SAMENVATTING STATISTIEK I

SAMENVATTING STATISTIEK I Gebaseerd o de cursus statstek I 005-006 va Therry Marchat Gemaakt door Sve Metteege

Iledg Beschrjvede statstek: Verzamelg va techeke om data sythetsch voor te stelle of same te vatte Iducteve statstek: Observates va de steekroef aar de oulate veralgemee met ee beked rsco Kasberekeg: Gebed va de wskude dat het redeere met kase bestudeert, oodzakeljk om verkeerde redeerge te begrje e te otdekke BESCHRIJVENDE STATISTIEK Bassbegre Poulate e steekroef Poulate: Gehele groe ersoe of objecte waarover formate wordt gewest Steekroef: Gedeelte va oulate dat wordt oderzocht om formate te vergare Elemete: Idvduele lede va oulate Varabele Defte: Egescha de bj de elemete va de oulate of va de steekroef vareert Numerek: De mogeljke waarde va umereke varabele zj getalle Cotu: Tusse elke wllekeurge waarde va varabele moet 3 de waarde lgge Als ee varabele et cotu s, da s ze dscreet Kwattatef: Beeldt ee hoeveelhed af Als ee varabele et kwattatef s, da s ze kwaltatef 3 Budget voor boeke 3 Ordegstecheke Frequete: aatal male dat beaald verschjsel voorkomt bj oulate va waaremgseehede of aatal male dat waarde va varabele voorkomt Frequeteverdelg: systematsche ostellg va waarde va varabele met daarbj behorede frequetes Ogegroeeerde e gegroeeerde frequeteverdelg: Ogegroeeerde frequeteverdelg: herbj worde alle voorkomede waarde weergegeve met hu frequetes Gegroeeerde frequeteverdelg: herbj worde de waarde gebudeld categoreë of klasse e wordt frequete va edere klasse weergegeve Relateve frequeteverdelg: Om of meer frequeteverdelge met verschllede aatalle waaremge oderlg te vergeljke: (absolute frequete / totaal aatal waaremge) * 00 3 Reductetecheke 3 Cetrale tedete 3 De modus (mo): Defte: Meest voorkomede waarde Ogegroeeerde gegeves modus Gegroeeerde gegeves modale klasse: klasse met hoogste frequete Om : Bj de modale klasse moete alle klasse ee geljke breedte hebbe Modale klasse mder gevoelg da modus

3 Het rekekudg gemddelde (RG): Bassformule: Verkorte schrjfwjze: x x x x x x x Met behul va frequetes: x fx Herbj gelde volgede afsrake: x = varabele; x = -de elemet; = steekroefgrootte; x = gemddelde va x x, x,, x = verschllede geobserveerde waarde (va kle aar groot); Om: x x = aatal verschllede geobserveerde waarde va X f = frequete de geassoceerd wordt met x 3 Sredg 3 Varatebreedte: Defte: verschl tusse hoogste e laagste getalswaarde ee reeks: v x x Om: Deze arameter laat zch makkeljk vertekee door extreme waarde 3 Sredg tov het gemddelde: Gemddelde va alle afstade tov gemddelde: f( x x) 0 Deze sredg s altjd 0 wat de egateve waarde heffe de osteve waarde o Gemddelde afwjkg ( ga x ), dt s het gemddelde va alle absolute afstade: Herbj stelt a de absolute waarde va a voor (het getal zoder teke) Varate ( s ), dt s het gemddelde va alle kwadratsche afstade s ( x x) f x x 4 Pas o de welreers 4 Iledg tot de meettheore 4 Schaalfamles Elk karakterstek dat we wlle mete -> verschllede schale, als verkeerde schaal gebrukt wordt -> zloze bewerg Zvolle bewerg: bewerg de waar bljft met alle schale ut geassoceerde famle 4 De verschllede meetveaus Absolute schaal Rato-schaal Iterval-schaal Ordale schaal Nomale schaal Dudeljke kemerke Vast ulut Vast ulut Vaste afstad Ekel volgorde Gee orde Meeteehed Vast Varabel (x cte) Varabel (x cte) Varabel (x cte) Varabel (x cte) Oorsrog Vast Vast Varabel (+ cte) Varabel (+ cte) Varabel (+ cte) Toegelate bewerg Alle Moet kloe voor elke schaal Vb: Koee telle Prjs, leeftjd Moet kloe voor elke schaal Jaartal, temeratuur De volgorde moet bewaard bljve Socale status De dettet moet bewaard bljve Geslacht, kleur, atoaltet 3

5 Ordegstecheke Als je ee varabele X ee steekroef met grootte observeert krjg je ee reeks va waarde va de varabele x, x,, x, de we data oeme x x Je ka data ordee soorte vectore: Rjvector: a ( x, x,, x ) ; Kolomvector b x Ee kolomvector ee rjvector trasformere oeme we trasoere: a T b T Data otere we als volgt x ( x, x,, x ) (vectore zulle we altjd vet otere) Omerkg: met vectore ka je rekee: Scalar roduct va vectore ( vermegvuldge): Als a ee rjvector s e b kolomvector met dezelfde dmese, da s het scalar roduct: b b ab ( a, a,, a ) a b a b a b a b k k k k b k Zo ka je ee euwe formule (vectorotate) ostelle voor het gemddelde: x x x x x x x x x x ( ) ( ) (,,,) T x E ook voor de varate ka je zo ee formule ostelle: x x x x s x x x x x x x x x x T x ( ) (,,, ) ( x ) ( x ) 5 Frequeteverdelge Noem de verschllede geobserveerde waarde waarde (merk o dat ) x Ee frequeteverdelg oeme we u ee aar bjbehorede frequetes: f f f f x x,, x, x x, da s het aatal verschllede T xf,, waarbj x x x x e de 5 Gegroeeerde frequeteverdelge 5 Waarom gegroeeerde frequeteverdelge gebruke? Om leesbaarhed te verhoge Met cotue varabele -> omogeljk waarde va varabele erfect te mete Vb: reacte tjd met chroometer (altjd afgerod) T Elke waarde mag maar klasse frequeteverdelg va klasse: k k, k,, k ) ( Gegroeeerde frequeteverdelg: ee aar ( k, f ): reeks klasse va varabele same met overeekomede frequetes 4

5 Varabele va temste ordaal veau Klasse va temste ordaal veau tervalle: elke klasse heeft oder e bovegres De bovegres otere we u e de odergres l 53 Vustregels voor het dele klasse Meestal s het beter klasse va geljke breedte te keze, behalve da voor de uterste klasse (om evetuele outlers o te eme) Het aatal vareert va 8 tot 0 (kes je zelf) 5 Cumulateve frequeteverdelge Defte: De cumulateve frequete de bj de waarde x hoort s het totaal aatal elemete de de waarde x ee of kleere waarde hebbe We otere deze met T vector F F( x ), F( x ),, F( x )) ( Ee Cumulateve frequeteverdelg s da het aar ( x, F) F x 53 Cumulateve gegroeeerde frequeteverdelge T Vector va de cumulateve gegroeeerde frequeteverdelge: F F( u ), F( u ),, F( u )), met u ) ( ( F het aatal elemete klasse lus het aatal elemete lagere klasse 54 Relateve frequeteverdelge De relateve frequete s ee ratoaal getal tusse 0 e, de de roorte va de elemete ee steekroef de ee beaalde egescha hebbe utdrukt Verschllede soorte relateve frequetes: f Relateve frequete: met f de frequete va Cumulateve relateve frequete: 6 Reductetecheke 6 Mate va cetrale tedete 6 Het rekekudge gemddelde : x I formulevorm x x F ( x) met Meetveaus: terval, rato, absoluut Gevoelg voor outlers 6 De medaa : md x (of va k bj gegroeeerde) F x als cumulateve frequete va x De medaa mdx s de mddelste waarde I formulevorm F md x Meetveaus: ordaal, terval, rato, absoluut Net gevoelg voor outlers 63 De modus : mo De modus s de waarde de het meeste voorkomt, of de klasse met de grootste frequete Meetveaus: omaal, ordaal, terval, rato, absoluut Net gevoelg voor outlers 5

6 Mate va sredg 6 Varate I formulevorm sx ( x x) Meetveaus: terval, rato, absoluut Zeer gevoelg voor outlers 6 Iterkwartele afstad (et echt ee sredgsmaat) I formulevorm Q P75 P5 Herbj zj de ercetele gedefeerd als Meetveaus: terval, rato, absoluut Ogevoelg voor outlers k F Pk 00 63 Varate-breedte Meetveaus: terval, rato, absoluut Suergevoelg voor outlers De varatebreedte s de grootse m de kleste waarde: x x, of gegroeeerd u l 64 De sredgsmaat d Meetveaus: deze sredgsmaat mag gebrukt worde bj alle meetveaus Ze wordt gedefeerd als f mo d De maat vareert va 0 (alle observates zj geljk) tot (alle observates zj verschlled) 7 Bvarate statstek 7 Hoeveel kdere? Frequeteverdelg bj bvarate statstek: Her heb je twee frequeteverdelge: éé va X x, f ) e éé va Y y, f ) ( x ( y 7 De bavarate frequeteverdelg: Krustabel: Bj ee bvarate frequeteverdelg heb je ee reeks waarde va varabele X e ee reeks waarde va varabele Y met overeekomede frequetes we otere dt ee matrx f j 7 Het sredgsdagram of scatter lot: Hoe groter de st o ee scatter lot, hoe meer dt ut voorkwam: de grootte de st s verhoudg tot f, j 7 Assocate-techeke 7 Covarate q I formulevorm: cov xy ( x x)( y y) of, Meetveaus: terval, rato, absoluut Dt s ee maat voor lear verbad cov f ( x x)( y y) xy j j j 6

7 Correlatecoëffcët I formulevorm: r xy cov xy ss x y Meetveaus: terval, rato, absoluut Dt s ee maat voor lear verbad, oafhakeljk va de meeteehed 7 Regresselj Dt s de meest assede rechte door de utewolk De vergeljkg va de regresselj va Y o X wordt gegeve door: Y b s 0 b X, met y b r xy e b0 y b x sx De vergeljkg va de regresselj va X o Y wordt gegeve door: Y b 0 b X, met s y b r s e b0 y b x xy x Deze twee rechte zj detek als rxy De regresselje gaa altjd door het ut xy, 73 Kedall s Tau Herbj vergeljk je alle koels va varabele: ste beter da de -> +, aders ; geval va geljkhed schrjve we 0 (dt doe je zowel voor de X als voor de Y varabele) Da maak je ee kolom met de roducte va de toegekede waarde er koel C oem je het aatal osteve roducte (cocordat), D het aatal egateve (dscordat) C D De formule ludt da: ( ) Meetveaus: ordaal, terval, rato, absoluut Dt s ee maat voor mootoo verbad Ze gebrukt et de waarde va de varabele zelf 74 Ragcorrelate coëffcët (Searma) Her gebruke we ook et de waarde va de varabele zelf maar de rage (ragschkke va groot aar kle) Doe dt zowel voor de X als voor de Y varabele Da maak je ee kolom met de verschlle va de toegekede waarde er aar De formule ludt da: 6 D rs ( ² ) Meetveaus: ordaal, terval, rato, absoluut Dt s ee maat voor mootoo verbad Ze gebrukt et de waarde va de varabele zelf KANSREKENING 8 Toevalsvarabele e kasverdelge 8 Toevalsroces e gebeurtes Toevalsroces: Proces waarva utkomst ovoorselbaar s Gebeurtes: verzamelg va mogeljke utkomste voor toevalsroces Zekere gebeurtes E: verzamelg va alle mogeljke utkomste, doet zch altjd voor D 7

8 Bewerkge met gebeurtesse Ue: verzamelg va alle elemete de A of B (of bede) zj A B utkomste a aa of ab Doorsede: verzamelg va alle elemete de A e B zj A B utkomste a aa e ab Comlemetare gebeurtes A*: doet zch voor als e slechts als A zch et voordoet A A* e A A* E 8 Toevalsvarabele Defte: dt s ee varabele waarva de waarde ee toevalsroces ovoorselbaar s Realsate: waarde va toevalsvarabele ee beaalde herhalg va ee roces 83 Kase De kas va ee gebeurtes A bj ee toevalsroces defëre we als de relateve frequete va deze gebeurtes als we het toevalsroces edeloos zoude herhale: f A P( A) lm, merk dus o dat 0 PA ( ) Kas o de ue va gebeurtesse: P( A B) P( A) P( B) P( A B) Afhakeljke gebeurtesse: gebeurtesse A e B zj afhakeljk als het voorkome va de ee de kas va de adere beïvloedt Oafhakeljke gebeurtesse: gebeurtesse zj oafhakeljk als ze et afhakeljk zj Voorwaardeljke kas: De kas dat ee gebeurtes A zch voordoet oder voorwaarde dat ee gebeurtes B zch ook voordoet We otere deze kas als P( A B ) A e B zj oafhakeljk als e slechts als geldt: ( AB) P( A) P Kas va doorsede va gebeurtesse: Oafhakeljke gebeurtesse: P(A B) P(A) P(B) Afhakeljke gebeurtesse: P( A B) P( A B) P( B) P( B A) P( A) P( A B) Merk dus o dat bj afhakeljke gebeurtesse geldt: P( AB ) PB ( ) Kas va comlemetare gebeurtesse: P( A*) P( A) 84 Kasverdelge 84 Kasverdelg va dscrete varabele x, x,, x : verschllede mogeljke waarde va de toevalsvarabele X Da s X x ee gebeurtes met bjhorede kas P P( X x ) De Kasverdelg va dscrete varabele oeme we het aar ( xp, ), dus de reeks mogeljke waarde va de varabele same met overeekomede kase De Cumulateve frequeteverdelg Fx ( ) s da de kas dat de waarde va de toevalsvarabele X ee toevalsroces kleer da of geljk aa x s: F( x) P( X x) 84 Kasverdelg va cotue varabele Bj de kasverdelg va cotue varabele geldt voor alle waarde va x dat P ( X x) 0 De Cumulateve frequeteverdelg F( x) P( X x) s u gee trasgewjze fucte meer, wat het dscrete geval wel zo was 8

843 De dchthedsfucte We defëre de dchthedsfucte als de afgelede va de verdelgsfucte: f x F '( x) 844 Egeschae va de dchthedsfucte Merk o dat: x x f x dx F( x ) F( x ) P( x X x ) De kas dat varabele X zch het terval, oervlakte oder de dchthedsfucte f x tusse de twee waarde x e x Ee dchthedsfucte s osteve fucte, dus x : f ( x) 0 x x bevdt s dus geljk aa de De oervlakte oder ee dchthedsfucte tusse e s geljk aa 845 < of? Bj cotue toevalsvarabele geldt P( X x) P( X x), bj dscrete toevalsvarabele NIET! 85 Reductetecheke 85 Dscrete toevalsvarabele 85 Het gemddelde Het gemddelde va ee toevalsvarabele oeme we de verwachtgswaarde e otere we: E x Soms gebruke we hervoor ook het symbool Px 85 De varate De varate va ee toevalsvarabele otere we: Soms otere we dt ook als V ( X ) P ( x E( X )) De stadaardfout s da de verkatswortel va de varate: V X 85 Cotue toevalsvarabele Her verloe de deftes aaloog, allee moete we het -teke vervage door, e moete we P vervage door 85 Het gemddelde f x E( X ) f x xdx 85 De varate V ( X ) f X ( x)( x E( X )) dx 9

86 Bvarate kasverdelge 86 Dscrete toevalsvarabele Deze soort bvarabele toevalsvarabele ka je voorstelle ee tabel P, j, waarvoor geldt: P P X x Y y j, e De som va alle celle s :, 0 j0 P j De margale kase bereke je als volgt: o, j j0 P P X x P (de volledge rj de bj X x o, j j j 0 hoort otelle) P P Y y P (de volledge kolom de bj Y y hoort otelle) 86 Cotue toevalsvarabele Deze ka je et de vorm va ee tabel voorstelle, maar ook her kue we defëre: De bvarate verdelgsfucte: F, ( x, y) P( X x e Y y) De dchthedsfucte: X, Y, XY d d f ( x, y) FX Y ( x, y) (aflede aar x é y ) dx dy 863 Oafhakeljke toevalsvarabele cotue (dscrete) varabele X e Y zj oafhakeljk als de gebeurtesse x X x e y Y y oafhakeljk zj, voor alle mogeljke keuze va de waarde x, x, y, y Is dt et het geval da zj ze afhakeljk P x X x e y Y y P x X x P y Y y Oafhakeljk (cot) : Oafhakeljk (dsc) : PX x e Y y PX x PY y Om u ee verwachtgswaarde te berekee moet je alle margale kase otelle: E X Px E Y j0 0 P y j j 864 De voorwaardeljke verwachtg Om ee voorwaardeljke verwachtg te berekee moet je de voorwaardeljke kase otelle: j j e E X Y y P x x Y y x 0 E Y X x P y y X x y j j j0 87 Assocatetecheke 87 Dscrete toevalsvarabele Ook her kue we covarate e correlatecoëffcët berekee: COV ( X, Y) q j P, j ( x E( X ))( y j E( Y)) e X, Y COV ( X, Y) X Y 87 Cotue toevalsvarabele Da geldt: COV(X,Y) f X, Y ( x, y)( x E( X ))( y E( Y)) dxdy 0

873 Correlate e afhakeljkhed De covarate va oafhakeljke toevalsvarabele s altjd ul De correlatecoëffcët va oafhakeljke toevalsvarabele s altjd ul 88 Ekele uttge stellge Gemddelde va ee costate maal ee varabele: E( a X ) a E( X ) Gemddelde va ee som: E( X Y) E( X ) E( Y) Gemddelde va ee roduct: E( Z) E( X ) E( Y) (om: X e Y zj oafhakeljk) Varate va ee som: V( X Y) V( X ) V( Y) COV ( X, Y) Varate va ee aftrekkg: V( X Y) V( X ) V( Y) COV ( X, Y) 9 Bjzodere kasverdelge 9 Bomale varabele (met terugleggg) Deze wordt gebrukt het geval va oafhakeljke waaremge elk resultered succes of mslukkg (slechts twee mogeljke utkomste), e elk met eezelfde kas π o succes We otere deze kasverdelg met, B k k De kas o k successe wordt da gegeve door PB, k waarbj geldt:! k k!( k)! 9 Egeschae va de bomale varabele, Verwachtg va bomale varabele: E B, Varate va bomale varabele: V B 9 De ormale varabele Dt s ee cotue toevalsvarabele, geoteerd met, dchthedsfucte: fn (, )( x) e 9 Egeschae va de ormale verdelg Verwachtg va ormale varabele: E N, Varate va ormale varabele: V N, Om bj de grafek va dchthedsfucte: o hoogste ut va de fucte wordt berekt als x o De horzotale afstad tusse de to e de bugute s k N e gedefeerd door zj ( x)² ² De dchthedsfucte s erges geljk aa ul: x : fn (, )( x) 0 De som va twee ormale varabele s terug ormaal: N (, ) N(, ) N(, ),

9 Hoe gebrukt me de ormale verdelg? Vermts het omogeljk s om voor alle ormale verdelge ee tabel o te stelle, zulle we oze ormale varabele moete stadaardsere tot het algemee geval waar 0 e : N(, ) X N( 0,) Er s dus ee eevoudge relate tusse N, e x P N(, ) x P N(0,) Voor de kase geldt dus: N 0,, voor alle waarde va e 93 Waarom s de ormale varabele belagrjk? Dt komt door de cetrale lmetstellg de zegt dat de som vele oafhakeljke varabele altjd ormaal verdeeld s (of toch zo goed als) Zj X, X,, X oafhakeljke toevalsvarabele, met resecteveljk de verwachtge,,, e varates,,, Laat Z X X X Als, da s Z ormaal verdeeld met Z e Z 94 De ormale verdelg als beaderg va de bomale verdelg De cetrale lmetstellg zegt dat als adert aar, de bomale verdelg ee ormale verdelg wordt lm B(, ) N(, ( )) N(, ) I de raktjk zal echter oot oedg e gebruke we dus ee beaderg We moge dt doe als volgede twee voorwaarde voldaa zj: 5 é ( ) 5 93 De ² -verdelg Zj, X X oafhakeljke stadaardormale varabele N 0, X,, ch-kwadraat varabele als volgt: de varabele Ze s ee osteve varabele omdat ze de som s va kwadrate ² -verdelg s asymmetrsch: hoe kleer het aatal vrjhedsgrade, hoe meer asymmetrsch de kromme s s ee cotue varabele, da defëre we de X X X met het aatal vrjhedsgrade va 93 Egeschae va de ch-kwadraat verdelg Verwachtg va ² -varabele: E ( ) Varate va ² -varabele: V ( ) Modus va ² -varabele voor s De som va ² varabele s og ee ² varabele: v ( v)

94 De studet of t - verdelg Zj X, X,, X e Y oafhakeljke stadaardormale varabele N 0, de t - varabele als volgt: T X X ( X s het aatal vrjhedsgrade va de varabele De t - verdelg s symmetrsch: om x 0 t varabele s ee cotue varabele De stadaardormale verdelg s ee goede beaderg vaaf 30 94 Egeschae va de t - verdelg Verwachtg, gemddelde, medaa e modus: ET ( ) 0 Varate va de t varabele (voor ) : 95 De F - verdelg Zj X, X,, X e, Y,, Y Y V ( ) T ), da defëre we Y oafhakeljke stadaardormale varabele N 0, defëre we de F - varabele met e vrjhedgrade als volgt: F, ( X X ( Y Y X Y ) ), da s het aatal vrjhedsgrade va de varabele F -verdelg s asymmetrsch F - varabele s ee cotue osteve varabele, ze komt et de atuur voor De waarde va de verdelgsfucte -> tabel 95 Egeschae va de F - verdelg De verwachtg va de F - verdelg (voor ) = E ( F, ) ( ) 96 De arameters (reële getalle) Als je weet va welk tye ee kasverdelg s, weet je daarom og et de receze waarde va de kasverdelg zoals de varate, het gemddelde, het aatal vrjhedsgrade, de roorte, Om de kasverdelg volledg te beale moete we zj arameters secfcere: Bomale varabele e Normale varabele e -verdelg t verdelg F verdelg e 3

97 De steekroeveverdelge 97 Deftes Ee steekroefgroothed s ee combate va toevalsvarabele (som, varate, gemddelde, ) Ee steekroeveverdelg s de kasverdelg va ee steekroefgroothed Het s dus et de verdelg va ee beaalde varabele ee steekroef (= frequeteverdelg) 97 Ekele steekroeveverdelge: 97 De steekroeveverdelg va het gemddelde, met terugleggg: De verwachtg va steekroefgroothed X : De varate va steekroefgroothed X : E ( X ) E( X ) V ( X ) ² V ( X ) Als X ee ormale varabele s, da s X ormaal verdeeld 97 De steekroeveverdelg va de varate, met terugleggg: De verwachtg va steekroefgroothed S : E( S²) ² S² Als X ee ormale varabele s, da s ee ² -varabele met ² vrjhedsgrade INDUCTIEVE STATISTIEK 0 Iledg tot de ducteve statstek Meestal vertrokke va ee radom steekroef de we da geeralsere aar hele oulate Het steekroefgemddelde s heel zelde (of oot) geljk aa oulategemddelde, maar we kue het wel gebruke voor het schatte va oulategemddelde Hervoor zj er verschllede maere Putschattg: éé ekel getal oulategemddelde Maar hoe kue we zeker zj va de justhed va dt getal? Itervalschattg: betrouwbaarhedsterval het mdde va dt terval bevdt zch het steekroefgemddelde e de greze erva worde bereked Dt geeft meer zekerhed Het Poulategemddelde s et meer geljk zj aa éé getal maar mag tusse twee beaalde getalle lgge De betrouwbaarhed wordt er altjd bj vermeld (90%, 95%, ) Hoe groter de betrouwbaarhed, hoe groter het terval Putschattg Deftes Om ee arameter te schatte berekee we ee steekroefgroothed: de schatter S Alle schatters hebbe dus ee steekroeveverdelg O bass va ee steekroef berekee we da de waarde va S, deze waarde oeme we de schattg ˆ Ee schatter s dus ee toevalsvarabele, ee schattg et Egeschae va ee goede schatter Ee schatter S va ee arameter s zuver als ES De verwachtg va ee zuvere schatter s geljk aa de te schatte arameter Ee schatter S va ee arameter s effcët als zj varate mmaal s De schatter s oot erfect, maar we wlle dat de afwjkg zo kle mogeljk s 4

Prce va de grootste aaemeljke methode Bj deze maer keze we ee schatter S de de kas dat de geobserveerde steekroef egeljk wordt getrokke, maxmalseert Deze methode geeft altjd effcëte schatters 3 Ekele schatters Ze her ee aatal zuvere e effcëte schatters: I oulate Gebrukte schatter Wat B, B, (roorte) E (verwachtg) X E X (varate) S E S Itervalschattg Ee betrouwbaarhedsterval voor de verwachtg Iledg Meer betrouwbaarhed groter betrouwbaarhedsterval verles auwkeurghed Meer auwkeurghed kleer betrouwbaarhedsterval verles betrouwbaarhed Om de auwkeurghed o te drjve moet de steekroefgrootte dus vergrote Deftes Ee betrouwbaarhedsterval s ee toevalsterval met als greze steekroefgroothede Hj bevat de te schatte arameter met ee beaalde kas Betrouwbaarhed: De kas dat de realsate va os toevalsterval de arameter bevat Zj symbool s (va alle o deze maer gevode tervalle s er ee roorte de de gezochte arameter bevat) Obetrouwbaarhedsdremel of sgfcateveau: Dt s de kas 3 Betrouwbaarhedstervalle voor de verwachtg 3 X s ormaal verdeeld (of et maar da > 30), s beked: X N, e het BI wordt gegeve door / / x z, x z 3 X s ormaal verdeeld (of et maar da > 30), s et beked: X T S e het BI wordt gegeve door Betrouwbaarhedsterval voor varate X s ormaal verdeeld S e het BI wordt gegeve door / S / S x t, x t S² S², / k /, k 5

X s et ormaal verdeeld Net behadeld de cursus! 3 Betrouwbaarhedsterval voor roorte 3 Betrouwbaarhedsterval voor π bj klee Met behul va de grafek vd je de 95%-betrouwbaarhedstervalle door cross-referecg 3 Betrouwbaarhedsterval voor π bj grote / / Als 5 é ( ) 5 da s het BI z ( ); z ( ) 3 Toetse 3 Toetsgsrocedure 3 Theoretsche hyothese: Dt kue we beschouwe als het formulere va ee vraag 3 Statstsche hyothese H a of alterateve hyothese De theoretsche hyothese wordt vertaald de taal va de kasrekeg eezjdge toets: > of < tweezjdge toets: 33 Nulhyothese H 0 De ulhyothese moet tegestrjdg zj met de alterateve hyothese Als H 0 just s, moet H a verkeerd zj e omgekeerd Oder H 0 -> mogeljk zj om kase te berekee => H 0 et vorm < ka hebbe 34 Toetsgsgroothed G De steekroefgroothed moet afhakeljk zj va hyothese de toetsgsgroothed mag dus gee obekede arameters bevatte e zj steekroeveverdelg moet beked zj 35 Betrouwbaarhed - Dt s de kas om de alterateve hyothese te verwere als de ulhyothese just s, of dus ook de kas om de ulhyothese te aavaarde als ze just s 6

De obetrouwbaarhedsdremel of het sgfcateveau s de kas om de ulhyothese te verwere als ze just s Bj ee eezjdge toets geldt: Px G of Bj ee tweezjdge toets geldt: P x G x P G x De tervalle waartoe G behoort oemt me de krteke gebede aargelag de rchtg 36 Beslssg Als G het krteke gebed lgt of ee krteke waarde s, da wordt de alterateve hyothese verwore 3 Keuze va toetsgsgroothed 3 Toetse va hyothese betreffede verwachtg μ Me wl toetse of de verwachtg va ee toevalsvarabele verschlled s va ee beaalde waarde (deze beaalde waarde s vaak de verwachtg va ee adere varabele) 3 X s ormaal verdeeld (of et maar da > 30), s beked: Toetsgsgroothed: X, deze s stadaard ormaal verdeeld 3 X s ormaal verdeeld (of et maar da > 30), s et beked: Toetsgsgroothed: X, deze heeft ee t-verdelg met vrjhedsgrade S 3 Toetse va hyothese betreffede het verschl tusse twee verwachtge 3 Oafhakeljke waaremge 3 XY, zj ormaal verdeeld (of et maar da > 30),, s beked: Toetsgsgroothed: X Y, deze s stadaard ormaal verdeeld X Y X Y 3 XY, zj ormaal verdeeld (of et maar da > 30), X Y s obeked: Toetsgsgroothed: X Y X SX Y SY ( ) X Y X Y, deze heeft ee t-verdelg met vrjhedsgrade X Y X Y 3 Afhakeljke waaremge Herbj moet je de twee groee afhakeljke herlede tot éé ekele groe observates: je defeert het verschl tusse elk aar d x y Je krjgt dus ee steekroef va d -waarde de ee euwe toevalsvarabele D defeert 7

De toetsgsgroothed s da S D D, deze heeft ee t-verdelg met vrjhedsgrade 33 Toetse va hyothese betreffede ee roorte Stel dat me wl toetse of ee roorte ee oulate verschlled va ee beaalde waarde s (vaak ee roorte ee adere oulate) Als 5 é ( ) 5 da s de toetsgsgroothed P ( ) stadaard ormaal 34 Toetse va hyothese betreffede het verschl tusse twee roortes Me wl toetse of de roortes twee oulates detek zj, maar gee va bede roortes s beked (aders gebruk je de vorge methode) Als geldt dat 5, ) 5, 5 e ) 5 da s de toetsgsgroothed ˆ ( ˆ P P ˆ ( ˆ P P P P P P P P stadaard ormaal verdeeld 33 De soorte foute De fout va de eerste soort s dat de ulhyothese te orechte verwore wordt De kas s De fout va de tweede soort s dat de alterateve hyothese te orechte verwore wordt De kas om deze fout te make wordt geoemd Deze kas ka soms bereked worde (ze Statstek II) Nulhyothese s Just Verkeerd Nulhyothese wordt Verwore FOUT JUIST - Aavaard JUIST - FOUT 8