Inhoudstafel. Algebra. Meetkunde. Symbolen...0

Transcriptie

1 Formul arium

2 Inhoudstafel Symolen... Algera Verzamelingen...1 Eigenschappen van ewerkingen... Bewerkingen met getallen...3 Breuken...5 Evenredigheden...6 Machten...7 Eigenschappen van machten...8 Merkwaardige producten...9 n-de wortels van een reëel getal...1 Eigenschappen van vierkantswortels (van een product en quotiënt)...1 Vergelijkingen van de eerste graad in één onekende...11 Ongelijkheden van de eerste graad met één onekende Vergelijkingen van de tweede graad met één onekende: vierkantsvergelijkingen Vergelijkingen van een graad hoger dan twee met één onekende Vergelijkingen van de eerste graad met twee onekenden Eigenschappen die kunnen geruikt worden ij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden (een product gelijk of verschillend aan nul) Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onekenden Veeltermen in één onepaalde...1 Bewerkingen met veeltermen...13 Veeltermen ontinden in factoren...14 Kenmerken van deelaarheid...15 Opzoeken grootste gemene deler...15 Opzoeken kleinste gemene veelvoud...15 Functies in R...16 Eerstegraadsfuncties in R...16 Meetkunde Onderlinge ligging van rechten...1 Hoeken... Overeenkomstige hoeken, verwisselende innenhoeken, verwisselende uitenhoeken, innenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, uitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn...1 Eigenschappen in verand met hoeken... De cirkel en de schijf...3 Stellingen en eigenschappen in verand met een cirkel Middelpuntshoeken en omtrekshoeken...3. Stellingen over middelpuntshoeken en omtrekshoeken...3. Het construeren van de raaklijnen uit een punt P aan de cirkel c Driehoeken...4 Merkwaardige rechten van een driehoek...6 Middenparallel van een driehoek en trapezium Som hoekgrootten convexe n-hoek Formules in rechthoekige driehoeken (stelling van pythagoras)...6. Driehoeksmeting Vierhoeken...7 Formules voor omtrek en oppervlakte van vlakke figuren...8 Formules voor oppervlakte en inhoud van lichamen...1 De transformaties van het vlak...13 Congruentie...15 Gelijkvormige figuren...16 Projectiestelling en stelling van Thales...18

3 Merkwaardige producten AB, : ( ) ( ) ( A + B)( A B) = A B ( ) ( ) A + B = A + AB+ B A B = A AB+ B 3 3 A + B = A + 3A B+ 3AB + B 3 3 A B = A 3A B+ 3AB B 3 3 Opmerking: ( A+ B) = ( A B) ( ) ( ( ) ( ( ) ( A B = A+ B) ) 3 3 A + B = A B ) 3 3 A B = A+B Formularium wiskunde KAM Getallenleer 9

4 Eigenschappen van vierkantswortels Vierkantswortel van een product ac,, + : ac.. = a.. c Vierkantswortel van een quotiënt + + a a : : = a Formularium wiskunde KAM Getallenleer 1

5 Ongelijkheden van de eerste graad met één onekende Oplossingsmethode Zelfde als ij vergelijkingen van de eerste graad in één onekende Termen en factoren overrengen Methode 1 Geruik de eigenschappen ac,, : a< a+ c< + c a, : c : a< ac. < c. + a, : c : a< ac. > c. Methode overrengingsregels Breng een term naar het andere lid door hem te vervangen door zijn tegengestelde, en ehoudt de zin van de ongelijkheid. Breng een (strikt) positieve factor naar het andere lid door hem te vervangen door zijn omgekeerde, en ehoudt de zin van de ongelijkheid. Breng een (strikt) negatieve factor naar het andere lid door hem te vervangen door zijn omgekeerde, en verander de zin van de ongelijkheid. Vergelijkingen van de tweede graad met één onekende: vierkantsvergelijkingen ax + x + c = met a ;, c Onvolledige vierkantsvergelijkingen Algemene methode ax ax = ax + c = geen wortels als a en c hetzelfde teken heen tegengestelde wortels, als a en ctegen- gesteld teken heen nl. 1 duele wortel, nl. + x = wortels, nl. en a c c en a a D> D = wortels, nl. x D = - 4ac D en x + = = D a a 1 1 duele wortel, nl. x = x = D < geen wortels in R 1 a Formularium wiskunde KAM Getallenleer 11.1

6 Vergelijkingen van een graad hoger dan twee met één onekende Oplossingsmethode Haken wegwerken en noemers verdrijven Herleid de vergelijking op nul Ontind de veelterm in het eerste lid in factoren van de eerste of de tweede graad Laat de vergelijking uiteenvallen in vergelijkingen van de eerste of de tweede graad Los deze vergelijkingen op De oplossingenverzameling van de gegeven vergelijking is de vereniging van de oplossingenverzamelingen van de ontstane vergelijkingen ij het uiteenvallen Vergelijkingen van de eerste graad met twee onekenden ux + vy + w = met u, v, w R en u v Oplossingsmethode Geef één van de twee onekenden een waarde los de overlijvende vergelijking met één onekende op Oplossingenverzameling Algeraïsch Grafisch ut + w t; t R v Rechte: zie eerstegraadsfuncties in R: algemeen Punt P(a, ) P rechte ua + v + w = Eigenschappen die kunnen geruikt worden ij het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden Een product gelijk aan nul a, : a. = a= = Een product verschillend van nul a, : a. a Formularium wiskunde KAM Getallenleer 11.

7 Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onekenden Oplossingsmethode Grafische oplossingsmethode Kies een cartesisch assenstelsel Teken de grafische voorstelling van de oplossingenverzameling van elke vergelijking. 3 gevallen snijdende rechten: stelsel heeft precies één oplossing, nl. de coördinaat van het snijpunt. evenwijdige rechten: Stelsel heeft geen oplossingen samenvallende rechten: Stelsel heeft oneindig veel oplossingen, nl. de coördinaat van alle punten van de rechte Sustitutiemethode Cominatiemethode Zonder in één van de vergelijkingen een onekende af en ehoud de andere vergelijking Vervang deze afgezonderde onekende in de andere vergelijking door de uitdrukking die je het verkregen Los deze vergelijking met één onekende op Vul de gevonden waarde in de vergelijking met afgezonderde onekende in en los op Maak een lineaire cominatie van de gegeven vergelijkingen, waarij je de vermenigvuldigers zo kiest dat in deze lineaire cominatie één van de onekenden niet meer voorkomt Vorm het stelsel dat estaat uit deze lineaire cominatie en één van de gegeven vergelijkingen Los deze vergelijking met één onekende op Vul de gevonden waarde in de andere vergelijking in en los op Formularium wiskunde KAM Getallenleer 11.3

8 8. Het quotiënt van een veelterm A en een eenterm B als graad A graad B Deel elke term van de veelterm door de eenterm Tel de verkregen eentermen op 9. Delen van een veelterm door een veelterm: werkwijze Rangschik deeltal en deler naar de dalende exponenten van de onepaalde, en vul in het deeltal de ontrekende termen aan met coëfficiënt waarvan de graad kleiner is dan de graad van het deeltal zelf Deel de hoogstegraadsterm van het deeltal door de hoogstegraadsterm van de deler. Zo vind je de hoogstegraadsterm van het quotiënt Vermenigvuldig deze eerste term van het quotiënt met de deler en trek dit verkregen product af van het deeltal Herhaal deze werkwijze totdat de voorlopige rest gelijk is aan de nulveelterm of van een lagere graad is dan de deler 1. Delen van een veelterm door een tweeterm van de vorm x a: algoritme van Horner Teken het schema rest Op plaats noteer je het tegengestelde van de constante term van de deler Op plaats noteer je de coëfficiënten van het deeltal, gerangschikt naar de dalende exponenten van de onepaalde. Vul de ontrekende termen aan met coëfficiënt waarvan de graad kleiner is dan de graad van het deeltal zelf Op plaats herschrijf je de eerste coëfficiënt van het deeltal Op plaats noteer je het product van het getal op plaats en plaats Op plaats komt de som van de tweede coëfficiënt van het deeltal met het getal op plaats. Herhaal deze werkwijze Onderaan het schema vind je de coëfficiënten van het quotiënt, gerangschikt naar dalende exponenten van de onepaalde, waarij het laatste getal de rest voorstelt. De graad van het quotiënt is één minder dan die van het deeltal. Formularium wiskunde KAM Getallenleer 13.1

9 Restregel De rest van de deling van een veelterm ( ) A( x) voor a. A( x) door x a A( x) is deelaar door x a Aa ( ) = Deelaarheid van een veelterm A x door x a is de getalwaarde van het deeltal Kenmerk van deelaarheid door x 1 Een veelterm A x is deelaar door x 1 de som van zijn coëfficiënten nul is ( ) Kenmerk van deelaarheid door x + 1 Een veelterm A x is deelaar door x + 1 de som van de coëfficiënten van de ( ) evengraadstermen gelijk is aan de som van de coëfficiënten van de onevengraadstermen Veeltermen ontinden in factoren Tweetermen 1) gemeenschappelijke factor uiten haken rengen ) A B = ( A+ B)( A B) + = ( + )( + ) A 3 B 3 = ( A B)( A + AB+ B ) 3 3 3) A B A B A AB B of 4) delers van de vorm x a opsporen (enkel ij veeltermen met één onepaalde) Drietermen 1) gemeenschappelijke factor uiten haken rengen A + AB+ B = A+ B ) ( ) 3) ( )( ) ax + x + c = a x x x x ; met x en x de wortels van de 1 1 corresponderende vierkantsvergelijking (enkel ij veeltermen met één onepaalde) 4) delers van de vorm x a opsporen (enkel ij veeltermen met één onepaalde) Viertermen 1) gemeenschappelijke factor uiten haken rengen ) samennemen van termen 3) A 3 + 3A B+ 3AB + B 3 = ( A+ B) 3 of A 3 3A B+ 3AB B 3 = ( A B) 3 4) delers van de vorm x a opsporen (enkel ij veeltermen met één onepaalde) Vijftermen, zestermen, 1) gemeenschappelijke factor uiten haken rengen ) delers van de vorm x a opsporen (enkel ij veeltermen met één onepaalde) Formularium wiskunde KAM Getallenleer 14

10 Restregel De rest van de deling van een veelterm ( ) A( x) voor a. A( x) door x a A( x) is deelaar door x a Aa ( ) = Deelaarheid van een veelterm A x door x a is de getalwaarde van het deeltal Kenmerk van deelaarheid door x 1 Een veelterm A x is deelaar door x 1 de som van zijn coëfficiënten nul is ( ) Kenmerk van deelaarheid door x + 1 Een veelterm A x is deelaar door x + 1 de som van de coëfficiënten van de ( ) evengraadstermen gelijk is aan de som van de coëfficiënten van de onevengraadstermen Veeltermen ontinden in factoren Tweetermen 1) gemeenschappelijke factor uiten haken rengen ) A B = ( A+ B)( A B) 3) delers van de vorm x a opsporen (enkel ij veeltermen met één onepaalde) Drietermen 1) gemeenschappelijke factor uiten haken rengen ) A + AB+ B = ( A+ B) 3) delers van de vorm x a opsporen (enkel ij veeltermen met één onepaalde) Viertermen, vijftermen, zestermen, 1) gemeenschappelijke factor uiten haken rengen ) delers van de vorm x a opsporen (enkel ij veeltermen met één onepaalde) Formularium wiskunde KAM Getallenleer 14

11 Functies in R Definitie Een functie in R is een verzameling koppels reële getallen waarij elk reëel getal hoogstens één eeld heeft. Benamingen Koppel ( a, ) van een functie f Beeld van a door f, not. f ( a) = of functiewaarde van f in a Voorstellingswijzen voor een functie: functiewaardentael grafiek y = f x Constante functie voorschrift: ( ) Een constante functie is een functie met een voorschrift van de gedaante De grafiek is een rechte evenwijdig met de x-as, met vergelijking y = c y = c, met c R Eerstegraadsfuncties in R Definitie Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax+ met a R en R. Grafiek: y y = ax+ (, ) (, ) a x Nulwaarde van de functie: a Richtingscoëfficiënt: Het getal a heet de richtingscoëfficiënt (rico) van de rechte. Dit is de coëfficiënt van x in de naar y opgeloste vergelijking. Eigenschappen van de rico Hoe groter a, hoe groter de helling van de rechte. Twee rechten met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig Formularium wiskunde KAM Getallenleer 16

12 Stijgen en dalen Een eerstegraadsfunctie is stijgend als a > y x Een eerstegraadsfunctie is dalend als a < y x Algemeen: Vergelijking van een rechte: ux + vy + w = Vergelijking Grafiek Rico ux + vy + w = u, v R en w R of Rechte niet evenwijdig met één van de assen u v y ax+ a R en R ux + vy = u, v R of y = ax a R vy + w = v R e nw R of y = R ux + w = u R enw R of x= c c R vy = v R of y = ux = u R of x = Rechte door de oorsprong, die niet samenvalt met één van de assen Rechte evenwijdig met de x-as (grafiek van constante functie) Rechte evenwijdig met de y-as (grafiek is geen functie) x-as (grafiek van constante functie) y-as (grafiek is geen functie) a u v a Geen rico Geen rico Geen rico Geen rico Formularium wiskunde KAM Getallenleer 17

13 Overeenkomstige hoeken, verwisselende innenhoeken, verwisselende uitenhoeken, innenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn, uitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Overeenkomstige hoeken Verwisselende innenhoeken Verwisselende uitenhoeken Binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn Formularium wiskunde KAM Meetkunde.1

14 Eigenschappen in verand met hoeken De issectrices van twee nevenhoeken staan loodrecht op elkaar x issectrice van a y issectrice van c x y c a Twee hoeken waarvan de enen paarsgewijs evenwijdig zijn in dezelfde zin, zijn even groot. Twee hoeken, waarvan de enen paarsgewijs evenwijdig zijn in tegengestelde zin, zijn even groot Twee hoeken waarvan één paar enen evenwijdig is in dezelfde zin en één paar enen evenwijdig is in tegengestelde zin, zijn elkaars supplement. P + Q = 18 Twee scherpe hoeken of twee stompe hoeken waarvan de enen paarsgewijs loodrecht op elkaar staan, zijn even groot Een scherpe en een stompe hoek waarvan de enen paarsgewijs loodrecht staan op elkaar, zijn elkaars supplement P + Q = 18 Formularium wiskunde KAM Meetkunde.

15 Voor twee evenwijdige rechten en een snijlijn geldt: 1. twee overeenkomstige hoeken zijn even groot. twee verwisselende innenhoeken zijn even groot 3. twee verwisselende uitenhoeken zijn even groot 4. twee innenhoeken aan een zelfde kant van de snijlijn zijn supplementair 5. twee uitenhoeken aan een zelfde kant van de snijlijn zijn supplementair Alle lichtgrijze hoeken zijn gelijk. Alle donkergrijze hoeken zijn gelijk. Elke lichtgrijze hoek is supplementair met elke donkergrijze hoek. Omgekeerd Twee rechten gesneden door een snijlijn, zijn evenwijdig in elk van de volgende gevallen: 1. twee overeenkomstige hoeken even groot zijn. twee verwisselende innenhoeken even groot zijn 3. twee verwisselende uitenhoeken even groot zijn 4. twee innenhoeken aan een zelfde kant van de snijlijn supplementair zijn 5. twee uitenhoeken aan een zelfde kant van de snijlijn supplementair zijn Formularium wiskunde KAM Meetkunde.3

16 Stellingen en eigenschappen in verand met een cirkel Stellingen over een koorde De loodlijn uit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor. De rechte die het middelpunt verindt met het midden van een koorde, staat loodrecht op die koorde. De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt Door drie niet op één zelfde rechte gelegen punten gaat precies één cirkel Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel OA < r c a estaat uit twee verschillende punten OA = r c a estaat uit één punt OA > r c a = φ Formularium wiskunde KAM Meetkunde 3.1

17 Raaklijn aan een cirkel Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die met de cirkel precies één punt gemeenschappelijk heeft. Dit punt noemen we het raakpunt. 1) De raaklijn in een punt van een cirkel staat loodrecht op de straal naar dit punt. ) De rechte die in een punt van de cirkel loodrecht op de straal naar dit punt staat, is een raaklijn aan de cirkel. Middelpuntshoeken en omtrekshoeken middelpuntshoek Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is. omtrekshoek Een omtrekshoek van een cirkel is een hoek waarvan het hoekpunt gelegen is op de cirkel en waarvan eide enen de cirkel snijden of waarvan één een de cirkel snijdt en één een de cirkel raakt. Stellingen over middelpuntshoeken en omtrekshoeken In een cirkel is een omtrekshoek half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde oog staat. A = 1 O Formularium wiskunde KAM Meetkunde 3.

18 Alle omtrekshoeken van een cirkel die op een zelfde oog staan, zijn even groot. A = B = C = P 1 Een omtrekshoek van een cirkel waarvan de enen door de grenspunten van een middellijn gaan, is recht. APB = 9 Omgekeerde stelling Een punt van waaruit een lijnstuk onder een rechte hoek gezien wordt, ligt op de cirkel met dit lijnstuk als middellijn. APB [ ] = 9 P ligt op decirkel met middellijn AB Het construeren van de raaklijnen uit een punt P aan de cirkel c Construeer de cirkel c met middellijn [ OP ] De rechte door P en een snijpunt van de cirkels c en c is een raaklijn uit P aan de cirkel c. Formularium wiskunde KAM Meetkunde 3.3

19 Merkwaardige rechten van een driehoek Merkwaardige rechten van een driehoek De loodlijn uit een hoekpunt van een driehoek op de overstaande zijde noemen we een hoogtelijn van die driehoek. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt De middelloodlijn van een zijde van een driehoek noemen we een middelloodlijn van die driehoek. De middelloodlijnen van een driehoek gaan door één punt, het middelpunt van de omcirkel. De issectrices van een hoek van een driehoek noemen we ook een issectrice van die driehoek. De drie issectrices van een driehoek gaan door één punt, het middelpunt van de incirkel. Bissectricestelling Een issectrice van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken waarvan de lengten evenredig zijn met de lengten van de aanliggende zijden. BD DC = AB AC De rechte die door een hoekpunt gaat en door het midden van de overstaand zijde noemen we een zwaartelijn van die driehoek. De drie zwaartelijnen van een driehoek gaan door één punt, het zwaartepunt. Het zwaartepunt verdeelt elk zwaartelijnstuk in twee lijnstukken waarvan het ene duel zo lang is als het andere. Zwaartelijnstuk in een rechthoekige driehoek De lengte van het zwaartelijnstuk naar de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is de helft van de lengte van die schuine zijde. Formularium wiskunde KAM Meetkunde 6

20 Merkwaardige rechten van een gelijkenige driehoek De symmetrieas van een gelijkenige driehoek is tevens middelloodlijn van de asis en hoogtelijn, issectrice en zwaartelijn door de top. Middenparallel van een driehoek Middenparallel van een driehoek en trapezium Het lijnstuk dat de middens van twee zijden van een driehoek verindt, is evenwijdig met de derde zijde en half zo lang als die derde zijde. Omgekeerd Een rechte, door het midden van een zijde van een driehoek evenwijdig met een andere zijde getrokken, gaat door het midden van de derde zijde. AM = MB en AN = NC 1 MN // BCen MN = BC Middenparallel van een trapezium Het lijnstuk dat de middens van de opstaande zijden van een trapezium verindt, is evenwijdig met de evenwijdige zijden en heeft een lengte die de halve som is van de lengten van die evenwijdige zijden AM = MB en CN = ND 1 MN // AD// BCen MN = AD + BC ( ) Som hoekgrootten convexe n-hoek Een veelhoek is convex als je vanuit elk innenpunt in rechte lijn naar elk ander innenpunt kunt gaan zonder de veelhoek te verlaten convex niet-convex ( n ) Som hoekgrootten van een convexe n-hoek =.18 Formularium wiskunde KAM Meetkunde 6.1

21 Formules in rechthoekige driehoeken Stelling van Pythagoras Meetkundig In een rechthoekige driehoek is de oppervlakte van het vierkant geconstrueerd op de schuine zijde gelijk aan de som van de oppervlakten van de vierkanten geconstrueerd op de rechthoekszijden. opp. I = opp II + opp. III Algeraïsch In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. Als in een driehoek het kwadraat van de lengte van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de lengten van de andere zijden, dan is de hoek tegenover die eerste zijde recht ABC is rechthoekig in A a = + c Bijkomende formules in een rechthoekige driehoek a= ' + c' = + h Pyth ACD c = c' + h ( Pyth ABD c = ah c = a. ' = ac. ' ' ( ) ) c B c h a D h = '. c' A C Formularium wiskunde KAM Meetkunde 6.

22 Driehoeksmeting Verand tussen twee zijden en een hoek overstaande rechthoekszijde sin scherpe hoek = schuine zijde c sin B= sin C = a a aanliggende rechthoekszijde cosscherpe hoek= schuine zijde c cos B= cosc = a a overstaande rechthoekszijde tan scherpe hoek= aanliggende r echthoekszijde c tan B= tan C = c Verand tussen de hoeken A = 9 B + C = 9 Verand tussen de zijden stelling van Pythagoras : a² = ² + c² Bijzondere waarden α = sinα cosα tanα Voor een scherpe hoek met grootte α: Eigenschappen cos α + sin α = 1 sin(9 - α) = cosα tanα = sin α cosα cos(9 - α) = sinα Formularium wiskunde KAM Meetkunde 6.3

23 Definitie Gelijkvormige figuren Een figuur F is gelijkvormig met een figuur F als F congruent is met een homothetisch eeld van F. Notatie PQR ~ ZTM Gelijkstandige hoekpunten op overeenkomstige plaatsen. Opmerking Gelijkvormigheidsfactor = asolute waarde van de factor van de homothetie. Eigenschappen van gelijkvormige figuren // stand in een figuur vind je terug in de gelijkvormige figuur stand in een figuur vind je terug in de gelijkvormige figuur Gelijkstandige hoeken zijn even groot De lengten van gelijkstandige lijnstukken heen een constante verhouding die gelijk is aan de gelijkvormigheidsfactor De verhouding van de omtrekken van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan de gelijkvormigheidsfactor De verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormige figuren is gelijk aan het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor Formularium wiskunde KAM Meetkunde 16

24 Gelijkvormigheidskenmerken Z Z Z Gelijkvormigheidskenmerk 1: = = Z Z Z Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs de drie zijden evenredig zijn Z Z Gelijkvormigheidskenmerk : H Z Z Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs twee zijden evenredig zijn en de ingesloten hoek even groot is. AB ' ' BC ' ' C' A' = = AB BC CA AB ' ' AC ' ' = en AB AC A = A ' Gelijkvormigheidskenmerk 3: HH Twee driehoeken zijn gelijkvormig als paarsgewijs twee hoeken even groot zijn. A = A ' en B = B ' Opmerking Als twee driehoeken gelijkvormig zijn mag je esluiten dat de gelijkstandige hoeken even groot zijn en de gelijkstandige zijden evenredig. Formularium wiskunde KAM Meetkunde 17

25 Projectiestelling en stelling van Thales Projectiestelling (loodrechte projectie) Als twee rechten scherpe hoeken met grootte α maken, dan geldt voor een lijnstuk [AB] van y en zijn loodrechte projectie [A B ]op x: AB ' ' = ABcosα α Stelling van Thales Een projectie op een rechte ehoudt de verhouding van twee op een zelfde rechte gelegen lijnstukken x of De verhouding van twee lijnstukken die door evenwijdige rechten op een snijlijn worden afgesneden, is voor elke snijlijn constant. AB CD A' B ' = of C ' D ' AD AC A' D ' = of A' C ' Omgekeerde stelling van Thales Als een rechte twee zijden van een driehoek in evenredige stukken verdeelt, dan is die rechte evenwijdig met de derde zijde. AD DB AE = DE // BC EC Formularium wiskunde KAM Meetkunde 18