Numerieke Wiskunde. sleij101/ Samenvatting. Programma. Gerard Sleijpen

Transcriptie

1 Utrect, 11 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, Freudental Gebouw Tel: Felix Beckebanze Emile Broeders Jan-Willem Buurlage ttp:// sleij101/ >Lectures >Numerieke Wiskunde, Teoretisc deel Gerard Sleijpen Department of Matematics ttp:// sleij101/ Voor cursusmateriaal (matlab code), actergrondmateriaal, Samenvatting Een numeriek wiskundige is een wiskundige die algoritmes ontwerpt om problemen uit de wetenscap en tecniek efficiënt, betrouwbaar en nauwkeurig numeriek op te lossen. Een numeriek wiskundige is een strateeg. Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenscap en tecniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Teoretisc deel, praktisc deel Organisatie

2 Numeriek en analytisc numeriek of getalsmatig maar ook grafisc, animaties Wiskundige argumenten bevatten gewoonlijk zowel numerieke als analytisce aspecten. Voorbeeld. Scets de grafiek van f(x) = x2 1 x 2 2. Algoritme Algoritme (rekenscema): Algoritme is een verbastering van al-kwarizmi, de naam van een Perzisce astronoom en wiskundige uit de 9de eeuw. Voorbeeld. Bereken f in et punt x. Kies een > 0. Bereken f(x+) f(x) Hoe groot moet gekozen? Hoe nauwkeurig moet et antwoord? Nauwkeurigeid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+) f(x) voor zekere ξ tussen x en x + = 1 2 f (ξ) f (x) (f(x+) f(x))/ Getallenvoorbeeld. f(x) = xsin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisc: f (x) = sin(x) + xcos(x). Numeriek: D f(x) = f(x+) f(x). ( ) ( ) f (x) = 2cos(x) xsin(x), f (ξ) 2, 1 2 f (ξ). Met =1.00e-003 is f (x)-df(x) = e-004 Met =1.00e-006 is f (x)-df(x) = e-007 Met =1.00e-009 is f (x)-df(x) = e-008 Met =1.00e-012 is f (x)-df(x) = e-005 Met =1.00e-015 is f (x)-df(x) = e

3 f (x) (f(x+) f(x))/ 0.5**f (ξ) Grap of te function x.*sin(x) (blue) and of y=0 (black :) x f and y are sifted by To avoid small axis limit range, x is sifted by x i.e., x is plotted along te orizontal axis Grap of te function pol8 (blue) and of y=0 (black :)

4 f and y are sifted by 1.829e 012 x De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout eeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: et effect van afrondfouten To avoid small axis limit range, x is sifted by +7 x i.e., x 7 is plotted along te orizontal axis. Voorbeeld. α, α exacte, resp., berekende grooteid, Zij f (x + ) de berekende functie waarde f(x + ). Dan f(x + ) f (x + ) ǫ zekere ǫ > 0. ǫ = in geval f(x) = xsin(x) ǫ in geval f 8ste graads polynoom Opmerking. Bovengrens ǫ kan gescat worden. Verder geen structuur in de evaluatie-fout! De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout eeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: et effect van afrondfouten Voorbeeld. f(x + ) f (x + ) ǫ Evaluatiefout: D f(x) D f(x+) f(x) f(x) = f (x+) f (x) D f(x) D f(x) 2ǫ ǫ = , = 10 12, dan evaluatie-fout De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout eeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: et effect van afrondfouten Voorbeeld. f(x + ) f (x + ) ǫ Evaluatiefout: D f(x) D f(x+) f(x) f(x) = f (x+) f (x) D f(x) D f(x) 2ǫ Opmerking. Scatting is scerp, d.w.z., = komt voor. We ebben geen praktisce manier om een betere scatting te krijgen.

5 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten f (x) (f(x+) f(x))/ 0.5**f (ξ) 2 eps f(x) / Conclusie. Fout eeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: et effect van afrondfouten Voorbeeld. f(x + ) f (x + ) ǫ Evaluatiefout: D f(x) D f(x+) f(x) f(x) = f (x+) f (x) D f(x) D f(x) 2ǫ Opmerking. Voor 0 geldt: evaluatie-fout Numeriek differentiëren is instabiel: kleine fouten kunnen een groot effect ebben 18 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout eeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: et effect van afrondfouten Fout = approximatiefout + evaluatie-fout f (x) D f(x) Hoe kiezen we? c 1 2 f (x) 1) Als scattingen voor ǫ en c = 1 2 f (x) bescikbaar zijn. Bepaal = best die ǫ + c minimaliseert: 0 = ǫ 2 + c best ǫ best = c best, best = ǫ c, ǫ + c best = 2 ǫ c best f (x) D f (x) = [f (x) D f(x)] + [D f(x) D f(x)] Approximatiefout eeft structuur = 1 2 f (ξ) 1 2 f (x) Evaluatiefout eeft scatbare bovengrens, 2ǫ verder geen bruikbare structuur 19 20

6 f (x) D f(x) c 1 2 f (x) f (x) D f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we? Hoe kiezen we? 1) Als scattingen voor ǫ en c = 2 1 f (x) bescikbaar zijn. ǫ = c best, best = ǫ best c, ǫ + c best = 2 ǫ c best Hoe nauwkeurig moeten die scattingen zijn? Vaak voldoende als de fout in een of twee cijfers bekend is. 1) Als scattingen voor ǫ en c = 1 2 f (x) bescikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout c als > best Strategie: kies 0 bereken D 0 f(x), D f(x) Als 0 best dan fout 12 0 D f(x) D 0 f(x) Hoe weet je of 0 best? f (x) D f(x) c 1 2 f (x) f (x) D f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we? 1) Als scattingen voor ǫ en c = 1 2 f (x) bescikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout c als > best Strategie: kies 0 bereken D 0 f(x), D f(x), D f(x) Als 0 best, dan [D f(x) D f(x)] 1 2 [D f(x) D 0 f(x)] Hoe kiezen we? 1) Als scattingen voor ǫ en c = 1 2 f (x) bescikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout c als > best Strategie: kies 0 bereken D 0 f(x), D f(x), D f(x) Als [D f(x) D f(x)] 1 2 [D f(x) D 0 f(x)], dan fout 12 0 D f(x) D 0 f(x) anders, kies grotere 0 en probeer opnieuw.

7 Strategie op basis van wiskundig analytisce resultaten, met beperkingen door effecten van afrondfouten f (x) (f(x+) f(x ))/(2) ( 2 /6)*f (ξ) 2 eps f(x) / Analytisce conclusies zijn ongeldig als effecten van afrondfouten domineren Pijlers (exacte) wetenscap Zeker aspect van de werkelijkeid Teorie Oceanografie Experimenten Computer simulaties Wiskundig model (PDE) Discretizeer Simulaties om te testen te ontwerpen Gediscretizeerd model beleid te ondersteunen teorie te ontwikkelen Computer model Lab. experiment Lokaal inzict Teorie bescrijft lokale samenang Computer Science Wiskunde & Simulatie Globale inzicten (vooreen: Wiskunde & exp. met scaalmodellen) 27 Simulatie 28

8 Simulaties Simulaties in geval experimenten te duur zijn ongewenst zijn onmogelijk zijn Simulaties zijn aantrekkelijk door snelle computers computers met veel geeugenruimte goedkope computers snellere, betrouwbaardere en robustere algoritmes Globale oceaan circulatie Oceanografie, Matematisce Analyse fv = g x ru + A 2 u + F 1 (NS)... u x + v y = 0 Eindige differences eindige elementen eindige volumes, u(x+ x) u(x x) 2 x +... Numerieke Wiskunde Ax = b Linearizeer Numerieke Lineaire Algebra Computer Science Simulatie Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,... Problemen met analytisce oplossing: oplossing is onoverzictelijk is moeilijk te verkrijgen alleen voor model situaties vereenvoudigt niet noodzakelijk et rekenwerk Meeste problemen zijn niet analytisc oplosbaar vb. t e s2 ds Waarom analyse? Teorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correcteid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte Structuur oplossing Stabiliteit oplossing

9 Veel software is bescikbaar. Kan ik niet altijd een standaard routine gebruiken? Voor ieder wiskundig probleem zijn er diverse algoritmes. Er is geen best algoritme. Wat et beste is angt af van de aard van et wiskundig probleem parameters in et probleem de gewenste nauwkeurigeid bescikbare computers Op welke zaken je moet letten? Je moet de kwaliteit van de numerieke resulaten kunnen beoordelen. Moderne beroepspraktijk voor een wiskundige is teamwerk. Aan et eind van de cursus ben je vertrouwd met de principes van numerieke wiskunde kan je de kwaliteit van numerieke resultaten beoordelen eb je een kritisce ouding t.a.v. numerieke resultaten kan je efficiënte en betrouwbare algoritmes ontwerpen voor eenvoudige problemen kan je je algoritmes met wiskundige argumenten verdedigen voel je comfortabel bij numerieke wiskunde colleges over moeilijkere problemen f : [a, b] R Inoud f, b a f(t)dt, f (t) = F(t, f(t)), los op f(α) = 0 f bekend in t 0, t 1, t 2,...: bereken f(t) voor andere t fouten, evaluatie fouten. Waarom teoretisc? Moet leren algoritmes ontwerpen en analyseren Moet leren numerieke resulaten te analyseren en interpreten Waarom 1-d? Inzictelijker, om principes num. wisk. te begrijpen meer dim. generaliseren 1-d

10 Waarom praktisc? Scattingen bevatten onberekenbare grooteden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Teorie is vaak (nog) niet vooranden Teorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw teoretisc inzict Experimentele inzicten staan grote stappen in de ontwikkelingen toe Heuristiek speelt vaak een grote rol Heuristiek is gebaseerd op teoretisc inzict gesteund door experimentele resultaten Voorkennis Elementaire Calculus (Infi): f, b a f(t) dt voor f : [a, b] R lim..., 0... continu, differentieerbaar n=0 differentiaalvergelijkingen: f (t) = λf(t) +... Taylorreeks. f voldoende glad in de buurt van x: f(x+) = f(x)+f (x)+ 2 2! f (x)+...+ k k! f(k) (x)+rest met Rest = k+1 (k+1)! f(k+1) (ξ) zekere ξ tussen x en x +. Doorlopendeidsst. f continu op [a, b], f(a) f(b) < 0. Dan f(ξ) = 0 zekere ξ (a, b). Stelling van Rolle. f diff.baar op [a, b]. Dan f (ξ) = f(b) f(a) b a zekere ξ (a, b).