Logistiek medewerker (2) en Logistiek teamleider (3) Logistiek-rekenen. Basisdeel Theorie editie 2017

Transcriptie

1 Logistiek medewerker (2) en Logistiek teamleider (3) Logistiek-rekenen Basisdeel Theorie editie 2017

2 Colofon Auteurs Auteursteam Rubus Opleidingspartners B.V. Eindredactie Auteursteam Rubus Opleidingspartners B.V. Bureauredactie Hanna Molenaar redactie en projectmanagement Advies Adviesraad Uitgeverij Sarphati Michel Kregel retailexpert Foto s Ben Lohuis, Ferroli Nederland, Foter Marije Jellema, Ingimage, Kega, Ritel, ROC Midden Nederland, ROC van Twente Vormgeving en infographics Carien Franken bureau visuele vertalingen DTP en opmaak Marjoleine van der Greft Marjoleine DTP & Vormgeving Marleen Klein Brinke Uitgeverij Sarphati BV 2017 Horaplantsoen LT Ede Tel.: info@uitgeverij-sarphati.nl Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, namelijk elektronisch, mechanisch, door fotokopie, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande toestemming van de uitgever. Ondanks alle inspanningen is het mogelijk dat niet alle copyrights van de in de uitgave opgenomen illustraties geregeld zijn. Degene die meent alsnog rechten te kunnen doen gelden, wordt verzocht contact op te nemen met de uitgever.

3 Inleiding en werkwijze 4 Hoofdstuk 1 Afronden van getallen 7 1 Hoofdstuk 2 Breuken en procenten 13 2 Hoofdstuk 3 Machten en wortels 39 3 Hoofdstuk 4 Rekenen met voorraadaantallen 49 4 Hoofdstuk 5 Aantal dozen op een pallet 65 5

4 product prijs Inleiding In de logistiek werk je regelmatig met cijfers. Of het nu gaat om kosten, winst of voorraadbeheer, je bent regelmatig aan het rekenen. Met dit boek ga je extra oefenen met het rekenen in verschillende situaties die je binnen de logistiek kunt tegenkomen. De eerste drie hoofdstukken behandelen basisrekenvaardigheden, zoals het afronden van getallen en het rekenen met breuken, procenten, machten en wortels. Daarna komen de rekenvaardigheden die je specifiek nodig hebt in de logistiek aan de orde, zoals het rekenen met voorraadaantallen en het berekenen van het aantal dozen dat je op een pallet kwijt kunt. 4

5 Werkwijze De docent kan het boek klassikaal behandelen, maar jij kunt er ook zelfstandig mee aan de slag gaan om je rekenvaardigheid te oefenen. Veel rekensucces! 5

6 L L

7 Hoofdstuk 1 Afronden van getallen In dit hoofdstuk leer je hoe je punten en komma s in getallen moet gebruiken. Daarnaast komen het afronden van getallen en kommagetallen aan de orde. 1 7

8 1.1 Duizendtalnotatie en afronden In dit hoofdstuk leer je hoe je punten en komma s in getallen moet gebruiken. Verder komt aan de orde hoe je moet afronden. XX Gebruik van een punt (.) Bij bedragen of getallen van meer dan drie cijfers gebruik je een punt tussen de duizendtallen. Van rechts naar links komt om de drie cijfers een punt. Voorbeelden zijn: 1.000, en XX Gebruik van een komma (,) Tussen hele getallen en decimalen zet je een komma. Het decimaalteken gebruik je in geldbedragen, maar ook in andere getallen. Voorbeelden zijn: 1,10, 1.820,15 en 8.125,96. Bedragen afronden Bedragen in euro s ( ) rond je standaard af op twee cijfers achter de komma. Je kijkt dan naar het derde cijfer. Bij een 5 of hoger rond je het tweede getal naar boven af. Bij een 4 of lager blijft het getal gelijk. 8

9 Rekenvoorbeelden bedragen afronden op twee cijfers achter de komma Rond het bedrag 56,235 af op 2 cijfers achter de komma. Stap 1 Kijk naar het derde cijfer achter de komma. Dit is een 5. Stap 2 Rond het tweede cijfer af naar boven, 3 wordt 4. Stap 3 Het afgeronde bedrag is 56,24 1 Rond het bedrag 4,1236 af op 2 cijfers achter de komma. Stap 1 Kijk naar het derde cijfer achter de komma. Dit is een 3. Stap 2 Het tweede cijfer blijft gelijk, 2 blijft 2. Stap 3 Het afgeronde bedrag is 4,12 AFRONDEN 0,4 0,3 0,2 0,1 wordt 0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 wordt 1 Naar beneden afronden Naar boven afronden Getallen afronden Bij een getal rond je niet standaard af op twee cijfers achter de komma. Dit is afhankelijk van de context of de vraagstelling. Bij het afronden op één cijfer achter de komma kijk je naar het tweede cijfer. Bij een 5 of hoger rond je het getal naar boven af, bij een 4 of lager blijft het getal gelijk. Bij afronden op twee cijfers achter de komma kijk je naar het derde cijfer. Bij een 5 of hoger rond je het getal naar boven af en bij een 4 of lager blijft het getal gelijk. 9

10 Rekenvoorbeeld getal afronden op één cijfer achter de komma Rond het getal ,34 af op 1 cijfer achter de komma. Stap 1 Kijk naar het tweede cijfer achter de komma, dit is een 4. Stap 2 Het eerste cijfer blijft gelijk, 3 blijft 3. Stap 3 Het afgeronde getal is ,3 Rekenvoorbeeld getal afronden op drie cijfers achter de komma Rond het getal 10,5678 af op drie cijfers achter de komma. Stap 1 Kijk naar het vierde cijfer achter de komma, dit is een 8. Stap 2 Rond het derde cijfer af naar boven, 7 wordt 8. Stap 3 Het afgeronde getal is 10,568 Opgaven 1 Vul de tabel in. Rond af op twee cijfers achter de komma. a 10,3333 b 2,2356 c 9, Vul de tabel in. Rond af op drie cijfers achter de komma. a 0,66667 b 2,2356 c 110,

11

12 L L

13 Hoofdstuk 2 Breuken en procenten Procenten gebruik je veel in de logistiek, bijvoorbeeld om btw of kortingen te berekenen. Procenten geven een verhouding aan tussen het geheel (100%) en een deel hiervan (bijvoorbeeld 10% of 35%). 2 Procent betekent letterlijk van de % betekent dus hetzelfde als 10 van de 100 of één tiende deel van de 100. Een procent (%) is één honderdste deel. Het totaal is 100%. Een percentage geeft een aantal procenten aan. Bij rekenen met procenten heb je eigenlijk drie mogelijkheden: 1 Je moet een deel van het geheel uitdrukken in een percentage, oftewel je moet een percentage berekenen. 2 Je moet een gegeven percentage omzetten in een aantal of een bedrag. 3 Je moet een verandering, een toename of een afname, in procenten weergeven. Bij elk van deze drie berekeningen zul je zien dat je gebruik kunt maken van een standaardformule. 13

14 2.1 Breuken Naast procenten kun je ook breuken of decimale getallen gebruiken om dezelfde verhouding weer te geven. 50% is bijvoorbeeld hetzelfde als 1 2 omrekenen naar een breuk. en als 0,5. Je kunt een percentage Rekenvoorbeeld percentage omrekenen naar breuk In een bedrijf is 25% van de medewerkers vrouw. Welk deel van de medewerkers is vrouw? Het percentage is 25% Dit is 1 4 deel (breuk) Dit is 0,25 (decimaal getal) Je kunt een breuk ook omrekenen naar een percentage. Je rekent de breuk dan eerst om naar honderdsten. 14

15 Rekenvoorbeeld breuk omrekenen naar percentage 6 van de 20 medewerkers heeft geen mobiel. Hoeveel procent van de medewerkers heeft geen mobiel? 6 op de 20 = 20 6 Reken de breuk om naar honderdsten: 20 6 = Je vermenigvuldigt zowel de teller als de noemer met = 30% = 0,30 De breuk is 20 6 = Het percentage is 30%. Dat is 0,30 (decimaal getal) 30 procent van de medewerkers heeft geen mobiel. Opgaven Vul de tabel verder in. Vereenvoudig de breuken zo ver mogelijk. Percentage Decimaal getal Breuk 1 25% 0, % 3 75% % ,8 8 33% ,

16 2.2 Percentage berekenen Een percentage is altijd een deel van een geheel. Daarom wordt het berekend met de volgende formule. Percentage = waarde van het deel waarde van het geheel 100% Rekenvoorbeeld omrekenen naar percentage Een bedrijf heeft 300 medewerkers in dienst en 21 medewerkers hebben een certificaat voor de vorkheftruck. Hoeveel procent van het personeel heeft een certificaat? 21 medewerkers op een totaal van 300 = % = 7% 7% van het personeel heeft een certificaat. Rekenvoorbeeld percentage berekenen De totale kosten in een bedrijf zijn De vaste kosten zijn Hoeveel procent van de totale kosten zijn vaste kosten? op een totaal van = % = 25% 25% van de totale kosten zijn vaste kosten. Opgaven 1 30 medewerkers van de 600 medewerkers hebben een BHV-opleiding gevolgd. Hoeveel procent heeft een certificaat? 2 De brandstofkosten zijn De totale transportkosten zijn Hoeveel procent zijn de brandstofkosten van de totale kosten? 16

17 3 Een bedrijf wil 25% vrouwelijk personeel in dienst hebben. Momenteel heeft het bedrijf 43 vrouwen en 150 mannen in dienst. a Hoeveel procent vrouwen heeft het bedrijf in dienst? b Voldoet het bedrijf aan de gestelde norm van 25%? Ja/nee. 2 c Hoeveel vrouwen moet het bedrijf nog aannemen om aan de norm te voldoen? Rekenen met procenten Van een gegeven percentage wil je weten welk aantal of welk bedrag daar bij hoort. Bijvoorbeeld: hoeveel btw moet afgedragen worden over een aankoop van 605 (inclusief btw)? Voor dit soort berekeningen kun je gebruikmaken van de procentenformule, of procentenregel, waarbij geldt: Gewenste bedrag = bekend bedrag bijbehorend % gewenste % De eerste stap is niets anders dan uitrekenen wat 1% is, zonder de fout te maken door voor één procent standaard te delen door

18 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% Rekenvoorbeeld Hoeveel btw moet afgedragen worden over een aankoop van 605 inclusief btw? Het bekende bedrag is 605. Het bijbehorende % is 121 (want het is inclusief btw). Het gewenste % is 21. Het btw-bedrag = =

19 Rekenvoorbeeld Bij de verkoop van een bepaalde hoeveelheid producten wordt in totaal winst gemaakt. Dit is 35% van de omzet. Hoe groot was de winst geweest bij 38%? = Opgaven Reken de volgende percentages uit % van = 5 12,5% van 360 = 6 20% van = 7 60% van = 8 45% van = 9 De prijs van een broek is 79 exclusief 21% btw. Bereken de prijs inclusief btw. 10 De prijs van een jas is 279 exclusief 21% btw. Bereken de prijs inclusief btw. 11 De prijs van een broodje kipburger is 4,50 exclusief 6% btw. Bereken de prijs inclusief btw. 12 De prijs van een glas sinaasappelsap is 1,80 exclusief 6% btw. Bereken de prijs inclusief btw. 19

20 Percentage berekenen met een factor Naast het gebruik van de procentenformule kan het rekenen met percentages soms sneller met een factor. Daarbij zet je percentages om in decimale getallen (de factor) om in een vermenigvuldiging tot de uitkomst te komen. Rekenvoorbeeld 28% van 65 = 0,28 65 = 18,2 Maar ook: % = (1 +15%) 80 = (100% + 15%) 80 = 115% van 80 = 1,15 80 = 92 Het kan dus sneller door met een factor te rekenen. Je rekent dan met het percentage gedeeld door honderd, dit zie je in de volgende formule. Factor = % 100 Rekenvoorbeeld factor uitrekenen 1 Bij groothandel Houben wordt 10% van de aangeleverde pallets direct doorgezonden naar klanten in verband met openstaande orders (crossdocking). Het aantal pallets dat per dag binnenkomt, is 350 stuks. Hoeveel pallets worden per dag direct doorgestuurd naar klanten? Je rekent uit: 10% van 350. De factor is hier = 0,10 10% van 350 = 0, = 35 stuks Als je een percentage boven op een waarde moet uitrekenen, vermenigvuldig je met één plus het percentage gedeeld door honderd. Factor = 1 + %

21 Rekenvoorbeeld factor uitrekenen 2 Als je het bedrag van plus 50% wilt berekenen, dan reken je eerst de factor uit. De factor is = 1,5 Het bedrag is 1, = Opgaven Bereken met behulp van de factor % van % van ,5% van Bedrag van plus 60%. Gevraagd: bedrag inclusief 60%. 17 Bedrag van plus 37,5%. Gevraagd: bedrag inclusief toeslag 37,5%. 21

22 2.3 Belasting over de toegevoegde waarde De afkorting btw staat voor belasting over de toegevoegde waarde. Het is een indirecte belasting die de Belastingdienst heft op de verkoop van producten en diensten. Er zijn in Nederland drie btw-tarieven: 0%, 6% en 21%. De hoogte van het btw-tarief hangt af van het soort artikel of dienst. Een ondernemer betaalt btw over goederen die hij inkoopt en ontvangt btw over goederen die hij verkoopt. Het verschil verrekent hij met de Belastingdienst. Rekenvoorbeeld btw berekenen Peter koopt een pallet met computers ter waarde van Hij moet 21% btw over deze aankoop betalen. Hoeveel moet Peter inclusief btw voor de computers betalen? Consumentenprijs 121% Btw 21% Verkoopprijs 100% Reken de btw uit met de procentenregel = Reken de consumentenprijs uit met de procentenregel = Peter moet betalen voor de computers. In een schema: , % 1% 21% 121% 22

23 Btw eruit halen Het kan ook zijn dat je het omgekeerde wilt weten: hoeveel btw zit er in het betaalde bedrag? Rekenvoorbeeld btw eruit halen Een ondernemer koopt een steekwagen voor 420,00 inclusief 21% btw. Hoeveel btw heeft hij betaald? Consumentenprijs 121% 420,00 Btw 21% Verkoopprijs 100% 2 Btw berekenen met procentenregel: = 72,89 De ondernemer heeft 72,89 btw betaald. Verkoopprijs berekenen met procentenregel: = 347,11 Opgaven Bereken de betaalde btw. Rond af op twee decimalen inclusief 6% btw inclusief 6% btw inclusief 21% btw 4 34,50 inclusief 21% btw Bereken het bedrag exclusief btw. Rond af op twee decimalen inclusief 6% btw 23

24 6 475 inclusief 21% btw inclusief 6% btw inclusief 21% btw 2.4 Verhoging over verhoging Een bedrijf wordt regelmatig geconfronteerd met kostenstijgingen. Als de kosten een aantal jaren achter elkaar met een gelijk percentage worden verhoogd, kun je dit snel berekenen met de factorberekening. Rekenvoorbeeld verhoging over verhoging De jaarlijkse huurkosten voor een gebouw zijn De verhuurder gaat de komende jaren de huur met 5% per jaar verhogen. Wat worden de huurkosten in de komende drie jaar? Via de factormethode wordt de berekening voor het volgende jaar: factor = 1 + % = 1,05 1, = Het jaar daarop stijgen de kosten weer met 5% De berekening wordt dan: 1,05 (eerste jaar) 1,05 (tweede jaar) = 1,05² = Het derde jaar wordt de berekening: 1,05 (eerste jaar) 1,05 (tweede jaar) 1,05 (derde jaar) = 1,05³ = ,25 24

25 Opgaven Bereken het eindbedrag wordt in 5 jaar verhoogd met 10% per jaar wordt in 10 jaar verhoogd met 5% per jaar wordt in 5 jaar verhoogd met respectievelijk 5%, 4%, 3%, 2% en 1% per jaar wordt jaarlijks verhoogd met 10%. Na hoeveel jaar is het bedrag dat betaald moet worden verdubbeld? wordt in 4 jaar verlaagd met 5% per jaar. 2.5 Procentuele afname en toename Procenten kun je ook gebruiken om een toename of een afname aan te geven. Een toename betekent dat de hoeveelheid groter wordt, procentuele toename. Een afname betekent dat een hoeveelheid kleiner wordt, procentuele afname. Rekenvoorbeeld procentuele toename In een verpakking zit normaal 400 gram bakmeel. Op de verpakking staat Nu met 10% extra inhoud. Hoeveel bakmeel zit er nu in een verpakking? Stap 1 Reken de toename uit. 10% van 400 gram = 40 gram 25

26 Stap 2 Reken het nieuwe totaal uit. 400 gram + 40 gram = 440 gram In de verpakking zit nu 440 gram bakmeel. Rekenvoorbeeld procentuele afname Karel krijgt 10% korting op een usb-stick. De stick kost normaal 15,00. Hoeveel moet Karel voor de usb-stick betalen? Stap 1 Reken de afname uit. 10% van 15,00 = 1,50 Stap 2 Reken het nieuwe totaal uit. 15,00 1,50 = 13,50 De usb-stick kost nu 13,50. Opgaven Reken uit en schrijf de berekening op. 1 In 2015 heeft een bedrijf 800 medewerkers in dienst. In 2016 is het aantal medewerkers met 5% afgenomen ten opzichte van Hoeveel medewerkers heeft het bedrijf in 2016 in dienst? 2 In 2015 produceerde een magazijn orderregels. In 2014 werden 5% minder orderregels geproduceerd. Hoeveel orderregels produceerde het magazijn in 2014? 3 Een medewerker krijgt 20% korting als hij een computer via de werkgever aanschaft. De computer kost normaal 845,00. Hoeveel moet de medewerker betalen voor de computer? 26

27 4 Het inpakken van een order kost voor de prijsverhoging 8,50. De kosten stijgen met 5%. Wat kost het inpakken van een order na de prijsverhoging? 5 Een postorderbedrijf heeft de volgende actie: Het verzenden van een verzekerd postpakket kost 5% van de waarde van het pakket. Als de klant vooruitbetaalt ontvangt hij een korting van 8%. 2 Een klant bestelt een pakket met een waarde van 75,00. Welk bedrag moet de klant betalen als hij het pakket verzekerd laat versturen en vooruitbetaalt? 6 De omzet in de maand januari 2016 is ,00. In februari is de omzet met 16% gestegen. Bereken de omzet in de maand februari Procentuele verandering Een verandering kan ook in procenten worden uitgedrukt, zowel een toename als een afname. Hiervoor kunnen de volgende formules gebruikt worden: Stijging of daling in % = nieuw oud oud 100% Of: Stijging of daling in % = nieuw oud 1 100% Rekenvoorbeeld percentage korting uitrekenen Een bedrijf koopt 20 veiligheidshelmen. De prijs was 50,00 per stuk, maar bij een afname van 20 stuks kost de helm slechts 40,00 per stuk. 27

28 Hoeveel procent korting krijgt het bedrijf op 20 helmen? Oude prijs: 50, nieuwe prijs: 40. (nieuw oud) oud 100% = (40 50) 50 = = 0,2 100% = 20% Dus 20% korting. Of: nieuw oud = = 0,8 1 = 0,2 100% = 20% Dus 20% korting. Opgaven Reken uit en schrijf de berekening op. 7 Een paar werkhandschoenen kost een bedrijf 1,20. Normaal kost een paar 1,25. Hoeveel procent korting krijgt het bedrijf? 8 Door een verbeterde planning steeg het aantal orders per medewerker van 100 naar 110 per maand. Met hoeveel procent is het aantal orders per medewerker per maand gestegen? 9 Door verbeterde afspraken betaalt Exlo in 2017 slechts 7,50 per verstuurd pakket. In 2016 betaalde Exlo nog 8,50 voor het verzenden van een pakket. Hoeveel procent betaalt Exlo in 2017 minder dan in 2016? 28

29 10 Op 1 januari 2005 kostte een liter diesel 0,75. Op 1 januari 2016 kostte een liter diesel 1,25. Met hoeveel procent is de prijs van een liter diesel gestegen? Uitrekenen procentuele verandering met behulp van oude waarde Je kunt uitrekenen hoeveel procent een hoeveelheid is toegenomen of afgenomen als je het nieuwe totaal en de toe- of afname kent. 2 Rekenvoorbeeld percentage korting uitrekenen John betaalt 25,00 voor een kaartje. Hij heeft 7,50 korting ontvangen. Hoeveel procent korting heeft hij gekregen? Stap 1 Reken het oude totaal uit. Nieuwe totaal + afname = oude totaal 25,00 + 7,50 = 32,50 Stap 2 (nieuw oud) oud 100% 7,50 32,50 100% = 23,08% Of: ((nieuw oud) 1) 100% 25 32,50 = 0, = 0, % = 23,08% John heeft 23,08% korting gekregen. 29

30 Rekenvoorbeeld percentage toename uitrekenen Het aantal geslaagden voor het vorkheftruckcertificaat in 2015 is 650. Dit zijn 50 kandidaten meer dan in Met hoeveel procent is het aantal geslaagden toegenomen? Stap 1 Reken het oude totaal uit. Nieuwe totaal toename = oude totaal = 600 Stap 2 (nieuw oud) oud 100% ( ) % = 8,33% Of: = 1, = 0, % = 8,33% Het aantal geslaagden is met 8,33% toegenomen. Opgaven Reken uit en schrijf de berekening op. 11 Peter van den Berg heeft 25,00 betaald voor zijn nieuwe veiligheidsschoenen. Hij heeft 10,00 korting gekregen. Hoeveel procent korting heeft Peter gekregen? 12 Marijke krijgt via haar werkgever een busabonnement. Dit abonnement kost 35,00 per maand. Vorig jaar was dit abonnement 7,50 goedkoper. Hoeveel procent is het busabonnement duurder dan vorig jaar? 30

31 13 In 2016 werden 65,7 miljoen cd s verkocht. Dit zijn 15,3 miljoen cd s minder dan in Met hoeveel procent is het aantal verkochte cd s gedaald? 14 In de Drechtsteden is de huizenverkoop in 2015 tot 985 gestegen. Dit zijn 50 huizen meer dan in Met hoeveel procent is de huizenverkoop gestegen? 2 Terugrekenen oude waarde Het oude totaal kun je uitrekenen als je de af- of toename in procenten en het nieuwe totaal weet. Dit kan eenvoudig met de procentenregel. Rekenvoorbeeld waarde na toename uitrekenen Bas de Ruiter schaft een kunststof pallet aan voor 25,00 inclusief 21% btw. Wat kost de pallet exclusief 21% btw? Inclusief btw 121% 25,00 Btw 21% Exclusief btw 100% Het bedrag exclusief btw is = 20,66 (= procentenformule). Het btw-bedrag is = 4,34 (= procentenformule). Rekenvoorbeeld oude waarde uitrekenen na korting Abdullah koopt een nieuwe muis voor zijn laptop. Hij betaalt 12,60 voor de muis. Hij heeft 30% korting ontvangen Wat kost de muis normaal? Zonder korting 100% Korting 30% Met korting 70% 12,60 De muis kost normaal 12, = 18,00 (= procentenformule). Het kortingsbedrag is 12, = 5,40 (= procentenformule). 31

32 Opgaven Reken uit en schrijf de berekening op. 15 De prijs van een pallet is 4,50 inclusief 21% btw. Wat is de prijs exclusief btw? 16 De eerste drie maanden betaalt een abonnee slechts 12,75 per maand. De korting bedraagt 17,5%. a Hoeveel moet je per maand betalen als de korting niet meer geldt? b Hoeveel betaal je voor het abonnement in het eerste jaar? 17 Nabil koopt een nieuwe veiligheidsbril voor zijn werk. De bril met correctieglazen kost Nabil 75,00 inclusief een korting van 75%. Hoeveel kost de bril zonder korting? 18 Een nieuwe auto kost inclusief 21% btw. De klant ontvangt in verband met de zomeractie 10% korting. a Bereken de nieuwe prijs van de auto. b Bereken de betaalde btw. 19 Het personeelsbestand in 2015 bestaat uit 365 medewerkers. Door een reorganisatie in 2016 is het aantal medewerkers afgenomen met 25%. Bereken het aantal medewerkers is

33 2.6 Toegepaste berekeningen In de logistiek heb je te maken met personeelskosten. Je kunt op verschillende manieren meten of deze personeelskosten niet te hoog zijn in verhouding tot de productie. Productiviteit Productiviteitskengetallen geven informatie over verschillende soorten productiviteit. Een van de kengetallen is arbeidsproductiviteit. Je berekent hierbij hoeveel omzet per fulltime medewerker wordt geproduceerd. De arbeidsproductiviteit bereken je met de volgende formule. 2 Arbeidsproductiviteit = omzet in euro s aantal personeelsleden (fte) Een medewerker die fulltime werkt, geef je aan als 1 fte. Een parttime medewerker is minder dan 1 fte, bijvoorbeeld 0,8 fte of 0,6 fte. Dit hangt af van het aantal uren dat de medewerker per week werkt. Rekenvoorbeeld arbeidsproductiviteit berekenen De omzet van De Vrolijke Darter is Het aantal personeelsleden op fulltime basis bedraagt 3,5 fte. Arbeidsproductiviteit = ,5 = ,43 per fte Een andere manier van meten van de productiviteit is de productie in verhouding tot het aantal gewerkte uren. Productiviteit bereken je met de volgende formule. Productiviteit = aantal orderregels aantal uren Servicegraad Om te meten in welke mate je kunt voldoen aan de vraag naar een product bereken je de servicegraad. De servicegraad druk je uit in een percentage. Hoe hoger dit percentage, hoe meer klanten op het gewenste moment het product kunnen kopen. 33

34 De servicegraad bereken je met de volgende formule. Servicegraad = aantal orders direct geleverd aantal orders 100% Derving Tussen het moment dat goederen binnenkomen en weer de winkel verlaten, verdwijnen er artikelen. Bijvoorbeeld door diefstal, administratieve fouten of breuk. Dit noem je derving Het dervingpercentage bereken je met de volgende formule. Dervingpercentage = dervingcijfer omzet 100% Rekenvoorbeeld dervingpercentage Een groentehandelaar heeft de volgende cijfers over derving: Afdeling Omzet Derving Dervingpercentage Aardappelen ,00% Groente en fruit ,50% Overig ,00% Totaal ,50% Derving aardappelen = = 1,00% Derving groente en fruit = = 2,50% Derving overig = = 1,00% 34

35 Opgaven 1 Bereken de productiviteit. De procentuele afwijking is 0%, dus de productiviteit zal in de gerealiseerde situatie gelijk blijven. Vul de tabel verder in. Gepland Gerealiseerd Procentuele afwijking in % Orderregels Uren 600 Productiviteit 0% 2 Bereken de servicegraad. Vul de tabel verder in. Order Aantal orders Aantal orders direct geleverd Servicegraad Van een bedrijf is de beginvoorraad stuks. De afdeling inkoop heeft stuks gekocht. Er zijn stuks verkocht. Vul het schema in en bereken de administratieve voorraad. Beginvoorraad Inkopen + Totale voorraad Verkopen Administratieve voorraad 35

36 4 Van diverse groepen handelsbedrijven zijn over een bepaalde periode de omzetten en de dervingcijfers bekend. Bereken het dervingpercentage. Bedrijf Omzet Derving Dervingpercentage Klein BV Parel en Co Berg NV De Bruin VOF Sahingoz en zn Bereken op grond van de omzetten de dervingpercentages en/of de dervingcijfers van verschillende afdelingen van een handelsbedrijf. Het bedrijf verkoopt fietsen. De volgende cijfers van de verschillende afdelingen zijn bekend. Vul de tabel verder in. Rond het dervingpercentage af op twee cijfers achter de komma. Artikelgroep Omzet Dervingpercentage Derving Kinderfietsen % Sportfietsen Dames-/herenfietsen % Accessoires

37 6 Bereken de arbeidsproductiviteit. Omzet Aantal fte Arbeidsproductiviteit ,35 37

38 L L

39 Hoofdstuk 3 Machten en wortels In formules moet je soms machtsverheffen en/of worteltrekken. Machtsverheffen is hetzelfde als herhaald vermenigvuldigen. Worteltrekken is het omgekeerde van kwadrateren (het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf). 3 39

40 3.1 Machtsverheffen Een vermenigvuldiging met meerdere keren achter elkaar hetzelfde getal kun je korter opschrijven. Deze korte notatie heet een macht. Wanneer je op deze manier gaat vermenigvuldigen, noem je dat machtsverheffen. Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen = = Spreek uit: vier tot de macht vijf. De kleine 5 heet de exponent. De 4 heet het grondgetal. 3 2 = 3 3 = 9 Spreek uit: drie kwadraat of drie tot de macht twee. 5 3 = = 125 Spreek uit: vijf tot de macht drie. Opgaven Reken de volgende machten uit = = = = 40

41 = = = = = = = = 3.2 Worteltrekken Als je de wortel uit een getal wilt berekenen, doe je precies het omgekeerde van machtsverheffen. De wortel uit een getal is het getal dat, als je het vermenigvuldigt met zichzelf, weer precies het getal oplevert waarmee je begon. Deze bewerking noem je worteltrekken. Je gebruikt hiervoor het speciale wortelteken:. 9 = 3, want 3 3 = 9... Spreek uit: wortel negen is drie, of de wortel uit negen is drie, of de wortel van negen is drie. 16 = 4, want 4 4 = 16 Spreek uit: de wortel uit 16 is = 10 1 = 1 41

42 Opgaven Reken de volgende wortels uit = 2 25 = 3 4 = 4 81 = 5 49 = 6 64 = Met de rekenmachine Wortels en machten kun je uitrekenen met de rekenmachine.! Let op: rekenmachines kunnen van elkaar verschillen in gebruik Toets in: 5 Het antwoord: 2, Toets in: 6 2 Het antwoord: Toets in: 7 y 5 = of 7 ^ 5 = Het antwoord:

43 Opgaven Reken de volgende machten en wortels uit met de rekenmachine = = = = = = = = = = Formule van Camp De formule van Camp is een berekening van de optimale bestelhoeveelheid. Hoe vaker een product besteld wordt, des te hoger de bestelkosten zullen zijn. Maar als je vaker bestelt, heb je lagere voorraadkosten. Met de formule van Camp bereken je de optimale verhouding tussen de bestelkosten en de voorraadkosten. In formule: Optimale bestelhoeveelheid = 2 bestelkosten jaarafzet voorraadkosten Q = 2 B A Waarbij: Q = optimale bestelhoeveelheid V B = bestelkosten per keer A = jaarafzet van het product V = voorraadkosten per stuk 43

44 ! Let op: vermenigvuldigen en delen zijn gelijkwaardige bewerkingen. Vermenigvuldigen en delen doe je in de volgorde waarin je ze tegenkomt als je van links naar rechts werkt. Daarna trek je pas de wortel. XX XX XX Bestelkosten zijn bijvoorbeeld inkoopkosten, afleverkosten en administratiekosten. Voorraadkosten bestaan uit de 3 R s: Rente of rendement, Ruimte en Risico. De jaarafzet is het aantal stuks dat het bedrijf denkt te gaan verkopen. Deze jaarafzet kan in de loop van het jaar veranderen. Bij een grote wijziging wordt een nieuwe optimale bestelhoeveelheid berekend. Rekenvoorbeeld optimale bestelhoeveelheid berekenen Jaarafzet = stuks Bestelkosten = 200 Voorraadkosten = 4 per stuk Wat is de optimale bestelhoeveelheid? Stap 1 2 jaarkosten bestelkosten = Stap 2 Subtotaal voorraadkosten = Stap 3 Trek de wortel uit het subtotaal van stap = De optimale bestelhoeveelheid is stuks. 44

45 Met de rekenmachine is de berekening als volgt: ( ) = Of: = = = Soms wordt de jaarafzet op een andere wijze aangegeven, dan moet je die eerst omrekenen. XX XX XX XX XX Stel, de dagafzet is 100 stuks. De jaarafzet is dan of Stel, de weekafzet is 200 stuks. De jaarafzet is dan of Stel, de maandafzet is stuks. De jaarafzet is dan Stel, de kwartaalafzet stuks. De jaarafzet is dan Stel, de afzet per vier weken is stuks. De jaarafzet is dan of Opgaven Bereken de optimale bestelhoeveelheid. Rond af op hele getallen. 17 Jaarafzet = stuks Bestelkosten = 35 per keer Voorraadkosten = 0,50 per stuk 18 Jaarafzet = stuks Bestelkosten = 40 per keer Voorraadkosten = 2,50 per stuk 45

46 19 Jaarafzet = stuks Bestelkosten = 25 per keer Voorraadkosten = 0,5% van de kostprijs Kostprijs Jaarafzet = stuks Bestelkosten = 35 per keer Voorraadkosten = 0,75 per stuk 21 Jaarafzet = stuks Bestelkosten = 25 per keer Voorraadkosten = 0,5% van de kostprijs Kostprijs Bereken de jaarlijkse voorraadkosten per product van opgave 17 tot en met 21, als de gemiddelde voorraad gelijk is aan de halve bestelgrootte. 46

47

48 L L

49 Hoofdstuk 4 Rekenen met voorraadaantallen Je wilt weten hoeveel artikelen je op voorraad hebt, zodat je geen nee hoeft te verkopen aan klanten. En als je weet hoe snel ze worden verkocht, weet je ook wanneer je weer moet bestellen. Hoe je de voorraad berekent en hoe snel deze wordt verkocht, leer je in dit hoofdstuk. 4 49

50 4.1 Technische en economische voorraad De technische voorraad is het aantal producten dat je in het magazijn hebt liggen. De economische voorraad houdt ook rekening met de producten die je wel al hebt ingekocht, maar die nog niet zijn geleverd (de voorinkopen) en de producten die je wel al hebt verkocht, maar die nog niet aan de klant zijn uitgeleverd (de voorverkopen). Economische voorraad = technische voorraad voorinkopen + voorverkopen Rekenvoorbeeld economische voorraad berekenen De technische voorraad van Jansen en co is stuks. De afdeling inkoop heeft een order geplaatst van 500 stuks. Deze producten worden de komende maand geleverd. De afdeling verkoop heeft 800 stuks verkocht. Deze producten worden de komende weken uitgeleverd. 50

51 Hoe groot is de economische voorraad? Technische voorraad Voorinkopen Voorverkopen 800 Economische voorraad Opgaven 1 De technische voorraad van BS is stuks. De afdeling inkoop heeft een order geplaatst van stuks. Deze producten worden de komende maand geleverd. De afdeling verkoop heeft stuks verkocht. De komende weken worden deze uitgeleverd. Bereken de economische voorraad in stuks. 4 2 De technische voorraad van H-power is stuks. De afdeling inkoop heeft een order geplaatst van stuks. Deze producten worden de komende week geleverd. De afdeling verkoop heeft stuks verkocht. De komende weken worden deze uitgeleverd. Bereken de economische voorraad in stuks. 51

52 3 De technische voorraad van VOF is stuks. De afdeling inkoop heeft een order geplaatst van stuks. Deze producten worden de komende week geleverd. De afdeling verkoop heeft stuks verkocht. Deze producten worden de komende weken uitgeleverd. Bereken de economische voorraad in stuks. 4.2 Gemiddelde voorraad De gemiddelde voorraad berekenen je met twee getallen. Je telt de getallen bij elkaar op en deelt de uitkomst door twee. Gemiddelde voorraad = beginvoorraad + eindvoorraad 2 Rekenvoorbeeld gemiddelde voorraad berekenen Jansen BV heeft een beginvoorraad van en de eindvoorraad is Bereken de gemiddelde voorraad. Stap 1 Beginvoorraad + eindvoorraad = = Stap 2 Deel het bedrag door =

53 Opgaven 1 De eindvoorraad is en de beginvoorraad Bereken de gemiddelde voorraad in euro s. 2 De beginvoorraad is en de eindvoorraad Bereken de gemiddelde voorraad in euro s. 3 De beginvoorraad is stuks en de eindvoorraad is stuks. Bereken de gemiddelde voorraad in stuks. 4 Inkoopwaarde van de omzet De voorraden worden tegen inkoopprijs gewaardeerd. Dat deel van de voorraad dat verkocht wordt noemen we de inkoopwaarde van de omzet. Rekenvoorbeeld waarde van de voorraad berekenen Van een artikel zijn stuks in voorraad. Deze artikelen zijn tegen een inkoopprijs van 5 per stuk ingekocht. De waarde van de voorraad bereken je als volgt: Waarde voorraad in euro s = Aantal stuks inkoopprijs per stuk = ,00 =

54 Opgaven 4 Een ondernemer koopt zijn product in voor 15,00 per 10 stuks. Hij heeft een voorraad van stuks. Bereken de waarde van de voorraad tegen inkoopprijs. 5 Een eindvoorraad is stuks en de beginvoorraad stuks. De inkoopprijs is 2,00 per stuk. Bereken de waarde van de gemiddelde voorraad. 6 De voorraad op 31 december bedraagt stuks. Een ondernemer koopt de volgende hoeveelheden in: januari: stuks februari: stuks maart: stuks Hij verkoopt de volgende hoeveelheden: januari: stuks februari: stuks maart: stuks Bereken de voorraad per 31 januari, 28 februari en 31 maart. 54

55 7 Een groothandel heeft een voorraad goederen en verkoopt deze volgens het principe first in, first out. Administratief houdt dit in dat je de administratie in partijen op basis van volgorde van binnenkomst gaat bijhouden. In het magazijn ga je deze partijen ook één voor één picken en uitgeven. De voorraad op 31 december bedraagt stuks met een inkoopprijs van 5,00. Een ondernemer koopt de volgende hoeveelheden in: januari: stuks met een inkoopprijs van 6,00 februari: stuks met een inkoopprijs van 4,00 maart: stuks met een inkoopprijs van 7,00 Hij verkoopt de volgende hoeveelheden: januari: stuks februari: stuks maart: stuks 4 Bereken de waarde van de voorraad per 31 december, 31 januari, 28 februari en 31 maart. 55

56 4.3 Gemiddelde voorraad met tussenliggende meetmomenten Heb je de voorraadgegevens van meer meetmomenten, of meetpunten, beschikbaar, dan gebruik je deze in je berekening. Het gemiddelde wordt er nauwkeuriger door. Als de voorraad per maand wordt opgenomen, dan heb je 12 voorraadcijfers. Voorraadcijfers worden ook meetmomenten of meetpunten genoemd. De voorraad opnemen kan ook per kwartaal, dan heb je 4 meetmomenten. Je krijgt dezelfde uitkomst als je de begin en eindvoorraad vermenigvuldigt met een half, de tussenliggende voorraad erbij optelt en het geheel deelt door het aantal meetpunten min 1. In formule: Gemiddelde voorraad = ½ beginvoorraad + tussenliggende voorraden + ½ eindvoorraad aantal meetmomenten 1 Rekenvoorbeeld gemiddelde voorraad berekenen (per kwartaal) Een groothandel in gereedschap heeft het afgelopen jaar de volgende voorraad: 1 januari e kwartaal 1 april e kwartaal 1 juli e kwartaal 1 oktober e kwartaal 31 december

57 Om de gemiddelde voorraad te berekenen moet je eerst de gemiddelde voorraad per periode (kwartaal) berekenen. ( ) 2 = ( ) 2 = ( ) 2 = ( ) 2 = Totaal Gemiddelde voorraad = = X Rekenvoorbeeld gemiddelde voorraad berekenen (alles in een keer) Gemiddelde voorraad = ½ ( ) + ½ = 4 X = 4 4 =

58 Opgaven 1 Een groothandel in transportwagens heeft het afgelopen jaar de volgende voorraad: 1 januari e kwartaal 1 april e kwartaal 1 juli e kwartaal 1 oktober e kwartaal 31 december Bereken de gemiddelde voorraad voor het afgelopen jaar. 2 Peter van de Berg heeft de voorraad over een periode van drie maanden opgenomen. 1 augustus: september: oktober: Bereken de gemiddelde voorraad over deze drie maanden. 58

59 4.4 Omzetsnelheid Omzetsnelheid is het aantal maal dat de gemiddelde voorraad in een jaar wordt verkocht. Hoe hoger de omzetsnelheid, des te beter gaat het met bedrijf, omdat je producten dan snel verkoopt en je voorraad weer in geld wordt omgezet. Hoe hoger je omzetsnelheid, des te vaker zul je moeten bestellen. Omzetsnelheid = inkoopwaarde van de omzet gemiddelde voorraad tegen inkoopprijs Rekenvoorbeeld omzetsnelheid berekenen De inkoopwaarde van de omzet is De waarde van de gemiddelde voorraad is Hoe groot is de omzetsnelheid? 4 Omzetsnelheid = = 4 Opgaven Bereken de omzetsnelheid. 1 De inkoopwaarde van de omzet is De gemiddelde voorraad heeft een waarde van Een eindvoorraad is stuks. De beginvoorraad stuks. De inkoopprijs is 2,00 per stuk. De inkoopwaarde van de omzet bedraagt ,00. 59

60 3 De inkoopwaarde van de omzet is De waarde van de gemiddelde voorraad is Een eindvoorraad is stuks. De beginvoorraad stuks. De inkoopprijs is 3,00 per stuk. De inkoopwaarde van de omzet bedraagt , Omzetduur De omzetduur is de tijd om de gemiddelde voorraad eenmalig om te zetten in geld. Bij het berekenen van de omzetduur wordt een jaar op 360 dagen gesteld. De uitkomst rond je altijd naar boven af op hele dagen. In formule: Omzetduur in dagen = gemiddelde voorraad 360 inkoopwaarde van de omzet 60

61 Rekenvoorbeeld omzetduur berekenen De gemiddelde voorraad tegen inkoopprijs is De inkoopwaarde van de omzet is Bereken de omzetduur, reken met 360 dagen in een jaar. Omzetduur = = 90 dagen Opgaven Bereken de omzetduur. Ga uit van 360 dagen in een jaar. 1 De gemiddelde voorraad tegen inkoopprijs is De inkoopwaarde van de omzet is Een eindvoorraad is stuks en de beginvoorraad stuks. De inkoopprijs is 1,50 per stuk. De inkoopwaarde van de omzet is ,00. 3 De gemiddelde voorraad tegen inkoopprijs is De inkoopwaarde van de omzet is Een eindvoorraad is stuks en de beginvoorraad stuks. De inkoopprijs is 0,50 per stuk. De inkoopwaarde van de omzet is ,00. 61

62 Van omzetsnelheid naar omzetduur De tijd dat de artikelen in een onderneming zijn, noem je de omzetduur of de opslagduur. Als je de omzetsnelheid weet, dan kun je de omzetduur berekenen. Omzetduur in dagen = 360 dagen omzetsnelheid In deze formule kun je 360 dagen ook vervangen door 52 weken of 12 maanden of 4 kwartalen. Deze keuze is afhankelijk van het soort artikelen dat in een onderneming is opgeslagen. Voorbeeld: 90 dagen = 3 maanden, maar 10 dagen = 0,33 maanden. Een jaar wordt op 360 dagen gesteld en een maand op 30 dagen. Rekenvoorbeeld Gegeven: de omzetsnelheid bedraagt 8 De omzetduur is dan = 45 dagen De omzetduur is 52 8 = 6,5 weken De omzetduur is 12 8 = 1,5 maanden Opgaven Bereken de omzetduur in dagen, weken en maanden. 5 De gemiddelde voorraad tegen inkoopprijs is De inkoopwaarde van de omzet is

63 6 Een eindvoorraad is stuks en de beginvoorraad stuks. De inkoopprijs is 2,00 per stuk. De inkoopwaarde van de omzet is ,00. 7 Een eindvoorraad is stuks en de beginvoorraad is stuks. De inkoopprijs is 0,50 per stuk. De inkoopwaarde van de omzet is ,

64 L L

65 Hoofdstuk 5 Aantal dozen op een pallet Je hebt pallets in diverse maten. Ook heb je dozen in diverse maten. Om dozen op een pallet te zetten moet je soms eerst uitrekenen hoe je dit doet. Je wilt pallets zo voordelig mogen beladen. Zo kun je tegen de laagste kosten de meeste goederen laten vervoeren. 5 65

66 5.1 Modulaire opbouw Er zijn pallets in verschillende soorten en maten. Je wilt tot een zo gunstig mogelijke combinatie komen van pallets. Hoe belaad je de vrachtwagen zo voordelig mogelijk? En hoe sorteer je de goederen zo handig mogelijk op de pallets? Dit is de uitdaging waar je voor staat. Je hebt pallets in de maat 1,20 m 0,80 m. Hier kun je makkelijk de volgende dozen opzetten: X X 1,20 m 0,80 m X X 1,20 m 0,40 m X X 1,20 m 0,20 m X X 0,60 m 0,80 m X X 0,60 m 0,40 m X X 0,60 m 0,20 m X X 0,60 m 0,10 m X X 0,30 m 0,40 m X X 0,30 m 0,20 m X X 0,30 m 0,10 m X X 0,15 m 0,20 m X X 0,15 m 0,10 m Bij een palletmaat van 1,00 m 1,00 m krijg je de volgende modulaire opbouw: X X 1,00 m 0,50 m X X 1,00 m 0,25 m X X 1,00 m 0,125 m X X 0,50 m 0,50 m X X 0,50 m 0,25 m X X 0,50 m 0,125 m X X 0,25 m 0,25 m X X 0,25 m 0,125 m 66

67 Rekenvoorbeeld aantal dozen op een pallet Je hebt een pallet van 1,20 m 0,80 m. Op deze pallet moet je dozen van 40 cm 30 cm zetten. Het aantal dozen per laag is: 4 30 = 1, = 0,80 Dus 2 4 = 8 dozen per laag Stel dat de doos 30 cm hoog is en je maximaal tot 1,50 meter mag stapelen. Het aantal lagen is dan 1,50 m 0,30 m = 5 lagen Totaal aantal dozen per pallet: 8 5 = 40 Opgaven 1 Je moet dozen met een afmeting van 40 cm lang, 30 cm breed en 20 cm hoog op een pallet van 120 cm 120 cm stapelen. Hoeveel dozen kun je stapelen bij een hoogte van maximaal 130 cm? 5 2 Je moet dozen met een afmeting van 30 cm lang, 20 cm breed en 30 cm hoog op een europallet (80 cm 120 cm) stapelen. Je mag maximaal vijf lagen stapelen. Bereken het aantal dozen dat maximaal op de pallet past. 67

68 3 De afmeting van een doos is 50 cm 40 cm. De hoogte is 40 cm en je mag maximaal tot 1,30 meter stapelen. a Welke maat pallet past hier het beste bij? b Bereken het aantal dozen dat op deze pallet gaat. 4 Je moet dozen met een afmeting van 20 cm lang, 200 cm breed en 20 cm hoog op een pallet van 100 cm 100 cm stapelen. Hoeveel dozen kun je stapelen bij een hoogte van maximaal 120 cm? 5 Een opdrachtgever doet een bestelling voor dozen met de volgende maten: 60 cm 40 cm met een hoogte van 25 cm. Hij vraagt de dozen op een pallet van 1,20 m 1,20 m te leveren. De maximale stapelhoogte mag slechts 100 cm zijn. Bereken het aantal benodigde pallets. 68

69 6 Een opdrachtgever doet een bestelling voor dozen met een de volgende maten: 60 cm 40 cm met een hoogte van 25 cm. Hij vraagt de dozen op een pallet van 1,20 m 1,00 m te leveren. De maximale stapelhoogte mag slechts 130 cm zijn. Bereken het aantal benodigde pallets. 7 Een vrachtwagen heeft een laadvloer van 2,50 meter 8,0 meter. De hoogte (binnenkant) is 2,40 meter. Bereken het volume van deze vrachtwagen. 5 8 Een vrachtwagen heeft een laadvloer van 2,50 meter 10,0 meter. De hoogte (binnenkant) is 2,40 meter. Een pallet is 12 cm hoog en de maximale laadhoogte van een pallet is 1,00 meter. De pallets mogen op elkaar worden gezet. Hoeveel pallets van 1,20 m 1,20 m kun je in deze vrachtwagen zetten? 9 Je moet doosjes met een afmeting van 30 cm lang, 30 cm breed en 20 cm hoog op een pallet van 120 cm 120 cm stapelen. Hoeveel doosjes kun je stapelen op deze pallet bij een hoogte van maximaal 150 cm, exclusief de pallethoogte? 69

70 10 Een set gereedschap weegt inclusief stalen opbergdoos 2,5 kg. De set wordt verpakt in een doos van 25 cm 20 cm 10 cm. De maximale stapelhoogte is 1,20 meter. De sets worden op een pallet van 1,00 m 1,00 m opgeslagen. De fabrikant heeft sets verkocht aan een klant. a Bereken het aantal sets op één pallet. b Hoeveel pallets moeten vervoerd worden? c Bereken het gewicht van een pallet met sets gereedschap, exclusief het gewicht van de pallet. d Bereken het gewicht van de totale lading. 70

71

72 Beeldverantwoording Omslagfoto, pagina 37, 53 Travel mania Shutterstock Pagina 2 (colofon) Kzenon Shutterstock Pagina 6, 68, 69 phloxii Shutterstock Pagina 8 kitzcorner Shutterstock Pagina 12 MaximP Shutterstock Pagina 14 Nancy Lovering Shutterstock Pagina 21 Andrey_Popov Shutterstock Pagina 24 Kutlayev Dmitry Shutterstock Pagina 29 SFIO CRACHO Shutterstock Pagina 30, 60, 64 Baloncici Shutterstock Pagina 38 Rawpixel.com Shutterstock Pagina 42, 44 wavebreakmedia Shutterstock Pagina 48, 54, 55 Wang An Qi Shutterstock Pagina 50 SasinTipchai Shutterstock Pagina 63 Worrathanawat Shutterstock Pagina 66 gashgeron Shutterstock Pagina 70 Evgeniy Kalinovskiy Shutterstock