Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Marjan Botke & Rob van Oord

Transcriptie

1 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Marjan Botke & Rob van Oord In de hand-out kun je de volgende zaken vinden: de werkbladen over snmarties die tijdens de studiedag gebruikt zijn de bladen die ik in de lessen 4 havo en 4 vwo heb gebruikt: 6 pagina s voor 4 havo 5 pagina s voor 4 vwo daarna volgt het werkblad voor de rozijntjes met 2 pagina s toelichting tenslotte nog de werkbladen voor kegelsneden vouwen en bladen met theorie Inleiding (ondersteund door een PowerPoint Presentatie): Voor de verandering is Rob vorig cursusjaar na zijn pensioen als invaller aan het werk gegaan op het Lyceum Ypenburg. Dit is na 40 jaar op het Coenecoop College, voorheen Samenwerkingsschool, in Waddinxveen pas zijn tweede school. Voor de verandering werkte hij uit Getal en Ruimte na jarenlang Wageningse methode, Wiskundelijn en Moderne Wiskunde. Voor de verandering deed hij het hoofdstuk Statistiek in 4v en in 4h niet klassikaal maar in groepjes. Voor de verandering deed Marjan het hoofdstuk statistiek in 5v met doosjes rozijnen. Voor de verandering schreef ze hierover al een stukje in Euclides 90-5 p. 36. Voor de verandering gaf Rob een gastles over kegelsneden vouwen bij Marjan in de klas wiskunde D. Voor de verandering willen wij die ervaringen delen met collega s. Opzet van de workshop:. vertellen waarom we voor een andere lesaanpak hebben gekozen. uiteenzetten hoe we het hebben aangepakt. doornemen van het materiaal dat we hebben gemaakt. zelf kort aan de slag met materiaal. afsluiting met discussie. wat vinden jullie van deze aanpak?. spreekt het jullie aan?. zou je in je eigen les ook voor een dergelijke aanpak kiezen?. wat zou je anders doen? Ons verhaal: Het onderwerp statistiek kan door leerlingen goed zelfstandig worden doorgewerkt. Er komen niet veel moeilijke onderwerpen in voor, maar wel veel verschillende begrippen. Naast de leerdoelen van het leren van statistische begrippen leent zich dit onderwerp goed voor het leren samenwerken en het leren maken van een verslag. Kegelsneden zijn op verschillende manieren te definiëren. Een aanpak vanuit een onverwachte hoek door een parabool te vouwen geeft inzicht in de hoofdeigenschap van de punten op een parabool. Door handig gebruik te maken van het feit dat vouwen in feite spiegelen is kun je dit mooi illustreren. Materiaal: Werkbladen en bijlagen Ruitjesbladen voor de parabool Cirkelvouwblaadjes voor de ellips Doosjes smarties Doosjes rozijntjes Geodriehoeken

2 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Marjan Botke & Rob van Oord 1 Waarom deze workshop? Voor de verandering Iets uitproberen in een nieuwe situatie; scherp blijven in je vak Een andere werkvorm uitproberen; lesvaardigheden uitbreiden Een gastles geven bij een collega; blik verruimen 2 Wat hebben we gedaan?. 4h en 4v wisa Statistiek G&R H4 in groepjes; met smarties om statistiekbegrippen tastbaar te maken. 5v wisa Statistiek in groepjes; met rozijntjes; effect van valse doosjes. 5v wisd parabolen, ellipsen vouwen als scheidslijn tussen vlakdelen met en zonder vouwen 3 Zelf aan de slag; ieder krijgt een doosje met smarties of rozijntjes, of vouwbladen Smarties. welke vragen kun je stellen bij zo n doosje?. tel de smarties in je doosje; wat kun je met de resultaten?. een cirkeldiagram van jezelf en eentje van je groepje; welke problemen kun je verwachten?. op welke manier zou je zelf met smarties of rozijntjes of iets anders in je klas aan de slag willen gaan? Rozijntjes. welke vragen kun je stellen bij zo n doosje?. tel de rozijntjes in je doosje; wat kun je met de resultaten samen met de gegeven resultaten. maak een boxplot; wat is het effect van het weghalen van de uitschieter?. op welke manier zou jij rozijntjes in je les kunnen gebruiken? Vouwen. volg de instructie van het vouwen; welke vragen kun je stellen na dit vouwen?. hoe zou je een formule van de parabool kunnen vinden?. hoe ga je de verschillende definities van de parabool, ellips aan elkaar koppelen? 4 Hoe gingen we verder?. verslag per groepje inleveren; extra toelichting gegeven wat precies in het verslag moest staan. overhoring om de begrippen te toetsen; verslag telt mee in het cijfer. koppelen van verschillende manieren van een parabool, ellips definiëren: - als rand van de vouwlijnen - als conflictlijn tussen lijn en punt, cirkel en punt - als tweedegraads formule - wat zijn de vouwlijnen van de parabool, ellips?

3 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Werkblad smarties Je hebt een doosje met smarties gekregen. 1 Welke vragen zou je kunnen stellen bij zo n doosje? 2 Tel van elke kleur het aantal smarties uit je doosje. Nog niet opeten hoor! Gebruik de bijlage 1. 3 Maak een cirkeldiagram van je eigen doosje met straal 5 cm met behulp van je percentages. Gebruik bijlage 2. 4 Zet in een tabel hoeveel van elke kleur totaal in je groepje op tafel lag. Nu mag je de smarties gaan opeten. 5 Hoe groot moet de straal worden van het cirkeldiagram van je hele groepje? 6 Verzamel de aantallen rode, groene en totalen van ieder die met smarties bezig is. Gebruik bijlage 3. Zet ook de aantallen rode+groene van ieder in de tabel. 7 Maak een dubbel steelbladdiagram van de totale aantallen rode en groene smarties van alle groepjes. 8 Maak een klassenindeling van de aantallen rode+groene smarties van de groep. Welke klassenbreedte is handig? 9 Maak het cumulatieve relatieve frequentiepolygoon bij je klassenindeling. 10 Wat is het verschil tussen een histogram en een lijndiagram?

4 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Bijlage 1 smarties tabel voor de gegevens van jezelf: tabel voor de gegevens van je groepje: Kleur Frequentie (zie opgave 2) Percentage (in 3 decimalen) Hoek (in hele graden) Kleur Frequentie (zie opgave 4) Percentage (in 3 decimalen) Hoek (in hele graden) Groen Groen Geel Geel Paars Paars Bruin Bruin Rood Rood Oranje Oranje Roze Roze Blauw Blauw Totaal 100% 360 Totaal 100% 360 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Bijlage 2 smarties een cirkel met straal 5 cm bij benadering kloppen de percentages bij benadering kloppen de oppervlaktes

5 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Bijlage 3 smarties inventarisatie van de klas ; 1 bijlage per groepje groepje en naam rode smarties p.p. totaal per groepje groene smarties p.p. totaal per groepje rode + groene p.p. totaal aantal smarties p.p

6 Statistiek in 4havo Getal & Ruimte H4 lyceum ypenburg januari 2015 Aan de hand van een doosje SMARTIES gaan jullie de begrippen die bij beschrijvende statistiek een rol spelen ontdekken, leren toepassen en begrijpen. De theorie staat in hoofdstuk 4. In de onderbouw hebben jullie misschien al geleerd wat modus, mediaan, gemiddelde, kwartielen en boxplot zijn. Jullie krijgen allemaal 1 doosje met smarties. LET OP!! Maak het doosje nog niet open! Jullie maken met het hele groepje een verslag dat moet worden ingeleverd. Voor het verslag krijgen jullie een (so) cijfer. Inleveren op 7 februari In de bijlage staan alle begrippen die je in je verslag moet verwerken. Statistiek gaat over gegevens, veel gegevens ofwel data. In Nederland zijn veel bureaus die gegevens verzamelen. Het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) is het bekendste. Voordat jullie met de beschrijvende statistiek aan de slag gaan moeten jullie eerst een aantal gegevens van de doosjes SMARTIES opschrijven. 0 Data verzamelen (maak het doosje nog niet open!) a Welke gegevens zou je over het doosje SMARTIES kunnen opschrijven? b Schat hoeveel SMARTIES er in je doosje zitten... Maak nu het doosje open. De SMARTIES nog niet opeten! Hoeveel zitten er in?.. c Hoeveel procent te hoog/te laag was je schatting?.. Berekening: d Neem de tabel over in je schrift en vul deze in met per kleur het aantal SMARTIES uit je eigen doosje. Houd ruimte over voor nog twee kolommen! Bewaar de gegevens goed, je hebt ze later ook nog nodig. e Waarom kun je wel een staafdiagram en geen histogram maken van de aantallen van de kleuren van de SMARTIES van je doosje? Zie p Om een cirkeldiagram te kunnen maken moet je de tabel uitbreiden met twee kolommen. Eentje voor de relatieve frequentie ofwel het percentage en eentje voor de sectorhoek (in graden). Zo een tabel staat op de volgende bladzijde. Kleur Groen Geel Paars Bruin Rood Oranje Roze Blauw Totaal Frequentie f Voorbereiding van het tekenen van een cirkeldiagram: Eerst even oefenen met hoeken tekenen: bedenk dat een hoek een draaiing is vanaf de startlijn! Teken in je schrift een cirkel met straal 5 cm! Teken een verticale straal, vanuit het middelpunt omhoog. Teken links van de straal een hoek van 73 o en rechts een hoek van 117 o. Doe dit door de geodriehoek eerst verticaal tegen de straal aan te leggen en daarna de geodriehoek net zo ver te draaien dat het getal van de hoek op de verticale straal ligt (dus geen stipjes zetten!). Eventueel uitleg vragen. Laat de tekening controleren door de docent voordat je verder gaat! Teken een cirkel met straal 5 cm.

7 1 Gegevens verwerken a Bereken van je eigen gegevens Percentage (= relatieve frequentie) en Hoek, vul dat in de tabel in, en teken van jouw doosje een cirkeldiagram. Zie p Hoe kun je zorgen voor een legenda? tabel voor de gegevens van jezelf: tabel voor de gegevens van je groepje: Kleur Frequentie Percentage Hoek Kleur Frequentie Percentage Hoek (zie opgave 1d) (in 3 decimalen) (in hele graden) (zie opgave 2b) (in 3 decimalen) (in hele graden) Groen Groen Geel Geel Paars Paars Bruin Bruin Rood Rood Oranje Oranje Roze Roze Blauw Blauw Totaal 100% 360 Totaal 100% 360 Verdeel de taken. Gebruik de tabel van de bijlage. b Tel nu de getallen van je groepje bij elkaar op en zet in een nieuwe tabel de aantallen, percentages en hoeken van je groepje. Teken nu een sectordiagram van de tabel van je groepje bij je eigen cirkeldiagram. Bedenk dat de straal van dit sectordiagram de wortel ( ) uit het aantal van het aantal in je groepje keer de straal van je eigen cirkeldiagram (nu 5 cm) moet zijn. Dus bij een groepje van 3 moet de straal 3 5 cm worden. In het verslag van je groepje moeten de cirkeldiagrammen van ieder groepslid worden opgenomen. 2 Frequentieverdelingen Om nog meer begrippen van de beschrijvende statistiek te leren moet je nu van de hele klas wat data verzamelen. a Noteer van elke leerling van de klas hoeveel rode, hoeveel groene en hoeveel totaal ieder in zijn doosje had. b Maak een dubbel steel-blad diagram van de totale aantallen rode en groene SMARTIES van alle groepjes. Zie p. 122 opg. 9 en 10 c Maak een klassenindeling van de totale getallen van rode + groene SMARTIES bij elkaar van alle leerlingen van de hele klas. Kies klassenbreedte 3. In het voorbeeld is klassenbreedte 4 gekozen. Zie p Zet vervolgens de frequenties, de relatieve frequenties en de cumulatieve relatieve frequenties in de tabel. d Zet de frequenties in een histogram (let er op dat je de staven tegen elkaar en boven het midden van de klasse tekent). Zie p Geef de klassengrenzen goed aan op de horizontale as. e Teken ook een lijndiagram door de juiste punten met elkaar te verbinden. Wat is een andere naam voor lijndiagram? f Maak een cumulatieve frequentiepolygoon van deze klassenindeling. Zie p Denk er aan dat je de grafiekpunten nu boven de rechter klassengrenzen zet!

8 Voorbeeld van een klassenindeling: Klasse frequentie relatieve frequentie (percentage) cumulatieve relatieve frequentie (%) 0 - < < < < < < < < < < bij de laatste komt altijd 100% Totaal 100% Om zelf in te vullen: Klasse frequentie relatieve frequentie (percentage) cumulatieve relatieve frequentie (%) Totaal 100%

9 3 Grafische verwerking a Wat is een ander woord voor beelddiagram? Zie p b Maak op de een of andere manier een beelddiagram van je klas. Denk er eerst over na welke data je daarvoor wilt verzamelen. c Maak van de zelfde gegevens ook een misleidende grafische voorstelling. Zie p Centrum en spreidingsmaten Gebruik de totale aantallen van rode en groene SMARTIES van alle leerlingen van je klas. a Schrijf alle aantallen rode SMARTIES van de hele klas van klein naar groot achter elkaar. b Welk getal is de modus en welk de mediaan? Zie p Als je het grootste of het kleinste aantal weglaat, wat verandert dan het meest? c Bereken het eerste kwartiel en het derde kwartiel van de aantallen rode SMARTIES. Zie p d Maak een BOXPLOT van de rode SMARTIES van de klas. Zie p e Er worden drie spreidingsmaten genoemd op p. 139, 140. Welke drie zijn dat? Bereken voor de aantallen rode SMARTIES van de klas deze drie spreidingsmaten. f Maak een tabel met een klassenindeling van de aantallen groene SMARTIES van de hele klas. Neem klassenbreedte 3. Zie blz g Wat is de modale klasse? Wat zijn de klassengrenzen van de klassen? h Bereken het gemiddelde van de groene SMARTIES nu met de klassenindeling. Berekening opschrijven! Hoeveel % wijkt dit gemiddelde af van het echte gemiddelde van de aantallen groene SMARTIES? 5 Steekproeven a Beschrijf hoe de SMARTIES gebruikt zijn als steekproef. b Hoe kun je een gelaagde steekproef maken van de leerlingen van de hele school? En van je klas? c Hoe kun je een systematische steekproef maken van de leerlingen van de school? En van je klas? d Welke soort steekproef wordt nog meer behandeld in de paragraaf? Geef een voorbeeld hoe je dat kunt doen.

10 Bijlage beschrijvende statistiek 4 havo Getal & Ruimte H4 absolute frequentie absolute verandering beelddiagram zie blz. 127 boxplot zie blz. 139 cirkeldiagram (relatieve) cumulatieve frequentie zie blz. 123 cumulatieve frequentiepolygoon zie blz. 123 data derde kwartiel Q 3 deviatie eerste kwartiel Q 1 frequentie f frequentiepolygoon frequentietabel frequentieverdeling gelaagde steekproef gelote steekproef gemiddelde _ d x x zie blz. 140 _ x grafische verwerking histogram zie blz. 118 hoek klasse klassenbreedte zie blz. 121 klassengrenzen klassenindeling klassenmidden kwalitatieve gegevens kwantitatieve gegevens kwartielafstand Q 3 Q 1 legenda lijndiagram mediaan misleidende grafische weergave modale klasse percentage pictogram populatie relatieve frequentie zie blz. 117 relatieve-frequentiepolygoon relatieve verandering representatieve steekproef samengesteld staafdiagram scheurlijn sector zie blz. 117 sectorhoek sectordiagram spreidingsmaat spreidingsbreedte staafdiagram zie blz. 117 standaardafwijking std.afw. is (sigma), bij de CASIO 1VAR x n stapeldiagram zie opg. A21 steekproef steekproefelement (dubbel) steel-blad diagram systematische steekproef turven waarnemingsgetal Simulaties Het werpen met een dobbelsteen kun je simuleren met toevalsgetallen. Bij de Casio vind je de 'randomizer' (toevalsgetallen maker) in het RUN menu [MENU] [1] door vervolgens te toetsen: [OPTN] [F6] ( = ) [F3] ( = PROB) [F4] ( = RAND) [F1] (= Ran#) [EXE] [EXE] [EXE]... Je krijgt dan getallen tussen 0 en 1 (in tien decimalen). Als je getallen tussen 0 en 2 wilt hebben, dan vermenigvuldig je ze met 2. Meestal heb je echter gehele getallen nodig. Die kun je bijvoorbeeld krijgen door 'integer' (geheel getal) te gebruiken. Bij de Casio vind je die in het RUN menu bij [OPTN] [F6] ( = ) [F3 ( = PROB) [F4] ( = RAND) [F2] (= Int). Het werpen met een dobbelsteen kun je nu simuleren door OPTN PROB [F2] (=Int) Je krijgt dan: RanInt#(, zet daar dan 1,6) achter, dus RanInt#((1,6) ; met [EXE], [EXE], [EXE], enzovoorts krijg je nu telkens een getal van 1 tot 6 (=dobbelsteengetal). Met RanInt#(1,6,3) krijg je bij [EXE] telkens drie dobbelsteengetallen tegelijk b.v. {4,5,2}. Je kunt ook Int (RAN# x6+1) gebruiken door

11 inventarisatie van de klas ; 1 bijlage per groepje groepje en naam rode smarties p.p. totaal per groepje groene smarties p.p. totaal per groepje rode + groene p.p. totaal aantal smarties p.p

12 Statistiek in 4v H3 lyceum ypenburg december 2014 Aan de hand van een doosje SMARTIES gaan jullie de begrippen die bij beschrijvende statistiek een rol spelen ontdekken, leren toepassen en begrijpen. De theorie staat in hoofdstuk 3. In de onderbouw hebben jullie al geleerd wat modus, mediaan, gemiddelde, kwartielen en boxplot zijn. LET OP!! De SMARTIES nog niet opeten. Jullie maken met het hele groepje een verslag dat moet worden ingeleverd. Voor het verslag krijgen jullie een (so) cijfer. Inleveren op 18 december In de bijlage staan alle begrippen die je in je verslag moet verwerken. Statistiek gaat over gegevens, veel gegevens ofwel data. In Nederland zijn veel bureaus die gegevens verzamelen. Het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) is het bekendste. Voordat jullie met de beschrijvende statistiek aan de slag gaan moeten Jullie eerst zoveel mogelijk gegevens van de doosjes SMARTIES opschrijven. 1 Data verzamelen (maak het doosje nog niet open) a Welke gegevens zou je over het doosje SMARTIES kunnen opschrijven? b Schat hoeveel SMARTIES er in je doosje zitten... Maak nu het doosje open. Hoeveel zitten er in?.. c Hoeveel procent te hoog/te laag was je schatting?.. Berekening: d Vul de tabel in met per kleur het aantal SMARTIES uit je doosje. Bewaar de gegevens goed, je hebt ze later ook nog nodig. Om een cirkeldiagram te kunnen maken moet je de tabel uitbreiden met twee kolommen. Eentje voor de relatieve frequentie ofwel het percentage en eentje voor de sectorhoek (in graden). Kleur Groen Geel Paars Bruin Rood Oranje Roze Blauw Totaal Frequentie Eerst even oefenen met hoeken tekenen: Voorbereiding: Teken een cirkel met straal 5 cm. Teken een verticale straal, vanuit het middelpunt omhoog. Teken links van de straal een hoek van 73 o en rechts een hoek van 117 o. Doe dit door de geodriehoek eerst verticaal tegen de straal aan te leggen en daarna de geodriehoek net zo ver te draaien dat het getal van de hoek op de verticale straal ligt (dus geen stipjes zetten!). Eventueel uitleg vragen. Je mag pas verder als je dit door de docent hebt laten controleren.

13 2 Gegevens verwerken a Bereken van je eigen gegevens Percentage (= relatieve frequentie) en Hoek: tabel voor de gegevens van jezelf: tabel voor de gegevens van je groepje: Kleur Frequentie (zie opgave 1d) Percentage (in 3 decimalen) Hoek (in hele graden) Kleur Frequentie (zie opgave 2b) Percentage (in 3 decimalen) Hoek (in hele graden) Groen Groen Geel Geel Paars Paars Bruin Bruin Rood Rood Oranje Oranje Roze Roze Blauw Blauw Totaal 100% 360 Totaal 100% 360 b Tel nu de getallen van je groepje bij elkaar op en zet in de tweede tabel de aantallen, percentages en hoeken van je groepje. c Teken nu een oppervlaktediagram van de tabel van je groepje bij je eigen cirkeldiagram. Bedenk hoe groot de straal moet zijn als je een cirkeldiagram van je groepje als oppervlaktediagram bij. Leg dit ook uit in je verslag. 3 Frequentieverdelingen Om nog meer begrippen van de beschrijvende statistiek te leren moet je nu van de hele klas wat data verzamelen. Verdeel de taken. Schrijf de getallen eerst op een los blaadje. a Noteer van de hele klas hoeveel rode, hoeveel groene en hoeveel totaal ieder in zijn doosje had. b Maak een dubbel steel-blad diagram van de aantallen rode en groene SMARTIES van alle groepjes. c Maak een klassenindeling van de totale getallen van rode + groene smarties bij elkaar van alle leerlingen van de hele klas. Kies zelf een handige klassenbreedte. In het voorbeeld is de klassenbreedte 4. Maak eerst de klassen allemaal even breed, anders moet je meteen al met frequentiedichtheid gaan werken. Zet vervolgens de frequenties, de relatieve frequenties en de cumulatieve relatieve frequenties in de tabel. d Zet de frequenties in een histogram (let er op dat je de staven boven het midden van de klasse tekent). Geef de klassengrenzen goed aan op de horizontale as. Teken ook een lijndiagram door de juiste punten met elkaar te verbinden. e Maak een cumulatieve frequentiepolygoon van deze klassenindeling. Denk er aan dat je de grafiekpunten nu boven de rechter klassengrenzen zet! Als de klassen niet even breed zijn moet je van elke klasse de frequentiedichtheid berekenen voordat je een zinvolle grafiek kunt tekenen. f Maak een andere klassenindeling (niet alle klassen even breed) en bereken de frequentiedichtheid. Teken daar tenslotte een histogram van.

14 Voorbeeld van een klassenindeling: Klasse frequentie relatieve frequentie (percentage) cumulatieve relatieve frequentie (%) 0 - < < < < < < < < < < laatste is 100% Totaal 100% Om zelf in te vullen: Klasse frequentie relatieve frequentie (percentage ) cumulatieve relatieve frequentie Totaal 100%

15 Bijlage beschrijvende statistiek 4v absolute frequentie absolute verandering beelddiagram cirkeldiagram cumulatieve frequentie cumulatieve frequentiepolygoon data eenheid van klassenbreedte frequentie frequentiedichtheid frequentiepolygoon frequentieverdeling gelaagde steekproef gelote steekproef grafische verwerking histogram hoek klasse klassenbreedte klassengrenzen klassenindeling klassenmidden kwalitatieve gegevens kwantitatieve gegevens lijndiagram misleidende grafische weergave oppervlaktediagram percentage pictogram populatie procent relatieve cumulatieve frequentie relatieve frequentie relatieve-frequentiepolygoon relatieve verandering representatieve steekproef samengesteld staafdiagram scheurlijn sector sectorhoek staafdiagram stapeldiagram steekproef steekproefelement steel-blad diagram systematische steekproef toevalsgetallen Simulaties toevalsgetallen genereren ( b.v. op ) waarnemingsgetal Het werpen met een dobbelsteen kun je simuleren met toevalsgetallen. Bij de Casio vind je de 'randomizer' (toevalsgetallen maker) in het RUN menu door te toetsen: [OPTN] [F6] ( = >) [F3] ( = PROB) [F4] ( = Ran#) [EXE] [EXE] [EXE]... Je krijgt dan getallen tussen 0 en 1 (in tien decimalen). Als je getallen tussen 0 en 2 wilt hebben, dan vermenigvuldig je ze met 2. Meestal heb je echter gehele getallen nodig. Die kun je bijvoorbeeld krijgen door 'integer' (geheel getal) te gebruiken. Bij de Casio vind je die in het RUN menu bij [OPTN] [F6] ( = >) [F4] ( = NUM) [F2] ( = Int). Het werpen met een dobbelsteen kun je nu simuleren door Int(6 x Ran# + 1) in je rekenscherm te zetten en dan op [EXE] te blijven drukken. Het resultaat zie je hieronder.

16 inventarisatie van de klas; 1 blaadje per groepje groepje en naam rode smarties p.p. totaal per groepje groene smarties p.p. totaal per groepje rode + groene p.p. totaal aantal smarties p.p

17 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Werkblad rozijntjes Op een donderdagmiddag zijn aan een klas 5v doosjes rozijntjes uitgedeeld. Ieder telde het aantal rozijntjes dat in haar/zijn doosje zat. De gevonden aantallen werden door de docent op het bord geschreven: Dit zijn ze: 25,27,28,25,24,24,27,29,25,26,26,28,29,31,17,27,29,26,27,24,30,27,26,.. 1 Tel de rozijntjes van je eigen doosje en zet de aantallen van jou en je collega s erbij. 2 Bereken modus, mediaan en het gemiddelde. 3 Bereken spreidingsbreedte en kwartielafstand. 4 Maak een boxplot van de gegevens. Een van de gegevens in de lijst van de klas is verdacht. Schrap dit getal uit de lijst waarnemingen. 5 Kun je voorspellen welke waarden zullen veranderen? Controleer je bewering door opnieuw vraag 2, 3 en 4 te beantwoorden. Je kunt de standaardafwijking berekenen met behulp van je Grafische Rekenmachine. Maar dit kan handmatig ook met behulp van een tabel. Gebruik x gem die je al hebt In feite bereken je de wortel uit het gemiddelde van de kwadraten van de afwijkingen van het gemiddelde. x f x-x gem (x-x gem) 2 f (x-x gem) 2 6 Vul de eerste twee kolommen in met de gegevens. De waarden x met bijbehorende frequenties f. Bereken daarna de getallen in de volgende drie kolommen. Bereken vervolgens f (x x gem ) 2 en f (x x gem) 2 n en dan f (x x gem) 2. Het laatst berekende getal is de standaardafwijking van de gegeven aantallen. 7 Kun je ook hierop het effect van het weglaten van de uitschieter beredeneren? n

18 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Statistiek in een rozijnendoosje Hoe het begon: Donderdagmiddag het 9 e uur Elke donderdagmiddag van tot uur heb ik mijn 5 e klas voor een les wiskunde A. Zij hebben dan al de hele dag lessen gehad, zijn moe en hebben helemaal geen zin meer. Om mijn leerlingen een beetje bij de les te houden, neem ik vaak wat lekkers voor ze mee. Soms koekjes of paaseitjes, maar om het wat gezonder te maken neem ik de laatste tijd kleine doosjes rozijnen mee. Dat vinden de meeste leerlingen erg lekker en ze hebben even wat te doen. Toen ik op een middag al mijn leerlingen bezig zag de rozijnen uit het doosje te peuteren en op te eten, bedacht ik mij dat het leuk zou zijn om eens een aantal statistiek termen te koppelen aan het doosje rozijnen. Dat gingen we dus de volgende donderdag doen. Voorbereiding: Zorg dat er voldoende doosjes rozijnen zijn voor alle leerlingen. Prepareer één doosje rozijnen met veel te veel of veel te weinig rozijnen. Dit wordt een duidelijke uitschieter in de waarnemingen. Opzet van de les: Geef elke leerling een doosje rozijntjes en vraag ze om het aantal rozijnen in het doosje te tellen. Daarna mochten ze de rozijntjes opeten. De aantallen rozijnen van de leerlingen heb ik op het bord geschreven. Ik had 23 leerlingen en kreeg zo 23 waarnemingen. De waarnemingen bestaan alleen uit gehele getallen (discrete waarnemingen). Leg de volgende berekeningen uit: Het gemiddelde van het aantal rozijnen Dit kunnen ze allemaal berekenen : som/aantal waarnemingen. De modus Leg uit wanneer deze wel en wanneer deze niet bestaat. De mediaan Leg uit hoe de mediaan wordt bepaald bij een oneven en bij een even aantal waarnemingen. Minimale / maximale waarde Q1 en Q3 Dit zijn de mediaan van de eerste helft waarnemingen en de 2 e helft waarnemingen. Met behulp van deze laatste vier gegevens kan je het volgende uitrekenen: Spreidingsbreedte Dit is de grootste waarneming de kleinste waarneming Kwartielafstand Q3-Q1, dit geeft aan in welke range de middelste 50% van de waarnemingen zich bevindt. Vervolgens kun je een boxplot tekenen. Teken eerste een getallenlijn met daarboven de min, max, mediaan, Q1 en Q3. Als dit allemaal gedaan is, zeg je dat er één doosje rozijnen niet bij hoorde. Welke? Waarom? Haal deze waarneming eruit. Je hebt dan één waarneming minder. Laat de leerlingen met deze waarnemingen het volgende opnieuw uitrekenen/bepalen: Gemiddelde Mediaan Modus Spreidingsbreedte Kwartielafstand Boxplot Verklaar de verschillende tussen de uitkomsten met de uitschieter en zonder de uitschieter. Laat zien hoe je de boxplotten met elkaar kunt vergelijken. Extra Laat ook een boxplot van een andere serie waarnemingen van rozijnendoosjes zien of van de cijfers voor een wiskunde SO van verschillende docenten.

19 Met de gegevens over het gemiddelde, kan ook handmatig de standaardafwijking worden uitgerekend. Maak dan de volgende tabel: x x-x gem (x-x gem) 2 Bereken vervolgens (x x gem ) 2 en (x x gem ) 2 n en dan (x x gem) 2. Laat hierbij ook zien wat het wel of niet meenemen van de uitschieter betekent voor de standaardafwijking. Resultaten De leerlingen doen mee met de les, ze tellen en eten de rozijnen Ze gaan zelf de 2 e serie uitkomsten berekenen, ze kunnen immers zien hoe die bij de eerste serie zijn berekend. Ze onthouden de theorie beter (weet je nog met die rozijnen?). Het is tastbaar voor ze. Het geeft inzicht in de wiskunde/statistiek. Het laat zien dat het over echte dingen (rozijnen) gaat. Al met al een leuke les die ik zeker nog een met mijn klassen ga doen. Op naar de supermarkt voor meer doosjes rozijnen. Kan het ook met doosjes Smarties of M&M s? Nee, want daar kunnen halve Smarties/ M&M s in zitten en dat is bij rozijnen niet het geval. Hoe klein de rozijn ook is, het is een rozijn. Mogelijke uitbreiding Laat de leerlingen alle waarnemingen (alle gevonden waarden van de getelde rozijnen) in een lijst op hun GR invoeren. Nu kunnen we via 1-VARSTAT een aantal items zien: Gemiddelde Standaardafwijking Dit is niet de gemiddelde afwijking van het gemiddelde. Min, max Q1, Q3 Mediaan Modus Dit zijn een aantal van de onderdelen die we eerst handmatig hebben uitgerekend. Het werken met rozijnen kan in een andere les worden voortgezet. Als je in de klas de gewichten van de doosjes rozijnen nauwkeurig kunt meten, kun je kijken of het gewicht normaal verdeeld is. Het is ook mogelijk dat je van te voren een tabel maakt met de gewichten. Het gewicht is een continue waarde. Zet het gewicht uit in een steelbladdiagram en een frequentiediagram. Maak gebruik van klassenindeling. Is het een klokvorm? Geldt de 68% regel? Geldt de 95% regel? Maak een tabel met de somfrequentie Zet dit uit op normaalwaarschijnlijkheidspapier (let op: boven de rechter klassengrenzen) Is het bij benadering een rechte lijn? Bepaal het gemiddelde Bij 50% Bepaal de standaardafwijking Gemiddelde standaardafwijking zit bij 16 %, gemiddelde + standaardafwijking zit bij 84% n Veel succes en plezier ermee! Marjan Botke botke@erasmiaans.nl

20 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Werkblad kegelsneden vouwen Parabool vouwen Neem een A4 ruitjes-blad. Knip de onderste rand af tot op hele ruitjes. Zie figuur 1. Zet in het midden op 4 cm van de onderrand een stip (F) op een roosterpunt. Vouw de onderrand onder een steeds andere hoek tot tegen de stip (F) aan. Vouw telkens eerst weer open. Maak scherpe vouwlijnen. Zie figuur 3. Niet verder dan het meest rechtse punt van de onderrand gaan. Wanneer je aan het eind het A4-tje open legt dan zie je een gedeelte van het papier waarin geen vouwen zitten. Neem een potlood en teken de contouren van het lege deel. Een formule Dit lijkt een parabool. WDA Hoe zou je de formule van deze parabool kunnen vinden? stip op roosterpunt Als het een parabool is dan weet je ook waar de top zal zitten. Teken een assenstelsel door die top. Maak een tabel van enkele punten op de kromme. Vul de tabel aan met twee rijen, eentje met x 2 en eentje met a x 2, waarbij je dus een geschikte a moet vinden. x afgelezen y Zoek een (kwadratische) formule waaraan deze punten voldoen... De vouwen WDA Wat zijn de vouwen in relatie met de parabool? Wat zou je dan ook moeten kunnen vinden? Als het raaklijnen zijn, dan moet je kunnen terugvinden welk punt op elke vouw het raakpunt is. Bedenk dat een vouw maken eigenlijk een spiegeling betekent. Spiegel het punt F terug naar de rand (dus eerst de vouw maken, de plaats van F op de rand aangeven en weer openvouwen. De vouw eindigt ergens op de onderrand. Er zijn nu congruente driehoeken te zien (door die spiegeling). Daaruit kun je afleiden dat de afstand van het (raak)punt op de parabool even ver afligt van de onderrand als van punt F. De hoofdeigenschap van een parabool een conflictlijn WDA Welke eigenschap hebben (dus) alle punten van een parabool? We noemen de rand van het A4-tje de richtlijn van de parabool en F het brandpunt. Als de afstand van een willekeurig punt tot de richtlijn gelijk moet zijn aan die tot het brandpunt, dan kun je in een assenstelsel Een vergelijking opstellen waaruit de formule van de parabool volgt. WDA Hoe kun je de formule vinden met behulp van de gevonden eigenschap? De afstand van een willekeurig punt ( x, y) op de parabool moet gelijke afstanden hebben tot F( 0, 2) en de lijn y = -2. Er geldt dan y = 2 y of y 2, dus ( y) 2 = (2 y) 2 in beide gevallen. Klopt dat? De vergelijking wordt dan ((2 y) 2 + x 2 ) = 2 + y oftewel (2 y) 2 + x 2 = (2 +y) 2. Werk de haakjes maar eens uit. De formule In het algemene geval ga je uit van een p-waarde, dit is de afstand tussen richtlijn en brandpunt. Dan heeft F coördinaten ( 0, ½p), en de richtlijn is y = - ½p. De formule van de parabool is dan x 2 = 2py. Laat dit maar zien. Voor een liggende parabool geldt dan x 2 = 2py.

21 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Werkblad kegelsneden vouwen Ellips vouwen figuur 1 Neem een cirkelvormig blaadje. Zet een stip op ongeveer een derde van de diameter. Zie figuur 1. Vouw de rand van de cirkel telkens in een andere stand naar de stip. Vouw telkens eerst weer open. Maak scherpe vouwlijnen. Zie figuur 2. Wanneer je na een flink aantal keer vouwen het blaadje open legt, zie je dat op een deel van de cirkel geen vouwen komen. Neem een potlood en teken de contouren van het lege gebied. Een conflictlijn? WDA Wat voor vorm denk je dat het lege gebied heeft? Kun je dat uitleggen met een beschrijving van een conflictlijn? figuur 2 De vouwen WDA Wat denk je dat de vouwlijnen zijn van de ellips? Wat zou je dan ook moeten kunnen vinden? Als het raaklijnen zijn, dan moet je kunnen terugvinden welk punt op elke vouw het raakpunt is. Bedenk dat een vouw maken eigenlijk een spiegeling betekent. Spiegel het punt F terug naar de rand (dus eerst de vouw maken), de plaats van F op de rand van de omgevouwen cirkelboog aangeven (= F )en weer openvouwen. WDA Welk punt op de vouwlijn is het raakpunt van deze raaklijn met de ellips? figuur 3 De hoofdeigenschap van een ellips - een conflictlijn De vouw is de middelloodlijn van FF. Construeer eerst het middelpunt M van de cirkel. Het snijpunt P van de vouwlijn met straal MF is het raakpunt op de ellips. Omdat FP = F P ligt P even ver van de rand van de cirkel als van F. De ellips is dus een conflictlijn tussen een cirkel en een punt binnen die cirkel. Voor elk punt P op de ellips geldt nu FP + PM = F P + PM = straal van de cirkel! De som van de afstanden tot de twee brandpunten (M en F) van punten op de ellips is constant. Hoe teken je een ellips? Neem een touwtje met lengte straal (=MF ), prik de uiteinden in M en F, trek met een potloodpunt de lus van het touwtje strak. Door het potlood te bewegen, terwijl het touwtje strak blijft en de uiteinden vast op de punten M en F blijven, ontstaat een ellips.

22 Workshop Voor de verandering Studiedag NVvW 7 november 2015 Werkblad kegelsneden vouwen Van vouwlijn naar punt op de parabool. Kies op 4 cm van onder het punt F (figuur 1). Vouw lijnstuk QR zodat de onderrand QB precies over F gaat (figuur 2). Omdat vouwen gelijk staat met spiegelen is B het spiegelbeeld van B bij spiegelen in de lijn QR. Zet een stip op de omgevouwen rand QB precies waar QB over F gaat; teken de contouren van QB en B R op het blaadje en vouw het weer open. De gezette stip (nu nog op de achterkant), ook op de voorkant zetten; dat is punt V op de onderrand QB (figuur 3). V is dus het spiegelbeeld van F bij spiegelen in de lijn QR. QR is ook de bissectrice van hoek B QB; dus elk punt op QR heeft gelijke afstanden tot QB en QB. Teken nu vanuit V een loodlijn op QB; het snijpunt P van deze loodlijn met QR is dan een punt op de parabool (figuur 4). Omdat de driehoeken VPQ en FPQ elkaars spiegelbeeld zijn bij spiegelen in lijn QR geldt dat FP = VP. Nu geldt dat de afstand van P tot F = PF = PV = de afstand van P tot lijn QB (de richtlijn) (figuur 5). De vouw is dus de raaklijn aan de parabool in het gevonden punt P. Voor elke vouw kun je hetzelfde verhaal houden. In figuur 6 zie je dat voor een andere vouw getekend. figuur 1 figuur 2 figuur 3 figuur 4 figuur 5 figuur 6

23 De formule van de parabool: P F(0,2) P(x,y V(x,-2) V Breng een assenstelsel aan door de top van de parabool. In dit geval is dan F(0,2) en de richtlijn y= - 2. Van een punt P(x,y) op de parabool is V (x, -2) het voetpunt op de richtlijn. FP = PV geeft (x² + (y-2)²) = y+2; kwadrateren geeft x² + (y² - 4y +4) = y² + 4y + 4; dus x² = 8y ofwel y = 1 / 8x²; dit is de formule van de gevouwen parabool. Wanneer je het brandpunt F op afstand p van de onderrand van het blaadje (de richtlijn) kiest, en vervolgens een assenstelsel door de top tekent, dan is F(0, ½p) het brandpunt en y= -½p de richtlijn van de gevouwen parabool. De formule van de parabool met F(0, ½p) en richtlijn y = - ½p wordt dan: (y + ½p)² = ( ( x² + (y ½p)²)² geeft y² + py + ¼p² = x² + y² py + ¼p² dit geeft x² = 2py of y = 1 / 2p x².

24 De parabool als kegelsnede Om goed te kunnen begrijpen hoe de parabool een kegelsnede is moet je er een plaatje bij hebben. De Belg Dandelin vond een mooie oplossing om te snappen hoe de eigenschap van de parabool zichtbaar gemaakt kan worden. Vooraf even dit. Een kegel ontstaat door een rechte lijn te laten wentelen om een (verticale) as. Daarbij blijft de hoek tussen de wentellijn en de as steeds gelijk. Dit is de halve tophoek van de kegel. Om je goed te kunnen voorstellen hoe het zit kun je de kegel zien als hoorntje van een ijsje. Als je daar 1 bolletje ijs in stopt, dan raakt die bol het hoorntje precies volgens een cirkel. Verder kun je snappen dat een vlak dat aan een bol raakt precies 1 raakpunt heeft met die bol. Omgekeerd raken alle lijnen vanuit 1 punt buiten de bol precies in punten die op een cirkel liggen. Die lijnen maken als het ware een kegel om de bol. Dus alle lijnstukjes vanuit een punt naar het raakpunt aan die bol zijn even lang! Een parabool is de kromme die je krijgt als je met de kegel een doorsnede maakt met een vlak (V) dat precies evenwijdig loopt aan een wentellijn. Verder moet je doorhebben dat er precies 1 bol is die zowel de kegelmantel (volgens een cirkel) raakt en het snijvlak (V) (in 1 punt (F) dus). Je kunt dit begrijpen als je de bol ziet als een ballon die je opblaast tot hij klem zit tussen de kegelmantel en het gekozen vlak. Een klein bolletje raakt de kegel wel volgens een cirkel, maar raakt het snijvlak (V) nog niet. Naar mate de bol wordt opgeblazen wordt de raakcirkel groter en komt de bol bijna klem te zitten tegen het snijvlak. Op enig moment zit de bol klem en raakt hij het snijvlak (V) in 1 punt (F). De richtlijn is nu de snijlijn (s) van het gekozen vlak (V) en het (horizontale) vlak (W) door de cirkel waarover de bol de kegel raakt. Elk willekeurig punt P op de parabool heeft nu gelijke afstand tot F als tot de genoemde richtlij (s). Hieronder zie je het bewijs. Parabool Hierboven is een kegel doorsneden met een vlak V dat een hoek 90 - α met het grondvlak maakt (waarbij α de halve tophoek van de kegel is). De snijkromme van vlak V hiernaast met de kegel is de blauwe kromme. Er is nu maar één bol van Dandelin, die vlak V in punt F raakt. Vlak W is het horizontale vlak door de snijcirkel van deze bol met de kegel. Kies een willekeurig punt P van de blauwe kromme en teken de lijn PT over de kegelmantel. Die snijdt de snijcirkel en vlak W in punt Q. Verder is PR zó getekend dat PR loodrecht op s staat (de snijlijn van V en W) Nu geldt op de eerste plaats weer PQ = PF (twee raaklijnen aan een bol). Maar ook geldt PQ = PR! Dat kun je zó zien: Als R' en Q' de projecties van R en Q op het grondvlak zijn, dan is RR'= QQ'. Maar omdat ook PQQ' gelijk is aan de groene hoek, hebben de driehoeken PRR' en PQQ' dezelfde hoeken. Ze zijn daarom congruent, dus de zijden zijn ook.

25 Kegelsneden. h.hofstede We hebben intussen de meetkundige krommen cirkel, parabool, ellips en hyperbool bekeken. Deze krommen worden samen wel kegelsneden genoemd. Waarom? Nou kijk maar naar het volgende plaatje. Door een kegel op verschillende manieren te doorsnijden kun je elke van deze krommen tevoorschijn toveren: Waarom is dat zo? Kijk, dat die doorsneden ongeveer de vorm van een ellips, cirkel, parabool en hyperbool hebben, dat zie ik ook wel natuurlijk. Maar hoe weet je nou dat het precies die krommen zijn? Goed, die cirkel die vind ik ook nog wel duidelijk, maar hoe weet je nou dat bijvoorbeeld zo'n ellipsachtig ding nietongeveer een ellips is, maar precies? Dat zit hem natuurlijk, zoals iedereen wel weet, in de bollen van Dandelin. Tuurlijk, oh nee... dan snap ik het wel... Echt waar? Toch leg ik het nog even uit.

26 Ellips. Neem een kegel die doorsneden wordt door een vlak dat niet evenwijdig aan het grondvlak loopt, en dat zo'n "soort" ellips oplevert. In het eerste plaatje staat zo'n vlak in een kegel. Het tweede plaatje is het vooraanzicht daarvan. De rode stippellijnen die getekend zijn, zijn de bissectrices en de buitenbissectrices van driehoek PQT. Een bekende stelling daarvoor zegt, dat die door één punt gaan. Omdat de bissectrices van een hoek gelijke afstanden tot de benen van een hoek hebben, heeft het bovenste rode punt gelijke afstanden tot TP, TQ en PQ, dus er is een cirkel met dat punt als middelpunt, die alle drie die lijnstukken raakt. Hetzelfde geldt voor het onderste rode punt. In het derde plaatje zijn die twee cirkels in het vooraanzicht getekend. De raakpunten hebben we (alvast?) F 1 en F 2genoemd... Het vierde plaatje laat zien hoe dat er ruimtelijk uit ziet. Er zijn twee bollen met middelpunten M en N die het blauwe vlak raken. Die bollen heten trouwens...de bollen van Dandelin. Nou heeft een bol de eigenschap dat, als je vanaf een punt P raaklijnen aan die bol tekent, dat die allemaal even lang zijn. Die rode raaklijnen hiernaast zijn allemaal even lang. Logisch lijkt me, omdat de hele figuur (bol inclusief raaklijnen) symmetrisch is ten opzichte van lijn PM. Deze eigenschap kunnen we handig gebruiken bij de bollen van Dandelin.

27 Neem een willekeurig punt P op onze doorsnedefiguur (laten we het nog steeds geen ellips noemen). Dan raakt de lijn TP beide bollen in de punten Q en R. Nu geldt PF 1 = PQ (eigenschap van de raaklijnen aan een bol) Maar ook PF 2 = PR (eigenschap van de raaklijnen aan een bol) Dus PF 1 + PF 2 = PQ + PR = QR. En dat laatste is constant, want dat hangt niet af van de plaats van P; alleen van beide bollen. Voor elk punt P vind je dezelfde waarde PQ. Kortom: voor alle punten P geldt PF 1 + PF 2 = constant. Maar dat was precies de eigenschap van een ellips. Dus vormen die punten P een ellips met brandpunten F 1 en F 2. De bewijzen voor een hyperbool en een parabool gaan op ongeveer dezelfde manier. Hyperbool. Hiernaast zie je een vlak V dat een dubbele kegel doorsnijdt volgens een blauwe kromme, zoals hiernaast getekend. De twee rode bollen van Dandelin raken dat vlak in de punten F1 en F2. Kies een willekeurig punt P van deze kromme en teken de lijn die over het oppervlakte van de kegels loopt door P en door de top. Dan geldt: PF1 = PQ (twee raaklijnen aan een bol) PF2 = PR (twee raaklijnen aan een bol) Dus PF1 - PF2 = PR - PQ = QR Maar QR is voor elk punt P constant (hangt alleen van vlak V af). Dus PF1 - PF2 = constant. Dan liggen de punten P op een hyperbool.