REKENEN MET PROCENTEN

Transcriptie

1 REKENEN MET PROCENTEN Bij rekenen op de basisschool en bij wiskunde op de middelbare school heb je al te maken gehad met procenten; 1% = 1/100 = 0,01. Een percentage is een verhoudingsgetal. Dat houdt in dat een percentage altijd met een ander getal of grootheid te maken heeft. Je kunt niet zeggen: "Ik verdien 60%", of "Philips heeft een winst van 9%". Je moet zo'n percentage altijd uitdrukken ten opzichte van iets anders. Dus "Ik verdien 60% meer dan 10 jaar geleden" of "De winst van Philips is dit jaar 9% van de totale verkopen van Philips." De woorden 'meer dan' en 'van' zijn heel belangrijk, want zij geven aan welk getal de basis van de verhouding vormt en dus welk getal op honderd procent moet worden gesteld. Procentberekeningen kunnen in allerlei vormen voorkomen. Er kunnen drie hoofdvormen onderscheiden worden: het berekenen van een deel van een geheel (hoeveel procent van) uitdrukken van veranderingen (hoeveel procent veranderd ten opzichte van) vergelijkingen De techniek van de berekening is in grote lijnen steeds hetzelfde. Op scholen worden verschillende basistechnieken gebruikt. Op veel scholen wordt met verhoudingstabellen gewerkt. Een probleem is vaak, dat de wiskundedocent een andere techniek gebruikt dan de economie- of natuurkundedocent. We laten jullie hieronder de drie meest gebruikte basistechnieken zien. Kies degene die je aangeleerd is, of die voor jou het gemakkelijkst werkt. We beginnen met: delen van een geheel. A. Hoeveel is... procent van... Het oplossen van procentsommen kan op verschillende manieren. Hieronder zie je twee basistechnieken uitgewerkt. VOORBEELD 1 - Hoeveel is een kwart van 60? - Hoeveel is 25% van 60? - een kwart = 1/4 60 = 15. Dit is geen echte procentberekening maar lijkt er wel op. Je moet een deel berekenen van een -gegeven- getal. Bovendien kun je een kwart (= 1/4) ook als percentage schrijven: 1/4 100% = 25%. - 25% betekent dat je 25/100 (= 0,25) 60 moet berekenen. Dat kan zo: Eerste manier: 25% van 60 = 25/ = 15 Of: 25% van 60 = 0,25 60 = 15 Tweede manier: 1% van 60 = 1/ = 0,6 25% van 60 = 25 0,6 = 15 Beide manieren zijn goed: of je nu 25/ neemt of 25 60/100 dat komt op hetzelfde neer. Derde manier: met een verhoudingstabel. Allerlei soorten procentberekeningen kun je maken met verhoudingstabellen. Een verhoudingstabel is een rechthoek met vier hokjes. In de linkerkolom zet je boven elkaar de ; in de rechterkolommen zet je boven elkaar de getallen. Daarbij is altijd één hokje de onbekende: daarin plaats je een vraagteken: Percentages Deel 25? Geheel

2 Het is belangrijk te weten in welk hokje je de 100 moet plaatsen. Daarbij gaat het om het getal dat de basis vormt voor de verhouding. Je herkent dit getal omdat het achter het woordje 'van' staat. In bovenstaande wordt gevraagd: hoeveel is 25% van 60. Dus is 60 de basis van de verhouding en daarom stel je 60 op 100%. De oplossing van deze verhoudingstabel zit in de verhoudingen. Van boven naar beneden zie je in de linkerkolom de verhouding 25:100. Die verhouding moet ook in de rechterkolom komen te staan, namelijk:? : 60. En inderdaad 25: 100 = 15: 60. Dat kun je hier met het blote oog nog wel zien. Maar dat kan natuurlijk niet bij moeilijkere getallen. Daarom moet je leren dat de oplossing van een verhoudingstabel is te vinden door kruislings vermenigvuldigen: het kruisproduct. Kijk maar: 100? = ? = 1500? = 1500/100 = 15 VOORBEELD 2 Hoeveel is 34,5% van 116? Eerste manier: 34,5/ = 0, = 40,02 (afgerond 40,0) Tweede manier: 1% van 116 = 1,16 34,5% van 116 = 34,5 1,16 = 40,02 Derde manier: met een verhoudingstabel. Je moet het percentage nemen van 116: dat stel je op 100%. Deel 34,5? Geheel Het kruisproduct luidt: 100? = 34, ? = 4002? = 4002/100 = 40,02 Eerst even oefenen. Het gaat bij economie niet om het rekenen zelf. Je moet procentberekeningen kunnen toepassen in concrete economische gevallen. Gebruik één van de manieren uit de gegeven voorbeelden. 0.1 a. Bereken 5% van b. Bereken 315% van i 23,50. c. Bereken 16,5% van tijdschriften. d. Irene krijgt 13,75% korting op een Samsonite-koffer van i 105,50. Bereken hoeveel zij betaalt voor de koffer. e. Meneer Waterman moet 32% belasting betalen over zijn jaarinkomen. Hij heeft een inkomen van i per maand. Bereken het belastingbedrag per jaar. f. Mevrouw Putman kan i per maand uitgeven. Ze is 18,4% kwijt aan woonlasten. Bereken het bedrag per maand dat ze aan woonlasten betaalt. g. Een groentehandelaar op de markt heeft dit jaar van zijn klanten i ontvangen. Daarvan was 8% van de verkoop van aardappels. Bereken het bedrag dat hij dit jaar van zijn klanten voor aardappels heeft ontvangen. B. Veranderingen Hierboven leerde je hoe je een deel van een geheel moest berekenen. Maar bij economie wordt ook heel veel met procentuele veranderingen gewerkt. Economen zijn vaak niet zo in de getallen zelf geïnteresseerd, maar meer in de mate waarin iets toeneemt of afneemt. Procentuele veranderingen dus.

3 VOORBEELD 3 Mathilde heeft i 12 zakgeld per week. Ze krijgt vanaf volgende maand i 13,75 per week. Bereken met hoeveel procent haar zakgeld is toegenomen. Eerste manier: Je vergelijkt hoeveel het zakgeld is toegenomen met de oude situatie (i 12). Deze oude situatie moet je op 100% stellen. De toename is i13,75 - i 12 = i 1,75. Je rekent dan uit, hoeveel procent i 1,75 van i 12 is op een van de hierboven besproken manieren. Bijvoorbeeld i 1,75/i % = 14,6 % Tweede manier: Bij veranderingen kun je hetzelfde als hierboven doen, maar dan met een ezelsbruggetje: Nieuw - Oud Nieuw - Oud 100% = of 1% = Oud 1% van Oud 13, , % = 14,6% of 12 0,12 1% = 14,6% Derde manier: met een verhoudingstabel. Weet je nog welk getal je op 100 moet stellen? Het oude zakgeld van Mathilde moet op 100 gesteld worden want daar moet de verandering in uitgedrukt worden. Verandering? i 1,75 Oude toestand 100 i 12 Kruisproduct: 100 1,75 =? 12? = (100 1,75)/12 = 14,6% 0.2 a. Een broodrooster stijgt per 1 januari in prijs van i 54 naar i 55,50. Met hoeveel procent is de prijs gestegen. b. De prijs van een lcd-tv is in een jaar tijd gedaald van i naar i Met hoeveel procent is de prijs afgenomen. c. Het salaris van meneer Pakhoed is per 1 januari gestegen van i naar i Met hoeveel procent is het salaris gestegen. d. Op de markt kon je vorige week twee knollen selderij kopen voor i 1,80. De afgelopen week heeft het hard gevroren waardoor je nu voor een knol selderij i 1,25 betaalt. Bereken de prijsverandering voor een knol selderij en geef aan of het om een stijging of daling gaat. C. Vergelijkingen 0.3 Ellen en Hans hebben elk een mobieltje. Ze betalen beiden i 8 per maand voor gesprekskosten en abonnement. Ellen heeft een inkomen van i 75 per maand en Hans kan per maand i 120 uitgeven. a. Bereken hoeveel procent Ellen en Hans van hun inkomen aan hun mobieltje besteden. Aanwijzing: de berekening is een deel (kosten mobiel) van een geheel (het inkomen). b. Bereken welk bedrag Ellen aan haar mobiel per maand kan uitgeven als ze in verhouding (procentueel) evenveel aan haar mobiel zou besteden als Hans. Vergelijkingen komen veel voor in de economie. VOORBEELD 4 In land A zijn op dit moment vier miljoen mensen werkloos. In land B zijn op dit moment mensen werkloos. De situatie in land A lijkt dus veel erger dan in land B. Maar het aantal mensen dat in land A wel werk heeft kan ook veel groter zijn dan in land B. Dus wil je echt een goed beeld hebben van de werkloosheid in beide landen, dan moet je weten of er in verhouding (relatief) in land A ten opzichte van land B wel zo veel meer werklozen zijn.

4 0.4 Stel dat het aantal mensen dat in land A wel werk heeft 78 miljoen is en het aantal mensen in land B dat werkt 5,6 miljoen is. a. Bereken voor beide landen het percentage werklozen ten opzichte van het aantal mensen dat wel werk heeft. b. Welke conclusie kun je trekken ten aanzien van de hoogte van de werkloosheid in beide landen? 0.5 a. Een gezin geeft van het maandinkomen van i een bedrag van i 504 aan voeding uit. Hun buren geven aan voeding i 657 uit op een maandinkomen van i Welk gezin geeft in procenten het meest aan voeding uit? b. Een scholier had in oktober i 120 te besteden, daarvan gaf hij i 9,60 uit aan zijn mobiele telefoon. In november kon hij i 135 uitgeven. Aan zijn mobiele telefoon was hij in november i 10,53 kwijt. In welke maand gaf hij een groter deel (in procenten) van zijn inkomen aan zijn mobiele telefoon uit? c. De ouders van Jaap geven een bedrag van i uit aan vakantie. Hun inkomen is i per jaar. De ouders van Edith geven in procenten van hun inkomen hetzelfde bedrag aan vakantie uit als de ouders van Jaap. Het inkomen van de ouders van Edith is i Bereken het bedrag dat de ouders van Edith aan vakantie uitgeven. We hebben nu de drie meest voorkomende vormen van procentberekeningen besproken. Er zijn veel varianten op deze drie vormen denkbaar. We zullen er twee van bespreken. Bij de eerste is niet het geheel gegeven maar het deel. Dat is dus de omgekeerde vorm van de eerste basisvorm: deel van een geheel. Bij de tweede gaat het om een variant van de tweede basisvorm: veranderingen. Hierbij krijg je het getal gegeven nadat de verandering heeft plaatsgevonden en moet je de oorspronkelijke situatie berekenen. D. Van deel naar geheel VOORBEELD 5 Peter geeft per week i 9 uit aan zijn brommer. Dat is 50% van zijn zakgeld. Hoeveel zakgeld krijgt Peter per week? Als i 9 de helft van zijn zakgeld is, dan is het zakgeld per week twee keer zo veel. Dus 2 i 9 = i 18. Het wordt moeilijker als de getallen niet zo mooi uitkomen. VOORBEELD 6 Peter is een lange wandeling aan het maken. Op een bepaald moment heeft hij 6,48 kilometer afgelegd. Dat is 54% van de totale afstand, als hij even snel blijft doorlopen. Hoe groot is de totale afstand? Je hebt nu een deel gegeven (54%) en je moet het geheel weten (100%). Hoe kun je dit nu gemakkelijk berekenen? Eerste manier 6,48 km = 54% 1% = 6,48/54 = 0,12 km 100% = 100 0,12 = 12 km Tweede manier: met een verhoudingstabel Deel 54% 6,48 Geheel 100%? Kruisproduct:? 54 = 100 6,48? = 100 6,48/54 = 12 km

5 0.6 a. Peter maakt op een andere dag weer een lange wandeling. Op een bepaald moment heeft hij 3,84 km gelopen, dat is 32% van de totale afstand. Hoe groot is de totale afstand als Peter even hard blijft lopen? b. Een houthandelaar wil een aantal boomstammen kopen. Hij heeft er al 800 gekocht. Dat is 64% van het aantal boomstammen dat hij nodig heeft. Hoeveel boomstammen moet hij er nog bij kopen? c. Een boekhandelaar heeft in augustus van zijn klanten uit de verkoop van zijn boeken een bedrag binnengekregen van i Dat is 58% van het bedrag dat ik dit jaar hoop binnen te krijgen uit de verkopen, denkt hij enigszins bezorgd. Welk jaarbedrag heeft de boekhandelaar in zijn hoofd? E. Het getal is meer of minder dan 100% Als je in een winkel iets koopt, betaal je de winkelprijs, dat is de prijs inclusief btw. De btw is een belasting op producten en diensten die de overheid heel veel geld oplevert. Een ondernemer is helemaal vrij in het vaststellen van de verkoopprijs van een product. Daar bemoeit de overheid zich niet mee. Heeft de ondernemer de verkoopprijs eenmaal vastgesteld dan moet hij over die verkoopprijs een bepaald percentage btw berekenen (meestal is dat 19%) en dat moet hij bij die verkoopprijs optellen. De klant betaalt de prijs inclusief btw en de ondernemer draagt achteraf de btw af aan de overheid. VOORBEELD 7 Een winkelier wil een mountainbike verkopen voor i Fietsen vallen onder het 19%-tarief van de btw. De klant betaalt dus i % van i = i De ondernemer krijgt i voor de fiets want i 228 btw draagt hij af aan de belastingdienst (fiscus). De klant betaalt de btw en de winkelier treedt op als een belastinginner van de overheid. Stel je koopt een fiets voor i 1.636,25 inclusief 19% btw. Hoeveel btw betaal je dan? Je moet je hier goed realiseren dat btw berekend wordt over de verkoopprijs zonder btw. Dus moet je de verkoopprijs zonder btw op 100% stellen. Je kunt het best een rijtje maken als volgt: Verkoopprijs exclusief/zonder btw 100% Btw 19% Bedrag inclusief/met btw 119% De prijs van de fiets inclusief btw is dus 119%. Nu kun je de btw en het bedrag exclusief btw berekenen: Eerste manier: 1.636,25 = 119% 1% = 1.636,25/119 = 13,75 De btw is 19% 19 13,75 = i 261,25. De verkoopprijs exclusief btw is 100% ,75 = i Dit kun je controleren met 1.636,25-261,25 = i Tweede manier: met een verhoudingstabel Deel 19%? Geheel 119% 1.636,25 Oplossing: ,25 = 119?? = ( ,25)/ 119 = 261,25 Als je hier het bedrag exclusief btw wilt berekenen moet je in het vakje deel/ 100% invullen: ,25 = 119?? = ( ,25)/119 = i Je kunt dit soort procentberekeningen op veel manieren tegenkomen.

6 0.7 Het inkomen van meneer Stoop is in dit jaar ten opzichte van vorig jaar toegenomen met 3,75% tot i ,75. Bereken het inkomen van meneer Stoop in het vorige jaar. 0.8 a. Een baby is in een jaar met 10% gegroeid. Aan het eind van het jaar is ze 99 centimeter lang. Bereken de lengte van de baby aan het begin van het jaar. b. De export van land C. is in dit jaar met 25% gestegen ten opzichte van vorig jaar tot een bedrag van i 56 miljard. Bereken de export van land C. in het vorige jaar. c. De omzet van een bedrijf is in dit jaar met 2% gedaald ten opzichte van het vorige jaar tot een bedrag van i Bereken de omzet van het bedrijf in het vorige jaar. d. De werkloosheid is in dit jaar met 6% ten opzichte van het vorige jaar gedaald. De werkloosheid in dit jaar bedraagt personen. Bereken hoeveel personen er in het vorige jaar werkloos waren. e. Een mp3-speler kost i 398,65 inclusief (met)19% btw. Wat kost de mp3-speler exclusief (zonder) btw. f. Een boekhandelaar heeft in mei van dit jaar voor i inclusief btw aan boeken verkocht. De btw op boeken is 6%. Welk bedrag exclusief btw heeft de boekhandelaar in mei aan boeken verkocht? g. Een aantal jaren is het tarief van de btw voor diensten van de kapper verlaagd van 19% naar 6%. Stel dat een knipbeurt voor de verlaging van het btw-tarief inclusief 19% btw i 21,42 kostte. Wat betaalde je dan na de btw-verlaging voor deze knipbeurt? Hieronder staan een aantal oefenopgaven waarbij de verschillende soorten procentsommen door elkaar staan. Problemen bij het rekenen met procenten hebben niet alleen te maken met het ontbreken van kennis met de rekentechniek maar ook met het goed lezen van de opgaven. Wat is het uitgangspunt van de berekening, welk getal moet op 100% worden gesteld? Probeer dat eerst vast te stellen voordat je begint met rekenen. 0.9 a. Een scholiere geeft per jaar i 35 aan cosmetica uit. Haar maandinkomen is i 20. Bereken hoeveel procent van haar inkomen ze per jaar uitgeeft aan cosmetica. b. Een andere scholiere heeft een jaarinkomen van i 180. Bereken welk bedrag zij per jaar aan cosmetica besteedt, als zij in verhouding evenveel uitgeeft aan cosmetica als de scholiere van vraag a. c. In Nederland zijn er scholieren tussen 12 en 18 jaar. De totale bevolking is 16,2 miljoen. In China is een bevolking van miljoen. Bereken hoeveel scholieren tussen 12 en 18 jaar er in China zouden zijn, als er in verhouding evenveel scholieren in China zijn als in Nederland. d. De politie in Alstad heeft berekend dat er in de maand januari van dit jaar files voorkwamen met een totale lengte van 39 km. Dat was een stijging van 4% in een jaar tijd. Bereken de totale lengte van de files een jaar geleden. e. De vader van Jan verdiende in het afgelopen jaar i netto per maand. Dit jaar was zijn inkomen gestegen tot i 2.949,75 netto per maand. De vader van Anke werkt bij dezelfde baas. Zijn inkomen was in het afgelopen jaar i netto per maand. Hij wil dezelfde procentuele loonsverhoging als de vader van Jan. Bereken welk bedrag hij er per maand bij moet krijgen, wil hij dat voor elkaar krijgen a. De familie van Beek heeft in september voor een bedrag van i 441 aan voeding besteed. Dat was 18% van hun inkomen in september. Bereken het totale inkomen van de familie van Beek in september. b. De familie van Beek (opgave a.) verwacht dat ze in oktober 19% van hun inkomen aan voeding zullen besteden. Het totale inkomen zal in oktober 8,25% lager zijn dan in september. Bereken welk bedrag zij in oktober aan voeding uitgeven. c. Een fietsenhandelaar koopt een mountainbike bij de fabrikant in voor i exclusief btw. Om winst te kunnen maken verkoopt hij de fiets natuurlijk voor meer geld. Om de verkoopprijs voor de klant vast te stellen doet hij 30% bij de inkoopprijs. Hij moet de klant ook nog eens 19% btw over de verkoopprijs berekenen. Bereken de winkelprijs die de klant betaalt.

7 d. Een andere fietsenhandelaar koopt dezelfde mountainbike in voor dezelfde prijs van i exclusief 19% btw. Hij berekent echter 30% winst over zijn verkoopprijs exclusief btw. Bereken de prijs die de klant in dit geval betaalt. e. Een sportwinkel verkoopt skates voor i 208,25 inclusief 19% btw. De sportwinkel koopt de skates in bij een groothandel en rekent 40% van de inkoopprijs (exclusief btw) als winst. Bereken welk bedrag (exclusief btw) de sportwinkel aan de groothandel betaalt voor de skates. Samenvattingopdracht 2.4 Een samenvatting maken van deze paragraaf zal voor de ene leerling anders zijn dan voor de andere. Begrijp je deze stof goed en kon je de opdrachten gemakkelijk maken, dan kun je volstaan met een paar steekwoorden. Bijvoorbeeld wat voor typen procentberekeningen er zijn of welke woorden in de opgave geven aan welk getal je op 100% moet stellen. Is de stof nieuw en/of moeilijk voor je, dan moet je een uitgebreidere samenvatting maken. Bestudeer het geheel nog eens goed en kijk vooral welke fouten je in de opgaven hebt gemaakt. Deze fouten zeggen iets over wat je nog niet snapt. Zoek dat uit en neem dit in je samenvatting op. Verzin kleine eigen opgaven voor elk type procentberekening. Je zult verbaasd zijn hoe je dat helpt om greep op het geheel te krijgen.