Uitwerking Opdrachten e week. Periode Goniometrie, klas.
Opdr. Vindt de juiste functies In de figuur hieronder staan drie functies afgebeeld. Onderzoek welk functievoorschriften hierbij horen. f(x) G(x) h(x) evenwichtsstand: 0, amplitude:,5 periodeduur:, dus c=(pi)/, d=0 f ( x),5sin( x) evenwichtsstand: 0, amplitude: -0,5 periodeduur:, dus c=( )/ =, d=0 G( x) 0,5sin( x) of: d=- dus: G( x) 0,5sin( x ) evenwichtsstand: 0, amplitude: 0,5 periodeduur:, dus c=( )/ =, d=+0,50 h( x) 0,5sin( ( x 0,50)) Opdr. Golfverschijnsel Een golfverschijnsel wordt ingegeven door: ) Amplitude 5 ) evenwichtsstand ) Periodeduur (GRM in rad zetten!!!) ) verschuiving naar links Welke formule en welke grafiek hoort hierbij. y 5sin( x ) (Je controle is kijken in de tabel van je GRM of de juiste punten gepasseerd worden). Zelf uitvoeren.
Uitgaande van: y 5sin( x ) Opdr. Golfverschijnsel Wat verandert er aan de in opdr. gemaakte formule als de periode duur wordt: a) periodeduur Periode was, nu, dus 6x zo snel b) periodeduur Periode was, nu, dus / x zo snel c) periodeduur 65 dagen Periode was, nu 65: dus: c= 65 d) periodeduur seconde. Periode was, nu : dus: c= e) periodeduur /00 seconde Periode was, nu /00: dus: c= 800 Opdr. Verschillen in periodeduur. Voor deze opdracht onderzoek je met je GRM wat het verschil is tussen de onderstaande vijf functies: ). y sin( x) gewone sin, freq echter x zo hoog ). y sin( x) gewone sin, nu freq die x zo hoog ). ysin( x ) verschoven standaard sin en naar rechts ). ysin( x ) verschoven standaard sin en naar links 5). y cos( x) gewone cos. Identiek aan sin( x ) Opdr. Frequenties Voor deze opdracht onderzoek je met je GRM Een windmolen draait rond. Men maakt een sinus van één van de tip-uiteinden van de wieken. Door die te volgen, ontstaat een sinusgrafiek. De molen draait met windkracht zes met een snelheid van 0 omwentelingen in een minuut. a) Welke sinusfunctie hoort hierbij als de as van de molen op 50m hoogte staat, de wieken 5m lang zijn? 0 omw/min betekent: omw duurt /0 min. P=/0 c=60 h50 5sin(60 t) b) Wat verandert er aan de formule als de wieken geen 0 maar 0 omwentelingen per minuut maken? 0 omw/min betekent: omw duurt /0 min. P=/0 c=0 h50 5sin(0 t) c) Welke formule ontstaat bij rustig weer, zodat de wieken x per minuut ronddraaien? 0 omw/min betekent: omw duurt min. P= c= h50 5sin( t) Als je deze eerste functie plot, zie je deze figuur:
Onderzoek met je GRM of dit klopt en verklaar. Besproken Opdr 5. 0V spanning in huis De electra in je huis heeft een wisselspanning die (gemakshalve) varieert tussen -0 en 0 volt. Deze wisseling vindt 50x per seconde plaats. Welke formule hoort hierbij? evenw : 0, ampl: 0, P=/50: c=00 V=0sin(00 t) Opdr 6. Golfverschijnsel Een schip vaart de haven van Ijmuiden in. De haven kent een getij dat wisselt tussen de meter en 6 meter (resp. laag en hoogwater). Hoogtij is het om 09:00 uur. Periodeduur nog even,0 uur. a) Ontwerp een formule die bij de situatie past. evenw: m, ampl = m, P= dus c=, displ d = -6, want de top zit nu 6 uur verder. dus: h sin( ( t 6)) b) Het bedoelde schip heeft een diepgang van meter en kan nooit op laagtijmomenten de haven in. Men wil minimaal meter water hebben tussen de bodem van het schip en de grond. Onderzoek met elkaar tussen welke tijdstippen dit schip zonder problemen kan binnenvaren. Denk eraan: Een een golf schetsen, hierin aangeven wat een veilige waterhoogte is, etc. Dus moet de waterhoogte minstens 5m zijn. Je vergelijkt dus nu: h sin( ( t 6)) met de waarde 5. GRM: xmin = 0, xmax =, ymin =, ymax=6. Plot. snijpunten: x=7 en x= c) In dezelfde haven varen continu boten in en uit. Bij welke diepgang van deze vaartuigen zullen zij nooit een probleem ondervinden met getijverschillen? Simpel: als zij niet dieper steken dan meter. (met marge van m: dus m).
d) Welke formule hoort bij de haven die een getijverschil kent van 7 meter, een hoogtij van 0m om 0:00 uur, een periodeduur van,5 uur? (lastig) Antw: getijdeverschil van 7 meter betekent,5 naar boven en,5 naar beneden: amplitude =,5. Periodeduur P =,5 dus c=,5, Hoogste waterstand op 0 meter: dus evenwichtsstand op 6,5m. De standaard sinus zou dan worden: h 6,5,5sin( ( t d)),5 Nu het lastigste: de top zit op 0 uur. Normaal zou in dit geval de top zitten op:,5uur/ =.5 uur. Nu dus 0-.5 = 6.875 uur later: d = 6.875 h6,5,5sin( ( t 6,875)) Plot maar in het juiste venster en e ziet dat de top,5 op 0:00 uur zit. Opdr 7. Piano 5) Een snaar van een piano trilt met een frequentie van 0 trillingen (golven) per seconde. a) Welke sinus-formule hoort hierbij? evenw=0 (je hebt geen andere info), amplitude is onbekend: noem het. freq: 0 trill/sec = elke trilling=golf duurt /0e seconde. Dus: y sin(880 t) b) Het blijkt dat als men een pianotoets aanraakt die één octaaf hoger ligt, de frequentie verdubbelt. Verder verandert er niks. Wat wordt dan de formule? Dus: y sin(760 t) 5
Opdr 8. Translaties Gebruik de GRM voor de volgende opgave a) Plot de functie y=sin(x) en y = cos(x) in één figuur. Plot ook de functie ysin( x ) erbij. Wat valt op? Hadden we al besproken hè. Je kan de cosinus lezen als een verschoven sinus:eentje die pi/ eerder begint. b) Welke formule moet je maken om de sinus te plotten mbv een cosinus? Kennen we ook al: sin( x) cos( x / ) sin( x) c) Er is een andere goniowet: tan( x). Leg uit dat dit klopt voor elke denkbare cos( x) x. en maak gebruik van een algemene rechthoekige driehoek. Hier geldt: tan (a) = sin(a)/cos(a) sin ( x) cos en dus ook: d) Wéér een andere goniowet zegt: sin ( x) cos cos ( x) sin Toon ook deze (eerste) waarheid aan mbv eenzelfde simpele driehoek. De eerste is gewoon Pythagoras. De andere twee zijn identiek e) Maak een lijst in je PS met deze gevonden wetmatigheden. Je dient deze 'conversie-formules' wel te kennen. Doen Opdr 9. Translaties Gebruik de GRM voor de volgende opgave: Vermenigvuldigen t.o.v. de x-as: ). y 0.5sin( x) a) Onderzoek het verschil tussen: ). y sin( x) ). y sin( x) Deze weten we ook al: de amplitude beinvloed de vertikale beweging. b) Vermenigvuldigen van y = sin(x) t.o.v. de y-as met een factor. Leg uit waarom dan de formule moet worden: y sin( x) en niet y=sin(x). Een lastige: ten opzichte van de y-as: wordt de golf die verm wordt met / dus x zo kort. Dat komt overeen met een frequentie verhoging van. 6
Opdr 0. Vergelijkingen met de GRM Gegeven de functie: N,5,5sin( ( t 0,5)) a) Teken de grafiek van N m.b.v. de GRM Doen: simpel in de GRM zetten. window: xmin: 0, xmax: pi of zo.. ymin =, ymax= 5. b) Los op N> Los altijd eerst op : N=. en dan aflezen waar de grafiek hoger is dan. Plot Y= erbij: snijpunten: 0.66 en.877 Dus: geldt: x > 0.66 en x <,877. Je kan ook zeggen: x zit tussen de 0,66 en de.877 in. 7
Opdr a. Vergelijkingen Zonder GRM Maak een tabel met de bekende waarden voor sin, cos en tan. Deze tabel moet je wel uit je hoofd kennen. Vul 'm aan. sin cos tan 0 0 0 0 0.5 5 60 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 90 0 kan niet. Opdr b. Vergelijkingen Zonder GRM Bereken exact de oplossingen: sin( x ) 0 sin( x ) 0 6 sin( x ) sin(0) 6 6 x 0 k of x 0 k 6 6 x k of x k 6 6 x k of x = k 6 6 cos ( x) cos( x) of cos( x) x cos( ) cos(0) of cos( x) cos( ) x 0 k of x k x 0 k of x k dus x = + k c) cos( x ) 0 d) cos( x) 0 ( Zelf doen) Opdr. Vergelijkingen met de GRM Het aantal daglichturen Z is gegeven met de functie: Z 8cos( 65 ( t 0)) a) Plot de grafiek in een passend venster [0, 65] x [0, ] Doen dus. b) Op welke dag(nummer) is de daglengte het langst? Zoek maximumwaarde. Antw: 7,5. dus feitelijk dag 7. 8
c) In welk (Europees) land zou dit kunnen zijn? De daglengte varieert tussen de en 0 uur. Ik schat Zuid-Zweden of Noorwegen. ('s winters heel kort daglicht, 's zomers heel lang licht en kleine nachtjes). d) Maak eenzelfde grafiek voor een land dat in Noord Afrika ligt (Tunesie bijv). We schatten in dat de verschillen daglengte zomer en winter niet zoveel verschillen: dus de amplitude gok ik op uur of zo. Z cos( 65 ( t 0)) e) Hoe ziet de grafiek (exact) op de poolcirkel eruit? Bij de poolcirkel heb je zomers uur licht (op juni) en 's winters enkele dagen zon-loos! Z cos( 65 ( t 0)) f) In ons land is het maximaal 8 uur ligt en minimaal 0 uur. Maak de juiste formule. Z cos( 65 ( t 0)) Welke formule hoort er bij een land dat ca 500 km meer naar het Oosten maar wel op dezelfde breedtegraad ligt? Zelfde breedtegraad betekent even lange zomer/winterdaglengten. 500 km naar oosten: zit je ca 50 km voorbij Berlijn. Maakt dat iets uit?. Nee dus. Ook bij hen is juni de langste dag. g) Onderzoek hoe lang het licht is op 0 april op basis van de eerst gegeven formule. 0 april = +8++0 = dagnummer 0. Invullen in de eerste formule: Z 8cos( 65 ( t 0)) : 5.8 uur h) Tussen welke twee tijdstippen is het langer dan 0 uur licht bij de eerste formule? Zelf doen. Opdr. Algebra en conversies. In deze opgave worden functies gegeven die je om moet zetten. a) Men wil de functie plotten: y cos ( x). Welke functie, gebruik makend van een sinus geeft dezelfde figuur? Controleer je antwoord met je GRM cos ( x) sin ( x) dus: Simpel: maak gebruik van: en die laatste kan je ook plotten cos ( x) sin ( x) b) Zelfde vraag: Men vervangt sin( t) door een cosinus. Onderzoek welke formule dat dan wordt. Antw: sin( t) cos( t ) 5cos( ( t )) c) Iemand beweert dat dezelfde functies zijn. Controleer dat en 5sin( ( t 7.5)) verklaar. Uitleg: er verandert nooit iets aan a of b. Ook de frequentie is dezelfde. Alleen de waarde van d wordt anders: c dus P=6 De cosinus is een sinus die een kwart golflengte eerder begint. Dus,5 eerder. Daar mag je dus ook een veelvoud van nemen. dus,5 + 6 = 7.5 5cos( ( t.5)) doet t ook.. Zijn de waarden en 5 eigenlijk van belang? Nee nooit d) Probeer de functie: 0.05.6cos( ( t 8)) te veranderen in een sinus die wat 'normaler' eruit zit. Zelf doen e) Wat is het verschil tussen -cos(x) en cos(x)? Zelf doen 9
f) Zet de -cos(x) om in een sinusfunctie Zelf doen Opdr. Algebra Gegeven de functie: y sin( x ) met domein: [0, ] a) Hoe ontstaat deze functie uit de standaard grafiek? y sin( x ) met domein: [0, ] eerst :sin( x), dan sin(x- ) en dan sin( x ). Twee verschuivingen dus. b) Geef de exacte (Geen GRM) coordinaten van de toppen. Ook deze is niet moeilijk: de gewone sinus heeft zijn maximum op een kwart van de golflengte: hier dus 0.5. Deze is naar rechts verschoven: dus de top zit nu op: De y-coordinaat is 0.5. (ga zelf na) c) Geef de exacte coordinaten van de snijpunten met de evenwichtsstand.. Evenwichtsstand ligt op -0.5. dus los je de vergelijking op: sin( x ) met domein: [0, ] sin( x ) 0 met domein: [0, ] sin( x ) sin(0) met domein: [0, ] x 0 k of x 0 k x= k of x= k 5 geldig is:,, 9 5 d) De grafiek snijdt de x-as in drie punten A, B en C. Geef de exacte afstand tussen A en C. Gaat op dezelfde manier. vergelijking oplossen : sin( x ) 0 sin( x ) 0 met domein: [0, ] sin( x ) met domein: [0, ] sin( x ) sin( ) met domein: [0, ] 6 x k of x k 6 6 0 6 k k x= of x= geldig is:,, dus van A tot C = 0 6 58 8 0
Opdr 5. Algebra Gegeven de functie: N cos( ( t )) met domein: [0,0] a) Hoe ontstaat deze functie uit de standaard grafiek? Teken de grafiek. N cos( ( t )) ontstaat uit. cos( x) verm tov x-as met,5 = cos(x). cos(x) verm toc y-as: met geeft: cos( ( t)). verschuiving naar rechts: cos( ( t )). evenwichts.,5 hoger. b) Los op N>. Mag dus met GRM Zelf doen. plot en intersect. c) Bereken in decimalen de helling van de grafiek in het snijpunt met de y-as. Snijpunt y-as: vul voor t= 0 in en bereken N. Dan ken je het snijpunt zelf. In de GRM: calc->dy/dx in x=0 geeft: dy/dx=.7 d) Onderzoek met de GRM waar de grootste helling zit. Antwoord: altijd bij het knikpunt en dus ter hoogte van de evenwichtstand. Ofwel: snijpunt met lijn y=.5. dy/dx =.5.
Aan onderstaande opgaven kom je niet toe denk ik. Dit zal je met je vakdocent moeten doen in de vak lessen. Differentieëren heb je als onderwerp mogelijk nog (onvoldoende) gehad. Zonder bewijs deel ik je mede dat:. De afgeleide van sin(x) = cos(x). De afgeleide van cos(x) = - sin(x). De afgeleide van sin(ax) = Acos(Ax). De afgeleide van a + bcos(c(x+d)) moet zijn. -bcsin(c(x+d) Beantwoord nu vragen c en d nog eens, maar dan zonder GRM. Opdr 6. Algebra en afgeleiden Zoek de afgeleide van de functie: M 0 sin( ( x )) en controleer of het maximum van M inderdaad een nulpunt van diens afgeleide is. 6. Maak de DT uit getal en Ruimte, deel B: pagina 76 en 77 (Wees wel wat selectief; alles doen kost veeeeeel tijd hè). 7. Maak de G.O. uit getal en Ruimte, deel B: pagina 96 tot 99 (Wees wel wat selectief; alles doen kost veeeeeel tijd hè).