Stijfheidsmatrix van asymmetrische profielen

Transcriptie

1 Delft, jni 2010 Stijfheidsmatri van asmmetrische profielen Eindrapportage van Naam: Vrokje Bron Stdienr: Begeleiders: Dr.ir.P.C.J. Hoogenboom Ir. R. Abspoel

2 Voorwoord Dit rapport bevat de resltaten van een onderoek naar de stijfheidsmatri van een ligger met een asmmetrische doorsnede. Het onderoek is onderdeel van het bachelor eindwerk voor de stdie Civiele Techniek aan de TU Delft. Bij dit onderoek ben ik 9 weken lang begeleid door de docenten, Dr.ir.P.C.J. Hoogenboom en Ir. R. Abspoel. Ik wil e allebei dan ook erg bedanken voor hn hlp. Het rapport is opgebowd it twee delen, het onderoek naar een ligger met een rechthoekige doorsnede en die met een T doorsnede. De delen hebben allebei hn eigen beschrijving, onderoeksmethode en conclsies. Delft, jni 2010 Vrokje Bron V.A.G. Bron jni

3 Samenvatting Het doel van dit onderoek is het controleren van de stijfheidsmatri welke is verkregen via differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden, voor een ligger met een asmmetrische doorsnede. Het is oneker of dee analtisch bepaalde stijfheidsmatri nawkerig is voor liggers met een asmmetrische doorsnede. Daarom is in dit onderoek een ligger met een T doorsnede gemodelleerd in het eindige elementenprogramma ANSYS. Via dit programma wordt de stijfheidsmatri nmeriek bepaald, odat de analtisch bepaalde stijfheidsmatri hiermee kan worden gecontroleerd. Eerst is een ligger met een rechthoekige doorsnede bekeken, hiervoor wordt de analtisch bepaalde stijfheidsmatri betrowbaar geacht. De nmeriek bepaalde stijfheidsmatri wordt vergeleken met de analtisch bepaalde stijfheidsmatri. Afwijkingen tssen dee twee geven de onnawkerigheden van het nmerieke model aan. De verplaatsingen worden alleen via de hoekpnten van de ligger aan het model opgelegd. Om lokale vervormingen die hierdoor ontstaan, tegen te gaan is de E modls aan beide liggeriteinden vergroot. Ongeacht de grootte van de E modls of het aantal elementen waar dee op is toegepast komen de verschillen gemiddeld niet onder de 3%. Bij de ligger met de T doorsnede wordt de analtisch bepaalde stijfheidsmatri gecontroleerd met de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri. De verplaatsingen worden opgelegd via alle knopen (± 90 pnten) van een liggeriteinde, dit voorkomt het ontstaan van lokale vervormingen. De verschillen tssen de nmeriek en de analtisch bepaalde stijfheidsmatri ijn erg klein. Het meenemen van de afschifstijfheid, de vergrote wringstijfheid (welke ontstaat door het verhinderen van welving) en het corrigeren van het dwarskrachtencentrm, brengen het verschil terg tot minder dan 0,2%. Wat gelijk is aan de nawkerigheid van de eindigeelementen modellering. Hierit kan geconcldeerd worden dat de analtisch bepaalde stijfheidsmatri betrowbaar is voor de onderochte T ligger. Het verkleinen van de elementgrootte van het model is niet verder mogelijk vanwege beperkingen van de gebrikte personal compter. Door de manier van opleggen van de verplaatsingen, is het niet mogelijk tegelijkertijd wringstijfheid en bigstijfheid te meten, onder welving te verhinderen. V.A.G. Bron jni

4 Als vervolg onderoek o gekeken knnen worden naar liggers met een andere doorsnedevorm. Dit al meer inicht knnen geven in de verschillen tssen de nmerieke en de analtische bepaalde stijfheidsmatri. De ontwikkelde methode voor het opleggen van de verplaatsingen bij het nmerieke model kan gebrikt worden voor het onderoeken van andere stijfheidsmatrices, oals voor liggers die knnen kippen of knikken. V.A.G. Bron jni

5 Inhodsopgave Voorwoord... 2 Samenvatting... 3 Inhodsopgave Inleiding Methode Nmerieke rechthoekige ligger Uitgangspnten Methode Resltaten Conclsie Nmerieke T Ligger Uitgangspnten Methode Resltaten Verklaring afwijkingen Conclsie Aanbevelingen Bronnen Bijlage 1: Procentele afwijkingen stijfheidsmatrices, rechthoekige doorsnede Bijlage 2: De analtisch bepaalde stijfheidsmatri voor de T ligger Bijlage 3: Script, opleggen verplaatsing Bijlage 4: Script, afleen kracht Bijlage 5: Stijfheidsmatri met afschifvervorming Bijlage 6: Nmeriek bep. stijfheidsmatri T ligger, grove elementen Bijlage 7: Berekening DC V.A.G. Bron jni

6 1. Inleiding In dit onderoek wordt een o nawkerig mogelijk nmeriek model van een ligger met een asmmetrische doorsnede gemaakt. Hiermee al een stijfheidsmatri, welke verkregen is via differentiaal vergelijkingen, worden getoetst. Een stijfheidsmatri, is een verameling getallen welke het verband tssen vervormingen en de krachten weergeeft. Een stijfheidsmatri kan analtisch worden opgesteld door het oplossen van een differentiaalvergelijking met randvoorwaarden. Voor liggers met een profiel waarvan de doorsnede smmetrisch is, wordt dee analtische bepaalde stijfheidsmatri betrowbaar geacht. Echter, voor liggers met een asmmetrisch doorsnede (oals een L of T profiel) is de nawkerigheid van de analtisch bepaalde stijfheidsmatri oneker. Dit komt doordat het dwarskrachtencentrm niet samenvalt met het normaalkrachtencentrm (NC); wat bij een smmetrische doorsnede wel het geval is. Hierdoor kan bij een asmmetrische doorsnede torsie ontstaan. De nawkerigheid van de analtisch bepaalde stijfheidsmatri van de asmmetrische doorsnede is te controleren met behlp van een nawkerig 3D model berekend met een eindige elementenmethode. Dit onderoek al ich beperken tot het bekijken van één bepaalde asmmetrische doorsnede. Het nmerieke 3D model hiervoor wordt gemaakt met behlp van het eindige elementen programma ANSYS. In de rest van dit hoofdstk wordt dieper ingegaan op de bovenstaande onderdelen. V.A.G. Bron jni

7 Probleemstelling In voorgaand onderoek bleken er grote afwijkingen, bij een asmmetrische doorsnede, te bestaan tssen de analtisch verkregen stijfheidsmatri en de stijfheidsmatri bepaald met behlp van eindige elementenmethoden. Waar de afwijkingen door ontstonden bleef ondidelijk. Hierdoor was het niet mogelijk conclsies te trekken over de betrowbaarheid van de analtisch bepaalde stijfheidsmatri. In dit onderoek wordt een o nawkerig mogelijk nmeriek model van een ligger met een asmmetrische doorsnede gemaakt, odat de analtisch afgeleide stijfheidsmatri hieraan kan worden getoetst. Kortweg is het doel van dit onderoek: Het toetsen van de stijfheidsmatri voor een ligger met een asmmetrische doorsnede. Rechthoekige doorsnede Om tot dit nawkerige nmerieke model te komen, wordt eerst een smmetrische doorsnede onderocht. Hierbij wordt de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri vergeleken met de analtisch bepaalde stijfheidsmatri. Aangeien de analtisch bepaalde stijfheidsmatri betrowbaar wordt geacht voor smmetrische doorsneden. Afwijkingen tssen dee stijfheidsmatrices geven de onnawkerigheden van het nmerieke model aan. Voor de mogelijke onnawkerigheden die naar voren komen, worden oplossingen geocht alvorens de analtisch bepaalde stijfheidsmatri voor de asmmetrische doorsnede wordt gecontroleerd. Theorie De analtisch verkregen stijfheidsmatri is opgesteld door het oplossen van differentiaal vergelijkingen met randvoorwaarden. De differentiaal vergelijkingen ijn opgesteld door het combineren van de o genoemde constittieve, statische en kinematische betrekkingen. Aan dee betrekkingen liggen de Wet van Hooke en het principe van Bernoilli ten grond slag. Het nmerieke model al aan deelfde wetmatigheden moeten voldoen en ich ds ook lineair elastisch moeten gedragen. De afleiding van de stijfheidsmatri is te vinden in het boek Nmerical Mechanics, The displacement method geschreven door ir. A.W.M. Kok. F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 F 2 V.A.G. Bron jni

8 M 1 M 2 M 1 M 1 M M 2 2 Figr 1 Liggers met krachten en momenten De matri bestaat it elementen. Dit komt doordat beide iteinden van de ligger 6 vrijheidsgraden hebben,,, ϕ, ϕ en ϕ. Dee ijn weergegeven in Figr 1. Figr 2 toont de analtisch bepaalde stijfheidsmatri it het dictaat van ir. A.W.M. Kok. Figr 2 Stijfheidsmatri onder afschifvervorming 1 Relevant onderoek In het bachelor eindwerk 2 van J.R. van Noort is de stijfheidsmatri van een profiel met een U doorsnede onderocht. Dit onderoek stitte op grote afwijkingen (>100%) tssen de stijfheidsmatri bepaald via het nmerieke model en de analtische stijfheidsmatri. Als mogelijk ooraken voor de afwijkingen kwamen naar voren: 1. te weinig elementen in het nmerieke model 2. te grove krachtsinleiding in het model 3. welving Het meenemen van de afschifvervorming en het aanpassen van Figr 3 Definitie hoekverdraaiing de dwarscontractie bleken niet de ooraak te ijn, dee hadden een verwaarloosbare invloed. 1 Kok,A.W.M. (1991), Nmerical Mechanics, The displacement method, TU Delft, Bladijde 60 2 Noort, J.R. van (2009). Stijfheidsmatri van asmmetrische profielen. Bachelor-eindwerk, TU Delft. Online: V.A.G. Bron jni

9 Afschifvervorming Bij owel de asmmetrische als de smmetrische doorsnede wordt bij het analtisch bepalen van de stijfheidsmatri afschifvervorming niet mee genomen. Dit wordt gedaan omdat de vormfactor k (welke nodig is voor het bepalen van de stijfheidsmatri met afschifvervorming) niet betrowbaar wordt geacht. Het verwaarloen van de afschifvervorming al de stijfheden maar nihil beïnvloeden als het gaat om een ligger met een lange lengte, volgens het voorgaande onderoek van J.R. van Noort. Afbakening In dit onderoek wordt de dwarscontractie niet gevarieerd, omdat dit in het voorgaande onderoek een verwaarloosbaar effect bleek te hebben. Er is gekoen voor materiaaleigenschappen in overeenstemming met het eerder genoemde onderoek. E-modls = 2 10 N/mm 5 2 ν = 0.27 In dit onderoek wordt de stijfheidsmatri van één bepaalde asmmetrische doorsnede itgewerkt. Er is gekoen voor een T doorsnede, omdat dee een verticale smmetrieas heeft. De doorsnede heeft gelijkenissen met een stalen profiel. Andere asmmetrische doorsneden van liggerprofielen llen biten beschowing blijven. Eindige elementenmethode De nmeriek bepaalde stijfheidsmatri wordt opgesteld met behlp van een eindigeelementenmethode. Het model wordt gemaakt in het compter programma ANSYS. Het programma deelt de ligger (voor het programma een volme) op in elementen. De elementen ijn aan elkaar verbonden via knopen. Er ijn verschillende tpen elementen, die verschillen in vorm en in de positie van de knopen. In dit onderoek wordt het massieve element SOLID 45 gebrikt. SOLID 45 heeft een brick vorm (oals te ien in Figr 3) en alleen knopen op de hoekpnten. De elementen worden o klein mogelijk gekoen, odat het model o nawkerig mogelijk is. Figr 3 ANSYS volme element, tpe SOLID 45 V.A.G. Bron jni

10 2. Methode Wanneer de ligger in ANSYS gemodelleerd is en verdeeld is in elementen, wordt de vervorming aangebracht. Om de stijfheidsmatri te bepalen, wordt er een eenheidsverplaatsing opgelegd in de richting van een van de vrijheidsgraden. Op dee manier is de reactiekracht direct gelijk aan de stijfheid, ie bijvoorbeeld de vergelijking hieronder waarbij U 1 =1 en U 2 = 0. F1 k1,1 k1,2 1 k1,1 = = F k k 0 k 2 2,1 2,2 2,1 Een van de 12 verplaatsingen wordt opgelegd aan de gemodelleerde ligger. De krachten die door de vervorming ontstaan vormen samen één kolom van de stijfheidsmatri. Op dee manier worden alle 12 vervormingen afgelopen om de matri te vllen. Doordat de ligger smmetrisch is, komen in de linker en de rechter helft van de stijfheidsmatri deelfde elementen voor. Bij het vergelijken van de stijfheidmatrices is daarom alleen de linker helft bekeken. Afwijkingen tssen deelfde elementen llen namelijk gelijk ijn. De vervormingen worden aan de ligger opgelegd door de knopen van de elementen aan het iteinde van de ligger een verplaatsing te geven. De knopen aan het andere iteinde van de ligger worden vast geet odat de gewenste vervorming ontstaat. Het vast etten van de knopen geberd in ANSYS door in te voeren dat de verplaatsing 0 is. De reactiekrachten worden vervolgens berekend door de krachten in dee knopen bij elkaar op te tellen. Of oals bij de momenten, door de kracht maal de afstand tot het normaalkrachtencentrm bij elkaar op te tellen. De gevonden stijfheden worden vergeleken met de analtisch afgeleide stijfheden. Het verschil hier tssen wordt itgedrkt als percentage van de stijfheid. analtisch bep. stijfheid nmeriek bep. stijfheid Percentage = nmeriek bep. stijfheid V.A.G. Bron jni

11 3. Nmerieke rechthoekige ligger Als eerste onderdeel van het onderoek is begonnen met het modelleren van een ligger met een rechthoekige doorsnede. De stijfheidsmatri voor een ligger met een smmetrische doorsnede wordt betrowbaar geacht. Afwijkingen tssen de nmerieke en analtisch bepaalde stijfheidsmatri llen het gevolg ijn van onnawkerigheden van het nmerieke model, waardoor dit een goede toets voor het model vormt. 3.1 Uitgangspnten Bij de smmetrische doorsnede is gekoen voor een ligger met de onderstaande afmetingen en eigenschappen. De oorsprong van het assenstelsel ligt in het waartepnt, wat tevens het normaalkrachten en dwarskrachtencentrm is bij dee doorsnede, ie Figr 4. h = 200 mm b = 100 mm L = 3000 mm I = *10 7 mm 4 I = *10 7 mm 4 I w = 4.58*107 mm 4 G = N/mm 2 Figr 4 Nmeriek model, Rechthoekige doorsnede onder wringend moment 3.2 Methode Zoals beschreven, worden de verplaatsingen opgelegd aan de ligger door knopen aan de iteinden een verplaatsing te geven. De knopen die hiervoor worden gekoen ijn de hoekpnten van de rechthoek. Uit het eerder genoemde onderoek bleek dat dit onbedoelde vervormingen tot gevolg had, oals te ien in Figr 5. Als oplossing hiervoor worden de eerste paar rijen elementen, aan beide liggeriteinden, voorien van een hogere E modls. Hierdoor worden de verplaatsingen meer gelijkmatig het model in geleid en ontstaan er geen onbedoelde vervormingen. V.A.G. Bron jni

12 Figr 5 Onbedoelde vervorming bij opleggen verplaatsing op hoekpnt Het vergroten van de E modls heeft wel effect op de krachten die ontstaan door de opgelegde vervormingen en daarmee op de stijfheidsmatri. Welke E modls voldoende is om het inleiden van de krachten voldoende te verbeteren, maar de resltaten niet te veel beïnvloed is onderocht. Dit is gedaan door te variëren in E modls en het aantal rijen elementen waarop dee worden toegepast. Er is gekeken naar E=2*10 7 N/mm 2, E=1*10 7 N/mm 2, E=5*10 6 N/mm 2, respectievelijk 100 keer, 50 keer en 25 keer o groot dan de E modls van de rest van de ligger. In Tabel 1 staan dee op de verticale as. Figr 6 Vergrote E modls aan beide iteinden van de ligger Het toepassen van dee vergrote E modls is gedaan aan beide kanten van de ligger, op de eerste 2, 3 en 4 rijen elementen. In Figr 6 is te ien hoe de eerste 3 rijen elementen van de ligger een andere materiaaleigenschap hebben. De elementen in dit model hebben een afmeting van 12,5 mm 12,5 mm. Het aantal rijen elementen waarvoor de vergrote E modls is toegepast staat op de horiontale as in Tabel 1 op bl. 14. Het variëren van dee onderdelen levert 9 stijfheidsmatrices op. Bij dit onderoek ijn niet alle 144 elementen van de stijfheidsmatri onderocht. Er is gekeken naar 3 elementen behorende bij de vervormingen: = 1, = 1, ϕ = 1. V.A.G. Bron jni

13 3.3 Resltaten De nmeriek verkregen stijfheidsmatrices ijn vergeleken met de analtisch bepaalde stijfheidsmatri. Het verschil is itgedrkt in procenten. De ligger waarvoor over de gehele lengte E=2*10 5 N/mm 2 is toegepast en ds geen verstevigde liggeriteinden heeft, is hieronder weergegeven in Matri 1. F 61.83% F 65.67% = F M 13.73% ϕ Matri 1 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met E=2*10 5 N/mm 2 In het nmerieke model van Matri 1 ontstaan bij het opleggen van de verplaatsingen de onbedoelde vervormingen oals getoond in Figr 5. De stijfheden die bij dat model gevonden worden wijken dan ook tssen de % af van de analtisch afgeleide stijfheden. De drie matrices waarbij er drie rijen met elementen aan de liggeriteinden een vergrote E modls hebben staan hieronder. De rest van de matrices met procentele afwijkingen staan in Bijlage 1. F 5.48% F 0.46% = F M 3.49% ϕ Matri 2 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 3 element rijen met E=5*10 6 N/mm 2 F 1.42% F 3.97% = F M 4.04% ϕ Matri 3 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 3 rijen E=1*10 7 N/mm 2 V.A.G. Bron jni

14 F 0.74% F 6.23% = F M 4.33% ϕ Matri 4 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 3 element rijen met E=2*10 7 N/mm 2 De afwijking tssen de nmeriek afgeleide stijfheidsmatri en de analtisch bepaalde stijfheidsmatri ijn kleiner bij het toepassen van verstevigde liggeriteinden. Te ien is ook dat de procentele afwijkingen per element in de stijfheidsmatri (dwarskracht, normaalkracht of torsie) verschillend veranderen door het aanpassen van de E modls. Element [1.1] heeft bij E=5*10 6 N/mm 2 een grotere afwijking dan bij E=2*10 7 N/mm 2. Terwijl element [2.2] de kleinste afwijking bij E=5*10 6 N/mm 2 heeft. Het gemiddelde van de absolte procentele afwijkingen van de 9 matrices staan hieronder in Tabel 1. E vergroot is E vergroot is E vergroot is toegepast op 2 rijen toegepast op 3 rijen toegepast op 4 rijen E vergroot =2*10 7 6,43% 3,76% 3,99% E vergroot =1*10 7 4,04% 3,14% 5,43% E vergroot =5*10 6 3,28% 3,14% 3,58% Tabel 1 Gemiddelde absolte procentele afwijking tssen de nmerieke en analtische stijfheidsmatri De afonderlijke afwijkingen liggen tssen de 0.1 en 10 %. Het verschilt per element van de stijfheidsmatri wanneer dee ijn kleinste afwijking heeft. Hierdoor ijn de gemiddelde procentele afwijkingen overal tssen de 3 en 7 %. V.A.G. Bron jni

15 3.4 Conclsie Het inleiden van de krachten kan worden verbeterd door het toepassen van stijvere elementen aan de liggeriteinden. De procentele afwijking tssen de nmerieke en de analtisch bepaalde stijfheidsmatri van de ligger onder verstevigde liggeriteinden it tssen de %, oals te ien in Matri 1. Dit is significant meer dan de afwijkingen tssen de 0.1 en 10 %, welke gevonden worden bij het toepassen van verstevigde liggeriteinden. Er treden bij de verstevigde ligger iteinden geen onbedoelde vervormingen op. Bij het toepassen van verstevigde liggeriteinden, met als doel een betere krachtsinleiding, kan een nawkerigheid van niet meer dan enkele procenten (0 8%) bereikt worden. Het variëren van het aantal verstevigde rijen elementen en het vergroten van de E modls beïnvloeden allebei de nawkerigheid. Gemiddeld over de stijfheidsmatri wordt de procentele afwijking niet minder dan de 3%. V.A.G. Bron jni

16 4. Nmerieke T-Ligger De stijfheidsmatri voor een asmmetrische doorsnede wordt bepaald met behlp van het eindige elementen programma ANSYS. Hiermee wordt de analtisch bepaalde stijfheidsmatri vergeleken. Daarna wordt bekeken wat de invloed is van verschillende fenomenen op de gevonden afwijkingen tssen de stijfheidsmatrices. 4.1 Uitgangspnten Bij de asmmetrische doorsnede is gekoen voor een T ligger met de onderstaande afmetingen en eigenschappen. De oorsprong van het assenstelsel ligt in het waartepnt. h = 200 mm b = 100 mm L = 3000 mm t lijf =11 mm t flens =11mm ΔNC= mm I =9.3763*10 5 mm 4 I = *10 5 mm 4 I 3 w = mm 4 G = N/mm 2 ΔDC= mm ΔDC= 0 mm ΔNC= 0 mm De analtisch afgeleide stijfheidsmatri van dee T doorsnede is weergegeven in Bijlage Methode De analtisch bepaalde stijfheidsmatri wordt vergeleken met de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri. Alvorens er iets kan worden geegd over de nawkerigheid van de analtisch bepaalde stijfheidsmatri, moet eerst de nawkerigheid van de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri worden bepaald. Dit wordt gedaan door de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri nogmaals af te leiden maar dee keer wordt het nmerieke model opgebowd it dbbel o V.A.G. Bron jni

17 grote elementen. Het verschil tssen de twee nmeriek bepaalde stijfheidsmatrices geeft de fot die ontstaat door de element grootte van het nmerieke model. Het verschil tssen de nmeriek en de analtisch bepaalde stijfheidsmatri voor betrowbare elementen it de stijfheidsmatri (bijv. element [1.1],stijfheid door normaalkracht vervorming) toont aan of via het nmerieke model een betrowbare stijfheidsmatri is bepaald. Verplaatsingen opleggen In tegenstelling 3 tot de rechthoekige doorsnede, ijn bij de T doorsnede de verplaatsingen aan alle knopen van de elementen van het liggeriteinde opgelegd, oals te ien in Figr 7. Dit ijn ongeveer 90 knopen, in plaats van 4. Figr 7 Stenpnten op alle knopen in het liggeriteinde van het nmerieke model. Hierdoor wordt voorkomen dat er ongewenste verplaatsingen optreden oals te ien in Figr 5 op pagina 12. De verplaatsingen ijn aangebracht met behlp van scripts, welke elke knoop de gewenste verplaatsing geeft afhankelijk van ijn afstand tot het waartepnt. Een van de scripts is toegevoegd in Bijlage 3. Doordat de verplaatsingen op alle knopen van het liggeriteinde ijn opgelegd, ontstaan er ook reactiekrachten in al dee knopen. Het itleen van de krachten en momenten was daardoor niet meer mogelijk via de standaard ANSYS fncties. De krachten en momenten ijn berekend via scripts. Een van de scripts is toegevoegd in Bijlage 4. 3 Bepaald door R. Nirmalsingh gebrikmakend van het programma ShapeDesigner. V.A.G. Bron jni

18 Stenpnten De vervormingen die aan het model worden opgelegd moeten overeenkomen met de itgangspnten van de analtisch bepaalde matri. De gekoen stenpnten die aan het model worden opgelegd, mogen dee vervormingen niet verhinderen. Zo is bijvoorbeeld vervorming in richting deels vrij gelaten bij het opleggen van een eenheidsverplaatsing in richting ( = 1). Zodat het vergroten van de liggerdoorsnede door het indrkken van de ligger op kan treden, te ien in Figr 8. Figr 8 Vervormde ligger met de verplaatsing = 1 Bij meerdere vervormingen was een dergelijk itgangspnt van toepassing. De stenpnten beïnvloeden de stijfheid welke gevonden wordt. (Voor wringing wordt hier dieper op ingegaan in hoofdstk 4.4.1) De stenpnten staan hieronder getekend per opgelegde vervorming. In richting ijn altijd alle knopen van een liggeriteinde vast geet. Voor het opleggen van de vervormingen ijn ook altijd alle knopen van een liggeriteinde verplaatst (bijv bij = 1 ijn alle knopen aan een liggeriteinde 1 mm verplaatst in richting). De verplaatsingen die naast figren ijn geschreven gelden voor alle knopen van het liggeriteinde waar e naast staan. Een stenpnt welke op een enkele knoop van het liggeriteinde werkt, staat als pijltje aangegeven in de figr. = 1 = 1 = 1 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 1 = 0 = 1 = 0 = 1 V.A.G. Bron jni

19 ϕ = 1 ϕ = 1 ϕ = 1 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = = = = 0 = = 0 Figr 9 Oplegreacties ingevoerd ANSYS per opgelegde vervorming, de liggerlengte is niet in verhoding. Afschifvervorming Eerst wordt de analtisch bepaalde stijfheidsmatri waarbij afschifvervorming is verwaarloosd vergeleken met de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri. Dit wordt gedaan omdat de vormfactor k welke de doorsnede redceert, en nodig is voor het bepalen van de afschifvervorming, niet betrowbaar wordt geacht. De factor k staat in de onderstaande formles, de toepassing hiervan is te ien in Bijlage 5. De nmeriek bepaalde stijfheidsmatri, van de ligger met de T doorsnede, wordt daarom eerst vergeleken met de analtisch bepaalde stijfheidsmatri waarbij afschifvervorming niet is meegenomen. Uit dee vergelijking volgen de verschillen tssen de nmeriek en de analtisch bepaalde stijfheidsmatri, welke het gevolg ijn van onnawkerigheden in het nmerieke model, of in de analtische afleiding. Vervolgens wordt de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri vergeleken met de analtisch bepaalde stijfheidsmatri waarbij afschifvervorming wel is mee genomen. De verandering die hierdoor ontstaat in de afwijking tssen de matrices, is het gevolg van het meenemen van de afschifvervorming. Door vervolgens de vormfactor k te variëren, kan worden bekeken welke formle voor de vormfactor het meest nawkerig is voor dee T doorsnede. Vergelijking 1 Onderdeel van de analtisch bepaalde stijfheidsmatri met afschifvervorming it Bijlage L 1 = + λ 12EI k GA 2 1 L 1 = + λ 12EI k GA V.A.G. Bron jni

20 4.3 Resltaten Het nmerieke model met de kleinste elementen geeft de meest nawkerige stijfheidsmatri. ANSYS heeft een beperkt aantal knopen waarmee het programma kan rekenen. De kleinste elementen voor de T ligger hebben hierdoor de afmeting mm (dx,dy,dz), Figr 10 fijne elementen Matri 5. te ien in Figr 10. De nmeriek bepaalde stijfheidsmatri welke is verkregen bij dee element grootte is voor de helft afgebeeld in Matri 5 Nmeriek bepaalde stijfheidsmatri van ligger met T doorsnede Grije elementen De grije elementen in Matri 5 oden volgens de theorie nl moeten ijn. Door onnawkerigheden van het model ijn dee elementen niet nl, terwijl e dit wel ijn in de analtische bepaalde stijfheidsmatri. Er is gewerkt met 10 significante cijfers. De grootste afwijkingen in de 5 e kolom als gevolg van hoekverdraaiingϕ, ijn de stijfheden welke ontstaan doordat er een normaalkracht is. De normaalkracht ontstaat door het opleggen van de hoekverdraaiing, want om ϕ = 1 op te leggen, krijgen de knopen in één liggeriteinde een verplaatsing opgelegd in richting. Zoals te ien in Figr 11 bij het rechter liggeriteinde. Dit V.A.G. Bron jni

21 orgt voor een grote drkkracht boven het NC en een trekkracht onder het NC. De resltanten van dee krachten ijn 6 *10 6 N, met een verschil er tssen van 4908 N wat overeenkomt met de grootte van de stijfheid voor F. Dat is een eer klein percentage (0,08 %) van de resltante. Figr 11 Zijaanicht van de vervormde ligger ϕ = 1. Door de normaalkracht ontstaan de bigende momenten. Dit is ook de reden waarom de bigende momenten niet nl ijn bij ϕ = 1 ϕ. Op de waarden in kolom van wordt ingegaan in paragraaf De rest van dit rapport al ijn gericht op de elementen van de matri welke niet nl ijn Procentele afwijking De analtisch bepaalde stijfheidsmatri is vergeleken met de nmeriek verkregen stijfheidsmatri. De afwijkingen itgedrkt in een percentage van de stijfheid ijn te ien in Tabel 2. F 1 0,00% -100,00% 0,00% -100,00% -100,00% -100,00% F 1-100,00% 0,17% 0,00% 1,11% -100,00% 0,17% F 1-100,00% -100,00% 2,22% -100,00% 2,22% -100,00% M 1-100,00% 1,17% -100,00% -5,89% -100,00% 1,17% M 1-100,00% -100,00% 2,22% -100,00% 1,64% -100,00% M 1-100,00% 0,17% -100,00% 1,11% -100,00% 0,11% F 2 0,00% -100,00% 0,00% -100,00% -100,00% -100,00% F 2-100,00% 0,17% -100,00% 1,11% -100,00% 0,17% F 2-100,00% -100,00% 2,22% -100,00% 2,22% -100,00% M 2-100,00% 1,17% -100,00% -5,89% -100,00% 1,17% M 2-100,00% -100,00% 2,22% -100,00% 3,40% -100,00% M 2-100,00% 0,17% -100,00% 1,11% -100,00% 0,27% Tabel 2 Procentele afwijking van analtische bepaalde matri t.o.v. nmeriek bepaalde matri ϕ ϕ ϕ V.A.G. Bron jni

22 De elementen welke nl ijn in de analtische matri, maar niet in de nmerieke matri hebben 100 procent afwijking, ongeacht de grootte van dee niet nl waarde. Om te orgen dat dit geen verkeerd beeld geeft, ijn dee waarden grijs gemaakt. Te ien is dat de meeste afwijkingen tssen de 0 en de 2,5 % liggen. Dit is erg weinig. Voor een constrcter is de nawkerigheid van 2,5 % voldoende. De kleine afwijking geeft ook aan dat er geen grote verschillen itten tssen de analtisch bepaalde stijfheidsmatri en de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri voor de onderochte doorsnede. De afwijking van 0.00% van de stijfheid onder normaalkracht vervorming geeft aan dat met het nmerieke model een betrowbare stijfheidsmatri is bepaald voor de T doorsnede. 4.4 Verklaring afwijkingen Welving De grootste procentele afwijking ( 5,89%) tssen de nmeriek en de analtisch afgeleide stijfheid, treedt op bij het opleggen van wringing ( ϕ = 1). De vervormde ligger is te ien in Figr 12. Figr 12 Vervormde ligger met ϕ = 1 De afwijking o knnen komen doordat de ligger gaat welven. Welving is het vervormen van de doorsnede waardoor de liggeriteinden ich verplaatsen in langs richting. Informatie over welving is te vinden in Aantekeningen over wringing 4. Welving kan bij de analtisch afgeleide matri vrij optreden, maar bij het nmerieke model van de bovenstaande resltaten ijn de liggeriteinden in richting vast geet. Hierdoor wordt welving verhinderd en is de 4 Hoogenboom, P.C.J. (2008), Aantekeningen over wringing, Goda: Betonvereniging online: V.A.G. Bron jni

23 wringstijfheid groter. De mate waarmee de wringstijfheid vergroot, is te berekenen met de factor f, vergelijking (1.1) en (1.2). De formles 4, ijn afgeleid door Dr. Ir. P. C. J. Hoogenboom. E C Lc = w G J L f = = L 2 Lc Wanneer de wringstijfheid ( G I w ) it de analtisch bepaalde stijfheidsmatri wordt (1.1) (1.2) vermenigvldigd met de factor f, dan al de torsiestijfheid voor verhinderde welving worden gevonden. Wanneer de via ANSYS gevonden stijfheid wordt vergeleken met de niewe torsiestijfheid, dan wijkt dit nog maar 1,48% af, in plaats van 5,89%. Het verschil in stijfheid lijkt inderdaad te komen door het verhinderen van welving. In de rest van dit rapport al 1,48% afwijking worden gebrikt. Bij het nmerieke model waarbij welving wordt verhindert wijken de stijfheid voor de dwarskracht en het bigend moment 1,11 % af. Dit it in deelfde orde van grootte als de rest van de afwijkingen van de matri it Tabel 2 op bl. 21. De bigstijfheden lijken niet beïnvloed door de spanningen welke ontstaan bij het verhinderen van welving. Om deelfde stijfheid als in de analtisch afgeleide matri te vinden, o welving vrij op moeten knnen treden. Hiervoor is het nodig dat het model vrij kan vervormen in richting. Dit is gedaan door 1 knoop in richting vast te etten. Het resltaat staat in de Tabel 3 in de rechterkolom. In de linkerkolom staan de waarden it Tabel 2. Met procent afwijking wordt de procentele afwijking van de analtisch ten opichte van de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri bedoeld, net oals in de voorgaande tabellen. Verhinderde welving Welving vrij Stijfheid ϕ = 1 % afwijking Stijfheid ϕ = 1 % afwijking F 1-0, ,00% 0,00 0,00% F ,44 1,11% 0,00 % F 1 16,72-100,00% 0,00 0,00% M ,54-5,89% ,62 7,87% M ,52-100,00% -0,03-100,00% M ,70 1,11% 0,00 % Tabel 3 Wringingstijfheid bepaald met nmeriek model, variatie in het verhinderen van welving V.A.G. Bron jni

24 In de rechterkolom, waarbij welving vrij op kan treden, is te ien dat de stijfheid die voor M 1 wordt gevonden kleiner is. Dee wringstijfheid ligt dicht in de brt van G I / L, dit komt doordat er geen bigstijfheid is. Dee o er wel moeten ijn volgens de analtische afleiding. Dat er geen bigstijfheid is komt doordat momenten om de en de as ontstaan door normaalkracht (kracht in richting) te vermenigvldigen met hn afstand tot het normaalkrachtencentrm. Er is alleen geen normaalkracht, doordat er geen oplegreacties in richting ijn. Bij het opleggen van ϕ = 1 ontstaat daardoor geen normaalkracht en ds ook geen bigend moment. Het is niet mogelijk om welving vrij op te laten treden en tegelijkertijd bigstijfheid te krijgen, wanneer de verplaatsingen via de knooppnten van het liggeriteinde aan de ligger op worden gelegd. w V.A.G. Bron jni

25 4.4.2 Element grootte De nmeriek bepaalde stijfheidsmatri heeft een bepaalde onnawkerigheid, doordat het nmeriek model rekent met elementen van 10.5 mm, terwijl dee blokken er in de werkelijkheid niet ijn. Om te onderoeken wat de fot is door dee elementgrootte, is er een tweede model onderocht. Dat model heeft elementen met ribben welke twee keer o lang ijn als die van het voorgaande model. De elementen ijn mm (d,d,d). Nmeriek is er een deel van de stijfheidsmatri bepaald met dit model met de grove elementen. De stijfheden die ijn gevonden ijn afgebeeld in Bijlage 6. De procentele afwijking tssen de nmeriek bepaalde stijfheidsmatrices met de grove elementen en die met de fijne elementen is Figr 13 grove elementen te ien in Tabel 4. F 1 0,00% ϕ ϕ ϕ F 1 0,06% -0,12% 0,06% F 1 0,05% 0,05% M 1-0,20% 2,32% -0,20% M 1 0,05% 0,04% M 1 0,06% -0,11% 0,05% Tabel 4 Procentele verschil tssen de nmeriek bepaalde stijfheid met grove en de fijne elementen De positieve percentages in de tabel, betekenen dat de stijfheid bepaald met het grove nmerieke model dichterbij de analtische stijfheid ligt dan de stijfheid bepaald met het fijne model. Dit komt doordat een model met fijnere elementen ich minder stijf gedraagt dan een model met grove elementen. En de via ANSYS bepaalde stijfheid is minder groot dan de analtisch bepaalde stijfheid. De verschillen tssen de nmeriek bepaalde stijfheden, waarbij de elementgrootte verschillen, is eer klein. Op wringing na ijn de verschillen maimaal 0.2 %. De nmeriek bepaalde stijfheidsmatri, al maar weinig nawkeriger worden wanneer er voor nog kleinere elementen wordt gekoen. V.A.G. Bron jni

26 4.4.3 Afschifvervorming Bij het analtisch bepalen van de stijfheidsmatri, die vergeleken is met de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri, is afschifvervorming niet meegenomen, omdat de vormfactor k (welke nodig is voor het bepalen van de stijfheidsmatri met afschifvervorming) niet betrowbaar wordt geacht. Daarbij bleek in het voorgaande onderoek 2 dat afschifvervormingen een verwaarloosbare invloed hebben. Het niet meenemen van de afschifvervorming in de analtische afleiding van de stijfheidsmatri, o voor afwijkingen tssen de analtisch en de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri knnen orgen. Om dit te controleren is de analtisch afgeleide stijfheidsmatri waarbij afschifvervorming wél is mee genomen (te ien in Bijlage 5) ook vergeleken met de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri. De procentele afwijking tssen dee twee stijfheidsmatrices wordt weergegeven in Tabel 5. F 1 0,00% -100,00% -100,00% -100,00% -100,00% -100,00% F 1-100,00% 0,01% -100,00% 0,96% -100,00% 0,01% F 1-100,00% -100,00% 0,03% -100,00% 0,03% -100,00% M 1-100,00% 1,02% -100,00% -1,49% -100,00% 1,02% M 1-100,00% -100,00% 0,03% -100,00% 0,00% -100,00% M 1-100,00% 0,01% -100,00% 0,96% -100,00% 0,00% F 2 0,00% -100,00% -100,00% -100,00% -100,00% -100,00% F 2-100,00% 0,01% -100,00% 0,96% -100,00% 0,01% F 2-100,00% -100,00% 0,03% -100,00% 0,03% -100,00% M 2-100,00% 1,02% -100,00% -1,49% -100,00% 1,02% M 2-100,00% -100,00% 0,03% -100,00% 0,07% -100,00% M 2-100,00% 0,01% -100,00% 0,96% -100,00% 0,04% Tabel 5 Procentele afwijking tssen de analtische en de nmeriek bepaalde stijfheidsmatri, met afschifvervorming ϕ ϕ ϕ Als voor vormfactor k = 0.65 wordt gekoen, dan worden de bovenstaande afwijkingen gevonden. Dee waarde voor k geeft de kleinste verschillen tssen de analtisch en de nmeriek bepaalde stijfheidsmatrices. Wanneer de T ligger wordt geien als een I profiel. Dan geldt voor bepaling van de vormfactor de vergelijking (2.1). Hierit volgt k=0,65. A 1 η = k = A η lijf (2.1) De procentele afwijkingen tssen de analtisch en de nmeriek bepaalde stijfheidsmatrices worden kleiner bij het mee nemen van afschifvervorming. V.A.G. Bron jni

27 4.4.4 Dwarskrachtencentrm Zoals te ien in Tabel 5, is de procentele afwijking voor meerdere stijfheden 0,01%. Echter voor de stijfheid van M 1 is de afwijking 1,02 %. Een torsiemoment ontstaat doordat de dwarskracht aangrijpt in het dwarskrachtencentrm. De vergelijking die erbij hoort is M 1 = F1 e. Waarbij e de afstand is tssen het normaalkrachtencentrm en het dwarskrachtencentrm (DC). De nmerieke waarde voor de afstand e is te berekenen door M 1 te delen door F 1. De itkomst hiervan staat in de onderste rij van Tabel 6. ϕ F 1 83, M , e -62,53 mm -62,53 mm Tabel 6 Deel v d nmeriek bepaalde stijfheidsmatri Bij de analtisch bepaalde stijfheidsmatri is itgegaan van een e van 63,16 mm, de berekening staat in Bijlage 7. Het verschil in e o knnen komen doordat de locatie van het dwarskrachtencentrm bij de analtische afleiding berekend is voor een platte doorsnede. Terwijl de doorsnede in het nmerieke 3D model wel een diepte (ligger lengte) heeft. Wanneer bij de analtisch bepaalde stijfheidsmatri voor e de afstand 62,53 mm wordt ingevld, worden de volgende afwijkingen tssen de analtische en de nmerieke bepaalde stijfheden gevonden. Het verschil wordt voor bijna alle elementen terg gebracht tot minder 0,1 %. F 1 0,00% -100,00% 0,00% -100,00% -100,00% -100,00% F 1-100,00% 0,01% 0,00% -0,05% -100,00% 0,01% F 1-100,00% -100,00% 0,04% -100,00% 0,04% -100,00% M 1-100,00% 0,01% -100,00% -1,65% -100,00% 0,01% M 1-100,00% -100,00% 0,04% -100,00% 0,01% -100,00% M 1-100,00% 0,01% -100,00% -0,05% -100,00% 0,00% F 2 0,00% -100,00% 0,00% -100,00% -100,00% -100,00% F 2-100,00% 0,01% -100,00% -0,05% -100,00% 0,01% F 2-100,00% -100,00% 0,04% -100,00% 0,04% -100,00% M 2-100,00% 0,01% -100,00% -1,65% -100,00% 0,01% M 2-100,00% -100,00% 0,04% -100,00% 0,09% -100,00% M 2-100,00% 0,01% -100,00% -0,05% -100,00% 0,04% Tabel 7 Procentele afwijking tssen analtische en nmeriek bepaalde stijfheidsmatri, wanneer afschifvervorming, het verhinderen van welving en de verschiving van het DC worden meegenomen. V.A.G. Bron jni ϕ ϕ ϕ

28 5. Conclsie De ontwikkelde aanpak blijkt geschikt om analtisch bepaalde stijfheidsmatrices te controleren met ANSYS. De nmeriek bepaalde stijfheidsmatri, van een asmmetrische T doorsnede, verschilt maar enkele procenten van de analtische bepaalde stijfheidsmatri. Voor praktische toepassing is dit verschil verwaarloosbaar. Een belangrijke conclsie is derhalve dat de analtisch bepaalde stijfheidsmatri betrowbaar is voor de onderochte T ligger. Om theoretische redenen is de ooraak voor de enkele procenten verschil onderocht. De volgende aspecten ijn hierbij beschowd: 1) Rekennawkerigheid 2) De elementgrootte 3) Het verhinderen van welving aan de iteinden 4) Het in rekening brengen van de afschifvervorming 5) Positie van het dwarskrachtencentrm Rekennawkerigheid De elementensoftware ANSYS representeert getallen met ongeveer 16 cijfers. Bij het nmeriek oplossen van de vergelijkingen wordt de nawkerigheid minder. Uit de berekening van de stijfheid van de ligger door normaalkracht vervorming, blijkt dat de stijfheidsresltaten ongeveer 10 significante cijfers hebben. De fot die hierdoor ontstaat is verwaarloosbaar ten opichte van de geconstateerde verschillen. Element grootte De fot die ontstaat door de grootte van de elementen van het gebrikte nmerieke model is erg klein, tssen de 0 en 0,2 %. Het verkleinen van de elementen van het model al de nmeriek gevonden stijfheid niet dichter bij de analtische verkregen stijfheid brengen. Dit komt doordat een model met kleinere elementen ich minder stijf al gedragen en de nmeriek gevonden stijfheidsmatri is minder stijf dan de analtisch bepaalde stijfheidsmatri. V.A.G. Bron jni

29 Welving Het verschil in stijfheid tssen de nmeriek bepaalde wringstijfheid en de analtische bepaalde wringstijfheid in de onderochte T ligger komt deels door het verhinderen van welving. Bij de in dit onderoek bekeken ligger orgt het verhinderen van welving voor een grotere wringstijfheid van een ongeveer procent 5%. Het verhinderen van welving lijkt geen effect te hebben op de dwarskracht en de bigingsstijfheid van de bekeken ligger. Het is niet mogelijk welving op te laten treden in het nmerieke model en tegelijkertijd de bigstijfheid te berekenen, wanneer de verplaatsingen aan het iteinde van de ligger worden opgelegd. Immers, om welving vrij op te laten treden moeten de iteinden van de ligger in richting vrij gelaten worden. Doordat de iteinden in richting knnen verplaatsen ontstaan er geen bigende momenten. Afschifvervorming Door het meenemen van afschifvervorming worden de verschillen tssen de analtisch en de nmeriek bepaalde stijfheidsmatrices van ongeveer 2 % verkleind tot ongeveer 1 %. Bij de onderochte T doorsnede, komt de analtisch bepaalde stijfheidsmatri inclsief afschifvervorming, het dichts bij de nmeriek bepaalde stijfheden in de brt wanneer de vormfactor k wordt berekend via de formle (2.1) welke oorspronkelijk gebrikt wordt voor het bepalen van de vormfactor k voor een I profiel. Dwarskrachtencentrm Een andere reden voor een deel van de afwijkingen kan ijn, het afwijking van de locatie van het dwarskrachtencentrm in het nmerieke 3D model t.o.v. de locatie berekend bij een platte doorsnede. Dit verschil in locatie is slechts 0,7 mm. De verschillen tssen de analtisch en de nmeriek bepaalde stijfheidsmatrices knnen voor bijna alle elementen worden terggebracht tot minder dan 0,2 % als owel de wringstijfheid, de afschifstijfheid en de plaats van het dwarskrachtencentrm heel weinig worden gecorrigeerd. Dit is gelijk aan de nawkerigheid van de eindige elementenmodellering. V.A.G. Bron jni

30 6. Aanbevelingen In dit onderoek ijn de verschillen tssen ANSYS en de theoretische stijfheidsmatri erg klein. Echter, er is alleen gekeken naar een T doorsnede. Het onderoeken van liggers met een andere doorsnedevorm al meer inicht knnen geven in de verschillen tssen de nmeriek en de analtisch bepaalde stijfheidsmatri. De stijfheidsmatri voor een dbbel asmmetrische doorsnede is daarbij erg interessant omdat hierbij nog meer termen in de stijfheidsmatri ongelijk aan nl ijn. Het blijkt goed mogelijk om met ANSYS, analtisch bepaalde stijfheden te controleren op een paar procent nawkerig. De hierbij ontwikkelde aanpak o ook gebrikt knnen worden voor het onderoeken van andere stijfheidsmatrices oals voor liggers die knnen kippen of knikken. (Of andere fenomenen waar de waarden n nog niet nawkerig bekend van ijn) Geconcldeerd is dat wringstijfheid niet kan worden gevonden met de ontwikkelde aanpak, onder welving te verhinderen. Onderocht o knnen worden hoeveel de wringstijfheid vergroot door het verhinderen van welving. In dit onderoek is geprobeerd daar meer inicht in te krijgen door welving geheel of gedeeltelijk vrij op te laten treden. Echter de vergroting van de wringstijfheid kan hier niet it worden bepaald. Voor het onderoeken van de toename van de wringstijfheid door het verhinderen van welving al dan ook een niewe aanpak moeten worden bedacht. V.A.G. Bron jni

31 Bronnen Hartsijker,C. (2001) Toegepaste Mechanica, deel 2: Spanningen, vervormingen, verplaatsingen, Den Haag: Academic Service Hoogenboom, P.C.J. (2008), Aantekeningen over wringing, Goda: Betonvereniging online: Kok, A.W.M. (1991), Nmerical Mechanics The displacement method, TUDelft Noort, J.R. van (2009). Stijfheidsmatri van asmmetrische profielen. Bachelor-eindwerk, TU Delft. Online: V.A.G. Bron jni

32 Bijlagen Bijlage 1: Procentele afwijkingen tssen stijfheidsmatrices, rechthoekige doorsnede Bijlage 2: Analtisch bepaalde stijfheidsmatri voor de T doorsnede Bijlage 3: Script, opleggen verplaatsing Bijlage 4: Script, afleen kracht Bijlage 5: Stijfheidsmatri met afschifvervorming Bijlage 6: Nmeriek bepaalde stijfheidsmatri T ligger, grove elementen Bijlage 7: Berekening e V.A.G. Bron jni

33 Bijlage 1: Procentele afwijkingen stijfheidsmatrices, rechthoekige doorsnede. Nmeriek verkregen stijfheidsmatrices van de ligger met de rechthoekige doorsnede ijn vergeleken met de analtisch bepaalde stijfheidsmatri. Het verschil is itgedrkt in procenten. Het nmerieke model is opgebowd it elementen van het tpe SOLID 45. De elementen hebben ribben met een lengte van mm lang. Bij het model ijn de liggeriteinden verstevigd met een hogere E modls. Het aantal elementen waarop dee verhoogde E modls is toegepast en de grootte van de E modls ijn gevarieerd. 2 rijen Wanneer er 2 rijen elementen aan beide liggeriteinden een vergrote E modls krijgen. Dan worden de volgende procentele afwijkingen gevonden. F 0.05% F 5.35% = F M 4.44% ϕ Matri 6 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 2 element rijen met E=5*10 6 N/mm 2 F 4.37% F 0.11% = F M 7.67% ϕ Matri 7 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 2 rijen E=1*10 7 N/mm 2 F 6.96% F 2.76% = F M 9.60% ϕ Matri 8 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 2 element rijen met E=2*10 7 N/mm 2 V.A.G. Bron jni

34 4 rijen Wanneer er 4 rijen elementen aan beide liggeriteinden een vergrote E modls krijgen. Dan worden de volgende procentele afwijkingen gevonden. F 3.65% F 2.68% = F M 4.42% ϕ Matri 9 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 4 element rijen met E=5*10 6 N/mm 2 F 0.11% F 6.89% = F M 4.97% ϕ Matri 10 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 4 rijen E=1*10 7 N/mm 2 F 2.02% F 9.00% = F M 5.26% ϕ Matri 11 Procentele afwijking bij rechthoekige doorsnede met 4 element rijen met E=2*10 7 N/mm 2 V.A.G. Bron jni

35 Bijlage 2: De analtisch bepaalde stijfheidsmatri voor de T-ligger Voor de ligger met de T doorsnede, waarvan de afmetingen staan op pagina 16, is de stijfheidsmatri analtisch bepaald. Dit is gedaan door de waarden in te vllen in de stijfheidsmatri it het dictaat Nmerical Mechanics, The displacement method geschreven door ir. A.W.M. Kok. De wringstijfheid is berekend door R. Nirmalsingh gebrikmakend van het programma ShapeDesigner. Matri 12 Analtisch afgeleide stijfheidsmatri, onder afschifvervorming, voor de T ligger V.A.G. Bron jni

36 Bijlage 3: Script, opleggen verplaatsing Hieronder staat een voorbeeld van een script om in ANSYS een verplaatsing op te leggen aan het liggeriteinde van een bepaalde ligger. Het onderstaande script geeft het liggeriteinde een hoekverdraaiing van ϕ = 1. = de verplaatsing van de geselecteerde knopen in richting. De verplaatsing die de knopen in richting krijgen is ter grootte van de coordinaat (c) welke de knoop heeft. Hierdoor ontstaat de hoekverdraaiing ϕ = 1. V.A.G. Bron jni

37 Bijlage 4: Script, afleen kracht Hieronder staat een voorbeeld van een script om in ANSYS de reactiekrachten en de bigende momenten van het liggeriteinde op te halen. [NSEL,S,P] selecteert de knopen welke door de gebriker worden aangeween. Om een kloppende itkomst te krijgen, moeten dit alle knopen ijn van een liggeriteinde. Vervolgens worden de krachten in dee knopen opgehaald. Dee worden bij elkaar opgeteld en o nodig vermenigvldigd met hn of coördinaat om de momenten te berekenen. Als otpt geeft ANSYS de normaalkracht (N), de dwarskrachten (D en D), de momenten (M, M, M) en de procentele afwijking tssen de analtisch en de nmeriek bepaalde stijfheid (Dp, Mp). V.A.G. Bron jni

38 Bijlage 5: Stijfheidsmatri met afschifvervorming De stijfheidsmatri met afschifvervorming it het dictaat Nmerical Mechanics, The displacement method geschreven door ir. A.W.M. Kok. Matri 13 Stijfheidsmatri met afschifvervorming 2 1 L 1 = + λ 12EI k GA 2 1 L 1 = + λ 12EI kga GI + λ e + λ e μ = L EI 1 p = + 4 λl L EI 1 p = + 4 λl L EI 1 q = 4 λl L EI 1 q = 4 λl L 2 2 w V.A.G. Bron jni

39 Bijlage 6: Nmeriek bepaalde stijfheidsmatri T-ligger, grove elementen Via het eindige elementenprogramma ANSYS is de onderstaande stijfheidsmatri verkregen voor de T ligger. De afmetingen van de ligger met T doorsnede staan op bladijde 16. Het nmerieke model is opgebowd it elementen van het tpe SOLID 45. De elementen hebben ribben van mm lang. Dee ribben hebben de dbbele lengte van de ribben van de elementen waarmee de stijfheidsmatri, Matri 5 op bladijde 20, is bepaald. Matri 14 Nmeriek bepaalde stijfheidsmatri van de T ligger, bij gebrik van grove elementen in het ANSYS model V.A.G. Bron jni

40 Bijlage 7: Berekening DC Met behlp van Maple is de locatie van het dwarskrachtencentrm (DC) bepaald. Voor het berekenen van de specifieke stijfheden van de analtisch afgeleide stijfheidsmatri voor de T doorsnede is de afstand e nodig. De afstand e is de afstand tssen het dwarskrachtencentrm en het normaalkrachtencentrm (NC). Daarom is het nodig de locatie van het dwarskrachtencentrm te bepalen. De afstand in richting tssen het NC en het DC is nl, e = 0. Dit komt doordat de T doorsnede smmetrisch is om de as. > Voor het berekenen van de locatie van het DC wordt verondersteld dat er een moment M=1 Nmm en een dwarskracht V= 1N op de T doorsnede werken. De normaalspanning (Nspan) die hierdoor ontstaat staan hieronder weergegeven. De schifspanning en de schifkracht, voor het lijf en de flens staan hieronder. Te ien is dat de schifkrachten samen gelijk ijn aan V = 1N. V.A.G. Bron jni

41 V.A.G. Bron jni