MODULE : SPANNINGSLEER EN BEZWIJKMODELLEN

Transcriptie

1 CT445 / CT MODUL : SPANNINGSLR N BZWIJKMODLLN CON HARTSUIJKR HANS WLLMAN Civiele Techniek TU-Delft Janari

2 INHOUDSOPGAV. INTRODUCTI VAN SPANNINGN N RKKN.... SPANNINGN IN D..... Bijzondere spanningstoestanden Isotrope en deviatorische spanningscomponenten RKKN Bijzondere reksitaties, vlakke vervormingstoestand Volmerek TRANSFORMATIS N TNSORN DIRCT MTHOD, SPANNINGSTRANSFORMATI N HOOFDSPANNINGN.... ALGMN MTHOD MT VCTORTRANSFORMATIS, TNSORN..... Tensoren Bijzondere wiskndige eigenschappen van tensoren Generalisatie naar D.... GRAFISCH TRANSFORMATIS, CIRKL VAN MOHR....4 TOPASSINGN VAN D CIRKL VAN MOHR Voorbeeld, stijfheidstensor Voorbeeld, spanningstensor Voorbeeld, rektensor VRAAGSTUKKN LINAIR LASTISCH SPANNING RK RLATI ÉÉN-ASSIG TRKPROF NORMAALSPANNINGN VRSUS RKKN SCHUIFSPANNINGN VRSUS AFSCHUIFVRVORMING COMPLT SPANNING-RK RLATI IN D SPANNING-RK RLATI VOOR VLAKSPANNINGSTOSTAND SPANNING-RK RLATI IN D HOOFDRICHTINGN VRAAGSTUKKN OPGAV OPGAV OPGAV FAILUR PRINCIPAL STRSS SPAC VON MISS FAILUR MODL Von Mises ield criterion based on a niaial test Von Mises criterion for plane stress sitations Von Mises criterion for beams TRSCA S FAILUR MODL Tresca in plane stress sitations Tresca in beams VON MISS VRSUS TRSCA ample APPNDIX STRAIN FORMULATION SHAR MODULUS G VON MISS CRITRION BASD ON DFORMATION NRGY Stains and stresses de to shape deformation Deformation energ VON MISS BASD ON A SHAR TST CONTINUATION OF STRAIN XAMPL FROM PARAGRAPH XAMPL OF AN XAMINATION... 8 Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari ii

3 STUDIAANWIJZING Deze aantekeningen maken deel it van de lesmodle CT en CT445. Op verzoek is de ngelse versie omgezet naar een Nederlandse versie. De opzet van dit dictaat is zodanig dat de theorie wordt afgewisseld met voorbeelden en toepassingen. Aan het eind van een onderdeel zijn opgaven opgenomen waarvan de antwoorden beschikbaar zijn. Hierdoor is een leermiddel ontstaan dat zich itstekend leent voor zelfstdie. Naast het lesmateriaal is ook etra materiaal beschikbaar via de web site van de docent: Hoewel het materiaal met de grootst mogelijk zorgvldigheid is voorbereid, is niet it te sliten dat er onvolkomenheden in zijn geslopen. De aters stellen het dan ook zeer op prijs als deze worden gemeld. Ten opzichte van de versie van november 9 zijn er slechts minieme fotjes verbeterd waarvoor dank aan de stdenten die deze hebben gemeld. de docent, Hans Welleman Janari j.w.welleman@tdelft.nl Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari iii

4 . INTRODUCTI VAN SPANNINGN N RKKN. Spanningen in D In deze modle wordt de relatie tssen spanningen en vervormingen voor lineair elastische D-contina beschreven. r wordt gestart met de beschrijving van de spannings- en rekdefinities in D en de relatie tssen spanningen en rekken. Doel is om een bezwijkmodel te genereren waaraan een spanningssitatie kan worden getoetst. We beperken ons hier tot de modellen van von Mises en Tresca. Om deze modellen te knnen toepassen is het noodzakelijk dat een spanningstoestand kan worden getransformeerd naar een eendidig assenstelsels waarmee de hoofdspanningen knnen worden beschreven. Hiervoor is het nodig om de transformatieregels voor spanningen en rekken te beschrijven. Deze transformatieregels blijken een algemene geldigheid te hebben. Om dit te laten zien wordt het begrip tensor geïntrodceerd. De transformatieformles knnen zowel analtisch als grafisch worden toegepast. Deze laatste vorm staat ook wel bekend als de cirkel van Mohr. Hoewel deze methode er oderwets itziet is zij voor een aantal sitaties erg handig zoals it de vele voorbeelden zal blijken. Met de bekende definitie date en spanning een kracht per eenheid van oppervlak is knnen we op een oppervlak twee spanningen definiëren, een normaal spanning en een schifspanning. en positieve normaalspanning werkt in de richting van de itwendige normaal van het oppervlak. en schifspanning werkt evenwijdig aan een vector in het vlak. Meestal wordt een assenstelsel gehanteerd waarmee vervolgens de schifspanning kan worden ontbonden in twee loodrechte componenten die in het vlak werken, zie ook TOGPAST MCHANICA, paragraaf... Als de normaal van het oppervlak samenvalt met de -as, dan is het vlak waarop de spanningen werken een vlak dat wordt opgespannen door de - en z-as. Dit vlak wordt echter aangedid als een -vlak, hetgeen refereert naar de normaal van het vlak. Als de itwendige normaal samenvalt met de -as spreken we van een positief vlak zoals in figr. wordt verdidelijkt. positief vlak negatief vlak Figr. : Normaal en schifspanningen Spanningen zllen we aandiden met een dbbele inde, de eerste inde verwijst naar het vlak waarop de spanningen werken. De tweede inde verwijst naar de richting van de spanning. Als voorbeeld nemen we hier de normaalspanning op een -vlak. Deze wordt weergegeven als: -vlak -richting De schifspanningen in - en z-richting in dit vlak worden vervolgens aangedid met: z Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

5 Op deze wijze zijn de spanningen eendidig gedefinieerd. De tekenafspraak kan kort worden samengevat als: en spanning is positief als deze op een positief vlakje in de positieve richting werkt (of op een negatief vlakje in de negatieve richting). en spanning is negatief als deze op een positief vlakje in de negatieve richting werkt (of op een negatief vlakje in de positieve richting). Voor een kbs met zes vlakken ontstaat de in figr. weergegeven positieve spanningsdefinitie voor ieder vlak. z z zz z z z z z z zz Figr. : Spanningen in D Deze zes oppervlakken zijn onder te verdelen in drie verschillende oppervlakken die zowel positief als negatief voorkomen: -vlak -vlak z-vlak Hierit volgt dat er slechts negen verschillende spanningen te benoemen zijn. ; ; vlak z ; ; vlak z ; ; z vlak zz z z z normaal schif Opdracht: Controleer zelf het krachtenevenwicht t.g.v. de weergegeven spanningen it figr. op een kbs met ribbe d, d en dz. Hoeveel onafhankelijke spanningen hebben we nodig? Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

6 De hierboven beschreven negen spanningen knnen op verschillende wijze worden weergegeven. Als getransponeerde vector noteren we: T z (,,,,,,, ), zz z z Bij deze weergave is het gebrikelijk om de normaalspanningen voorop te plaatsen. en andere presentatie is in de vorm van een matri: z z z z z z zz In dit geval worden de normaalspanningen op de diagonaal weergegeven. De betekenis van deze matri zal worden iteengezet met het onderstaande voorbeeld. Op de in figr. weergegeven tetraëder werkt op het schine oppervlak A, een willekerige spanning p. De overige vlakken van de tetraëder vallen samen met de vlakken van het -, -, z-assenstelsel. Gevraagd wordt om een relatie te leggen tssen de spanningen op deze drie vlakken en de willekerige spanning op het oppervlak A dat een itwendige eenheidsnormaal n heeft zoals is aangegeven in de figr. A z n p z z zz p z p A z z p A z A Figr. : Tetraëder in D De spanning p kan worden ontbonden in de componenten p, p en p z. De itwendige normaal n van het oppervlak A kan worden ontbonden in de componenten n, n en n z. Dit is in de figr weergegeven. De oppervlakken van de -, - en z-vlakken knnen worden bepaald met: A A A z A n A n A n z met : n n n z cos cos cos ( n, ) ( n, ) ( n, z) () Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

7 De hoeken worden in deze itdrkking weergegeven als hoek tssen twee vectoren, respectievelijk (n,), (n,), en (n,z). Het evenwicht vereist evenwicht van krachten. Met de spanningen op ieder vlak moeten daarom eerst de resltante krachten worden bepaald die in evenwicht moeten zijn. Krachtenevenwicht in -, - en z-richting eist: A p A p A p z A A A z A A A z A z A z A z z z zz Met () gaan deze drie vergelijkingen over in: A p A p A p z A A A ( cos( n, ) cos( n, ) cos( n, z) z ) ( cos( n, ) cos( n, ) cos( n, z) z ) ( cos( n, ) cos( n, ) cos( n, z) ) Dit resltaat kan in matrivorm worden weergegeven: z p z cos( n, ) p z n p z cos( n, ) of p z n p z z z zz cos( n, z) p z z z zz n z z De matri in deze relatie geeft het verband tssen een willekerige spanning p op een oppervlak en de normaal n van dat oppervlak. Dat deze matri smmetrisch moet zijn is bewezen met de eerder in deze paragraaf verstrekte opdracht, zie ook TOGPAST MCHANICA, paragraaf 5.. Het maakt daarom niet it als de aangegeven niet-diagonaalelementen worden gespiegeld. De matri die dan ontstaat heeft dan de gebrikelijke indenotatie waar we later op terg komen: zz p p p z z z z n z n zz nz met: z z z z De relatie tssen de twee vectoren p en n is een smmetrische matri met zes verschillende componenten. We identificeren daarom slechts zes spanningscomponenten in D... Bijzondere spanningstoestanden en aantal bijzondere spanningssitaties zllen hier worden beschreven die ook gebrikt worden in de voorbeelden die volgen. Isotrope spanning Vlakspanning Vlakspanning vezelmodel enassige spanning Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 4

8 Isotrope spanning - p Als er alleen normaalspanningen voorkomen die ook nog eens gelijk zijn in grootte en teken dan spreken we van een isotrope of ook wel hdrostatische spanningstoestand. T z ( p, p, p,,,,,,) De spanningstoestand in een stilstaande vloeistof laat zich beschrijven met dit model aangezien we daar mogen aannemen dat de schifspanningen nl zijn en de hdrostatische drk alzijdig werkt hetgeen leidt tot gelijke normaalspanningen. Figr.4 : Isotrope spanning Vlakspanningstoestand - Als op een van de oppervlakken alle spanningen gelijk zijn aan nl spreken we van een vlakspanningstoestand. z z z tensor: z z zz z Figr.5 : Vlakspanning Vlakspanning vezelmodel - en bijzondere vlakspanning is de spanningstoestand die optreedt in het gehanteerde vezelmodel waarmee de spanningen in liggers knnen worden beschreven. In dit model kan alleen in de doorsnede de normaalspanning t.g.v. etensie en biging en de schifspanning τ t.g.v. afschiving worden beschreven. Daarmee is in het horizontale vlak evenwijdig aan de -as alleen de schifspanning bekend. De normaalspanning op dit vlak kan niet worden beschreven. Voor een klein elementair vlakje loodrecht op de doorsnede, op afstand z van de netrale lijn, kan een vlakspanning worden aangenomen met alleen deze spanningen. M z n.l. V τ τ τ Figr.6 : Vlakspanning in een vezelmodel τ Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 5

9 één-assige spanningstoestand - Als er slechts een normaalspanning ongelijk is aan nl en alle andere spanningscomponenten zijn gelijk aan nl, spreken we van een één-assige spanningstoestand. Figr.7 : één-assige spanningstoestand.. Isotrope en deviatorische spanningscomponenten Tot slot van deze introdctie over spanningen introdceren we hier de begrippen isotrope en deviatorische spanningscomponenten. De spanningsmatri waarmee spanningen in D knnen worden weergegeven knnen we splitsen in een diagonaalmatri en een tweede, nietdiagonaalmatri. De diagonaalmatri bestaat loter en alleen it gelijke diagonaaltermen. De niet diagonaalmatri is zodanig dat de som van beiden de oorspronkelijke spanningsmatri oplevert: z z z o z zz o o o z z o z z zz o isotrope deel deviatorische deel De diagonaalmatri waarin alle normaalspanningen even groot en gelijk van teken zijn, noemen we het isotrope deel en stelt in feite een isotrope spanningssitatie voor waarbij de spanning gelijk is aan het gemiddelde van de normaalspanningen volgens: o ( ) zz De niet-diagonaal matri is de mate waarin de spanningstoestand afwijkt van de isotrope spanningstoestand. Deze wordt het deviatorische spanningsdeel genoemd. Van dit onderscheid zal verderop bij de bezwijkmodellen gebrik worden gemaakt aangezien de isotrope spanning veelal alleen aanleiding geeft tot een volmeverandering terwijl de deviatorische component aanleiding geeft tot gedaanteverandering (verandering van vorm). Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 6

10 . Rekken Spanningen veroorzaken vervormingen. De mate van vervorming wordt aangedid met het begrip rek. Als voorbeeld grijpen we terg op het meest eenvodige basisgeval; de vervorming van trekstaaf. Dit is een zgn. één-assige spanningstoestand. De specifieke verlenging, dat is de verlenging per eenheid van lengte wordt per definitie de rek genoemd. N N l l Figr.8 : Specifieke verlenging, rek De lengte van de trekstaaf l zal door de vervorming t.g.v. de normaalkracht N toenemen met l. De specifieke verlenging, aangedid met het smbool wordt de rek genoemd: l l en blokje vervormbaar materiaal dat belast wordt in D zal niet alleen de bovengenoemde verlenging knnen ondergaan maar kan ook van vorm veranderen zoals hieronder is weergegeven. zz γ γz γ z z Figr.9 : Vervorming in D De bovenste drie vervormingen zijn verlengingen in, en z-richting. De vorm van het blokje blijft onveranderd, d.w.z. rechte hoeken blijven rechte hoeken. De drie vervormingen op de tweede rij geven een gedaanteverandering weer. Net als bij spanningen herkennen we vervorming door etensie en afschifvervorming. De centrale vraag van deze paragraaf is hoe we de vervorming knnen beschrijven op basis van de waargenomen verplaatsingen van het materiaal. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 7

11 Het verband tssen rek en verplaatsing, ook wel de kinematische relatie genoemd is eenvodig op te stellen zie ook TOGPAST MCHANICA, paragraaf.. We beginnen met een eenvodig voorbeeld om de sstematiek iteen te zetten. De één-assige spanningstoestand it het voorgaande voorbeeld wordt n iets netter bekeken. We nemen aan dat alle vezels in de doorsnede identiek zijn en evenwijdig lopen aan de -as die samenvalt met de staafas. De verplaatsingen in de -richting worden aangegeven met. De linker doorsnede van het mootje verplaatst terwijl we aan de rechterzijde veronderstellen dat de verplaatsing is aangegroeid tot. Figr. : Rek-definitie Door gebrik te maken van de eerder geïntrodceerde rekdefinitie is de rek in een vezel te schrijven als: l l Als we vervolgens de lengte van het mootje erg klein maken dan ontstaat in de limietovergang de volgende relatie tssen de rek en het verplaatsingsveld () : d lim d Hierit volgt dat de rek in dit voorbeeld de eerste afgeleide is van het verplaatsingveld () in - richting. d d Met deze relatie hebben we voor een zeer eenvodig geval laten zien hoe een kinematische relatie kan worden gevonden. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 8

12 Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 9 Dezelfde procedre kan n toegepast worden op een -dimensinaal probleem. In figr. is een in zijn vlak belast plaatje PRSQ weergegeven met afmetingen,. Het verplaatsingveld is een verplaatsing in het vlak van het plaatje. Dit verplaatsingsveld kan worden ontbonden in de componenten en in aangegeven as-richtingen. Door vervorming zal pnt P verplaatsen naar P en Q naar Q. Ook de twee andere pnten zllen verplaatsingen ondergaan. Figr. : Twee-dimensionaal probleem, in zijn vlak belaste plaat Het verplaatsingsveld van dit plaatmateriaal PRSQ wordt weergegeven met: ), ( ), ( Hierbij gaan we ervan it dat dit verplaatsingveld contin differentieerbaar is zodat geldt: Deze relatieve verplaatsingscomponenten laten zich in matrivorm schrijven als: () We proberen n op basis van deze itdrkking een definitie te vinden voor de rekken voor vezels in het materiaal die evenwijdig aan de - en -richting lopen. Om dit zichtbaar te maken wordt figr. itgebreid door de verplaatsing van rand PR en PS vergroot weer te geven. P R S Q Q P

13 Deze randen vallen samen met de vezels in - en -richting zoals in figr. is weergegeven. P R P a S l R b S Figr. : Rekken in - en -richting Net als in het eerste voorbeeld wordt een verplaatsing aangenomen in pnt P die aangroeit over de afmeting van het plaatje. Deze aangroei wordt beschreven met de eerder gevonden relatie () en is in figr. voor een deel verwerkt. Uit de figr wordt didelijk dat de niewe lengte van vezel P R kan worden weergegeven als: l a b () Met de definitie van een rek dat de niewe lengte de oorspronkelijke lengte is pls de rek maal de oorspronkelijke lengte kan deze niewe lengte van een vezel in -richting ook worden geschreven als: l ( ) () Hierin is de rek in de -richting voor een vezel in -richting. De niewe lengte l van vezel P R is iteraard in () en () dezelfde. Door () en () te combineren kan de rek itgedrkt worden in het verplaatsingsveld: Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

14 Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari ) ( Deze itdrkking voor de rek bevat een hinderlijke wortel met daaronder het kwadraat van twee afgeleiden. Met een Talor reeks naar zowel als knnen we deze itdrkking benaderen met: (zie APPNDIX ) Als we aannemen dat de verplaatsingsgradiënten klein zijn dan mogen we de hogere orde termen verwaarlozen waardoor we een gelineariseerde itdrkking voor de rek verkrijgen: Voor de rek in de -richting in een vezel evenwijdig aan de -richting (zoals b.v. vezel P S ) geldt dezelfde aanpak en vinden we: Dit resltaat lijkt tot n toe zeer sterk op het eerder verkregen resltaat van de één-assige trekproef. Het enige verschil is n dat aangezien het verplaatsingveld een fnctie is van zowel als we de partiële afgeleiden nodig hebben van het verplaatsingveld in plaats van de gewone afgeleide. Met dit resltaat kan de eerder gevonden itdrkking voor de relatieve verplaatsingen () herschreven worden tot: In deze matri herkennen we n de normale rekdefinitie op de diagonaal. Vraag is nog wat de niet-diagonaaltermen voorstellen. Uit figr. knnen we opmaken dat de vezels in - en - richting niet alleen langer worden maar ook roteren. Hierdoor ontstaat een gedaanteverandering, de rechte vorm verandert in een rit. We zllen deze rotatie eens nader bekijken om zo te ontdekken wat de niet-diagonaaltermen knnen voorstellen. WAT STLLN D NIT- DIAGONAAL TRMN VOOR?

15 Figr. wordt daarom nog een klein beetje aangepast waarbij de rotatie van de vezels in - en -richting worden aangegeven. Dit is weergegeven in figr.. P R P ψ a S l R b ψ S Figr. : Rotatie van vezels in de - en -richting In figr. wordt zichtbaar dat de vorm van het proefstk verandert door de rotaties ψ en ψ. De totale verandering van de oorspronkelijk rechte hoek tssen de vezels in de - en -richting wordt gedefinieerd als de afschifvervorming en aangedid met het smbool γ: γ ψ ψ (definitie) Uit de figr is op te maken dat de rotaties van de vezels knnen worden beschreven met: b ψ en ψ a Voor kleine verplaatsingsgradiënten geldt wederom dat we de itdrkking knnen vereenvodigen tot: ψ ψ onder de aanname dat onder de aanname dat Dit zijn jist de niet-diagonaal elementen van itdrkking () waarna we op zoek waren. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

16 De eerder gevonden itdrkking voor de relatieve verplaatsingen wordt hiermee: ψ ψ ψ ψ Deze matri is niet-smmetrisch. Door de matri te splitsen in een smmetrisch deel en een keersmmetrisch deel ontstaat: ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ Deze itdrkking laat zich compacter noteren door het invoeren van een hlpvariabele ω: ω ψ ψ De niet diagonaalelementen van de smmetrische matri worden per definitie vanaf n aangedid met: ψ ψ γ Dit is precies gelijk aan de helft van de totale verandering van de rechte hoek, de afschifvervorming γ, tssen de vezels in de - en -richting. De smmetrische matri is daarmee een matri waarmee de vervorming wordt beschreven met op de hoofddiagonaal de verlenging van de vezels en op de niet-diagonaal de helft van de afschifvervorming: ψ ω met: ψ ω De relatieve verplaatsing kan hiermee gesplitst worden in een deel ten gevolge van de vervorming van het materiaal en een deel ten gevolge van het keersmmetrische deel van de epressie: ω met: ω (4) t.g.v. vervorming t.g.v. starre rotatie Deze laatste bijdrage blijkt jist een starre rotatie voor te stellen zoals it figr.4 blijkt. Figr.4: Relatieve verplaatsing t.g.v. vervorming en starre rotatie Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

17 Voor het bepalen van de spanningen in een materiaal is in feite alleen de vervormingscomponent van belang. Dat betekent dat de smmetrische matri de rekbeschrijving is waarna we op zoek zijn. De keersmmetrische matri veroorzaakt een starre rotatie van het materiaal waarbij geen vervorming optreedt en daarmee ook geen spanningen veroorzaakt. In de meeste literatr wordt daarom weinig aandacht besteed aan dit deel van de relatieve verplaatsingrelatie. Als echter de iteindelijke verplaatsingen moeten worden bepaald is dit aandeel wel van belang zoals verderop in een voorbeeld zal worden aangetoond. Het tot n toe gevonden resltaat voor de rekken in D knnen we als volgt samenvatten: De afschifvervorming γ is per definitie: γ γ Voor D sitaties kan dezelfde aanpak worden gehanteerd hetgeen voor de rekken in matrinotatie levert: z z met: z z zz z z z z en γ γ γ z z z z en hele korte notatiewijze is de zgn inde-notatie of tensornotatie waarmee de rekcomponenten knnen worden gedefinieerd als: ij met:,,, z j i i j i j (loop zelf een aantal componenten eens na!) De relatieve verplaatsing ten gevolge van een starre rotatie van een blokje materiaal in D kan worden beschreven met de keersmmetrische matri voor starre rotaties: ω ω z i j ω ω ω z en: ωij ω ji met: i, j,, z j i ω z ω z Deze compacte notatie met dbbele indices zal nader worden toegelicht bij het onderdeel over tensoren. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 4

18 Voorbeeld, relatieve verplaatsing, rek en starre rotatie Van een proefstk is hieronder het verplaatsingveld gegeven:, 4 4,,8 4 4 C, m D, m A, m, m B Figre.5 : voorbeeld relatieve verplaatsingen, rekken en starre rotatie De relatieve verplaatsing van pnten van het proefstk kan worden bepaald met itdrkking (4): ω met: ω Voor de componenten van de matrices in deze relatie geldt: ij i j j i j ω ji met: i, j, j i i en ωij Dit levert:,,8 4 4 en ω,, 4 4, 4, 4 Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 5

19 Als we een stap, in de rimte maken levert dat een verandering van de verplaatsing op:,,, 4 4,,8, Als proef op de som passen we deze itkomst toe voor het bepalen van de verplaatsing in C als we starten vanit. De stap in -richting is dan, m en in -richting is deze 4, m:, m 4, In A is de verplaatsing bekend want voor en vinden we met het gegeven verplaatsingsveld:,, A 4 m De verplaatsing in C is n gelijk aan de verplaatsing in A, vermeerderd met de relatieve verplaatsing tssen A en C: C A 4, 4,,, 4,, m,,,8 4,, 4, C t.g.v. vervorming t.g.v. starre rotatie Uitwerken levert voor de verplaatsing in pnt C:,8, C -4-4 m Deze itkomst kan eenvodig worden gecontroleerd door de coördinaat van pnt C in te vllen in de epressies voor het gegeven verplaatsingsveld. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 6

20 .. Bijzondere reksitaties, vlakke vervormingstoestand en bijzondere vervormingstoestand ontstaat indien er in een vlak geen rek optreedt. r geldt dan :. en voorbeeld van een dergelijke sitatie is een doorsnede in een z proefstk waarvan de dimensies van de doorsnede klein zijn in verhoding tot de lengte en waarbij de belasting in de doorsnede onafhankelijk is van de positie langs de lengte. en voorbeeld is een doorsnede it een langgerekte tnnel waarbij de -as samenvalt met de tnnelas. doorsnede in vlakke vervormingstoestand p z -ais tnnelsegment dwarsdoorsnede Figr.6 : Vlakke vervormingstoestand In een dergelijke sitatie mogen we ervan itgaan dat een plakje it de tnnel geen vervormingen ondergaat in de richting van de lengte-as. In een dergelijke sitatie spreken we van een materiaal dat zich bevindt in een vlakke vervormingstoestand... Volmerek Als een blokje materiaal met volme V onderhevig is aan vervormingen t.g.v. normaal rekken, d.w.z. dat alleen de vezels in de drie as-richtingen verlengen, dan zal het blokje niet van vorm veranderen maar alleen een volmeverandering ondergaan V zoals in figr.7 is weergegeven. ( ) z zz ( ) Figr.7 : Volme verandering ( ) Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 7

21 De volme verandering V kan worden bepaald it het prodct van de niewe lengte van de ribben: ( ) ( ) ( zz ) ( zz zz zz zz ) V V z V V Als we aannemen dat de rekken klein zijn dan mogen kwadratische termen in deze itdrkking worden verwaarloosd ten opzichte van de andere termen. De volmeverandering wordt hiermee: ( zz ) V V De volmeverandering per eenheid van volme wordt hiermee: V V zz Dit wordt ook wel aangedid als de specifieke volmeverandering of volmerek en aangedid met het smbool e. Blijkbaar is de volmerek gelijk aan de som van de diagonaaltermen van de rekmatri: V e V zz Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 8

22 . Transformaties en tensoren De definitie van spanningen en rekken it de vorige paragraaf hebben opgeleverd dat de spanningsmatri een relatie legt tssen de spanning op een willekerig oppervlak en de normaal van dat oppervlak. De componenten van deze spanningsmatri zijn de spanningen op de vlakken met de normaal in de richting van het gekozen assenstelsel. p p p z z z z n z n zz nz met: z z z z spanningen Voor de rekken is aangetoond dat de relatieve verplaatsingen t.g.v. de vervormingen kan worden bepaald met de rekmatri: z z z z z ω zz z ω z ω ω z ω z ω z z met: z z z z rekken In beide gevallen legt de gevonden matri een lineair verband tssen twee vectoren. Deze vectoren hebben een bepaalde oriëntatie t.o.v. het gekozen assenstelsel waarmee de spanningen en rekken zijn aangedid. In deze paragraaf zal worden onderzocht hoe de itdrkking voor de spanningen verandert, transformeert, als de oriëntatie van de beide vectoren t.o.v. het gekozen assenstelsel verandert. Aangezien de spanningen en de rekken grote overeenkomsten vertonen zal aan het einde van deze paragraaf worden aangetoond dat voor de bepaling van deze zogenaamde transformatieformles een niforme aanpak bestaat met behlp van tensoren. Naast de analtische methoden voor het bepalen van de transformaties bestaat er ook een grafische methode die bekend staat als de cirkel van Mohr. Deze aanpak wordt aan het eind van dit hoofdstk iteengezet. Voordat we die itleg echter volgen wordt begonnen met een eenvodige itleg om te zien wat er feitelijk gebert als de oriëntatie van de vectoren wijzigt. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 9

23 . Directe methode, spanningstransformatie en hoofdspanningen In de onderstaande figr worden twee sitaties getoond van een spanning p op een schin vlak met de itwendige eenheidsnormaal n. Beide sitaties zijn gelijkwaardig. In figr.a werkt er een willekrige spanning p op een oppervlak A en in figr.b is deze spanning ontbonden in een schifspanning even wijdig aan het oppervlak en een normaalspanning loodrecht op het oppervlak. α α α p A p p n α A a) spanning p b) normaal- en schifspanning t.g.v. van p Figr. : Vlakspanningssitatie In plaats van te kijken naar het evenwicht van de sitatie in figr.a zal n itgegaan worden van het evenwicht op basis van de weergave van de spanning op A volgens figr.b. envodig is overigens aan te tonen dat de relatie tssen de beide sitaties wordt weergegeven met: p cosα sinα p sinα cosα Uitgaande van figr.b is in figr. het proefstk weergegeven met alle daarop werkende spanningen. Door de hoek α tssen het schine oppervlak en de -as te varieren willen we onderzoeken hoe de itdrkking voor de spanningen op het oppervlak A veranderen. α α A Figr. : Definitie van de spanningen op alle oppervlakken Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

24 Merk op dat de positieve spanningen op het negatieve - en -vlakje in de negatieve asrichtingen worden weergegeven volgens de eerder ingevoerde afspraken voor positieve spanningen. Het proefstk it figr. is alleen in evenwicht als de resltante krachten krachtenevenwicht maken en als de som van de momenten in het vlak gelijk is aan nl.. Aan deze laatste eis is reeds voldaan aangezien we met het momentenevenwicht hebben aangetoond dat voor de schifspanningen op onderling loodrechte oppervlakken geldt :. r resteren ds twee evenwichtsvergelijkingen: horizontaal evenwicht: A cosα A sinα A cosα A sinα verticaal evenwicht: A sinα A cosα A cosα A sinα Deze vergelijkingen knnen worden herschreven als: α α α α cos sin sin cos α α α α ( )sin cos (sin cos ) Door over te gaan op de dbbele hoek notatie: cos α cos α sin α cos α sinα cosα sin α knnen deze vergelijkingen worden vereenvodigd tot: z ( ) ( )cos α sin α ( )sin α cos α ( transformatieformles) Strikt genomen is deze laatste stap in het rekenmachinetijdperk niet meer essentieel maar internationaal worden de spannings-transformatieformles altijd zo gepresenteerd. Met deze transformatieformles is voor iedere waarde van α direct te bepalen hoe groot de spanningen op het schine oppervlak A worden. Deze spanningen worden itgedrkt in de spanningen op de vlakken in de richting van het --assenstelsel. Interessant is n om te onderzoeken wanneer bijvoorbeeld de normaalspanning maimaal wordt op het oppervlak A. Door de itdrkking voor de normaalspanning te differentiëren naar de hoek α en deze gelijk te stellen aan nl kan een etreem worden bepaald: d dα d ( ) ( )cos α sin α dα ( )sin α cos α tan α ( ) Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

25 Door de gevonden waarde van α in te vllen in de spanningsformles vinden we voor de normaalspanningen en de schifspanningen:, ( ) ( ) ±, Merk op dat de oplossing voor de etreme ligging van het oppervlak A, twee waarden voor de hoek α oplevert. Blijkbaar is op de beide gevonden vlakken de normaalspanning etreem terwijl de schifspanning jist gelijk is aan nl. Als deze sitatie zich voordoet dan spreken we van een hoofdspanning. Definitie: en hoofdspanning is de grootste of de kleinste waarde van de normaalspanning in een materiaal op een vlak waar per definitie de schifspanning nl moet zijn. De meest positieve hoofdspanning wordt met aangedid, de ander met. De richting van de vlakken waarop deze hoofdspanningen werken noemen we de hoofdrichtingen en worden eveneens met en aangedid. In de onderstaande figr is het resltaat weergegeven: α α n Figr. : Hoofdspanningen en hoofdrichtingen De richting van de hoofdspanning valt n samen met de normaal van het vlak waarop de hoofdspanning werkt. Aangezien per definite de schifspanning nl is valt n de richting van de spanningsvector p op het vlak A samen met de normaal n van dit oppervlak. Van deze bijzonderheid wordt verderop gebrik gemaakt. Tot slot van deze directe aanpak wordt nog de relatie gelegd met de oorspronkelijke definitie van de spanningsmatri. Voor de vlakspanningssitatie it figr.a die we hier bekijken geldt volgens paragraaf.: p n n cosα met : p n n sinα De spanning p kan worden itgedrkt in een normaal- en schifspanning op vlak A volgens: p cosα sinα p sinα cosα Door deze twee betrekkingen in elkaar te schiven ontstaat: Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

26 cosα cosα sinα sinα sinα cosα Hierit volgen de twee onderstaande vergelijkingen: cosα sinα cosα sinα cosα sinα sinα cosα Uitwerken levert eact dezelfde transformatieformles voor de normaal- en schifspanning op het schine oppervlak A itgedrkt in de spanningen op de vlakken in de as-richtingen. ( ) ( )cos α sin α ( )sin α cos α (transformatieformles). Algemene methode met vectortransformaties, tensoren Hoewel de directe methode snel leidt tot de gevraagde transformatieformles geeft deze methode nog geen inzicht in hoeverre deze aanpak algemeen toepasbaar is voor zowel spanningen als rekken. In deze paragraaf zal daarom opniew gekeken worden naar de transformaties maar n gebaseerd op een algemene lineaire relatie tssen twee vectoren. Als voorbeeld nemen we hiervoor een stijfheidsrelatie. In figr.4 is een vakwerk getekend waarvan alleen knoop C kan verplaatsen. De verplaatsing en de belasting in C knnen worden ontbonden in componenten in de - en -richting zoals in de figr is aangegeven. B A C F F α F A l A l Figr.4 : Stijfheidsprobleem m.b.v. een vakwerk De relatie tssen de kracht en de verplaatsing in pnt C kan met de verplaatsingenmethode it TOGPAST MCHANICA, paragraaf 4., worden gevonden: F F A l ( ga dit zelf maar eens na ) Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

27 De relatie tssen de belasting en de verplaatsing in C kan meer algemeen worden genoteerd als: F k k of: F K. F k k () De stijfheidsrelatie is een lineaire relatie tssen twee vectoren F en die wordt beschreven met de stijfheidsmatri K. De gelijkenis met de spanningsmatri en de rekmatri is daarmee overdidelijk. Zowel de kracht F als de verplaatsing zijn vectoren met een grootte en een richting in een gegeven assenstelsel. De grootte van de vector is onafhankelijk van het gekozen assenstelsel. Als we het assenstel bijvoorbeeld roteren dan zal de ligging van de vector t.o.v. dit assenstelsel veranderen maar de grootte van de vector niet. Daarom wordt de grootte van de vector ook wel een invariant genoemd. en vector heeft daarmee één invariant. De stijfheidsrelatie () geldt voor een gekozen --assenstelsel. We gaan n eens onderzoeken hoe deze relatie verandert indien we het assenstelsel laten roteren. Door het roteren van het - assenstelsel zllen de componenten van de vector F en een andere waarde krijgen. In figr.5 wordt aangegeven hoe die componenten knnen worden bepaald in het niewe -assenstelsel. as -as ( F, F ) or ( F, F ) as cosα F F α -as sinα F F sinα F cosα F Figr.5 : Vectortransformatie door rotatie Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 4

28 Uit figr.5 volgt voor de vector F in het -assenstelsel dat geldt: F F F cosα F F sinα F sinα cosα In matrivorm knnen we dit noteren als: cosα sinα F R. F met: R sinα cosα () De matri R is in dit verband een rotatiematri waarmee de transformatie wordt beschreven. Voor de verplaatsing geldt een identieke transformatieregel: R. () Omgekeerd geldt iteraard ook dat de oorspronkelijke vector itgedrkt kan worden in een geroteerd assenstelsel met: R -. en bijzondere eigenschap van de rotatiematri () is dat de inverse van deze matri identiek is aan de getransponeerde. Daarom wordt bij transformaties veelvldig gebrik gemaakt van de getransponeerde matri aangezien het bepalen van een getransponeerde minder bewerkelijk is dan het bepalen van een inverse matri: R T. (4) Van de beide vectoren in de lineaire relatie () is n bekend hoe zij transformeren. De grote vraag is n hoe de matri K vervolgens transformeert. Doel is om iteindelijk in het geroteerde assenstelsel het verband te leggen tssen de geroteerde belasting en de geroteerde verplaatsing volgens: F K. (5) We passen n eerst () toe en combineren dit met () : F R. F R. K. (6) Met (4) kan dit vervolgens worden herschreven tot: F T R. K. R. K. R (7) Deze relatie is bijna de gevraagde relatie. Vergelijk (7) met (5) dan wordt didelijk dat de stijfheidsrelatie in het geroteerde assenstelsel als volgt kan worden bepaald: T K R. K. R (8) Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 5

29 Voor dit -dimensionale probleem zal deze relatie nader worden itgewerkt. R K R T k K k k k cosα sinα sinα k cosα k k k cosα sinα sinα cosα k k k k k k k k cos α sinα cosα sinα cosα sin α k k k k sinα cosα cos sin α α sinα cosα k k k k sinα cosα sin cos α α sinα cosα k k k k sin α sinα cosα sinα cosα cos α Dit resltaat kan wat korter worden beschreven door over te gaan op de dbbele hoek notatie: cos α cos α sin α cos α sinα cosα sin α Waarna de transformatieregel ontstaat voor de componenten van de stijfheidsmatri: k k k ( k ( k ( k k k k ) ) ( k ( k k k )sin α k )cos α k )cos α k cos α sin α sin α Dit resltaat komt eact overeen met de eerder gevonden transformatieregel voor spanningen m.b.v. de directe methode. De transformatieregel voor een matri kan worden gevonden met behlp van de transformatieregel voor vectoren. Het zal didelijk zijn dat het vinden van de etreme waarde van de stijfheidscomponenten op precies dezelfde manier verloopt als bij de direct methode voor de hoofdspanningen. De etreme waarden voor de stijfheidscomponenten worden de hoofdwaarden genoemd. Deze treden op voor twee verschillende waarden van de hoek α die de kracht F maakt met de horizontale as in C: k tan α ( k k ) Met als hoofdwaarden (de grootste en de kleinste stijfheid van het vakwerk): ( ) ( ) k k k k ± k k k, Als we dit toepassen op het gegeven vakwerk voorbeeld met de onderstaande stijfheidsrelatie F F A l Dan vinden we voor de hoek α met de grootste en kleinste hoofdwaarde voor de stijfheid: Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 6

30 tan ( α ) twee mogelijke oplossingen α : α,5, α,5 o k A l k A l ( ) ( ) o slap stijf l B A l C α,5 o A A Figr.6 : Hoofdrichtingen voor de stijfheid Als we de constrctie belasten met alleen een kracht in een van de hoofdrichtingen dan zal de constrctie in C ook alleen in deze richting verplaatsen, zie figr.7. Immers F en hebben per definitie dezelfde richting als dit een hoofdrichting is. De constrctie reageert het meest stijf bij belasten in de - richting en het minst stijf bij belasten in de - richting. F α A A l l Figre.7 : Belasting en verplaatsing hebben dezelfde richting Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 7

31 .. Tensoren In wetenschappelijke pblicaties wordt de matrinotatie niet veel gebrikt. De standaard notatie is veelal gebaseerd op de tensornotatie. De hiervoor gehanteerde vectornotatie kan kort worden weergegeven in deze notatie met: vector: tensor: i met: i,, z z Ook matrices knnen compacter worden genoteerd: k k k z matri: K k k k z tensor : Kij with: i, j,, z kz kz k zz Tensoren worden onderscheiden door de orde. Op dit moment knnen we volstaan met de volgende twee tensoren: en eerste orde tensor, hetgeen een vector is met: - een grootte (lengte) - richting - transformatieregels voor de componenten met betrekking tot de rotatie van het assenstelsel De belasting F en de verplaatsing it het voorbeeld zijn daarom e orde tensoren. en tweede orde tensor is een tensor die een lineaire relatie legt tssen twee e orde tensoren zoals b.v. voor het stijfheidsprobleem F K. De transformatieregel van de tweede orde tensor K volgt it de transformatieregel voor de eerste orde tensor volgens R.K.R T. Als we een tweede orde tensor knnen identificeren dan weten we ds op voorhand dat deze transformeert volgens de transformatieregels voor e orde tensoren. De spanningsmatri en rekmatri it het voorgaande zijn daarom e orde tensoren en mogen kort worden gepresenteerd als ij en ij. In de mechanica komen vaker e orde tensoren voor. De bigstijfheid I ij is een e orde tensor. Ook de bigende momenten m ij in platen knnen met een e orde tensor worden beschreven. Bij rotaties zllen deze grootheden allemaal op dezelfde wijze transformeren... Bijzondere wiskndige eigenschappen van tensoren en eerste orde tensor kan worden gezien als een vector met een grootte. Zoals eerder gemeld is de richting gebonden aan de keze van het assenstelel, de grootte van de vector is echter invariant. Het invariant zijn levert voor verschillende coordinaatsstemen voor het gehanteerde stijfheidsvoorbeeld: F F F F F en tweede orde tensor beschrijft het lineaire verband tssen twee eerste orde tensoren. Het is zeer waarschijnlijk dat de beide vectoren niet dezelfde richting zllen hebben. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 8

32 In het voorgaande kwamen we echter bij de hoofdspanningen de bijzondere sitatie tegen dat de spanning op een oppervlak dezelfde richting heeft als de normaal op het oppervlak. Twee vectoren die dezelfde richting hebben knnen we wiskndig relateren aan elkaar met behlp van een scalar λ: F λ De relatie tssen de beide eerste orde tensoren is echter bekend, er geldt ds: F K. λ In deze vergelijking staat links een matri K en rechts een vector. We knnen links en rechts pas bewerkingen itvoeren als beide epressies matrices zijn. Door invoering van de eenheidsmatri I kan het rechterlid in matrivorm worden geschreven: ( K - λi). K. λ. I. Door het rechterlid n naar links te verplaatsen ontstaat de welbekende itdrkking van een eigenwaarde probleem. en niet-triviale oplossing van dit stelsel vergelijkingen kan alleen worden gevonden indien de determinant van het stelsel gelijk is aan nl. De waarden van λ waarvoor dit geldt noemen we de eigenwaarden. Bij iedere eigenwaarde hoort een oplossing van de vector. Deze noemen we de eigenvector. Als we dit toepassen op ons stijfheidsprobleem dan vinden we voor het eigenwaarde probleem: k k λ k k λ Dit homogene stelsel vergelijkingen heeft een niet-triviale oplossing indien de determinant nl is. Dit levert: ( λ ) Det k ( k λ) k k met: k k Aangezien de niet-diagonaal elementen gelijk zijn ontstaat het onderstaande karakteristieke polnoom: ( k λ) λ ( k λ) k ( k k ) λ ( k k k ) Oplossen levert: ( ) ( ) k k k k k λ λ ±, (9) Voor iedere eigenwaarde λi kan een eigenvectorr i worden gevonden. Deze eigenvectoren zijn onafhankelijk van elkaar en staan loodrecht op elkaar. De eigenwaarden zijn altijd dezelfde ongeacht de keze van het assenstelsel. Dit betekent dat het karakteristieke polnoom onafhankelijk is van het gekozen assenstelsel. De constanten in dit polnoom worden aangegeven met I i waarvoor geldt: λ I λ I met : I k k en I k k k Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 9

33 Deze constanten zijn de invarianten van deze e orde tensor. De eigenvectoren die behoren bij de eigenwaarden vormen een basis voor de getransformeerde matri: K λ λ Vanit een wiskndig standpnt gezien hodt dit in dat als het --assenstelsel wordt i getransformeerd naar een assenstelsel dat is gebaseerd op de eigenvectoren, de matri K zal transformeren naar de hierboven weergegeven matri K. Formle (9) voor het bepalen van de eigenwaarden is identiek aan de eerder gevonden itdrkking voor de bepaling van de hoofdspanningen. en eigenwaarde is ds wiskndig snoniem met een hoofdwaarde van een tweede orde tensor. en eigenvector is daarmee snoniem voor een hoofdrichting van een e orde tensor... Generalisatie naar D De gepresenteerde aanpak kan ook worden toegepast in D. Het eigenwaarde probleem is precies hetzelfde, alleen de orde van het karakteristieke polnoom neemt met één toe. Voor een e orde spannings tensor in D ziet het eigenwaardeprobleem er als volgt it: z λ λ z z n z n zz λ n z Dit eigenwaardeprobleem heeft drie eigenwaarden (hoofdspanningen) en drie eigenvectoren (hoofdrichtingen). De eigenwaarde volgen it het oplossen van het karakteristiek polnoom: I I I met: I I zz zz zz z z I zz z z zz z z Deze e orde tensor in D heeft drie invarianten die ds onafhankelijk zijn van het gekozen assenstelsel.voor een speciale keze van het assenstelsel dat jist samenvalt met de drie hoofdrichtingen, geldt voor de waarde van de invarianten: I I I en aardige toepassing van de eigenschap van invarianten is dat b.v. de som van de diagonaalelementen van de oorspronkelijke spanningsmatri gelijk moet zijn aan de som van de drie hoofdspanningen. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

34 . Grafische transformaties, cirkel van Mohr Met de transformatie regels kan op een analtische wijze worden onderzocht hoe de componenten van een e orde tensor: k ij k k k k wijzigen indien het assenstelsel over een hoek α wordt geroteerd: k k k k k k k k cos α sinα cosα sinα cosα sin α k k k k sinα cosα cos sin α α sinα cosα k k k k sinα cosα sin cos α α sinα cosα k k k k sin α sinα cosα sinα cosα cos α () De etreme waarden die deze componenten knnen aanemen volgen it: ( k k ) ± [ ( k k )] k k (), Waarbij de minimm en maimm waarden optreden voor hoeken α m : tan α m k ( k k ) () Mohr ondekte dat met de hierboven gegeven formles () en () een bijzondere grafische weergave kan worden geconstreerd. Voor een gekozen assenstelsel zoals in figr.8 is weergegeven knnen de componenten van de e orde tensor worden weergegeven als pnten in het vlak dat wordt opgespannen door de weergegeven assen. Op de horizontale as worden de diagonaal-elementen en itgezet en op de verticale as worden de niet-diagonaalelementen en itgezet volgens de afspraak dat de eerste inde van de verticale as samenvalt met de positieve verticale richting van het gekozen assenstelsel. (k ; k ) k k (k ; k ) m α m ½ (k - k ) k Figr.8 : Cirkel van Mohr, definitie van het assenstelsel Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

35 De componenten van de tensor worden paarsgewijs als pnten itgezet. Dit levert twee pnten (k ; k ) en (k ; k ) waarbij op de horizontale as de diagonaal elementen k en k worden itgezet, in het algemeen ds k ii. Op de verticale as komen de niet-diagonaal termen k en k waarbij in dit geval een positieve waarde van k naar beneden wordt itgezet omdat deze richting samenvalt met de positieve richting van het gehanteerde assenstelsel. Hoewel de termen k en k in waarde identiek zijn is hn betekenis wel richtingsgebonden en wordt de één omlaag en de ander omhoog itgezet. Zorgvldigheid is op dit pnt essentieel in verband met de interpretatie van de iteindelijke richtingen die de getransformeerde componenten hebben. Mohr ondekte dat de hoofdwaarden k en k smmetrisch lagen t.o.v. een pnt m op de horizontale as. Dit pnt is het middelpnt van een cirkel die getrokken kan worden door de pnten die gevormd worden door de componenten van de tensor. De straal r van de cirkel is eenvodig it figr.8 af te leiden: ( ) m k k ( ( ) ) r k k k en k k m r m r Met de kennis it het voorgaande is het mogelijk om zowel het middelpnt m als de straal r van deze cirkel te koppelen aan de twee invarianten van deze e orde tensor in D: m I met: I k k ( ) met: r I I I k k k De hoofdwaarden zijn hiermee verklaart. De hoofdrichtingen knnen ook grafisch worden bepaald. Hiervoor is echter wel een hlppnt op de cirkel nodig dat we het richtingencentrm RC zllen noemen. In odere literatr wordt dit ook vaak de pool van de cirkel genoemd. () RC // aan de -as k // aan de -as α m α m m ½ (k - k ) (k ; k ) (k ; k ) k k () Figr.9 : Cirkel van Mohr, definitie van het richtingencentrm RC Het richtingencentrm RC van de cirkel kan als volgt worden gevonden: Trek een lijn evenwijdig aan de -as door het pnt (k ; k ) Trek een lijn evenwijdig aan de -as door het pnt (k ; k ) Op het snijpnt van deze lijnen ligt op de cirkel het richtingencentrm RC Met het RC knnen eenvodig de hoofdrichtingen worden gevonden: Trek vanit het RC een lijn door hoofdwaarde k, dit is hoofdrichting () Trek vanit het RC een lijn door hoofdwaarde k, dit is hoofdrichting () Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

36 Met wat elementaire wisknde is in te zien dat de inwendige hoek RC k (k ; k ) gelijk is aan twee maal de middelpntshoek m k (k ; k ). In figr.9 is deze aangegeven als de hoek α m. De richting () is of van RC naar pnt k of van k naar RC. Als () vastligt dan volgt de richting van () it de gekozen oriëntatie van het assenstelsel. De hoofdrichtingen () en () it figr. moeten ds dezelfde oriëntatie hebben als de en -as. () RC α α () () RC α α () Figr. : Correcte keze van de hoofdrichtingen Het richtingencentrm RC werkt als een soort pnaise met daaraan verbonden het assenstelsel. Als we het oorspronkelijke assenstelsel in het RC vastpinnen en laten draaien over een hoek α dan zllen de tensorcomponenten, weergegeven door de twee tensorpnten, over de cirkel gaan wandelen naar een niewe, getransformeerde positie. In figr. deze grafische toepassing van de analtische e orde tensortransformatieformles () m.b.v. de cirkel van Mohr weergegeven. // aan de -as k RC // aan de -as α m (k ; k ) ( k ; k ) k ( k ; k ) (k ; k ) Figr. : Tensor transformatie m.b.v. de cirkel van Mohr De grafische methode van Mohr wordt het meest toegepast op D problemen. Hoewel er D toepassingen van zijn is het niet erg zinvol deze nog te bespreken in een tijd waar veel van deze transformaties met behlp van compteralgoritmen worden itgevoerd. Toch blijft begrip van de grafische methode noodzakelijk aangezien het een snelle controle kan leveren voor gevonden nmerieke itkomsten. In een aantal bijzondere sitaties is de grafische methode ook krachtiger dan de analtische methode. Hierop zal in de voorbeelden terg worden gekomen. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari

37 .4 Toepassingen van de cirkel van Mohr Met een aantal voorbeelden zal de toepassing van de grafische methode van Mohr worden toegelicht. Als eerste wordt het al eerder gebrikte stijfheidsvoorbeeld grafisch itgewerkt. Vervolgens zllen van een vlakspanningstoestand de hoofdspanningen en hoofdrichtingen worden bepaald. Ten slotte zal nog gekeken worden naar een rekvoorbeeld..4. Voorbeeld, stijfheidstensor Het in paragraaf. beschreven stijfheidsprobleem it figr. reslteerde in een F F α A F A l Figr. : Stijfheidsprobleem l stijfheidsmatri waarvan we n weten dat dit een e orde tensor is. In het --assenstelsel geldt: F F A l De stijfheidstensor kan grafisch worden itgezet als twee pnten waardoor een cirkel moet worden getrokken. Deze cirkel is de cirkel van Mohr. Om deze cirkel te knnen tekenen doorlopen we het volgende stappenplan dat wordt toegelicht met figr.: ) Teken de horizontale as waarop de diagonaalelementen - en - worden itgezet, ) Teken in de oorsprong het gehanteerde - assenstelsel, ) Geef de positieve -as de richting van de -as, 4) Teken de positieve richting van de -as in de tegengestelde richting, Figr. : Definitie van het assenstelsel voor de cirkel van Mohr Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 4

38 Vervolgens gaan we verder met het weergeven van de tensorcomponenten als pnten in dit assenstelsel. Daartoe moeten de volgende stappen worden doorlopen, zie ook figr.4: 5) Zet de tensorcomponenten paarsgewijs als pnten (k ; k ) en (k ; k ) it, 6) Trek een verbindingslijn tssen deze pnten, 7) Zet halverwege deze lijn een loodlijn it, de middelloodlijn, 8) Waar deze middelloodlijn de horizontale as snijdt, bevindt zich het middelpnt m van de cirkel, 9) Teken een cirkel met middelpnt m door de pnten (k ; k ) en (k ; k ). (k ; k ) schaal A 8l k k m (k ; k ) Figr.4 : Cirkel van Mohr met de hoofdwaarden In deze figr is de stijfheidstensor k ij met (i,) weergegeven als twee pnten op de cirkel van Mohr. De hoofdwaarden k en k (eigenwaarden) van deze e orde tensor zijn direct weer te geven. De daarbij behorende hoofdrichtingen (eigenvectoren) zijn echter pas te bepalen nadat eerst het richtingencentrm RC is bepaald. Strikt genomen is voor dit voorbeeld deze stap niet nodig aangezien de verbindingslijn halverwege in m, de horizontale as al snijdt. Dit is in het algemeen echter niet zo. Ir C. Hartsijker & Ir J.W. Welleman Janari 5