Numerieke Wiskunde, Computeropgave A0 Projectie op Continue Stuksgewijs Lineaire Functies

Transcriptie

1 Numerieke Wiskunde, Computeropgave A0 Projectie op Continue Stuksgewijs Lineaire Functies Jan Brandts 1 Continue stuksgewijs lineaire functies en hun nodale basis Allereerst definiëren we wat we bedoelen met een continue stuksgewijs lineaire functie ten opzichte van een gegeven partitie J van een interval I Definition 11 (Partititie en maaswijdte) Laat n+1 punten x 0,, x n gegeven zijn met a = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b De verzameling J van intervallen I j := [x j, x j+1 ] heet een partitie van I = [a, b] Definieer voor j {1,, n} ook h j = x j x j 1 en h = max{h j } (1) j De parameter h heet de maaswijdte van J Een partitie J van I heet uniform als h j = h voor alle j {1,, n}: een uniforme partitie is een partitie in intervallen van gelijke lengte Figuur 1 Een continue stuksgewijs lineaire functie Definition 12 (Ruimte S0 1 (J )) Een functie v op I is een continue stuksgewijs lineare functie ten opzichte van de partitie J als v continu is op I en lineair op iedere I J We schrijven S 1 0(J ) = {v C 0 (I) I J, v I P 1 (I)} (2) Het superscript 1 staat hierbij voor lineair (eerstegraads), en het subscript 0 for continu 1

2 Voor gegegeven J is S0 1 (J ) een lineaire vector ruimte van dimensie n + 1 Immers, iedere v S0 1(J ) wordt uniek bepaald door zijn waarden in de punten x j Dus, S0 1 (J ) is een (n + 1)-dimensionale deelruimte van C 0 (I), S 1 0(J ) C 0 (I) (3) We voorzien de ruimte S0 1 (J ) van een basis, de zogeheten nodale basis Definition 13 (Nodale basis) Voor gegeven j {0,, n}, laat v j het unieke element uit S0 1(J ) zijn dat waarde één heeft in x j en waarde nul in alle x i met i j De collectie B = {v 0,, v n } vormt een basis voor S0 1 (J ), genaamd de nodale basis De functies v 0,, v n zijn lineair onafhankelijk Immers, voor gegeven j is v j de enige functie uit B die ongelijk aan nul is in x j Figuur 2 Nodale basisfuncties v 0, v 2 en v 3, voor dezelfde partitie als in Figuur 1 In het bijzonder is v j dus geen lineaire combinatie van de andere elementen uit B We zien ook onmiddellijk dat v = α 0 v α n v n α j = v(x j ) voor alle j {0,, n} (4) voor iedere functie v uit S0 1 (J ) Oftewel, de coordinaten van v the opzichte van de nodale basis zijn gelijk aan de waarden van v in de punten x j 2 Functies loodrecht projecteren op S 1 0(J ) Laat J een partitie van I = [a, b] zijn met a, b R, a < b Schrijf zoals gebruikelijk (, ) voor het standaard inproduct op C 0 (I), oftewel, (f, g) = f(x)g(x)dx (5) I Functies f, g C 0 (I) staan loodrecht op elkaar als (f, g) = 0 Met behulp van dit loodrechtheidsbegrip definiëren we nu de loodrechte projectie op S0 1 (J ) op de gebruikelijke manier 2

3 21 De orthogonale projectie P : C 0 (I) S 1 0(J ) De loodrechte projectie P f van een gegeven f C 0 (I) op de deelruimte S0 1(J ) C0 (I) is per definitie de functie P f S0 1 (J ) waarvoor geldt dat f P f loodrecht staat op alle functies v S0 1(J ) Laat B de nodale basis voor S1 0 (J ) zijn Er geldt P f = α 0 v α n v n (6) voor zekere coördinaten α 0,, α n van P f ten opzichte van B die kunnen worden bepaald uit de n + 1 orthogonaliteitsrelaties f P f v j voor j {0,, n}, f P f v j f (α 0 v α n v n ) v j (f, v j ) = (α 0 v α n v n, v j ) [ (v 0, v j ) (v n, v j ) ] α 0 α n = (f, v j ) (7) Deze n + 1 lineaire relaties in α 0,, α n laten zich schrijven als het volgende matrix-vector stelsel, (v 0, v 0 ) (v n, v 0 ) α 0 (f, v 0 ) =, (8) (v 0, v n ) (v n, v n ) α n (f, v n ) waaruit α 0,, α n kunnen worden opgelost zodra f en J en B bekend zijn, en dus ieder van de getallen in de matrix en in de rechterlidvector kan worden uitgerekend Figuur 3 De functie f(x) = sin(2πx) op I = [0, 1] en zijn projectie op S0 1 (J ) Merk nogmaals op dat (P f)(x j ) = (α 0 v α n v n )(x j ) = α j, (9) oftewel, P f is de continue stuksgewijs lineaire functie die waarde α j heeft in x j Zodra het stelsel (8) is opgelost, kan dus eenvoudig een grafiek van P f getekend worden 3

4 22 Berekening van de inproducten (v i, v j ) Schrijf M voor de matrix uit vergelijking (8) De entries van M bestaat uit de (n + 1) 2 inproducten van de vorm (v i, v j ) Hierover merken we het volgende op: (A) Voor j = 0 en j = n is (v j, v j ) gelijk aan de integraal van v 2 j over I j, (B) Voor j {1,, n 1} is (v j, v j ) is gelijk aan de integraal van v 2 j over I j I j+1, (C) Voor j {1,, n} is (v j 1, v j ) gelijk aan de integraal van v j 1 v j over I j, (D) (v i, v j ) = 0 als j i 2, omdat het product v i v j de nulfunctie op I is, (E) Wegens symmetrie van het inproduct geldt dat (v i, v j ) = (v j, v i ) Op het interval I j zijn slechts twee nodale basisfuncties niet identiek nul, namelijk v j 1 en v j De beperkingen tot I j van v j 1 en v j zijn linear op I j en hebben als voorschrift v j 1 (x) = x j x = x j x en v j (x) = x x j 1 = x x j 1 (10) x j x j 1 h j x j x j 1 h j Met m j h j = 1 hebben we dus dat v j 1 (x) = m j (x j x) en v j (x) = m j (x x j 1 ) We berekenen twee integralen Allereerst, xj v j 1 (x) 2 dx = m 2 j (x j x) 2 dx = m 2 1 j I j x j 1 3 (x j x) 3 x j = 1 x j 1 3 m2 jh 3 j = 1 3 h j, (11) en we merken op dat wegens symmetrie-overwegingen duidelijk is dat ook I j v j (x) 2 dx = 1 3 h j (12) Vervolgens berekenen we met behulp van partiële integratie, waarbij de randterm wegvalt omdat het product v j 1 v j nul is op de rand, dat xj xj v j 1 (x)v j (x)dx = m 2 j (x j x)(x x j 1 )dx = m 2 1 j I j x j 1 x j 1 2 (x j x) 2 dx = m 2 1 j 6 (x j x) 3 x j = 1 x j 1 6 m2 jh 3 j = 1 6 h j (13) Met deze uitdrukkingen kunnen we nu alle inproducten bepalen Uit (A) volgt immers dat terwijl uit (B) en (C) volgt dat (v 0, v 0 ) = 1 3 h 1 en (v n, v n ) = 1 3 h n, (14) (v j, v j ) = 1 3 (h j + h j+1 ) en (v j 1, v j ) = 1 6 h j (15) Volgens (D) zijn alle andere inproducten gelijk aan nul, en dus hebben we M nu bepaald, k 0 h M = 1 h 1 k 1 h , (16) hn 1 k n 1 h n 0 0 h n k n waarbij voor het schrijfgemak de notaties k j = 2(h j + h j+1 ) en h 0 = h n+1 = 0 zijn ingevoerd 4

5 23 Berekening van de inproducten (f, v j ) Lastiger is om de inproducten in de rechterlid-vector uit te rekenen, omdat hierin de te projecteren functie f C 0 (I) figureert Er zijn manieren om de integralen (f, v j ) = f(x)v j (x)dx (17) I te benaderen, bijvoorbeeld met behulp van Riemann-sommen Hier volstaan we met aan te nemen dat we expliciet beschikken over een primitieve F van f en een primitieve G van F, oftewel, G = F en F = f (18) Laat om te beginnen j {1,, n 1} zijn Dan leeft de nodale basisfunctie v j op K = I j I j+1 en is nul op de rand K van K We vinden dat xj xj+1 (f, v j ) = f(x)v j (x)dx = f(x)m j (x x j 1 )dx + f(x)m j+1 (x j+1 x)dx (19) K x j 1 x j Beschouw de eerste integraal in het rechterlid Partiele integratie gevolgd door de Hoofdstelling levert xj x j xj f(x)m j (x x j 1 )dx = F (x)m j (x x j 1 ) F (x)m j dx x j 1 x j 1 x j 1 = F (x j ) m j (G(x j ) G(x j 1 )) (20) Evenzo vinden we voor de tweede integraal dat xj+1 f(x)m j+1 (x j+1 x)dx = F (x)m j+1 (x j+1 x) x j Uit (19) volgt dus uiteindelijk dat x j+1 xj+1 + x j x j F (x)m j+1 dx = F (x j ) + m j+1 (G(x j+1 ) G(x j )) (21) (f, v j ) = m j G(x j 1 ) (m j + m j+1 )G(x j ) + m j+1 G(x j+1 ) = [ ] G(x j 1 ) m j (m j + m j+1 ) m j+1 G(x j ) (22) G(x j+1 ) Resteren nog de inproducten (f, v 0 ) en (f, v n ) Deze kunnen echter direct worden opgeschreven aan de hand van de reeds berekende integralen in (21) en (20), respectievelijk Dit geeft (f, v 0 ) = F (x 0 ) + m 1 (G(x 1 ) G(x 0 )) en (f, v n ) = F (x n ) m n (G(x n ) G(x n 1 )) (23) De inproducten (f, v j ) kunnen uitgerekend worden middels de volgende matrix-vectorvermenigvuldiging In implementaties kan worden volstaan met een loop gebaseerd op (22) (f, v 0 ) d 0 m G(x 0 ) F (x 0 ) m 1 d 1 m 2 0 = 0 0 +, (24) mn 1 d n 1 m n 0 (f, v n ) 0 0 m n d n G(x n ) F (x n ) waarbij voor schrijfgemak de notaties d j = (m j + m j+1 ) en m 0 = m n+1 = 0 zijn ingevoerd 5

6 3 Elementsgewijze assemblage van de massa-matrix M Het berekenen van de inproducten (v i, v j ) zoals voorgesteld in Sectie 22 kan ook op een hele andere manier worden gedaan Deze manier is in tegenstelling tot de voorgaande direct generaliseerbaar naar problemen met een soortgelijke structuur in meer variabelen 31 Alternatieve berekening van de inproducten (v i, v j ) Een belangrijke observatie is dat elk inproduct tussen basisfuncties de som is van integralen over elk van de sub-intervallen I k uit de partitie J, (v i, v j ) = I v i (x)v j (x)dx = n (v i, v j ) Ik waarbij (v i, v j ) Ik = v i (x)v j (x)dx (25) I k k=1 Dientengevolge kan M worden geschreven als (v n 0, v 0 ) Ik (v n, v 0 ) Ik M = M k waarbij M k = k=1 (v 0, v n ) Ik (v n, v n ) Ik (26) Zoals al opgemerkt zijn op ieder interval I k alleen v k 1 en v k niet identiek nul Dus heeft iedere matrix M k slechts 2 2 entries die ongelijk aan nul zijn, en die we bovendien al uitgerekend hebben in (11), (12) en (13), namelijk, [ ] (vk 1, v E k = k 1 ) Ik (v k, v k 1 ) Ik = 1 (v k 1, v k ) Ik (v k, v k ) Ik 6 h k [ ] (27) Merk op dat E k op posities (k, k), (k + 1, k), (k, k + 1) en (k + 1, k + 1) staat in M k sommatie in (26) kan dus grafisch worden geïllustreerd als in Figuur 1 De Figuur 4 M = M 1 + M 2 + M 3 Elke M k heeft een 2 2 niet-nul blokje E k (zwart) Ondanks het resultaat (27) zullen we de berekening van E k nu herhalen, maar dan op een wat generiekere wijze die zijn waarde zal hebben in meerdimensionale generalisaties 32 Affiene transformatie van integralen Gegeven een interval I k en de twee beperkingen tot I k van de twee nodale basisfuncties v k 1 en v k die op I k niet identiek nul zijn, valt op (zie ook Figuur 5) dat deze in horizontale richting samengeperste versies zijn van de functies ψ 1, ψ 2 : [0, 1] R : ψ 1 (x) = 1 x en ψ 2 (x) = x (28) 6

7 We zullen de substitutiestelling voor integratie gebruiken om de matrix E k uit te rekenen in termen van de volgende referentie matrix [ ] (ψ1, ψ E M = 1 ) (ψ 2, ψ 1 ) = 1 [ ] 2 1 (29) (ψ 1, ψ 2 ) (ψ 2, ψ 2 ) Immers, merk op dat I k het beeld is onder I van de inverteerbare affiene transformatie en dat de functies v k 1 en v k dan gelijk zijn aan F k : I I k : x x k 1 + h k x, (30) v k 1 (x) = ψ 1 ( F 1 k (x)) en v k (x) = ψ 2 ( F 1 k (x)) (31) Figuur 5 Functies v k 1 en v k beperkt tot I k in termen van F k en ψ 1 en ψ 2 We leiden hier een algemeen resultaat af voor paren functies die op deze wijze in termen van elkaar zijn gedefinieerd Lemma 31 Laat I = [0, 1] en J = [a, b] voor zekere a, b R met a < b en definieer de affiene inverteerbare afbeelding F : I J : x a + (b a)x (32) Voor gegeven f C 0 (J), definieer ˆf C 0 (I) als de functie Dan geldt voor iedere f, g C 0 (J) dat ˆf : I R, x (f F )(x) = f(f (x)) (33) (f, g) J = (b a)( ˆf, ĝ) I (34) Bewijs Gebruik makend van de substitutie F (y) = x en F (y)dy = dx en F (I) = K vinden we dat (f, g) J = f(x)g(x)dx = ˆf ( F 1 (x) ) ĝ ( F 1 (x) ) dx = ˆf(y)ĝ(y)F (y)dy J F (I) = (b a) I ˆf(y)ĝ(y)dy = (b a)( ˆf, ĝ) I, en dit bewijst meteen de bewering I 7

8 Aangezien in (31) in feite wordt opgemerkt dat ψ 1 = ˆv k 1 en ψ 2 = ˆv k, vinden we dat de matrix E k gelijk is aan E k = h k E M, (35) met E M de referentie matrix uit (29) Dit is uiteraard precies het resultaat (27), maar nu op een andere manier berekend Kortom, om de massamatrix M te kunnen berekenen is in feite niets meer nodig dan één eenvoudig uit te rekenen referentie matrix E M, en de affiene transformaties F k van I naar ieder van de deelintervallen I k 33 Matlab code voor assemblage van de massa matrix Tot slot geven we de Matlab functie die, gegeven de partitie als horizontale vector als argument, de massamatrix uitrekent en retourneert 01 function M = AssembleM(J) h = diff(j); n = length(h); 04 EM = [2 1 ; 1 2]/6; M = zeros(n+1,n+1); for j=1:n; 07 v = j:j+1; 08 M(v,v) = M(v,v) + h(j)*em; 09 end Merk het gebruik op van Matlab s mogelijkheden in regel 08, om aan deelblokken van matrices, matrices van de correcte grootte toe te kennen zonder dit met behulp van een loop te doen 4 Generalisatie naar functies van meer veranderlijken Hier bekijken we het probleem van projecteren op de ruimte van continue, stuksgewijs lineare functies in twee variabelen Na een korte introductie over deze ruimte passen we de assemblage uit Sectie 3 toe om de massamatrix M voor deze nieuwe situatie te bepalen 41 Lineaire functies op een driehoek Laat K R 2 een driehoek zijn met hoekpunten x p, x q, x r R 2 De ruimte P 1 (K) van lineare polynomen op K zijn de functies van de vorm l : K R : (x, y) a 0 + a 1 x + a 2 y (36) voor zekere a 0, a 1, a 2 R en dus is dim(p 1 (K)) = 3 Gegeven drie getallen c 1, c 2, c 3 R bestaat er precies één l P 1 (K) bestaat met de eigenschap dat l(x p ) = c 1, l(x q ) = c 2 en l(x r ) = c 3 (37) In het bijzonder is dus op K de lineaire interpolant L 1 f van een gegeven functie f C 0 (K) te bepalen, die in de hoekpunten van K dezelfde waarden aanneemt als f Gegeven een basis B = {φ 1, φ 2, φ 3 } van P 1 (K) vinden we de coördinaten α 1, α 2, α 3 van L 1 f ten opzichte van B, L 1 f = α 1 φ 1 + α 2 φ 2 + α 3 φ 3, (38) 8

9 door het volgende stelsel op te lossen φ 1 (x p ) φ 1 (x q ) φ 1 (x r ) φ 2 (x p ) φ 2 (x q ) φ 2 (x r ) φ 3 (x p ) φ 3 (x q ) φ 3 (x r ) α 1 α 2 α 3 = f(x p ) f(x q ) f(x r ) (39) Natuurlijk is dit stelsel het gemakkelijkst op te lossen als de systeemmatrix gelijk is aan de identiteit Dat is zo voor de basis die bestaat uit de drie functies die als eigenschap hebben dat ze waarde één hebben in één van de hoekpunten van K, en waarde nul in de overige twee Op de referentie-driehoek ˆK met hoekpunten de oorsprong en de standaard basisvectoren e 1, e 2 van R 2 zijn dit de functies ψ 1 (x, y) = 1 x y, ψ 2 (x, y) = x, en ψ 3 (x, y) = y (40) De lineaire interpolant van f C 0 (K) neemt ten opzichte van deze basis de vorm L 1 f = f(0)ψ 1 + f(e 1 )ψ 2 + f(e 2 )ψ 3 (41) aan, wat laat zien dat de coördinaten van een functie uit P 1 (K) ten opzichte van deze basis gelijk zijn aan de waarden van die functie in de hoekpunten 42 De ruimte S 1 0(T ) met T een triangulatie van Ω R 2 Laat Ω R 2 een polygon zijn, en T = {T k } m k=1 een partitie van Ω zijn in m gesloten driehoeken T k, zodanig dat de doorsnede van twee verschillende driehoeken óf een hoekpunt, óf een complete zijde van beide driehoeken is Een dergelijke partitie heet een conforme triangulatie van Ω, en bestaat voor ieder polygon Figuur 6 Een triangulatie van [ 1, 1] 2 \ [0, 1] [0, 1] en een v S 1 0 (T ) 9

10 Definition 41 (Ruimte S0 1 (T )) Een functie v op Ω is een continue stuksgewijs lineare functie ten opzichte van T als v continu is op Ω en lineair op iedere K T We schrijven S 1 0(J ) = {v C 0 (Ω) K T, v K P 1 (K)} (42) voor deze lineaire ruimte van continue stuksgewijs lineaire functies Per definitie geldt dat een lineaire deelruimte is van C 0 (T ) S 1 0(T ) C 0 (T ) (43) Een functie v S0 1 (T ) wordt uniek bepaald door de zijn waarden in de hoekpunten V R2 van de driehoeken uit de triangulatie Veronderstel dat het aantal hoekpunten n + 1 is, en noteer ze als x 0,, x n Definition 42 (Nodale basis) Voor gegeven hoekpunt x j V laat v j het unieke element uit S0 1(T ) zijn dat waarde één heeft in x j en waarde nul in alle x i V met i j De collectie B = {v 0,, v n } vormt een basis voor S0 1 (T ), genaamd de nodale basis Figuur 6 Een nodale basisfunctie van twee kanten bekeken De functies v 0,, v n zijn lineair onafhankelijk Immers, voor gegeven j is v j de enige functie uit B die ongelijk aan nul is in x j In het bijzonder is v j dus geen lineaire combinatie van de andere elementen uit B We zien ook onmiddellijk dat v = α 0 v α n v n α j = v(x j ) voor alle j {0,, n} (44) voor iedere functie v uit S0 1 (T ) Oftewel, de coordinaten van v the opzichte van de nodale basis zijn gelijk aan de waarden van v in de punten x j 43 De orthogonale projectie P : C 0 (Ω) S 1 0(T ) De loodrechte projectie P f van een gegeven f C 0 (Ω) op de deelruimte S0 1(T ) C0 (Ω) is per definitie de functie P f S0 1 (T ) waarvoor geldt dat f P f loodrecht staat op alle functies v S0 1(T ) Het standaard inproduct op C0 (Ω) wordt hierbij gegeven door (f, g) = f(x, y)g(x, y)dxdy (45) Ω 10

11 Laat B de nodale basis voor S0 1 (T ) zijn Er geldt P f = α 0 v α n v n (46) voor zekere coördinaten α 0,, α n van P f ten opzichte van B die kunnen worden bepaald uit de n + 1 orthogonaliteitsrelaties f P f v j voor j {0,, n}, f P f v j f (α 0 v α n v n ) v j (f, v j ) = (α 0 v α n v n, v j ) [ (v 0, v j ) (v n, v j ) ] α 0 α n = (f, v j ) (47) Deze n + 1 lineaire relaties in α 0,, α n laten zich schrijven als het volgende matrix-vector stelsel, (v 0, v 0 ) (v n, v 0 ) α 0 (f, v 0 ) =, (48) (v 0, v n ) (v n, v n ) α n (f, v n ) waaruit α 0,, α n kunnen worden opgelost zodra f en T en B bekend zijn, en dus ieder van de getallen in de matrix en in de rechterlidvector kan worden uitgerekend Merk nogmaals op dat (P f)(x j ) = (α 0 v α n v n )(x j ) = α j, (49) oftewel, P f is de continue stuksgewijs lineaire functie die waarde α j heeft in x j Zodra het stelsel (8) is opgelost, kan dus relatief eenvoudig de grafiek van P f getekend worden 44 Elementsgewijze assemblage van de massa-matrix Een belangrijke observatie is dat elk inproduct tussen basisfuncties de som is van integralen over elk van de m driehoeken T T m (v i, v j ) = (v i, v j ) Tk waarbij (v i, v j ) Tk = v i (x, y)v j (x, y)dxdy (50) T k k=1 Dus M kan worden geschreven als (v m m 0, v 0 ) Tk (v n, v 0 ) Tk M = M k = (51) k=1 k=1 (v 0, v n ) Tk (v n, v n ) Tk Merk op dat op een driehoek T k met hoekpunten x p, x q, x r R 2 alleen de nodale basisfuncties v p, v q en v r niet identiek nul zijn Dus heeft iedere matrix M k slechts 3 3 entries die ongelijk aan nul zijn, namelijk, de negen getallen in de matrix E k gedefinieerd door E k = (v p, v p ) Tk (v p, v q ) Tk (v p, v r ) Tk (v q, v p ) Tk (v q, v q ) Tk (v q, v r ) Tk (v r, v p ) Tk (v r, v q ) Tk (v r, v r ) Tk (52) Echter, in belangrijke tegenstelling tot het ééndimensionale geval staan deze negen getallen in het algemeen niet op opéénvolgende posities in de matrix M k, maar op de posities (i, j) met i, j {p, q, r} Dit heeft tot gevolg dat de niet-nul elementen in de matrices bijvoorbeeld gedisribueerd kunnen zijn als in Figuur 7 11

12 Figuur 7 Niet-nul structuur van drie matrices E k behorende bij drie driehoeken 45 Affiene transformatie van integralen Gegeven een driehoek T k met hoekpunten x p, x q en x r in R 2 en de drie beperkingen tot T k van de drie nodale basisfuncties v p, v q en v r die op T k niet identiek nul zijn, zien we dat deze, net als in het ééndimensionale geval, affiene transformaties zijn van de functies ψ 1, ψ 2 en ψ 3 gedefinieerd op de referentie-driehoek ˆK in (40), waarbij de affiene transformatie F k gegeven wordt door [ ] [ ] F k : ˆK x x T k : x y p + B k waarbij B y k = [ ] x q x p x r x p, (53) de matrix met kolommen x q x p en x r x p We zien dat F k de oorsprong afbeeldt op x p en e 1 op x q en e 2 op x r, en dat v p = ψ 1 F 1 k, v q = ψ 2 F 1 k en v r = ψ 3 F 1 k (54) We bewijzen nu het twee-dimensionale analogon van Lemma 31 met behulp van de substitutiestelling voor integratie in twee variabelen Lemma 43 Laat K, T R 2 driehoeken zijn en veronderstel dat F : K T een affiene inverteerbare afbeelding is met Jacobiaan B Voor gegeven f C 0 (T ), definieer Dan geldt voor iedere f, g C 0 (T ) dat Bewijs ˆf = f F C 0 (K) (55) (f, g) T = det(b) (( ˆf, ĝ) K (56) Gebruik makend van de substitutie F (u, v) = (x, y) en F (I) = K vinden we dat (f, g) T = f(x, y)g(x, y)dxdy = ˆf ( F 1 (x, y) ) ĝ ( F 1 (x, y) ) dxdy T = K F (K) ˆf(u, v)ĝ(u, v) det(b) dudv = det(b) ( ˆf, ĝ) K, en dit bewijst meteen de bewering 12

13 Gewapend met dit resultaat vinden we onmiddellijk dat de matrix E k als volgt kan worden uitgerekend in termen van de onderlinge inproducten van de functies ψ 1, ψ 2 en ψ 3 op de referentie-driehoek ˆK, E k = det(b k ) E M, (57) waarbij E M = (ψ 1, ψ 1 ) (ψ 2, ψ 1 ) (ψ 3, ψ 1 ) (ψ 1, ψ 2 ) (ψ 2, ψ 2 ) (ψ 3, ψ 2 ) (ψ 1, ψ 3 ) (ψ 2, ψ 3 ) (ψ 3, ψ 3 ) = (58) Deze laatste gelijkheid kan relatief eenvoudig met de hand of met behulp van Mathematica worden geverifieerd 46 Matlab code voor assemblage van de massa matrix In tegenstelling to het ééndimensionale geval is een triangulatie niet simpelweg op te geven als een lijst van knooppunten in R 2 Ook moet worden aangegeven welke hoekpunten x p, x q, x r een gegeven driehoek T k heeft We doen dit als volgt Beschouw de triangulatie in Figuur 8 Figuur 8 Een triangulatie van [ 1, 1] 2 \ [0, 1] [0, 1] Deze triangulatie kan worden gerepresenteerd middels twee matrices N en T De j-de kolom van N bevat de coördinaten van knooppunt x j, en in de k-de kolom van T staan de nummers van de hoekpunten van de driehoek T k N = [ ; ]; T = [ ; ; ]; Door nu van links naar rechts over de kolommen van T te loopen, kunnen we van iedere driehoek zowel de nummers als de coördinaten van de hoekpunten vinden Bijvoorbeeld, v = T(:,3) C = N(:,v) 13

14 maakt eerst een vector v van lengte drie met daarin de getallen 1, 4, 6 Dat betekent dus dat driehoek 3 hoekpunten heeft met nummers 1, 4, 6 Vervolgens wordt een matrix C bepaald door de eerste, vierde, en zesde kolom van N naast elkaar te zetten Dus, C is een matrix met twee rijen en drie kolommen Iedere kolom bevat de coördinaten van een hoekpunt van driehoek 3 Merk vervolgens op dat C voldoende informatie bevat om de Jacobiaan van de affiene transformatie van de referentie-driehoek naar driehoek 3 te berekenen, en dat v precies de indices van M 3 bevat waar de negen elementen uit de matrix E 3 bij opgeteld moeten worden Dit levert de volgende functie op: function M = AssembleTwoD(N,T) n = size(n,2); M = zeros(n,n); EM = [2 1 1 ; ; 1 1 2]/24; for v = T C = N(:,v); B = C(:,[2 3])-C(:,[1 1]); M(v,v) = M(v,v) + abs(det(b))*em; end Deze bijzonder compacte functie maakt, voor een gegeven triangulatie T in N en T de massamatrix aan die behoort bij loodrechte projectie op S0 1 (T ) 14