden en verder te ontwikkelen. De vierde bladzijde met door elkaar bevat opdrachten die over meer hoofdstukken tegelijk gaan. De laatste opdracht daarvan is altijd een puzzel. Bij elk hoofdstuk wordt ook een computerprogramma ingezet, meestal als extra oefening van vaardigheden. Het werkboek Algebra plus begint met de werkbladen bij de hoofdstukken. Dan volgen knoppencursussen bij de TI-84 en bij de Casio CFX Daarna staan er bij elk hoofdstuk vier bladzijden met extra oefenopdrachten, waarover hierboven meer stond. Vervolgens staan de uitwerkingen van elk Testbeeld in het werkboek Algebra plus. Ten slotte staan de uitwerkingen van de oefenopdrachten in het werkboek Algebra plus. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 11

12 Planning Tempo waarin de boeken doorgewerkt kunnen worden Tempo bij 3 lesuren per week Bezuinigen of inhalen Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 12

13 Tempo waarin de boeken doorgewerkt kunnen worden De leerstof van klas 3 is verdeeld over deel 3A en deel 3B. Deel 3A heeft zes hoofdstukken, een Praktische opdracht, twee bladzijde Technische vaardigheden, vier bladzijden Door elkaar en een practicum over De grafische rekenmachine. Deel 3B telt drie gewone hoofdstukken en twee hoofdstukken met een A- en een B-variant. Daarnaast zijn er twee Praktische opdrachten, vier bladzijde Technische vaardigheden, acht bladzijden Door elkaar en twee practica over De grafische rekenmachine. In de gewone paragrafen vormen twee bladzijden naast elkaar een eenheid. Een vuistregel voor het tempo is een gemiddelde van twee bladzijden per les. De manier waarop u de boeken kunt doorwerken wordt onder andere bepaald door het aantal lesuren dat u per week aan wiskunde kunt besteden. In de volgende planning wordt uitgegaan van 36 normale schoolweken, inclusief de toetsing. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 13

14 Tempo bij 3 lesuren per week De Opstap bestaat steeds uit twee onderdelen. Op de linker bladzijde staan opdrachten die gewoon gemaakt kunnen worden. Op de rechter bladzijde vindt u opdrachten waarin voorkennis opgehaald kan worden door middel van de computer. U kunt hieruit een keuze maken. Bovendien zijn de computeropdrachten ook thuis te maken met behulp van de WiskDisk. Daarom wordt uitgegaan van een gemiddelde besteding van een half lesuur voor de Opstap. Elke basisparagraaf zal gemiddeld één lesuur in beslag nemen. Na de basisstof kan er een halve les besteed worden aan de Samenvatting en het Testbeeld. Daarna kunnen de leerlingen één lesuur aan de slag met het differentiatiedeel: Extra oefening, Gemengde opdrachten of Extra A/Extra B. Ten slotte hebt u nog één lesuur nodig voor de afsluitende toets. Schematisch: - Opstap basisstof 5 lesuren - Samenvatting + Testbeeld differentiatiedeel 1 lesuur - afsluitende toets 1 lesuur totaal per hoofdstuk 8 lesuren Er wordt uitgegaan van 36 lesweken in een schooljaar (inclusief tijd voor toetsing). Aantal beschikbare lesuren 36 3 = 108. Nodig voor de hoofdstukken 11 8 = 88 lesuren. De rest van de lesuren kunt u besteden aan Technische vaardigheden, Door elkaar, Praktische opdracht en De grafische rekenmachine. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 14

15 Bezuinigen of inhalen In het geval van tijdgebrek kan het nodig zijn om opdrachten over te slaan. Deze opdrachten kunt u per hoofdstuk vinden onder het kopje Bezuinigen. Het is voorts mogelijk, dat een leerling door ziekte is achter geraakt. Onder het kopje Inhalen staan de kernopdrachten genoemd, die door deze leerling zeker gemaakt moeten worden om de achterstand weg te werken. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 15

16 Beschrijving per hoofdstuk Deel 3A 1 Functies 2 Projecties 3 Statistiek 4 Ontbinden in factoren Praktische opdracht De formule van Pick 5 Goniometrie 6 Kwadratische functies Deel 3B 7 Nieuwe grafieken 8 Grafieken en vergelijkingen Prektische opdracht Fibonacci en de gulden snede 9 Inhoud en oppervlakte 10 A Zicht op toeval 10 B Meetkundig redeneren 11 A Rekenen met functies 11 B Breuken en functies Praktische opdracht Hoe doe je onderzoek? Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 16

17 1 Functies Nieuwe begrippen functie, functievoorschrift, functiewaarde, lineaire functie, constante functie, kwadratische functie, parabool, top, symmetrisch, wortelfunctie, domein, interval, omgekeerd evenredig, gebroken functies, hyperbool, exponentiële functie, beginhoeveelheid, groeifactor, groeifactor per tijdseenheid, machtsfunctie WiskDisk In ICT Verschuiven en vervormen wordt met VU-Grafiek onderzocht wat er met de grafiek gebeurt als (met de schuifbutton) een parameter in de formule een andere waarde krijgt. In de leerstofvervangende ICT-paragrafen worden met VU-Grafiek gebroken functies onderzocht. In deze paragraaf nog een verrassend gebruik van de optie Fitten, om de formule bij een tabel te vinden. Tip Bij het tekenen van een hyperbool zijn er altijd weer leerlingen die na het maken van een tabel de daarin gevonden punten allemaal met elkaar verbinden. Bij het voorbeeld op bladzijde 18 worden dan de punten ( 1, 8) en (1, 8) met een lijnstuk verbonden. Attendeer erop dat zoiets niet goed gaat bij een gebroken functie. Extra A Prijzen Vier bedrijven die elk op hun eigen manier de kosten van een bustocht berekenen. Het gaat hier natuurlijk om het uitzoeken van de goedkoopste aanbieding. Er is afgezien van een verder onderzoek naar bedrijf D. Dat zou voor leerlingen die wiskunde A willen kiezen al gauw te ver gaan. Maar het is misschien een aardig probleem om achter de hand te houden, met vragen als: Bij welk aantal leerlingen heeft het busbedrijf de hoogste inkomsten? Welke formule hoort erbij? Waarom is de formule bij grote aantallen leerlingen niet meer realistisch? Extra B Winnende functies Voor toekomstige wiskunde B leerlingen is enig inzicht in de structuur van functies belangrijk. Hoe komt het dat bij machtsfuncties de grootste exponent altijd wint? En waarom winnen exponentiele functies het altijd? Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 5, 7 8, 13, 14 19, 21 22, 26, 28 29, 34 38, 39 2, 3, 4, 6 9, 10, 11, 12 15, 16, 17, 18, 20 23, 24, 25, 27 30, 31, 32, 33, 35 36, 37, 40, 41, 42 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 17

18 2 Projecties Nieuwe begrippen perspectieftekening, tekenvlak, verdwijnpunt, parallelprojectie, centrale projectie, centrale punt, projectievlak, aanzicht, hoogtelijn, hoogtekaart WiskDisk In ICT Aanzichten wordt de applet vlakken kleuren gebruikt voor een verdere ontwikkeling van het ruimtelijk inzicht. Centraal staat hier het verband tussen de aanzichten en de ruimtefiguur. Dit hoofdstuk bevat geen leerstofvervangende ICT-paragraaf. Tip Het vinden van een verdwijnpunt gaat meestal goed. Bij opdracht 5 moet een tekening met twee verdwijnpunten afgemaakt worden. Daarbij zal voor de zwakkere leerling wel wat hulp nodig zijn. Niet iedere leerling beschikt van nature over ruimtelijk inzicht. Het gebruik van concreet materiaal zoals de twee kubusjes bij opdracht 12 is dan een onmisbaar hulpmiddel. Extra A Dwarsdoorsneden Deze bladzijde sluit direct aan op de laatste paragraaf in de basis. Het correct tekenen van een dwarsdoorsnede vereist de nodige zorgvuldigheid. Extra B Piramides Wie wiskunde B wil kiezen zal daarbij geregeld moeten redeneren. Dat moet bij het verdelen van een kubus in piramides ook gebeuren. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , , 20, 21 25, 28 1, 2, 3, 5 6, 8, 9, 10 12, 13, 14, 15 17, 18, 22, 23 24, 26, 27 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 18

19 3 Statistiek Nieuwe begrippen absolute aantallen, relatieve aantallen, klasse, klassenbreedte, klassenmidden, gemiddelde afwijking van het gemiddelde, eerste kwartiel, derde kwartiel, kwartielafstand, boxplot, somfrequentie-tabel, somfrequentie-grafiek WiskDisk In ICT Een groot bestand wordt met VU-Statistiek het bestand nationale doorsnee bestudeerd. Daarin hebben leerlingen allerlei persoonlijke gegevens verstrekt die nader geanalyseerd kunnen worden. Ook de belangrijke vraag naar de betrouwbaarheid van deze gegevens komt aan de orde. Statistiek is een onderwerp dat zich bij uitstek leent voor een behandeling met veel ICT. Er zijn daarom leerstofvervangende ICT-paragrafen over spreidingsmaten en over boxplot. Tip Er is een verschil tussen absolute aantallen en relatieve aantallen. Zo is het voor velen verrassend als ze er op geattendeerd worden dat de absolute aantallen stijgen, maar dat de relatieve aantallen dalen. Extra A Trend Het begrip trend komt bij wiskunde A voor. In een paar verschillende diagrammen op deze bladzijde is een trend herkenbaar. Extra B Meetkundig gemiddelde Naast het rekenkundig gemiddelde bestaan er nog andere gemiddelden. In Extra B staat een situatie waarbij het rekenkundig gemiddelde het goede antwoord niet oplevert en zo komen het meetkundig gemiddelde en het harmonisch gemiddelde ter sprake. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 4 7, 11 13, 14, 16, 17 23, , 3, 5, 6 8,9, 10 12, 14, 15, 18, 19 20, 21, 22, 24 26, 27, 29, 30 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 19

20 4 Ontbinden in factoren Nieuwe begrippen product van factoren, ontbinden in factoren, tweeterm, gemeenschappelijke factor, drieterm, op nul herleiden WiskDisk In ICT Haakjes en rechthoeken wordt het programma haakjes en oppervlakte gebruikt om leerlingen inzichtelijk te leren rekenen met variabelen. Het wegwerken van haakjes wordt hier gekoppeld aan het berekenen van de oppervlakte van een rechthoek. Er zijn in dit hoofdstuk geen leerstofvervangende paragrafen. Wel wordt op verschillende plaatsen ICT ingezet om op de computer te oefenen met het ontbinden van factoren. Het oppervlaktemodel is ook bij deze oefenprogramma s belangrijk. Tip Het verschil tussen potentiële wiskunde A en wiskunde B leerlingen zal bij dit hoofdstuk snel blijken. Vooral voor de eerste groep leerlingen zal het nuttig zijn veel rijtjes met opdrachten te bespreken. Dat kan makkelijk door aan het begin van de les telkens een paar leerlingen hun uitwerkingen op het bord te laten schrijven en de geconstateerde fouten daarna te bespreken. Daarbij kan dan direct ingegaan worden op de juiste manier van noteren. Extra A Maximale winst Op deze bladzijde wordt uitgezocht bij welke prijs van een kop soep de opbrengst maximaal zal zijn. In opdracht A-l gebeurt dat met een tabel en een formule. In opdracht A-2 wordt het probleem realistischer door ook rekening te houden met de kosten om de soep te maken. Extra B Een hogere graad Bij wiskunde B speelt techniek een belangrijke rol. Op deze bladzijde is er aandacht voor het rekenen met variabelen. Daarnaast gaat het over het ontbinden in factoren van hogeregraads formules. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 4, 5 9, 14, 16 20, 23, 26 28, 35, 37 39, 43, 45 2, 3, 4, 6, 7, 8 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18 19, 21, 22, 24, 25, 27 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36 38, 40, 41, 42, 44, 46, 47 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 20

21 Praktische opdracht De formule van Pick De formule van Pick is een pittige praktische opdracht diet zich met name richt op die leerlingen die geboeid worden door de redeneeraspecten van de wiskunde. In de opdrachten 1, 2, 3 en 4 worden de leerlingen op het spoor van de formule gezet. Dat gebeurt door het aantal binnenpunten constant te houden en het aantal grenspunten telkens met een te laten toenemen. Een werkwijze die als zodanig typerend is voor een bepaalde manier waarop formules te vinden zijn. Nadat de formule van Pick gegeven is, wordt in de opdrachten 6 en 7 een aanzet gegeven voor het bewijs van die formule. Alle drie de onderzoeksopdrachten zijn erop gericht het vermogen van de leerlingen tot redeneren verder te ontwikkelen. In onderzoeksopdracht A worden de voorwaarden waaronder de formule van Pick geldt nader onder de loep genomen. In onderzoeksopdracht B worden de leerlingen uitgedaagd een ander bewijs te zoeken. Vervolgens is het natuurlijk wel de bedoeling dat een gevonden bewijs ook doorgrond wordt. Een mondelinge toelichting bij het verslag ligt daarom voor de hand. Dat laatste geldt ook voor onderzoeksopdracht C, die de aandacht richt op de formule van Euler. Deze onderzoeksopdracht leent zich heel goed voor een alternatieve verslaggeving. Leerlingen kunnen hun bevindingen op een poster zetten en hun bewijs als een soort spreekbeurt presenteren en toelichten. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 21

22 5 Goniometrie Nieuwe begrippen hellingsgetal, hellingshoek, tangens, sinus, cosinus, hoek met drie letters, goniometrische verhoudingen WiskDisk In ICT Hoeken en afstanden wordt het programma kerktoren gebruikt om het verband te onderzoeken tussen de afstand tot een gebouw en de hoek waaronder dat gebouw wordt gezien. Dat het programma daarbij afrondt levert soms wat verrassende antwoorden op. Dit hoofdstuk bevat geen leerstofvervangende ICT-paragraaf. Tip Wanneer de tekeningen in het begin van het hoofdstuk niet nauwkeurig genoeg zijn, dan levert het opmeten van de hellingshoeken regelmatig fors afwijkende antwoorden op. Komt er een leerling met de opmerking dat opmeten toch niet zo n betrouwbare methode is, dan is dat een mooie gelegenheid om te zeggen dat het hoofdstuk er juist over gaat het zonder opmeten, maar met berekenen te doen. Bij het gebruik maken van een rekenmachine is het nuttig eerst te kijken of die wel op graden staat. Ook is het nodig eerst na te gaan hoe de knoppen op je eigen type rekenmachine precies werken, zeker bij het terugrekenen. Extra A Hellingen Hellingen hebben te maken met hoeken. De wandeling over de Sefinenfurge laat daar iets over zien. In opdracht A-2 blijkt dat hierbij ook het rekenen met tijden een rol kan spelen. De combinatie van deze activiteiten is typerend voor het vak wiskunde A. Extra B Goniometrische verbanden Op deze bladzijde worden belangrijke goniometrische verbanden behandeld. Het is zeker wenselijk aan leerlingen duidelijk te maken dat ze niet één van de manieren bij opdracht B-4 moeten beheersen, maar alle drie de manieren. Dat benadrukt de moeilijkheidsgraad van het vak wiskunde B. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 5 7, 12, 13 20, 21, 23 24, 30 34, 35 2, 3, 4, 6 8, 9, 10, 11, 14, 15 16, 17, 18, 19, 22 25, 26, 27, 28, 29 31, 32, 33, 36, 37, 38 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 22

23 6 Kwadratische functies Nieuwe begrippen bergparabool, dalparabool, top, symmetrieas, abc-formule, discriminant, vorm van de parabool WiskDisk In ICT Parabolen wordt onderzocht wat er bijvoorbeeld met de formule van een parabool gebeurt als de top verschoven wordt. Met de schuifbutton in VU-Grafiek kan heel fraai onderzocht worden wat de invloed van een parameter in een formule is. Wat gebeurt er bijvoorbeeld met de vorm van de grafiek als de parameter negatief wordt? Er is dan ook een leerstofvervangende ICT-paragraaf over de vorm van de parabool. Tip Speciale aandacht verdient opdracht 10 waarin leerlingen kennis maken met een subtiele techniek om de symmetrieras te vinden. Deze aanpak kost wel veel tijd waardoor het tempo in dit hoofdstuk niet al te hoog zal zijn. Verder is het vooral een vaardighedenhoofdstuk. Leerlingen die wiskunde B willen gaan kiezen zullen de leerstof in dit hoofdstuk echt goed moeten beheersen. Voor leerlingen die wiskunde A willen gaan kiezen is het een lastig hoofdstuk. Bij het bespreken van een groot aantal rijtjesopdrachten zullen deze leerlingen zeker gebaat zijn. Extra A Bruggen Bij wiskunde A spelen contexten een grote rol. De context van de bruggen geeft daar. Extra B Bewijs abc-formule De leerling die zelfstandig zonder de hulp van de docent het bewijs van de abc-formule kan volgen en reproduceren, zal bij wiskunde B wel op de goede plaats zitten. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 2, 5 9, 11, , 23 25, 27, 29 34, 35, 39 3, 4, 5, 6, 7 8, 10, 11 14, 15, 16, 17, 18 19, 21, 22, 24 26, 28, 30, 31 32, 33, 36, 37, 38 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 23

24 7 Nieuwe grafieken Nieuwe begrippen periodieke grafieken, periode, evenwichtsstand, amplitude, optellen van een vast getal, vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as WiskDisk In ICT Grafieken veranderen wordt onderzocht hoe grafieken veranderen als de y-waarden bijvoorbeeld met een vast getal vermenigvuldigd worden. De schuifbutton in VU-Grafiek komt hier weer goed van pas. Ook in de leerstofvervangende ICT-paragraaf Vermenigvuldigen is dat het geval. Tip Het vele tekenen in dit hoofdstuk kost wel tijd, maar is niet al te lastig. Ook het manipuleren met formules moet voor alle leerlingen te doen zijn. Eventueel is het ophalen van het wegwerken van haakjes voor zwakkere leerlingen nodig. Extra A Winstformules Het afleiden van som- en verschilgrafieken uit gegeven grafieken is voor alle leerlingen, en dus ook voor toekomstige wiskunde A leerlingen, een betekenisvolle activiteit. Extra B Standaardfuncties Bijna alle functies in dit hoofdstuk zijn via optellen en vermenigvuldigen ontstaan uit standaardfuncties. Hier wordt een overzicht gegeven van alle standaardfuncties met de daarbij behorende rekenpijlen. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 4 7, 10 11, 14 17, 21, 22 23, 26 2, 3, 5 6, 8, 9 12, 13, 15, 16 18, 19, 20 24, 25, 27 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 24

25 8 Grafieken en vergelijkingen Nieuwe begrippen snijden, raken, geen enkel punt gemeenschappelijk WiskDisk In ICT Schuiven met lijnen zoekt de leerling al proberend uit voor welke waarden van een bepaalde parameter een lijn aan een parabool raakt. Dat onderzoek vindt plaats met behulp van de schuifbutton. In de leerstofvervangende ICT-paragrafen Families van lijnen en Werken met parameters wordt dat zoeken systematischer aangepakt. De discriminant speelt daarbij belangrijke rol. Tip Zeker voor leerlingen die wiskunde B willen gaan kiezen is dit een belangrijke voorbereiding omdat veel algebraïsche vaardigheden voor de bovenbouw een rol spelen. Leerlingen die wiskunde A willen gaan kiezen zullen dit als een lastig hoofdstuk ervaren. Veel opdrachten op het bord bespreken zal voor deze leerlingen nuttig zijn. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 2, 4, 6 9, 10, 11 17, , 29 3, 5, 7, 8 12, 13, 14 15, 16, 18, 20 21, 22, 24, 25 27, 28, 30 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 25

26 Praktische opdracht Fibonacci en de gulden snede De rij van Fibonacci is om verschillende redenen een mooi onderwerp om nader te bestuderen. Wiskundig gezien is het een interessante en belangrijke ri, maar ook in de wereld om ons heen speelt de rij van Fibonacci een belangrijke rol. Bij allerlei planten kom je hem tegen. Verder is er nog een verband met de gouden rechthoek, die ook een rol speelt in een praktische opdracht uit deel la havo vwo. In de eerste paragraaf wordt binnen de context van een groeiende konijnenfamilie uitgezocht hoe de rij van Fibonacci in elkaar zit. Deze oriëntatie eindigt met de vaststelling dat de groei op den duur exponentieel wordt. In de volgende paragraaf wordt het verband gelegd met de gulden snede. Het is zeker de moeite waard na te gaan of de leerlingen de praktische opdracht Gouden rechthoeken uit klas 1 kennen. Daar ligt een mooie bron voor sommige leerlingen. De opdrachten 8 en 9 richten de aandacht op de natuur, waar de getallen uit de rij van Fibonacci voor het oprapen liggen. Bij het zoeken naar een eigen onderwerp worden de leerlingen geholpen door een keur van mogelijkheden. Sommige hebben een uitgesproken wiskundig karakter, met name de onderzoeksopdrachten B en C. Andere geven leerlingen de mogelijkheid hun belangstelling voor de natuur de vrije loop te laten. Niet elk onderzoek hoeft afgerond te worden met een verslag. Het houden van een spreekbeurt of het maken van een poster zijn goede alternatieven. Bij deze praktische opdracht is daar ruimte en gelegenheid voor. Welke verwerkingsvorm ook gekozen wordt, het blijft belangrijk dat leerlingen eerst een plan opstellen. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 26

27 9 Inhoud en oppervlakte Nieuwe begrippen vergroot, inhoud van een balk, inhoud van een prisma, inhoud van een cilinder, inhoud van een piramide, inhoud van een kegel, inhoud van een bol, oppervlakte van een bol WiskDisk In ICT Piramiden wordt de inhoud van een piramide afgeleid door van een kubus steeds stukken weg te snijden. Dat gebeurt met het programma Doorzien. Er zit in dit hoofdstuk geen leerstofvervangende ICT-paragraaf. Tip Eerst worden de inhoudsformules afgeleid en daarna worden die formules toegepast. In een hoog tempo, binnen niet al te veel tijd zijn deze opdrachten over het algemeen te maken. De opdrachten 27 en 28 zijn zeker de moeite waard om even bij stil te staan. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen , 4, 7 8, 14 15, 19 21, 27, 28 33, 34 1, 2, 5, 6 9, 10, 11, 12, 13 16, 17, 18, 20 22, 23, 24, 25, 26 29, 30, 31, 32 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 27

28 10 A Zicht op toeval Nieuwe begrippen steekproef, toevalsgetallen, simuleren, kansexperiment, kans als decimaal getal, kans als breuk, boomdiagram WiskDisk In ICT Monopoly wordt het programma VU-Statistiek gebruikt om leerlingen ervaring op te laten doen met het simuleren van kansexperimenten. Er zijn in dit hoofdstuk geen leerstofvervangende ICT-paragrafen. Tip Voor leerlingen die wiskunde A willen gaan kiezen is dit een mooie voorbereiding omdat veel benodigde vaardigheden voor het rekenen met kansen voor de bovenbouw een rol spelen. Leerlingen die wiskunde B willen gaan kiezen kunnen dit hoofdstuk missen en kunnen zich beter richten op de leerstof in hoofdstuk 10 B. Omdat de keuze voor wiskunde A of voor wiskunde B inmiddels wel gemaakt zal zijn is splitsen van de leerlingen in de klas hier aan te bevelen. Mocht er nog een leerling zijn die twijfelt, dan maakt hij maar de opdrachten van hoofdstuk 10 B. In dit hoofdstuk is tijdwinst te boeken, want het maken van de opdrachten in dit hoofdstuk hoeft zeker niet al te veel tijd te kosten. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen 10 A.1 10 A.2 10 A.3 10 A.4 10 A..5 4, , 15 16, 18 23, 25 1, 2, 3 6, 7, 8, 9, 10 13, 14 17, 19, 20 21, 22, 24 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 28

29 10 B Meetkundig redeneren Nieuwe begrippen voorbeeld, vermoeden, vaststellen, definitie, bewijzen, tegenvoorbeeld, stelling, stelling van Thales, middelpuntshoek, boog, omtrekshoek, stelling voor een middelpuntshoek en een omtrekshoek WiskDisk In ICT Gelijkvormige figuren wordt aandacht besteed aan gelijkvormigheid. Ook oefenen leerlingen met F-figuren en met Z-figuren. Verder onderzoeken leerlingen wat er gebeurt met de grootte van een omtrekshoek als het hoekpunt langs de cirkel wordt gesleept. Tip Voor leerlingen die wiskunde B willen gaan kiezen is dit een mooie voorbereiding omdat veel meetkundige vaardigheden voor de bovenbouw een rol spelen. Leerlingen die wiskunde A willen gaan kiezen kunnen dit hoofdstuk missen en kunnen zich beter richten op de leerstof in hoofdstuk 10 A. Omdat de keuze voor wiskunde A of voor wiskunde B inmiddels wel gemaakt zal zijn is splitsen van de leerlingen in de klas hier aan te bevelen. Mocht er nog een leerling zijn die twijfelt, dan maakt hij maar de opdrachten van hoofdstuk 10 B. In dit hoofdstuk is het nuttig met de leerlingen veel opdrachten te bespreken om zo duidelijk te maken hoe lastig redeneren in de meetkunde is. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen 10 B.1 10 B.2 10 B.3 10 B.4 10 B.5 4 5, 11 12, , 28 1, 2, 3 6, 7, 8, 9, 10 13, 14, 15, 16 19, 20, 21, 22 24, 25, 26, 27 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 29

30 11 A Rekenen met functies Nieuwe begrippen breuken optellen, breuken aftrekken, vermenigvuldigen van breuken, vereenvoudigen van breuken, asymptoot, verticale asymptoot, horizontale asymptoot, machtsfuncties WiskDisk In ICT Functies komen verschillende zaken aan de orde. De eerste opdracht gaat over raken en snijden van twee grafieken. De schuifbutton uit VU-Grafiek speelt weer een nuttige rol. In de volgende opdrachten kunnen leerling oefenen met het begrip domein, oefenen met het herkennen van soorten grafieken en met het oplossen van vergelijkingen. In paragraaf 11 A.5 gaat het om het bepalen van snijpunten van grafieken via inklemmen. Dit onderwerp is bij uitstek geschikt voor behandeling met behulp van ICT. Vandaar deze leerstofvervangende paragraaf. Tip Voor leerlingen die wiskunde A willen gaan kiezen is dit hoofdstuk een betere voorbereiding voor de bovenbouw dan hoofdstuk 11 B. Leerlingen die wiskunde B willen gaan kiezen kunnen zich beter richten op de leerstof in hoofdstuk 11 B. Omdat de keuze voor wiskunde A of voor wiskunde B inmiddels wel gemaakt zal zijn is splitsen van de leerlingen in de klas hier aan te bevelen. Mocht er nog een leerling zijn die twijfelt, dan maakt hij maar de opdrachten van hoofdstuk 11 B. Het rekenen met variabelen blijft een terecht aandachtspunt voor menige wiskundedocent. Daaraan kan mooi aandacht geschonken worden met de opdrachten in de eerste paragrafen. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen 11 A.1 11 A.2 11 A.3 11 A.4 11 A.5 2, 4 8, 13 15, 19, 20 21, , 3, 5, 6, 7 9, 10, 11, 12 14, 16, 17, 18 22, 23, 24, 25, 27 28, 30, 31 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 30

31 11 B Breuken en functies Nieuwe begrippen breuken optellen, breuken aftrekken, vermenigvuldigen van breuken, vereenvoudigen van breuken, asymptoten, horizontale asymptoot, verticale asymptoot WiskDisk In ICT Functies komen verschillende zaken aan de orde. De eerste opdracht gaat over raken en snijden van twee grafieken. De schuifbutton uit VU-Grafiek speelt weer een nuttige rol. In de volgende opdrachten kunnen leerling oefenen met het begrip domein, oefenen met het herkennen van soorten grafieken en met het oplossen van vergelijkingen. Paragraaf 11 B.3 gaat over de grafieken van gebroken functies. Met VU-Grafiek kun je heel fraai onderzoeken of en wanneer de grafiek van een gebroken functie een asymptoot heeft. Tip Voor leerlingen die wiskunde B willen gaan kiezen is dit hoofdstuk een betere voorbereiding voor de bovenbouw dan hoofdstuk 11 A. Leerlingen die wiskunde A willen gaan kiezen kunnen zich beter richten op de leerstof in hoofdstuk 11 A. Omdat de keuze voor wiskunde A of voor wiskunde B inmiddels wel gemaakt zal zijn is splitsen van de leerlingen in de klas hier aan te bevelen. Mocht er nog een leerling zijn die twijfelt, dan maakt hij maar de opdrachten van hoofdstuk 11 B. Het rekenen met variabelen blijft een terecht aandachtspunt voor menige wiskundedocent. Daaraan kan mooi aandacht geschonken worden met de opdrachten in de eerste paragrafen. Bezuinigen of inhalen paragraaf bezuinigen inhalen 11 B.1 11 B.2 11 B.3 11 B.4 11 B.5 2, 4 8, 11 15, , 35 1, 3, 5, 6, 7 9, 10, 12, 13, 14 17, 18, 19, 20, 21 23, 24, 25, 26, 27 28, 29, 30, 31, 33, 34 Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 31

32 Praktische opdracht Hoe doe je onderzoek? Om zelf een onderzoek te kunnen uitvoeren moeten leerlingen weten hoe ze aan de nodige gegevens komen. Vaak gebeurt dat via een enquête. Een apart aspect is dan wat de kenmerken zijn van een goede vragenlijst. Voor sommige onderzoeken moet je metingen verrichten. Dan moet je weten hoe je die metingen goed verricht. Ook voor die problematiek is aandacht. Het maken van een plan is een belangrijk aspect van statistisch onderzoek doen. Daarom wordt een stappenplan aangeboden dat de leerlingen kunnen gebruiken bij hun eigen onderzoek. Deze praktische opdracht begint met een aantal uitspraken. De vraag is daarbij hoe je zou kunnen nagaan of die uitspraken waar zijn. Een bekende manier om achter de mening van mensen te komen is het afnemen van een enquête. Een aantal opdrachten gaat over de kenmerken van een goede vragenlijst. Ook is er aandacht voor de kwestie of vragen stellen wel altijd geschikt is om achter het feitelijke gedrag te komen. De opdrachten 11 en 12 geven een voorbeeld van een onderzoek waarbij gemeten wordt. De opdrachten 14 en 15 gaan over het invoeren van gegevens in VU-Statistiek. Een speciaal geval komt in opdracht 17 aan de orde, een vraag waarop mensen meer dan een antwoord mogen geven. Het blijft belangrijk dat leerlingen eerst een plan opstellen. Daarom is bij de voorstellen voor een onderzoeksopdracht ook een stappenplan opgenomen. Moderne wiskunde, docentenhandleiding - klas 3 vwo 32