Utrecht, 11 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
|
|
|
- Stefan Sanders
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Utrecht, 11 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics sleij101/
2 Gerard Sleijpen Kamer 504, Freudenthal Gebouw Tel: Felix Beckebanze Emile Broeders Jan-Willem Buurlage sleij101/ > Lectures > Numerieke Wiskunde, Theoretisch deel Voor cursusmateriaal (matlab code), achtergrondmateriaal,
3 Samenvatting Een numeriek wiskundige is een wiskundige die algoritmes ontwerpt om problemen uit de wetenschap en techniek efficiënt, betrouwbaar en nauwkeurig numeriek op te lossen. Een numeriek wiskundige is een strateeg.
4 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
5 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
6 Numeriek en analytisch numeriek of getalsmatig maar ook grafisch, animaties
7 Numeriek en analytisch numeriek of getalsmatig maar ook grafisch, animaties
8 Numeriek en analytisch numeriek of getalsmatig maar ook grafisch, animaties Wiskundige argumenten bevatten gewoonlijk zowel numerieke als analytische aspecten. Voorbeeld. Schets de grafiek van f(x) = x2 1 x 2 2.
9 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
10 Algoritme Algoritme (rekenschema): Algoritme is een verbastering van al-khwarizmi, de naam van een Perzische astronoom en wiskundige uit de 9de eeuw. Voorbeeld. Bereken f in het punt x. Kies een h > 0. Bereken f(x+h) f(x) h Numeriek versus analytisch
11 Algoritme Algoritme (rekenschema): Algoritme is een verbastering van al-khwarizmi, de naam van een Perzische astronoom en wiskundige uit de 9de eeuw. Voorbeeld. Bereken f in het punt x. Kies een h > 0. Bereken f(x+h) f(x) h Numeriek versus analytisch.... f i x... j.
12 Algoritme Algoritme (rekenschema): Algoritme is een verbastering van al-khwarizmi, de naam van een Perzische astronoom en wiskundige uit de 9de eeuw. Voorbeeld. Bereken f in het punt x. Kies een h > 0. Bereken f(x+h) f(x) h Hoe groot moet h gekozen?
13 Algoritme Algoritme (rekenschema): Algoritme is een verbastering van al-khwarizmi, de naam van een Perzische astronoom en wiskundige uit de 9de eeuw. Voorbeeld. Bereken f in het punt x. Kies een h > 0. Bereken f(x+h) f(x) h Hoe groot moet h gekozen? Hoe nauwkeurig moet het antwoord?
14 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
15 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ)
16 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ) Getallenvoorbeeld. f(x) = x sin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisch: f (x) = sin(x) + x cos(x). Numeriek: D h f(x) = f(x+h) f(x) h. ( ) ( ) Gebruik ( ) ter controle nauwkeurigheid ( ).
17 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ) Getallenvoorbeeld. f(x) = x sin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisch: f (x) = sin(x) + x cos(x). Numeriek: D h f(x) = f(x+h) f(x) h. ( ) ( ) f (x) = 2 cos(x) x sin(x), f (ξ) 2, 1 2 hf (ξ) h.
18 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ) Getallenvoorbeeld. f(x) = x sin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisch: f (x) = sin(x) + x cos(x). Numeriek: D h f(x) = f(x+h) f(x) h. ( ) ( ) f (x) = 2 cos(x) x sin(x), f (ξ) 2, 1 2 hf (ξ) h. Met h=1.00e-003 is f (x)-df(x) = e-004
19 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ) Getallenvoorbeeld. f(x) = x sin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisch: f (x) = sin(x) + x cos(x). Numeriek: D h f(x) = f(x+h) f(x) h. ( ) ( ) f (x) = 2 cos(x) x sin(x), f (ξ) 2, 1 2 hf (ξ) h. Met h=1.00e-003 is f (x)-df(x) = e-004 Met h=1.00e-006 is f (x)-df(x) = e-007
20 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ) Getallenvoorbeeld. f(x) = x sin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisch: f (x) = sin(x) + x cos(x). Numeriek: D h f(x) = f(x+h) f(x) h. ( ) ( ) f (x) = 2 cos(x) x sin(x), f (ξ) 2, 1 2 hf (ξ) h. Met h=1.00e-003 is f (x)-df(x) = e-004 Met h=1.00e-006 is f (x)-df(x) = e-007 Met h=1.00e-009 is f (x)-df(x) = e-008
21 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ) Getallenvoorbeeld. f(x) = x sin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisch: f (x) = sin(x) + x cos(x). Numeriek: D h f(x) = f(x+h) f(x) h. ( ) ( ) f (x) = 2 cos(x) x sin(x), f (ξ) 2, 1 2 hf (ξ) h. Met h=1.00e-003 is f (x)-df(x) = e-004 Met h=1.00e-006 is f (x)-df(x) = e-007 Met h=1.00e-009 is f (x)-df(x) = e-008 Met h=1.00e-012 is f (x)-df(x) = e-005
22 Nauwkeurigheid fout ware waarde - verkregen waarde Voorbeeld. f (x) f(x+h) f(x) h voor zekere ξ tussen x en x + h = 1 2 hf (ξ) Getallenvoorbeeld. f(x) = x sin(x). Bereken f ( π 4 ). Analytisch: f (x) = sin(x) + x cos(x). Numeriek: D h f(x) = f(x+h) f(x) h. ( ) ( ) f (x) = 2 cos(x) x sin(x), f (ξ) 2, 1 2 hf (ξ) h. Met h=1.00e-003 is f (x)-df(x) = e-004 Met h=1.00e-006 is f (x)-df(x) = e-007 Met h=1.00e-009 is f (x)-df(x) = e-008 Met h=1.00e-012 is f (x)-df(x) = e-005 Met h=1.00e-015 is f (x)-df(x) = e-002
23 0.6 f (x) (f(x+h) f(x))/h h
24 10 0 f (x) (f(x+h) f(x))/h h
25 10 0 f (x) (f(x+h) f(x))/h 0.5*h*f (ξ) h
26 Graph of the function x.*sin(x) (blue) and of y=0 (black :).
27 x f and y are shifted by To avoid small axis limit range, x is shifted by i.e., x is plotted along the horizontal axis. x 10 9
28 x f and y are shifted by To avoid small axis limit range, x is shifted by x i.e., x is plotted along the horizontal axis.
29 1.5 x f and y are shifted by To avoid small axis limit range, x is shifted by x i.e., x is plotted along the horizontal axis.
30 Graph of the function pol8 (blue) and of y=0 (black :).
31 Graph of the function pol8 (blue) and of y=0 (black :).
32 x f and y are shifted by e To avoid small axis limit range, x is shifted by +7 i.e., x 7 is plotted along the horizontal axis. x 10 4
33 x f and y are shifted by e To avoid small axis limit range, x is shifted by +7 x 10 9 i.e., x 7 is plotted along the horizontal axis.
34 x f and y are shifted by e To avoid small axis limit range, x is shifted by +7 x i.e., x 7 is plotted along the horizontal axis.
35 x f and y are shifted by 1.829e To avoid small axis limit range, x is shifted by +7 x i.e., x 7 is plotted along the horizontal axis.
36 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten
37 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Voorbeeld. α, α exacte, resp., berekende grootheid, Zij f (x + h) de berekende functie waarde f(x + h). Dan f(x + h) f (x + h) ɛ zekere ɛ > 0. ɛ = in geval f(x) = x sin(x) ɛ in geval f 8ste graads polynoom
38 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Voorbeeld. α, α exacte, resp., berekende grootheid, Zij f (x + h) de berekende functie waarde f(x + h). Dan f(x + h) f (x + h) ɛ zekere ɛ > 0. ɛ = in geval f(x) = x sin(x) ɛ in geval f 8ste graads polynoom Opmerking. Bovengrens ɛ kan geschat worden. Verder geen structuur in de evaluatie-fout!
39 x f and y are shifted by 1.829e To avoid small axis limit range, x is shifted by +7 x i.e., x 7 is plotted along the horizontal axis.
40 10 0 f (x) (f(x+h) f(x))/h 0.5*h*f (ξ) h
41 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Voorbeeld. f(x + h) f (x + h) ɛ Evaluatiefout: D h f(x) Dh f(x+h) f(x) f(x) = h f (x+h) f (x) h
42 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Voorbeeld. f(x + h) f (x + h) ɛ Evaluatiefout: D h f(x) Dh f(x+h) f(x) f(x) = D h f(x) Dh f(x) 2ɛ h h f (x+h) f (x) h ɛ = , h = 10 12, dan evaluatie-fout
43 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Voorbeeld. f(x + h) f (x + h) ɛ Evaluatiefout: D h f(x) Dh f(x+h) f(x) f(x) = D h f(x) Dh f(x) 2ɛ h h f (x+h) f (x) h Opmerking. Schatting is scherp, d.w.z., = komt voor. We hebben geen praktische manier om een betere schatting te krijgen.
44 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Voorbeeld. f(x + h) f (x + h) ɛ Evaluatiefout: D h f(x) Dh f(x+h) f(x) f(x) = D h f(x) Dh f(x) 2ɛ h h f (x+h) f (x) h Opmerking. Voor h 0 geldt: evaluatie-fout Numeriek differentiëren is instabiel: kleine fouten kunnen een groot effect hebben
45 f (x) (f(x+h) f(x))/h 0.5*h*f (ξ) 2 eps f(x) /h h
46 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Fout = approximatiefout + evaluatie-fout f (x) D h f (x) = [f (x) D h f(x)] + [D h f(x) D h f(x)]
47 De computer rekent met een beperkt (16) aantal decimalen. Dit leidt tot afrondfouten. Conclusie. Fout heeft twee componenten: 1) Benaderingsfout, ook wel approximatiefout: fout door een wiskundige benaderingsformule te gebruiken 2) Evaluatiefout: het effect van afrondfouten Fout = approximatiefout + evaluatie-fout f (x) D h f (x) = [f (x) D h f(x)] + [D h f(x) D h f(x)] Approximatiefout heeft structuur = 1 2 hf (ξ) 1 2 hf (x) Evaluatiefout heeft schatbare bovengrens, 2ɛ h verder geen bruikbare structuur
48 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h?
49 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn.
50 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. Bepaal h = h best die h ɛ + c h minimaliseert
51 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. Bepaal h = h best die ɛ h 0 = ɛ h 2 best + c ɛ h best = c h best, + c h minimaliseert: h best = ɛ c, ɛ h + c h best = 2 ɛ c best
52 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. ɛ h best = c h best, h best = ɛ c, ɛ h best + c h best = 2 Hoe nauwkeurig moeten die schattingen zijn? ɛ c
53 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. ɛ h best = c h best, h best = ɛ c, ɛ h best + c h best = 2 Hoe nauwkeurig moeten die schattingen zijn? ɛ c Vaak voldoende als de fout in een of twee cijfers bekend is.
54 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. 2) Anders.
55 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
56 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout ch als h > h best Strategie: kies h 0 bereken D h 0 f(x), D 1 2 h 0 f(x) Als h 0 h best dan fout h0 fout 12 h 0 en fout 12 h 0 D 1 2 h 0 f(x) D h 0 f(x)
57 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout ch als h > h best Strategie: kies h 0 bereken D h 0 f(x), D 1 2 h 0 f(x) Als h 0 h best dan fout 12 h 0 D 1 2 h 0 f(x) D h 0 f(x)
58 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout ch als h > h best Strategie: kies h 0 bereken D h 0 f(x), D 1 2 h 0 f(x) Als h 0 h best dan fout 12 h 0 D 1 2 h 0 f(x) D h 0 f(x) Hoe weet je of h 0 h best?
59 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
60 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout ch als h > h best Strategie: kies h 0 bereken D h 0 f(x), D 1 2 h 0 f(x), D 1 4 h 0 f(x) Als h 0 h best, dan [D 1 4 h 0 f(x) D 1 2 h 0 f(x)] 1 2 [D 1 2 h 0 f(x) D h 0 f(x)]
61 f (x) D h f(x) c 1 2 f (x) Hoe kiezen we h? 1) Als schattingen voor ɛ en c = 1 2 f (x) beschikbaar zijn. 2) Anders. Uit grafiek leren we dat fout ch als h > h best Strategie: kies h 0 bereken D h 0 f(x), D 1 2 h 0 f(x), D 1 4 h 0 f(x) Als dan [D 1 4 h 0 f(x) D 1 2 h 0 f(x)] 1 2 [D 1 2 h 0 f(x) D h 0 f(x)], fout 12 h 0 D 1 2 h 0 f(x) D h 0 f(x) anders, kies grotere h 0 en probeer opnieuw.
62 Strategie op basis van wiskundig analytische resultaten, met beperkingen door effecten van afrondfouten Analytische conclusies zijn ongeldig als effecten van afrondfouten domineren
63 f (x) (f(x+h) f(x))/h 0.5*h*f (ξ) 2 eps f(x) /h h
64 f (x) (f(x+h) f(x h))/(2h) (h 2 /6)*f (ξ) 2 eps f(x) /h h
65 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
66 Samenvatting Een numeriek wiskundige is een wiskundige die algoritmes ontwerpt om problemen uit de wetenschap en techniek efficiënt, betrouwbaar en nauwkeurig numeriek op te lossen. Een numeriek wiskundige is een strateeg.
67 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
68 Pijlers (exacte) wetenschap Theorie Experimenten Computer simulaties Simulaties om te testen te ontwerpen beleid te ondersteunen theorie te ontwikkelen
69 Pijlers (exacte) wetenschap Theorie Experimenten Computer simulaties Simulaties om te testen te ontwerpen beleid te ondersteunen theorie te ontwikkelen Lab. experiment Lokaal inzicht Theorie beschrijft lokale samenhang Wiskunde & Simulatie Globale inzichten (voorheen: Wiskunde & exp. met schaalmodellen)
70
71
72 Zeker aspect van de werkelijkheid Oceanografie Wiskundig model (PDE) Discretizeer Gediscretizeerd model Computer model Computer Science Simulatie
73 Simulaties Simulaties in geval experimenten te duur zijn ongewenst zijn onmogelijk zijn Simulaties zijn aantrekkelijk door snelle computers computers met veel geheugenruimte goedkope computers snellere, betrouwbaardere en robustere algoritmes
74 Globale oceaan circulatie Oceanografie, Mathematische Analyse fv = g h x ru + A 2 u + F 1 (NS)... u x + y v = 0 Eindige differences eindige elementen eindige volumes, u(x+ x) u(x x) 2 x +... Numerieke Wiskunde Ax = b Linearizeer Numerieke Lineaire Algebra Computer Science Simulatie
75 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
76 Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,...
77 Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,... Problemen met analytische oplossing: oplossing is onoverzichtelijk is moeilijk te verkrijgen alleen voor model situaties vereenvoudigt niet noodzakelijk het rekenwerk
78 Waarom numeriek? Numerieke oplossing gewenst voor testen, ontwerp, beleid, onderzoek,... Problemen met analytische oplossing: oplossing is onoverzichtelijk is moeilijk te verkrijgen alleen voor model situaties vereenvoudigt niet noodzakelijk het rekenwerk Meeste problemen zijn niet analytisch oplosbaar vb. t e s2 ds
79 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model)
80 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen
81 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte
82 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte Structuur oplossing
83 Waarom analyse? Theorie levert globale uitspraken: Existentie oplossing (correctheid model) Aantal oplossingen Structuur oplossingsruimte Structuur oplossing Stabiliteit oplossing
84 Veel software is beschikbaar. Kan ik niet altijd een standaard routine gebruiken? Voor ieder wiskundig probleem zijn er diverse algoritmes. Er is geen best algoritme. Wat het beste is hangt af van de aard van het wiskundig probleem parameters in het probleem de gewenste nauwkeurigheid beschikbare computers Op welke zaken je moet letten? Je moet de kwaliteit van de numerieke resulaten kunnen beoordelen. Moderne beroepspraktijk voor een wiskundige is teamwerk.
85 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
86 Aan het eind van de cursus ben je vertrouwd met de principes van numerieke wiskunde
87 Aan het eind van de cursus ben je vertrouwd met de principes van numerieke wiskunde kan je de kwaliteit van numerieke resultaten beoordelen
88 Aan het eind van de cursus ben je vertrouwd met de principes van numerieke wiskunde kan je de kwaliteit van numerieke resultaten beoordelen heb je een kritische houding t.a.v. numerieke resultaten
89 Aan het eind van de cursus ben je vertrouwd met de principes van numerieke wiskunde kan je de kwaliteit van numerieke resultaten beoordelen heb je een kritische houding t.a.v. numerieke resultaten kan je efficiënte en betrouwbare algoritmes ontwerpen voor eenvoudige problemen
90 Aan het eind van de cursus ben je vertrouwd met de principes van numerieke wiskunde kan je de kwaliteit van numerieke resultaten beoordelen heb je een kritische houding t.a.v. numerieke resultaten kan je efficiënte en betrouwbare algoritmes ontwerpen voor eenvoudige problemen kan je je algoritmes met wiskundige argumenten verdedigen
91 Aan het eind van de cursus ben je vertrouwd met de principes van numerieke wiskunde kan je de kwaliteit van numerieke resultaten beoordelen heb je een kritische houding t.a.v. numerieke resultaten kan je efficiënte en betrouwbare algoritmes ontwerpen voor eenvoudige problemen kan je je algoritmes met wiskundige argumenten verdedigen voel je comfortabel bij numerieke wiskunde colleges over moeilijkere problemen
92 Inhoud f : [a, b] R f, b a f(t) dt, f (t) = F (t, f(t)), los op f(α) = 0 f bekend in t 0, t 1, t 2,...: bereken f(t) voor andere t fouten, evaluatie fouten. Waarom 1-d? Inzichtelijker, om principes num. wisk. te begrijpen meer dim. generaliseren 1-d
93 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
94 Waarom theoretisch? Moet leren algoritmes ontwerpen en analyseren
95 Waarom theoretisch? Moet leren algoritmes ontwerpen en analyseren Moet leren numerieke resulaten te analyseren en interpreten
96 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden
97 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden
98 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden
99 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt
100 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw theoretisch inzicht
101 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw theoretisch inzicht Experimentele inzichten staan grote stappen in de ontwikkelingen toe
102 Waarom praktisch? Schattingen bevatten onberekenbare grootheden Stellingen gaan uit van modelvoorwaarden Theorie is vaak (nog) niet voorhanden Theorie gebaseerd op n aspect dat dominant verondersteld wordt Experimenten leiden tot nieuw theoretisch inzicht Experimentele inzichten staan grote stappen in de ontwikkelingen toe Heuristiek speelt vaak een grote rol Heuristiek is gebaseerd op theoretisch inzicht gesteund door experimentele resultaten
103 Programma Numeriek Algoritme Nauwkeurig Strateeg Betrouwbaar Efficiënt Problemen uit wetenschap en techniek Waarom Numerieke Wiskunde Doel van de Cursus Theoretisch deel, praktisch deel Organisatie
104 Voorkennis Elementaire Calculus (Infi): f, b a f(t) dt voor f : [a, b] R lim..., h 0 n=0... continu, differentieerbaar differentiaalvergelijkingen: f (t) = λf(t) +...
105 Voorkennis Elementaire Calculus (Infi): f, b a f(t) dt voor f : [a, b] R lim..., h 0 n=0... continu, differentieerbaar differentiaalvergelijkingen: f (t) = λf(t) +... Taylorreeks. f voldoende glad in de buurt van x: f(x + h) = f(x) + hf (x) + h2 2! f (x) hk k! f (k) (x) + rest met Rest = hk+1 (k+1)! f (k+1) (ξ) zekere ξ tussen x en x + h.
106 Voorkennis Elementaire Calculus (Infi): f, b a f(t) dt voor f : [a, b] R lim..., h 0 n=0... continu, differentieerbaar differentiaalvergelijkingen: f (t) = λf(t) +... Taylorreeks. f voldoende glad in de buurt van x: f(x + h) = f(x) + hf (x) + h2 2! f (x) hk k! f (k) (x) + rest met Rest = hk+1 (k+1)! f (k+1) (ξ) zekere ξ tussen x en x + h. Doorlopendheidsst. f continu op [a, b], f(a) f(b) < 0. Dan f(ξ) = 0 zekere ξ (a, b). Stelling van Rolle. f diff.baar op [a, b]. Dan f (ξ) = f(b) f(a) b a zekere ξ (a, b).
Numerieke Wiskunde. sleij101/ Samenvatting. Programma. Gerard Sleijpen
Utrect, 11 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, Freudental Gebouw Tel: 030-2531732 G.L.G.Sleijpen@uu.nl Felix Beckebanze Emile Broeders Jan-Willem Buurlage ttp://www.staff.science.uu.nl/
Praktische. Pijlers (exacte) wetenschap. Programma. Wiskunde, Utrecht Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel:
Praktische Wiskunde, Utrecht Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: 030-2531732 sleijpen@math.uu.nl http://www.math.uu.nl/people/sleijpen >Lectures>Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul
Praktische Numerieke Wiskunde
Wiskunde, Utrecht Praktische Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Paul Zegeling Department of Mathematics http://www.math.uu.nl/people/sleijpen Gerard Sleijpen Kamer 504, WG Tel: 030-2531732 sleijpen@math.uu.nl
Modellen en Simulatie
Utrecht, 22 april 2013 Modellen en Simulatie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Gerard Sleijpen Kamer 504, FG (voorheen WG) Tel: 030-2531732 G.L.G.Sleijpen@uu.nl
Utrecht, 25 november Numerieke Wiskunde. Gerard Sleijpen Department of Mathematics.
Utrecht, 25 november 2014 Numerieke Wiskunde Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ [a, b] R, : [a, b] R Benader f door eenvoudige functies Voorbeelden eenvoudige
Scientific Computing
WISB356, Utrecht, 10 september 2012 Scientific Computing Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Docenten Gerard Sleijpen WG
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen
Oefenopgaven wi3097: Numerieke methoden voor differentiaalvergelijkingen 1 Introductie Taylor polynoom, floating point getal, afrondfout Orde symbool Landau 1. Laat f(x) = x 3. Bepaal het tweede orde Taylor
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:
Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)
Modellen en Simulatie Populatiegroei
Utrecht, 26 april 213 Modellen en Simulatie Populatiegroei Program Populatie groei van één soort, recursies Evenwichtspunten Periodieke banen Bifurcatie Chaos Catastrofe Gerard Sleijpen Department of Mathematics
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 25 oktober 2007, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
maplev 2010/7/12 14:02 page 157 #159 Taylor-ontwikkelingen
maplev 200/7/2 4:02 page 57 #59 Module 2 Taylor-ontwikkelingen Onderwerp Voorkennis Expressies Zie ook Taylor-ontwikkelingen van functies van éń of meer variabelen. Taylor-ontwikkelingen. taylor, convert(expressie,polynom),
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I
Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 2013,
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus 1 NWI-NP003B 4 januari 013, 8.30 11.30 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.
Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 191512600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/43 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Maxima en minima Gegeven een functie f met domein
Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:
Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Modellen en Simulatie Recursies
Utrecht, 3 mei 3 Modellen en Simulatie Recursies Program Management voorbeeld (affien) Economisch voorbeeld (affien) Rupsen-wespen (niet lineair) Niet-lineaire modellen, evenwicht, stabiliteit Gerard Sleijpen
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING. Docent: Karel in t Hout. Studiepunten: 3
NUMERIEKE METHODEN VOOR DE VAN DER POL VERGELIJKING Docent: Karel in t Hout Studiepunten: 3 Over deze opgave dien je een verslag te schrijven waarin de antwoorden op alle vragen zijn verwerkt. Richtlijnen
1. (a) Gegeven z = 2 2i, w = 1 i 3. Bereken z w. (b) Bepaal alle complexe getallen z die voldoen aan z 3 8i = 0.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NP003B 4 november 04,.30 5.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en
Wetenschappelijk Rekenen
Wetenschappelijk Rekenen Examen - Derde bachelor informatica Oefeningen 0 mei 0. Gegeven is het beginwaardeprobleem y y 0, 04y + 0000y y y (0) = y = 0, 04y 0000y y 0 7 y y, y (0) = 0 0 7 y y (0) 0 Los
Tentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 28 januari 2014,
Tentamen Numerieke Wiskunde dinsdag, 8 januari 04, 3.30 6.30. Zet op ieder vel dat je inlevert je naam en op et eerste vel bovendien nog je studentnummer.. Je mag et dictaat gebruiken, de uitwerkingen
4051CALC1Y Calculus 1
4051CALC1Y Calculus 1 College 16 13 oktober 2014 1 Programma Vanmorgen Linearisering (4.2) Taylorpolynomen (10.4) Vanmiddag Fout Taylorpolynomen (10.4) 2 Toenamen Δx en Δy f(x + Δx) y = f(x) Δy = f x +
WISB134. Modellen & Simulatie. Lecture 0 - Introductie & Voorkennis
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 0 - Introductie & Voorkennis Praktijk Wiskundige Wat doet een wiskundige na de studie? Stellingen bewijzen? Boekhouden? Sudoku s oplossen? U.S. Bureau of Labor Statistics:
Examenvragen Wiskundige Analyse I, 1ste examenperiode
Examenvragen Wiskundige Analyse I, ste examenperiode 24-25 Vraag (op 6pt) Vraag.. Waar of vals (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee LOF oplossingen y en y 2 van de differentiaalvergelijking cosh(x)y
Opdrachten numerieke methoden, week 1
Opdrachten numerieke methoden, week Opdracht : De potentiaal in een diode. [Bewijs dat ψ = u T arcsinh D 2n i ) ] ) ) D = n p = n i e ψ u T e ψ u ψ T = 2n i sinh u T ) D ψ = u T arcsinh 2n i.2 [Conditiegetal
college 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Relatieve fout, maximum relatieve fout, absolute fout en maximum absolute fout. γ < ε X X X. = γ X
2 oct 95 Inhoud foutenanalyse interpolatie, approximatie, splines FFT numerieke integratie numerieke lineaire algebra (niet te vinden in de cursus, wel kopiekes bij ig) Stelsels niet lineaire vergelijkingen
maplev 2010/9/8 17:01 page 349 #351
maplev 00/9/8 7:0 page 49 5 Module Stabiliteit van evenwichten Onderwerp Voorkennis Expressies Bibliotheken Zie ook Stabiliteit van evenwichten van gewone differentiaalvergelijkingen. Gewone differentiaalvergelijkingen
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde N460 op donderdag 4 juni 010, 14.00-17.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Naam: Studierichting: Naam assistent:
Naam: Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 4 november
V.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18
Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur
Toets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017, 13:30 16:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer)
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op maandag 4 januari 2, 8.45.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Tentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Schotelantennes. Maak ze met wiskunde! /k 1/18. metaal x m. mal. gips. y = x 2 /(4F) y m. y p. x p
Schotelantennes Maak ze met wiskunde! y y = x 2 /(4F) y m mal y p metaal x m x p x gips /k 1/18 Stukje van een groter geheel Als je een probleem uit de praktijk beschrijft met wiskundige vergelijkingen,
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
(2) Bepaal de absolute waarde van (1 + i) 10 + ( x x 1 = 1. (4) Bepaal lim
Tentamen Calculus I, 4 februari 009, 9:00 :00. Schrijf op elk in te leveren blad je naam, en op het eerste blad het aantal ingeleverde bladen. Alle (negen) opgaven tellen even zwaar. Het gebruik van boek(en),
Numerieke Analyse. Prof. Dr. Guido Vanden Berghe
Numerieke Analyse Prof. Dr. Guido Vanden Berghe Chapter 7 Numeriek berekenen van afgeleiden Doelstelling De topics behandeld in dit hoofdstuk zullen vooral van belang zijn voor de paragrafen over randwaarde
(Assistenten zijn Sofie Burggraeve, Bart Jacobs, Annelies Jaspers, Nele Lejon, Daan Michiels, Michael Moreels, Berdien Peeters en Pieter Segaert).
Tussentijdse Toets Wiskunde I 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, donderdag 17 november 011, 8:30 10:00 uur
Paragraaf 11.0 : Voorkennis
Hoofdstuk 11 Verbanden en functies (H5 Wis B) Pagina 1 van 15 Paragraaf 11.0 : Voorkennis Les 1 : Stelsels, formules en afgeleide Los op. 3x + 5y = 7 a. { 2x + y = 0 2x + 5y = 38 b. { x = y + 5 a. 3x +
Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 2 november 2016; 13:30-15:30 uur
Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 2 november 2016; 13:30-15:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer:
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 11 november 2016; uur
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 11 november 2016; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een niet-grafische rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden.
WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 5 - Scalaire recursies (deel 2)
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 5 - Scalaire recursies (deel 2) Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke methoden Oplossingen
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; uur
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 7 november 2014; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk
G Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie. K Geologie, Informatica, Schakelprogramma s
Tussentijdse Toets Wiskunde I ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie, Informatica, Schakelprogramma Master Toegepaste Informatica, Master Chemie donderdag 3 november 06, :00-3:00
Afdeling Kwantitatieve Economie
Afdeling Kwantitatieve Economie Wiskunde AEO V Uitwerking tentamen 1 november 2005 1. De tekenschema s in opgave 1a 1e zijn de voortekens van vermenigvuldigers en de laatste leidende hoofdminoren in een
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op donderdag 23 oktober 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Opgave a. We berekenen eerst een normaal v van V en een normaal w van W. v = (b a) (c a) = ((2)(1) ( 2)( 2), ( 2)( 1) ( 1)(1), ( 1)( 2) (2)( 1))
Calculus 3. Uitwerking opgav 1 april. Opgave a. We berek eerst e normaal v van V e normaal w van W. Dus b a = 2, 4, 1 3, 2, 1 = 1, 2, 2, c a = 2,, 2 3, 2, 1 = 1, 2, 1, v = b a c a = 21 2 2, 2 1 11, 1 2
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op donderdag 2 oktober 200, 3.45 6.45 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Zelftest wiskunde voor Wiskunde, Fysica en Sterrenkunde
In onderstaande zelftest zijn de vragen gebundeld die als voorbeeldvragen zijn opgenomen in de bijhorende overzichten van de verwachte voorkennis wiskunde. Naast de vragen over strikt noodzakelijke voorkennis,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
8. Differentiaal- en integraalrekening
Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,
Modellen en Simulatie Stelsels Dvg
Utrecht, juni 3 Modellen en Simulatie Stelsels Dvg Continu versus discreet: Lineaire modellen Continu model. x (t) = Ax(t). Als geen eigenwaarde van A: opl. x(t) in evenwicht x(t) = alle t stabiel evenwicht
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK
Tuyaux 3de Bachelor Wiskunde WINAK Eerste Semester 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Maattheorie 3 2.1 Theorie....................................... 3 2.2 Oefeningen.....................................
Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd?
Hoe belangrijk is lineaire algebra voor akoestiek en omgekeerd? 9 februari 2007 Overzicht 1 Situering 2 Numerieke simulatie 3 Gedempt massa-veersysteem 4 Numerieke simulaties voor trillingen 5 Versnellingstechnieken
Samenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
1 Continuïteit en differentieerbaarheid.
1 1 Continuïteit en differentieerbaarheid. In dit hoofdstuk bekijken we continuiteit en differentieerbaarheid voor functies van meerdere variabelen. Ter orientatie repeteren we eerst hoe het zat met functies
Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar ste semester 12 januari 2010
ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 9- ste semester januari Analyse I. Formuleer en bewijs de formule van Leibniz voor de n-de afgeleide van het product van twee functies f en g.. Onderstel
Beeldverwerking. Scientific Computing. sleij101/ Program. WISB356, Utrecht, najaar WISB356, Utrecht, najaar 2010
WISB36, Utrecht, najaar Scientific Computing WISB36, Utrecht, najaar Beeldverwerking Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics Gerard Sleijpen Rob Bisseling Department of Mathematics http://wwwstaffscienceuunl/
Oefeningen Numerieke Wiskunde
Oefeningen Numerieke Wiskunde Oefenzitting 2: Foutenanalyse, Conditie en Stabiliteit Vereiste voorkennis Foutenanalyse van de som De begrippen conditie en stabiliteit 1 Oefeningen 1.1 Foutenanalyse van
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen
Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen Numerieke Methoden voor Differentiaalvergelijkingen C. Vuik P. van Beek F. Vermolen J. van Kan VSSD iv VSSD Eerste druk 2006 Uitgegeven door: VSSD Leeghwaterstraat
Iterative methoden voor lineaire vergelijkingen. Scientific Computing. sleij101/ Program
WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Scientific Computing WISB356, Utrecht, 2 otober 2012 Iterative methoden voor lineaire vergelijingen Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics
Inhoud college 4 Basiswiskunde. 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie
Inhoud college 4 Basiswiskunde 2.6 Hogere afgeleiden 2.8 Middelwaardestelling 2.9 Impliciet differentiëren 4.9 Linearisatie 2 Basiswiskunde_College_4.nb 2.6 Hogere afgeleiden De afgeleide f beschrijft
15.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren: (somregel) (productregel) (quotiëntregel) n( x) ( n( x))
5.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( x) a f '( x) 0 n f ( x) ax f '( x) nax n f ( x) c g( x) f '( x) c g'( x) f ( x) g( x) h( x) f '( x) g'( x) h'( x) p( x) f ( x) g( x) p'( x)
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Experimenten. Bepaling van de snelheidsconstanten. In dit intermezzo wordt de kriskrassimulatie verder kwantitatief onderzocht.
Experimenten Bepaling van de snelheidsconstanten In dit intermezzo wordt de kriskrassimulatie verder kwantitatief onderzocht. De samenstelling van de evenwichtstoestand fluctueert nogal hebben we gezien
11.0 Voorkennis. Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + 4a 3 = 7a 3. Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen: (a 5 ) 4 = a 20
.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor machten: Vermenigvuldigen is exponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige termen: 3a 3 + a 3 = 7a 3 Bij macht van een macht exponenten vermenigvuldigen:
Eindtoets: Numerieke Analyse van Continua
Eindtoets: Numerieke Analyse van Continua Donderdag 3 November: 9.00-12.00 u Code: 8MC00, BMT 3.1 Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit is een open boek examen. Het gebruik van
WISB134 Modellen & Simulatie. Lecture 8 - Niet-lineaire recursies in meerdere dimensies
WISB134 Modellen & Simulatie Lecture 8 - Niet-lineaire recursies in meerdere dimensies Overzicht van ModSim Meeste aandacht (t/m 1 apr.) Basisbegrippen dynamische modellen Definities recursies, DVs, numerieke
Modellen en Simulatie Simulated Annealing
Utrecht, 14 juni 2012 Modellen en Simulatie Simulated Annealing Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ In deze les een toepassing van Markov ketens: p n+1 =
Eindexamen havo wiskunde B pilot I
Vliegende parkieten De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden. Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie
Tentamen Calculus 2 25 januari 2010, 9:00-12:00 uur
Tentamen Calculus 5 januari 00, 9:00 -:00 uur Je mag geen rekenapparaat gebruiken. De opgaven t.e.m. 6 tellen allemaal even zwaar. Vermeld op elk papier dat je inlevert je naam en je studentnummer. Geef
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus C (2WCB1) op zaterdag 25 januari 2014, 9:00 12:00 uur
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus C (WCB) op zaterdag 5 januari 04, 9:00 :00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen. Vul uw naam etc. in op
Algebraïsche meetkunde. Jaap Top
Algebraïsche meetkunde Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 maart 2014 (DESDA symposium, Nijmegen) 1 Een definitie (wikipedia): 2 Vandaag drie voorbeelden van toepassingen. 3 Voorbeeld 1: (meetkunde
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen van Calculus voor het schakelprogramma van B (XB03) op woensdag 0 april 03, 9:00-:00 uur De uitwerkingen van de opgaven
De wiskunde van computerberekeningen. Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam.
De wiskunde van computerberekeningen Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam 04 november 2015 Pluto en Charon New Horizons, launch date 19 January, 2006, speed
Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)
Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B
Numerieke methoden voor stelsels gewone differentiaalvergelijkingen. Prof. Dr. Marnix Van Daele
Numerieke methoden voor stelsels gewone differentiaalvergelijkingen Prof. Dr. Marnix Van Daele Deel I Beginwaardeproblemen of IVPs 1 Hoofdstuk 2 Introductie tot numerieke methoden voor IVPs 2.1 Nomenclatuur
Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentamen Numerieke Wiskunde (WISB51) Maak één opgave per vel en schrijf op ieder vel duidelijk je naam en studentnummer. Laat duidelijk zien hoe je aan de antwoorden komt. Onderstaande formules mag je
Waarmaken van Leibniz s droom
Waarmaken van Leibniz s droom Artificiële intelligentie Communicatie & internet Operating system Economie Computatietheorie & Software Efficiënt productieproces Hardware architectuur Electronica: relais
Computerized Tomography: The ART of inspection
Utrecht, caleidoscoop, 24 april, 212 Computerized Tomography: The ART of inspection Program Wat is tomografie? Zuiver wiskundige aanpak Praktische aanpak Praktische complicaties Gerard Sleijpen Department
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003
Tweede Programmeeropgave Numerieke Wiskunde 1 De golfplaat Uiterste inleverdatum : vrijdag 16 mei 2003 I Doelstelling en testcase In deze programmeeropgave zullen we een drietal numerieke integratiemethoden
Numerieke Wiskunde M. de Jeu Mathematisch Instituut Universiteit Leiden
Numerieke Wiskunde 1 23-24 M. de Jeu Mathematisch Instituut Universiteit Leiden 21 januari 24 ii Voorwoord Dit dictaat bevat de in het collegejaar 22-23 bij het college Numerieke Wiskunde 1 behandelde
Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Scientific Computing
WISB356, Utrecht, 18 september 2012 Scientific Computing Gerard Sleijpen Rob Bisseling Alessandro Sbrizzi Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Aspect werkelijkheid Stroming
Modellen en Simulatie Lineare Programmering
Utrecht, 13 juni 2013 Modellen en Simulatie Lineare Programmering Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Lineaire programmering Voorbeelden
Student number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten.
Naam (voornaam, achternaam): Student number: Zet je naam op alle bladzijdes (liefst nu!) voor het geval ze loslaten. Zet je antwoorden op dit examenpapier, direct na de vraag is ruimte daaarvoor. Gebruik
Hertentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Do 5 jan :30 16:30
Hertentamen WISN0 Wiskundige Technieken Do 5 jan 207 3:30 6:30 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke
tentamen Analyse (deel 3) wi TH 21 juni 2006, uur
Technische Universiteit Delft Technische Wiskunde Faculteit lektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, 68 CD DLFT tentamen Analyse (deel 3) wi 54 TH juni 6, 4. 7. uur Deelname aan dit tentamen
ax + 2 dx con- vergent? n ln(n) ln(ln(n)), n=3 (d) y(x) = e 1 2 x2 e 1 2 t2 +t dt + 2
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Calculus NWI-NPB 8 januari 3, 8.3.3 Het gebruik van een rekenmachine, telefoon en boek(en) is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden. Maak uw redenering
Functies van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /46 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Kunnen we elke integraal oplossen? Z e x x dx Z e x2 dx