Studiehandleiding Vectorcalculus, 2DW00 Cursus

Transcriptie

1 Studiehandleiding Vectorcalculus, 2DW00 Cursus F.J.L.Martens HG08.90 tel ( )4280 Versie 16 maart 2009 Deze studiehandleiding bevat informatie over het vak en suggesties voor de bestudering van dit vak. Lees de handleiding zorgvuldig door, neem de suggesties serieus en bewaar deze handleiding! Al het materiaal voor het vak is electronisch beschikbaar via StudyWeb en op het adres Dit adres is ook te vinden in de vakomschrijving van dit vak onder OWINFO. 1 Materiaal 1.1 Boek Bij dit vak wordt gebruik gemaakt van het boek Calculus: a complete course Robert A. Adams 6th edition, 2006, ISBN Addison Wesley Longman. Het boek wordt in deze handleiding met [Ad] aangegeven. Naast het boek wordt incidenteel materiaal uitgedeeld, maar het is de bedoeling dat het boek zoveel mogelijk gebruikt wordt. 1.2 Aanvullingen Het laatste gedeelte van deze studiehandleiding bestaat uit extra materiaal. 1

2 1.3 MATLAB Bij dit vak kunt u gebruik maken van het pakket MATLAB. Eenvoudige berekeningen moet u zelf met pen en papier kunnen maken, maar u kunt sommige van uw berekeningen met MATLAB controleren en eventueel plaatjes maken. Bij het uitrekenen van integralen is het pakket een handig hulpmiddel. Bij de tentamens kunt u geen gebruik maken van de laptop. 2 Vorm van onderwijs 2.1 Hoorcollege Vectorcalculus wordt gegeven in de vorm van twee uur hoorcollege en twee uur begeleide oefening. Tijdens het college wordt de theorie behandeld. Dit is niet zonder meer een opsomming van de stof, maar voorbeelden van nieuwe concepten worden gegeven, de aandacht wordt gevestigd op de hoofdlijnen en er wordt op dwarsverbanden gewezen. Het boek vervangt het hoorcollege niet. Immers de stof gaat over een gedeelte van het boek en het hoorcollege biedt de docent andere mogelijkheden om de stof te behandelen. Het actief en kritisch volgen van het hoorcollege zorgt ervoor dat u zich de stof efficiënt eigen kunt maken. Maak tijdens een hoorcollege aantekeningen en doe dat vooral van de behandelde voorbeelden. Deze zijn meestal anders dan die uit het boek. Aan het eind van een college wordt huiswerk opgegeven, waarvan zoveel mogelijk gemaakt moet worden voor de begeleide oefening plaats vindt. Het is raadzaam om een college voor te bereiden door van te voren de begrippen, resultaten en voorbeelden van het vorige college te bekijken. 2.2 Stof verwerken Het is de bedoeling dat u ongeveer drie en een half uur per week aan zelfstudie besteedt. Houd hierbij de volgende aspecten in het oog: Bij de bestudering moet u in eerste instantie aandacht schenken aan nieuwe begrippen, resultaten en verbanden tussen begrippen. Bekijk de gedeelten in het boek die hier over gaan en maak een samenvatting van die gedeelten. Werk de aantekeningen van het college uit en probeer de voorbeelden zelf te maken. Er wordt zelfwerkzaamheid verwacht, het initiatief ligt dan ook bij u. Van alleen passief luisteren en kijken is nog nooit iemand wijzer geworden. Het vak graaft dieper en is moeilijker dan u denkt. Er wordt een volwassen vorm van beheersing van de stof verwacht. Uw kennis van dit vak moet wezenlijk meer zijn dan de inhoud van een trukendoos. 2

3 Maak zoveel mogelijk opgaven zelf van te voren. Als dit grote problemen oplevert zoek dan een intelligente vriend(in) en maak ze dan samen. Het kan geen kwaad om ze daarna nog eens in uw eentje te maken, natuurlijk zonder te kijken hoe het moet! Houd bij het maken van de opgaven rekening met de volgende punten. Opgaven maken moet! Alleen door het maken van opgaven kunt u zich de stof eigen maken. Zorg ervoor dat u van de opgaven de probleemstelling goed begrijpt. Als u bij een opgave vastloopt, schrijf dan de probleemstelling zo goed mogelijk in eigen woorden op en/of schrijf dan enkele vragen op die u heeft. Kunt u de opgave eenvoudiger maken zodat u hem wel kunt? Doe dat dan en maak dan de vereenvoudigde opgave. Maak de opgaven eerst op kladpapier. Schrijf de uitwerking van de opgave in het net. Schrijf de probleemstelling zo goed mogelijk in eigen woorden op. Als u een nieuwe variabele of een nieuwe naam gebruikt, leg dan uit wat deze betekent. Geef ook heel duidelijk aan wat uw uiteindelijke antwoord is. Train uzelf in het leesbaar presenteren van uw uitwerking. Deze moet zo zijn dat een collega, die nog niet aan deze opgave heeft gewerkt, ze zonder problemen kan begrijpen! Laat uw uitwerking eens lezen door een welwillende buur of docent. Als u uw uitwerking laat overschrijven en u krijgt er vragen over, dan is de overschrijver niet dom, maar wel dom bezig en heeft uw uitwerking niet de juiste kwaliteit. Het maken van een opgave is meer dan het vinden van een antwoord zoals π of 0. Opgaven zijn bedoeld om wiskundig inzicht en oplossingsmethoden onder de knie te krijgen. De redenering en de berekeningen die u gebruikt zijn essentieel. Het goede antwoord is op zich nog geen garantie dat uw aanpak goed is. Probeer u zelf er van te overtuigen dat uw aanpak goed is en, als u blijft twijfelen, dan beheerst u de stof nog niet! Voer eenvoudige controles op uw antwoorden uit. Nog een kleine toelichting bij het netjes opschrijven van uw uitwerkingen: voorzie uw uitwerking van zinnen, maak geen al te grote redeneer- of rekensprongen en geef uw oplossingsstrategie aan. Zet er ook eventuele controlestappen bij. Uw werk is dan veel toegankelijker. Als u het materiaal later nog eens bestudeert, bijvoorbeeld bij een tentamen of bij een opfrissing voor een ander vak, dan zal u dat veel minder moeite kosten. Ook neemt uw vaardigheid in het schrijven van verslagen en scripties toe. 3

4 2.3 Begeleide zelfstudie Naast het college is er twee uur begeleide zelfstudie per week. Tijdens deze oefeningen zal hooguit een klein deel van de opgaven worden voorgemaakt. Omdat de groep studenten niet zo groot is, kunt u individuele vragen stellen over de stof en de huiswerkopgaven en kunt u verder werken aan de opgaven. Maak van deze uren gebruik niet alleen door aanwezig te zijn, maar ook door actief deel te nemen. De ervaring leert dat iemand die geen gebruik maakt van de zelfstudie een veel kleinere kans maakt om het vak te halen dan iemand die dat wel doet. 2.4 Indeling begeleide oefening Voor de indeling van de begeleide oefeningen, zie de elektronische informatie elders. 2.5 Tentamens en tijdplanning De tentamens zijn schriftelijk en bestaan uit een aantal opgaven. Met de tentamens toetsen we of u de stof beheerst op het door ons gewenste niveau. Denk erom dat de opgaven verder kunnen gaan dan enkel het toepassen van recepten in standaardsituaties! In dit jaar zijn de tentamens voor de eerstejaars studenten als volgt geregeld. Tentamen Vectorcalculus, 2DW00, aan het eind van semester 1.2. Herkansing Vectorcalculus, 2DW00, eind augustus. Zorg ervoor dat u ruim van te voren op de hoogte bent van onderstaande punten. De locaties waar het tentamen wordt afgenomen. De te bestuderen stof voor het tentamen. De stof voor het tentamen is ook te vinden bij de elektronische informatie. Het enige hulpmiddel dat bij het tentamen is toegestaan is de niet-grafische rekenmachine. Voor de tentamendata en tentamenlocaties, zie de tentamenroosters onder 4

5 Nog enkele tactische tips: Voorbereiding: Werk gedurende het trimester regelmatig aan het vak. Als het goed is zult u aan het volgen van de colleges en de oefeningen en aan de zelfstudie in totaal 9*4 + 9*3.5 = 67.5 uur besteden. In principe kunt u dan nog = 12.5 uur aan de tentamens besteden. In eerste instantie is dat 6 uur per deeltentamen. Kortom, zorg ervoor dat u de stof bijhoudt, zodat u voor de (deel)tentamens zelf weinig tijd kwijt bent. Oude tentamens: Probeer een indruk te krijgen van het soort opgaven dat op het tentamen gevraagd kan worden door een oud tentamen te maken. Doe dit als u denkt dat u de stof beheerst en trek er evenveel tijd voor uit als voor een echt tentamen. Tijdens het tentamen: Lees eerst het tentamen snel door, maak een grove tijdsindeling en begin met de opgaven over de stof die u het best beheerst. Blijf niet te lang bij een onoplosbaar (deel)probleem hangen. Ga in zo n geval met een ander onderdeel verder. Mocht het niet lukken, geef de moed niet te snel op en blijf zitten! Als u toch voor iets een oplossing vindt, dan weet u dit ook weer bij het volgende tentamen. 3 Inhoud van vak 3.1 Voorkennis De stof van Calculus 2Y130 en Lineaire Algebra 2Y650. Het met de hand kunnen uitrekenen van primitieven en afgeleiden van eenvoudige functies. De goniometrische functies sin, cos en tan en de functies arcsin, arccos en arctan. Verder zijn de goniometrische formules belangrijk. Zie [Ad, P.7 en 3.5] De vectorruimten R n en matrices uit Lineaire Algebra, 2Y De inhoud Het vak bestaat uit drie onderwerpen: functies van meerdere variabelen, meervoudige integralen en vectorcalculus. Het eerste onderwerp geeft een wiskundige beschrijving van afhankelijkheid van een grootheid van andere grootheden en behandelt het zoeken naar extrema van functies van meerdere variabelen. De meervoudige integralen worden gebruikt bij het berekenen van de oppervlakte of de inhoud, de massa, het zwaartepunt en de oppervlakte van gebieden in vlak en ruimte. De vectorcalculus behandelt vectorvelden, operaties op vectorvelden, lijn- en oppervlakteïntegralen. Zowel krachtvelden als stromingsvelden van vloeistoffen zijn voorbeelden van 5

6 vectorvelden. De stellingen van Green, Gauss en Stokes zijn onderdeel van de vectorcalculus, maar worden in dit vak niet behandeld. 4 Aanvulling MATLAB Het tekenen van de grafiek of een hoogtekaart van de functie f(x, y) = (x 2 + 3y 2 ) exp(1 x 2 y 2 ) met MATLAB gaat op twee manieren. De oude manier, voor oudere versies dan MATLAB 5.3 of versie zonder Math Symbolic Toolbox MATLAB heeft een rooster van functiewaarden nodig. We tekenen de functie op het vierkant 3 x, y 3 en nemen een rooster van 625 = 25 2 punten. De eerste opdracht genereert twee matrices x en y met de x-coördinaten respectievelijk de y-coördinaten. Bedenk dat -3:0.25:3 een array is met 25 elementen. >> [x,y] = meshgrid(-3:0.25:3,-3:0.25:3) In de matrices x en y staan op overeenkomstige plaatsen de x-coördinaat en de y-coördinaat van één punt uit het rooster. De functiewaarden worden in een matrix z gezet. Denk aan de array-operaties, dus.^,.* en./ in plaats van ^, * en /. >> z = (x.^2 + 3*y.^2).*exp(1 - x.^2 - y.^2) De opdrachten >> mesh(x,y,z) en >> contour(x,y,z) geven de grafiek en een hoogtekaart. De nieuwe manier, vanaf versie MATLAB 5.3 met Math Symbolic Toolbox Het tekenen van de grafiek boven het vierkant 3 x 3 en 3 y 3: >> syms x y >> z = (x^2 + 3*y^2)*exp(1 - x^2 - y^2) >> ezmesh(z,[-3,3,-3,3]) Het tekenen van de contourlijnen in het vierkant 3 x 3 en 3 y 3: 6

7 >> syms x y >> z = (x^2 + 3*y^2)*exp(1 - x^2 - y^2) >> ezcontour(z,[-3,3,-3,3]) In de helpfaciliteiten staat allerlei informatie over deze opdrachten. Hint: Als u een plaatje maakt, dan kunt u de opdrachten ook in een m-file zetten. Als u het plaatje later weer nodig heeft, dan moet u deze m-file bewaren! 5 Aanvulling 12.9 in [Ad] In 12.9, Taylorreeksen en benaderingen, worden zowel Taylorreeksen als ordebenaderingen voor een functie f(x, y) in een omgeving van (a, b) behandeld. We beperken ons tot ordebenaderingen. Een n e ordebenadering wordt ook weer een Taylorpolynoom van orde n genoemd. Het zijn polynomen in twee variabelen, namelijk x en y. Laat x = a + h en y = b + k. Het punt (x, y) ligt dicht bij (a, b) dan en slechts dan als (h, k) dicht bij (0, 0) ligt. Beschouw een functie f met partiële afgeleiden tot en met orde n + 1. Dan geldt f(a + h, b + k) = ( n m m=0 j=0 waarbij de restterm R n (h, k) de eigenschap heeft dat Invullen van n = 0 in formule (1) levert f(a + h, b + k) = f(a, b) + R 0 (h, k) waarbij R 0 (h, k) 0 als (h, k) (0, 0). De nulde ordebenadering van f(x, y) rond (a, b) is dan p 0 (x, y) = f(a, b) De grafiek van deze benadering is een horizontaal vlak. Invullen van n = 1 in formule (1) geeft 1 j!(m j)! (Dj 1D m j 2 f)(a, b)h j k m j ) + R n (h, k) (1) f(a + h, b + k) = f(a, b) + f 1 (a, b)h + f 2 (a, b)k + R 1 (h, k) R n(h,k) ( h 2 +k 2 ) n 0 als (h, k) (0, 0). waarbij de restterm R 1 (h, k) klein is ten opzichte van h 2 + k 2 als (h, k) dicht bij (0, 0) ligt. De eerste ordebenadering (linearisatie) van f(x, y) rond (a, b): p 1 (x, y) = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). 7

8 De grafiek van deze benadering is het raakvlak aan de grafiek van f in het punt (a, b, f(a, b)). De vergelijking van het raakvlak is z = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b). Invullen van n = 2 in formule (1) geeft f(a + h, b + k) = f(a, b) + f 1 (a, b)h + f 2 (a, b)k h2 f 22 (a, b) + hkf 12 (a, b) k2 f 22 (a, b) + R 2 (h, k) waarbij de restterm R 2 (h, k) klein is ten opzichte van ( h 2 + k 2 ) 2 = h 2 +k 2 als (h, k) dicht bij (0, 0) ligt. De tweede ordebenadering ( kwadratische benadering) van f(x, y) rond (a, b): p 2 (x, y) = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) f 11(a, b)(x a) 2 + f 12 (a, b)(x a)(y b) f 22(a, b)(y b) 2. De grafiek van de tweede orde benadering is een kwadratisch oppervlak. Veronderstel nu eens dat de functie f(x, y) een extremum heeft in (a, b). Dan zijn de partiële afgeleiden f 1 (a, b) en f 2 (a, b) gelijk aan 0. De tweede ordebenadering ligt in dit geval vast door de drie coëfficiënten f 11 (a, b), f 12 (a, b) en f 22 (a, b). Als de tweede ordebenadering p 2 (x, y) in het punt (a, b) een extremum/zadelpunt heeft, dan heeft de functie f(x, y) in het punt (a, b) ook een extremum/zadelpunt. Dit is de reden dat f 11 (a, b), f 12 (a, b) en f 22 (a, b) een rol spelen bij de tweede-afgeleidetest. Invullen van n = 3 in formule (1) levert uiteindelijk de derde ordebenadering van f(x, y) rond (a, b) op: p 3 (x, y) = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) f 11(a, b)(x a) 2 + f 12 (a, b)(x a)(y b) f 22(a, b)(y b) f 111(a, b)(x a) f 112(a, b)(x a) 2 (y b) f 122(a, b)(x a)(y b) f 222(a, b)(y b) 3. Net als in het één-variabele geval bevatten de hogere ordebenaderingen de lagere ordebenaderingen. In eerste orde benaderingen komen termen met (x a) en (y b) voor, in tweede orde benaderingen termen met (x a) 2, (x a)(y b) en (y b) 2, etc. Het bepalen van ordebenaderingen gaat in de praktijk anders. Als voorbeeld bepalen we de tweede ordebenadering van f(x, y) rond (a, b). Deze benadering bestaat uit termen met (x a) n (y b) m waarbij n + m 2. 8

9 We gebruiken de theorie van ordebenaderingen zoals ontwikkeld voor functies met één variabele. We beschouwen f(x, y) als een functie van x en ontwikkelen deze rond x = a. We vinden in eerste instantie f(x, y) = f(a, y) + f 1 (a, y)(x a) f 11(a, y)(x a) 2 + We bepalen nu ordebenaderingen van f(a, y), f 1 (a, y) en f 11 (a, y) als functies van y rond y = b van orde 2, 1 respectievelijk 0 en vullen deze in. We vinden ( f(x, y) = f(a, b) + f 2 (a, b)(y b) + 1 ) 2 f 22(a, b)(y b) ( ) ( 1 ) f 1 (a, b) + f 12 (a, b)(y b) + (x a) + 2 f 11(a, b) + (x a) 2 + Herschrijven van de rechterkant geeft dan f(x, y) = f(a, b) + f 1 (a, b)(x a) + f 2 (a, b)(y b) f 11(a, b)(x a) 2 + f 12 (a, b)(x a)(y b) f 22(a, b)(y b) 2 + Hierin ziet u de tweede ordebenadering p 2 (x, y) weer terug. Ontwikkel f(x, y) eerst als functie van y rond b tot en met de tweede orde en ontwikkel daarna f(x, b), f 2 (x, b) en f 22 (x, b) als functie van x rond het punt x = a tot de orde 2, 1 respectievelijk 0. Wat valt u op? 6 Extra opgaven Opgave 6.1 Gegeven is de verzameling C = {(x, y) R 2 2 x 2 + y 2 < 4}. Wat is de rand van C? Wat is het inwendige van C, d.w.z. de verzameling van alle inwendige punten van C? Is C open? Is C gesloten? Opgave 6.2 Beschouw het niveauvlak f(x, y, z) = 3 van de functie f(x, y, z) = (x 1) 2 + y 2 + z 2. Bepaal de punten op het niveauvlak met een raakvlak evenwijdig aan het vlak x + y + z = 0. Opgave 6.3 Beschouw de functie f(x, y) = x x 2 + y 2. (a) Bepaal het raakvlak in het punt P = (1, 1, 1/3) aan de grafiek van f. 9

10 (b) Geef een paramatervoorstelling van de snijlijn van het raakvlak in onderdeel a. en het vlak z = 1/3. (c) Geef de vergelijking van de niveaulijn bij hoogte 1/3 van de functie f. (d) Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de niveaulijn uit onderdeel (c) in het punt (1, 1). (e) Wat is het verband tussen de lijnen uit de onderdelen (b) en (d)? Opgave 6.4 De kromme C met parametervoorstelling r(t) = (x(t), y(t), z(t)), 0 t 1, ligt op het oppervlak S met vergelijking f(x, y, z) = 1. Laat zien dat voor alle t, 0 < t < 1, geldt dat ( f)(r(t)) v(t) met v(t) de snelheidsvector (x (t), y (t), z (t)). Opgave 6.5 Bepaal de tweede ordebenadering van de functie f(x, y) = log(x 2 + y 2 ) rond (1, 0). Opgave 6.6 Bepaal de kwadratische benadering rond het punt (2, 0) van de functie f(x, y) = x2 y 1 + y 2. Bepaal de derde ordebenadering van deze functie. Opgave 6.7 Beschouw de functie f(x) = (2x 2 y)(2 y) + 1. Bepaal de stationaire punten van f. Opgave 6.8 De functie f : R 2 R is gegeven door f(x, y) = (y 2 x 1)(y 2 + x 1). (a) Teken de niveaulijn bij de waarde 0. (b) Hoeveel stationaire punten verwacht u minimaal? (c) Bepaal de stationaire punten. (d) Bepaal de zadelpunten. (e) Bepaal de plaats, aard en waarde van de extrema van de functie f. Opgave 6.9 Beschouw de functie f : R 2 R met f(x, y) = x 2 + xy + y 2, en de lijn l in R 2 met vergelijking y = x

11 (a) Bepaal de extrema van de functie f op de lijn l. (b) In welke punten op de lijn l staat f loodrecht op l? (c) Verklaar het verband tussen de onderdelen (a) en (b). Opgave 6.10 Beschouw de functie f : R 2 R met f(x, y) = (x 2 + y 2 ) exp( x 2 y 2 ). Bepaal de plaats, aard en waarde van de extrema van f. Opgave 6.11 Beschouw de functie f : R 2 R met f(x, y) = (x 2 + 2y 2 ) exp( x 2 y 2 ). Bepaal de plaats, aard en waarde van de extrema van f. Opgave 6.12 Laat B de cirkelschijf x 2 + y 2 1 zijn. Laat zien dat π 2 1 da π. 1 + x 2 + y2 B Opgave 6.13 Laat R een rechthoek in R 2 zijn. Voor welke continue functies f(x, y) geldt f(x, y) da = f(x, y)da? R R Opgave 6.14 Bepaal het gebied D in R 2 zó, dat de waarde van de integraal (6 x 2 y 2 )da D maximaal is. Opgave 6.15 Laat R het vierkant met hoekpunten (0,0), (1,0), (0,1) en (1,1) in R 2 zijn. 2x + 2y Bepaal da zonder gebruik te maken van poolcoördinaten. (1 + x 2 + y 2 ) 2 R Opgave 6.16 Verwissel de integratievolgorde in de herhaalde integraal Hint: Teken het integratiegebied. Opgave 6.17 Het gebied R in R 2 is gegeven door 1 x 2 + y Bepaal 1 + x 2 + y da. 2 R x x f(x, y)dydx.

12 Opgave 6.18 Het gebied R in R 2 is gegeven door 1 x 2 + y 2 4 en y x. 1 Bepaal 1 + x 2 + y da. 2 R Opgave 6.19 Bepaal de integraal xdv W waarbij W het gebied is gegeven door y 2 + z 2 1, y x, x 0 en y 0. Opgave 6.20 Bepaal de integraal zdv W waarbij W het gebied is met x 2 + y 2 + z 2 1 en x 2 + y 2 z 2. Opgave 6.21 Bereken de massa van het lichaam L: 1 z 5 x 2 y 2 waarbij de massadichtheid gegeven wordt ρ(x, y, z) = z. Opgave 6.22 Beschouw de kromme r(t) = (t, t 2, t), 4 t 4. In welke punt op de kromme is de afstand tot het punt (1, 1, 0) minimaal? Wat is de minimale afstand? Opgave 6.23 Een deeltje bevindt zich op tijdstip t, 0 t 3, in het punt r(t) met r(t) = (t, t 2, t 3 ). Vanaf tijdstip t = 3 beweegt het deeltje met constante snelheidsvector verder. bevindt het deeltje zich op tijdstip t = 5? Waar Opgave 6.24 Een deeltje beweeegt zich langs een baan met parametervoorstelling r(t) = (x(t), y(t), z(t)), 0 t t 0. De baan ligt op het niveauvlak f(x, y, z) = c met f een gegeven functie en c een functiewaarde. Laat zien dat voor ieder tijdstip t, 0 t t 0 de snelheidsvector v(t) loodrecht op (f) in het punt r(t) staat. Opgave 6.25 Bepaal de integraal z exp(x 2 + y 2 )dv met V het gebied gegeven door 2 z 3 en x 2 + y 2 4. V 12

13 Opgave 6.26 Bepaal de integraal (x 2 + y 2 + z 2 )dv met V het gebied gegeven door 2 y 3 en x 2 + z 2 2. Opgave 6.27 Bepaal de integraal door 0 < a x 2 + y 2 + z 2 b. V V 1 dv met V het gebied gegeven (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Opgave 6.28 Het lichaam L is begrensd door de halve kegels z = x 2 + y 2 en z = 1 2 x 2 + y 2. Bepaal het volume van L. Opgave 6.29 Bepaal het volume van het gebied G met x 2 + y 2 + 4z 2 6. Opgave 6.30 Beschouw de eenheidsbol B met x 2 + y 2 + z 2 = 1. Het vectorveld F(x, y, z) staat in ieder punt op de bol B loodrecht op de bol. De kromme C met parametrizering r(t), a t b, ligt op de bol. Laat zien dat F ˆTds = 0. C Opgave 6.31 Van de functie f(x, y, z) is gegeven dat f = (2 x y e z, x 2 e z, x 2 y e z + 3), f(0, 0, 0) = 1. Bepaal f(1, 1, 1). Opgave 6.32 Gegeven is het vectorveld y F(x, y) = ( x 2 + y, x 2 x 2 + y ). 2 a. Laat C de cirkel x 2 + y 2 = r 2 met r > 0 zijn. Bereken de lijnintegraal F ˆTds waarbij de cirkel C éénmaal tegen de klok in doorlopen wordt. b. Is het vectorveld F conservatief? Geef een toelichting. C c. Laat zien dat het vectorveld in het halfvlak x > 0 conservatief is. Opgave 6.33 Gegeven is het vectorveld F met x F(x, y, z) = ( x 2 + y 2 + z, y 2 x 2 + y 2 + z, z 2 x 2 + y 2 + z ). 2 a. Voor welke punten in R 3 is het vectorveld F niet gedefiniëerd? b. Is het vectorveld F conservatief? 13