Mathematics. - Primitief~symmetrische projectieve invarianten. 111. By P. G. MOLENAAR. (Communicated by Prof. J. A. SCHOUTEN.) (Communicated at the meeting of March 30, 1946.) 9. Thans willen we het voorgaande toepassen op de binaire gemengde vorm F = a: a~ = (ao x~ + 3 al xi X + 3 a x 1 xi + a3 x~) (ao ~~ + 3 al ~î ~ + + 3a ~ ~i + a3 ~~) = = Aoo x~ ~::+ 3Aol x~ ~î ~ +... + 9 All xî X Eî ~ +... De isomeren van L = (ab) (cá) (aá) (be).. zijn volgens -4 ( 11) hneair uit te drukken in Die van zijn lineair uit te drukken in [() L() L3. 1 A = (afj) (yd) (ad) (fjy). A(l) A() A(3) Am 1 (1) () (3) (4) Door contractie van de invarianten () en (-4) ontstaan 16 invarianten van de vier gemengde vormen F = ai a~ F = bi fj~ F3 = c: y: F.. = d: d~. Elk dezer 16 invarianten geeft aanleiding tot een productvoorstelling T X Tt. Deze moeten volledig gereduceerd worden. n de theorie der substitutiegroepen wordt hiervoor afgeleid 9) T X'=T 1 r l X r =r r, xr 3 =r 1 Alleen [L(3l A(3)] k r x r =r l r, X r,= r, +r,+r, î. r xr 3 =r 1 is dus niet primitief~symmetr.jsch. Door ~ontractie vindt men dus onmiddellijk de symmetrische invarianten (5) (6) 11) Zie B. L. V. D. WA,ERDEN, Moderne Algebra 11, pag. 196, of B. L. V. D. WAERDEN, Die Gruppentheoretische Methode in der Quanten~ mechanik, pag. 57, J. Springer, Berlin (193).
de anti~symmetrische invarianten en de cyclisch~symmetrische 471 [L().,1()] = 13 [[().,1(1)] = h..... (7) [[().,1(3)] = s [L().,1(3)] = 17 [L(1)A(3)] =/9 1 [L().,1(3)] = lil De niet primitief~symmetrische invarianten invarianten [L~3).,1(1)] = 16 [.,1(1)] = la [[(3).,1()] = lo (8) [.,1()] = / 1 [.,1(3)] (9) geven volgens 8 (6) aanleiding tot een 4~dimensionale productvoorstelling r 3 xr 3 1 000 1 1 1 1 o 1 0 0-1 o -1 0 E'= A'=... F'= 001 0-1 -1 o 0 000 1 1 0 o 0 en deze wordt door transformatie met de matrix voll~dig gereduceerd tot M= t t ""3" o t-t o t t t t-t -t t t 0 o 0-1 -1 o 0-1 o -1 0 1 1 1 1.. (10) 100 0 :1 0 0 0 E"= o 1 0 0 '0 1 0 0 A" =.... F"= 001 0 00-1 -1 000 1 o 0 0 Dit is volgens '4 (9) de gereduceerde voorstelling r 1 + r + r 3 0 0 0 o -1 0 0 0 0 0 0 o -1-1 Met behulp van de coëfficiënten uit de matrix (10) vindt men volgens 8 (10) de symmetrische invariant 113 = P() = t ( [.,1(3)] + [[(3) A(3)] + [.,1(3)] + [.,1(3)]); (11) 1 de anti~symmetrische invariant / 11 = P() = t ([.,1(3)] - [.,1(3)]) (1) 1 1 1
47 en twee cyclisch-symmetrische invarianten ls = P(3) = t (-[ Au)] + [ Au)] + [ A(3)] + [Le3) A(3)])! 1 1 1 1 1. (13) 1 16 = P(3) = t ( [ A(3)] + [Le3) A(3)] + [ A(3)] - [Le3) A(l)]) 1 1 Verder is zodat volgens 8 (1) o -1 0 M-= -t 1 -t -1 1 o o -1 [Le3) A(3)] = 113 - ls (14) [Le3) A(3)] = -t 113 + 1 11 + ls + 1 16 [Le3) A(3)] = -t 113-111 + ls + 6j' (15) [ A(3)] = 113-1 16 Tenslotte willen we deze primitief-symmetrische invarianten J l'...., J 16 afleiden, door de invarianten [ Am] 1 te splitsen in primitief-symmetrische delen. Stelt men A(3) = h, en noemt men overeenkomstig 4 (10) t (h + A + B + c + 10 + F) = s l t (h + A + B - c - 10 - [P).- a ( -!r(h -B ~o+[p)=cl\ dan is volgens 4 (11) t(h-a +o-f)=c ) h = s + a + C + C een splitsing van h in primitief-symmetrische delen. Verder is volgens 8 (13) en 4 (9) = 1 E 1 = - - [(3) 1 A 1 D3) = B Le3) = C = - - D3) J 0 Le3) = Le3) 1 F 1 Le3) = E = A = - - B Le3) = Le3) C 1 = 0 = - Le3) - F.. (9) (16) (17)
dus 473 [Ll3} A(3}] = t ([Ll3) A(3}] + [L(3} A(3}] +... + [Ll3} A(3}] ) = 5 E A F = t ([ A(3)] + [(- - D3)) (-A(3)-A(3))] +... + [ A(3)]) = ' = t ( [ A(3}] + [D3) A(3)] + [L(3} A(3}] + [ A(3}]). Aldus voortgaande vindt' men voor de 4 X 4 primitief-symmetrische delen van de invarianten (9) : [.11(3)]5 = - [.11(3)]5 = - [D3).11(3)]5 = [.11(3)]5 =. = t ( [.11(3)] + [L(3} A(3}] + [Lel).11(3)] + [.11(3)]) = 113 [D3) A(3)]a = [ A(3)]a = 0; ( A(3)]a = - [ A(3)]a = = t ([D31 A(3)]-[.11(3)]) = u. (D3) A(3)]c = 0; [ A(3)]c = [ A(3)]c = - [ A(3}]c = = t ( [D3) A(3)] + [D3).11(3)] + [.11(3)] - [D3}.11(3)]) = 1 16, 1 1 1 1 (17), dan vindt men de be Substitueert men deze uitkomsten in trekkingen (15). 10. Thans willen we de symmetrische invarianten 1 1, 1 en 1 13 nader beschouwen. 1 1 is ontstaan door contractie van L() en A(l). Volgens 5 (3a). kan men D) uit de discriminant R = 1ao al a a3-8ao a~-a~ a;-8a: a3 + 6a~ a~... (1) van a! verkrijgen door middel van Dan is 1 ö 4 R D) = 4 ~ ö ö ö ö ap b k Ct dm. p,k,t,m ap ak at am waarin R* de discriminant van a~ Stelt men voorstelt.
474 dan wordt Uit Cpk n = Ckpl m =... en C"zJ.p. = Cx:.;'p. =... volgt opnieuw. dat 1 1 symmetrisch is in de ~oëfficiëntenrijen A. B. C. D. Uit (1) berekent men de van nul verschillende coëfficiënten COt3 = 1. C0 = - i8. C0033 = - f6. Cttt3 = -i8, Ctt = i. Nummert men de 5 index groepen als volgt (013) = 1. (0) =. (0033) = 3. (1113) = i. (11) = 5 dan wordt Cl = 1 C = -48 C3 = -16 C5 = i terwijl () dan overgaat in s s lt = (T~) Z Ci C) [A B CD];.}.. (3) i=t }=t Stelt i de index groep (p klm) en j de indexgroep (:n x l,u) voor. dan is [A B CD];.} = Z Z A pn Bkx CA Dm!'. (pk m) (nxl!,).. (i) waarin de sommatie over de variaties der index groep (p klm) (pk m) aanduidt. Zo is b.v. [A B C Dh, 3 = Z Aoo B0 C 3 D3 (0) (0033) een veelterm bestaande uit i X 6 = i verschillende termen. De eerste sommatie loopt over de vier variaties (0) (0) (0) (0) en de tweede over de zes variaties (0033) (0303) (3003) (0330) (3030) (3300) Beschouwt men Ap", B p", Cpn, Dpn als aequivalente coëfficiëntenrijen, en vervangt men Bp", Cpn,Dpndoor A p". dan worden verschillende termen in (i) aan elkaar gelijk. Zo gaat b.v. [A B C Dh,3 over in [A A A Ak3 = 1 Aoo A 0 A 3 + 1 A03 A3 A 0. De invariant 1 kan men gemakkelijk uitdrukken in de coëfficiënten der grondvormen. mmers f30 f3t f3 f33 ] = t [D 6]. i'o i't i' i'3 ()o b t b b)
475 Door contractie vindt men 1 - " 0 4 D <5 4 6 ABC D - T,i,.,i,. aap ob k oei od m oa" O{3. ara OÓ,... p" kx /l m' = p,k,,m :f,x,à,,..,. =-!- L L sign(pklm)sign(;roc:à,u)ap"btxcadmll p,k,l,m ;r,x,j.,fj. waarin sign (p klm) het teken van de permutatie (~!~~!) is. Nu is ApO B pl C p D p3 Ako Bkl C k Dk3 Z sign (3f"l,u) A pn Bb CA Dm,... = n, x~l,f' AO Bil C/ Dl3 Amo Bmi C m Dm3 dus = det (ABCD)pklm 1 = { sign (pklm) det (ABCD)pklm.. (5) p,k,l,m waarbij gesommeerd wordt over de 4 permutaties (~! ~!)- Zijn de grondvormen aequivalent, zodat B p"', Cp", Dpn d,oor Ap" ver~ vangen mag worden, dan vindt men Aoo AO A 0 A03 1;=6 AO All A Au (6) A 0 A 1 A A3 A 30 A31 A3 A33 Dit is een vierdegraads invariant van de enkele grondvorm F = a~ a~. De invariant behoeft niet in de moduulbasis te worden opgenomen. Ze is uit te drukken in / en in de symmetrische invariant waarin JA BC D =,t(ja BJCD + JBCJAD + Jc AJBD).. (7) /AB=}BA=(ab)3(af3)3= AooB33'-3AloB13+3AloB3 -A30Bo3 + -3A ol B3 +9A B -9A1 B +3A31 B0 + +3AoB31-9AB1 +9ABl-3An Bol + - A03B30+3A3B0-3A3Blo+ A33 Boo een symmetrische invariant van de tweede graad is.. (8)
476 Men vindt nu met behulp van 5 (7) (8) [ A(3)] = t (ac)3 (db)3_(ab)3 (Cd)311 (ay)3 (~PP-(a/J)3 (y(w 1 = = t UA C ldb-(acp(db)3(ap)3(r~p-(ab)5(cd)3 (ay)3 (bpp+1a B lcd 1 [ A(3)] = t (ae)3 (db)3 (a~)3 (Py)3-1A C ldb-(abp (cd)l (aw (hp + + (ab)3 (cd)3 (ayp (~P)31 [ A(3)] = t 1 (ad)3 (bep (ar)3 (bp)3_(ad)3 (be)3 (ap)3 (rw-la C ldb + + (ac)3 (db)3 (ap)3 (y(w [ A(3)] = t UA D lb C-(ad)3(bc)3(ar)3(bp)3_(aC)3(db)3(ab)3(py)3+ lac ldb! dus 1 1 3=-l'f 1 6 A B C D-(ab)3(cd)3(ay)3(~p)3-(abp(cd)3(a~)3(py)3_(ac)3(db)3(aW(py)3+ -(ac)3 (db)' (ap)3(y~)3_(adp (bc)3 (ap)3(yb)3_(ad)3 (bc)3 (ay)3 (~P)31 en volgens 5 (5) 113 = -';..,.16 labco - (36 [L() A()] - lablco-lbc!ad-lca lbd)! = = yl..,.16 labcd-(36/-3 /ABCO)! =.,lr 19 labcd-36 11 dus 13=tlABco-t/'... (9) Zijn de grondvormen aequivalent. dan gaat lab over in 11 = (Aoo A 33-3Alo A 3 + 3Ao A 13-A3o A03-3Aol A 3 + + 9A A -9A1 A + 3A31 A o ). (10) Uit 1 ABCDontstaat dan zodat 1 13 overgaat in l=n 11. Onder de i dt overschuiving van twee binaire gemengde vormen zal men verstaan F = ax P a~ en G = b r > x P~ (F. G)() = (ab)i (ap)i af- b~- al- pr l..... (1) i is ten hoogste gelijk aan de kleinste der exponenten p, q, r, s. Deze over~ schuivingen zijn blijkbaar covarianten. De eerste overschuiving hangt samen met de determinanten va'i partieel~ afgeleiden. Men vindt à F à F àx à~1 àx M à G à G àx à~1 ~X à~
i77 en evenzo a G ax a~1 a G ax; M dus a F a F a G a G ax a~1 ax a~ axl M ax a~ a G a + G a F a F --- ax a~t ax a~ ax a~1 ax M = pqrs (ab) (af3) a~ - b~- art f3~-1 =pqrs (F, G){). () Naar men weet, is de discriminant R van de enkelvoudige binaire cubische vorm a! te beschouwen als de tweede overschuiving van 6~ met zichzelf, waarbij 6; weer de tweede overschuiving van a~ met zichzelf is. Naar analogie hiermede kan men de volgende tweede overschuivingen van de vier gemengde cubische vormen berekenen. Hierin is F = a! a~ F = b! f3~ F3 = e! y~ F~ = d; <5~.. (3) (F' F)() = (ab) (af3) ax b x as f3s = P; ll~ = P (F3, F 4 )() = (ed) (yw ex d x n <5; = s; a~ = S. pik, m = t (ab) (af3f (ai bk + a k bi) (al f3m + a m 13 / ). De tweede overschuiving van P en S wordt H E=(P,S)()=(ps) (lla) = (ab) (af3) (as) (bs) (aa) (130) = = t(ab)(af3)(ed)(y<5) (ac) (bd)(ay)(f3<5) + (ac)(bd) (a<5)(f3y) + + (ad) (be) (ay) (13<5) + (ad) (be) (a<5) (f3y) = =t (LE + LD) (AE + AD).. (4) Deze invariant is niet symmetrisch in de coëfficiëntenrijen der vier grond~ vormen (3). Nu kan men deze laatsten op drie manieren twee aan twee combineren, en vindt dan Blijkbaar is HE = ((F, F)(), (F3, F~)())() HA = ((F, F 3 )(), (F' F~)())() = t (LE + LD) (A E + AD) = t (LA + Le) (AA + Ae) H B = ((F 3, F t )(), (F, F 4 )())() = t (LB + L F ) (AB + AF) H= -r(he + HA + HB) = = -h - (LE+LD)(AE+AD)+(LA+Lc)(AA+Ae)+(LB tlf)(ab+af)! (5) 31
478 een symmetrische invariant. Deze willen we uitdrukken in de primitiefsymmetrische invarianten 1 1,...... 1G Volgens 4 (11) vindt men en dus volgens 9 (6) (7) (8) LE + LD = L() LA + Lc = Lu) + 1 + LB + Lp= [() - [(3) - ( L() + ) (..1(1) +..1(3)) = 4 1 1 + 17 + 18 + [(3)..1(3) ( [(1) - - [(3)) (..10) -..1(3) -.11(3)) = 41 1 - s - 17 - h - a + 1 +..1(3) +.11(3) + [(3).11(3) +.11(3). 1 dus volgens 9 (11) H = -( (1 1 1 + 3 1 13 ) = 11 + t J3... (6) Op dezelfde wijze kan men de symmetrische invariant in de primitief-symmetrische invarianten 1 1. dan volgens 4 (11)..... 1 16 uitdrukken en vindt U = t(6 LolA(1) + 6 L() A() + 4 A(3) + 4 A(3) + A(3) + A(3)) 1 1 1 1 en volgens 9 (6) (11)