Rijen in het dagelijks leven Handleiding leerkracht

Transcriptie

1 Rijen in het dagelijks leven Handleiding leerkracht Aantal lestijden: ± 5 Graad: 2 e Jaar: 2 e Gelinkte vakken: Wiskunde, fysica, biologie, aardrijkskunde, ICT, geschiedenis, godsdienst, L.O. 1 Korte inhoud De werkbundel gaat over waar rijen concreet voorkomen in het dagelijks leven. De rij van Fibonacci bijvoorbeeld komt heel veel voor in de natuur. Dit bekijken we uitvoerig. Eerst is er een kort maar bondig stukje theorie. Dat is ook het meest wiskundige aspect van de werkbundel. De leerkracht kan hiermee de leerstof herhalen en inoefenen, daarna kunnen de leerlingen er steeds naar teruggrijpen. Daarna is er een volledig hoofdstuk gewijd aan rijen in de natuur. Dit hoofdstuk illustreert verschillende situaties uit het dagelijks leven waar rijen van toepassing zijn. Er zijn niet alleen voorbeelden van rijen bij dieren en planten, maar ook bij delen van het menselijk lichaam zijn er rijen terug te vinden. Vervolgens komen rijen aan bod in de poëzie. De leerlingen lezen een Fibonacci-gedicht en schrijven er zelf een. Ook het economische aspect in verband met rijen wordt benaderd aan de hand van twee vraagstukken over intrest en de jaarlijkse groei van een salaris. De werkbundel sluit af met een korte kennismaking met fractalen. 2 Voorkennis van de leerlingen De leerlingen hebben al de theorie rond rijen gezien in de lessen wiskunde. Daar kwamen de volgen items aan bod: begrip rij, voorschrift (expliciet en recursief), soorten rijen (rekenkundig en meetkundig), formule voor de algemene term, som van de eerste n termen. De leerlingen hebben de theorie al toegepast in oefeningen. De rij van Fibonacci is nieuwe leerstof en kan in de lessen wiskunde weggelaten worden, want dit komt in de bundel heel uitgebreid aan bod. Overleg dus zeker met de leerkracht wiskunde hierover. De leerlingen weten verder al alles over de bij, namelijk: de sociale staat, de taakverdeling, koningin/werkster/dar 1

2 3 Wenken voor de leerkracht Hoofdstuk 1: Herhaling rijen Dit is herhaling van leerstof uit wiskunde. Een mogelijke manier om dit hoofdstuk aan te pakken is via begeleid zelfstandig leren. De leerlingen kunnen steeds teruggrijpen naar de theorie indien ze dit vergeten zouden zijn. Hoofdstuk 2: Rijen in de natuur Voortplanting diersoorten Het is belangrijk om lang genoeg stil te staan bij de duiding van het voortplantingsschema van de konijnen. Op basis van dit voorbeeld wordt de rij van Fibonacci geïntroduceerd. Merk op dat het verhaal rond de konijnen slechts theoretisch is en nooit zo in de natuur zal voorkomen. De leden van de bijenkolonie is herhaling van leerstof uit biologie, maar ze kunnen hun antwoord ook zoeken via tablets, computers of via een encyclopedie. Het is belangrijk dat ze nadenken over de zoekstrategie om tot het antwoord te komen. De leerlingen leggen de stamboom van één dar met de kaartjes. Vrouwelijke werksters leggen geen eitjes, enkel de koningin legt eitjes. Uit die eitjes komen: - vrouwelijke werksters (als de eicel bevrucht werd) - enkele koninginnen (als de eicel bevrucht werd) - mannelijke darren (als de eicel NIET bevrucht werd). Merk op dat er geen werksters voorkomen in de stamboom, omdat zij geen eitjes leggen en dus geen moeder kunnen zijn. De kaartjes vind je in bijlage, waartussen wel werksters zitten. De leerlingen leggen eventueel per twee de kaartjes. Daarna tekenen ze de stamboom over in het kader. Bij opdracht i bedoelt men met totaal aantal bijen het totaal aantal darren en koninginnen, aangezien de werksters geen eitjes kunnen leggen en het om de stamboom van een dar gaat. Binnen de familie van de dar zullen wel werksters zijn, maar we tellen enkel de ouders, grootouders, overgrootouders van de dar. Merk op dat het vraagstuk over bladluizen geen toepassing is van de rij van Fibonacci, maar een voorbeeld is van een meetkundige rij. Ordening van plantstructuren De leerlingen krijgen een schematische voorstelling van de zonnebloempitten. Ze tekenen de spiralen met kleurpotloden op de schematische voorstelling van de zonnebloem in drie richtingen en tellen daarna hoeveel spiralen er in elke richting zijn. In het midden van de bloem zullen de lijnen niet mooi het spiraalpatroon volgen. Bij Gele kamille staan de spiralen er al en moeten de leerlingen alleen maar tellen. Als de oefening met de zonnebloem moeilijk verloopt, kunnen de leerlingen eerst deze oefening oplossen. Voor de dennenappel gaan de leerlingen op echte dennenappels tellen hoeveel spiralen er zijn. Daarbij moet de leerkracht (of de leerlingen in kader van techniek) dennenappels beschilderen in spiralen. In bijlage lees je hoe je zelf dennenappels kan beschilderen. 2

3 Bij de ananas beplakken de leerlingen de spiralen met gekleurde tape (Vb.: washi tape) en tellen ze ook de spiralen. De leerkracht ondersteunt hierbij. De leerlingen noteren het aantal spiralen in de tabel en schrijven er ook bij met welk element uit de rij van Fibonacci dit overeen komt. Lengtes in het menselijk lichaam De leerlingen meten de afstanden van hun handsbeentjes en verklaren zo hoe het mogelijk is om hun hand tot een vuist te ballen. Fibonaccispiraal Andere voorbeelden waar de Fibonaccispiraal in voorkomt zijn: een oorschelp, een zeegolf, papierformaten Daarna construeren de leerlingen nog twee extra vierkanten voor de Fibonaccispiraal. Hoofdstuk 3: Rijen in poëzie In dit hoofdstuk leren de leerlingen een Fibonacci-gedicht kennen en verklaren waarom dat zo is. Daarna schrijven ze zelf een Fibonacci-gedicht over een zelfgekozen thema. Hoofdstuk 4: Rijen in economie Via twee korte vraagstukken zien de leerlingen dat rijen ook voorkomen in economie. Hoofdstuk 5: Fractalen Het blad van een varen is alles wat je boven de grond ziet. Onderaan het blad zie je niet de stengel, maar de bladsteel. Meestal staan de bladeren van een varen in een rozet en zijn ze meervoudig geveerd. Dat betekent dat de bladeren heel diep zijn ingesneden op verschillende niveaus of ordes. In de figuur hiernaast wordt dit verduidelijkt aan de hand van een drievoudig geveerd blad. Varens groeien op een vochtige bodem. Merk op dat de omtrek van de figuur bepaald wordt door het vermenigvuldigen van het aantal zijden per stap en de lengte van één zijde per stap. De leerlingen zoeken informatie over de andere fractalen op het internet. Dit is een ICT-oefening en kan gebeuren via computers of Ipads. De leerlingen kiezen één fractaal uit en visualiseren deze fractaal in een poster. 3

4 4 Leerplandoelen Wiskunde (2002/047) G68: Van een gegeven rij vaststellen of het een rekenkundige of meetkundige rij is. G69: Bij een rekenkundige of meetkundige rij de formule voor de algemene term afleiden. G71: Vraagstukken oplossen in verband met rekenkundige of meetkundige rijen. - jaarlijkse groei met enkelvoudige intrest - jaarlijkse groei bij samengestelde intrest - groei van een salaris met constante jaarlijkse toename Biologie (2012/004) B21: Bij de mens enkele bewegingsstructuren beschrijven en op een model en beeldmateriaal enkele voorbeelden van beenderen en gewrichten aanduiden en benoemen. - handbeentjes B48: Gradaties van sociale interacties en sociaal gedrag binnen een groep vergelijken. 5 Ingevulde werkbundel Zie bijlage. 4

5 6 Materiaal Kaartjes bijenkolonie stamboom koningin koningin koningin werkster werkster werkster dar dar dar 5

6 koningin koningin koningin koningin koningin koningin koningin koningin koningin 6

7 dar dar dar dar dar dar dar dar dar 7

8 Schematische voorstelling zonnebloem 8

9 Dennenappels schilderen Materiaal - dennenappels (grootte en soort maakt niet uit) - fijne penselen - plakkaatverf of acrylverf Handelingen - Neem een dennenappel ondersteboven vast. - Schilder één schub dicht bij de steel in een leuk kleurtje. - Kies nu welke spiraal je zal schilderen. - Schilder deze spiraal in dezelfde kleur als de eerste schub. - Verf de schub dicht bij de steel naast de reeds geschilderde spiraal in een ander kleur. - Geef de volledige spiraal dezelfde kleur. - Ga zo verder tot alle spiralen geschilderd zijn. (Merk op: onderaan de dennenappel lopen de spiralen wat door elkaar. Schilder hier dus niets om verwarring te vermijden.) Resultaat Je verkrijgt nu 5, 8 of 13 spiralen. Dit aantal spiralen komen respectievelijk overeen met de termen t 5, t 6 en t 7 van de rij van Fibonacci. 9