UNIFICATIE EN RESOLUTIE

Transcriptie

1 Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie rug.nl N&M: H2.3-4, H3.1, 3 15 november 2009 UNIFICATIE EN RESOLUTIE Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie

2 Onderwerpen Terugkoppeling prakticum Herbrandmodellen Unificatie Resolutie Toelichting prakticum-opdracht Demo Prolog-tracer Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 1

3 Over het prakticum In de shell die je opstart met swipl en xpce wordt de userguide in een browservenster geopend met de instructie:? help. Instantiatie Een variabele X is geïnstantieerd met een term t tijdens het matchen van een doel met de heading van een clausule. Als daardoor beide predikaten aan elkaar gelijk gemaakt kunnen worden slaagt dat proces en blijft X met t geassocieerd totdat gebacktracked wordt naar de clausule die volgt op C Tijdens backtracking worden variabelen gedeïnstantieerd; de waarde van een variable kan niet worden overschreven. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 2

4 Evaluatievolgorde De evaluatievolgorde is in de rij doelen, van links naar rechts en de keuze van de clausules van boven naar beneden. De komma, ( ) is niet commutatief. Dataflow In de praktijk bleek de abstractie van de dataflow in Prolog niet altijd mogelijk te zijn. XisY +... geeft een foutmelding als de expressie rechts van is geen grondterm is (zie: peano.pl). A B is altijd succesvol als A of B ongeïnstantieerd zijn, ook als verderop blijkt dat de ongelijkheid niet geldt, wordt dan niet herzien (zie vierkleurenlandkaart) (married(x)) is ook veel minder vaak waar als op grond van de predikaatlogica verwacht mag worden in: Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 3

5 unmarriedstudent (X) (married (X)),student (X) student (bill) married (joe) bill is blijkbaar een ongehuwde student (gesloten wereld aanname, GWA), maar met een ongeïnstantieerde variabele weet Prolog hem niet te vinden.? unmarriedstudent (bill) Yes? unmarriedstudent (X) No? Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 4

6 Eerst de variabelen instantiëren (alleen grondtermen als argument) lost het probleem voorlopig op. unmarriedstudent (X) student (X), (married (X)) Een verklaring, negation-as-failure, volgt in week 5. Prolog is ook niet beperkt tot definiete programma s.? unmarriedstudent (X) X = bill; No? Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 5

7 Bij de termen van een predikaat wordt in de userguide opgegeven welke dataflowpatronen wel zijn toegestaan en wat daar precies bij gebeurd: + voor instanties (invoer van waarden). voor ongeïnstantieerde variabelen, die tijdens evaluatie van de body een waarde krijgen (uitvoer v. waarden)? beide vorige mogelijkheden zijn toegestaan Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 6

8 Definiete programma s Definition 1. [Clausule] Een clausule is een formule van de vorm (L 1... L n ), waarin elke L i een atomaire formule is of de negatie van een atomaire formule. Een definiete clausule is een formule met precies één positief atoom: Of in meer conventionele notatie: (A 0 A 1... A n ) A 0 A 1,...,A n (n 0) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 7

9 Definition 2. [Definiete programma s] Een definiet programma is een eindige verzameling definiete clausules. Definition 3. [Definiete doelen] Een definiet doel (query) is een clausule met uitsluitend genegeerde atomen. ( A 1... A n ) ( (A 1... A n )) (de Morgan ) (A 1... A n ) (de Morgan ) Ofwel: A 1,...,A n Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 8

10 Herbrand Modellen Definition 4. [Herbrand-universum, Herbrand-basis] Stel A is een alfabet met tenminste één constantesymbool. De verzameling U A van grondtermen samengesteld uit functoren en constanten van A heet het Herbrand-universum van A. De verzameling B A van alle grond-atomen over A heet de Herbrand basis van A. Example 1. Stel P is het definiete programma: odd(s(0)) odd(s(s(x))) odd(x) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 9

11 Het Herbranduniversum van P is: U P = {0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))),...} De Herbrandbasis van P is: B P = {odd(0), odd(s(0)), odd(s(s(0))),...} Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 10

12 Definition 5. [Herbrand interpretatie] De Herbrand-interpretatie van een definiet programma P is een interpretatie J waarvoor geldt: het domein van J is U P. voor elke constante c,c J is gedefinieerd als c zelf. voor elke n-aire functor f is de functie f J als volgt gedefinieerd: f J (x 1,...,x n ) := f(x 1,...,x n ). voor elk n-air predikaatsymbool p is de relatie p J een deelverzameling van U n P (de verzameling van alle n-tupels van grondtermen). { t 1,...,t n U n P J = p(t 1,...,t n )} Definition 6. [Herbrand-model] Een Herbrand-model van een verzameling gesloten formules is een Herbrand-interpretatie die een model is voor elke formule van de verzameling. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 11

13 Theorem 1. Stel P is een definiet programma en G een definiet doel. Als J een model is voor P {G} dan J := {A B P J = A} is een Herbrandmodel van P {G}. Theorem 2. [Model doorsnede-eigenschap] Stel M is een niet-lege familie van Herbrandmodellen van een definiet programma P. De doorsnede J := M is een Herbrandmodel van P. Example 2. Als P het volgende definiete programma male(adam), f emale(eve) is, dan heeft P de volgende vier Herbrand-modellen: {male(adam), female(eve)} {male(adam), male(eve), f emale(eve)} {male(adam), f emale(eve), f emale(adam)} {male(adam), male(eve), f emale(eve), f emale(adam)} Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 12

14 Constructie Kleinste Herbrandmodel Theorem 3. Het kleinste Herbrand-model van een definiet programma P is de verzameling van alle grondatomen die een logisch gevolg van het programma zijn: M P = {A B P P = A} Definition 7. [Onmiddelijk Gevolg-operator] Stel grond(p) is de verzameling van alle grond-instanties van clausules van P. T P is een funktie op P en als volgt gedefinieerd: T P (I) := {A 0 A 0 A 1,...,A m grond(p) {A 1,...,A m } I} Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 13

15 Voor definiete programma s geldt: er is een kleinste interpretatie J zodat T P (J) = J en J is het kleinste Herbrandmodel M P, d.w.z. M P is de limiet van de reeks:, T P ( ), T P (T P ( )), T P (T P (T P ( ))),... Notatie : T P 0 := T P (i +1) := T P (T P i) T P ω := T P i i=0 Theorem 4. Stel P is een definiet programma met M P als kleinste Herbrandmodel dan: M P is het kleinste Herbrandinterpretatie zodat T P (M P ) = M P (d.w.z. kleinste dekpunt van T P ). M P = T P ω. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 14

16 Onmiddelijk Gevolg T P ( ), T P (T P ( )), T P (T P (T P ( ))),... Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 15

17 voor het definiete programma: isgroen (i) isgroen (g) isgroen (d) isgroen (a) isgroen (g) isgroen (d),isgroen (f) isgroen (a) isgroen (f) isrood (b) isrood (e) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 16

18 Resolutie I proud(x) parent(x,y),newborn(y) parent(x,y) father(x,y) parent(x,y) mother(x,y) father(adam,mary) newborn(mary) proud(z) (G 0 ) proud(z) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 17

19 Vind een substitutie θ zodat de verzameling P { proud(z)θ} onvervulbaar is en bijgevolg geldt: P = proud(z)θ. Wat equivalent is met: Hernoem X in Z en pas MP op G 0 geeft: Equivalent met: (proud(x) parent(x,y),newborn(y) (C 0 ) proud(x) (parent(x, Y) newborn(y))) parent(z,y),newborn(y) (G 1 ) Z Y( parent(z, Y) newborn(y)) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 18

20 G 1 is onvervulbaar m.b.t. P in elk model voor P waarin een individu is dat parent is van newborn. Maar met de clausule: Equivalent met: reduceert G 1 tot: parent(x,y) father(x,y) (G 1 ) ( parent(x,y) father(x,y)) father(z,y),newborn(y) (G 2 ) father(adam,mary) (C 2 ) newborn(mary) (G 3 ) newborn(mary) (C 3 ) equiv. met newborn(mary) wat geeft: (G 4 ) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 19

21 SLD-afleiding I proud(z) ւ parent(z, Y), newborn(y). ւ father(z,y),newborn(y). newborn(mary). ւ ւ proud(x) parent(x, Y), newborn(y). parent(x,y) father(x,y). f ather(adam, mary). newborn(mary). Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 20

22 Unificatie Definition 8. [Unifier] Als s en t termen zijn en θ een substitutie, zodat sθ = tθ dan noemen we θ een unifier. Definition 9. [Algemeenheid van substituties] Een substitutie θ is algemener dan een substitutie σ, σ θ, desda er een substitutie ω is waarvoor geldt: σ = θω. De -relatie is echter geen partiële ordeningsrelatie op unifiers: is reflexief want: θ = θε. is transitief want: Als θ 1 = θ 2 ω 1 en θ 2 = θ 3 ω 2 dan θ 1 = θ 3 ω 2 ω 1. Maar is niet antisymmetrisch. Stel θ = {X/Y,Y/X}. Er geldt θ ε, want θ = εθ, maar ook ε θ, want ε = θθ Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 21

23 Definition 10. [Meest algemene unifier] Een unifier θ is de meest algemene van twee termen desda θ algemener is dan elke andere unifier. Opm: De mgu van twee termen is niet noodzakelijk uniek! Definition 11. [Opgeloste vorm] Een verzameling vergelijkingen {X 1 =t 1,...,X n =t n } is in opgeloste vorm desda X 1,...,X n van elkaar verschillende variabelen zijn die niet in t 1,...,t n voorkomen. Proposition 1. Stel P = {X 1 =t 1,...,X n =t n } is in opgeloste vorm, dan is {X 1 /t 1,...,X n /t n } een idempotente mgu van P. Definition 12. [Equivalentie verzamelingen vergelijkingen] Twee verzamelingen van vergelijkingen ε 1 en ε 2 zijn equivalent als ze dezelfde verzameling unifiers hebben. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 22

24 Definition 13. [Hernoemen] Een substitutie {X 1 /Y 1,...,X n /Y n } heet een hernoeming desda. Y 1,...,Y n een permutatie is van X 1,...,X n. Proposition 2. Stel θ = mgu(s, t) en ω een hernoeming, dan: θω = mgu(s, t) Proposition 3. Stel θ en σ zijn substituties. Als θ σ en σ θ dan bestaat er een hernoeming ω zodat:. σ = θω (en θ σω 1) Conclusie: De verzameling van alle mgu s van twee termen is afgesloten onder hernoeming. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 23

25 Algoritme voor de opgeloste vorm Input: Een verzameling ε vergelijkingen. Output: Een equivalente verzameling in opgeloste vorm of faal. herhaal kies een willekeurige s =t ε; case s =t of 1. f(s 1,...,s n ) =f(t 1,...t n ) met n 0 vervang de vergelijking door: s 1 =t 1,...,s n =t n. 2. f(s 1,...,s m ) =g(t 1,...t n ) met f/m = g/n stop en faal. 3. X =X verwijder de vergelijking. 4. t =X waarbij t geen variabele is vervang de vergelijking door X =t. 5. X =t met X = t en X heeft meer voorkomens in ε als X een echte subterm is van t dan stop en faal (a) anders vervang alle voorkomens van X door t. (b) esac tot geen veranderingen meer mogelijk met enige vergelijking van ε; stop met ε. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 24

26 Example 3. De verzameling { f(x, g(y)) = f(g(z), Z)} heeft een opgeloste vorm omdat: {f(x,g(y)) =f(g(z),z)} {X =g(z), g(y) =Z} {X =g(z),z =g(y)} {X =g(g(y)),z =g(y)} (1) (4) (5b) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 25

27 Example 4. Aan de andere kant heeft {f(x,g(y),b) =f(a,g(z),z)} geen opgeloste vorm. {{f(x,g(y),b) =f(a,g(z),z)} {X =a,g(x) =g(z),b =Z} {X =a,g(a) =g(z),b =Z} {X =a,a =Z,b =Z} {X =a,z =a,b =Z} {X =a,z =a,b =a} faal (1) (5b) (1) (4) (5b) (2) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 26

28 SLD-Resolutie De afleidingsregel bij SLD-resolutie is: (A 1... A i 1 A i A i+1... A m ) (B 0 B 1... B n ) (A 1... A i 1,B 1... B n,a i+1... A m )θ In LP-notatie: waarbij: (A 1,...,A i 1,A i,a i+1,...,a m ) B 0 B 1,...,B n (A 1,...,A i 1,B 1,...,B n,a i+1,...,a m )θ 1. A 1,...,A i 1 atomaire formules zijn. 2. B 0 B 1,...,B n een (hernoemde definiete clause is van P (n 0)) 3. MGU(A i,b 0 ) = θ Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 27

29 SLD-afleiding II Definition 14. [SLD-afleiding] Stel G 0 is een definiet doel, P een definiet programma en R een rekenregel. Een SLD-afleding van G 0 (met gebruik van P en R) is een (on-)eindige reeks doelen: C 0 C G 0 n G1... G n Gn+1 Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 28

30 Example 5. proud(z) G 0 ւ proud(x) parent(x,y),newborn(y). C 0 parent(z,y),newborn(y). G 1 parent(x,y) father(x,y). C 1 ւ father(z,y),newborn(y). G 2 father(adam,mary). C 2 ւ newborn(mary). G 3 newborn(mary). C 3 ւ G 4 Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 29

31 Definition 15. [SLD-verwerping] (Tegenvoorbeeld) Een (eindige) SLD-afleiding C 0 C G 0 n G1... G n Gn+1 waarbij G n+1 = ( is het lege doel) heet een SLD-verwerping. Definition 16. [Berekende antwoordsubstitutie] Een substitutie met alleen de variabelen van het oorspronkelijke doel G 0 heet de berekende antwoordsubstitutie. Definition 17. [Gefaalde afleiding] Een afleiding van een doel G 0 waarvan het laatste element niet het lege doel is (en dat ook niet met een clausule van het programma kan worden afgeleid), heet een gefaalde afleiding. Met een volledige afleiding bedoelen we een: verwerping. gefaalde afleiding. oneindige afleiding. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 30

32 Definition 18. [SLD-boom] Stel P is een definiet programma; G 0 een definiet doel en R een rekenregel. Een SLD-boom voor G 0 (m.b.v. P en R)is een (on-)eindige gelabelde boom die voldoet aan: De root heeft label G 0. Als er een knoop met label G i, en er is een hernoemde clausule C i P en G i+1 is afgeleid van G i en C i m.b.v. R, dan heeft de knoop met label G i een kind met label G i+1 en de verbindende ribbe heeft label C i. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 31

33 Example 6. Het definiet programma: 1 : grandfather(x,z) father(x,y),parent(y,z) 2 : parent(x,y) father(x,y) 3 : parent(x,y) mother(x,y) 4 : father(a,b) 5 : mother(b,c) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 32

34 heeft een SLD-afleiding voor het doel grandfather(a,x):. grandfather(a,x) father(a,y 0 ),parent(y 0,X) parent(b, X) ւց father(b,x) mother(b,x) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 33

35 Backtracking Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 34

36 SLD-boom met Backtracking Het doel, grandfather(a,x), geeft met het programma: 1 : grandfather(x,z) father(x,y),parent(x,y) 2 : parent(x,y) father(x,y) 3 : parent(x,y) mother(x,y) 4 : father(a,b) 5 : mother(b,c) de volgende SLD-backtrack-boom: Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 35

37 Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 36

38 Volledigheidsstellingen Theorem 5. [Correctheid van SLD-resolutie] A Als P een definiet programma is, R een rekenregel en θ een R-berekende antwoordsubstitutie voor een doel A 1,...,A m, dan is ((A 1... A m )θ) een logisch gevolg van het programma. Theorem 6. [Volledigheid van SLD-resolutie] A Stel P is een definiet programma, A 1,...,A n een definiet doel en R een rekenregel. Als P = (A 1... A n )σ dan is er een tegenvoorbeeld voor A 1,...,A n via R met de berekende antwoordsubstitutie θ, zo dat (A 1... A n )σ een instantie is van (A 1... A n )θ Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 37

39 Bewijsbomen Een bewijsboom is opgebouwd uit een afleidingsboom en de toegepaste clausules. Een clausule: heeft twee elementaire boom-vormen A 0 A 1,...,A n (n 0) A 0 A 0 ւց voor n > 0 voor n = 0 A 1... A n De elementaire bomen zijn verbonden met en ribbe tussen de knopen p(t 1,...,t n ) en p(s 1,...,s n ) gelabeld =, als p(t 1,...,t n ) =p(s 1,...,s n ) In een bewijsboom hebben alle bladeren het label. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 38

40 Het doel grandfather(x,y) heeft een bewijsboom (a): grand f ather(x, Y). = grandfather(x 0,Z 0 ) ւց father(x 0,Y 0 ) parent(y 0,Z 0 ).. = = father(a,b) parent(x 1,Y 1 ). = mother(x 1,Y 1 ). = mother(b, c) De bewijsboom kan vereenvoudigd worden door het oplossen van de geassocieerde vergelijkingen. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 39

41 Het oplossen van de onderstreepte vergelijkingen: {X. = X 0,Y. = Z 0,X 0. = a,y 0. = X 1,Z 0. = Y 1,X 1. = b,y 1. = c} geeft de substitutie: θ 1 = {Y 0 /X 1, Z 0 /Y 1 } Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 40

42 Dit geeft de boom (b): grand f ather(x, Y). = grandfather(x 0,Y 1 ) ւց father(x 0,X 1 ) parent(x 1,Y 1 ). = father(a,b) mother(x 1,Y 1 ). = mother(b,c) Verder oplossen geeft: {X =. X 0, Y =.... Y 1, X 0 = a, X 1 = b, Y 1 = c} Met: θ 2 = {X 1 /b, Y 1 /c} Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 41

43 Resulterend in boom (c): grand f ather(x, Y). = grandfather(x 0,c) ւց father(x 0,b) parent(b,c). = f ather(a, b) mother(b, c) Tenslotte geeft: {X. = X 0, Y. = c, X 0. = a, b. = b} θ 3 = {X/a, Y/c, X 0 /a} Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 42

44 De oplossing (d): grand f ather(a, c) ւց f ather(a, b) parent(b, c) mother(b,c) Het eindresultaat met : θ = θ 1 θ 2 θ 3 = {X/a, Y/c, X 0 /a, Y 0 /b, Z 0 /c, X 1 /b, Y 1 /c} Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 43

45 grand f ather(a, c). = grand f ather(a, c) ւց f ather(a, b) parent(b, c).. = = f ather(a, b) parent(b, c) mother(b,c). = mother(b, c) Bewijsboom in opgeloste vorm. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 44

46 Het aap-banaanprobleem Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 45

47 doezet (t (,,heeft),, Opl, ROpl) reverse (Opl,ROpl) doezet (T, Algehad, Zettentnt, Opl) probeer (T,Zet,T ) (Tnext Algehad) doezet (Tnext, [T Algehad], [Zet Zettentnt],Opl) % (De aap kan klimmenengrijpen,lopen en schuiven ) probeer (t (mi,mi,heeftniet),klim grijp, t (mi,mi,heeft)) probeer (t (X,X,heeftniet), schuifkist (X,Y),t (Y,Y,heeftniet)) naast (X,Y) probeer (t (X, Y, heeftniet), loop (X, Z), t (Z, Y, heeftniet)) naast (X,Z) naast (li,mi) naast (mi,li) naast (mi,re) naast (re,mi) verwerfbanaan (Oplossing) doezet (t (li,re,heeftniet), [ ], [ ],Oplossing) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 46

48 8-Koninginnenprobleem Eén van de oplossingen. Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 47

49 op (400,xfx, ) X L member (X,L) koninginnen (0, Oplossing,Oplossing) koninginnen (Kolom, Totnutoe, Oplossing) Rij [1,2,3,4,5,6,7,8] (Pos Totnutoe, (kunnenelkaarslaan (pos (Rij, Kolom), Pos))) K is Kolom 1 koninginnen (K, [pos (Rij,Kolom) Totnutoe],Oplossing) kunnenelkaarslaan (pos (R1, K1), pos (R2, K2)) R1 = R2 R1 +K1 =:=R2 +K2 R1 K1 =:=R2 K2 bereken (Oplossing) koninginnen (8, [ ],Oplossing) Kennisrepresentatie & Redeneren Week2:Unificatie en Resolutie 48