Schotelantennes. Maak ze met wiskunde! /k 1/18. metaal x m. mal. gips. y = x 2 /(4F) y m. y p. x p

Transcriptie

1 Schotelantennes Maak ze met wiskunde! y y = x 2 /(4F) y m mal y p metaal x m x p x gips /k 1/18

2 Stukje van een groter geheel Als je een probleem uit de praktijk beschrijft met wiskundige vergelijkingen, dan kun je ze vrijwel nooit analytisch oplossen Wel numeriek! Vakgebied heet numerieke wiskunde of scientific computing wat kun je zeggen over fouten die je maakt? hoe weeg je efficiency en nauwkeurigheid af? Deel van de techniekstroom op de universiteit Naast theorie en experimenten heb je een derde discipline: computersimulaties! Levendig vakgebied met toepassingen in industrie, weersvoorspelling, gezondheidszorg, financiële wereld, civiele techniek, etc. Na je studie kun je bijvoorbeeld aan de slag als onderzoeker bij TNO, Philips, ingenieursbureaus /k 2/18

3 Hoe werkt een schotelantenne? Voorbeeld van een paraboolreflector: de figuur die je krijgt als je een parabool rond zijn hoofdas draait Eigenschap: straling die evenwijdig met de hoofdas op de reflector valt wordt gereflecteerd naar één punt F Andere toepassingen: telescopen, autolampen, microfoons /k 3/18

4 Hoe maak je een schotelantenne? Maak negatief van blok gips met ronddraaiende metalen afstrijkmal Bekleed negatief met polyesterachtig materiaal Voorzie de polyester omwentelingsparabool van reflecterende laag mal polyester gips gips /k 4/18

5 Frezen van de metalen afstrijkmal Afstrijkmal wordt gemaakt in freesbank Je kunt de as (middelpunt) van de ronddraaiende frees besturen Je moet (een benadering voor) de parabool uitsnijden mal metaal gips /k 5/18

6 Probleem en wiskundig model Bereken bij gegeven straal van de frees de baan van de freesas zodanig dat een voorgeschreven parabool wordt uitgesneden In wiskundige taal geformuleerd: Bereken voor een cirkel met straal r de baan van het middelpunt als de cirkel langs de parabool y = x 2 /(4F) rolt Of nog anders: y y = x 2 /(4F) Middelpunt cirkel: (x m, y m ) Contactpunt cirkel & parabool: (x p, y p ) y m y p Bereken y m als functie van x m x m x p x /k 6/18

7 Vergelijkingen voor de coördinaten Middelpunt (x m, y m ) en contactpunt (x p, y p ) liggen op afstand r: (x m x p ) 2 + (y m y p ) 2 = r Parabool: y = x2 dy, afgeleide: 4F dx = x 2F Blauwe lijn is raaklijn dus rc is x p /(2F) y y m y p y = x 2 /(4F) Rode lijn, zeg y = ax + b blauw a x p /(2F) = 1 door (x p, y p ) y y p = a(x x p ) Middelpunt cirkel ligt op rode lijn: x m y m = y p 2F x p (x m x p ) x p x /k 7/18

8 Vergelijkingen voor de coördinaten Met wat omschrijven, vind je y m = x2 p 4F 2F x p (x m x p ) en x p = x m + Er is geen direct verband tussen y m en x m! We zien dat x p moet voldoen aan x p x m rx p x 2 p + 4F 2 = 0 rx p x 2 p + 4F 2 Strategie: 1. Neem een waarde voor x m 2. Bepaal het nulpunt x p van de functie f(x) = x x m 3. Bereken y m rx x2 + 4F 2 /k 8/18

9 Wat hebben we nu gezien? Zoeken van nulpunten van een functie is een belangrijk probleem: y y = f(x) α x Soms is dit makkelijk: f(x) = ax + b ax + b = 0 = x = b/a Soms lukt je dit niet zomaar: f(x) = 2xe x 1 2xe x 1 = 0 = 2xe x = 1 /k 9/18

10 Bisectiemethode Zoek een interval (a, b) met f(a) < 0 en f(b) > 0 y y = f(x) a α b x Je weet dat α in dit interval ligt /k 10/18

11 Bisectiemethode Neem nu het midden m y y = f(x) a α m b x f(m) < 0 a := m als f(m) > 0 b := m f(m) = 0 α = m klaar! Je hebt nu het interval gehalveerd Herhaal de procedure /k 11/18

12 Bisectiemethode: een voorbeeld De functie f(x) = x 2 3 heeft twee nulpunten: α = 3 en β = 3 We gaan α numeriek bepalen met bisectie (merk op: ) Merk op: f(0) = 3 < 0, f(2) = 1 > 0. Kies startinterval (0, 2) a b m f(m) /k 12/18

13 Methode van Newton Kies beginschatting x 0 Trek raaklijn aan de grafiek in (x 0, f(x 0 )) snijpunt met as: x 1 y y = f(x) α x 1 x 0 x Herhaal de procedure /k 13/18

14 Methode van Newton Kies beginschatting x 0 Trek raaklijn aan de grafiek in (x 0, f(x 0 )) snijpunt met as: x 1 Trek raaklijn aan de grafiek in (x 1, f(x 1 )) snijpunt met as: x 2 y y = f(x) α x 2 x 1 x 0 x Herhaal de procedure /k 14/18

15 Methode van Newton Raaklijn l, zeg y = ax + b, aan de grafiek in P = (x 0, f(x 0 )) y y = f(x) P α l x 1 x 0 x Je weet: l raakt aan de grafiek van f in P a = f (x 0 ) l gaat door het punt P f(x 0 ) = ax 0 + b Je vindt: y = ax + b met a = f (x 0 ) en b = f(x 0 ) f (x 0 )x 0 Snijpunt met x-as: x 1 = b a = f(x 0) f (x 0 )x 0 f (x 0 ) = x 0 f(x 0) f (x 0 ) /k 15/18

16 Methode van Newton: een voorbeeld De functie f(x) = x 2 3 heeft twee nulpunten: α = 3 en β = 3 We gaan α numeriek bepalen met Newton (merk op: ) Kies x 0 = 1. Bereken x i+1 = x i f(x i) f (x i ) i x i voor i = 0, 1, 2,... /k 16/18

17 Bisectie versus methode van Newton Bisectie: 1. werkt altijd (robuust) 2. langzaam Methode van Newton 1. werkt niet altijd 2. snel 3. gebruikt de afgeleide f (x) /k 17/18

18 Terug naar de schotelantenne Kies r = 31.3 mm en F = 100 mm Neem voor x m achtereenvolgens de waarden 0, 4, 8,..., 400 mm Bepaal steeds met de methode van Newton het nulpunt x p van f(x) = x x m Bereken y m via rx x2 + 4F 2 y m = x2 p 4F 2F x p (x m x p ) Maak een plaatje van de gevonden waarden voor x m en y m (zwarte lijn) /k 18/18