Wiskunde voor de rozenkweker
|
|
- Anita de Smet
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Onlangs op 14 februari scijnt de verkoop van rozen alle records gebroken te ebben. Rozenkwekers beleefden een optimale dag dankzij Valentijnsdag. Om records te breken met de oogst van rozen eb je meer nodig dan de kalender. Vivi Rottscäfer bescrijft oe een model voor een optimale rozenoogst stap voor stap opgebouwd wordt. Wiskunde voor de rozenkweker Inleiding In februari 2002 vond de tweeënveertigste Studiegroep Wiskunde met de Industrie plaats. Een van de problemen betrof et modelleren van de groei van rozen in een kas en ik maakte deel uit van de groep die daaraan eeft gewerkt. De productie van rozen is steeds commerciëler geworden waarbij ook de concurrentie groot is. Terwijl de ervaring van de rozenkweker nog steeds een grote rol speelt, is et belang van modelleren van de biocemisce processen die plaatsvinden toegenomen. De wens van een rozenkweker is natuurlijk om de productie van zijn rozen te optimaliseren bij beperkte kosten. De groei van rozen en daarmee de productie iervan wordt beïnvloed door et klimaat in de kas. Dit wordt tegenwoordig volledig door de computer gestuurd. Tot nu toe is et programmeren van zo n klimaatcomputer gebaseerd op de ervaring van de kweker, maar oe een maximale productie gerealiseerd kan worden is nog niet bekend. Het is namelijk niet voldoende om et interne klimaat constant te ouden, omdat plotselinge veranderingen in et weer (buiten de kas) en in de seizoenen invloed zal ebben op de temperatuur en andere condities in de kas. Door een plotselinge regenbui bijvoorbeeld, kan de temperatuur verlagen wat de rozenoogst een aantal dagen of weken later zal beïnvloeden. Als eerste stap naar et aansturen van et klimaat voor et verkrijgen van een maximale rozenproductie, ebben wij een wiskundig model ontwikkeld. Dit bescrijft, gegeven de klimaatcondities, de productie van de totale massa van de rozen in de kas. Uiteindelijk open we dat et model gebruikt kan worden om et klimaat in de kas dynamisc in te stellen, zodat de rozenproductie maximaal wordt. Rozen groeien door assimilatie van CO 2 ; dit proces vindt plaats in de bladeren en eet fotosyntese. De CO 2 -assimilatie, en daarom ook de groei van rozen, wordt beïnvloed door verscillende omgevingsfactoren. Over sommige van deze factoren eeft de kweker (enige mate van) controle door bijvoorbeeld et gebruik van verwarming en lampen, et openen of sluiten van ramen en door blindering voor de ramen om scaduw te creëren. Hiermee kan ij de CO 2 -concentratie in de luct C a (door ventilatie), de relatieve luctvoctigeid R H, de temperatuur in de kas T a en de lictintensiteit I 0 veranderen. Het lokale model Wij zijn gestart met een model dat we ebben afgeleid uit Harley et al (1992) en Kim & Liet (2001). Dit model bescrijft de sneleid van fotosyntese van een enkel blad met een bepaalde leeftijd, afankelijk van de temperatuur T a, de luctvoctigeid R H en de concentratie CO 2 in de kas C a en van de oeveeleid lict die op et blad valt. Omdat dit slects de fotosyntese van een blad met een bepaalde leeftijd geeft noemen dit et lokale model. Voor et lokale model blijkt dat de sneleid van fotosyntese P per eeneid bladoppervlakte gescreven kan worden als een vergelijking van de vorm: P = f( P, a, T a, R H, C a, I) (1) waarbij a de leeftijd van et blad is en I de oeveeleid lict die er op valt. De functie f is niet-lineair en expliciet bekend. Aangezien de uitdrukking voor f tamelijk gecompliceerd is in termen van een groot aantal (bekende) constanten, geven we deze ier niet, maar verwijzen we voor de formule en verdere details iervan naar Bokove et al (2002). Aan ons de uitdaging om dit lokale model van de fotosyntese van een enkel blad uit te breiden naar een model dat de geele rozenproductie in de kas bescrijft. Het mag duidelijk zijn dat dit geen eenvoudige taak is, omdat de fotosyntese afangt van de leeftijd van een blad en de oeveeleid lict die er op valt. Beide grooteden veranderen dynamisc met de tijd in de kas omdat de rozenplanten groeien. Hierbij ontstaan nieuwe jonge bladeren waardoor de leeftijdsverdeling in de kas verandert, en ook zullen de lagergelegen bladeren minder lict ontvangen. Nieuwe Wiskrant 23-3/maart
2 Aannames in et model Om de rozen te modelleren ebben we verscillende aannames gemaakt over de structuur van de rozenplanten en de groei van rozen. Deze aannames zijn in overleg met een adviseur van rozenkwekers, een bioloog, tot stand gekomen en zijn redelijk representatief voor rozengroei in een kas. Allereerst nemen we aan dat elke plant verdeeld kan worden in twee delen: de rozenoogst: bovenin, bestaande uit een of meer rozenstammen die afgesneden worden; dit is de uiteindelijke rozenproductie. de rozenstruik: onderop, die de stammen ondersteunt en niet geoogst of afgesneden wordt. Zie figuur 1 voor een scets van onze geïdealiseerde kas. fig. 1 Een scets van onze geïdealiseerde kas. Hier is R H de relatieve luctvoctigeid, I 0 de totale lictintensiteit en et niveau waarop de rozen afgeknipt worden op et moment dat ze de oogte snij bereikt ebben De struik eeft een constante oogte en bevat bladeren die CO 2 assimileren en dus bijdragen aan de totale oeveeleid energie die wordt geproduceerd in de planten. De rozenstammen in de oogst groeien verticaal uit de struik, en worden geplukt op et moment dat ze de oogte snij ebben bereikt. Op dat moment worden de rozen afgesneden op oogte, zodat ze allemaal dezelfde lengte snij ebben. De oogte = 0 wordt gedefinieerd op de grond van de kas, dus bij de onderkant van de struik. We nemen ook aan dat nieuwe stammen uit de bovenkant van de struik groeien. Dus, nieuwe sceuten ontstaan allemaal op oogte, en verder veronderstellen we dat ze ontstaan met een sneleid die rect evenredig is met de totale fotosyntese in de kas. Als verdere simplificatie verwaarlozen we dat deel van de door de rozen geproduceerde energie dat gebruikt wordt voor onderoud, opslag en et ontstaan van bloemen in de planten. We nemen aan dat de energie die verkregen wordt door de fotosyntese in de struik én in de stammen volledig gebruikt wordt om de massa van de stammen in de oogst te vergroten. We weten uit et lokale model dat de fotosyntese in één enkel blad afangt van de leeftijd van et blad, en daarom moeten we weten waar jongere en oudere bladeren gepositioneerd zijn op een rozenplant. Dit is de reden dat in ons model alle nieuwe bladeren aan de top van de rozenstruik ontstaan, wat relatief goed overeen komt met de realiteit. Ook nemen we aan dat de bladeren, en daarom et bladoppervlakte, uniform verdeeld zijn langs de stam. Met andere woorden, de oppervlakte van de bladeren aan een stam is rect evenredig met de lengte van de stam. De rozenkweker is uiteindelijk geïnteresseerd in de massa van de oogst en daarom veronderstellen we dat de massa van elke stam (inclusief de bladeren) rect evenredig is met zijn lengte. Rozen zijn niet egoïstisc Een verdere belangrijke, maar ook realistisce aanname die et model van de rozen in de kas vereenvoudigt is et zogenaamde principe van niet egoïstisc zijn. Dit principe zegt, dat energie verkregen uit fotosyntese van een blad, aan een stam of in de struik, gelijkmatig bijdraagt aan de groei van alle rozenstammen, of deze nu kort of lang zijn. Vrij vertaald rozen zijn niet egoïstisc. Hieruit volgt dat, aloewel een langere stam meer bladeren eeft en meer CO 2 zal assimileren dan een kortere stam, de totaal geproduceerde energie gelijkelijk tussen en verdeeld zal worden. Als resultaat iervan groeit elke stam met dezelfde sneleid, onafankelijk van zijn eigen fotosyntese-sneleid. Dit principe van niet egoïstisc zijn komt naar voren in gegevens gemeten in kassen, en ook in de observatie dat een enkele rozenplant met een aantal stammen van verscillende lengten zic gedraagt als een geeel. Op deze manier kunnen nieuwe jongere, kortere stammen zic snel ontwikkelen, ook al bezitten ze niet zo n groot bladoppervlak, en assimileren ze dus niet zoveel CO 2 als oudere, langere stammen. Het globale model van de kas In deze paragraaf zullen we et totale model van de groei van rozen in een kas in een aantal stappen bescrijven. Uiteindelijk zal dit model in termen van et lokale model (1) gegeven worden. De groei-vergelijking We bescrijven de toestand van de rozen op een gegeven tijdstip t door de stamdicteidsfunctie d(,t) die de verdeling van stammen van verscillende oogten representeert. De functie d(,t) wordt gedefinieerd als et aantal stammen met oogte per vierkante meter kas op tijdstip t. De dynamica van d kan verkregen worden met beulp van et principe van niet egoïstisc zijn dat geïntroduceerd is in de vorige paragraaf. Uit dit principe volgt namelijk dat elke rozenstam met dezelfde sneleid groeit. Daarom is er sprake van advectie van de dicteidsfunctie d(, t) met een groeisneleid v = v(t;d) die onafankelijk is van, zie figuur Wiskunde voor de rozenkweker
3 Hierbij oeven we in M(t) slects de massa van de oogst mee te nemen omdat we in et voorafgaande aangenomen ebben dat de geproduceerde energie alleen gebruikt wordt om de oogst te laten groeien en er geen energie naar de struik gaat. De totale massa van de rozenoogst wordt bescreven door: M() t snij ( ) d( t, ) d (4) fig. 2 Elke roos groeit met dezelfde sneleid. Hier is d(,t) et aantal stammen per vierkante meter kas als functie van de oogte en de tijd t. Er vindt advectie van deze dicteidsfunctie d plaats met een groeisneleid v = v(t;d) De dynamica van d wordt bescreven door de volgende advectie-vergelijking: d + (2) t v d = 0 Om deze vergelijking te vervolledigen, moeten ook een begintoestand van de rozen en een randvoorwaarde gedefinieerd worden. De randvoorwaarde op = die et ontstaan van nieuwe stammen uit de rozenstruik weergeeft, volgt opnieuw uit een van de aannames gedaan in de vorige paragraaf. We weten namelijk dat nieuwe stammen ontstaan op = met een sneleid rect evenredig met de totale fotosyntese in de kas. Met beulp van de functie d kan ook de oogstsneleid H(t) per vierkante meter kas worden bepaald. Namelijk, omdat rozen geoogst worden wanneer ze de oogte snij ebben bereikt met een lengte snij is de oogstsneleid: Ht () vtd ( ; )( snij )d ( snij, t) Van nu af aan betekent rect evenredig met. Merk op dat de rozenkweker deze oogstsneleid wil maximaliseren! Bepalen van de groeisneleid De groeisneleid v kan bepaald worden met beulp van een massabalans. Hiertoe bekijken we de netto fotosyntese-sneleid P net die de uitstoot of opname van CO 2 per vierkante meter weergeeft zowel in de struik als de stammen. De netto fotosyntese-sneleid P net verandert niet alleen door wijzigingen in et klimaat in de kas, maar ook door de groei van de rozen (struik en oogst) én door et afsnijden van de rozenstammen. Specifieker gezegd is P net rect evenredig met de verandering in de massa van de rozenoogst plus de oogstsneleid H(t). Als we de massa van de rozenoogst aangeven met M(t) volgt er dus dat: P net = ( td ; ) dm Ht () dt (3) Hier wordt, voor een stam met lengte, de stamdicteidsfunctie d(, t) gewogen met de stamlengte voor alle oogten tussen en snij, om de massa te krijgen. Differentiëren van de uitdrukking (4) voor M(t) geeft, met substitutie van de advectievergelijking (2) voor d, dat: dm vtd ( ; ) snij ( dt 0 ) = vtd ( ; ) snij ( t, ) d d d d H() t (5) na partieel integreren van de recterkant van de vergelijking. Uiteindelijk geeft substitutie van (5) in de uitdrukking voor P net (3) de groeisneleid in termen van P net als: v( td ; ) P ( td ; ) net snij d( t, )d (6) De netto fotosyntese-sneleid Onze volgende stap is om een uitdrukking voor de netto fotosyntese-sneleid P net in (6) te bepalen. Aangezien dit de totale fotosyntese in de kas is, wordt deze bepaald door de fotosyntese van de oogst (de stammen) en de struik samen te nemen. Ofwel: P net = P oogst + P struik waarin de bijdragen van de oogst en de struik apart bepaald moeten worden. Uit et eerder geïntroduceerde lokale model, volgt dat de fotosyntese-sneleid van een blad afankelijk is van zowel de leeftijd als de oeveeleid lict die erop valt. Daarom is et eel erg belangrijk om de leeftijd- en oogteverdeling van de bladeren goed te kunnen modelleren. Van nu af aan zullen we ons concentreren op et modelleren van deze dicteden in de oogst, op de bepaling van de fotosyntese in de struik komen we later terug. Om te beginnen definïeren we iertoe een bladdicteidsfunctie ρ(, t), waarbij ρ(, t)d de oppervlakte van de bladeren geeft op oogten tussen en + d per vierkante meter kas. Zolang < < snij is ρ(, t) gerelateerd aan de stamdicteidsfunctie d(, t) doordat alleen rozenstammen met een totale oogte groter dan bijdragen aan de bladoppervlakte op oogte. Nieuwe Wiskrant 23-3/maart
4 fig. 3 Een scets van de kas op een bepaald tijdstip. Op een bepaalde oogte dragen alleen de rozenstammen met oogtes groter dan bij aan de bladoppervlakte Stammen kleiner dan oogte dragen niet bij aan ρ(, t). Zie figuur 3 voor een scets iervan. Dit geeft dat: snij ρ(, t) = k ρ d( t, ) d waarin k ρ een evenredigeids-constante is. We moeten ook bepalen oe de leeftijden verdeeld zijn op een bepaalde oogte, en daarom introduceren we de leeftijdsdicteidsfunctie q(, t). Deze is zo gedefiniëerd dat q(t, a, )dda de bladoppervlakte van leeftijden tussen a en a + da op oogtes tussen + d per vierkante meter kas is. We ebben aangenomen dat de jongste bladeren bovenaan de stam zitten en de oudste onderaan; daarom is et duidelijk dat de leeftijd van een blad gerelateerd is aan zijn afstand is tot de top van de stam. Dit is gescetst in figuur 4 waar we de rozenstammen geordend ebben op lengte. fig. 4 Door de stammen op oogte te ordenen is et eenvoudiger om de leeftijdsverdeling van bladeren op oogte te zien Om de relatie te versimpelen nemen we aan dat de leeftijd van een blad rect evenredig is met zijn afstand tot de top van de stam. Hieruit volgt dat de oogte van de stammen waaraan bladeren op oogte met leeftijd a zic bevinden, + -- is, waarbij k de gemiddelde inverse groeisnel- a k eid is (zie figuur 4). Uiteindelijk kunnen we dus afleiden dat: a qta (,, ) d + --, t k Vervolgens moet de oeveeleid lict dat een blad bereikt nog bepaald worden. Deze lokale lict intensiteit op een blad angt natuurlijk af van oeveel et blad in de scaduw ligt, met andere woorden, van de blad bedekking (bladoppervlakte) boven et blad. De observatie dat alle stamoogtes gelijkmatig door de kas verdeeld zijn suggereert dat bladeren op dezelfde oogte in ongeveer dezelfde oeveeleid scaduw liggen. di Daarom is de verandering in de lictintensiteit voor d oogtes tussen en snij ook een functie van. We nemen rect evenredig met ρ(,t) en met de lictintensi- di d teit op oogte, I(,t) met evenredigeids-constante k I : di(, t) = k, d I ρ(, t)it (, ) I ( snij ) = I 0 () t Merk op dat I 0 (t) gedefiniëerd was als de totale lictintensiteit die in de kas binnenkomt. Ofwel, I 0 (t) is de lict intensiteit die de bovenkant van de rozen bereikt. Bovenstaande vergelijking oplossen levert: I( t, ) = I 0 ()e t snij k I ρ(, t)d Met beulp van alle bovenstaande dicteidsfuncties kunnen we de totale fotosyntese van de oogst per vierkante meter kas bepalen. Deze volgt uit de lokale fotosyntese-sneleid P(t, a, ) van één blad met leeftijd a waarop een bepaalde lictintensiteit I valt. De fotosyntese-sneleid van bladeren met leeftijden tussen a en a + da op oogtes tussen + d kan namelijk bepaald worden door P(t, a, ) te wegen met de leeftijddicteidsfunctie q(t, a, ) en wordt gegeven door: qta (,, )Pta (,, )dad Dit integreren over alle leeftijden en oogtes in de oogst levert uiteindelijk de fotosyntese-sneleid in de oogst snij : P oogst ( td ; ) = qta (,, )Pta (,, )dad T max 0 Hier is T max de leeftijd van et oudste blad in de uidige rozenoogst; T max is verscillend voor elk type rozen en angt ook af van et seizoen. De fotosyntese van de struik Om de totale netto fotosyntese-sneleid P net in (6) te bepalen moeten we ook een uitdrukking voor P struik ebben. Deze kan op een soortgelijke manier verkregen worden als P oogst, maar iervoor is dan wel enige kennis nodig van de bladverdeling in de struik. Zoals aangenomen wordt dit deel van de planten niet afgesneden. Wat we eigenlijk nodig ebben zijn uitdrukkingen voor de bladdicteidsfunctie ρ(, t) en de leeftijddicteidsfunctie q(t, a, ) in de struik. Ook moeten we de positie van de struik ten opzicte van de stammen weten. Of de struik bijvoorbeeld direct onder de stammen of ook gedeeltelijk 40 Wiskunde voor de rozenkweker
5 naar de zijkanten overangt, is namelijk van invloed op de oeveeleid lict die de bladeren in de struik bereikt. Relatief eenvoudige modellen voor de struik ontstaan door aan te nemen dat de struik direct onder de stammen ligt en daarom goed in de scaduw. Een simpel maar bruikbaar model wordt verkregen als we daarnaast ook nog aannemen dat bladeren van verscillende leeftijden uniform verdeeld zijn door de struik tussen = 0 en =. Dit impliceert dat de gemiddelde oogte in de struik en 2 de gemiddelde leeftijd -- τ is, waarbij τ de lengte van et 2 groeiseizoen is. Deze aannames leiden tot: P struik Het is ook mogelijk om andere modellen voor de struik te combineren met ons model voor de kas. Dit is belangrijk voor de kweker omdat iermee de vragen oe en waar de struik moet groeien, en oe deze onderouden moet worden voor een maximale rozenoogst, opelijk beantwoord kunnen worden. Scatten van evenredigeidsconstanten Tot nu toe ebben we een model bescreven voor de rozenproductie in een kas. In dit model komen een aantal evenredigeidsconstanten voor die nog onbekend zijn. De meeste van deze constanten kunnen bepaald worden door de rozenkweker door middel van metingen aan de rozenplanten. Dit zijn bijvoorbeeld de constante die de oppervlakte van de bladeren aan een stam per eeneid lengte bescrijft, en de constante die de massa van de stam per eeneid lengte representeert. Er zijn twee evenredigeidsconstanten die niet door directe metingen aan de planten bepaald kunnen worden. Deze overgebleven constanten worden verkregen door et model te fitten aan data uit de kas. De data komt uit bestaande rozenkassen en geeft de massa van de rozenproductie per week met gemeten klimaatcondities weer. Voor meer details oe dit in zijn werk gaat, zie Bokove et al (2002). Deze scatting van de constanten uit de meetgegevens is nog niet voltooid. Na bepaling van alle evenredigeidsconstanten zou et in principe met beulp van et model mogelijk moeten zijn om de rozenkweker te elpen om de rozenproductie te maximaliseren. Dit kan door in de simulatie van et model de rozenproductie te optimaliseren afankelijk van de klimaatcondities in de kas. De toekomst τ P t --,, Natuurlijk zijn sommige van onze aannames om tot et model te komen een vereenvoudiging van de werkelijkeid. Een van de nadelen van onze aanpak lijkt et feit dat we veronderstellen dat de totale energie, die voorkomt uit de fotosyntese van alle rozenplanten, alleen gebruikt wordt voor de groei van de stammen. Dit is niet erg realistisc, aangezien er bijvoorbeeld ook seizoensverscillen in de dikte van de geoogste rozenstammen voorkomen. In et bijzonder is de energie die nodig is voor et bloeien, wat een cruciaal punt is voor et tijdstip waarop een roos geoogst moet worden, niet bekeken. Ook is de energie die de planten gebruiken voor onderoud en opslag niet meegenomen in et model. Om de rozen realistiscer te kunnen modelleren, ebben we gedetailleerdere gegevens nodig over oe de totale fotosyntese verdeeld wordt over et groeien, de productie van meer bladeren, et ontstaan van nieuwe stammen (waarvoor we ier slects een basismodel gebruiken) en et bloeien. De eerste modellen van deze processen in een enkele rozenplant zijn aan et verscijnen in de literatuur en zouden verder onderzoct moeten worden. Na een bezoek aan een rozenkas weten we ook dat onze aanname over de positie van de rozenstruik ten opzicte van de stammen, niet altijd overeenkomt met de werkelijkeid. Dit is te zien op de volgende foto van de kas: In deze kas wordt een deel van de struik naast de planten gebogen, waardoor dit deel aanzienlijk meer lict ontvangt dan wanneer de struik onder de stammen zou zitten. Door een ander model voor de struik te ontwerpen zou ook dit geïmplementeerd kunnen worden in ons model voor de geele kas. Ondanks deze (en andere) tekortkomingen open we dat onze aanpak via stam-, blad- en leeftijddicteidsfuncties flexibel genoeg zal blijken om te koppelen aan complexere en preciezere groeimodellen, en dat dit zal leiden tot een accuraat, interactief model van een geele rozenkas. Een voordeel van ons model is dat et vergeleken kan worden met ecte data gemeten in kassen; dit is iets wat niet gedaan kon worden met et enkele bladmodel (et lokale model). Verdere verbeteringen aan et model en et scatten van de constanten is een interessante uitdaging voor een vervolgonderzoek in et optimaliseren van de rozenproductie. Dank aan Onno Bokove (Twente), Joan Dubbeldam (Eindoven), Pilipp Getto (Utrect), Bas van t Hof (Vortec Computing), Nick Ovenden (Eindoven), Derk Pik (Leiden) en Georg Prokert (Eindoven) in samenwerking met wie dit werk tot stand is gekomen. Ook dank aan Dick van der Sar van Pytocare; ij was degene die et probleem eeft voorgesteld. Vivi Rottscäfer, Universiteit van Leiden Nieuwe Wiskrant 23-3/maart
Hoofdstuk 5 : Afgeleiden van veeltermfuncties
Hoofdstuk 5 : Afgeleiden van veeltermfuncties GROEPSWERK: AFGELEIDE VAN EEN PRODUCT 1) Inleiding Gegeven: de functies f en g met als voorscrift f(x) = x 3 en g(x) = x 2. We weten: D(f(x) + g(x)) = D(x
Nadere informatie(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},
Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-II
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-II Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t
Nadere informatieJohan Bonekamp, Lans Bovenberg, Theo Nijman, Bas Werker
Joan Bonekamp, Lans Bovenberg, Teo Nijman, Bas Werker occasional-06 / 2016 Actergrondnotitie: Herverdelingseffecten van verscillende projectierentes in verbeterde premieregelingen vanuit aanspraken Joan
Nadere informatieGelijke oppervlakte. V is het vlakdeel dat wordt begrensd door de grafiek van f en de x-as. In figuur 2 is V grijs gemaakt. 2,2 zijn.
Gelijke oppervlakte Voor 0 is de functie f gegeven door f ( ). e punten (0, 0) en (9, 0) liggen op de grafiek van f. Het punt T is et oogste punt van deze grafiek. Zie figuur. figuur T f e coördinaten
Nadere informatieSpeciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren
Nadere informatie-- IX (q)e - ie 2 t/h
-- IX - -- HOOFDSTUK IX TIJDSAFHANKELIJKE PROCESSEN Dit oofdstuk is bedoeld om enig inzict te geven in de manier waarop de intensiteiten van de lijnen in een spectrum berekend kunnen worden. Omdat een
Nadere informatieStatistische analyse van inserties in het genoom van muizen
Statistisce analyse van inserties in et genoom van muizen Anne de Haan 30 juni 008 Bacelorscriptie Begeleiding: Prof. Dr. M.R.H. Mandjes KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenscappen, Wiskunde
Nadere informatie4. Wanneer zal de woningbehoefte even hard groeien als de woningvoorraad? Antwoord. Na 6 jaar.
Onderwerpen Onderwerp 1. Ruimtelijke ordening In een gemeente met 30 000 inwoners staan 10 000 woningen. De gemeente schat dat het gemiddeld aantal bewoners per woning gelijk blijft aan drie, en bouwt
Nadere informatieDe maan en de regenboog
Minnaert revisited. Ofwel: ook in een standaardwerk als De natuurkunde van et vrije veld kunnen foutjes voorkomen. Of worden verklaringen acterwege gelaten die best te volgen zouden zijn. Jan van de Craats
Nadere informatieNumerieke Analyse - Week 03
Numerieke Analyse - Week 3 Jan Brandts Woensdag 21 september 211 1. Samenvatting en opgaven We zoeken een polynoom p P k (I) waarvan de functiewaarden in k + 1 verscillende punten x,..., x k I overeenstemmen
Nadere informatie2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 00 Les Speciale functies. Eponentiële functie en natuurlijke logaritme We ebben nog niet aangegeven oe we a voor een niet-rationaal zullen berekenen. Het voor de
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieVoorbeeldexamenopgaven VWO Correctievoorschrift Quantumwereld Natuurkunde
Voorbeeldexamenopgaven VWO Correctievoorscrift Quantumwereld Natuurkunde Voorbeeldexamenopgaven Quantumwereld natuurkunde vwo Laserpulsen maximumscore 3 6 uitkomst: T 4,5 0 s voorbeeld van een berekening:
Nadere informatiewiskunde B pilot havo 2015-II
Veilig vliegen maximumscore 4 Het tekenen van de lijn door (0, 4; 0) en (bijvoorbeeld) (, 6; 0) Uit et aflezen van de coördinaten van et snijpunt van deze lijn met de rand van et grijs gemaakte gebied
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) donderdag 5 juli 2007, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag
Nadere informatieAnalyse: vraagstuk van Kepler
Analyse: vraagstuk van Kepler Deel : Afleiden tweede wet (wet der perken) Redelijk simpel. Uit de bewegingsvergelijking volgt dat =. Dit impliceert dat = =. Als je weet dat de tangentiële component van
Nadere informatieVerticale bewegingen ABC ABC
Verticale bewegingen Bepaling divergentie J.C. Bellamy eeft een objectieve metode ontwikkeld om de divergentie te berekenen uit drie windwaarnemingen. Hebben we windwaarnemingen op meerdere niveau s (uit
Nadere informatieMaar het leidde ook tot een uitkomst die essentieel is in mijn werkstuk van een Stabiel Heelal.
-09-5 Bijlage voor Stabiel Heelal. --------------------------------------- In deze bijlage wordt onderzocht hoe in mijn visie materie, ruimte en energie zich tot elkaar verhouden. Op zichzelf was de fascinatie
Nadere informatieNederlandse samenvatting
Chapter 7 Nederlandse samenvatting 7.1 Introductie Dit proefschrift behandeld de globale patronen van de koolstof en water balans van het land oppervlak bepaald met eddy co-variantie data. Observaties
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) maandag 11 augustus 2003, 09:00-12:00. Bij het tentamen
Nadere informatieWetenschappelijk Rekenen
Wetenscappelijk Rekenen Examen - Derde bacelor informatica Oefeningen 2 augustus 2012 1. Bepaal de 6-punts Newton-Cotes formule N 6 (f van et open type ter benadering van I(f = a+ a f(tdt met als stapgrootte
Nadere informatieParagraaf 2.1 : Snelheden (en helling)
Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Sneleden (en elling) Les 1 Benadering van de elling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde elling } Differentiequotiënt
Nadere informatieAfgeleiden. met als oplossing: m=2 en q=-1. De rechte wordt dus bepaald door y=2x-1. m =
Afgeleiden. Herinnert u zic deze nog? Afgeleiden. De algemene vergelijking van een recte in een y-vlak wordt bepaald door ym*+q. Hierbij zijn m en q parameters (karakteristieke getallen) die de ligging
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) dinsdag 4 juli 2006, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag
Nadere informatieOvergangsverschijnselen
Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of
Nadere informatieVraag (1a): Bepaal de resulterende kracht van de hydrostatische drukken op de rechthoekige plaat AB (grootte, richting, zin en aangrijpingspunt).
OEF. 1 (4 pt, apart dubbelblad) Een tank bevat twee vloeistoffen met scheidingsvlak ter hoogte van punt A: r 1 =900 kg/m³ en h 1 =4m, r 2 =1000 kg/m³ en h 2 =3m. De tank is afgesloten door de klep ABC.
Nadere informatieDe dynamica van een hertenpopulatie. Verslag 1 Modellen en Simulatie
De dynamica van een hertenpopulatie Verslag Modellen en Simulatie 8 februari 04 Inleiding Om de groei van een populatie te beschrijven, kunnen vele verschillende modellen worden gebruikt, en welke meer
Nadere informatie17 Timing bij data-overdracht
369 17 Timing bij data-overdract 17.1 Uitgangspunten In dit oofdstuk onderzoeken we de timing van data-overdract tussen flip-flops en de invloed van de ertussen geplaatste combinatorisce logica. Bij dit
Nadere informatiePraktijkproef Super FK in Paprika 2010 bij de start van de teelt.
Praktijkproef Super FK in Paprika 20 bij de start van de teelt. Inleiding: Het doseren van Super FK zorgt primair voor een actiever/vegetatiever gewas, een betere en vollere gewasstand, met een betere
Nadere informatieGETALLEN deel De waarde van een cijfer wordt bepaald door de. We lezen 1 E. .. vijf tientallen
GETALLEN deel Les 2 : Getallenkennis: getallen tot 00 000. De waarde van de cijfers in een getal: De waarde Je leest Besluit:..................... De waarde van een cijfer wordt bepaald door de in et getal.
Nadere informatieHoofdstuk!7!Kortste!paden!
oofdstukkortstepaden oofdstukkortstepaden In een gewogen graaf is men soms geïnteresseerd in het kortste pad tussen twee punten: dat is een pad, waarbij de som van de gewichten zo klein mogelijk is..inleiding
Nadere informatieParagraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Nadere informatieVerbanden en functies
Verbanden en functies 0. voorkennis Stelsels vergelijkingen Je kunt een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Nadere informatieEindexamen natuurkunde 1-2 vwo 2007-I
Beoordelingsmodel Opgave Didgeridoo maximumscore 4 uitkomst: f = 78 Hz (met een marge van Hz) voorbeeld van een bepaling: In de figuur komt 9,0 cm overeen met een tijd van 0,08 s. Voor periodes wordt een
Nadere informatieKlimaatmodellen. Projecties van een toekomstig klimaat. Wiskundige vergelijkingen
Klimaatmodellen Projecties van een toekomstig klimaat Aan de hand van klimaatmodellen kunnen we klimaatveranderingen in het verleden verklaren en een projectie maken van klimaatveranderingen in de toekomst,
Nadere informatieEindexamen wiskunde A 1-2 havo 2002-II
Wereldrecords nattigheid Wie loopt de 5000 meter in de kortste tijd? Die atleet mag zich wereldrecordhouder op de 5000 meter noemen. Op welke plaats op aarde valt in een regenbui van 7 uur het meeste water?
Nadere informatie25 tips om uw bedrijfsresultaat te verbeteren
25 tips om uw bedrijfsresultaat te verbeteren U zoekt dagelijks oplossingen en adviezen waarmee u uw oogst kunt vergroten en uw kosten kunt verlagen. Ook is het verminderen van het gebruik van natuurlijke
Nadere informatieGaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:
Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van
Nadere informatieDit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplicht en vrijwillig huiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan het eind.
Wiskunde 1A - groep 3 (Gabor Wiese) 16/09/2003 Wat informatie: Dit vak bestaat uit een werk- en instructiecollege, verplict en vrijwillig uiswerk, één tussentoets op blackboard en één tentamen aan et eind.
Nadere informatieEindexamen wiskunde A 1-2 havo 2000 - II
Opgave 1 ypotheken Als je een huis koopt, moet je meer betalen dan alleen de koopsom. Je moet bijvoorbeeld belasting betalen en de kosten van de notaris. Deze bijkomende kosten zijn voor een nieuwbouwhuis
Nadere informatieExamen HAVO. Wiskunde A1,2
Wiskunde A1,2 Examen AVO oger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 1.0 16.0 uur 20 00 Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed
Nadere informatieHoofdstuk 21 Oppervlakte 21.0 INTRO
Hoofdstuk Oppervlakte.0 INTRO ls voorbeeld de oppervlakte van : e geblokte rectoek eeft oppervlakte 5 = 0. aar gaan twee alve rectoeken vanaf, één met oppervlakte 5 = 5 en de ander met oppervlakte 5 =
Nadere informatieAnalyse voor de 3 de graad TSO (leerplan 4u) met de TI83 Plus
Analyse voor de de graad TSO (leerplan 4u) met de TI-8 Plus Woord vooraf Ik ben leraar wiskunde in de derde graad Boekouden-Informatica en Informaticabeeer aan et Tecnisc Instituut Heilige Familie te Ieper
Nadere informatie(Permitiviteit van vacuüm)
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen Stralingsfysica (3D) d.d. maart 9 van 4: 7: uur Vul de presentiekaart in blokletters in en onderteken deze. Gebruik van boek, aantekeningen of notebook is niet
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieTU-Delft - Faculteit werktuigbouwkunde - Afdeling P&E Tentamen Stromingsleer (wb1220) 26 oktober 2007, uur
T-Delft - Faculteit werktuigbouwkunde - Afdeling P&E Tentamen Stromingsleer (wb1) 6 oktober 7, 9.-1. uur Lees et geeel eerst aandactig door voor een evenwictige tijdsbesteding. Dit tentamen bestaat uit
Nadere informatieHet drie-reservoirs probleem
Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen (0751733) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling.................................
Nadere informatieen-splitsingen: een aantal alternatieven worden parallel toegepast, of-splitsingen: van een aantal alternatieven wordt er één toegepast,
Kansrekening voor Informatiekunde, 25 Les 8 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin knopen acties aangeven en opdrachten langs verbindingen tussen de knopen verwerkt
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieHoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni uur
wiskunde B,2 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 88 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieGlas persen door een mal
Glas persen door een mal Jeroen Wessels 778324 Ruben Kwant 78949 2 juni 212 1 Samenvatting Een glasfabriek maakt glazen jampotjes. Ze willen de productie van jampotjes graag vergroten. Glas is stroperig
Nadere informatieStochastische grafen in alledaagse modellen
Stochastische grafen in alledaagse modellen Ionica Smeets en Gerard Hooghiemstra 27 februari 2004 Stochastische grafen zijn grafen waarbij het aantal kanten bepaald wordt door kansverdelingen. Deze grafen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE DIVISIE COMPUTATIONAL AND EXPERIMENTAL MECHANICS Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 2 juli 2004, 14:00-17:00. Bij het tentamen mag
Nadere informatieD h = d i. In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal.
12 De hoekafstand In een vlak, statisch, niet expanderend heelal kan men voor een object met afmeting d op grote afstand D (zodat D d) de hoek i berekenen waaronder men het object aan de hemel ziet. Deze
Nadere informatieEindexamen wiskunde A 1-2 havo 2004-I
Vermogens van huishoudens Onderstaand diagram stond in mei 2001 in de Volkskrant. Het geeft informatie over hoeveel vermogen of schuld huishoudens in Nederland hebben, uitgesplitst naar de leeftijd van
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Nadere informatieAutobiografisch geheugen in longitudinaal perspectief
Samenvatting Autobiografisch geheugen in longitudinaal perspectief Stabiliteit en verandering in gerapporteerde levensgebeurtenissen over een periode van vijf jaar Het belangrijkste doel van dit longitudinale,
Nadere informatie1 Kenmerken van de plant De uiterlijke kenmerken van een plant Het inwendige van de plant Afsluiting 21
Inhoud Voorwoord 5 Een aardig produkt 7 Inleiding 8 1 Kenmerken van de plant 11 1.1 De uiterlijke kenmerken van een plant 11 1.2 Het inwendige van de plant 17 1.3 Afsluiting 21 2 Onderdelen van een plant
Nadere informatieMonitoraatssessie Wiskunde
Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;
Nadere informatieBeknopte snoeiinstructie door Leo van Mierlo voor Boomgaard De Steenen Camer, januari 2015
1 Snoeien doet groeien Beknopte snoeiinstructie door Leo van Mierlo voor Boomgaard De Steenen Camer, januari 2015 Botanische termen De STAM is de hoofdstengel van een boom. Een SCHEUT (of LOOT) is een
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 5 les 3
Paragraaf 10 De standaard normale tabel Opgave 1 a Er geldt 20,1 16,6 = 3,5 C. Dit best wel een fors verschil, maar hoeft niet direct heel erg uitzonderlijk te zijn. b Er geldt 167 150 = 17. Dat valt buiten
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde A1,2
wiskunde A1,2 Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 26 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor
Nadere informatieNumerieke Wiskunde. sleij101/ Samenvatting. Programma. Gerard Sleijpen
Utrect, 11 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, Freudental Gebouw Tel: 030-2531732 G.L.G.Sleijpen@uu.nl Felix Beckebanze Emile Broeders Jan-Willem Buurlage ttp://www.staff.science.uu.nl/
Nadere informatieSamenvatting. Samenvatting
121 Samenvatting Antioxidanten spelen een belangrijke rol in tal van biochemische processen, variërend van het ontstaan van ziekten tot het verouderen van voedingsmiddelen. Om deze rol accuraat te kunnen
Nadere informatieKlimaatverandering en klimaatscenario s in Nederland
Page 1 of 6 Klimaatverandering en klimaatscenario s in Nederland Hoe voorspeld? Klimaatscenario's voor Nederland (samengevat) DOWNLOAD HIER DE WORD VERSIE In dit informatieblad wordt in het kort klimaatverandering
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Nadere informatieZuiniger met CO 2 bij gelijkblijvende of hogere productie?
Zuiniger met CO 2 bij gelijkblijvende of hogere productie? Sander Pot (Plant Dynamics BV) i.s.m. Govert Trouwborst (Plant Lighting BV) Sander Hogewoning (Plant Lighting BV) Stefan Persoon (Inno Agro BV)
Nadere informatieWINDENERGIE : STROMINGSLEER
INHOUD: Drag-kracht en lift-kracht Krachten op roterende wiek De pitch hoek en de angle of attack Krachtwerking De rotorefficiëntie C P Karakteristieken van een turbine Beschouwen we een HAWT (horizontal
Nadere informatieBegrip van een zaadje
Hoofdstuk 1 Begrip van een zaadje Ionica Smeets Hoe beschrijf je de processen in een ontkiemend zaadje? Met die vraag kwam het bedrijf Fytagoras naar de studiegroep. Er blijkt verrassend weinig bekend
Nadere informatieRijen in het dagelijks leven Handleiding leerkracht
Rijen in het dagelijks leven Handleiding leerkracht Aantal lestijden: ± 5 Graad: 2 e Jaar: 2 e Gelinkte vakken: Wiskunde, fysica, biologie, aardrijkskunde, ICT, geschiedenis, godsdienst, L.O. 1 Korte inhoud
Nadere informatieWanda Guedens en Monique Reynders. Universiteit Hasselt, België
Wanda Guedens en Monique Reynders Universiteit Hasselt, België Van chemisch experiment tot wiskundig model Hoe chemie en wiskunde elkaars maatje worden Data-analyse komt neer op het zoeken naar onderlinge
Nadere informatieVertaling van een gedeelte uit het Korte Boek over het Rekenen met Restauratie en Confrontatie (al-kitāb al-mukhtaṣar fī l-jabr wa l-muqābala)
Vertaling van een gedeelte uit het Korte Boek over het Rekenen met Restauratie en Confrontatie (al-kitāb al-mukhtaṣar fī l-jabr wa l-muqābala) van Muḥammad ibn Mūsā al-khwārizmī (ca. 830). De onderstaande
Nadere informatie6 Nieuw: Plantvoice / gewasactiviteit en watergift
6 Nieuw: Plantvoice / gewasactiviteit en watergift De plant centraal stellen Het Nieuwe Telen heeft opnieuw aangetoond dat het voor een efficiënte klimaatregeling essentieel is om de plant centraal te
Nadere informatieDynamische modellen Subdomein 1: Dynamische Systemen Experimenteel lesmateriaal Wiskunde D vwo
Dynamische modellen Subdomein 1: Dynamische Systemen Experimenteel lesmateriaal Wiskunde D vwo Hoofdstuk 3 De wiskunde in een model (Coach-versie) Versie 1 oktober 2006 CTWO-werkgroep Dynamische Modellen
Nadere informatieExtra oefening en Oefentoets Helpdesk
Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/21763 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Fortes, Wagner Rodrigues Title: Error bounds for discrete tomography Issue Date:
Nadere informatieKengetallen. E-5 MPR-Kwaliteit. Inleiding. MPR 24 uur. 4 Betekenis van MPR 24 uur
Kengetallen E-5 MPR-Kwaliteit Inleiding Via Melkproductieregistratie (MPR) worden gegevens over de melk-, vet en eiwitproductie van de veestapel verzameld. Deze gegevens zijn de basis van managementinformatie
Nadere informatieOptimalisatie van de eerste klinische studies in bi ondere patie ntengroepen: op weg naar gebruik van semifysiologische
Nederlandse samenvatting Optimalisatie van de eerste klinische studies in bi ondere patie ntengroepen: op weg naar gebruik van semifysiologische farmacokinetische modellen Algemene inleiding Klinisch onderzoek
Nadere informatieGeleid herontdekken van de golffunctie
Geleid herontdekken van de golffunctie Nascholingscursus Quantumwereld Lodewijk Koopman lkoopman@dds.nl januari-maart 2013 1 Dubbel-spleet experiment Er wordt wel eens gezegd dat elektronen interfereren.
Nadere informatieax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Nadere informatieWatermanagement in een veranderend klimaat
Watermanagement in een veranderend klimaat Het Twentse waterschap Regge en Dinkel zoekt naar een oplossing om het door de klimaatverandering verwachte extra regenwater zonder overlast te verwerken. Naar
Nadere informatieDe waargenomen beweging hangt af van de bewegingstoestand van de waarnemer.
- 11 - Bewegingleer 1. Rut en beweging Van twee peronen die ergen rutig zitten te praten i men geneigd om te zeggen dat deze peronen in rut zijn. Maar al un zetel zic in een rijdende trein bevinden dan
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieOp aarde wonen ongeveer zeven miljard mensen. 1 miljard = miljard is hetzelfde als
Getallen 9 0 2 / Tel steeds verder met 0 000 tot aan 2 00 000. 0 2 00 000 7 2 Wat zijn de onderstreepte cijfers in de getallen waard? Op aarde wonen ongeveer zeven miljard mensen. miljard = 000 000 000.
Nadere informatieOpgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 28 januari 2014,
Tentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 8 januari 04, 3.30 6.30. Zet op ieder vel dat je inlevert je naam en op et eerste vel bovendien nog je studentnummer.. Je mag et dictaat gebruiken, de uitwerkingen
Nadere informatieBepaling van oplegreacties van spanten
epaling an oplegreacties an spanten Naast liggers, ijn ook spanten of portalen eel oorkomende constructies. Portalen ijn in de steunpunten owel in oriontale als erticale ricting ondersteund en aak scarnierend
Nadere informatieHoofdstuk 2. Aanvullingen Markovketens
Hoofdstuk 2. Aanvullingen Markovketens Betere formulering van Stelling 2.20. Stelling. (St. 2.20) Laat C een gesloten klasse zijn, en j C. Dan geldt dat {µ ij } i C zijn de minimale niet-negatieve oplossing
Nadere informatie7. Protocol rookmelders
7. Protocol rookmelders Waar moet de rookmelder angen? - In elke verkeersruimte moet een rookmelder worden aangebract. Verkeersruimten zijn primair de gangen en de overloop, maar als je vanuit bv een eerst
Nadere informatieLuchtbevochtiging in de zomerperiode: Wat wil de plant?
Luchtbevochtiging in de zomerperiode: Wat wil de plant? Leo Marcelis & Ep Heuvelink Wageningen UR: WUR Glastuinbouw Leerstoel Tuinbouwproductieketens Met medewerking van: Peter van Weel, Hendrik Jan van
Nadere informatie2dejaar 2degraad (1uur) Hoofdstuk 2 : De eenparige beweging
- 11 - Bewegingleer 1. Rut en beweging Van twee peronen die ergen rutig zitten te praten i men geneigd om te zeggen dat deze peronen in rut zijn. Maar al un zetel zic in een rijdende trein bevinden dan
Nadere informatieMigrerende euromunten
Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in
Nadere informatieCompex wiskunde A1-2 vwo 2005-I
Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij
Nadere informatieHoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur
wiskunde B,2 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit eamen zijn maimaal 88 punten te behalen; het eamen bestaat uit 9 vragen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieMogelijkheden om vroeg tijdig bladrandproblemen te signaleren met MIPS bij Hortensia
Mogelijkheden om vroeg tijdig bladrandproblemen te signaleren met MIPS bij Hortensia Filip van Noort, Henk Jalink Rapport GTB-1027 2010 Wageningen, Wageningen UR Glastuinbouw Alle rechten voorbehouden.
Nadere informatie